Обратная задача для интегродифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Основное уравнение обратной задачи.

1.1. Основные понятия. Вспомогательные утверждения.

1.2. Вывод основного уравнения обратной задачи.

1.3. Разрешимость основного уравнения обратной задачи.

Глава II. Восстановление интегродифференциальных операторов по спектральным характеристикам.

2.1. Решение обратной задачи и его устойчивость.

2.2. Решение обратной задачи в случае малости ядра интегрального возмущения.

2.3. Восстановление интегродифференциального оператора по неполной спектральной информации.

Глава III. Обратная задача для невольтеррова интегродифференциального оператора.

3.1. Постановка обратной задачи. Вспомогательные утверждения.

3.2. Единственность восстановления невольтеррова интегродифференциального оператора.

Обратными задачами спектрального анализа называются задачи, в которых по каким-либо спектральным характеристикам нужно восстановить свойства исходного оператора или весь оператор. Спектральными характеристиками могут служить спектры (при различных краевых условиях), спектральная функция, данные рассеяния и др.

Теория обратных задач — это обширная область математики, накопившая на сегодняшний день много результатов. Первый, который послужил началом для развития всей теории, был получен в 1929 г. В.А. Амбар-цумяном [53] для оператора Штурма-Лиувилля, а именно, им было показано, что если спектр краевой задачи

-y" + q(x)y = Xy, /(0) = /О) = 0, составляют числа Лк = к2, к е N и {0}, то q(x) = 0.

Результат Амбарцумяна является исключением, в общем случае один спектр оператора Штурма-Лиувилля его не определяет, что и было показано Г. Боргом [59] в 1946г. В этой же работе Борг доказал однозначную разрешимость обратной задачи для операторов Штурма-Лиувилля по двум спектрам. Идея Борга заключалась в построении с помощью вспомогательного (модельного) оператора некоторого нелинейного интегрального уравнения; решение последнего позволяло локально восстановить исходный оператор и исследовать устойчивость решения. Н. Левинсон предложил другой метод доказательства теоремы единственности решения обратной задачи [69], использующий идеи контурного интегрирования. А.Н. Тихоновым в 1949 получена теорема единственности восстановления оператора Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля [41].

Мощным аппаратом исследования обратных задач в частности и в спектральной теории вообще явились операторы преобразования. Используя их В.А.Марченко в 1950г. показал [32] (см. также [33]), что оператор 4

Штурма-Лиувилля определённый на полуоси или на конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции. В 1951г. И.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном [10] были получены необходимые и достаточные условия восстановления оператора Штурма-Лиувилля по его спектральной функции. Позже аналогичные результаты были получены для восстановления оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке по двум спектрам [9]. М.Г. Крейн создал иной метод построения оператора Штурма-Лиувилля. [19], [20].

На протяжении развития теория обратных задач обогащалась новыми методами, наиболее мощный, позволяющий работать со сложными классами операторов — метод спектральных отображений. В частности, с его помощью в [3], [25], [26], [28], [44], [48], [57], [81] решалась обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков

В работах [2], [7], [8], [28], [51], [52], [60], [70], [78]-[80], [82] и др. иссле дуется обратная задача для систем дифференциальных уравнений. Работы

5], [6], [16], [21], [36], [38], [54], [55], [61], [62], [65], [67], [74], [76], [77] посвящены обратным задачам для уравнений с частными производными. Отметим также работы [14], [50], [56], [66], [68], [71]-[73], [75] в которых рассматриваются численные методы решения различных классов обратных задач.

Развитие теории обратных задач, начиная с момента возникновения, стимулировалось многочисленными её приложениями в естественных науках. Обратная задача теории рассеяния на оси для оператора (0.1) в различных постановках рассматривалась в [17], [18], [39], [58], [63]. С помощью обратных задач в работах [64], [1], [15], [22], [40] получен метод интегрирования некоторых нелинейных уравнений математической физики, п-2 п> 2.

0.1) 5 таких как уравнение Кортев ега-де-Фриза, нелинейного уравнения Шре-дингера и др.

В данной работе исследуется обратная задача для интегродифферен-циальных операторов. История таких задач сравнительно невелика. В различных постановках они рассматривались в работах М.С. Ерёмина, М.М.Маламуда, В.А.Юрко см. [13], [29], [47], [49]. Отметим, что прямые задачи спектрального анализа для интегродифференциальных операторов и связанных с ними операторов с отклоняющимся аргументом изучались в работах М.М. Маламуда, А.Д. Мышкиса, С.Б. Норкина, А.П. Хромова, и многих др. авторов, см. [34], [37], [45].

Диссертация состоит из 3-х глав разделённых на параграфы. В главах I, II исследуется обратная задача восстановления на отрезке [0, яг] следующего интегродифференциального оператора у := -/ + q(x)y + J М (x,t)y(t)dt, о функция M(x,t) полагается известной. Обратная задача состоит в восстановлении потенциала q по спектрам двух операторов Lx и Ь2, заданных интегродифференциальным выражением I и краевыми условиями у(0) = = где / = 1,2. Наличие «последействия» в восстанавливаемом операторе вносит качественные изменения в исследование обратной задачи. В случае M(x,t) = M(x-t), обратная задача восстановления функции М по спектру при известной функции q рассматривалась в [49].

В параграфе 1.1 формулируются спектральные свойства интегродифференциальных операторов и нужные для дальнейшей работы утверждения — асимптотика собственных значений, оценки характеристических функций, оценка для функции Грина и др.

В методе исследования вопросов решения обратной задачи и устойчивости восстановления операторов Ц используется идея Борга — сведе6 ние обратной задачи к нелинейному интегральному уравнению. Как известно, в случае классического оператора Штурма-Лиувилля метод Борга даёт более слабые результаты, чем, скажем, метод оператора преобразования или метод спектральных отображений. Однако к рассматриваемой обратной задаче для интегродифференциальных операторов указанные методы не применимы, а развитие идей Борга позволяет получить её решение, правда, — как и для оператора Штурма-Лиувилля — локальное. В параграфе 1.2 содержится вывод так называемого основного уравнения обратной задачи. Разрешимость его доказывается в п. 1.3 и основана на базисно-сти по Рису некоторой системы функций (см. (1.87)).

1. Абловиц М., Сигур X., Солитоны и метод обратной задачи, М., Мир, 1987.

2. Арутюнян Т.Н., Изоспектралъные операторы Дирака II Известия АН Армении, сер. матем., 1994, т.29, № 2, с. 3-14.

3. Баранова Е.А., О восстановлении дифференциальных операторов высших порядков по их спектрам И ДАН СССР, сер. матем., 1972, т. 205 №6, с. 1271-1273.

4. Бари Н.К., Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве II Уч. зап. МГУ, сер. матем., 1951, т.148, № 4, с. 69-107.

5. Березанский Ю.М., О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера II Тр. Моск. матем. о-ва, 1958, т.7, с. 3-51.

6. Бухгейм A.JL, Введение в теорию обратных задач, Новосибирск, Наука, 1988.

7. Гасымов М.Г., Левитан Б.М., Обратная задача для системы Дирака II ДАН СССР, 1966, т. 167, с. 967-970.

8. Гасымов М.Г., Обратная задача рассеяния для системы уравнений Дирака порядка 2п II Труды моек, матем. о-ва, 1968, т. 19, с. 41-119.

9. Гасымов М.Г., Левитан Б.М., Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН, 1964, т.19, № 2, с. 3-63.

10. Гельфанд И.М., Левитан Б.М., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции II Известия АН СССР, сер. матем., 1951, т. 15, с. 309-360.

11. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, М., Наука, 1965.

12. Джрбашян М.М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной плоскости. М., Наука, 1966.99

13. Еремин М.С., Обратная задача для интегродифференциальных уравнений второго порядка с особенностью II Дифферен. Уравнения, 1988, т.24, с. 350-351.

14. Жидков Е.П., Айрапетян Р.Г., Численный метод решения обратной задачи квантовой теории рассеяния II Вестник МГУ, сер. мат.-мех., 1996, № 6, с. 38-40.

15. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П., Теория со-литонов. Метод обратной задачи. М., Наука, 1980.

16. Кабанихин С.И., Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений, Новосибирск, Наука, 1988.

17. Казарян А.Р., Хачатрян И.Г., Об обратной задаче рассеяния для дифференциального оператора произвольного порядка с суммируемыми на всей оси коэффициентами III Известия АН Армении, сер. матем., 1994, т.29, № 5, с. 50-75.

18. Казарян А.Р., Хачатрян И.Г., Об обратной задаче рассеяния для дифференциального оператора произвольного порядка с суммируемыми на всей оси коэффициентами II // Известия АН Армении, сер. матем., 1995, т.ЗО, № 1, с. 39-65.

19. Крейн М.Г., Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля II ДАН СССР, 1951, т.76, № 1, с.21-24.

20. Крейн М.Г., Об одном методе эффективного решения обратной задачи II ДАН СССР , 1954, т.94, № 6, с. 987-990.

21. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г., Одномерные обратные задачи математической физики, Новосибирск, Наука, 1982.

22. Лаке П., Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны II Математика, 1969, т.13, № 5, с. 128-150.

23. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций, М., Гостехиздат, 1956.

24. Левитан Б.М., Обратные задачи Штурма-Лиувилля, М., Наука, 1984.100

25. Лейбензон З.Л., Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков II Труды моек, матем. о-ва, 1966, т. 15, с.70-144.

26. Лейбензон З.Л., Спектральные разложения отображений систем краевых задач II Труды моек, матем. о-ва, 1971, т. 25, с.15-58.

27. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Элементы функционального анализа, М., Наука, 1965.

28. Маламуд М.М., Вопросы единственности в обратных задачах для систем дифференциальных уравнений на конечном интервале И Труды моек, матем. о-ва, 1999, т.60, с. 199-258.

29. Маламуд М.М., О некоторых обратных задачах И Краевые задачи математической физики, Киев, Наукова Думка, 1979, с.ЩЬ-124.

30. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М., Наука, 1978г.

31. Марченко В.А., Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, Киев, Наукова Думка, 1977.

32. Марченко В.А., Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка II ДАН СССР, 1950, т.72, № 3$с. 457-460.

33. Марченко В.А., Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка II Труды моек, матем. о-ва, 1952, т.1, с. 327-420.

34. Мышкис А.Д. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, М., Наука, 1912.

35. Наймарк М.А., Линейные дифференциальные операторы, М., Наука, 1969.

36. Нижник Л.П., Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений, Киев, Наукова Думка, 1991.

37. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения 2-го порядка с запаздывающим аргументом. М., Наука, 1965.

38. Романов В.Г., Обратные задачи математической физики. М., Наука, 1984.101

39. Суханов В.В., Обратная задача для самосопряженного дифференциального оператора на оси //Математ. сб., 1988, т. 137(179), №2, с.242259.

40. Тахтаджян JI.A., Фаддеев Л.Д., Гамилътонов подход в теории солито-нов, М., Наука, 1986.

41. Тихонов А.Н., О единственности решения задачи электроразведки II ДАН СССР, 1949, т. 69, № 6, с. 797-800.

42. Титчмарш Е., Теория функций, М., Наука, 1980.

43. Титчмарш Е., Введение в теорию интеграла Фурье. М., Наука, 1980.

44. Хачатрян И.Г., О некоторых обратных задачах для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси И Функц. анализ и его прилож., 1983, т. 17, № 1, с.40-52.

45. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегродифференциаль-ных и интегральных операторов И Мат. сб., 1981, т.114(156), №3, с.378-405.

46. Шабат А.Б., Обратная задача рассеяния //Дифферен. Уравнения, 1979, т. 15, № 10, с. 1824^ 1834.

47. Юрко В.А., Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов первого порядка // Функц. анализ, Ульяновск, 1984, вып. 22, с.144-151.

48. Юрко В.А., Об определении самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Математ. Заметки, 1995, т.57, вып. 3, с.451-462.

49. Юрко В.А., Обратная задача для интегродифференциальных операторов //Математ. Заметки, 1991, т.50, вып. 5, с.134-146.

50. Ahmad F. and Razzaghi М., A numerical solution to the Gelfand-Levitan-Marchenko equation, Differential equations and computational simulations, II (Mississippi State, MS, 1995), Appl. Math. Comput. 89 (1998), no. 1-3, 31-39.102

51. Alpay D., Gohberg I., Inverse spectral problem for differential operators with rational scattering matrix functions, J. Diff. Equations 118 (1995), no. 1, 1-19.

52. Amour L., Inverse spectral theory for the AKNS system with separated boundary conditions, Inverse Problems 9 (1993), no. 5, 507-523.

53. Ambarzumian V.A., Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie, Zs. f. Phys. 53 (1929), 690-695.

54. Anger G., Inverse problems in Differential Equations. Plenum Press, New York, 1990.

55. Anikonov Y.E., Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differential Equations, Utrecht, VSP, 1995.

56. Barnes D.C., The inverse eigenvalue problem with finite data, SIAM J. Math. Anal. 22 (1991), no. 3, 732-753.

57. Beals R., Deift P. and Tomei C., Direct and Inverse Scattering on the Line, Math. Surveys and Monographs, v.28, Amer. Math. Soc., Providence: RI, 1988.

58. Beals R., The inverse problem for ordinary differential operators on the line, Amer. J. Math. 107 (1985), 281-366.

59. Borg G., Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe, Acta Math. 78(1946), 1-96.

60. Boutet de Monvel A., Shepelsky D., Inverse scattering problem for anisotropic media, J. Math. Phys. 36 (1995), no. 1,3443-3453.

61. Chadan K. and Sabatier P.C., Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, 2nd ed., Texts and Monographs in Physics, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1989.

62. Chadan K., Colton D., Paivarinta L. and Rundell W., An Introduction to Inverse Scattering and Inverse Spectral Problems, SIAM Monographs on Mathematical Modeling and Computation. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 1997.

63. Deift P. and Zhou X., Direct and inverse scattering on the line with arbitrary singularities, Comm. Pure Appl. Math. 44 (1991), no. 5,485-533.

64. Gardner G., Green J., Kruskal M. and Miura R., A method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Letters 19 (1967), 1095-1098.

65. Isakov V., Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New-York, 1998.

66. Khanh B.D., A numerical resolution of the Gelfand-Levitan equation, J. Comput. Appl. Math. 72 (1996), no. 2,235-244.

67. Kirsch A., An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Applied Mathematical Sciences 120, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

68. Knobel R. and Lowe B.D., An inverse Sturm-Liouville problem for an impedance, Z. Angew. Math. Phys. 44 (1993), no. 3, 433-450.

69. Levinson N., The inverse Sturm-Liouville problem, Math. Tidsskr. 13 (1949), 25-30.

70. Li S.Y., The eigenvalue problem and its inverse spectrum problem for a class of differential operators, Acta Math. Sci. 16 (1996), no. 4, 391-403.

71. Lowe B.D., Pilant M. and Rundell W., The recovery ofpotentials from finite spectral data, SIAM J. Math. Anal. 23 (1992), no. 2, 482-504.

72. Mueller J.L. and Shores T.S., Uniqueness and numerical recovery of a potential on the real line, Inverse Problems 13 (1997), no. 3, 781-800.

73. Neher M., Enclosing solutions of an inverse Sturm-Liouville problem with finite data, Computing 53 (1994), no. 3-4, 379-395.

74. Newton R.G., Inverse Schrodinger Scattering in Three Dimensions, Texts and Monographs in Physics, Springer-Verlag, 1989.

75. Paine J., A numerical method for the inverse Sturm-Liouville problem, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 5 (1984), no. 1,149-156.

76. Prilepko A.I., Orlovsky D.G. and Vasin I.A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, New York, 2000.

77. Romanov, V.G., Kabanikhin, S.I., Inverse Problems for Maxwell's Equations, Inverse and Ill-posed Problems Series, Utrecht: VSP, 1994.

78. Sakhnovich L.A., Spectral Theory of Canonical Differential Systems. Method of Operator Identities. Operator Theory: Advances and Appl., 107. Birkhauser Verlag, Basel, 1999.

79. Sakhnovich A.L., Canonical systems and transfer matrix-functions, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), no. 5, 1451-1455.

80. Yamamoto M., Inverse spectral problem for systems of ordinary differential equations of first order I, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA Math. 35 (1988), no. 3, 519-546.

81. Yurko V.A., Inverse Spectral Problems for Linear Differential Operators and their Applications, Gordon and Breach, New York, 2000.

82. Zhou X., L2-Sobolev space bijectivity of the scattering and inverse scattering transforms, Comm. Pure Appl. Math. 51 (1998), no. 7, 697-731.

83. Курышова Ю.В. Обратная задача для интегро-дифференциалъных операторов. //Соврем, методы теории функций и смежные проблемы. Тез.докл. Воронежская зимняя школа, ВГУ, 1999г. с.119.

84. Курышова Ю.В., Обратная спектральная задача для операторов с последействием, Математика, механика, математическая кибернетика, сб. науч. тр., СГУ, 1999. С. 51-53.

85. Курышова Ю.В. Обратная задача для операторов с последействием. //Обратные и некорректно поставленные задачи. Тез. докл. конференции МГУ, 1999г. С. 41.

86. Курышова Ю.В. Обратная задача спектрального анализа для интегро-дифференциалъных операторов II Соврем, проблемы теории функций и их приложения. Тез.докл. X Саратовской зимней школы, СГУ, 2000г. с.75.

87. Курышова Ю.В. Единственность решения обратной задачи для ин-тегродифференциального оператора II Математика, механика. Сб.науч.тр., СГУ 2000г. с. 63-65.

88. Курышова Ю.В. Об одной обратной задаче для интегро-дифференциальных операторов.//Деп. в ВИНИТИ 08.08.2001 № 1835-В2001,47с.