Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с меняющимся направлением времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

БУСКАРОВА Оксана Федотовна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ

ВРЕМЕНИ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2003

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Якутского государственного университета имени М.К.

Аммосова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор И.Е. Егоров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Г.В. Демиденко, доктор физико-математических наук, профессор С.Г Пятков.

Ведущая организация:

Московский энергетический институт (г. Москва)

Защита состоится 9 декабря 2003 года в часов на

заседании диссертационного совета Д. 212.174.02 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2. ГА. К£)?/гУС НГУ; Ссу^, 3

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан 5 ноября 2003 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

Н.И. Макаренко

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В данной работе рассматривается дифференциально-операторное уравнение неклассического типа, к которому приводятся параболические уравнения с меняющимся направлением времени; а также дифференциально-операторное уравнение типа Шредингера с меняющимся направлением времени. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М. Жевре (1913 г., 1914 г.). Позднее в работах М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, И.Н. Векуа, С.А. Христиановича, С.А. Чаплыгина и других было указано на важность проблем неклассических уравнений математической физики при решении прикладных задач механики.

Среди работ, оказавших влияние на исследования по теории краевых задач для неклассических уравнений математической физики можно отметить работы A.B. Бицадзе, O.A. Олейник, Г. Фикеры, С.А. Терсенова, В.Н. Врагова, В.К. Ро-манко, A.A. Дезина, И.М. Петрушко, Н.В. Кислова, С.Г. Пят-кова, И.Е. Егорова, А. И. Кожанова, В.Н. Монахова, Т.И. Зе-леняка, А.Г. Подгаева и других. Теория разрешимости краевых задач для линейных уравнений с меняющимся направлением времени была построена в работах O.A. Олейник, С.А. Терсенова, Н.В. Кислова, С.Г. Пяткова, И.Е. Егорова, C.B. Попова, A.M. Нахущева, A.A. Керефова, М.С. Боуенди, Г. Гривара, К.Д. Пагани, Г. Таленти, О. Арены и других авторов.

Изучению нелинейных уравнений переменного типа посвящены работы многих авторов: H.A. Ларькина, В.А. Новикова, H.H. Яненко, Т.И. Зеленяка, B.C. Белоносова, В.Н. Монахова, П.И. Плотникова, А.Г. Подгаева, П.П. Ахмерова, М.М. Лаврентьева (мл.), В.Н. Гребенева, С.Н. Глазатова, Н.Л. Аба-шеевой и других.

Исследованию краевых задач для классического уравнения Шредингера посвящено достаточно много работ. Но в основном изучена задача Коши для уравнения Шредингера

в работах O.A. Ладыженской, Ж.Л. Лионса, Э. Мадженеса, Поцци, де Прато, Нельсона, В.Ж. Сакбаева и других.

Цель работы. Исследовать разрешимость нелокальных краевых задач для одного дифференциально-операторного уравнения первого порядка с меняющимся направлением времени методом Фурье и изучение гладкости решений. Получить результаты о существовании и гладкости решений первой краевой задачи и нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени.

Методика исследования. Для исследования указанных задач используются методы функционального анализа, ме- 1

тод Фурье.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты:

- методом Фурье получено конструктивное решение в явном виде нелокальной краевой задачи для одного дифференциально-операторного уравнения первого порядка с меняющимся направлением времени;

- показана корректность одной нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения первого порядка с меняющимся направлением времени и доказана ее гладкая разрешимость;

- исследована разрешимость первой краевой задачи и нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени и гладкость их решения.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых неклассических задач. Практическая ценность результатов исследования в том, что они помогают исследовать разрешимость прикладных задач, сводящихся к рассматриваемым уравнениям.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре профессо-

ра И.Е. Егорова "Дифференциальные уравнения с частными производными" (г. Якутск), на семинаре профессора А.И. Ко-жанова "Неклассические уравнения математической физики" (Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, г. Новосибирск), на научной конференции студентов и молодых ученых РС(Я) " Лаврентьевские чтения" в 1997-2001 г.г., на научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной 45-летию Якутского государственного университета им. М.К. Аммосова в 2001г., на III Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск,

2001 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-10].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 127 наименований, изложена на 97 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, сформулирована цель работы, приведены основные результаты и краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения

Au = But + Lu = Bf(t), teS=[0,T\, (1.1)

где Ь - самосопряженный и положительно определенный оператор с плотной в гильбертовом пространстве Н областью определения £>(£), В - самосопряженный оператор в Не областью определения О(В).

В первом параграфе даются определения и приводятся необходимые предположения.

Пусть Н - сепарабельное действительное гильбертово пространство со скалярным произведением (.,.) и нормой ||.||. Пусть Н\ - замыкание £>(£) по норме ЦиЦя, = (Ьи,и)х/2 и Е+, Е°, Е~ - спектральные проекторы В, соответствующие положительной, нулевой и отрицательной частям спектра. Положим

\В\и = В1/и, 11 = Е+-Е~, иеО(В).

При Н\ П кегВ = 0 введем пространство Щ как пополнение £)(#) по норме |Н|я0 — {\В\и,и)1!2. Предположим, что £)(£?)ПЯ1 плотно в Н0 и Н\, а также имеет место неравенство

||«||я,<7|Ня„ иеЛ(В)ПЯь 7>0.

Определим пространство Н-\ как замыкание Но по норме

тв.1 = \\Ь-1В/\\Н1 = \\ВДщ,

где Н[ - негативное пространство, построенное по Н\ в Н. При этих условиях оператор Ь~1В : Н\ —► Н\ определен и ограничен.

Будем считать, что выполнено условие

[Я1,Я_1]1/2 = Я0, о ерь,

где pi - резольвентное множество оператора L.

Определим оператор А = B~lL : Щ —► Щ. Предположим, что оператор А~г = L~lB : Hi —> Hi является вполне непрерывным. Обозначим через Р+ и Р~ спектральные проекторы А"1, соответствующие положительной и отрицательной частям спектра.

Введем пространство Hs с нормой:

оо

Ня. = Ed^'^ñA^r+к^*)12|А*-п> k=i

где s - действительное число. Пусть

Н? = P±HS, Hf - E±HS, А± = B~1LP±.

Обозначим через L-¿(S,H) пространство сильно измеримых функций определенных на S — (О,Т] со значениями в гильбертовом пространстве Я и с конечной нормой

Mlis,H) = [\W)fiidt.

о

Введем операторы проектирования Р^ : Я*, кото-

рые являются непрерывными.

Для целого к > 0 определим множество

Ль = {(so, 9т) ■ 9о, 9т б D(Ak), Е~Акдо = 0, Е+Акдт = 0}.

Для к > 2 введем пространство

Нк = {и : А'и 6 Н0, 0<г< [к/2] - 1; A[t/2]u € Я*_2(*/2]}

с нормой

(1/21-1

IMlk = £ и^иь. + P^IIL^-1=0

Заметим, что для к > 2 нормы в Я* и Н8 эквивалентны. Оператор А осуществляет изоморфизм между пространствами Як и Нь~2 с обратным оператором А-1 = Ь~1В. В §1.2 рассматривается

Краевая задача. Найти решение уравнения (1.1) такое, что

£+(и(0) - Ли{Т)) = Е+щ, Е~(и(Т) - /ш(0)) = £Гиг, (1.2)

где |Л|, |/х| < 1 и щ,ит 6 Щ-

Уравнение (1.1) запишем в следующем виде:

Ми = иг + Аи = /(*), г €5. (1.3)

Определение. Элемент и 6 Ьч(3.,Н\) называется сильным ■решением краевой задачи (1-1), (1-2), если существует последовательность

т т

ит = ^^ф^+ХХО*3* ¿=1 *=1

такая, что

ит-*и в £2(5,#1),

Ммт = «'га + В-1^ / в Ь2(5, Я0), £+(«т(0) - Лит(Т)) -> Я+и0 в Я0, Я"(ит(Т) - /шт(0)) £Гит в Н0. Теорема 1.1. Пусть выполнено условие

\Щ\РоЕ+роЕ~\\о < 1, < 1. (1.4)

Тогда для любых / 6 Щ), щ, ит 6 Яо существует единственное сильное решение задачи (1.1), (1.2) такое, что и £ 1,2(8,Н\),

щбХафЯ.!). '

В § 1.3 рассматривается вопрос о гладкости решения задачи (1.1), (1.2). Определим функционал

7(ио, иТ, /,«) = (ВАк(ит + цио), у(Т)) - (ВАк(щ + \иг), «(0))

+(Л/х-1) Г(ВАк/,у)<И. Jo

Предположим, что и(г) есть решение краевой задачи:

-Вщ + Ьь = 0, (1.5)

Е+(у(Т) - А«(0)) = Е+дт, Е~(у(0) - ц»(Т)) = £Г<?0, (1.6)

где (д0,дт) е Аь-

Теорема 1.2. Пусть щ,иТ 6 Я2ь / € Ь2(5, Я2/ь), £ = 0,1,2,..., и выполнено условие (1-4). Тогда существует решение задачи (1.1), (1.2) и € Ягы-г), Щ 6 ¿гО?, Я2ц) тогда и

только тогда, когда

/» = 0.

для любой функции V, которая есть решение задачи (1.5), (1.6) с данными (до,дт) £ Ак-

В § 1.4 исследуется разрешимость одной нелокальной краевой задачи для уравнеия (1.1).

Краевая задача. Найти решение уравнения (1.1) такое, что

и(0) - /ш(Т) = щ, (1.7)

где /х - комплексное число, гхц Е Яо, Я - комплексное пространство.

Теорема 1.3. Пусть выполнено условие

1

ц£реа-т, — 6 ре-л+т.

I1

Тогда для любых / £ /^(З,Я_ 1), «о € Яо существует единственное решение задачи (1.1), (1.8) такое, что и 6 £2 (5, Яг), ^ 6

адя-О.

Перейдем к вопросу о гладкости решения задачи (1.1), (1.7). Имеет место следующая теорема для повышения гладкости решения данной краевой задачи

Теорема 1.4. Пусть щ £ Ни, / € ¿2(5, Нък-г), к = 1,2,... и выполнено условие

< И < ех'т.

Тогда существует решение задачи (1.1), (1.7) и £ Ь^Б^Нчк+х), Щ £ Ь2(5,Я2к-1).

Во второй главе рассматривается дифференциально-операторное уравнение типа Шредингера (

Аи = Вщ + аи = вцг), г ез = [о,т], (2.1) ,

I

где Ь - самосопряженный и положительно определенный оператор с плотной в комплексном гильбертовом пространстве Я областью определения В{Ь), В - самосопряженный оператор в Я, Я - сепарабельное комплексное гильбертово пространство. , В §2.1 исследована разрешимость первой краевой задачи

Краевая задача. Найти решение уравнения (2.1) такое, что ;

■

Е+(и(0) - ио) = 0, Е~(и(Т) - иг) = 0, (2.2)

где щ,ит € Я0.

Теорема 2.1. Пусть выполнено условие

1 е (2.3)

где £+ = Р+Е+е'А~ТРа-Е-е"А+Т, В~ = Р0~Е~е~{А+тР+Е+. Тогда для любых / 6 С(Б,Но), £ Но существует единственное решение задачи (2.1), (2.2) такое, что и 6 С(5, Яо), щ 6 С(5, Я_г). | В § 2.2 исследована гладкая разрешимость краевой задачи 1 (2.1), (2.2). Уравнение (2.1) запишем в виде: 1

Ми = щ + гАи = /(*), t <Е 5. (2.4)

Введем оператор

Тгг = {Ми, Р+и(0). Р~и{Т)} <

с областью определения '

£>(Г) = {и : и,«, € Ь2(3,Н2у, АщАщ е ¿2(5,Я0)}.

Определение 2.1. Элемент и € С(5, Яо) называется сильным решением краевой задачи (2.1), (2.2), если существует последовательность ит из Р(Т) такая, что ит—> и в С(5, Щ), Мит —* / I в Ь2(5,Яо), Е+ит(0) —> Е~ит(Т) —» Е~ит в Щ при т —* оо.

Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (2.3) Тогда для любых / £ С(5,Но), щ,ит £ Но существует единственное сильное решение задачи (2.1), (2.2) изС(3,Н0). Определим функционал

•¡{Щ, иТ, f, у) = (ВАкит, у(Т)) - (ВАки0, у(0)) - / (ВАк/, у)Л.

Jo

Предположим, что у{1) есть решение краевой задачи ! -Вьг - Ну = 0, НЕ 5, (2.5)

» Е+ь(Т) = Е+дт, Е-у(0) = Е-д0, (2.6)

где (с/о, дт) £ Ак.

Теорема 2.3. Пусть выполнено условие (2.3). Тогда для любых / € С(3,Н2к), Щ,ит £ Ни, к = 0,1,2,... существует единственное решение задачи (2.1), (2.2) такое, что и £ С(3,Нък), Щ £ С(8, Ны-2) тогда и только тогда, когда 1(щ,ит, /,ь) — 0 для любой функцииу, которая есть решение задачи (2.5), (2.6) с данными (9о,97■) £ Ак.

В § 2.3 исследована разрешимость нелокальной краевой задачи:

| Краевая задача. Найти решение уравнения (2.1) такое, что

и(0) - /ш(Т) = и0, (2.7)

где ^ -- комплексное число, ио £ На. \ Теорема 2.4. Пусть выполнено условие

1л£регА-т, (I — р,е~'А+т)~1 — ограниченный оператор. (2.8)

^ Тогда для любых / £ С(3,Щ), щ £ Но существует единственное

решение задачи (2.1), (2.7) такое, что и £ С(5, До), щ £ С(3,Н-2}-В §2.4 рассматривается вопрос повышения гладкости решения задачи (2.1), (2.7). Введем оператор ЛГи = {Ми, и(0)} с областью опеределения = {и : £ ¿2(5, #2); Аи,Ащ £

¿2(5, Но)}.

Определение 2.2. Элемент, и 6 С(5, Но) называется сильным решением краевой задачи (2.1), (2.7), если существует последовательность ит из О(Ы) такая, что ит —у и в (7(5, Яо), Мит —► / в £2(5,#о), "т(0) - ¿шт(Т) -ШовЯо при т -» оо.

Теорема 2.5. Пусть выполнено (2.8). Тогда для любых / £ '

С(5, Но),ид £ существует единственное сильное решение задачи (2.1), (2.7) из С (Б, Но).

Теорема 2.6. Пусть выполнено условие (2.8). Тогда для лю- I

бых / £ С(5, Ни),' Щ € = 0,1,2,... существует единствен-

ное решение задачи (2.1), (2.7) такое, что и £ С(8,Ны), Щ 6 С{8,Нчк-1)-

В третьей главе рассматриваются конкретные примеры "»

уравнений, изученных в первой и второй главах; получены решения некоторых краевых задач в явном виде.

В §3.1 рассматривается одна спектральная задача, решения которой находятся явным образом. Доказано, что собственные функции образуют ортогональную систёму в пространстве НоВ § 3.2 рассмотрен частный случай дифференциально-операторного уравнения (1.1) при Ви — з{дпхи, Ьи = — Имеем уравнение

в(дпхщ = ихх + signxf(t), -1 < х < 1, 0 < £ < Т. (3.1)

Для уравнения (3.1) с краевыми условиями:

и(х, 0) - /ш(х, Т) = щ(х), -1 < х < 1, (3.2)

где ц - комплексное число, щ € Но = 1,1), / £ ¿2(5', Яо),

и(-1,*) = «(1,/) = 0, 0 <КТ, (3.3)

доказано существование единственного решения краевой за- '

дачи (3.1)-(3.3), удовлетворяющего условиям: и £ ¿2(5, Я1), *

В § 3.3 рассмотрен частный случай дифференциально-операторного уравнения (2.1) при Вгю = вгдпхт, Ьги = — /(*) = 0. Имеем уравнение

вгдпхги( = гш1а;, — 1 < х < 1, 0 < £ < Т, (3.4) >

решение которого удовлетворяет условиям:

w(x, 0) = гио(ж), — 1 < х < 1,

(3.5)

где w0(x) в Щ

w(-l,t) = го(1,<) =0, 0<i<T.

(3.6)

Установлено существование единственного решения задачи (3.1)—(3.3), удовлетворяющего условиям: и € С(5, #о), и; 6

В §3.4 исследована разрешимость краевой задачи для уравнения (3.4) с нелокальным условием

где ¡л - комлексное число, гио(а:) ё Но.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бускарова О.Ф. Применение метода Фурье к решению нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения // Научная конференция студентов и молодых ученых Республики Саха (Якутия): тез. докл. -Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1998. С.8-9.

2. Бускарова О.Ф. Применение метода Фурье к решению нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения // Математические заметки ЯГУ,

^ 1998. Т.5, №2. С.19-29.

3. Бускарова О.Ф. Разрешимость одной нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения

» с меняющимся направлением времени // Научная конферен-

ция студентов и молодых ученых Республики Саха (Якутия): тез. докл. - Новосибирск: Изд-о Ин-та математики СО РАН, 1999. С.5-6.

4. Buskarova O.F. Solvability of a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU, 1999. V.6, №2. P.81-87.

w(x,0) — /mu(x,T) = Wq(x), — 1 < X < 1

5. Бускарова О.Ф. Разрешимость краевых задач для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени // "Лаврентьеве-кие чтения" Республики Саха (Якутия): Научная конференция студентов и молодых ученых РС(Я): Тез. докл. - Якутск,

2000. С.8-9.

6. Buskarova О.F. Solvability of a boundary value problems for a Schrodinger- type operator-differential équation with varying time direction // Math. Zametki YaGU, 2000. V.7, №2. P.150-158.

7. Бускарова О.Ф. Гладкость решения краевых задач для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени // "Лаврентьевские чтения" Республики Саха (Якутия): Научная конференция студентов и молодых ученых РС(Я): Тез. докл. - Якутск,

2001. С.14-15.

8. Бускарова О.Ф. О краевых задачах для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени // III Международная конференция по математическому моделирванию: Тез. докл. - Якутск, 2001. С.18-19.

9. Buskarova O.F. Smootlmess of solutions to boundary value problems for Schrodinger operator-differential type équation with varying time direction // Math. Zametki YaGU, 2001. V.8, №2. P.93-102.

10. Бускарова О.Ф. О некоторых краевых задачах для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с меняющимся направлением времени // Материалы научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященных 45-летию Якутского государственного университета им. М.К. Аммосова. (27-28 ноября 2001 г.) Часть 3. Физико-математические, технические науки и науки о Земле. - Якутск: Изд-во ЯГУ, 2003. С.6-8.

Изд. лиц. №000053 от 20.09.97. Подписано в печать 30.10.2003. Формат 60x84/16. Бумага тип. №2. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Печ.л. 1,0. Уч.-изд.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 161.

Издательство ЯГУ, 677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

Отпечатано в топографии издательства ЯГУ

»17435

lo oî-A

T^iíF

Введение

1. Краевые задачи для одного дифференциально-операторного уравнения первого порядка

1.1. Вспомогательные сведения.

1.2. Сильная разрешимость нелокальной краевой задачи

1.3. О гладкости решений нелокальной краевой задачи

1.4. Разрешимость одной нелокальной краевой задачи

2. Краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени

2.1. Разрешимость первой краевой задачи.

2.2. Гладкость решений первой краевой задачи

2.3. Разрешимость нелокальной краевой задачи

2.4. Гладкость решений нелокальной краевой задачи

3. Примеры

3.1. Решение одной спектральной задачи.

3.2. Разрешимость нелокальной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени.

3.3. Разрешимость первой краевой задачи для одного уравнения типа Шредингера.

3.4. Разрешимость нелокальной краевой задачи для одного уравнения типа Шредингера.

Пусть iJ-сепарабельное действительное (комплексное) гильбертово пространство. Работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциально- операторного з'равне-ния вида

Аи = But + Lu = Bf(t), teS = [0,T], (1) и дифференциально - операторного уравнения типа Шредин-гера

Aи = But + iLu = Bf{t), teS, (2) где ^-самосопряженный и положительно определенный оператор с плотной в Н областью определения D(L), В - самосопряженный оператор в Н с областью определения D{B).

Уравнение (1) является уравнением неклассического типа, к нем}/ приводятся параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Первыми работами об уравнениях данного типа были статьи М. Жеврея [102, 103]. Новым этапом развития теорий краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени явились работы, связанные с дифференциально-операторными уравнениями вида (1).

В случае, если спектр пучка L — А В содержится в одной из полуплоскостей вида ReX < a, ReX > а, или при выполнении условия D(B) С D{L)1 уравнение (1) обычно называют уравнением соболевского типа. Для уравнения такого типа часто корректна обычная задача Коши или близкая к ней. Этот класс уравнений описывает значительное количество задач, возникающих в гидро- и газовой динамике, теории упругости [5, 21, 35, 51, 70, 95, 96, 108]. Среди работ, посвященных таким уравнениям, отметим [20, 29, 44, 65, 68, 71, 82, 101].

Мы рассматриваем уравнение вида (1), не являющееся уравнением соболевского типа. Как правило, это означает, что спектр пучка L — XB содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуосей.

В класс уравнений не соболевского типа входят так называемые кинетические уравнения [84, 104, 107, 124], описывающие диффузионные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике [83, 84, 85, 86, 97, 106], в геометрии, популяционной генетике [109, 110, 126]. Отметим также работы [91, 92, 93, 94, 104, 105, 122, 123], где возникали подобные задачи.

Краевые задачи для линейных уравнений с меняющимся направлением времени рассматривались в работах О.А. Олейник [50], Г. Фикеры [79], С.А. Терсенова [72, 73, 74], A.M. Нахушева [49], И.Е. Егорова [22, 23, 24, 99, 100], И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [25], И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, С.В. Попова [26], А.А. Керефова [31], Н.В. Кислова [32, 33, 34], С.Г. Пяткова [59, 60, 61, 62, 63, 120], С.В. Попова [56, 57, 58, 115, 116, 117], И.М. Петрушко, Е.В. Черных [52], В.Е. Федорова [76], Ф.М. Федорова [77, 78], Х.Х. Ахмедова [3], В. В Катышева [30], С.Н. Елазатова [15], Н.Л. Абашеевой [1], М.С. Боуенди, Е. Еривара [87], К.Д. Пагани [112, 113], К.Д. Пагани, Е. Таленти [114], О. Арены [81] и других авторов.

Исследованиям по нелинейным уравнениям переменного типа посвящены работы Н.А. Ларькина, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [42], Т.И. Зеленяка, В.А. Новикова, Н.Н. Янен-ко [28], Т.И. Зеленяка [27], B.C. Белоносова, Т.И. Зеленяка [6], В.Н. Монахова [45, 46], В.Н. Монахова, С.В. Попова [47, 48] П.И. Плотникова [5-3], А.Г. Подгаева [54, 55], С.Г. Пяткова, А.Г. Под-гаева [64], С.Г. Пяткова [62] П.П. Ахмерова [4], М.М. Лаврентьева (мл.) [36, 37, 38, 39], В.Н. Гребенева [18], С.Н. Глазатова [16, 17], Н.Л. Абашеевой [2].

Краевые задачи для уравнения (2) мало изучены. В основном, ранее рассматривалась задача Коши для классического уравнения Шредингера [40, 41, 43, 69, 80, 98, 111, 118, 119, 125, 127].

Среди работ, наиболее близких к нашим, можно отметить работы [40, 41, 43]. В [40, 41] рассматривается задача Коши для уравнения Шредингера

Там доказана обобщенная разрешимость задачи (3), (4), если: a) S\(t) - самосопряженный, сильно дифференцируемый по t оператор с областью определения D(Si), плотной в Я и не зависящей от t; b) существз'-ет хотя бы одно число А = А| + гД-2, для которого Si(t) — АЕ имеет обратный оператор, причем

5i(t) - АЕ)~1\\ + !15:(/,)(5;!/; - AE)~l\\ + \\Su{Si - А.Е)-1|| < const.

Ж.Л. Лионе, Э. Мадженес [43] доказали существование

Su = щ + iSi(t)u = /,

3) и{ 0) = (р.

4) решения задачи (3), (4), рассматривая наряду с основной задачей сопряженную задачу, выяснили связь между решениями основной и сопряженной задач, исследовали регулярность решения.

Таким образом, тема данной работы, которая посвящена исследованию краевых задач для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с меняющимся направлением времени является актуальной. Целью работы является получение более конструктивного способа решения краевой задачи (1), (5) в явном виде, исследование корректности нелокальной краевой задачи (1), (6), модифицирование функционального метода, предложенного О.А. Ладыженской в [40, 41], и его применение для доказательства разрешимости первой краевой задачи и нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени (2).

Результаты данной работы носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач. Практическая ценность результатов диссертации заключается в том, что они помогают получению в явном виде решений прикладных задач для конкретных уравнений, входящих в (1), (2).

В первой главе рассматривается уравнение (1). С помощью метода Фурье доказаны существование единственного сильного и гладкого решения краевой задачи для уравнения (1), удовлетворяющего условиям

Е+(и{0) - Хи(Т)) = Е+щ} Е~{и(Т) - /,ш(0)) = Е~ит, (5) где |А|,\f-i\ < 1, Е+,Е~ - спектральные проекторы В, соответствующие положительной и отрицательной частям спектра [8, 9, 10].

Отметим, что сильная разрешимость и гладкость решения краевой задачи (1), (5) методами функционального анализа доказаны И.Е. Егоровым в [99, 100]. А при Л = /л = 0 результаты данной работы совпадают с результатами работы С. Г. Пятков а [61].

Рассматривается также краевая задача для уравнения (1) с краевым условием и(0) - /ш(Т) = щ, (6) где ^(-комплексное число, и операторы L,B определены в комплексном пространстве Н [11, 88].

Известно, что для нестабильных уравнений существуют корректные краевые задачи [19, 66, 67]. При определенных условиях уравнение (1) эквивалентно нестабильному уравнению [24]. В данной работе показано, что нелокальная краевая задача (1),(б) корректно поставлена, и имеет место ее гладкая разрешимость.

Основная идея доказательств разрешимости этих краевых задач состоит в том, что теоремы существования для них следуют из теорем единственности. Метод Фурье заключается в том, что решение краевых задач ищется в виде ряда Фурье. Изучается спектральная задача, соответствующая данной краевой задаче, затем, решая дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями, получаем решение в явном виде при выполнении некоторых условий.

Во второй главе рассматривается уравнение типа Шредингера (2). Для уравнения (2) с краевыми условиями:

Е+(и(0) - к0) = 0, Е~(и(Т) - иг) = 0. (7) доказаны существование единственного решения краевой задачи (2),(7), удовлетворяющего условиям: и Е (7(5, До), ut £ C(S,H-2) [12, 89, 14], и гладкого решения задачи (2),(7) из класса и Е C(Sj H'2k), Щ е C(S,H2k-2),k = 0,1,2,. [13, 14, 90].

Исследовано существование единственного гладкого решения нелокальной краевой задачи для уравнения (2) [89, 90]: г/,(0) - Аш(Т) = щ} (8) где fi - комплексное число, Н - комплексное пространство.

В третьей главе рассматриваются конкретные примеры уравнений, изученных в первой и второй главах; получены решения некоторых краевых задач в явном виде. Рассмотрен частный случай дифференциально - операторного уравнения (2) при В = signx, L = f(t) = 0. Имеем уравнение signxwt = iwXXl — 1 < ;/: <1. 0 < / < Т. (9) решение которого удовлетворяет условиям:

•;.<•.0) ,ы.г). -1 < .г < 1. (10) где wq (х) g щ, гу(-1, 0 = w(M) = 0, 0 < t <Т. (11)

Сначала рассматривается спектральная задача, соответствующая данной краевой задаче, решения которой находятся явным образом. Это позволяет применить известный метод

Фурье к решению данной краевой задачи. Установлено существование единственного решения задачи (9)-(11), удовлетворяющего условиям: и Е C'(S,Hq), щ Е C(S,H2) [7].

Исследована разрешимость краевой задачи для уравнения (9) с нелокальным условием w(x}0) - nw{x,T) wq(x), — 1 < х < 1, где /i -комлексное число, wq(x) Е Но

Рассмотрен также частный случай дифференциально -операторного уравнения (1) при В = signx, L = —j^- Имеем уравнение signxut = ихх + signx f(t). — 1 < х < 1, 0 < t < Т. (12)

Для уравнения (12) с краевыми условиями: u(x,0) — [. iu(x,T) = щ(х), —1<х< 1, (13) где /i - комплексное число, uq Е #0 = L-2{ — 1,1), ./ Е Z<2(5, i/о)? u(-l, = u(l, = 0, 0 <t<T, (14) доказано существование единственного решения краевой задачи (12)-(14), удовлетворяющего условиям: и Е L2(S,H\), щ Е L2(S,#I).

1. Абашеева H.J1. Разрешимость краевых задач для опера-торно- дифференциальных уравнений смешанного типа. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. 60 с. (Препринт № 9).

2. Ахмедов Х.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени: Дисс. .канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1989. 98 с.

3. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах j j Прикл. мат. и механ. I960. Т.24, №5. С.58-73.

4. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. -Новосибирск: НГУ, 1975. 156 с.

5. Бускарова О.Ф. О методе Фурье для решения параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Научная конференция студентов и молодых ученых Республики Саха (Якутия): тезисы докладов -Якутск: НИИ ПМИиИ ЯГУ, 1997. С.7.

6. Бускарова О.Ф. Применение метода Фурье к решению нелокальной краевой задачи для дифференциальнооператорного уравнения // Математические заметки ЯГУ, 1998. Т.5, №2. С.19-29.

7. Бускарова О.Ф. О краевых задачах для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени // III Международная конференция по математическому моделирванию: Тез. докл. Якутск, 2001. С.18-19.

8. Глазатов С.Н. О разрешимости начально-краевых задач для нелинейного уравнения переменного типа // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, № 6. С. 1293-1303.

9. Глазатов С.Н. О некоторых задачах для дважды нелинейных параболических уравнений и уравнений переменного типа // Мат. тр. Ин-т мат. СО РАН. 2000. Т.З, № 2. С. 71-110.

10. Гребенев В.Н. Об одной системе вырождающихся параболических уравнений, возникающей в гидродинамике // Сиб. мат. журн. 1994. Т.35, №4. С.753-767.

11. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. -М.: Наука, 1980. 207 с.

12. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. -Новосибирск: Научная книга, 1998. 438 с.

13. Дзекцер Е.С. Обобщение движения грунтовых вод со свободной поверхностью // Докл. АН СССР. 1972. Т.72, №5. С.1031-1033.

14. Егоров И.Е. Краевые задачи для уравнений высокого порядка с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР, 1988. Т.303,№. 6. С.1301-1304.

15. Егоров И.Е. Краевая задача для одного уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Дифференц. уравнения и их приложения. Якутск. 1989. С. 30-39.

16. Егоров И.Е. Краевые задачи для одного дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 1997. Т.4, вып. 1. С. 21-25.

17. Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.

18. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 1999. 336 с.

19. Зеленяк Т.И. Об одном уравнении со знакопеременным коэффициентом диффузии // Матем. проблемы химии. -Новосибирск. 1975 . 4.1. С.111-115.

20. Зеленяк Т.И., Новиков В.А., Яненко Н.Н. О свойствах решений нелинейных уравнений переменного типа // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Т.5, №4. С.35-47.

21. Зубова С.П., Чернышев К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при старшей производной //Дифференц. уравнения и их применения. 1976. Т.14. С.21-39.

22. Катышев В.В. Об одном уравнении эллиптико-парабо-лического типа // Краевые задачи для нелинейных уравнений. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1982. С.130-133.

23. Керефов А. А. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 74-78.

24. Кислов Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально операторного уравнения смешанного типа и их приложения // Мат. сб. 1984. Т.125, вып.1. С.19-37.

25. Кислов Н.В. Краевые задачи для дифференциально -операторных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19, №8. С.1427-1436.

26. Кислов Н.В. Краевые задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Докл. АН СССР. 1980. Т.255, №1. С.26-30.

27. Кожанов А.И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка // Мат. сб. 1980. Т.118, №4. С.504-522.

28. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорная гладкость решений ряда уравнений переменного типа // Матем. модел. 1990. т.2, №9. С.145-153.

29. Лаврентьев М.М.(мл.) Оценки решений одного уравнения переменного типа // Матем. модел. 1989. Т.1, №11. С.132-138.

30. Лаврентьев М.М.(мл.) О разрешимости краевых задач для некоторых параболических уравнений с вырождениями // Сиб. мат. журн. 1987. Т.28, №2. С.79-95.

31. Лаврентьев М.М.(мл.) О свойствах приближенных решений нелинейных уравнений переменного типа // Сиб. мат. журн. 1980. Т.21, Ш. С.176-185.

32. Ладыженская О.А. О решении нестационарных операторных уравнений // Мат. сб. 1956. Т.39(81), №4. С.491 524.

33. Ладыженская О.А. О нестационарных операторных уравнениях и их приложениях к линейным задачам математической физики // Мат. сб. 1958. Т.45(87), №2. С.123-158.

34. Ларькин Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983. 170 с.

35. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1978. 400 с.

36. Мельникова И.В., Альщанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // Докл.РАН. 1994. Т.336, № 1. С. 17-20.

37. Монахов В.Н. Встречные потоки решений вырождающихся параболических уравнений. // Мат. моделирование. 2000. Вып. 12, № 11, С.77-90.

38. Монахов В.Н. Возвратные течения в пограничном слое // Динамика сплошной среды. 1998. Вып. 113. С. 107-113.

39. Монахов В.Н., Попов С.В. Весовые оценки градиента решений сильно вырождающихся параболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т.5, вып. 2. С. 46-51.

40. Монахов В.Н., Попов С.В. Контактные краевые задачи математической физики // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 116. С.58-73.

41. Нахушев A.M. О правильной постановке краевых задач для параболических уравнений со знакопеременной характеристической формой // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, №1. С.130-135.

42. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1971. С. 7-252.

43. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Труды матем. ин-та АН СССР. 1988. №179. С.126-164.

44. Петрушко И.М., Черных Е.В. О начально-краевой задаче для уравнения с меняющимся направлением времени // Вестник МЭИ. 2000. №6. С.60-70.

45. Плотников П.И. Уравнения с переменным направлением времени и эффект гистерезиса // Докл. РАН. 1993. Т.330, №6. С.691-693.

46. Подгаев А.Г. О некоторых корректных задачах для уравнений переменного типа // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982. вып. 55. С.143-153.

47. Подгаев А.Г. О граничных задачах для некоторых квазилинейных параболических уравнений с неклассическими вырождениями // Сиб. мат. журнал. 1987. Т.28, №2. С. 129-139.

48. Попов С.В. Безусловная разрешимость первой краевой задачи для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. С.153-156.

49. Попов С.В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. Вып. 102. С. 100 113.

50. Попов С.В. Об одной краевой задаче со сдвигом для параболического уравнения переменного типа // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 116. С.83-94.

51. Пятков С.Г. О свойствах собственных функций одной спектральной задачи и их приложения //Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1984. С.115-130.

52. Пятков С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1985. Т.285, Ш. С.1322-1327.

53. Пятков С.Г. Свойства собственных функций одной спектральной задачи и некоторые их приложения // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики: Сб.науч.тр. АН СССР. Сиб.отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1986. С.65-84.

54. Пятков С.Г. Разрешимость начально-краевых задач для одного нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск, 1987. 30 с. (Препринт АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т математики; № 16).

55. Пятков С.Г. О некоторых свойствах решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени //

56. Пятков С.Г., Подгаев А.Г. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Сиб. мат. журн. 1987. Т.28, № 3. С.184-192.

57. Рабдель Н.И. О начальном многообразии и диссипатив-ности задачи Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) — 0 // Дифференц. уравнения. 1979. Т.15, № 6. С.1142-1143.

58. Романко В.К. Однозначная разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторныхуравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, № 2. С.324-335.

59. Романко В.К. Разрешимость граничных задач для дифференциально операторных уравнений высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1978. Т.14, № 6. С.1081-1092.

60. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ах'it) + Вх(х) = f(t) // Дифференц. уравнения. 1975. Т.11, № 11. С.1996-2010.

61. Свиридюк Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязко-упругой несжимаемой жидкости // Изв. вузов. Матем. 1990. № 12. С.65-70.

62. Сидоров Н.А., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при старших производных // Диффереренц. уравнения. 1983. Т.19, № 9. С.1516-1526.

63. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. -Новосибирск: Сиб. отд-ние АН СССР. Ин-т математики. 1982. 168 с.

64. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985. 105 с.

65. Терсенов С.А. О первой краевой задаче для одного прямо-обратно параболического уравнения // Докл. АН СССР, 1991. Т. 317, № 3. С. 584-588.

66. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир. 1980.

67. Федоров В.Е. Нелокальная краевая задача для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Актуальные ппроблемы современной математики: сборник научных трудов T.I. Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ. 1995. С.153-156.

68. Федоров Ф.М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т.2, вып. 2. С. 52-60.

69. Федоров Ф.М. Решение одной задачи с переменным направлением времени граничным методом // Мат. заметки ЯГУ. 1996. Т.З, вып. 2. С. 62-71.

70. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллипти-ко-параболических уравнений второго порядка // Математика. Сб. перев. 1963. Т.7, №6. С. 99-121.

71. Ando Н. The Cauchy problem for Scrodinger type equation with degeneracy // Tsulmba J.Math. 1992. 21. № 3. P.785-794.

72. Arena О. On a degenerate elliptic-parabolic equation // Communications Part. Equat. 1978. V.3,№11. P. 1007-1040.

73. Barbu V., Favini A. Periodic solutions for degenerate differential equations. Rend. 1st. Mat. Univ. Trieste. 1996. 28. P. 29-57.

74. Beals R. Indefinite Sturm Liouville problems and half- range completeness//J. Differential Equations. 1985. V.56, №3. P.391-408.

75. Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering// J. Funct. Anal. 1979. V.34, №1. P. 1-20.

76. Beals R. Partial-range completeness and existence of solutions to two-way diffusion equation //J. Math. Phys. 1981. V.22, №5. P.954-960.

77. Beals R. and Protopescu V. Half-range completeness for the Fok-ker-Planck equation //J. Statist. Phys. 1983. V.32, №3. P.565-584.

78. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur une equation d'evolution change-ante de type // J. Funct. Anal. 1968. V.2, №3. P.352-367.

79. Buskarova O.F. Solvability of a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU, 1999. V.6, №2. P.81-87.

80. Buskarova O.F. Solvability of a boundary value problems for a Schrodinger- type operator-differential equation with varying time direction // Math. Zametki YaGU, 2000. Y.7, №2. P.150-158.

81. Buskarova O.F. Smoothness of solutions to boundary value problems for Schrodinger operator-differential type equation with varying time direction // Math. Zametki YaGU, 2001. V.8, №2. P.93-102.

82. Case K.M. Plasma oscilations. Ann. Phys. (N.Y.) // 1959. V.7. P. 349-364.

83. Case K.M., Zweifel P.F. Linear transport theory. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969.

84. Cercignani C. Mathematical Methods in kinetic theory. New York: Pergamon Press, 1969.

85. Cercignani C. Theory and Applications of the Boltzmann 'Equation. New York: Elsevier, 1975.

86. Chen P.J., Gurfin M.E. On the theory of heat conduction involving two temperatures // Z. Angew. Math. Phys. 1968. V.19 P.614-627.

87. Coleman B.D., Duffin R.J., and Mizel V.J. Instability, uniqueness and nonexistence theorems for the equation щ = uxx — uxxi on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V.19. P.100-116.

88. Curgus В., Langer H. A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function // J. Differential Equations. 1989. V.79, № 1. P.31-61.

89. Doi S. Remarks on the Cauchy problem for Schrodinger-type equations // Commun. Part. Differ. Equat. 1996. 21, No 1-2. P.163-178.

90. Egorov I.E. On strong solvability of a nonlocal boundary value problem for an equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU. 1994. V.l, №2. P.70-74.

91. Egorov I.E. On smoothness of a solution to a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU, 1995. V.2, №1. P.98-104.

92. Favini A. Sobolev type equations // Partial Diff. Equations. Ba-nach Center Publications. Warzava. 1992. V.27. P. 101-109.

93. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Appl., 1913. V.9, №6. P.305-475.

94. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Appl., 1914. V.4, №6. P. 105-137.

95. Greenberg W., Van der Mee C.V.M. and Zweifel P.F. Generalized kinetic equations // Integral Equation. Opera/tor Theory. 1984. V.7, №1. P.60-95.105. van Kampen N.G. On the theory of stationary waves in plasmas // Physica. 1977. V.221. P.458-472.

96. Kaper H.G., Kwong M.K., Lekkerkerker C.G., Zettl A. Full and partial-range eigenfunction expansions for Sturm-Liouville problems with indefinite weights // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1984. V.A 98, №1-2. P.69-88.

97. Klaus M., Van der Mee C.V.M. and Protopopescu V. Half-range solutions of indefinite Sturm-Liouville problems //J. Funct. Anal. 1987. V.70, №2. P.254-288.

98. Lagnuese J.E. Singular differential equations in Hilbert space j j SIAM J. Math. Anal. 1973. V.4, №4. P.623-637.

99. Latrach K. Compactness properties for linear transport operator with abstract boundary conditions in slab geometry // Transp. Theory Stat. Phys. 1993. V.22. P.39-65.

100. Latrach K. and Mokhtar-Kharroubi M. Spectral analysis and generation results for streaming operator with multiplying boundary conditions. // Posivity. 1999. V.3, №2. P.273-296.

101. Nelson E. Lequation de Scroedinger et les integrales de Feyman // Colloque C.N.R.S., № 117, Les equations aux derivees partielles. 1962. P.151-158.

102. Pagani C.D. Studio di alcune questioni concernenti l'equazione generalizzata di Fokker-Planck // Boll. Un. Math. Ital. 1970. V.3, №6. P.961-986.

103. Pagani C.D. On the parabolic equation sgn(x)\x\puy — uxx = 0 and a related one // Ann. Mat. Рига ed Appl. 1974, V.99. P.333-399.

104. Pagani C.D., Talenti G. On a forward-backward parabolic equation // Ann. Mat. Рига ed Appl. 1971, V.90. P. 1-58.

105. Popov S.V. Nonlocal boundary value problems for operator-differential equations of even order // Mat. Zametki YaGU. 1999. V.6, №1. P.90-103.

106. Popov S.V. On a boundary value problem for a singular parabolic equation with changing time direction // Mat. Zametki YaGU. 1994. V.l, №1. РД13-128.

107. Popov S.Y. Smoothness of solutions to the boundary value problems for a high-order operator differential equations // Mat. Zametki YaGU. 1998. V.5, №1. P.106-112.

108. Pyatkov S.G. On the solvability of a boundary value problem for a parabolic equation with changing time direction // Sov. Math. Dokl. 1985. V.32, № 3. P.895-897.

109. Pyatkov S.G. Some properties of eigenfunctions of linear pencils and applications to mixed type operator-differential equations // Partial Diff. Equations. Warszawa: Banach center publications, 1992. V.27. Pt 2. - P.373-382.

110. Siewert C.E. and Zweifel P.E. Radiative transfer, II // J. Math. Phys. 1966. V.7. P.2092-2102.

111. Sobolev V.V. Light scattering in planetary atmospheres. Oxford: Pergamon Press, 1975.

112. Van der Mee C.V.M. Semigroups and factorization methods in transport theory. Amsterdam: Math. Centre Tract., 1981. №146.

113. Wang F. Blow-up of the solutions for the initial-boundary problems of the nonlinear Shrodinger equations // Appl.Math. and Mech. Engl. Ed. 2000.21? № 11. P.1338-1340.

114. Webb G. A model of proliferating cell population with inherited cycle length //J. Math. Biol. 1986. V.23 P.269-282.

115. Weder R. Center manifold for nonintegrable nonlinear Schrodinger equations on the line // Commun. Math. Phys. 2000. 215, № 2, P.343-356