Исследование методом дробных степеней проекционных процедур решения линейных и квазилинейных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

/Ко

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ АН СССР ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ.И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

_ ?

Зарубин Анатолий Георгиевич

УДК 517.968

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТРДОМ ДРОБНЫХ СТЕПЕНЕЙ ГРОЕВДИОННШ^ (ЦР01ЩУР РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫ^, И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

и / /' ■ /'

/,

• 01.01.02- - дифференциальные! уравнения и математическая физика ,

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

„ Свердловск - 1988

^осстеисл^с-с^

О /у п А/

С^ы Л 3. О/, м?.

Работа выполнена в Хабаровском филиале Новосибирского электротехнического института связи им. Н.Д.Псурцева.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН Эст.ССР Г'.М.ВАЙНИККО; •

доктор физико-математических наук, профессор П.П.ЗАБРЕЙКО;

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник А.В.КРЯШ'ШЖЙ.

Ведущее учреждение

Московский энергетический институт

¿Защита состоится

190

г. в

час. на заседании специализированного совета Д 002.07.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики УрО АН СССР (620219, г. Свердловск, ГСП-384, ул.С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО АН СССР.

Автореферат разослан "_____"_.193_г."

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат.наук ¡¡. «I.И.Гусев

г. г! КШ'Л ' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ '

I тдел I

ссеДст^шпыюсть темы. Одним из наиболее ваяных методов ис-зледонания и приближенного решения краевых задач для линей-шх и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, фавнений в частных производных, разных задач механики и т.д. шляются методы, которые принято называть проекционными. Эти !етоды восходят к известным исследованиям И.Г. Бубнова, Б.Г. "алеркина, В. Ритца, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, М.З. Кел-1ыша, Г,И. Петрова, Л.Б. Канторовича и других авторов.

В проекционных процедурах решение изучаемой задачи ищут в 1иде линейной комбинации заданных функций с неизвестными :оэффициентами (эти коэффициенты,- постоянные числа в пробле-;е типа краевых задач для эллиптических уравнений, а в слу-ае эволюционных задач они являются неизвестными функциями ремени). Для отыскания неизвестных коэффициентов конструиру-т функцию - невязку и требуют, чтобы её проекция на некото-ые специальные пространства функций была равна нулю.

Проекционные методы просты и удобны как для теоретического сследования, так и в реализации приближенных вычислений, плоть до эффективного счета на ЭВМ.

Получение априорных оценок погрешностей в проекционных роцедурах представляет существенные трудности. Здесь широко звестны, например, работы H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, гносящиеся к краевым задачам для обыкновенных дифференци-чьных уравнений. Принятая в настоящее время общая идеология 5основания применимости проекционных процедур, предложенная ,Н. Боголюбовым и М.В. Келдышем, основана на установлении содимости приближений, полученных проекционной процедурой. ?от подход используется в настоящей работе. С общих позиций юекционные методы изучали Л.В. Канторович, С.Г. Михлин, И. Польский, М.А. Красносельский, М.И. Бишик, Г.М. Вайник-I, И.К. Даугавет, П.Е. Соболевский, A.B. Дясишкариани, А.Е. фтынюк, А.Ю. Лучка, И.И. Ворояич, Ю.А. Дубкнский, Браудер, '•тришн, S.-JI. Лионе, Томе, Брембл, Шатц, Гловински, Шульц, [ден, Стингер и другие авторы..

Ь монографиях следующих авторов: С.Г. Михлина; М.А. Красносельского, f'.M. Вайникко, И.О. Забрейко, Я.Б. Рутицкого, B.ft. Стеценко; Г.М. Вайникко; Г.И. Марчука, В.И. Агошкова; Ж.-11. Обэна; Р. Варги; X. Гаевского, К. Ррегера, К. Захариу-са отражены основные достижения в исследовании проекционных процедур различных классов уравнений.

При описании каждого достаточно обширного класса краевых задач в соответствующих уравнениях выделяются главные члены. Понятие главного члена всегда требует специального определения. Один из путей Еыделения главного члена основан на теории дробных степеней операторов. Метод дробных степеней операторов развит лишь в последние десятилетия в работах ряда авторов, таких, как М.А. Красносельский, С.Г. Крейн, П.К.Соболевский, 11,11. Забрейко, В. 11. Глушко, Балакришнан, Хайнц, Като, Иосида, Коматцу и т.д. В ряде ситуаций метод дробных степеней оказался простым и эффективным.

В связи с этим представляется актуальной разработка такого направления в теории проекционных методов, которое позволило бы конструировать и обосновывать проекционные процедуры для широких классов задач с удобными главными членами и подчиненными им в смысле дробных степеней операторов дополнительными членами.

Цель работы. Разработать основанные на аппарате дробных степеней операторов общие методы исследования проекционных процедур приближенного решения линейных неоднородных уравнений, квазилинейных неоднородных уравнений и отыскания собственных значений и собственных функций несамосопряженных уравнений с линейной и нелинейной зависимостью от параметра.

Для указанных задач найти эффективные оценки быстроты сходимости проекционных процедур, которые (оценки) учитывают порядок подчиненности неглавных членов в смысле дробных степеней.

Довести, анализ до приложений к конкретным задачам математической физики.

Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации предложен новый единый подход к анализу сходимости

проекционных процедур решения линейных и квазилинейных уравнений общей природы и спектральных задач для лилейных операторов с линейно и нэлинейно входящим параметром. Метод основан на выделении "главных" членов в соответствующих уравнениях, а также дополнительных членов, обладающих свойством подчиненности. Предложено использовать для описания подчиненных членов специальные неравенства с дробными степенями главных членов. Показано, что такой подход позволяет построить эффективные проекционные процедуры численного решения. Анализ построенных проекционных процедур доводится до эффективных оценок быстроты сходимости. Выясняется, что эта быстрота определяется тем, какая дробная степень главных членов задачи служит оценкой подчиненных членов. Польза такого абстрактного подхода станет очевидной, когда абстрактные результаты применяются к конкретным задачам математической физики. На этом пути удалось получить ряд новых результатов по разрешимости и оценкам скорости сходимости приближенных решений для ряда конкретных линейных и нелинейных задач из следующих разделов математической физики и механики: динамики океанических течений, гидродинамики и тепломассообмена, изгиба пластин, оболбчек и балок.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при численном решении указанных выше задач математической физики и механики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 3-м Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1968), на 8-ой межвузовской математической научной конференции Дальнего Востока (Хабаровск, 1970), на конференции "Методы алгебры и функционального анализа при исследовании семейств операторов" (Тарту, 1978), Воронежской зимней математической школе в 1975, Дальневосточной математической школе в 1976, на семинарах в институте проблем управления АН СССР (Москва в 1979, 1982, 1984, 1985), в Московском энс;ргетическом институте в 1985, 1986, в Хабаровском политехническом институте в 1980, ■ 1981, 1983, 1984 и на ежегодных научно-технических конферен-

циях Новосибирского электротехнического института связи 1582 - 1987, в институте математики и механики УрО АН СССР в 1987.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [.I - 18]. Работа [_7] опубликована совместно с Ю.И. Заго-родникоым, прячем результаты, полученные Ю.И. Загороднико-вым по методу сеток, в диссертацию не включены. Работа опубликована совместно с Нго Зуй Каном.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы: §§ I - 3 в главе I, §§ 4 - 5 в главе 2, §§ 6 - 7 в главе 3, § § 8 — 10 в главе 4. Нумерация формул, теорем и т.д. состоит из двух чисел: пер-Еое число зго номер параграфа, второе - номер формулы, теоремы и т.д. внутри параграфа. Объем диссертации (совместно с библиографией) составляет 327 страниц. Библиографический список включает 320 наименований литературных источников.

СОДЙЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследования, дается краткий анализ современного состояния изучаемых в диссертации проблем.

Глава I. иССВДОВАНИа МЕТОДОМ ДРОБНЫХ СТЕПЕНЕЙ ОПЕРАТОРОВ ПРОЕКЦИОННЫХ ПРОДВДУР ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

В первой главе изучаются проекционные процедуры решения линейных уравнений

Л\с + Ки. » к (I)

и

гссЬ + ЛсЬисЬ ~ О (2)

В уравнении (I)А - самосопряженный положительно определенный оператор, действующий в сепгтзабельном гильбертовом пространстве и одновременно непрерывный как оператор из сепа рабельного гильбертова пространства Нх в~}{ , нричэмН плот

~ й -

но и компактно вложено в}{ ; операторК считается подчиненным некоторой степени оператораД в следующем смысле: Ъ 1-х

иКи |/н« Н цАгс1/н |16ЯН (и.еНл) , (3)

где с! - положительная постоянная, а число "С принадлежит Со,1) и не зависит от тс . При выполнении (3) говорят, что К. подчинен Л с порядком т .

Для уравнения (Г) исследуются проекционные процедуры: метод моментов и метод Бубнова - Галеркина. Рассмотрим метод моментов. Относительно оператора сделаем следующие предположения:

последовательность 4,3.,,,. ) полна

в И ;

- ортопроектор вХ на линейную оболочку элементов

оператор принадлежит пространству и дпл

операторов и Д1 определена функция £1«-) с помощью равенства 0 « <1 А'Ч!11„• .4 Функция $ но стремится к нулю при п. -ь о- , так как А самосопряжен и вполне непрерывен в Н . Она будет одной из характеристик оценки скорости сходимости приближенных решений найденных по методу моментов. Второй характеристикой будет показатель подчиненности Ъ из (3). Метод моментов для уравнения (I) приводит к уравнению

А^ч + ^Ктс^Т^ к, л^-*...* ^ «д. ..(4)

В дальнейшем все постоянные, не зависящие от номера , будем обозначать буквой С, . .

Теорема 1.1. Пусть к £ Н и(А+К> 6 5*дН,Ц£) • Пусть подчинен Д с порядком т . Тогда найдется таксе целое н.л'ч котельное число <ъа , что при каждом ■> п.„ уравнение (4) однозначно разрешимо и для приближенных решений чс^ справедливы неравенства:

лР

Норка невязки "о^.- Ли^-* ^ стремятся к нулю при

о? . Метод моментов для уравнения (I) устойчив.

Если \<_е 1.Д* ) и решение -и. уравнения (I) принадлежит

Приведем одно из прил.о-кениГ теорем.н 1.1. для краевых задач.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

мГ^^ 1- 11 р. ^О^Г-Л (5)

¡,»с> '

при линейных однородных краевых условиях я-м -1

21 (а ^ С-11 + = О , г- ^ ат, .

Иоложш/. Н ч~р) , где V]/1 ч~р) -множество

функций из пространства СЛ. Соболева , удовлетворя-

ющих краевом условиям (6). Ка^х" <г/»> определим оператор А дифференциальным выражением .Аг*. = (-¿Г*-иЯ"1' . В методе моментов длн задачи (о) - (6) возьмем в качестве )

полиномы степени £ , удовлетворяющие: условиям (6).- То-

гда - множество полиномов степени не вше п. и р„ - ор-топроек-гор в на , стезчщвй каедой функции у из отрезок ряда ¿урье по полиномам Леаандра,

■ Теорема 1,Г!, Пусть Яг Ц, и ?;.{*.} < •; ) принадлежат и оператор Д самосопряжен и положительно определен о на «•'■' • Пусть однородн.чл задача (Ь) - (5) имеет только нулевое решение. Тогда ¡гайдется такое число п., , ч-го пси каждой -х-* ирисликешше решении, построенные по методу моментов для задачи (К! - (6) однозначно разрешили. Л?и<$ли*ен-чыз решения сходятся ециногс&нному решении "1 г. «шдачк

(5) « (б) по норме ярог1?«!1ет*а " справедливы саечки

езг^«») - щл » ¿п. ;> .«-лг С, р^ & '¿ъ-з

Накладывая дугусни :•<; гл.г сч р.- г.ч ч ■->± .'.ш

теоремы 1.1 мояшр получать теоремы подобные теореме 1.3 для задачи (5).

Ксследуе;.! теперь проекционную процедуру - метод Бубнова ~ Галеркина. Предположим, что для операторасуществуй1! более просто!! по своей структуре оператор В со следующими свойствами:

операторы А и В сходные в К , т.е. А и % положительно определенные самосопряженные операторы в гильбертовом пространство К с оЪпстями определения 1> сД} Э с 8) = НА » операторы Д и образуют острый угол, т.е. для любого элемента £ из Нл выполнено неравенство

5 тяА^Ни> о ^ 5 4 .

п Н 1 Н

Понятие острого угла между двумя операторами ввел П„Ё. Соболевский (Об уравнениях с операторами, образующими острый угол// Докл. АН СССР. - 1957. - Т. 116, № 5. - С. 754 - 757).

Пусть Н1) и 6.5 - полная система собствен-

ных элементов оператора В , расположенных в порядке возрастания собственных значений :

Ве4» Л5св , о<\^\х« , + & .

Пусть - ортопроектор вЦ на "К^зракЧе.,,- Метод Бубнова - Галеркина приводит к уравнению

УМк^Л^^Л , (7)

Теорема 2.1. Пусть к 6 3£ , <.Л*К У* <£ А Н,Нц) и оператор К подчинен операторуД с порядком Т , Тогда найдется такое число п.а , что при каждом гг.5 и. 5 уравнение (7) однозначно разрешимо, приближенные решения сходятся к пл. единственному речению пс уравнения (I) по норме пространства }{4 и

> л***

егг^-гс)/)^ , тв-х (г,у>) , 10, 1) ,

1орма невязки к. стремится к нулю при ц.-*-« .

Летод Бубнова - Галеркина (7) для уравнения (I) устойчив. Проиллюстрируем теорему 2.1 на задаче

1-1Г(риуи^ю^+Кт*), Ьск), (8)

■«-'"ю) -и^и-О, 5-оГ^, (9)

где К - любой линейный интегродифференциальный оператор такой, что о К гг. и * |ТЦ№1 , ъ - оТд^Г

па 1гр> определим операторы Д и £ дифференциальны!,¡л выражениями

пи 3 С-±> (рю-и. } Си. - (-1) тл ->- Л и. л

где И- - достаточно большое гюло хптелыюи число.

'Гсорема 2.2. Пусть '¡ункцин р1Х> непрсгрыЕЯО дифференцируема па 1.0,1) и р (х)-й. р0>0 • Пусть однородная задача (В), (У) лме-от только нулевое решен, ¡и. Пусть 1> д. .Тогда плетен такое число , что пр:: каждом п.*. «.„ при-бплкемийе уравнении, построенные но ммолу Бубнова - ('олер-кина дли задачи (В) - (5), однозначно разрешимы. ПриЗлихен-нпе репонич сходится к единственному решения тс зьдзчи (Ь) -

(У) но норме г.рострабства и

- * п ___

* »1*4. '

'¿ъоугш. 2.1 и^амн^с-гся так«;о к различным краевым задачам дль уравнений эллиптического типа. В качестве примера рассмотрим одну задачу и области с негладкой границей. Пусть Л - равнобедренный треугольник О < н < х. < Л . Исследуем следующую задачу Ди;,,:чло

Приближен юа решеше задачи (10) находим в виде суммы ц. а

собстаошгне функции задач.; Дирихле для уравнения Лапласа.

Пусть и 6 непрерывны я однородная задача -Сх0) имеет

только нулевое р"гимио, и Мз^с ^ 9. • ^ этом <:л\":1п ад я

при'1л1ш;г«(ых решений гг(1. справе'утипп оценки

» чг

п." ^^ - С. и

- ;

Обратимся теперь к задаче Коми (2). В уравнении (2) само-' еопрякенныИ оператор Jiih) зависит от t , но предполагается, что область его определения не зависит от -4 ; при ка?кдом i оператор К сЬ) подчинен в смысле (3) оператору А (0) .

Предпологтам, что операторы А^-у и ß удовлетворяют следуют и м усл о в и ям:

операторы Act> и ß при каждом 4 из С О [Г ] сходны а К ; оператор j\rt) сильно непрерывно дифференцируем по -t ;

существуют такие числа тд О и mi > О , что , -tfy 3.

tnj tAlOi^) , Utbfc,«)» «0)-T;9 i

операторы Д t^i и £ образуют острый угол, т.е.

8а>н » №d>iSH , о < м. s .-{ .

В качестве приближенных решений задачи (2) принимаются ■ решения задачи

V^ ^.Mn^-fc) , -«„¡0)^0, (II)

где "K^Q-fc) = «.¿i^e., + ,.. t R.^ije,!,

Рассмотрим функции vir) tostsT) со значениями з И, » Пусть качэдая функция лг i-t) тлеет непрерывную производную со значениями вЦ , В множестве таких функций введем корму

va?3 w * '4 + ЬАihv thЦ J -fc ) ..

Пополняя данное множество по этой норме, получим гильбертово пространство ~Yf¿ { И, Нд) .

Теорема 3.1. Пусть И) иXib подчинен опе-

ратору /\{0} с порядком X . Тогда задача (2) имеет единственное решение iMt) из V/^ iH, И±) . Найдется такое число па. что при каждом задача (II) имеет единственное решение

из tH, Hi) и для приближенных решений -teK|-sj

верны следующие соотношения: ait •-it ¡1 д «ь а

а ь '

Переедем к построения метода Ротэ - Галерхина для задачи (2). Разоо'ьоч отрезок U0,'i'J на /V равных частей. Пусть ЧЦ-fc-) прин.иуючиг С с о,Т > НЭ • Положим £J ) . где -i *j ü-i ,

Зассчлтри».! иэс«едоттзльиосуь Ур--' m'-гний:

- o , s - ¿77^ ,

Здесь Я i5il(is), К г, * K С-¿s.) , а-сеточная функция | ¿ L еппрокекмяруе'г праву» часть >vi-fc) уравнения (2) с •голядком Kt , т.е. kt-fcj;)M с.д-Ь для всех .

Решение y задачи (12) 'Зудем называть приближенными решением задачи (2), построенным по методу Poro - Галеркина.

Теорема 3.2. Пусть Ki-fcj подчинен оператору А (о} с порядком X и оператор 1С сильно непрерывно дифференцируем в ií . Пусть операторы A'ib и K/'ií) принадлежат пространству ¡í (.H»Hi), Ls-íO^T; Н )J • Пусть, наконец, функция К ti) непрерывно дифференцируема и Ью) принадлежит Ibt&/4(oj). Тогда найдечея такое число ft.-i.X3 , что при < и

при каждом n, урдлженпе (12) ¡шее? единственное решение. Для последовательности приближенных решений "V^ верна оценка

»<-?■»*<*»><,. с/"^.

где ijx.t) -- точное решение задачи (2), постоянная С- но зависит от C-*t и п. ..

Т"срс:.'п 3.1 и 3.2 применяются к различна пинэйким на-чапьно-кргеЕИ.» задача;.: дяч уравнений паряболи"о~гого типа с ¡гоэффкцисктамк, зависящими от "L . Приведем одчу ил таких сала ч. В цилиндр? Q » 10, 1)*10/Г) исследуем пг.рг.5ок11чесчсе уравнение

. ^ t1) < píx;b -, ) л <- К ib 1С - п. С X, i-)

с граничны?-! ;-елг)1!ие!п

и начальным условием

-Л 1-Х, о) = О . (Ь)

^Лусть Их и H^YJj"'irp) . iofvri ^vIlH, НлЬ

' «jf**'* ' гДе через irp> обозначено ыжтст»

функций из "W*"*/* ,. удоиодгьорякцях' условиям (14).- ilo-ложим

. , . «ч Í¡r>t> Л I Ivi) (,,

Al-bu. fpíSj-Mt-)x , il t Г1 U .

Приближенное решение ячпэчи (13) —.Iö) вдм> n лад»1 c.;v. a¡

»«-t«*) 2-41*> •*•... t , г*», ест:> за-

дачи Коду'

+ JíAi-b T Jvt-bu кЦ*T К u. O. -'í-'t

Теоиема 3.3. Пусть фумамп ьмрнг непрерывнее

цзоизвозшн р #¿as>:£ ; и ангинарр Ц -, поищем pit/b)9- рч >0 - Ьусгь kir /ц np.tiWrnertlH Ц|«$ VI ,Т>ПЯ

1ЮЛО» d'ViännVif' -a. из V<3» »¡МОлИКЬО lií:_rc>l-t.-tlC .OVO

i¡ К <f> г H ¡ , í¿ cv, ß -2 í/, s o, /^ - í ,

Гогдй заду.г: .'18') - ()"■) тес- ec.w. Т.--У,■.{■)■} п.-1':ir. !хД-) m "\\Tf"l>t iQ) . Найдете* ~,ïk о? чип no -i..-, , чг-j иц,- кнкпоч ^»■ч-t, задача СХб) чмэот евинстввчное ргт-<нше uc^ty.-И и? Vyj"4'* . ,"л.ч enp?:r • оог'шзошт:

-Um. у гг. -U. !!. , - О _ ^ ¡I ,->

и -=» 1 'г n-i ь^

.»гв.х Jït^.fcj - .j.S-./^5^

•il О ^ V .л ) J

\ I! IJ^i - ir. \x -fc > if, r.» di Sj '-^n. ~

О * ' ' !-•>!>

¡етод г i r>_- .í • ■■ 1 л - pitK-(!C) длп 3Uii,a:;;i ].V. - (II)

Ш : .

Процедура Ротэ-Галеркипа для задачи (13) - (15) состоит в нахождении вектора (гс* , где

» а.л (&> + .. . + о-«.1"^ ) ,

где гс^ при каждом 5= есть решение уравнения

+ «-л4 , хс.* а о , Теорема 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 3.3 и 1)К • Пусть Ь(.5с/Ь> имеет непрерывную

производную по •£. с «-»лх ик'л < «*> и Ь. 1x^0) принадлежит

с-0.) . Тогда найдется такое число , что при

Ь'Ь^&'й-о 11 каждом а уравнение (17) имеет единственное решение -и^ . Для последавателаноети приближенных решений при. достаточно больших п- имеет место оценка скорости сходи-

Т*-а <~Т>(*А> + ^ ь

где чд. (■зс)Ъ) - точное решение задачи (13) - (15).

ГЛАВА 2. 11Р0|£КЦИ0г'Ш!; МЕТОДЫ В ПРОБЛКий СОБСТВЕННЫХ

ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ШОДДОШШННШ ОПЕРАТОРОВ С

ПОДЧшШЬШ СЛАГ'АьШШ

Вторая глава посвящена проекционным методам в проблеме собственных значений для уравнений вида

Агс- ч-Хго « М

А К + ^Хи. , (18>

А и + р Ктг = /ч* Л-а , (19)

где А - главный оператор, а 1< и К подчиненные ему операторы, соответственно, с порядком и ^ .

Метод моментов для уравнений (17) - (19) приводит к исследованию уравнений

Ал (20) .

Avc^^K^/;1^/^, (2D

где - Q^ + . ,. CU 4V ■

Пусть iVt^)= А + • Число fio называется собст-

венным значением уравнения (17), если уравнение .Асуч)10 имеет только нетривиальное решение. Множество собственных значений уравнения (17) обозначим через ¿д . Пусть ¿¡^ и - собственный элемент, соответствующий . Кратностью ¿c(¡7p) собственного элемента называют наибольшую длину жордановых цепочек, начинающихся с ^ . Канонической кратностью собственного значения назовем число f^O» где максимум берется по всем принадлежащих X-2-т А (р<>) • Теорема 4.2. Пусть К и замкнутый оператор £ подчинены А, соответственно, с порядком т и . Пусть t^ tXÍ* принадлежит ¿£tH, . Тогда справедливы утверждения:

1) для каждого собственного значения пучка А г/» J найдется последовательность собственных значений пучка А* З^К'/уЗ^Й такая, что -ъ прии-ъо» и, наоборот, кйждая предельная точка любой последовательности собственных значений пучка А + является собственным значением пучка А ср> »

2) из всякой последовательности нормированных собственных элементов пучка Аfií^ > отвечающих собственным значениям ¡Чем.—* » можно выделить сходящуюся подпоследовательность, и каядая сходящая подпоследовательность имеет своим пределом собственный элемэнт пучка .Д с^у) , отвечающий собственному значению , пучка A í/O ;

3) каноническая кратность каждого собственного значения

пучка Acj4) - конечна и, если при этом собственные

значения пучка А /ч?«. Я. сходятся к , то

»/W ^ » * е Cg ¿=

где гс - каноническая кратность собственного значения . Наряду с уравнением (18) рассмотрим "векторное" уравнение

Л г + ^ » 1 (Я I

(23)

где

А =

А О о Л

:К1 -[гя.г

Я-К"

гг.

Теорема 4.3. Пусть замкнутые операторы X и Я подчинены Д. , соответственно, с порядком Т и . Пусть уравнение V + А"14Й-К > А"1 { К-К^г О имеет только нулевое решение. Тогда справедливы утверждения I) - 2) теоремы 4.2 для собственных значений и собственных элементов уравнений (18) и (21). Кроме того, если - собственное значение уравнения (1Ь), то - собственной значение уравнения (22)

конечной канонической кратности; если р0 при п."» <х> ,

-1 _д и-Д-ОД.

ас. - каноническая кратность собственного значения . Обратимся теперь к (19). Наряду с этим уравнением рассмотрение

то

где

(23)

где

V

о к! =1 R о ю о J э ^ i. х R.

Теорема 4.4. Пусть замкнутые операторы К и R. подчинены А с порядком, соответственно, X и "5 . Тогда справедливы утверждения I) - 2) теоремы 4.2 для собственных значений и собственных элементов уравнений (19) и (21). Кроме того, если }-1о - собственное значение уравнения (19), то \v-~ собственное значение уравнения (23) конечной канонической кратности; если р о при п. 00 , то а. а. г ..ii-A-£>/ас

If*«*- i^ctgcw-O ,

"где гс. - каноническая кратность собственного значения ."

Для уравнений (17) - (19) рассмотрен метод Бубнова - Га-леркина. Для этой проекционной процедуры получены теоремы подобные теоремам 4.1 - 4.4.

В качестве приложении абстрактных теорем рассмотрены различные краевые задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Рассмотрим некоторые из них. Исследуем метод моментов для следую'цог краевой задачи на собственные значения:

(24)

кгх> и. ZZ р£(*>■«. ,

u.WC-X) - о, -е . . (25)

В данной задаче пространства }f , Hi »И" и ортопроектор такие же, как и в задаче (5) - (6). Теорема. Пусть коэффициенты иp^ix) непрерывны на

Î] - Тогда для собственных значений и собственных элементов задачи (24) - (25) верны утверждения теоремы 4.4, причем

'/Va"/*«» 'iCin- .> ¿smofltl^S).

Рассмотрим задачу о нормальных двумерных колебаниях вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости. Эта задача сеодится к спектральной задаче ( С.А, Габов, Г.Ю. Малышева. Об одной спектральной задаче // ЖВМ и МФ. - 1984. - Т. 24, № 6. - С. 893 - 899):

&.-И. + ^уДи» О Uxx - о, (26)

^Кя О. . (27)

Приближенные собственные значения и собственные функции будем находить по .методу Бубнова - Галеркина. Положим Ait s = , H = Li^iS.) , Hi-'Vfj^ (rj» ,

Теорема 5.6. Для задачи (26) - (27) верны утверждения теоремы 5.3, причем

| л«« +<$ г *

где £ сколько угодно малое положительное число.

Глава 3. liCCJI^'UBAiiHii ¡ДЙВДЯД ДРОБНЫХ СШкШИ OiluPATOPOH ПРОЕКЦИОННЫХ процедур ПРИЖКьНпОГО Решим КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ

.В этой главе рассматриваются проекционные процедуры решения квазилинейных уравнений

А г*. + ? vc - к (28)

и

гс^ +А(Ътч-£) + s ki+) , тМоЗ-=С>, (29)

где Ait) - главный линейный оператор, a J - нелинейный оператор, подчиненный A ft) в определенном смысле.

Исследуем проекционную процедуру ( метод Галеркина -Петрова) для уравнения (2д). Узловым моментом в развитии проекционных методов была идея Г.И. Петрова (Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ГШ. - 1940. - Т.4. - С. I - 13) использовать две полные системы элементов, когда аппроксимация решения производится по одной системе, а функция - невязка ортогональна другой системе. В данной главе эти две системы не произвольны, а связаны с некоторым оператором & , который является сходным с А и образует острый угол с_Д. . Предположим, что последовательность элементов ß 551,1,,,, )

полна вЭ{ и .Рл - ортопроектор в на j{ 4 г

= span. (yi} .. . , . Точное решение уравнения

^AksTJxc^L , VSf/"^ (30)

называется приближенным решением уравнения (26), построенным по методу Галеркина - Петрова.

Пусть В*1 e ¿UH, Нд) • Рассмотрим функцию ¡¡61и>г»Ь (J-IfoU; она стремится к нулю при п, «« .

Лемма 6.1» Пусть К. t ~j-f и сА+К) e^HJi* ) . Пусть линейный оператор? г К подчинен А с порядком X . Тогда найдется такое число п.„ , что при каждом п. * пс уравне-

'ние (30) одлозначно разрешимо и для приближенных решений справедливы соотношения:

-¿¿»л. ,) •«-II = о «^11=0, .

и-5« Н

г.

«А Ин $ сГ361»о] , т-а-рцг^З.) .

Определение. Нелинейный оператор ? подчинен операторам (-В>Е.а) (Оа*« 1) с порядком меньше единицы, если для всех 2 из }£4 выполнено неравенство ы г-

где оь^ч! , j= , а - непрерывные положи-

тельные функции на .

Определение. Тройка операторов с А, В, ? > принадлежит классу ^ (А) , если выполнены следующие предположения:

операторы А , В сходные в}{ и образуют острый угол в Н » оператор 3 подчинен операторам I В, В"*; с порядком меньше единицы;

оператор А"1^ <¿1ННА> и для любых а. из2£4 зерно неравенство

где > О и сд г о постоянные, не зависящие от -г и Л .

Множество решений уравнения (28) обозначим через ¿УЬ , а множество решений уравнения (30) обозначай через ¿71 ^ . Теорема 6.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) оператор? усиленно непрерывен и тройка с А, В, 3) принадлежит классу .

Тогда множество ¿72. непусто. Найдется такое число п.в , что ппи каждом п. ъ. п множество 1У\. * непусто и

о

5Ч-Р Р («п.,^) - 0 _ и. -ъ « ч йлг.

п.

2) если выполнено условие I) данной теоремы и оператор монотонен, т.е. для любых элементов!» , V. из

- ? у, -а - г О ^

Тогда JTV и ¿П^состояг при каждом л- только из одного элемента и для приближенных решений справедлива оценка д'Л i/д

»A u.)))H * с

3) если выполнено условие I) данной теоремы и оператор? имеет производную Урегае, обладающую следующими свойствами:

а) производная Фреше J' подчинена ß с порядком X , т.е.

tf^sßüi/* и г i)~L J а а Л •

б) остаток to (V, г-) дифференциала йреше оператора 3-удовлетворяет неравенству

»«¿KaMi^ÄCiR^BNbi,,), iUfl^sR,

где гслй.гЗ'с 1 ~> О при х о . а ^е [0,1) J

в) для любого it из оператор (А + 5 («.>')"4 существует н принадлежит £ t Н , Л х) > причем

+ , »«W^ SR .

Тогда для каждой последовательности приближенных решений fi-a0+i,... > сходящихся к u em- в верны .

оценки:

«А itt^- и.) с J Ospsi),

Обратимся к задаче Коши (29). Будем предполагать, что операторы Aft) и & такое же, как и в линейной задаче (2). Точное решение задачи

называют приближенным решением задачи (29), построенным по методу Бубнова - Галеркина. В (31) aJ(i>ei t,, . + a^itje» , а - собственные функции оператора В

Множество всех решений задачи (29) обозначим через fit , а множество всех решений задачи (31) обозначим через п . Теорема 7.1. Пусть выполнены следующие условия: I) оператор 3 вполне непрерывен и подчинен операторам

vfe,В4') с порядком меньше единицы;

2) для любых -itrfc) H3"WitH,Hi) выполняется неравенство

(.7u.it) гес-4)) гttié,) o<m..<'¿

■» 'н 3 Н J

Тогда множества j}\. и при каждом ru непусты; каждая последовательностьu.fejnn(n=n ti,., , > компактна b'WjíH^Hj) и каждая ее предельная точка является решением задачи (29).

Если вместо (32) выполнено условие монотонности для 3 , то задачи (29) и (31) однозначно разрешимы; последовательность приближенных решений i-t^t-fcj сходится к точному со скоростью

su.p* Д - «, „^ i * с у"'

■с "о "

3) если выполнены условия X) - 2) данной теоремы и оператор ? имеет производную Шреше со следующими свойствами:

а) производная Фреше подчинена оператору с Jt * с порядком X , т.е.

«L « и и/)*'*" ^ < R. ,

х

где г С о, ±) и не зависит от а , гс и Я ;

б) остаток со(V, -г) дифференциала &реше удовлетворяет неравенству

«иду,г^гсс*,«У^^Й, (^¿Й,

где «хсй^чо1--» О при г.о , а >) принадлежит [о, 1) ;

в) для любого элемента гс из выполнено неравенство

НУ? + 3\и{ь>)1й. и .

4х "л а

Тогда для любой последовательности гс^сЬ) из сходящейся к гс<.1т> из М- по норме пространства "У/^ справедливы следующие оценки:

«А (они - ч>1|

L

ícrv\ .«л«»«*.

< с. \

Приближенное решение задачи Коши (29), построенное по методу Ротэ - Галеркина, есть вектор , каждая компонента которого есть точное решение уравнения

(азу

Теорема 7.2. Пусть выполнены следующие условия:

1) оператор У вполне непрерывен и подчинен операторам

с порядком меньше единицы;

2) для любых гс IЬ) из 1Н,Ид> выполнено неравенство

Тогда для любого £ 4 из Н при д-Ь < 4 уравнение (33) имеет по крайней мере одно решение -V* из Л"-. Если же кроме условий I) и 2) выполнены условия:

3) оператор 3* монотонен .и дифференцируем по Щюше, производная Фреше У удовлетворяет неравенству

Т ^

£ и ? СтыЛ» // н_,н Л * ус

для всех г из шара и 2 с-^О )1 ^ 3 К. ;

4) функция ¿1 1.-Ь> имеет непрерывную производную к. ^ , причем и 3\о> принадлежат I) еА>/л(0)) .

Тогда при любых д -Ь < и любом и- имеет место оценка скорости сходимости

где гс сЬ> - точное решение задачи (29).

Общие теоремы данной главы иллюстрируются•приложениями к различным краевым задачам для квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений эллиптического типа, а также к начально - краевым задачам для квазилинейных уравнений параболического типа. Рассмотрим некоторые приложения. Рассмотрим краевую задачу для уравнения Бюргерса

с ии^ = Й,(х) , -и. и?? « ии>= О. (3-1)

В методе Бубнова - Галеркина для задачи (34) в качестве ко-

ординатных функций возьмем . Пусть .

Тогда множества ЛЪ и Ш задачи (34) при каждом я- непусты

й -€¿»1-1. р (-1Сп-> а О

II -->-=«• е

Если же и кн^ Ш , то для приближенных решений 'ч.^ верна оценка ^

~ 1С "уц-1 - с. къ . д<

Рассмотрим шаряирно опертую по контуру прямоугольную пластину с размерами л- , ё> , лежащую на упругом осноезили. Известно, что изгиб пластины описывается краевой задачей

/чг + ^ 1С + я И* - (V { ~ о (35)

Пусть к £ 1+«. 01) , а А-го , ръ О • 3 качестве координатных функций в методе Бубнова - Галерки.чг. для (35) возьмем - íLr^-¡c.jtIa.'x. • ПРИ этих предположениях мно-

жества /Л- и задачи 1.35) при каждом п- состоят только из одного элемента и для приближенных решений гс справедливо неравенство

Рассмотрим пример начально - краевой задачи

1 $

~ МС + 1и-| ЬС а (35)

Ч-ИХ,^*)) «,= О , ТССХ.,\},С>) = О , (37)

где й. - равнобедренный прямоугольный треугольник оч .

Для задачи (36) - (37) исследуются проекционные процедуры: метод Бубнова - Галеркина и Ротэ - Галерккна. Если ¡и й и о & р О, , то для приближенных решений , построен-

ных по методу Бубнова - Галерккна, верна оценка .

3. Т 3. л

& Ц \СЛ- гс ¡1 + [ т гс-сЦ « ьгС " ■ь ->0 ¿»д

Если Ь имеет непрерывную производную А, ^ и

принадлежит сЛ) , то для приближенных решений •д-1 , построенных по методу Ротз - Галеркина для задачи (36) - (37), верна оценка

Suf till - Twia.^^iJI tb* ) y

гдо at(X^^i j - точное решение задачи (3S) - (37).

Глава ЛВШЖШЯ К ЭДДЧМ МЗХАЬШИ.

• В этой главе результаты предыдущих глав применяются к ря-1 ду краев/,¡х и начально-краевых задач из следующих разделов математической физики и механики: динамики океанических течений, задач гидродлнаылкл и тепломассообмена, задач изгиба пластин, оболочек и балок. Приведем формулировки некоторых утвержден!!'?, получение в данное главе.

Стационарные течения в баротропном океане постоянной глубины R. , с учетом придонного трепня, описываются следующей системой уравнений ('..¡арчук j'.ll. Числэнное решение задач динамики uti/.ocfsepu и океан;.-. J.'.: IS?'»):

-- t jilt U -f - L , tUO u = о (33)

гдо M-'iSA'i - вектор, компоненты которого сс?.:сят ¡к ос-редн&шк.-< ни ьоргтилб ксх/л wem* скорости течения; "t - коэффициент придошого г рения. J ¡усч ь Л - .гвумерлая, ограниченная, односвязная облает* с кусоино-глаусо;' границей. Считаем, что граница области i£ состоит из конечного числа кривых дт'.щы диф|eps:щируеаы.., причем

виутоейН'ЛЙ угол ь точке перзееч-зник криви* "Wlj. и '"b.ft itx удоьяетвсркс/ иерчвепстгу 1>< 0 6 Л . J' Cist.'} присоединим

граничное услоил >

^ = ° ■ ^

Приближенное р°ше»<ир задачи (Ьь) - (39) находим в виде суммы ч?-,,." о, t tt> a-^i-c^S^ , гдо е. txj являются

реыениа...и .адд'-.чи

- и д £. 1X5 г р' v-p. -Л с u) cU^e «о, е S - с

а неизвестные коэффициент! i а, определяются из enem у нелинейных алгебраических уравнений

- -

1'еорома 0.5. Пусть А. сх> c\s t-fi.) . Гогда задача (ot»)-C!S) имеет единственное решение д. ил '10?-iSi) . Система-(40) при кг ;кдом tv однозначно разрешима. Приближенные рсис-иия сходятся к точному решения 5. по норме прост-

ранства iv^ 1Д) и

к щ. - iv Н п ч 1. й еЯ-

iv^ - n.J-1 ■»

Пусть океанический бассейн имеет прямоугольную форцу SL -x<ii<7<l< 1 ) причем Г=фх/а)е1)Л-, - жид-

чая граница, й этом случае получаем следующую задачу:

jt £ лг - % ( \ ? и. | tt^ ) 'х- г ( } v и.) гс'^ )' = /> u,j>, (41>

•а^^о, = (42)

Пусть последовательность Ys* ü t^e'Wi trj>)j полна

в LjJb и T?„. - ортопроектор в на н4 * yt>,,. •

Положим g t»v>» \s(t>3~ (!"?«.> . Приближенное решение

задачи (41) - (42) находим в виде? суммы ... + П.* <f>n ■

где т-Ц^СЗ^у) ест;'' P!-"-'Glil!^ Уравнения

/|А1«и.+ (43)

Георема 6.6. Пусть • Тогда задача (41) -

(42) имеет единственное решение ис. из W^ tr/>) . Уравнение (43) при каждом п. однозначно разрешимо и приближенные решения сгодятся к решению задачи (41) - (42) по норме , ноичем

Рассмотрим надачу о нахождении вектора ч.tot,-t) удовлетворяющего уравнениям

^[•ftAÜ+f k., й. О ^ (44)

граничном'/ и начальному условиям

4s Ä 0} ИгО ■ (45)

1!лчбли-»внн1'е решении данной задачи находим по методу Бубнова - I алеркина ч Ро,лэ - Галерутп, В пррвпу случае гочучсем

задачу

^L-rVj^^U'vvWvW> <4б)

где = а ¿1-Ь)Сл+ ... + Rnti>en , a - ортопроектор в Га на Зх - .замыкание в бесконечно дифференцируемых финитных в Л, соленоидальпьк вектор - функций. Второй случай приводят к системе

cíb¿ - тс™) - Р TjP, + tí^iHj (47)

+ TJ?3 , X » 0,

Теорема 8.7. Пусть X.^t') fcX^ . Тогда задача (44) - (45) имеет единственное решение 0.. Сл/Ь) из M^iQj , задача (46) однозначно разрешима при каждом п. и пркблиаешне решения сходятся к решению и- по норме W^1 <. G;) , причем

afixV * * с. С, „

• Если же К. имеет непрерывную производную А,и к cx^t) £ й. W¿ til) » то уравнение (47) при каздом и. и малых ¿i однозначно разрешимо и для решений it* верно неравенство

- с Clál i- Х"^ ) .

Для уравнений (44) исследуется такие задача о нахождении периодических по решений.

Широко распространенным методом изучения стационарных океанических течений является метод полных потоков. В этом случае океанические течения описываются уравнением (Ильин A.M., 1Самепкович В.М. О структуре пограничного слоя в двумерной теории океанических течений // Океанология. - 1964. - Т.4, ® 5. - С. 756 - 769)

[1Д te + "Ни/дг*/ , (43)

Для уравнения (45) рассматривается несколько постановок краевых условий, причем в каздой задаче область , занимаемая океаном, обладает определенными геометрическими свойствами.

.Задача 3. Найти решение м- уравнения (40) из'-пространства (.Síi , удовлетворяицего краевым условиям

ц со^)* 0J (49)

Пусть последовательность л1^ * f^fW^ up ; s*i,iJ.,.'i полна в La. и - сртопроектор в на = • П0-

ложим mitï^t I-T?«.)® • Приближенное решение по мето-

ду моментов для задачи (48) - (4S) находим в виде суммы

a_j + ,,, + а.л (f^ , где ic^ есть решение уравнении

а Т^ k. {tU)

Теорема 8.9. Пусть I» е . 1'огца множества ÏYI и Л1«. для задачи (tb) - (49) при достато чно боиь.иих непуста и

&k,p f о

-ic.™ л<е

то п Л1л состоят точько из одного зл^менгл и

" гсп.- * с С

Рассмотрим теперь рьд линейных и ндлинг-Яшк зудач, связанных с конвективным движением жидкости в сосуде.

Пусть твердое тело с полостью, целиком заполненной не— равномерно нагретой яидчостмэ, свободно зрацаегсп около не-подпькно»', точки, о приилизечии Буссмнеска, посла линеаризации около |'0110:,;еш1я равновесия, уравнения, граничные и начал, нчз условия имеют вид Ll(j]î

лг1 + = + ДУ + } et((51)

9{ - П'Л&9 * П~Л(кл,ч > - f г , H * nSG фд Sji * v J л + nfîJç vk^ï 9-Jsi \ = 1Л t

Приближенное решение задачи (51) - (52) находятся по методу Бубноча - Галеркина и Ротэ - Галс.ркина.

Теорема 9.1. Пусть с f t , , * L^ * . Тогда

задача (51) - (53) имеет единственное решение сv, 9 , Zo ) из i «"Мг'1 • Найдется такое число п.0 , что

при каждом а* пв приближенные уравнения, построенные по методу Бубнова - Галеркина для задач,5 (51) - (63), однозначно разрешимы. Прлблтк.г-иые решения tv^ > сходятся к решению по норме пространства и^1»^1'1! причем

Если искать решение задачи (51) - (53), зависящее от временя по закону , то приходим к спектральной задаче. Дня получения спектральной задачи устанавливается характер спектра и его расположение на комплексной плоскости, • а также исследуется метод Бубнова - Галеркина,для приближенных собственных значений найдены оценки скорости сходимости.

Если через v * (.v^ у^ у^Pt3t) обозначить скорость, температуру и давление, то состояние стационарного теплового конвективного движения вязкой несжимаемой жидкости описывается системой (Гершуни Г.З., Жуховицкий S.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: 1972):

*30 *?sJt л (54) * to., ve) = F(x> г Иь-Эц, =-0. Задача. Найти пару функций i и., 9) , принадлежащих

, удовлетворяющих уравнениям (54) и краозым условиям

Ч-глв е1тмг.= °- (55)

Приближенное решение задачи (54) - (55) находим методом моментов. _

Теорема 9.3. Пусть { с f-.l-Hi , F с • Тогда задача (54)-(55) имеет по крайней мере одно решение. Найдется такое число п. в , что при каждом иг- п.0 приближенные решения, пс-"строеннае по методу моментов для задачи (54) - (55), имеют по крайней мере одно решение и для приближенных решений

С*?«. верно соотношение

1

мл и е при эчо.л

+ /¿и^«+ §г,1)<

ТО для ПрИбЛ1'.Ж(?1!НЫХ Р'?..'1Й;Ч1Й вер<л оцеи:са

И V !| их.* * «^«"^г4, ? = 0; .

Рассмотри:.! задачу об изгибе пластин и оболочек а одномерном случае при шарнирном закреплении границы. Изгиб описывается следующей краевой задачей:

I* ч ~ г '' А _ '/ 3 I , с,- \

1с + + 3 - ^Си. ] tг1,lz = Мх), (Ьо)

1С Ю> а -ЛС1) = ю"(о ) = -«-'''(А) =. о. (57)

Здесь и г 0 неотрицательные числа. Положим з Вц*и,!". Приближенное решение задачи (56) - (57) находим в ьиде суммы

гслсх) « О.^ 5ыгЛх + ... + 3 и п. Мх „ где пс^ ость решение уравнения

< + = ^Л . <58>

Теорема 10,1. Пусть /г,х>6 иь „ Тогда найдется такое число п. 0 , что при качсдом множества /Н. и т непусты

и е^ Р ( г; ¿уЬ } = О ,

и, -»> гс „ ^ -г

мли же при чтом Э-^^г З^Мо.* \>0. 04>0 » а - -и- !/ ^а- а е. пГ а .

Уравнение изгиба прямоугольной пяастнш с учетом статической нелинейности имеет зид

"> У у в

ласвиз услокия эадаигея следующим оирасой:

' Положим Аи. * В и. - Д. и. ; £п - ортопроектор в ка 1

я&рс^) • Приближенное уравнение для задачи (59) - (60) имеет вид

^ + т^и . (61)

Теорема 10.2. Пусть Ь. с Ь^Л) . Тогда задача (59) - (60) имеет единственное решение ас. из\\^(гр.) • Приближенные уравнении (61) однозначно разрешимы при каждом п. и они сходятся к решению пс пс норме пространства "V? д , причем

!1 гс^ - II -^-х ^ с. пГ ^ .

Изгиб тонких пластин описывается уравнениями Кармана (Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: 1978):

«I ?,«]■»• к , . = ~ , (62)

где РД = Ц Г'; - Ц* р; + { - * ^ . Дня системы

(62) рассматриваются различные краевые задачи. Приведем одну из них. Найти пару функций I и., 5 ) из I, удовлетворяющих системе (62) и краевым условиям

Теорема 10.3. Пусть к <= • Тогда задача (62) -

(63) имеет по крайней мере одно решение (и., Ц" > из*^^ х ^ , -Найдется такое число п-0 , что при каждом приближенные уравнения, построенные по методу Галеркина - Петрова для задачи (62) - (63), имеют по крайней мере одно решение, причем ^

&ли же при этом « к Я < V? I ±- /О4 с еЦ.*™ а 5" А . то

множества ¿П- и <Г*Т- ^ при п. п.^ состоят только из одного элемента и для приближенных решений верна оценка

V*

»«у,* + Ч 5 и^х « С с $ 1*>Т

СПИСОК РАБОТ АВТОРА 1

содержащих основные результаты диссертации

1. Зарубин А.Г. Об уравнениях пограничного слоя в двумерной теории океанических течений // Докл. АН СССР. - 1968. -Т. 179, № 4. - С. 798 - 801.

2. Зарубин А.Г. Задача о стационарной свободной конвекции// Жур. выч. матем. и матем. физ. - 1968.. - Т. 8, $ б-. -

С. 1373 - 1383.

3. Зарубин А.Г. Об одном классе нелинейных операторных уравнений // Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 184, 9 3. - С.830-833.

4. Зарубин А.Г. Разрешимость и сходимость метода Галеркина для уравнений гибких пластин я оболочек в случае одномерной задачи // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т. 12, № 5. - С. 925 - 927.

5. Зарубин А.Г. О методе моментов для одного класса нелинейных уравнений' // Сиб, матем. ж, - 1978. - Т. 19, №3.~ С. 577 - 566.

6. Зарубин А.Г. О быстроте сходимости проекционных методов для линейных уравнений // Жур. выч. матем. и матем. физ.

1979. - Т. 19, № 4. - С. 1048 - 1053.

7. Загородников Ю.И., Зарубин А.Г. Об одной краевой задаче для уравнений ветровых течений в океане П Сиб. матем. ж. - 1960. - Т.21, № I. - С. 63 - 73.

8. Зарубин А.Г. О быстроте сходимости метода.Бубнова - Галеркина для квазилинейных уравнений. - В кн. Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. Владивосток.: ДВЩ АН СССР. - 1980. - С. 37 - 42.

9. Зарубин А.Г. О быстроте сходимости метода Галеркина для квазилинейных параболических уравнений // Дифференц. уравнения. - 1980. - Т. 16, № 2.,- С. 366 - 369.

10. Зарубин А.Г., Нго Зуй Кан. О конвекции в жидкости, заполняющей полость подвижного твердого тела // ПММ. -

1980. - Т. 44, № 6. - С. 1027 - 1034.

11. Зарубин А.Г. О решении нестационарных операторных урав-

нений и скорости сходимости метода Фаэдо - Галеркина. -В кн. Качественные методы теории динамических систем. Владивосток. : ДВНЦ АН СССР. - 1982. - С. 47 - 53.

12. Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Фаэдо - Галеркина для линейных нестационарных уравнений // Дифферент уравнения. - 1982. - Т. 18, № 4. - С. 639 - 645.

13. Зарубин А.Г. О скорости сходимости проекционных методов в проблеме собственных значений /У Жур. выч. матем. и матем. физ. - 1982. - Т. 22, № б. - С. 1308 - 1315.

14. Зарубин А.Г. О существовании периодических течений в задаче о ветровых циркуляциях в баротропном океане // Сиб. матем. ж. - 1983. - Т. 24, № 4. - С. 205 - 209.

15. Зарубин А.Г. О быстроте сходимости метода Бубнова - Галеркина для задач на собственные значения // Жур. выч. матем. и матем. физ. - 1984. - Т. 24, № 2. - С. 194 -202.

16. Зарубин А.Г. О быстроте сходимости проекционных методов в проблеме собственных значений для уравнений специального типа // Жур. выч. матем. и матем. физ. - 1985. -Т. 25, № 7. - С. 963 - 972.

17. Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ - Галеркина для операторных дифференциальных уравнений // Дифферент уравнения. - 1986. - Т. 22, № I?.. - С. 1235 -

■ 1234.

18. Зарубин А.Г. Исследование проекционной процедуры Галеркина - Петрова методом дробных, степеней // Докл. АН СССР. - 1987. - Т. 297, № 4. - С. Т20- £ Ц

- 32 -