Линейная эквивалентность некоторых интегродифференциальных операторов высших порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

МЕХАНЖО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

УДК 517.984.36

На правах рукописи

Игнатьев Михаил Юрьевич '

ЛИНЕЙНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЬ1Х ОПЕРАТОРОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

01.01.01 - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

О.В. Седин

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Юрко

Саратов-1998

Оглавление.

Введение. 3 Глава 1. Решение интегральных уравнений с ядром, однородным степени -1 12

§ 1. Постановка задачи, формулировка основных результатов. 12

§2. Представления для решений интегральных уравнений с я.о.с. -1 17 Глава 2. Линейная эквивалентность интегро-дифференциальных и интегральных

операторов дробного порядка с особенностью 31

§ 1. Постановка задачи, формулировка основных результатов. 31

§2. Существование и свойства собственных функций. 35

§3. Интегральные представления для собственных функций. 46

§4.Теоремы о линейной эквивалентности операторов. 60

§5. Случай Я = 0. 73 Глава 3. Оператор преобразования типа Фаге для некоторых интегро-

дифференциальных операторов. 82

§1. Постановка задачи, формулировка основных результатов. 82

§2. Вспомогательные утверждения. 85

§3. Доказательство основной теоремы. 96

Литература. 101

ВВЕДЕНИЕ

Операторы преобразования играют важную роль в спектральной теории несамосопряженных операторов. Впервые введенный Ж.Дельсартом [1] при исследовании операторов обобщенного сдвига, аппарат операторов преобразования оказался естественным методом исследования многих вопросов спектральной теории. А.Я.Повзнер [2] построил операторы преобразования для уравнений Штурма-Лиувилля и применил их для вывода формул разложения по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля с убывающим потенциалом. В.А.Марченко привлек операторы преобразования для исследования обратных задач спектрального анализа [3] и асимптотического поведения спектральной функции сингулярного оператора Штурма-Лиувилля [4]. Б.М. Левитан [5] с помощью операторов преобразования доказал в общем виде теорему о равносходимости. Роль операторов преобразования в спектральной теории значительно возросла после того, как И.М.Гельфанд и Б.М.Левитан [6] нашли с их помощью исчерпывающее решение обратной задачи о восстановлении уравнения Штурма-Лиувилля по его спектральной функции.

В указанных работах, посвященных спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля:

Ь = -У" + Я(Х)У, (0.1)

под оператором преобразования понимался оператор вида Е + К, где К -

X

интегральный оператор Вольтерра = переводящий решение

о

задачи Коши для «простейшего» оператора Штурма - Лиувилля с нулевым потенциалом в решение задачи Коши с данным (произвольным) потенциалом д(х). Для дифференциальных операторов высших порядков

= (0-2)

¿=о

задача построения оператора преобразования оказалась значительно сложнее. Л.А.Сахновичем [7] существование треугольного оператора преобразования было установлено при жестком дополнительном требовании аналитичности коэффициентов дифференциального оператора в некотором круге на комплексной

плоскости, строго включающем отрезок, на котором рассматривается оператор. Построенный В.И.Мацаевым [8] пример показывает, что для операторов с неаналитическими коэффициентами оператор преобразования вольтерровского типа, вообще говоря, не существует. Для таких операторов в работах М.К.Фаге [9], А.Ф.Леонтьева [10], А.П.Хромова [11], установлено существование оператора преобразования вида Е + К, где К - некоторый интегральный оператор, включающий в себя интегрирование по контуру правильного п - угольника на комплексной плоскости. Дальнейшее развитие исследований задачи построения оператора преобразования для дифференциальных операторов высших порядков связано с работами Хачатряна [12], [13], предложившего метод, позволяющий доказывать существование оператора преобразования вольтерровского типа при минимальных требованиях на область аналитичности коэффициентов. Естественным обобщением задачи построения оператора преобразования для дифференциальных операторов является задача о линейной эквивалентности интегральных операторов Вольтерра:

X

Mf(x) = J М(х, t) f(t)dt (0.3)

о

( заметим, что упомянутые выше результаты можно интерпретировать как теоремы о линейной эквивалентности вольтерровских операторов, ядра которых являются функциями Грина задачи Коши с нулевыми начальными данными для дифференциальных операторов вида (0.2)). Напомним, что линейные непрерывные операторы А и В в линейном топологическом пространстве Н называются линейно эквивалентными, если существует изоморфизм Т пространства Н, такой, что ТА = ВТ.

В работах Л.А.Сахновича [14], [15], И.И.Кальмушевского [16] были получены достаточные условия линейной эквивалентности вольтерровских операторов оператору интегрирования J:

X

Jf(x) = \f(t)dt, (0.4)

о

а также достаточные условия линейной эквивалентности операторов с ядром, зависящим только от разности аргументов, степеням оператора интегрирования J", п е N. Для вольтерровских операторов с ядром общего вида О.В.Сединым был

получен следующий результат о линейной эквивалентности оператору J" ,п> 3 (точную формулировку теоремы О.В.Седина см. [17]): вольтерровский оператор М, представимый в виде

M = J"+MX, (0.5)

А/, = Jn+XN, (0.6)

X

Nf(x) = \Ñ(x-t,t)f(t)dt, (0.7)

о

где N(x,t) как функция второго аргумента - аналитическая в четырехугольнике с вершинами в точках ОД - х, (1 - x)(l - ехр(/ 2я/и)) ,(1 - x)(l - ехр(-г'2л/и)) , линейно эквивалентен в пространствах L [0,1], С[0Д] оператору J". В [18] М.М.Маламудом получены аналогичные теоремы (при более жестких требованиях аналитичности на N(x,i)) о линейной эквивалентности вольтерровских операторов оператору дробного интегрирования Римана-Лиувилля:

Отметим, что как показано в [19], условие (0.6) является существенным: для

операторов М вида (0.5), где М, = J"+EN,s е(0Д), не существует, вообще говоря,

*

оператора Е + К, Kf(x) = J К(х, t)f(t)dt, такого, что (Е + К)Г = М(Е + К).

о

Наряду с дифференциальными операторами вида (0.2) и интегральными вольтерровскими операторами, начиная с 70-х годов, рассматриваются операторы с особенностями, в частности, дифференциальные и интегро-дифференциальные операторы, обобщающие оператор Эйлера. Изучение линейной эквивалентности таких операторов с самого начала велось в пространствах аналитических функций комплексного переменного. Важнейшими из таких пространств являются пространство A(D) функций, аналитических в звездной относительно 0 области D, снабженное топологией равномерной сходимости на компактах, лежащих в D, и его (замкнутые) подпространства An(D),nzN, состоящие из функций вида

z"f(zXf gA(D). Для таких пространств в работах В.В.Рындиной [20], [21] (см. также [22] и указанную там литературу) получен следующий результат: оператор

при выполнении некоторых условий на коэффициенты и область D линейно

эквивалентен в A(D) соответствующему оператору Эйлера:

^ = (0.9)

у=1

Оператор преобразования (в случае (z) = const) имеет вид Е + К, где К -некоторый интегральный оператор, включающий в себя интегрирование по замкнутому контуру специального вида (такой оператор преобразования можно считать аналогом оператора преобразования в форме Фаге для дифференциальных операторов вида (0.2)) . М.С.Еремин [23], [24] распространил этот результат на интегро-дифференциальные операторы вида

Ly = + ]p(zj)y{t)dt, (0.10)

7=1 0

где функция P(z,t) - аналитическая по совокупности переменных в DxD; кроме того, ему удалось при тех же ограничениях на коэффициенты (z) и область D (в случае qn_x (г) = const) построить оператор преобразования вида Е + К, где К -интегральный оператор Вольтерра.

Операторы вида (0.8), (0.10) тесно связаны с вольтерровскими операторами с

особенностью вида

1

Mf{z) = \M{zJ)f{zt)dt, (0.11)

о

являющимися естественным обобщением вольтерровских операторов с ядром, однородным степени -1:

Mf(z) = \\м{А/т = |м(г)/(гг)Л . (0.12)

о ^ о

Теории вольтерровских операторов с я.о.с. -1 и их приложениям к дифференциальным уравнениям в частных производных с сингулярными коэффициентами посвящены работы Л.Г.Михайлова [25], [26]. Кроме того, известно (см., например, [27]), что любой вольтерровкий оператор Н, являющийся п-й степенью оператора обобщенного интегрирования Гельфонда-Леонтьева (см.,

например, [28]), допускает представление вида Н = •/"(£+ К), где К - оператор с я.о.с. -1. Операторы с я.о.с. -1 существенно отличаются по своим свойствам от классических операторов Вольтерра вида (0.3). Так, оператор вида (0.12) является диагональным, т.е., обладает свойством Мгк'х = Хкгк'1, к & N, в отличие от операторов вида (0.3), например, от оператора интегрирования I и его степеней, повышающих степень одночлена. Наличие в структуре оператора вида (0.11)

слагаемого

1

о

являющегося оператором вида (0.12), приводит к существенным различиям в свойствах таких операторов и классических операторов Вольтерра вида (0.3). В частности, операторы вида (0.11) (также, как и операторы с я.о.с. -1) не обладают свойством тривиальности спектра.

Настоящая работа посвящена изучению линейной эквивалентности некоторых интегро-дифференциальных и интегральных операторов в пространствах А(О), Ап(П).

В главах 1, 2 изучается вопрос о линейной эквивалентности следующих интегро-дифференциальных операторов, вообще говоря, нецелого порядка а >2 с особенностью:

Ь = Га(Е + Н)+Га+1+аО, сг > 0, (0.13)

I

= (0.14)

0

1

&{2) = \д{г,т)/(гт)*т, (0.15)

где I - оператор Чезаро: 1/(г) = -1}{1)сИ - |/(гт)с1т, 1а еЯ - оператор дробного

г о о

интегродифференцирования, который определим следующим образом:

I 1

Г/(г) = -—¡1па'1(\/т)/(2т)с/т,а> 0; (0.16)

Гх/(2) = Г = 1[а]1а~[а],а< 0, ([...] - целая часть числа), (0.17)

Н(т) - функция, удовлетворяющая некоторым условиям аналитичности и оценкам вида

(Э(г,т) - функция, аналитическая по г в области I) и суммируемая с некоторой степенью р>1 по г на отрезке [0,1] (точные условия на Н(т), 0(г, г), а также на область Б см. главу 2, теоремы 2, 3).

Операторы вида (0.13)-(0.15) непосредственно связаны с интегральными операторами вида (0.11): при выполнении некоторых естественных условий (см. §4 главы 2) оператор, обратный к оператору 1]~пМ\]п, где и - оператор умножения на независимую переменную, М - оператор вида (0.11), является при п>п0 оператором вида (0.13)-(0.15).

При получении результатов глав 1, 2 используется метод, введенный Л.А.Сахновичем при исследовании вопроса о линейной эквивалентности вольтерровских операторов оператору интегрирования I, и получивший дальнейшее развитие в работах А.П.Хромова, И.Г.Хачатряна, О.В.Седина. Значительные технические трудности возникают в связи с наличием в (0.13) слагаемого ГаН, максимально приближающегося по свойствам к главной части Га. Асимптотические представления, аналогичные полученным в работах А.П.Хромова [29], Л.Б.Мацнева [30] представлениям для резольвенты вольтерровского оператора, недостаточны для построения оператора преобразования. Эти обстоятельства приводят к необходимости получения явного интегрального представления некоторого специального вида для резольвенты оператора (Е + Н). Решению этой задачи посвящена глава 1; результаты этой главы затем используются в главе 2, но могут представлять и самостоятельный интерес. В главе 2 получены основные результаты настоящей работы: теоремы о линейной эквивалентности операторов вида (0.13) - (0.15). В качестве одного из возможных приложений этих результатов получена теорема о поведении рядов по системе собственных функций оператора вида (0.13)-(0.15). Также в главе 2 (см. §4) получены теоремы о линейной эквивалентности интегральных операторов вида (0.11). Отметим, что используемый метод доказательства позволяет получать теоремы о линейной эквивалентности операторов вида (0.11) и в пространствах

е е (0,1) при г —> 1;

(0.18)

функций вещественного переменного: см. §4, где рассмотрен случай пространств С[0,а]. Кроме того, в главе 2 рассмотрены (§5) операторы вида

(где С? - оператор вида (0.15)), являющиеся непосредственным обобщением операторов вида (0.8), (0.10).

Заметим, что в теоремах главы 2 сохраняется преемственность с результатами работ [20] - [24], в частности, по требованиям на область Б: при целых а требования на Б лишь незначительно сильнее, чем в [20], [24], а для операторов вида (0.19) совпадают с ними. Возникающие технические сложности связаны с более сложным видом резольвенты «простейшего» оператора; с отсутствием, в отличие от вольтерровского случая, для ряда, представляющего ядро оператора преобразования, мажоранты вида - удается получить лишь мажоранту вида

С". Определенные трудности возникают также в связи с тем, что на ядро 0(г, т) оператора 0 накладываются минимальные требования относительно его поведения по второму аргументу, т. е. по переменной интегрирования в (0.15), что требует отличной от применявшейся ранее техники получения оценок. Глава 3 посвящена построению оператора преобразования в форме Фаге для интегро-дифференциальных операторов иного вида, нежели главах 1, 2. Прежде, чем приступить к описанию изучаемых в главе операторов, напомним (см., например, монографию [31] и приведенную в ней литературу), что любой линейный непрерывный оператор Ь, действующий в пространстве А(П), допускает интегральное представление вида:

где Г = Г(г) - некоторый, зависящий от точки г, замкнутый контур, лежащий в области Б, Ь(г,д) - функция, голоморфная по совокупности переменных в

Мы ограничимся рассмотрением областей Б, удовлетворяющих следующему условию Ьт. г €£>=>гПт с£>, где Пи- правильный ш-угольник, одна из вершин которого находится в точке 1, т> 2 - целое число. Пусть область Б удовлетворяет

(0.19)

(0.20)

ВхС\В.

условию Ьт. г е £> => гПт с£), где Пт- правильный т-угольник, одна из вершин которого находится в точке 1, т > 2 - целое число. Пусть область Б удовлетворяет условию Ьт при некотором фиксированном т> 2, рассмотрим в пространстве А(Б) оператор вида:

Ьу = /"> + 0у, Оу(г) = 10(1,д)у(д)йд, (0.21)

1т гЬ)

где Т(г) - (любой) простой замкнутый контур, обходящий ш-угольник гПш в положительном направлении, 0(г,д) - функция, голоморфная по совокупности

переменных в области О = {г еВ,д еС \(гПи)|, и удовлетворяющая

для любого компакта К с В и любого К > 0 неравенству

ггП^сЛ (0-22)

где 1/ е [ОД) может, вообще говоря, зависеть от компакта К.

Основным результатом главы 3 является теорема о линейной эквивалентности в

аГ

А(В) оператора Ь оператору ь0 = ——.

аг

Условие аналитичности функции 0(г,д) в указанной области О эквивалентно следующему свойству оператора Ь: для любой удовлетворяющей условию Ьт подобласти Б' области Б оператор Ь может быть продолжен до непрерывного в пространстве А(В'). Оценки (0.22) выражают условие подчиненности оператора О

сГ

главной части - оператору -—, ядро которого в представлении (0.20) имеет вид

аг

(т +1)!

--Среди операторов, представимых в виде (0.21)-(0.22), помимо

- г)

дифференциальных операторов ш-го порядка, укажем интегро-дифференциальные операторы вида

I

Ьу = + , (0.23)

о

где функция N(1,1)- аналитическая по г в области Р, непрерывная по X на [ОД) и

удовлетворяющая на любом компакте К с И неравенству

\Щ2,()\<С(\-(У'\ е>0. (0.24)

Договоримся о нумерации теорем, лемм и формул на протяжении работы. Основные теоремы вынесены в первые параграфы каждой главы, для них используется сквозная нумерация. Остальные утверждения нумеруются двумя числами, первое обозначает номер главы, второе - номер теоремы (леммы). Формулы нумеруются двумя числами, первое из которых, - номер параграфа, второе - номер формулы. Ссылки на формулу внутри главы оформляются двумя числами, между главами -тремя, первое из которых, - номер главы.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность О.В.Седину и В.А.Юрко за постановку задачи и руководство работой.

ГЛАВА 1. Решение интегральных уравнений с ядром, однородным

степени -1.

§1.Постановка задачи, формулировка основных результатов.

Пусть Б - область на комплексной плоскости, звездная относительно 0 (напомним, что область 1)сСназывается звездной относительно 0, если вместе с каждой точкой г она содержит отрезок [0,г]). Через А(Б) будем обозначать пространство функций, аналитических в области Б, через Ак (П), & 6 N обозначим подпространство, состоящее из функций вида / (г), / е А(В). В данной главе мы будем рассматривать интегральные вольтеровские операторы с

ядром однородным степени -1: 1

нт = \щж*)Л (1.1)

о

При некоторых предположениях относительно функции Я(/) будут получены представления для решений уравнений второго рода с параметром, к которым сводится решение в Ак (£>) уравнения Ь0у - Xку = / , где

¿0=ГВ(£ + Я), а>2, (1.2)

Лк- собственное значение оператора Ь0, которому соответствует собственная функция у0(2,к) - ,к & N, т.е. Ьйгк~х = Хкгк~х. Полученные представления используются в главе 2 для исследования линейной эквивалентности операторов (0.13) - (0.15), но могут представлять и самостоятельный интерес. Прежде чем сформулировать основной результат, сделаем несколько замечаний о свойствах рассматриваемых объектов, а также введем некоторые обозначения, кот�