Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Керефов Марат Асланбиевич

Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной

Специальность 01.01.03 - Математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нальчик - 2000

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН и Кабардино-Балкарском государственном университете им. Х.М. Бербекова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Шхануков М.Х.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Хачев М.М.,

кандидат физико-математических наук, доцент Кумыкова С.К.

Ведущая организация: Новгородский государственный

университет

Защита состоится « сс. » декабря 2000 г. в ю часов на заседании специализированного Совета К063.88.06 при Кабардино-Балкарском государственном университете по адресу: 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КБГУ. Автореферат разослан « / » ноября 2000г.

в /¿У, ££ Gl - з, о а

Ученый секретарь ДС К063.88.06 /

к.ф.-м.н. (рдиум Кайгермазов A.A.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние годы внимание математиков, физиков стали привлекать уравнения, содержащие дробные производные как по времени, так и по пространственным переменным. Эти уравнения встречаются в физике, механике при описании сложных объектов и систем различной природы, при этом все чаще используются новые геометрические представления. Первым, кто ввел такие представления, сопоставляя классическую геометрию с новой - фрактальной геометрией, был Б. Мандельб-ройт(1982 г.).

Примерами фракталов (или фрактальной среды) могут служить очертания гор, извилины берегов, очертания облаков (с размерностью Хаусдорфа-Безиковича <3=1.36), график дробного броуновского движения (d=3/2), полимерные материалы, сильно пористые среды (Бэгли P.JL, ТорвикГ. Дж., 1984; Федер Е., 1991).

Наряду с геометрическими фракталами рассматривают и временные фракталы (Нигматуллин P.P., 1986; Кочубей А.Н., 1990; Нахушев A.M., 1995). Так уравнение переноса, полученное для сильно пористой (фрактальной) среды, часто называют уравнением медленной диффузии (Чукбар К.В., 1995; Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков М.Х., 1996). Таким образом, решение краевых задач для обобщенных уравнений переноса или уравнений диффузии дробного порядка стали актуальными. В диссертационной работе исследуются как классические задачи для модифицированного уравнения влагопереноса, так и задачи для обобщенного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной.

Цель работы. Целью работы является установление корректности краевых задач для модифицированного уравнения влагопереноса, а также разработка методов решения краевых задач для обобщенного уравнения влагопереноса в средах с фрактальной геометрией.

Общие методы исследования. Результаты получены с использованием метода Фурье, теории уравнений Вольтерра, метода априорных оценок, метода прямых решений краевых задач для дифференциальных уравнений.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации впервые исследован класс краевых задач для уравнений диффузии дробного порядка. В ней получены следующие результаты:

1. Для решения краевых задач (первой и третьей) для модифицированного уравнения влагопереноса получены априорные оценки, откуда следует единственность решения рассматриваемых задач. В частности, для гиперболического уравнения третьего порядка получена априорная оценка из класса (О,/).

2. Методом Фурье доказано существование решения первой краевой задачи для некоторых классов обобщенных уравнений диффузии дробного порядка.

3. Для решения начально-краевых задач для различных классов обобщенных уравнений переноса получены априорные оценки, откуда следует единственность решения рассматриваемых задач. Отдельно изучен случай, когда знак эллиптической части оператора неопределен.

4. Доказана сходимость метода прямых для первой и третьей краевых задач для обобщенного уравнения диффузии дробного порядка.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН, на семинаре математического факультета Кабардино-Балкарского государственного университета по математической физике и вычислительной математике, на III Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии", посвященном 80-летию академика A.A. Самарского (Кисловодск, 1999 г.)

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] - [6]. Из них [2] выполнена в соавторстве с М.Х. Шхануко-вым, которому принадлежит постановка задач.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка, содержащего 65 наименований. В первой главе - четыре параграфа, во второй -семь, в третьей - четыре. Объем диссертации - 76 страниц, набранных в среде Microsoft Office 97 (стиль Times Roman).

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность и практическая ценность работы, сформулирована цель работы, дан краткий обзор существующей по теме литературы, изложена структура и содержание диссертации.

Глава 1. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса

§1. Третья краевая задача. Априорная оценка в дифференциальной форме

В области 2Г = (0,£) х (О, Г) рассмотрим задачу

и, = {ких)х + Аи^ + /(х,0<х<1, 0<t<T (1)

|п(0,0 = р1«(0,о-цко, 1- щ/,о=р2«(/,о - |я2(о,

и(х,0) = м0(дг), (3)

к>Су> 0, р„р2>0, р!+р2>0, д и д д и

где П(х,Г) = /с-+ А—--поток влаги через сечение X в

д х д ( д х

единицу времени, и{х,{) - влажность почвы в долях единицы,

А > О - варьируемый коэффициент Аллера, /(х,1) - интенсивность источников влаги.

Для решения задачи (1) - (3) получена априорная оценка

6а

где

о

2

Ко, = И*»о&.(0,/)=кК+1И1о-

§2. Априорная оценка в и^(ОД) в случае первой краевой задачи

В области <2т 0<х<1, 0 < t < Т) рассмотрим пер-

вую начально-краевую задачу для уравнения (1)

и(0,/) = н(и) = 0, и(х,0) = и0(х), к > с1 > О, А > 0 .

В предположении существования решения этой задачи получена априорная оценка

1иц(0)1) =11

В частности, если и0(х) = const, то получаем

llo+IKIIo+lklo-

и2

а«

то есть для первой краевой задачи уравнения гиперболического типа имеет место априорная оценка из класса "И^(од).

§3.Случай незпакоопределенного оператора

В этом параграфе рассмотрена задача (1) - (3) при [¿I < Cj, А = const > О, Р],Р2 > О, Р,-(-Р2>0. Получена априорная оценка

Но + 4*xfo * ^(О^Й + ^ + ¿ll/||22,g( + fo>(*t+M(*t .

Целесообразность такой постановки состоит в том, что коэффициент диффузивности к(и) в реальных расчетах может обратиться в нуль, даже стать величиной отрицательной, поэтому важно знать влияние знака k(x,t) на корректность постановки задачи. Следует отметить, что незнакоопределенность коэффициента Ал-

лера нарушает корректность как в случае третьей, так и в случае первой краевой задачи.

В случае первой краевой задачи при < Cj, А = const > 0 для решения получена следующая оценка:

IK*.of

»2(<М)

<M{t)

n/ii

'2,0/

+

"о О) „ + "о M

Глава 2. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной

§1. Метод разделения переменных для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной

В области <2Т рассмотрим задачу

в0111 = ихх + ихх1> 0<х<1,0<(<Т, (4)

и(0,/) = ы(/,/) = 0, 0<t<T, ы(х,0)=ф(х), 0 <х<1,

г>ос 1 8 'ги(х,х)с1т

= ^-/ С > 0<а< 1.

Доказана

Теорема. Если функция ср(х) непрерывна, имеет непрерывную производную 1-го порядка, и кусочно-непрерывную производную 2-го порядка и удовлетворяет условиям ср(0) = ср'(О) = ф(/) = ф'(/) = 0, то функция, определяемая рядом

со 00 ц + 1 (п\

SI П

¿=1 n=0s=0 И

t"-™ . пк

sin-X ,

где ск=ц>к^~1 ф^п^^, " = ' ,

представляет непрерывную функцию при ^ > О, дифференцируемую нужное число раз и удовлетворяющую уравнению (4).

/

Г(и + 1-^а) I ni

§2. Единственность решения первой краевой задачи

В области <2г = ((и)х(О, Г) для обобщенного уравнения влагопереноса

£>о/И = (ких)х + Аи^ - д(х,Ои + Дх,0 (5)

рассмотрена первая краевая задача

и( 0,/) = «(1,0 = 0, (6)

и(х,0) = и0(х) , (7)

где к(х,0>с>0, Л>0,

Для решения задачи (5) - (7) справедлива априорная оценка

н , 112^

откуда следует единственность решения задачи.

§3.Метод прямых для решения первой краевой задачи В области ()Т =(0,/)х(0,Г) рассмотрим задачу

Я*/" = (Ч)х + + ЯХЛ (8)

и(0,/)=ы(/,*) = 0, и(х,0) = 0,

к(х^)>С> 0, А>0.

Разбив отрезок [0,/] точками = /А, ¡=0,1,....И, А = и

заменив производные по переменной х на разностные производные

{к{х,1)их)х ~(а(х,(Ух)х

11 XXI ~ 1'хх1>

а(х1,г) = - 0.5/г,/) = к !

/— 2

где ~ - знак аппроксимации, ставим в соответствие задаче (8) следующую систему уравнений метода прямых:

ам---.

+ 4к«+1 + Д'/.мс'я+ФС^.О, (9)

п

ф0,-,0 = /(*,-.О+ о(а2) а, >с>0, Л>0, / = 1,2,..., ./V -1

где ^(/) = >'(х„/).

Для решения задачи (9) получена априорная оценка в сеточной норме IV]

¡^И^+М^ м -

N

где И = Лу>У\ » (у»*] = ,

1=1

положительная постоянная, не зависящая от к. Откуда следует сходимость метода прямых со скростью о(/г2) в сеточной норме

Для однородной системы уравнений

Ку = ту[(л+1 (0 - 2 ук (0+ Ук-\ (0) + (у,М1 (') " 2У'Л (0 + >"/,лг-1 (0)] И

получено общее решение

лм

*=1 1 п=0/=0

ОО П+1

/.л

и;

я-уа

Г(и +1 - у'а) '

г 2 4 . 2 7Г где о5 = ^-зт — , су- произвольная постоянная.

§4. Априорная оценка для решения третьей краевой задачи.

В области QT - (0, £) х (0,7) рассмотрим третью краевую задачу для уравнения диффузии дробного порядка

Дз> = {ких)х + Аихх, -д(х,()и + /(х,0, (А их1 + ких = - Ц! ((), х = О, [-(Лых, +Лмх) = Э2м-ц2(05 х = 1,

и(х,0) = 0, р!,р2>0, р!+р2>0, 0 < а < 1, к>с^> О, А>0, (?>т>0.

В предположении существования регулярного в области решения задачи (10) - (12) получена априорная оценка

t

(10) (и) (12)

1,2

«2,а

+

(13)

откуда следует единственность решения задачи (10) - (12).

§5.Случай незнакоопределенного оператора

В той же области ()Т = (0,£) х(0,7) рассмотрим третью краевую задачу для уравнения (10)

Г Л + ких = Р5« - щ(г)> * = 0, [-(А их1 +ких)= р2и-ц2(/), х = /,

и(х,0) = и0(х). Для решения этой задачи справедлива оценка

■мЮ

"2,а

»2,6,

+

которая имеет место при

¡¿|<с, А>0, д>т>0.

§6. Нелокальная краевая задача. Априорная оценка.

Для уравнения диффузии дробного порядка

2

До/И = Т&М-Г + - + о

ох юс слот

рассмотрена следующая нелокальная задача

/

А их, + ких = х = О,

о

-(а их, +^мд:)=рм-ц(/), х = 1, и(х,0) = и0,

где *(*,/)2:С! >0, 7](дг,>с2 >0, 2: т >0, ¡р(*)| <с3,

К|-с4 •

Для решения этой задачи также получена априорная оценка

2,а

ч

§7. Метод прямых дня решения третьей краевой задачи

В области 0>Т = (ОД) х (О,Т) рассмотрена третья краевая задача (10) -(12), которой поставлена в соответствие следующая система уравнений дробного порядка метода прямых

В&у = Ау + Ф,

Ау =

ЛУ = {аух )х + Аухх1 -¿угх<=щ,

Л~=й~

+ а\Ух,\ - Р1У0 и = 0.

от

Ф =

где соА

= {*. =Цг-А = 1,2,...,N-1 }, П =

Ц),Х = (Оь>

(?~,х = 0,

"0.5Л.1 =0,1.....ЛГ,

2 1

I—

2

р1 = р1 + =01 -Мхк), ф~ + /о>Ф+

Для решения этой системы получен дискретный аналог априорной оценки (13):

1м1ш +\\у4о, +ы1о + м2м+м1(х))л

чо ;

Откуда следует сходимость решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка со скоростью

Глава 3. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной в главной части

§1. Первая краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка

В области <2Т = {(х,?): 0 < х < ¡,0 < (< Г} рассмотрим задачу

д и _ д

д г " д х

\ У

(14)

^ 8 и „

ох ох

+/(х,0, 0<х<1,0<КТ

Доказано, что если функция <р(х) непрерывна, имеет непрерывную производную 1-го порядка, кусочно-непрерывную производную 2-го порядка и удовлетворяет условиям ф(0) = ф'(0) = ф(0 = ф'(0 - 0, то регулярное решение задачи (14) представимо в виде

и(х,0 = их{х,{)+и2{х^),

ч

где

7\2"/*Л

пк ] п

Щ(х,1)= ХФ^ЕЕ—Г ТГТГ--^

- решение однородного уравнения с заданным начальным условием, а

< I

О о 11 I) / / ]

- решение неоднородного уравнения с нулевым начальным условием.

пк

пк,

§2. Априорная оценка для решения первой краевой задачи

Для решения первой краевой задачи

д и е

д / д х

8 и п 8 и

ОХ О X

+ /(х,0, 0<х<1, 0<Г<Г (15)

и(х,0) = %(*), 0 <х<1 к>с> О, Л >0 получена априорная оценка

§3. Третья краевая задача. Априорная оценка.

В области <2Т рассмотрим третью краевую задачу для уравнения (15):

ГП(0,0 = Р1И-*11(0, * =

[-П(/,/) = р2и-ц2(0, *=/, и(х,0) = и0, р!,р2>0, р!+р2>0, к>сх> О, А> О,

-гт/' \ 7 Зи . _ „ ди

где Щх, = к— + --поток влаги через сечение х в еди-

дх дх

ницу времени.

Для решения и = и{х,{) этой задачи нолучена априорная оценка

П Л

40

§4. Существование и единственность решения первой краевой задачи для обобщенного уравнения влагопереноса

В области <2 = {(х, /):0<х</,0</<Г} рассмотрена задача:

= "хх + °01ихх + /(*> 0, 0 <х<1, О <1<Т (16) и(0,г) = н(/,г) = 0, О <1<Т, (17)

Итг1~а1|(х,0 = 0, 0<х</. (18)

Решение задачи (16) - (18) выписано в явном виде через функцию типа Миттаг-Леффлера

«м»}} у!^

оо Г *=1 1

-1

-у

/а

Хк /. да. _кк . пк,

1 + Х,

-(/-т)а;а зт—лет—£>/(£,

где =

'тг^2

/

Единственность решения задачи (16), (17) с неоднородным начальным условием

Щ '«С*. О = "<>(*)>

следует из оценки

гпе Л - Па~1и(х Л-_1_

где 1] (/_х)а •

/

Публикации по теме диссертации

1. Керефов М. А. Решение одной краевой задачи для волнового уравнения дробного порядка // Сб. научных трудов института математики Нац. АН Украины. Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - Киев, 1997, С. 144-145.

2. Керефов М. А., Шхануков М. X. Априорные оценки для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной // Вестник СОГУ - Владикавказ, 1999, С. 17-21

3. Керефов М. А. Об одной краевой задаче для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной // Сб. научных трудов. 3 Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии» - Кисловодск, 1999, т. 1, С. 69-70.

4. Керефов М. А. Об одной краевой задаче для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной //Доклады АМАН Нальчик, 1999, т.4, №1, С. 12-14.

5. Керефов М. А. Третья краевая задача для модифицированного уравнения влагопереноса // Сб. научных трудов. 4 Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии» - Кисловодск, 2000, т. 2,С.64-65

6. Керефов М. А. Первая краевая задача для обобщенного уравнения влагоперноса // Сб. научных трудов института математики Нац. АН Украины. Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - Киев, 2000, С. 79-81.

Сдано в набор 28.10.2000. Подписано в печать 29.10.2000. Гарнитура Тайме. Печать трафаретная. Формат 60x84 V Бумага офсетная. Усл. п.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 521.

Типография Кабардино-Балкарской государственной сельскохозяйственной академии

г. Нальчик, ул. Тарчокова, 1а

Введение.

Глава 1. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса

§ 1. Третья краевая задача. Априорная оценка в дифференциальной форме

§2. Априорная оценка в Ж>2(0,1) в случае первой краевой задачи.

§3. Случай незнакоопределенного оператора.

§4. Нелокальные задачи для модифицированного уравнения влагопереноса.

Глава 2. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной.

§ 1. Метод разделения переменных для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной.

§2. Единственность решения первой краевой задачи.

§3. Метод прямых для решения первой краевой задачи.

3.1. Априорная оценка для системы разностных уравнений.

3.2. Решение системы разностных уравнений, возникающих в методе прямых.

§4. Априорная оценка для решения третьей краевой задачи.

§5. Случай незнакоопределенного оператора.

§6. Нелокальная краевая задача. Априорная оценка.

§7. Метод прямых для решения третьей краевой задачи.

Глава 3. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной в главной части.

§ 1. Первая краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка.

1.1. Метод разделения переменных для обобщенного уравнения влагопереноса.

1.2. Неоднородное уравнение влагопереноса.

§2. Априорная оценка для решения первой краевой задачи.

§3. Третья краевая задача. Априорная оценка.

§4 Существование и единственность решения первой краевой задачи для обобщенного уравнения влагопереноса.

Многие вопросы, связанные с передачей тепла в гетерогенной среде [38], с переносом влаги в почво-грунтах [43], [56] приводят к модифицированному уравнению диффузии где к - коэффициент влагопроводности, А - коэффициент пропорциональности Аллера. В настоящее время стало очевидным, что при решении многих задач в физике, биологии часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются как фракталы, примерами которых могут служить полимерные материалы [7], сильно пористые среды. При решении таких задач возникла необходимость изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной [6], [16], [27]-[30], [45].

Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометрией посвящены ряд интересных работ [18]-[22], [44], [58].

В [46], [47] предложена физическая интерпретация дробной производной, не связанная с той или иной конкретной проблемой. Обобщение уравнений переноса можно проводить по-разному. В [46] дается обобщение потока (закон Фурье-Фика), вводя дробную производную по времени в виде где - оператор дробного интегрирования (при а < 0) и дробного дифференцирования (при а> 0) порядка \а\ с началом в точке а, определяемый как в [34] формулой и

0.1) = (*,/), 0 < а < 1

0.2)

- а) 'ги(х, т)й Г а - 0, где [а]- целая часть числа а, \а\ < а < а + 1, Г(г)- гамма-функция Эйлера

Подставляя (0.2) в уравнение неразрывности и( - -]х, получаем ди 1 д2и

Действуя на обе части (0.3) оператором £>07, получим ^ + (0.4)

0/ Эх2 Г(аУ~а

Уравнение (0.4) описывает медленный случайный процесс. Поэтому это уравнение называют сейчас уравнением субдиффузии.

Теория развития дифференциальных уравнений дробного порядка началась, по-видимому, с работы L.O'Shaughnesse [59] в 1918 году. Несколько позже к дифференциальному уравнению дробного порядка пришел С.Ман-дельброт (1925 г.) [57].

Из более поздних работ следует отметить работу Нахушева A.M. [31], где изучена задача Штурма - Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах т

Lu = и" + а0 (х)и' + ^ а . со . [х)и + ат+1 (х)и = /(*),

7=1 p0u'(0) + q0u(0) = rQ, plu'(l)+qlu(\) = rx , где 0 < ат <.<ах< 1.

Для весьма общего линейного дифференциального уравнения в работе [15] Джрбашяна М.М., Нерсесяна А.Б. доказана теорема существования и единственности задачи типа Коши.

Алероев Т.С. [1], [2] исследовал спектральные вопросы для уравнения и"(х)+ ci{x)Dqxu - fix). л

Он показал, что при /? > 0 в классе функций С[0Д] п С [ОД] задача г/(о)+ О) = w(l) = 0, f{x) = 0, а(х) = X не имеет отрицательных собственных значений и имеет не более чем счетное множество собственных значений.

Еще раньше Нахушевым A.M. [31] показано, что число Л является собственным значением последней задачи тогда и только тогда, когда Я является нулем функции Миттаг-Леффлера Е2а 2(- Л).

Ряд работ Вебера В.К. [8]- [13], Иманалиева М.Н. [17] посвящен исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка в пространствах обобщенных функций.

Бабенко Ю.А. в работе [3] применил для определения тепловых потоков метод расщепления оператора уравнения теплопроводности на два множителя, каждый из которых содержит только первую производную по х и производную порядка ^ по t. Подход Бабенко Ю.А. позволяет определить тепловой поток на границе х = О дТ \ дх х=0 J Ч дТ дх без решения задачи

1 d |Г0(г)й?т х=0

К dt о (t г)>2' гДе rL=0 = Ш

Изложенный результат Бабенко Ю.А. справедлив только тогда, когда температура удовлетворяет уравнению гд д2 ^ dt дх2

Т = О, 0 < х < со, 0 < i < со и дополнительным условиям г(о,0 = Щ т\х=оо = о, т\х=0 - о.

Тот же результат еще раньше получен в [25] с помощью операторного метода Хевисайда.

В данной диссертационной работе наряду с модифицированным уравнением влагопереноса (0.1), для описания процессов в сильно пористой среде со структурой, обладающей фрактальной геометрией рассматриваются обобщенные уравнения переноса с дробной по времени производной

В> = (ких)х + Аих:„+/(*, О,

К« = (К)л- + ^оХ, + /М

0.7)

0.6)

0.5)

Целью работы является исследование краевых задач для модифицированного уравнения влагопереноса, а также обобщенных уравнений диффузии дробного порядка.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Для решения краевых задач (первой и третьей) для уравнения (0.1) получены априорные оценки, откуда следует единственность решения рассматриваемых задач. В частности, для гиперболического уравнения третьего порядка получена априорная оценка из класса £Г22(0,/).

2. Методом Фурье доказано существование решения первой краевой задачи для некоторых классов обобщенных уравнений диффузии дробного поряд

3. Для решения начально-краевых задач для различных классов обобщенных уравнений переноса получены априорные оценки, откуда следует единственность решения рассматриваемых задач. Отдельно изучен случай, когда знак эллиптической части оператора неопределен.

4. Доказана сходимость метода прямых для первой и третьей краевых задач для обобщенного уравнения диффузии дробного порядка (0.5). Перейдем к более детальному изложению диссертации.

и результаты работы [55].

Единственность решения первой краевой задачи для уравнения (3.26) с ненулевым начальным условием реализуем методом априорных оценок. То есть в той же области ()т = (0, /) х (О, Т) рассмотрим следующую задачу для уравнения (3.26): м(0,0 = м(/,0 = 0 (3-34)

АзТУ-М)!^ =и0{х) (3.35)

Получим априорную оценку для решения этой задачи. Для чего умнои(х,т)с1т

1 V жим уравнение (3.26) скалярно на II = —-г

Г(1 - а) ' (/ - т)а и) = 0ихх, и) + Ф1ихх, и) + (/, и),

3.36) где (м,у)= \uvdx, (и, и) - ||м||2. о

Преобразуем слагаемые тождества (3.35) с учетом (3.33): 1 ; М-а Ы (.-гГ Т(\-а)1и-тГ №

1-Мо 2 а?" 110 1 I и(х, т)с1г 1 | / \ги(х,т)с! сЬс —

Г(1 - а)

М{

1 V / \гих(х,т)с1т

Г(1 - «) о о (* - г)а х,?)] —-г-=

О О г-гУ х. I а 1 1гихх (х, т)с1т 1 а? Г(1 - а) 5 - а) $ (/-г) I х, т)(Л т с!х

1 'г а 'гИ^ (х, г)с/г т)с1т

1 ] Л/ ] /, \а .)

Г2 (1 — ) о * (,г)«

Г2(1 - a) d z)dr z)di dti [t-rf I (t-T)c lrd lrUx(x,r)dT 'rUx(x, dt! (t-rf I (t-zf X

--ЦС/ II2 2 dt " f^)<\\f\W2pt

С учетом полученных неравенств из (3.36) получим

1 ^ !|тИ|2 1

- а ux(x,t)[ lrUx{x,t)dT 1 д И ,,2 1 и 1,2 1 о о {t - т)

Проинтегрируем (3.36) по гот 0 до t t i

1 и „,,2 dx +--t/JL <

2 dt 2 + 2

3.37)

I t l T

--\dT\ux(x,T)\

Ч1 - a) 0J о о u.

2" 110 2 t-Tx )'

Введем обозначение:

Ж У? oJ ' о^ о (^г — ^п) ' ' T-f(h)dT

Г(1

Рассмотрим интеграл

Ь M/MJ

0 0 о r-rj i/wjf^^.

V "о (х- — ) Пользуясь формулой для гамма-функции t~a cos ktdt = ^^ cos —, к > 0, 0 < и < 1,

I к" 2 при к = {т - т{), jLi = а получаем 1

71 т-тх)а r(a)cos an 2 0

J<Ta cos

3.38)

3.39)

3.40)

Из (3.39) с помощью (3.40) находим

1 j/(r) ^ г t Т СО

-— J/(Г\f{zx )i/rj cos £(r - r, )d£ =

Г(ог)Г(1 - ос) cos ~ * 0j 0j

CO t т f{z)cos%zdz Jf(zx)cos%zxdzx +

Г(а)Г(1 - a) cos jg ad^Jf(z) sin¿;zdz jf(zx) sin %zxdzx

0 0 0

Преобразуем внутренний интеграл таким образом: t г

J/(r) cos %zdz |/(r i) cos £,zx dzx =

J] i. jf(zx) cos %zxdzx 2

V0 1 2 i/r = ^ J<i i f(zx) cos %zxdzx 2 vo i

J./ (tj) cos %zxdzx

Vo 2 t jf (zx) cos £zxdzx vo

Итак, окончательно получаем, что

J = к

2r(a)r(l - a)cos an

2 0

J //(rOcosr^r,

Л2

VO (t + \f(zx)smz^dzx vo

V2 d:t>0 так как имеем сумму двух неотрицательных слагаемых: Г(а) > 0 и

0<cos^f <1.

Усиливая неравенство (3.38), получаем mi^MI^II/L н- ¡\u(x,T)\idT+\\«0(4i+KWo <3-41)

Откуда следует I о где +КМ|о +КМ1о •

На основании леммы из (3.41) окончательно находим

Нх,01о2 +|с/,М1о +КМо +КМ1; или

Если / -и0 = 0 из (3.42) получаем

А2 ( I ( \ т \2

1 |м(х, т)с1т 1

Г(1 а их(х, т)с1\ t-rf

В дальнейшем нам потребуется следующая теорема из [40]. Теорема. Уравнение Абеля

1 V (р{т)с1т 0 Ь

М-а

-оо<а<1<Ь, 0 < а < 1 разрешимо в Ь[а,Ь] тогда и только тогда, когда

0«~1/еАС[а,Ь1 \ш1%Г1/ = 0.

3.42)

3.43)

3.44)

При выполнении (3.44) единственное решение уравнения Абеля задается формулой

1 д \/{т)с1т р(!) = Ь

Здесь АС[а,Ь]~ класс абсолютно непрерывных на отрезке [а,Ъ] функций. На основании теоремы из (3.43) следует, что и(х,0=О.

1. Алероев Т.С. Задачи Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах. //Дифференц. уравнения. 1982, т. 18, №2. С.341.

2. Алероев Т.С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов. //Дифференц. уравнения. 1984, т.20, №1. С. 171-172.

3. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Л.:"Химия", 1986,144с.

4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений,т.2. ГИФМЛ, 1962, 640с.

5. Бондаренко Н.Ф. и др. Расчетные методы прогноза водного режима и его регулирование // В сб. "Физика,химия,биология и минералогия почв СССР",М.,1964.

6. Бродский А.Л. Влияние особенности структуры порового пространства на фильтрационные характеристики низкопроницаемых коллекторов Красноле-нинского свода. Диссерт.канд. геол.-мат.наук. М.,1989.

7. Бэгли Р.Л., Товик П. Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка-новый подход к расчету конструкций с вязко-упругим демпфированием. //Аэрокосмическая техника. 1984, т.2, №2, С.84-93.

8. Вебер В.К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе:Илим, 1983, вып. 16,1. С.119-125.

9. Вебер В.К. К общей теории линейных систем с дробными производными. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып. 18, С.301-305.

10. Вебер B.K. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных функций. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып. 18, С. 306-312.

11. Вебер В.К. Об одном дифференциальном уравнении нецелого порядка. Сб. трудов аспирантов и соискателей Кирг. ун.-та. Сер.мат. наук. 1973, вып. 10,1. С.7-14.

12. Вебер В.К. Пассивность линейных систем дифференциальных уравнений с дробными производными квазиасимптотика решений. Исследование по ин-тегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, С.349-356.

13. Вебер В.К. Структура общего решения системы у^ = Ау, 0 < а < 1. Сб.трудов аспирантов и соискателей Кирг. ун.-та. Сер.мат. наук. 1976, вып.11, С.26-32.

14. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области.М.,1966.

15. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. // Изв.АН АрмССР. Математика. 1968, т.З, №1, С.3-29.

16. Динариев О.Ю. // Изв. АН СССР, МЖГ. 1990, №5, С.66-70.

17. Иманалиев М.И., Вебер В.К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применение. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1980, вып. 13, С.49-59.

18. Кобелев В. Л., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л .Я.// ДАН, 1987, т.355, №3, С.326-327

19. Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я. //ДАН, 1998, т.361, №6, С.755-758

20. Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Романов Е.П. //ДАН, 1999, т.369, №6, С.332-333

21. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка //Дифференц. уравнения, 1990, т.26, №4, С.660-670

22. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка //Дифференц. уравнения, 1989, т.25, №8, С. 1359-1368

23. Кулик В.Я. Исследование движения почвенной влаги с точки зрения инвариантности относительно непрерывных групп преобразований // В сб. "Исследование процессов обмена энергией и веществом в системе почва-растение-грунт". Л.:Наука,1972

24. Кумыкова С.К., Об одной краевой задаче для уравнения Sign\y\muxx +иуу = 0. //Дифференц. уравнения. 1976, т.12, №1. С.79-88

25. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1,2. Гостехиз-дат, 1951,220 с.

26. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

27. Малынаков A.B., Ефимов В.А. //ИФЖ. 1991, т.61, №4, С.635-640

28. Малынаков A.B. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией. //ИФЖ. 1992, т.62, №3, С.405-410

29. Мосолов А.Б., Динариев О.Ю.//ЖТФ.1987, т.57, вып.9, С. 1679-1685

30. Мосолов А.Б., Динариев О.Ю. //ЖТФ.1988, т.58, вып.2, С.233-237

31. Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах. //ДАН СССР, 1977,т.234, №2, С.308-311

32. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик, 1995, 50 с.

33. Нахушев A.M. О справедливости одной априорной оценки. // ДАН СССР, 1981, т.257, №1, С.45-47

34. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.Высшая школа, 1995,301с.

35. Нерпин C.B., Юзефович Г.И. О расчете нестационарного движения влаги в почве // Докл.ВАСХНИЛ, №6, 1966

36. Роде A.A. Основы учения о почвенной влаге. Л.: Гидрометеоиздат,1965

37. Ромм Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. Недра, 1966

38. Рубинштейн Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах. Изв. АН СССР.сер.Геогр., 1948, т. 12. №1. С.27-45

39. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989, 616 с.

40. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: "Наука и техника", 1987,688с.

41. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.2, М.:Наука, 1967,628 с.

42. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР,1987, т.297, №3. С.547-552

43. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.:Наука, 1976, 352 с.

44. Чукбар К.В. ЖЭТФ. 1995,т. 108, вып. 5( 11 ), С. 1875-1884

45. Шефер Д., Кефер К. Фракталы в физике. Труды 6-го Междунар. симпоз. по фракталам в физике (МЦТФ. Триест, Италия, 9-12 июня 1985) М., 1988, С.62-71

46. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Доклады АМАН, т.2 №6, 1996, С.43-45

47. Шогенов В.Х., Шхануков-Лафишев М.Х., Бештоев Х.М. Дробные производные: интерпритация и некоторые применения в физике. Препринт. Сообщения объединенного института ядерных исследований. Дубна, 1997, Р. 497-81

48. Шхануков М.Х. Исследование краевых задач для уравнения третьего порядка методом функции Римана // Сообщение АН ГССР, 1983

49. Шхануков М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка. Докт. диссертация. Москва: МГУ, 1985

50. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задачах для уравнения третьего порядка // ДАН СССР, 1982, т.265, №6. С.1327-1330

51. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах// Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, №4. С.689-699

52. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальные свойсва его решений // ДАН СССР, 1982, т.267, №3. С.567-570

53. Юзефович Г.И., Янгарбер В.А. Исследование нелинейного уравнения вла-гопереноса. //Сб." Труды по агрофизике", вып. 14, "Колос", 1967

54. Якобе А.И. Расчет годового хода влажности почв и грунтов. // Вестник с.-х наук, №8, 1961

55. Янгарбер В.А. О смешанной задаче для модифицированного уравнения влагопереноса // ЖПМиМФ, 1967, №1

56. Hallaire M Leanetla production vegetable.- Institut National delà Recherahe Agronomique. 1964, №9

57. Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo delle variazione // Atti Reale Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Vat. Enatur. Ser. 6.1925. Vol. 1. p. 151-156

58. Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry. // Phys. Status Solidi. B. 1986. Vol. 133, №1. P.425-430

59. O'Shaughnessy L. Problem #433 //Amer. Math. Moth. 1918. Vol. 25 P172-173

60. Керефов M. А. Решение одной краевой задачи для волнового уравнения дробного порядка // Сб. научных трудов института математики Нац. АН Украины. Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики Киев, 1997, С. 144-145.

61. Керефов М. А., Шхануков M. X. Априорные оценки для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной // Вестник СОГУ Владикавказ, 1999, С 17-21.

62. Керефов М. А. Об одной краевой задаче для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной // Доклады АМАН Нальчик, 1999, т.4, №1, С. 12-14.

63. Керефов М. А. Первая краевая задача для обобщенного уравнения влагопереноса // Сб. научных трудов института математики Нац. АН Украины. Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики -Киев, 2000, С. 79-81.

64. Керефов М. А. Третья краевая задача для модифицированного уравнения влагопереноса // Сб. научных трудов. 4 Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии» Кисловодск, 2000 С 64-65.