Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с положительными операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АБРАМОВА Вера Викторовна

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

01.01.01 - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Габдулхаев Б.Г.

На правах рукописи

УДК 517.968:519.6

Казань - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .............................................................................4

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ПРИБЛИЖЕНИЙ

§1. Элементы общей теории приближённых методов

функционального анализа ................................... 24

§2. Вспомогательные результаты из теории

приближения функций ............................................................................26

2.1. Непериодические функции ....................................26

2.2. Периодические функции ......................................................27

ГЛАВА II. РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Регулярные интегральные уравнения ....................... 30

1.1. Введение ........................................... — . 30

1.2. Теоремы существования, единственности и устойчивости решения ............ V. ' .................31

1.3. Итерационные методы ................ I . V............... 34

1.4. Общий проекционный метод .............................................35

1.5. Методы ортогональных многочленов и сплайн-подобластей ...............................................37

1.6. Проекционно-итеративные методы ..........................38

1.7. Полиномиальный метод квадратур ............................39

1.8. Метод сплайн-квадратур......................................50

1.9. Некоторые замечания и дополнения ..................... 56

§2. Периодические интегральные уравнения типа свёртки ...... 59

2.1. Введение ........................................................59

2.2. Теорема существования и единственности решения .... 59

2.3. Метод редукции ..........----........................... 61

2.4. Метод коллокации ....................................... 63

§3. Сингулярные интегральные уравнения ...................... 66

3.1. Введение ............................................................................66

3.2. Теоремы существования и единственности решения ... 67

3.3. Итерационный метод .................................... 69

3.4. Об общем проекционном методе и его частных

случаях ..................................................69

3.5. Методы коллокации и механических квадратур ........ 70

ГЛАВА III. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ §1. Периодическая краевая задача для дифференциального

уравнения первого порядка с параметром при производной . 76

1.1. Теоремы существования и единственности решения ... 76

1.2. Итерационный метод .................................... 81

1.2. Метод редукции ............... — ..............................82

1.4. Метод коллокации ....................................... 85

1.5. Проекционно-итеративный метод ....................... 87

§2. Периодическая краевая задача для сингулярных интегро-

дифференциальных уравнений с параметрами .............. 88

2.1. Предисловие ............................................. 88

2.2. О теоремах существования и единственности решения . 89

2.3. Общий проекционный метод .............................................90

§3. Задача Кош и для сингулярного интегро-дифференциального

уравнения первого порядка с параметрами ..................................91

3.1. Метод коллокации ...........................................91

3.2. Метод коллокации. Продолжение...............................97

§4. Сплайн-методы решения дифференциальных уравнений

с параметром при производной.....................................101

4.1. Периодическая краевая задача ......................... 101

4.2. Задача Коши ........................................... 104

ЛИТЕРАТУРА ..................................................... 108

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена точным и приближённым методам решения ряда классов регулярных и сингулярных интегральных и интегро -дифференциальных уравнений с интегралами, понимаемыми как в смысле Ри-мана и Лебега, так и в смысле главного значения по Коши-Лебегу.

Актуальность темы. Значительное число теоретических и прикладных задач приводит к необходимости решения различных классов интегральных и и н те г р од и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений с параметрами. Теория таких уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработана и изложена в известных учебниках, монографиях и научных статьях. Из неё следует, что указанные уравнения точно решаются лишь в редких частных случаях, и даже в этих случаях для доведения результата до числа приходится использовать теорию приближения функций и операторов. Поэтому как для теории, так и, в особенности, для приложений первостепенное значение приобретает разработка аппроксимативных методов решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием. В этой области за последние десятилетия достигнут существенный прогресс благодаря работам как отечественных, так и зарубежных авторов. Итоги достигнутых результатов подведены в специальных обзорных работах и монографиях таких авторов, как А. А. Бабаев, С. М. Белоцерковский, Б. Г. Габдулхаев, В. А. Зо-лотаревский, В. В. Иванов, Л. И. Кривошеин, И. К. Лифанов, С. Г. Мих-лин, Н. Я. Тихоненко, М. Голберг (М. Golberg), 3. Прёсдорф (S. Prößdorf), С. Фенио (S. Fenyö), Г. Штолле (Н. Stolle), Д. Эллиот (D. Elliot) и др. Однако, несмотря на сказанное, здесь всё ещё остаётся много нерешённых задач. Данная диссертация призвана в некоторой степени восполнить этот пробел.

Цель работы.

а) Установление практически эффективных достаточных условий существования, единственности и устойчивости решений ряда классов регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с параметрами;

б) разработка аппроксимативных методов решения указанных классов уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием.

Под теоретическим обоснованием метода, следуя Л. В. Канторовичу [58], в диссертации понимается следующий круг вопросов:

а) установление осуществимости и сходимости алгоритма;

б) исследование скорости сходимости;

в) получение эффективной оценки погрешности;

г) исследование устойчивости и обусловленности метода.

Методика исследований. При выводе и обосновании результатов диссертации использованы известные результаты из теории приближения функций полиномами и сплайнами, регулярных и сингулярных интегральных уравнений, общей теории приближённых методов функционального анализа и теории положительно определённых операторов в гильбертовых пространствах. При этом мы существенным образом пользуемся также методикой исследований, предложенной в главе 4 монографии Б. Г. Габдулхаева [31].

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем:

а) предложены простые и эффективные достаточные условия существования, единственности и устойчивости решений ряда классов регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с параметрами на основе теории положительных операторов;

б) для таких уравнений предложено теоретическое обоснование различных классов полиномиальных и сплайновых прямых и проекционных методов.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены при дальнейшем развитии точных и приближённых методов решения регулярных и сингулярных интегральных уравнений и их обобщений. Они могут быть использованы также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Одесса, ОГУ, 1991 г.), Международной научной конференции «Лобачевский и современная геометрия» (г. Казань, КГУ, 1992 г.), Республиканской научно-методической конференции (г. Одесса, ОГУ, 1992 г.), Международной научной конференции, посвящённой 100-летию Н. Г. Чеботарёва (г. Казань, КГУ, 1994 г.), Школе-конференции, посвящённой 100-летию Б. М. Гагаева (г. Казань, КГУ, 1997 г.), Международной научно-технической конференции «Меха-

ника машиностроения» (г. Набережные Челны, КамПИ, 1997 г.). Кроме того, результаты диссертации, по мере их получения, регулярно докладывались на итоговых научных конференциях КРУ и КГПУ, а также на научном семинаре «Теория аппроксимации и её приложения» при КРУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, список которых приводится в конце диссертации.

Теперь приведём краткий обзор научной литературы, имеющей непосредственное отношение к обсуждаемым в диссертации вопросам.

В начале для удобства изложения приведём следующие определения, ограничиваясь лишь нужным нам случаем гильбертовых пространств.

Определение 1. Линейный оператор А, заданный в вещественном гильбертовом пространстве X = {ж} с обычными скалярным произведением (ж, у) элементов ж, у Е Л' и нормой ||ж|| элемента х Е X, называется:

а) неотрицательным, если

(Ах, ж) ^ О, Уж Е X:

б) положительным, если

(Ах, ж) > 0, Уж £ X, х ф 0;

в) положительно определённым, если

(Аж,ж) ^ 72||ж||2, Уж Е А",

где 72 — положительная постоянная, не зависящая от х Е X.

Это определение можно найти, например, в книге С. Г. Михлина [81], там же имеются сведения библиографического характера.

Определение 2. Оператор А (вообще говоря, нелинейный) в гильбертовом пространстве X называется:

а) монотонным, если

(Ах - Ау, х - у) > 0, Ух, у Е А';

б) строго монотонным, если

(Ах - Ау, х - у) > 0, Уж, у Е А', х ф. у\

в) сильно монотонным, если

(Ах - Ау,х - у) ^ т\\х - у\\2, Уж, у Е А, где т — положительная постоянная, не зависящая от ж,у Е А'.

Это определение можно найти в монографиях [13,37,69,70], там же имеются сведения исторического характера.

Определение 3. Оператор А в произвольном (в том числе комплекс-пом) гильбертовом пространстве X называется псевдомонотонным, если

|(Ах - Ау,х - у)| ^ \\х - у\\ т(\\х - у||), Ух, у е X,

где т(Ь) — возрастающая функция, удовлетворяющая условиям т(0) = 0 и т(£) —>■ Ч-оо при £ —)■ +оо.

Заметим, что первое предложение об уравнениях с псевдомонотонными операторами в гильбертовом пространстве приведено в рукописи Э. За-рантонелло (Е. Zarantonello) (см., напр., в [13] и там же о последующих обобщениях).

Метод положительных линейных операторов и, как его обобщение на нелинейный случай, метод монотонных операторов широко применяется в математическом анализе и дифференциальных уравнениях при доказательстве теорем существования и единственности решения различных классов уравнений, а также для их приближённого решения методами Галёркина и последовательных приближений. Этим вопросам посвящена обширная литература. С учётом сказанного выше остановимся на некоторых из таких работ, особенно на тех, которые имеют прямое отношение к тематике данной диссертации.

В первую очередь мы считаем необходимым отметить ставшие уже классическими результаты С. Г. Михлина по операторным уравнениям с симметричными положительными операторами в гильбертовых пространствах и их применениям к приближённому решению различных классов обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений. Эти результаты хорошо известны, их подробное изложение можно найти, например, в монографии [81]. Изложение близких результатов на основе теории финитных функций имеется (наряду с многими другими результатами) в книге Г. И. Марчука и В. И. Агошкова [77]. В недавней книге С. Г. Михлина [82], в разделе, посвящённом интегральным уравнениям, даётся обоснование метода Бубнова-Галёркина для одномерного интегрального уравнения Фредгольма второго рода, когда его ядро представляется в виде суммы положительного симметричного и антисимметричного ядер. Там же указаны некоторые простые условия положительности интегрального оператора Фредгольма.

Впервые в отечественной монографической литературе детальное изложение метода монотонных операторов с многочисленными приложениями осуществлено в книге М. М. Вайнберга [13]. В ней наряду с обстоятель-

ным историческим обзором дано систематическое изложение метода в общем случае и показано его применение при изучении нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и их обобщений, нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых и гильбертовых пространствах, эллиптических и параболических квазилинейных краевых задач; в книге рассмотрены также методы Галёркина-Петрова и наискорейшего спуска решения нелинейных уравнений с монотонными операторами.

В книге немецких математиков X. Гаевского (Н. Gajewski), К. Грёre-pa (К. Gröger), К. Захариаса (К. Zacharias) [37], написанной как учебник, даётся изложение основных фактов теории монотонных операторов и эта теория систематически применяется к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Рассматриваются также приближённые методы решения указанных уравнений методами Галёркина, последовательных приближений и проекционно-итеративным методом.

В работе [108] П. Чэн (P. P. Chan) на основе метода монотонных операторов приведены теоремы существования решения (как правило, в условиях сжимаемости соответствующих операторов) интегрального уравнения Фредгольма второго рода и нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и Урысона, а также отмечены пути применения к ним метода Галёркина. Указанный результат с небольшими изменениями и обобщениями излагается также в книге [109] С. Фенио (S. Fenyö), Г. Штолле

В работах [60,61,74-76] В. Л. Макарова и Г. С. Каркарашвили рассматривается применение метода монотонных операторов к одномерным линейным и нелинейным интегральным уравнениям. В частности, в [60,61,76] рассмотрен своеобразный сеточный метод решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода и нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна в пространствах С. Л. Соболева 1), 0 < а < 2, в предположении малости £2~нормы ядра. В заметке [74] аналогичные результаты анонсируются для уравнения Фредгольма вида

с ядром K(x,t), порождающим монотонный оператор К в смысле

(Н. Stolle).

(0.1)

о

i i

о о

для любых Л = const ^ 0. В работе [75] эти результаты подробно изложены применительно к линейному уравнению Фредгольма второго рода и нелинейному уравнению Урысона. Приведены достаточные условия, при которых решения указанных уравнений принадлежат дробным соболевским пространствам И/2а(0,1), 0 < о < 2. Путем специального усреднения по Стеклову ядра и правой части построены сеточные схемы. Установлена скорость сходимости приближённого решения к усреднённому точному. При решении уравнений с монотонными операторами используется специальный усредняющий оператор (оператор точных разностных схем). При этом получающиеся разностные схемы обладают скоростью сходимости, согласованной с гладкостью решения исходной интегральной задачи.

В монографии А. Ю. Лучки [69], наряду с многими другими результатами, для различных классов интегральных и родственных операторных уравнений с монотонными операторами предложены вычислительные схемы проекционно-итеративного метода и дано их теоретическое обоснование в банаховых и гильбертовых пространствах. В работе А. Ф. Лучки, О. Е. Нощенко и Н. И. Тукалевской [71] предлагается двух шаговый вариационно-градиентный метод для решения линейных уравнений Аи = /, где А — самосопряжённый положительно определённый оператор в гильбертовом пространстве. Даны обоснование метода и алгоритм для численной реализации. В работе С. Д. Балашовой [8] для решения уравнения Аи = f с положительно определённым оператором Л, заданным в вещественном гильбертовом пространстве X, рассмотрен проекционно-итеративный метод, установлена его сходимость.

Впервые вопрос о применении метода монотонных операторов к исследованию сингулярных интегральных уравнений поднимается в работе [105] Г. Аманна (Н. Amann), где на стр. 253 рассматриваются два примера таких уравнений. Приведём их.

Пример 1. В гильбертовом пространстве X = Ь^—к, к) рассматривается уравнение вида

где /(у, и) — известная непрерывная функция в области —уг ^ у ^ тг, —оо < и < ос, м(£) — искомая функция. Если оператор Р : X —X, где (Ги)(х) = /(ж, и(х)), является хеминепрерывным и сильно монотонным с постоянной монотонности т = а > 0, то уравнение (0.2) имеет единственное решение Уц Е X, которое можно найти итерационным методом

Щ = 0, ип+[ = ип - тК*[ип + KF(un)], п = 0,1,... (0.3)

Если, кроме того, F есть липшиц-непрерывный оператор, то существует такое г0 > 0, что для всех т G (0, т0) итерационный метод (0.3) сходится к vo(x), причём

IK - V0|| < а-1 ||м„ + A*F(w„)||, п = 0,1,...,

где

ж

(Ku){x) = ^ J (l + ctg ^^)u(y)dy,

—7Г

7Г

(К*и)(х) = -L J (1-ctg X-^L)u(y)dy.

—ж

Пример 2. В пространстве X — Ь2(—тг, 7г) рассматривается уравнение вида

ж

Si' X _

«(ж) + — / ctg---/(.'/, м(?/))(% = 0, £ = ±1, -ТГ < .1- < ТГ, (0.4)

—flatte f(y,u) — известная непрерывная функция в области —тг ^ у ^ тт, —оо < и < оо, u{t) — искомая функция. Если оператор F : X —ï Л*, где (Fu)(x) = f(x,u(x)), удовлетворяет условию Липшица и для любых м, h G А'

Re(F(w + /¿) - F(w), Л) > а||/гЦ2, а = const > О,

то уравнение (0.4) имеет единственное решение г>о G X; существует такое то > 0, что для всех т G (0, tq) итерационный метод

щ = 0, iin+i = ип + теК[ип + cKF(un)}, s = ±1, п — 0,1,... (0.5)

сходится в пространстве X к единственному решению уравнения (0-4), где

ж

J^ / _ у

(К и) (х) = ~ / et g -—u(y)dy, -тг < X ^ тт.

—ж

В последующие го