Локально-одномерные разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода

Баззаев, Александр Казбекович

Локально-одномерные разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Баззаев, Александр Казбекович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Локально-одномерные разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода»

Автореферат диссертации на тему "Локально-одномерные разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода"

московский государственный университет имени м.в. ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Баззаев Александр Казбекович

Локально-одномерные разностные схемы для

уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

" я АВГ 20)3

москва-2013

005532034

Работа выполнена на кафедре прикладной математики математического факультета Северо-Осетинского государственного университета имени К.Л. Хетагу-рова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики Кабардино-Балкарского государственного университета имени Х.М. Бербекова Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович

доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики Московского физико-технического института Лобанов Алексей Иванович

кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры прикладной математики и информатики Российского государственного социального университета Киреева Ольга Ильинична

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Защита диссертации состоится 11 сентября 2013 года в 15 часов 30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Лепинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМиК, ауд. № 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМиК Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «25» июля 2013 года Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.43 доктор физико-математических наук, профессор

Е.В. Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости в сильно-пористых (фрактальных) средах приводят также к необходимости изучения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка.

К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L. O'Shaughnessy1, S. Mandelbrojt 2. В работах М.А. Al-Bassam М.А. Al-Bassam 4, A.Z. Al-Abedeen, H.L. Агога 5, A.Z. Al-Abedeen (i получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В монографиях Самко С.Г., Килбаса А.Л., Маричена О.И.7, Псху Л.В.8, Л.Л. Kilbas, Н.М. Srivast.ava, J.J. Trujillo0 дан достаточно полный обзор работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка. Монография На.хуше-ва A.M.10 посвящена качественно новым свойствам операторов дробного интегро-диффереицироваиия и их применению к дифференциальным уравнениям дробного порядка.

Численным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы Головизиипа В.М., Киселёва В.П., Короткипа И.А., Юркова Ю.П.11, Головизнина В.М., Киселёва В.П., Короткипа И.А., Юркова Ю.П.12, К. Diethelm и N. G. Walz13, К. Dicthclm и N. J. Ford14, Тяуксновой

1 O'Shaughnessy L., //Problem 433. Amcr. Math. Month. 1918. Vol. 25. P. 172-173.

2Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo (Idle variazione At.t.i Reaie Aeead. Naz. Lineei. Rend CI. sci., fis. mat. с natur. Sor. C. 1925. Vol. 1. P. 151-150.

3A1-Bassam M.A. On fractional calculus ami its applications to the. theory of ordinary differential equations of generalized order // Nonlinear analysis and applications (St Johns, New Fomidland, Canada, 1081). Loot.. Notes in Pure and Appl. Math. Dekkcr. New York. 1982. Vol. 80. P. 305-331.

4 Al-Bassam M.A. Sou к: existence theorems on differential equations of genera-lized order // Tbid. 19G5. Bd 218. S. 70-78.

SA1-Abedeen A.Z., Arora H.L. A global existence and uniqueness theorem for ordinary differential equations of generalized order // Canad. Math. Bull. 1978. Vol. 21. №3. P. 267-271.

6 Al-Abedeen A.Z. Existence theorem on differential equations of generalized order. // Rafidain Л. Sci. Mosul. Univ. Iraq. 1976. Vol. 1. P. 95-104.

7Самко С.Г., К ил бас А.А., Маричеи О.И. Интегралы и производные дробного морилка и пекоторие их приложении. Минек. сНаука и техника». 1987. —688 е.

8Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005.

UA.A. Kilbas, Н.М. Srivastava, J.Л. Trujillo. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier. 200G

,0Нахугпев A.M. Дробное исчисление и его применение. - М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. - 272 с.

"Головизнин В.М., Киселев В.П., Коротким И.А., Юрков Ю.П. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии: Препринт IBRAE -2002-01. М.: ИБРАЭ РАН, 2002.

,2Головизпин В.М., Киселев В.П., Коротким И.А., Юрков Ю.П. Прямые задачи классического MejKinoca радионуклидов в геологических формациях // Изв. РАН. Энергетика. 2004. №4. с. 121 — 130. и МФ. 19G8. Т.8, №3. С.679-684.

13К. Diethelm, G. Walz. Numerical solution of fractional order diiferential equations by extrapolation, Numer. Algorithms 16 (1997), 231-253.

14K. Dietholm, N. Л. Ford. Analysis of fractional differential equations, Л. Math. Anal. Appl. 265 (2002), 229-248.

Ф.И. и Шхаиукова-Лафишева М.Х.15 и др. Работа Лафишевой М.М. и Шханукова М.Х.16 посвящена рассмотрению локально-одномерных схем для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями первого рода. В данной работе с помощью принципа максимума доказаны устойчивость и равномерная сходимость локально-одномерных схем для рассматриваемой задачи.

После появления работы Бицадзе A.B. и Самарского A.A.17, внимание математиков все чаще стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Самарского A.A., Ионкина Н.И., Ильина В.А., Моисеева Е.И., Чудновского А.Ф., Шополова H.H., Гордезиани Д.Г., Наху-шева A.M., Шханукова М.Х., Ксрефова A.A., Митропольского Ю.А., Березовского A.A., Муравей Л.А., Филиновского A.B., Житарашу Н.В., Эйдельмана-С.Д., Сол-датова А.П., Гулипа A.B., Морозовой В.А. и др.

Краевые задачи для параболических уравнений с нелокальным условием возникают при изучении диффузии частиц в турбулентной плазме, переноса влаги в почво-грунтах. К первым работам для параболических уравнений с неклассическими (интегральными) граничными условиями относятся, по-видимому, работы Cannon .J.R.18, Камынина Л.И. 19 и Чудновского А.Ф. 20 Цель диссертационной работы

1. Построение локально-одномерных схем для:

(a) уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами;

(b) уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией;

(d) уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью;

(e) уравнения параболического типа в р-мерном параллелепипеде с нелокальным условием па границе.

2. Доказательство устойчивости и сходимости разностных схем для рассматриваемых задач.

15Таукенова Ф.И., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. №10. С.1871-1881.

1вЛифишеиа М.М., Шхапуков М.Х. Локально-одномерная разностная схема дни уравнении диффузии дробного порядка ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48. №10. С. 1878-1887.

пБицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. ДАН СССР. ИЛИ). Т.185. №4. С. 73У-740.

18СаШШН J.R. The solution of (.he heut equation subject to the specificationof energy. Quart. Appl. Math. 21(1903). Pp. 155-160.

19Камынии Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. ЖВМ и МФ. 1964. T.4. №6. С. 1006-1024.

20Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло-и влагопереноса в почве // «Сб. трудов по агрофизике», вып. 23, Гидрометеоиэдат, 1969. С. 41 — 54.

Методы исследования

В работе для построения локально-одномерных схем для рассматриваемых задач используется метод суммарной аппроксимации. Для получения априорных оценок используются метод энергетических неравенств и принцип максимума.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. для уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

2. для уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума, получена, априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

3. для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной в младших членах построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка, в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

4. для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

5. для уравнения параболического типа в р-мерпом параллелепипеде с нелокальным условием на границе построены локалыга-одномерные схемы. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка для решения локально-одномерной схемы и доказана ее сходимость.

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. Построение локально-одномерных схем для:

(a) уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами;

(b) уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией;

((1) уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью;

(е) уравнения параболического типа в р-мерном параллелепипеде с нелокальным условием на границе.

2. Устойчивость и сходимость локально-одномерных схем для рассматриваемых задач.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа носит теоретический характер и является продолжением развития теории краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с переменными коэффициентами.

Локально-одномерные разностные схемы, построенные для рассматриваемых задач, могут быть использованы при решении прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертации представлены в виде докладов па:

1. Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования», 29 июня—4 июля, 2008 г., Владикавказ;

2. Международном Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». КБР, г. Нальчик-Эльбрус, 17-22 мая 2009 г.;

3. Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна. Воронеж, 25 — 30 января 2010 г.;

4. I региональной междисциплинарной конференции молодых ученых «Наука-Обществу». Владикавказ, 18—20 марта 2010 г.;

5. Международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ, 19—24 июля 2010 г.;

6. Международной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «ПЕРСПЕКТИВА-2010», 23-26 апреля 2010 г., КБР, п. Эльбрус, ЭУНК КБГУ;

7. Международной конференции молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование». Россия, Владикавказ, 12-19 июля 2010 г.;

8. Седьмой Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Г. Самара, 3—6 июня 2010 г.;

9. Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». КБР, г. Нальчик, КЧР, а. Хабез, 25-30 июня 2010 г.;

10. Международной конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики», г. Нальчик, 5—8 декабря 2011 г.;

11. Втором Международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и ииформатики». КБР, Эльбрус—2012;

12. семинарах кафедры вычислительной математики КБГУ в 2010—2013 г.г.;

13. семинарах но математическому анализу ЮМИ в 2010—2013 г.г.;

14. семинарах по математическому моделированию и численым методам ЮМИ в 2010-2013 г.г.;

15. научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительных методов ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова в 2012-2013 г.г.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 9 работах [1] — [9]. Из них [3], [5], [6], [7], [8] и [9] опубликованы в изданиях, включенных п список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 132 страницах и состоит из введения, 5 глав и списка литературы, состоящей из 106 наименований.

Первая глава носит в основном методический характер и посвящена изучению локалыго-одпомерных схем для уравнения теплопроводности с краевыми условиями третьего рода с незнакоопределенпым оператором в главной части. Доказываются устойчивость и сходимость локально-одномерных схем для рассматриваемой задачи.

В цилиндре (Зт = й х (0,Т], основанием которого является прямоугольный параллелепипед й = {х = (х\,х2,..., хр) : 0 < хп < ¿п, а = 1, 2,..., р} с границей Г, рассмотрим задачу:

Основное содержание работы

(1)

(2)

и(х, 0) = иа(х), х 6 (3, 7

где р

Ьи=^Ьпи, Ьпи = -ц„{х,Ь)и,

ка(х,Ь), /(.т,£) — заданные функции х и t такие, что

О < с„ < кп(х, £) ^ сь |д„|, \[]±п\ < с2,

(х,0,/(х,0б С2Д(<Зг), а= 1,2,...,р,

где <2Г = С х [0,Т], С? = С + Г, С"1-" — класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными порядка га по 1 и п по 1. Такие несколько завышенные условия гладкости потребуются при построении разностной схемы второго порядка аппроксимации.

Отметим, что локально-одномерные схемы для задачи (1) - (3) были рассмотрены в работе Фрязииова И.В.21, но при условиях

О < А, < ка, о, ¡3±а ^ 0, Рг_а + /32„ ф О,

к„ (7, — положительные постоянные, а в работе Андреева В.Б.22 для задачи (1) — (3) были построены разностные схемы с расщепляющимся оператором.

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Оха с шагом ка — ¿а/Ма, а = 1,2,... ,р:

— а) — р —

ь>л„ = = '1ак : '¡а = 0, 1, . . . , /v«}, = п

а=1

(г ) р

Ь>ка = = гак ■ г« = 1, • • •, - 1}, а;/, = П ^К,

а=1

^ _ I ^а•> ^а 1)2,..., А^а 1)

\ К/2, га = О, ЛГ„.

На отрезке [0,Т] также введем равномерную сетку ¡¿т = = ^ =0,1,..., 7'0} с шагом т = Т/]о. Каждый из отрезков ^+1] разобьем нар частей, введя точки Ь+п/р = Ь + а/Рт' а = 1,2,... ,р - 1 и обозначим Д„ - , а =

1,2,...,р.

Задаче (1) — (3) поставим в соответствие цепочку «одномерных» уравнений. Уравнение (1) перепишем в виде

&ч = д'0\и -Ьи- } = 0,

или

= 0, 9>аи = - 1ии - /„,

2,Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи// Ж.вычисл.матем. и матсм. физ. 1У64. Т.4, 1106 - 1112.

"Андреев В.Б. О сходимости разностных схем с расщепляющимся оператором, аппроксимирующих третью краевую задачу для параболического уравнения. // ЖВМ и МФ. 1969. Т.9. Xй2. С. 337-349.

где }а{х, £), а = 1, 2, ... ,р, - произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и /(я, <), удовлетворяющие условию

¿/« = /-

а=1

Будем последовательно решать задачи 1 (З'У

= - Ьау(п) - /„ = О, I <= Д„, а = 1,2,... ,р, (4)

^(у— = Р-гг^(гу) ¡¿—П) — О,

дха

ОУ(а) _ „ _ дхп

(5)

полагая при этом

«(1) (х,°) = М*)'

у{а)(х, = и(„_1)(х, « = 2,3,..., р, (6)

Щ\)(Х>Ь) =

Аппроксимируем каждое уравнение (4) номера а двухслойной неявной схемой на полуинтервале , тогда, получим цепочку р одномерных раз-

ностных уравнений

_ „>+(<«-О/г . , . ,

2-^-= Л^4"/" + «=1,2.....р, (7)

Л„у = {аау7.„)Ха - ¿«2/,

где коэффициенты а„ — сеточные функции, которые выбираются из условий второго порядка аппроксимации на. равномерной сетке. Можно использовать следующую аппроксимацию коэффициентов ка(х,1):

о-а = ка(хи ■ ■ ■ ,ха-1>ха — 0.5Л„, Х„+1, Хг, I), I = £¿+1/2-

К уравнению (7) надо присоединить граничные и начальные условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (5):

(1..) У+п/р _ а .¿+"/г _ . г -о

Ух,,,0 — н-аУа И—Пу ха ~ и> /о^

Ж.) 1+п/р _ р+п/р _ (

Условия (8) имеют порядок аппроксимации 0(/1„). Применяя известный прием повышения точности аппроксимации краевых условий третьего рода до второго порядка по /гц, получим разностный аналог задачи (1) — (3):

У^1 = Ку{а) + а = 1, 2,..., Р, I € шк, (9)

у(х,0) = щ(х), у<"> =уН-°!г,

Л„у = (аиига)Ха - (1иу, хи е Шп, т Л-и - ?(1а)У«.,0 - -аУО

Ку = ~

0.5/1,,

, ха 0,

Фа

где

0.5/г,

Д-а. = О,

М-а

+ /«,0, -

+ /аЛ,,

0.5Ла ' 0.5Ла

¡3_а = /?_„ + 0.5М24, Д+а = /5+а + О.бЛ^/Ч

Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является разность = уз'+"/р - где и]+и/р _ решение исходной дифференциальной задачи (1) - (3). Тогда для погрешности г получаем задачу:

= Лцг(и) + Ф^+^р,

(10)

где

ГЛ„, ха 6

К, = о,

Л+ т = ^

I Ф-а, Ха = 0, ^ Ф+ач — ^а)

Ф* = ^ + V«, к = 0(1). к = ощ + т),

0.5/г,,'

ф^ = 0{Н1) + 0{Кт), Е0±„ = о.

а=1

Для решения разностной задачи (9) справедлива

Теорема 1. Локально-одномерная схема (9) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (9) справедлива оценка

Н^ии.) + Х>£ < м(\\у°\\1ш+

?=0 а= 1 ^

+Е ^ Е +Е ^ Е Е Шь)+/4.&0) т.

з'=0 и-1 /=0 и=1

где М зависит от размерности области. Справедлива

(И)

Теорема 2. Пусть задача (1) — (3) имеет единственное непрерывное в QT решение и(х, t) и существуют, непрерывные в QT производные

Ри дАи д3и а2/

at2' дх2адх1' dxidt' дх*'

Тогда разностная схема (9) сходится со скоростью 0(|/?,|2 + т), т.ак что

Ну*1 - м (|Л|2 + т), |Л|2 = h] + hi +... +

где

ii?/+iii?=iii^iiU)+Ъ£ н^ии)-

j'=0 u=l

Вторая глава посвящена разностным методам решения уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода. Данная глава состоит из двух параграфов. Первый параграф посвящен рассмотрению многомерных чисто неявных разностных схем для рассматриваемой задачи, а во втором для нее строятся локалыю-одномериые схемы. С помощью принципа максимума доказываются устойчивость и сходимость разностных схем для рассматриваемой задачи.

В цилиндре Qt = G х [0 < t ^ Т], основанием которого является р-мерный прямоугольный параллелепипед G = {х = (,т i,X2,..., х,,) : 0 < хр < Р.р, ¡3 = 1, 2, ...,р} с границей Г, G = G U Г рассматривается третья начально-краевая задана:

= Lu + /(:г, £), (х, t) € QT, (12)

kp(x, t) -p^- = x-p(x, t)u - ft-0(x, t), xft = 0, O^t^T,

OXp

К , , , , (13)

H+p{x,t)u~ fihl3(x,t), x0 = e0, O^t^T, u(x,0) = u0(x), x e G, (14)

где

Lu = Lt>u, LPU = -S- (kfi(x, ) ,

дха \ dXfl I

с,\, ^ х" > о,

яа 1 Г 4х,7!) . ,

= ^гг;-\ 71-~ регуляризованная дробная производная Римаиа-

Г(1 - о) 0 ((- г])а

Лиувилля порядка а, 0 < а < 1, со, с\ — положительные постоянные, ¡3 = 1, 2, ..., р, дг = (7х

В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты уравнения (12) — (14) обладают таким количеством непрерывных производных, которое необходимо для обеспечения нужной гладкости решения и(х, £) в цилиндре С^?-

В работе Таукеиовой Ф.И. и Шханукова-Лафишева М.Х.23 предложен дискретный аналог дробной производной порядка а, 0 < а < 1:

Г(1

_ Г Ф,''!) (

-а)} {Ц-пУ'

ЛГ> Г(2^) ^ " > + °{Т)' {15)

где

Используя (15), получаем разностное уравнение

± - У? = £ МГ) + V*1. ^ е (16)

1 (А — а] 8=0 /з=1 \ /а*

К уравнению (16) присоединим граничные и начальные условия. Разностный аналог для граничных условий (13) имеет вид:

ар Утр,о = к-рУо ~ Р-р, ХР = О, №) о

ац Ух„,ы„ = х+рУЫц ~ И+р, = «/?•

(17)

Условия (17) имеют порядок аппроксимации 0{Ь,р). Применяя известный прием повышения порядка аппроксимации краевых условий до 0{1+ т) па решениях уравнения (12), получим следующий разностный аналог задачи (12) — (14):

£ - ф?) у! = \у*+1 + &+\

где

Ау:

Г(2 - а) .¿о у л-в+1

у(ж,0) = и0{х), хев,

Лу - £ {аРУщ)гв' ХР е р=1

(1«)

ар Ухе.о- Х-рУо Ау= 0.5Л,-' Ж/, = 0'

. . ^УщМ + х+лУлт, .

л У =--¡ПП:-. ^ = 4».

(18)

Ф =

хр € И-р

0.5Л,

0_5Л/з 0.5Л./У

, х/з = О, , = £р,

И-р ~ Р-Р + 1^+р = + 0.5Л^/в,лгр.

Для решения разностной задачи (18) справедлива

23Таукенова Ф.И., Шхапуков-Лафишев М.Х. Разностные методы решении краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка//Ж. вычисл. матем. и матеы. физ. 2006. Т. 46. №10. С.1871—1881.

Теорема 3. Разностная схема (18) устойчива по начальным данным и правой •части, так что для решения задачи (18) справедлива оценка

^ ||3/°||С + ¿тах (Ц^МИС; + \Ых,1')\\Л +

+Г(2-«) У^т" тах |И|С. (19)

/=0

Здесь и далее

Для погрешности = — справедлива оценка

Не = тах|у|, ||г/||с = тах|у|.

-т€71>

||г'+1||с ^ Г(2 ~а)Ттп шах ||у/||о. (20)

Г=о

Так как ф = 0(|Л|2 + г), |Л| = тах кр, то из (20) следует

При а —» 1 получаем известный результат

||^+1||с = О (|Л|2 + г).

Перейдем теперь к построению локально-одномерных схем для рассматриваемой задачи (12) — (14). Для этого используем дискретный аналог дробной производной порядка а, 0 < а < 1, предложенный в работе Лафиптевой М.М. и Шханукова М.Х.24

'-и-Р/р

1_ Г й(х,п) Г(1-а) I (^/р-ч)"

1 / , , \ / , и»11> _ цО-П/р

= г(2^0 Е (£&-*.)/> - £&-.)„) + о Ш, = т/; .

(21)

Локально-одномерные схемы для задачи (12) — (14) имеют вид:

= (22) у{х,0) = и0(х),

Лафишева М.М., Шханукпв М.Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффугши дробного порядка // ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48. №10. С. 1878-1887.

Ару = <

Л/зУ = {арУхе)х„ хр € ик!), (Ь)

АаУ = -?Г71-> ^ = °>

Ку = -

0.5/1/9 О.ЬНр

фр

, = £р,

хр 6 шнц, ^ г - П

0.5/^

, Ж/3 =

где

Дм и

Р]+Р

Г(2 - а)

Е(л-а \ Ф А

.1=1

,1/р

"IV — и(»-1)//'

~Р-/з = У-Р + 0-5/г/з/до, ~Ц+р = У+р + О.бЛ/з/^лу Заметим, что при повышении порядка аппроксимации краевых условий третьего рода на решениях уравнения (12) до 0(Нр + т), естественным образом возникает разностная задача (22) с нелокальным по каждому направлению хр {¡5 = 1,2,..., р) граничным условием. Эта особенность возникает и в случае многомерных разностных схем (18) для дифференциальных уравнений дробного порядка.

Если вместо чисто неявной схемы рассматривать более общее разностное уравнение с весами + (1 - в правой части (22), то возникнет условие на шаг г:

(2 — 21_")/12

г ^ <Г"Т7о-VI " V /3=1,2,...,

2с1Г(2-а)(1 - ар)

которое при а —> 1 переходит в известное условие т ^

Р,

Ь2р

2сх (1 — ар)'

Перейдем к изучению погрешности аппроксимации (невязки) локально-» одномерных схем. Пусть и = и{х,€) — решение задачи (12) —(14), а /3 = 1, 2, ..., р, — решение разностной задачи (22). Характеристикой точности локально-одномерных схем является разность — и=

Промежуточные значения будем сравнивать с = и(х, по-

лагая = у>+Р1р - Тогда для погрешности г^ = г'*13!* имеем задачу

Д"/. +

"■■Цгр/Р

(23)

где

{Ар, хр е шь,,, Ар, хр = О, Л+, хр = £р,

Ф (р) =

фр, Хр 6 Ф-Р, Хр = О,

>+/з, хр = Iр,

фр = фр + фр, фр = 0{ 1), фр = 0(к2р + г),

^ = ^-/з + ¡щЬ </<, /з = Ф-,р + Щ:, кр = ОЩ) + О(крт), £ кр = О,

z(x, 0) = 0.

Для решения разностной задачи (22) справедлива

Теорема 4. Локально-одномерная схема (22) х)стойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (22) справедлива оценка

Иг/541 Ис ^ ||У°||с + ^„max hv-ßMWс, + Wfl+ß(x, Olle,') +

H* 1Kt'syr

+р1_аГ(2 - a) ]T ra £ max ||</+s/lc (24)

j'=0 0=1

Для решения г задачи для погрешности на основании теоремы 4 справедлива оценка

lk)+1||c < M + г2"-1) , |Л| = max hp.

Справедлива

Теорема 5. Пусть задача (12) — (Ц) имеет единственное непрерывное в QT решение и(х, t) и существуют непрерывные в QT производные

д2и д4и д2+аи d2f dt-2' dx2dxi' dx2dt«' дху 1

тогда решение разностной задачи (22) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (12) — (Ц) со скоростью

Третья глава также состоит из двух параграфов. Первый параграф посвящен рассмотрению локально-одномерных схем для уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией, а во втором параграфе строятся лок;шьно-одномерные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной в младших членах. С помощью принципа максимума доказаны устойчивость и равномерная сходимость локально-одномерных схем для рассматриваемых задач.

Рассмотрим первый параграф.

В цилиндре Qt = G х [0 < t ^ Т], основанием которого является р-мерный прямоугольный параллелепипед G = {х = {х\,хг,..., хр) : 0 < хр < £р, ¡3 = 1, 2, ... ,р} с границей Г, G = G U Г рассматривается третья начально-краевая задача:

an> = Lu + f{x, t), (x,t)€QT, (25)

t) ТГ- = <Mz, t)u - fi-p{x, t), xp = 0, 0 ^ t ^ T,

ot W

-kp(x, t) —— = X+ij(x, t)u - ц ,.p(x, £), xp = tp, O^t^T, axp

и(х,0) = ио(х), х 6 в, (27)

Ьи = ^ Ьри, Ьри = [кр{х, <) ^^ + гр(х, - дг/з(х, ¿)и,

о < С! < £/з(х,4) ^ с2, о < ?/з(х,0 < с3, гр(0,1) > о, г/^, о < о, мх, 01 < с4, а±а ^ а* > о,

1 ^ 11\Х 77)

О^и = -у / ^ ' ^ц^7? — регуляризованная дробная производная Римана,-

Лиувилля порядка а, 0 < а < 1, й = ди/дЬ, со, С1 — положительные постоянные, Р = 1, 2, ..., р, Ят = в х [0 < I < Т].

Получим для задачи (25) — (27) монотонные разностные схемы второго порядка, аппроксимации по кр, для которых справедлив принцип максимума при любых т и Л/з, /3 = 1,2, ..., р. Для этого рассмотрим уравнение (25) с возмущенным оператором

V 0 / Ои \ ди

= Ьри> Ьри - Щд^ ^о^) + гР(х'

хр = 1/(1 + Яр), Яц = 0.5кр\гр\/кр, р = 1,2, ..., р - разностное число Рей-нольдса.

Аппроксимируем каждый из операторов Ьр, /3 = 1,2, ... ,р, при фиксированном í = I = ij.fl/2 разностными операторами

Л,зУ = Щ (о№,)1(1 + Ьра^^у^ + Ьрарухр - ¿ру, Р = 1,2, ... ,р,

где

ар = Ар[кр(хр + гркр,!)], йр = + грНр,!)},

а[р11>) = в/з(х/з + грНр,1), Ь% = Гр{г^{хр + гркр,!)], т* = г+ = 0.5(г/з + М) ^ 0, = 0.5(7-р - Ы) ^ 0,

Лр и Р/з — шаблонные функционалы, используемые для вычисления коэффициентов ар, йр и (/З/з и обеспечивающие второй порядок аппроксимации. Например, можно положить = Гр/кр.

Тогда разностный аналог задачи (25) — (27) имеет вид:

= V' + Р = 1, 2, ..., р, (28)

у(х,0) = и0(х), 16

Ару = яр (ада,) + Ь+а^у^ + Ь^а^ - йру, Хр € ик)„

-(Ы т

ан Ухр.о ~ Л-рУо

Ару = V =-тпп-- х» =

Чу

О.Ькр

0.5/1«

Фй =

, хр — О,

¡3 £ , Хр =

0.5/1/, </?/», Жл 6

0.5/1/

где

= а^ + ОМрГр,0, = -

А_/, = Л_/з + 0.5М/М *+/» = + 0-5М™,

= Ц-р + О-ЬИр/рА, Т1+р = +

Задача для погрешности имеет вид:

г(х', 0) = О,

где

Ля =

л,?, хр е и>кп, Л~, хр = О,

Фр, Хр 6

Ф-р, Хр = О,

Ф+р, хр = £р,

(29)

фр = фр + фр, фр = 0(1), фр = + т),

Ф±р = 0{Ь,2р) + О(крт), Е Ф±р =

/з=1

Для решения разностной задачи (28) справедлива

Теорема 6. Локально-одномерная схема (28) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (28) справедлива оценка

||У+1||с ||у°||с + ^ тах {\\р_р(х,И)\\с, + ||Р+/,М11с,) +

Л и<£

+р1_аГ(2 - а) £ т° £ тах

о /5=1

Замечание 1. Теорема 6 остается справедливой и при ^(ж, ¿) ^ 0. Для решения г задачи для погрешности (29) справедлива оценка

Справедлива

Теорема 7. Пусть задача (25) — (27) имеет единственное непрерывное в С}Т решение и(х, /,) и существуют непрерывные в С}Т производные

д2и д*и дЧ

ЩЩ' Щт«'

тогда решение разностной задачи (28) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (25) — (21) со скоростью

Перейдем теперь ко второму параграфу данной главы.

Рассмотрим следующую задачу: в цилиндре <3г = <2 х [0 < Ь ^ Г], основанием которого является р-мерный прямоугольный параллелепипед б = {ж = (х\,х2,.. •, хр) : 0 < хр < £р, /3=1, 2, ...,р} с границей Г, <7 = (7 и Г, рассматривается третья начально-краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка, с дробной производной ддхи порядка, и (0 < V < 1) по пространственной переменной х в младших членах:

д'0\и = Ьи +/{х,г), {х,г)еЯт, (31)

Он

кр(х, £) — = Х-р(х, £)и - ц-р{х, Ь), хр = 0, 0 ^ Ь ^ Т,

-кр(х, 4) — = \+р(х, 1)и - ц+р(х, £), хр = ¿р, 0 < 4 ^ Т, ахр

и(х,0) = и0(х), X е (33)

где

V 0 / Ои \

Ьи = ^ Ьри, Ьри = — \ кр{х, + га(х, - Чв{х,

0 < со < кр < сь гр < 0, |г/з| < с2, яр > 0, \±р > А* > 0,

1 ^ и(х, 7^)

~ Г(1—а) ^ (4—~ регуляризованная дробная производная Римана-Лиувилля порядка а, 0 < а < 1, й = ди/дЬ,

дохри ~ р/1-Т / 1—\и^/з, 0 < V < 1 - рсгуляризованная дробная произ-

111 и) и (х0 ~ Ьр)

водная Римапа-Лнувнлля порядка и (0 < и < 1) по пространственной переменной хр, и' = ди/дх, с0, с\, с2 - положительные постоянные, (5 = 1,2, ..., р, (¿г = С х [0 ^ ^ ^ Т].

Дифференциальной задаче (31) - (33) поставим в соответствие локально-одномерные р;13ностные схемы:

д?= + (34)

где

ЬрУ = (аУг,)^ + ^Д^у - ¿„у,

рГ(2-а) 1зНР-»)И>)у1 > Щ--^-■

Присоединим к (34) граничные и начальные условия:

(35)

¡/(1,0) = ио(г), 16%. (36)

Задача для погрешности 2 имеет вид:

1 1 рНР /

£ (^-»и/р " £&-.,/„) ^ = А/»^ + (37)

' .4 = 1

= (38) ^ = Е < ^ = £ А+= Е ^ = о (|л|+г),

/5=1 /1=1 0=1

'Фр = 0(кр + т), °фр = 0( 1), у-р = 0(кр), = Для решения разностной задачи (34) - (36) справедлива

Теорема 8. Локально-одномерная схема (34) - (36) устойчива по начальным данным, и правой части, так что для решения задачи (34) — (36) справедлива оценка

||;/+1||с ^ ||?/lk+ max ¿(11/^(1,011с, + IMz.OI|с,) + О<t%jr Л \ '

+р,-«Г(2 - а) ¿г" max (39)

j'=о /3=1

Замечание 2. Теорема 8 остается справедливой и при qp{x, t) > 0. Для погрешности г справедлива оценка

Н^Нс^М^+т Справедлива

Теорема 9. Пусть задача (31) — (33) имеет единственное непрерывное в (¿Т решение и(х, I) и существуют непрерывные в (¿Т производные

д2и э4и д2+"и а2/

тогда решение разностной задачи (34) - (36) равномерно сходит.ся к решению дифференциальной задачи (31) — (33) со скоростью

|Л|

г2«-Л \h\ = max hß. J \<ißiv

Четвертая глава посвящена рассмотрению локалыю-одномерпых схем для дифференциального уравнения дробного порядка в случае, когда на границе области задано условие с сосредоточенной теплоемкостью дробного порядка,

я» i-ди

СоОши = K—,

1 ^ il(x 77 )

где 0Ц,и = ^-у / ^ ' ydri — регуляризованная дробная производная Римана-

Лиувилля порядка, и, 0 < v < 1, й = du/dt.

Краевые задачи для уравнения теплопроводности, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость величины Со возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью (см. книгу Тихонова, А.Н. и Самарского A.A.25, с. 186). Тогда для уравнения теплопроводности в одномерном случае, например, при х = 0 ставится краевое условие вида

ди Яи п

Cq— = k—, со = const > 0. ut ох

2Г>Тих01ЮВ А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической фичики. -М.: Наука. 1966. - 724 с.

Аналогичные задачи возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда рассоление верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности, затопленного на некоторое время участка (см. книгу Нерпина C.B. и Чудповского А.Ф.26, с.233). В работе Нигматулина P.P.27 для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется дифференциальное уравнение дробного порядка.

В цилиндре Qt = G х (0,Т], основанием которого является р-мерный прямоугольный параллелепипед G = {х = (xlt х2,..., хр) : 0 < ха < lix, а -1, 2, ... ,р} с границей Г, рассмотрим задачу

а0> = Lu + f{x,t), (x,i)6Qr,

ки(х, t)~ = К-ад^и + Р-а(х, t)u ~ Ц-а{х, t), Ха = О, Он

t) — = ягнД> + /3+ц(х, t)u - ц+а(х, t), ха = еа,

и(х, 0) = щ{х),

(40)

(41)

(42)

где

■ Q

du dxn

0 < с0 ^ ка < ci, Д±„ > fi. > 0, H±a = const > 0. Разностный аналог задачи (40) — (42) имеет вид

у(х,0) = щ(х),

(43)

где

Ку = <

Ку = {"■>'!/:■.,).,„, ха € ииа,

Ку =

ааа'УхаМ - Р-аУо рх-„ + 0.5h„

Xa = 0,

ф„

(N )

А+ Од " Vxa,tra + P+aVNa , aV px+a + 0.5ha ' X" tc"

V, xu G uha, xa = 0, txa £a,

__ ll-g + O.bhgfgfl _ _ [l+a +0.5/l„/u>Wii

hL-n — ___ , n ri. > —

px-a + 0.5ha Задача для погрешности 2 имеет вид:

p>í_„ + 0.5 ha

, 7'J + ur

- v) ¿^ y-j+ias+V/p lj+(a-s)/p) Zt ~ A°Z +У>и

2,'Нерпин C.B., ЧудноискиА А.Ф. Энерго-и массо-обмен в системе растение-почва-воздух. Л.:ГИДРОМЕТЕОИЗДЛ'Г, 1Ы75г.

27Нигматулин P.P. Особенности релаксации системы с остаточной памятью //. Фи:), твердого тела. 1985. TV27. №5. С. 1583 - 1585

= Апи^" + ф»"!' - Д

О # О

Фа = Фа + Фа> Фа = Фа = Таким образом, разностная задача (43)

обладает суммарной аппроксимацией

«=1 а=1 (*=1

Для граничных условий получаем

о *

Д" , _ K + J+a/p . ,/, ,/, - °-Ы1"Ф+а | VV _/?

, ,„г — л«г + V+iii — ГТГсТ 1 , n а • —

UI'+"/r + 0.5Л,, p>i+<y + 0.5 ha

> о

Ф±а = ОД. £ Ф±а = 0, = + r).

а—1

Для решения разностной задачи (43) справедлива

Теорема 10. Локально-одномерная схема (43) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (43) справедлива оценка

ИзЛ'Ис ^ ||?Л|с + £ (ИР-аМИс, + IlF+afoOllcJ +

+р1-"Г(2 - Е r" Е П1^ (44)

j'=n <r= 1

По аналогии с работой Лафишевой М.М. и Шханукова М.Х.28 можно показать, что на кубической сетке Л.^ = Лг = • • ■ = Ьг = к при условиях

Х-1 = Х-2 = ... = Я-,, = Щ, Х+1 = Х+2 = .. • = *<+,, =

для погрешности г справедлива оценка

И^Ис^М^ + т*-1), 1*1=™«*, Итак, справедлива

2яЛафишева М.М., Шхануков М.Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48. №10. С. 1878-1887.

Теорема 11. Пусть задача (40) — (42) имеет единственное непрерывное в С}Т решение и существуют непрерывные в С}Т производные

Э"и д2+1,и 02/

з?' ЩЩ' Щдё' дЩ;

УС-1 = 2 = . . . = = > О, = Х+2 = . . . = Х+р = УС-1 > О,

тогда решение разностной задачи (4'3) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (40) — (42) со скоростью

Пятая глава посвящена рассмотрению нелокальной краевой задачи для уравнения параболического типа в р-мериом параллелепипеде. С помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка для решения локально-одномерной схемы и доказана ее сходимость.

В работе Чудновского А.Ф. 2а обращено виимапие на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий для уравнения влагоперепоса

где -О('ш) — коэффициент диффузивности, ш — влажность в долях единицы, х — глубина.

Для уравнения (45) Чудновский А.Ф. сформулировал задачу с нелокальным условием:

= [ ыйх, (46)

ах и— о J о

= 0, (47)

дш\ д х \х=г.

■ш(х,0) = <р(х), 0 < х ^ £. (48)

Нелокальное условие (46) означает, что поток влаги через поверхность х — О равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до а, условие (47) означает изоляцию в смысле обмена влагой между слоем почвы х = £ и ее нижними слоями, и в начальный момент задан глубинный ход влажности (48).

В цилиндре = й у. [О < 4 ^ Т\, основанием которого является прямоугольный параллелепипеде = {х = (хх, хъ,..., ху) : 0 < ха < £а, а = 1, 2,... , р} с границей Г, рассматривается задача ди

— = £,« + /(!, О, {х,1)е От, (49)

2аЧудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло-и влагоперепоса в почве // «Сб. трудов по агрофизике», вып. 23, Гидрометеоиздат, 1969. С. 41 — 54.

r„

ka(x, t) = J udx„ + ß-a(x, t)u - ß-„(x, t), x„ = 0,

—kn(x, t) — — ß+r,{x, t)u — ß+n{x, t), xn — in öxa

u(x, 0) = ио(ж), x G G,

ГДО

Lu = ^ Lau, Lau = (ka{x, t)-^- j - qa(x, t)u,

0 < cn ^ k„(x,t) ^ Cj, \q„\, |/3±„| ^ c2, Q = 1,2,.. . ,p,

Qi, C|, C2 — положительные постоянные.

Разностный аналог задачи (49) — (51) имеет вид

У^ = Лау<"> + Ч+"/г, а = 1,2.....P,I6 wfc)

y(x,0) = u0(z), у("> = yJ'+"/f,

где

(а) У*^ —

Л„У = <

Л„У = (апуза)Ха - dny, хп € Шл„, _ _ Q«°)y.T,„ü - "ß-дУа 1 ^ (a)h

Ку = Ку = -

0.5 Л,.

, -Т« € T+Q

h„ =

!</?„, х„ е w/lr>,

ß-a> £ '"/-(п

^ 7+ai

^а> ^а — 1>2,..., /Vq, 1,

Ла/2, i„ = 0, /V,,,

— __а .г — __г

= /3_а + 0.5Л„сг„,о, /3+а = /?+„ + 0.5 Задача дпя погрешности z^+alv = имеет вид:

= Ла>) + ф(;,), а = 1,2,... ,р, г(ж,0) = 0,

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

Aaz = (au2ïu)Xu - daz, xa 6 uih<i,

A „z = <

л- о - /3-„го 1 fi ft

0.5/i„

0.5/i(1,

а^'г^,^ + /ï+QZjv„

Фа = Фа + Фа, Е Ф» = 0, Фа = O(l), Ф„ = 0(/l2 + т), Ха £

а=1

Ф„ = Ф-а = Ф-а + Ф-а/0.5/1а, £ Ф-а = О, ф_а = 0(h2a + т), Жа € 7-а,

а=1

Ф+а = Ф+а + Ф+„/0.5Л,„, £ Ф+„ = О, Ф+„ = 0{h2a + т), Хп £ 7+„.

а=1

Т.е., разностная задача (52) обладает суммарной аппроксимацией

^ = £>а = $>„+£ = от1+г), |л|2 = н[+а2+...+ni

а=1 а=1 а=1

Для решения разностной задачи (52) справедлива

Теорема 12. Локально-одномерная схема (52) — (53) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (52) — (53) справедлива оценка

j'=0 а=1

<M(t)

Hy°iiU) + ЕТЕ ( + £ (S-aM+nUtfWh*

j'=о u=l ^ ifi^iu

(55)

где M(t) > 0 — не зависит от hn и т. Справедлива

Теорема 13. Пусть задача (49) — (51) имеет единственное непрерывное в QT решение и(х, t) и существуют непрерывные в Q? производные

Pu д4и дли d2f

dt2 ' дх*дху dx2adt> дх2 ' а ~ ' ' ' ' ' 'р' а *

тогда локально-одномерная схема (52) — (53) сходится со скоростью 0(\h\2+r), так что

W^-U^WHM^ + T),

= + Е^Е н^а/г']| W

j'=0 а=1

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Шханукову-Лафишеву Мухам. еду Хабаловичу за поддержку и пост.оянное внимание к работ,е.

Публикации автора по теме диссертации

1. Баззаев А.К. Локально-одномерная разностная схема для III-й краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка в двумерной области. //Сборник научных трудов Ссвсро-Осетинского отделения Академии наук высшей школы Российской Федерации, 2008, №6, С. 134-139.

2. Баззаев Л.К. Численное решение третьей краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка, методом суммарной аппроксимации. Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. - Вла,-дикавказ: ВНЦ РАН, 2008- 376 с.

3. Баззаев А.К., Шхануков М.Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода // ЖВМ и МФ., 2010, Т. 50, №7, С. 1200-1208. •

4. Баззаев А.К. Первая краевая задача для обобщенного уравнения параболического типа с дробной производной по времени в многомерной области // Труды молодых ученых. Серия: Математика. 2010. Выпуск №4, С. 147-162.

5. Баззаев А.К. Третья краевая задача для обобщенного уравнения параболического типа с дробной производной по времени в многомерной области // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2010. №2, С. 5-14.

6. Баззаев А.К. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с краевыми условиями третьего рода. // Владикавказский математический журнал, 2011, Т. 13, Выпуск 1, С. 3-12.

7. Баззаев А.К., Гутнова Д.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для параболического уравнения с нелокальным условием. // ЖВМ и МФ, 2012, том 52, № 6, с. 1048-1057.

8. Баз заев А.К., Мамбетоиа А.Б., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально- одномерная схема для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью // ЖВМ и МФ, 2012, том 52, № 9, с. 1656-1665.

9. Баззаев А.К. Разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода в многомерной области. // Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 11-16.

Баззаев Александр Казвекович

Локально-одномерные разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 15.07.2013. Усл. и. л. 1,4 Формат бумаги 60 x84716. Тираж 100 экз. Заказ №83

Отпечатано в ИПЦ СОИГСИ им. В.И. Лбаева ВНЦ РАН и Правительства РСО-Ллания 362040, г. Владикавказ, пр. Мира, 10.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Баззаев, Александр Казбекович, Москва

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования «Северо-Осетинский государственный университет имени К.Л. Хетагурова»

Баззаев Александр Казбекович

Специальность 01.01.07 — Вычислительная математика

04201360839

На правах рукописи

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Шхануков-Лафишев М.Х.

Москва-2013

Оглавление

Введение 4

1 Локально-одномерные схемы для уравнения теплопроводности с краевыми условиями третьего рода с незнакоопреде-ленным оператором в главной части 33

1.1. Постановка задачи..................................................33

1.2. Локально-одномерная разностная схема..........................34

1.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы ... 37

1.4. Устойчивость локально-одномерной схемы ......................40

1.5. Сходимость локально-одномерной схемы ........................44

2 Уравнение диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода в многомерной области 46

2.1. Разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка

с краевыми условиями третьего рода в многомерной области . 46

2.1.1. Постановка задачи..........................................46

2.1.2. Разностная схема............................................47

2.1.3. Устойчивость разностной схемы ..........................49

2.1.4. Сходимость разностной схемы ............................54

2.2. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода................55

2.2.1. Локально-одномерная разностная схема......... 55

2.2.2. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы 59

2.2.3. Устойчивость локально-одномерной схемы ....... 62

2.2.4. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы . 69

3 Локально-одномерные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией 71

3.1. Уравнение диффузии дробного порядка с конвекцией..... 71

3.1.1. Постановка задачи..................... 71

3.1.2. Локально-одномерная разностная схема......... 72

3.1.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы 76

3.1.4. Устойчивость локально-одномерной схемы ....... 78

3.1.5. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы . 85

3.2. Уравнение диффузии дробного порядка с дробной производной

в младших членах......................... 87

3.2.1. Постановка задачи..................... 87

3.2.2. Локально-одномерная разностная схема.......... 88

3.2.3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы 90

3.2.4. Устойчивость локально-одномерной схемы ....... 92

3.2.5. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы . 97

Локально-одномерные схемы для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью 99

4.1. Постановка задачи......................... 99

4.2. Локально-одномерная разностная схема............. 100

4.3. Погрешность аппроксимации разностной схемы ........ 103

4.4. Устойчивость локально-одномерной разностной схемы..... 105

4.5. Равномерная сходимость локально-одномерной разностной схемы 108

Локально-одномерная схема для параболического уравнения с нелокальным условием 111

5.1. Постановка задачи......................... 111

5.2. Локально-одномерная разностная схема............. 112

5.3. Погрешность аппроксимации разностной схемы ........ 114

5.4. Устойчивость локально-одномерной разностной схемы..... 117

5.5. Равномерная сходимость локально-одномерной разностной схемы 122

Список литературы

124

Введение

В последние годы возрос интерес к исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка, в которых неизвестная функция содержится под знаком производной дробного порядка. Это обусловлено как развитием самой теории дробного интегро-дифференцирования, так и приложениями таких конструкций в различных областях науки [12], [38], [41], [51], [57], [74], [75], [78], [80], [81], [90], [91], [92], [93], [96], [97].

Интегралы и производные нецелого порядка и дробные интегро-дифференциальные уравнения находят множество применений в современных исследованиях в теоретической физике, механике и прикладной математике. Дробное математическое исчисление является мощным инструментом для описания физических систем, которые обладают памятью и нелокалыгостыо. Многие процессы в сложных системах обладают нелокалыюстыо и характеризуются долгосрочно]! памятью. Дробные интегральные и дробные дифференциальные операторы позволяют описывать некоторые из этих характеристик. Использование дробного математического анализа может быть полезным для получения динамических моделей, в которых интегро- дифференциальные операторы по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную пелокальность сложных сред и процессов [59].

Дифференциальные уравнения дробного порядка также возникают при использовании концепции фрактала в физике конденсированных сред [49]. Перенос, описываемый оператором с дробными производными на больших расстояниях от источников, приводит к иному поведению относительно малых концентраций по сравнению с классической диффузией, что заставляет пересмотреть существующие представления о безопасности, базирующиеся на представлениях об экспоненциальной скорости затухания (см. [20], [21]). Как отмечено в [42], дробное исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в механике сплошных сред. Уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторой физической системы с потерями, причем показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за все время эволюции. Такие системы могут быть классифицированы как системы с «остаточной» памятью, занимающие промежуточное положение между системами, обладающими полной памятью, с одной стороны, и марковскими системами, с другой [47].

Использование дробных производных для описания и изучения физиче-

ских процессов стохастического переноса так же стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости в сильно-пористых (фрактальных) средах приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка [9], [24], [25], [26], [45], [48], [65], [66].

Теория фракталов широко используется для описания структуры неупорядоченных сред и протекающих в них процессов [27], [34], [35], [36], [66]. Примерами неупорядоченных сред являются пористые тела. При этом фракталами могут быть поровое пространство, скелет породы, поверхность скелета породы и т.д. В случае, когда трещины и сплошные пористые блоки представляются однородными взаимопроникающими континуумами, для описания фильтрации жидкости обычно используется модель Баренблатта-Желтова [8]. В случае, когда пространство представляет собой фрактал с размерностью Хаусдорфа-Безиковича dj) погруженный в сплошную среду с размерностью d, (d ^ df, d = 2, 3), для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется дифференциальное уравнение дробного порядка [48].

Дробное дифференцирование и дробное интегрирование восходит к исследованиям большого числа известных математиков, таких как Лейбниц,

Лиувилль, Риман, Абель, Рисс, Вейль. Сама идея обобщения понятия диф-dpf(x)

ференцироваиия —;-па нецелые р возникла с самого зарождения диффе-

dxp

ренциального исчисления. Первые работы в этом направлении принадлежат Г. Лейбницу, Я. Бериулли, Л. Эйлеру и Ж. Фурье [71], [72], [82].

В 1832 — 1837 г.г. появляется серия работ Лиувилля [82] — [88], сделавших его по праву создателем теории дробного исчисления. В работах Б. Римана, X. Хольмгрена, А. Летникова, А. Грюпвальда [79] было продолжено изучение производных любого порядка.

К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L. O'Shaughnessy, S. Mandelbrojt [94], [89]. Задачу'типа Коши для уравнения D%x — f(x,y) рассмотрели Е. Pitcher, W.E. Sewell в работе [95], в которой они доказали теорему существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В дальнейшем эти результаты были значительно обобщены в работах М.А. Al-Bassam, A.Z. Al-Abccleen, H.L. Arora [70] — [73], где получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе A.M. Нахушева [40] изучена задача Штурма-Лиувилля для диф-

ференциального уравнения дробного порядка

у"{х) + а0(х)у'{х) + ^2ak(x)D^k{wk{x)y(x)) + ат+1(х)у(х) = f(x), (0.1)

jfe=i

где 0 < ак < 1, ао(х), am+i(x), ак(х), wk{x), к = 1,2, ..., т; f(x) — непрерывные на [0,1] функции, Dqx — оператор дробного в смысле Римана-Лиувплля дифференцирования порядка а. К задаче Штурма-Лиувилля

Роу'(О) + qoy( 0) = r0, pi у'{1) + gi2/(l) = п,

для уравнения (0.1) редуцируются многие прямые и обратные задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

В работах [1], [2] Т.С. Алероев исследовал спектр задачи Дирихле для дифференциального уравнения

и"{х) + a(x)D%xu = f(x), 0 < х <1, 0 < а < 1. (0.2)

Им показано, что задача

п(0) + /Зи\0) = и(1) = 0, ¡3 ^ 0, /(:х) = 0, а(х) = Л

для уравнения (0.2) не имеет отрицательных собственных значений.

Ранее A.M. Нахушевым в работе [40] показано, что число Л является собственным значением задачи

и(0) = 0, и( 1) = 0, а(х) = Л

для уравнения (0.2) тогда и только тогда, когда Хк является нулем функции Миттаг-Леффлера E,2_Q)2(—А). Работы [50], [52] также посвящены исследованию собствееных значений данной задачи.

Ю.А. Бабепко в работе [7] для определения тепловых и диффузионных потоков на границе раздела двух сред применил метод расщепления оператора уравнения на два множителя, каждый из которых содержит производную

порядка - по t.

Ряд работ В.К. Вебера и М.И. Иманалиева [14] — [19], [28] посвящен исследованию систем дифференциальных уравнений дробного порядка.

В монографиях [39], [51], [57], [81] дан достаточно полный обзор работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка. Монография [39] посвящена качественно новым свойствам операторов дробного интегро-дифференцнрования и их применению к дифференциальным уравнениям дробного порядка.

Численным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы Головизшша В.М., Киселева В.П., Ко-роткина И.А., Юркова Ю.П. [20) — [21], Шханукова-Лафишева М.Х. [60], К. Diethelm и N. G. Walz [76], К. Diethelm и N. J. Ford [77] и др. Работы [3] - [5], [9], [10], [11], [37], [60], [67], [68], [69] посвящены построению и исследованию разностных схем для обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений с дробной производной по времени и пространственной координате.

В работе [54] предложена локально-одномерная схема для линейного и простейшего квазилинейного уравнения параболического типа с любым числом р пространственных переменных, пригодных в случае произвольной пространственной области G, на границе Г которой заданы краевые условия первого рода, а в случае когда G — параллелепипед, краевые условия третьего рода. Все эти схемы абсолютно устойчивы относительно начальных и граничных данных, а также по правой части, и равномерно сходятся со скоростью 0(h2 + т). В работе [55] рассматриваются локально-одномерные разностные схемы на произвольных неравномерных сетках для линейных и квазилинейных параболических уравнений. Принцип максимума для линейного уравнения параболического типа в случае неравномерных сеток дает лишь первый порядок аппроксимации по h для погрешности z = у — и относительно погрешности аппроксимации.

Локально-одномерным схемам для дифференциальных уравнений диффузии дробного порядка в многомерных областях посвящена работа Лафи-шевой М.М. и Шхаиукова-Лафишева М.Х. [37].

Цель диссертационной работы работы:

1. построение локально-одномерных схем для уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами;

2. построение локально-одномерных схем для уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией;

3. построение локально-одномерных схем для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной по пространственной переменной в младших членах;

4. построение локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью;

5. построение локально-одномерных схем для уравнения параболического типа в р-мерном параллелепипеде с нелокальным условием на границе;

6. доказательство устойчивости и сходимости разностных схем для рассматриваемых задач.

Методы исследования. В работе для построения локально - одномерных схем для рассматриваемых задач используется метод суммарной аппроксимации. Для получения априорных оценок используются метод энергетических неравенств и принцип максимума.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

2. для уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

3. для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной по пространственной переменной в младших членах построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

5. для уравнения параболического типа вр-мерном параллелепипеде с нелокальным условием на границе построены локально-одномерные схемы. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка для решения локально-одномерной схемы и доказана ее сходимость.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. построение локально-одномерных схем для:

(a) уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами;

(b) уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией;

(с) уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной по пространственной переменной в младших членах;

(с1) уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью;

(е) уравнения параболического тина в р-мерном параллелепипеде с нелокальным условием на границе;

2. устойчивость и сходимость локально-одномерных схем.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и является продолжением развития теории краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с переменными коэффициентами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации представлены в виде докладов на:

2. Международном Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». КБР, г. Нальчик-Эльбрус, 17 — 22 мая 2009 г.;

3. Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейиа. Воронеж, 25—30 января 2010 г.;

7. Международной конференции молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование». Россия, Владикавказ, 12—19 июля 2010 г.;

11. Втором Международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». КБР, Эльбрус -2012;

12. семинарах кафедры вычислительной математики КБГУ в 2010—2013 г. г.;

13. семинарах по математическому анализу ЮМИ в 2010—2013 г.г.;

14. семинарах по математическому моделированию и чпсленым методам ЮМИ в 2010-2013 г.г.;

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 9 работах [98] - [106]. Из них [100], [102], [103], [104], [105] и [106] опубликован�