Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им М В Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

Псху Арсен Владимирович

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка

01 01 02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

111111111

003158Б79

Москва — 2007

Работа выполнена в Научно-исслсдоватсльском институте прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Научный консультант

доктор физико-математических наук академик РАН Моисеев Евгений Иванович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук профессор, Репин Олег Александрович

Самарский государственный экономический университет

доктор физико-математических наук, Попов Антон Юрьевич,

Московский государственный университет им М В Ломоносова

доктор физико-математических наук профессор, Килбас Анатолий Александрович, Белорусский государственный университет

Ведущая организация

Орловский государственный университет

Защита состоится "24" октября в 15 час 30 мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 43 при Московском государственном университете им MB Ломоносова по адресу 119991, Москва, ГСП-], Ленинские горы, МГУ, II уч корп , факультет ВМиК, ауд 685

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ф-та ВМиК МГУ

Автореферат разослан <

Ученый секретарь диссертационного совета

Е В Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы В настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к дробному исчислению В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного ин-тегро-дифференцирования при описании широкого класса физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических явлений

Основой большинства математических моделей, описывающих указанные явления, являются дифференциальные \ равнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей

Развитие теории уравнений с производными дробного порядка стимулируется и развитием теории дифференциальных уравнений целого порядка Хорошо известна роль дробного исчисления в теории уравнений смешанного типа, в теории задач со смещением, в теории вырождающихся уравнений Кроме того, уравнения дробного порядка, существенно дополняя картину общей теории дифференциальных уравнений, могут обнаруживать связь между явлениями, которые, оставаясь в рамках целочисленного дифференцирования кажутся независимыми Например, тот факт, что для единственности решения задачи Коши в случае уравнения теплопроводности необходимо требовать ограничения на рост решения, а в случае волнового уравнения — нет, видится более согласованным после того как становится известным, что соответствующее условие для диффузионно-волнового уравнения порядка а ^ 2 при а = 1 совпадает с условием для уравнения теплопроводности, а при а —> 2 ограничивающая рост решения функция стремится к бесконечности

Дифференциальные уравнения е частными производными дробного порядка изучались в работах как отечественных, так и зарубежных авторов Кочубей А К , Зйдсльман С Д , Fujita Y , Schneider W R Wys& W , Нахушев A M , Гсккисва С X , Костин В А Глушак А В . Clément Ph Gripcnbcrg G , Londen S-0 , Simonett G , Ки пбас A A , Репин О A , Ворошилов A A El-Sayed AMA Bazhlekcna E , Pierantozzi T , Trujillo J J Vazquez L Englex H , Gorenflo R , Mamardi F , Luchko Yu , Buckwar E , Agrawal О P, Нахушева В A , Нахушева 3 A , Шхануков M X , Шогенов В X , Мамчуев M О , Кумыкова С К , Керефов M А Андреев А А , Еремин А С , Зарубин E А , Ефимов А В , Лопушанская Г П и др В основном предметом исследования являлись диффузионные, диффузионно-волновые и эволюционные уравнения дробного порядка, при решении которых использовались методы интегральных преобразований, методы функционального анализа, метод разделения переменных и тд

Цель работы. Целью настоящей работы является развитие аналитических методов решения и анализа краевых задач для линейных уравнений в частных производных дробного и континуального порядка

Методика исследований. Результаты работы получены с использованием методов дробного исчисления, метода функции Грина, интегральных преобразований, метода факторизации, методов теории специальных функций и т д

Hay чная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 Для линейного уравнения двух независимых переменных порядка меньше либо равного единице с производными Римана-Лиувилля и производными Капуто построено фундаментальное решение, решены краевые задачи в прямоугольных областях и задача Коши Показано, что в случае задачи Коши имеет место условие, аналогичное условию А H Тихонова, ограничивающее рост искомой функции в бесконечности, которое нельзя

улучшить (в смысле увеличения показателя)

2 Изучены свойства интегральных преобразований с функцией Райта, на основе которых предложен метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, позволяющий редуцировать их к соответствующим задачам для уравнений целого порядка

3 Доказано утверждение, позволяющее распространять результаты, связанные с наличием или отсутствием у функций типа Миттаг-Леффлера вещественных нулей при определенных значениях параметров, на более обширные области их изменения, в геометрических терминах даны условия на параметры функции типа Миттаг-Леффлера, при которых она имеет (не имеет) вещественные нули.

4 Методом редукции к системе уравнений меньшего порядка решены задача Коши и первая краевая задача для одномерного диффузионного уравнения Решены основные краевые задачи в прямоугольной области и построены соответствующие функции Грина для одномерного диффузионно-волнового уравнения

5 Развит метод функции Грина для многомерного диффузионно-волнового уравнения с производной Римана-Лиувилля и производной Капуто, построено общее представление решения, решена задача Коши и доказана единственность решения задачи Коши в классе функций, удовлетворяющих аналогу условия А Н Тихонова, методом продолжения построено решение первой краевой задачи

6 Для оператора дробного интегро-дифференцирования континуального порядка построен обратный и доказаны аналоги формулы Ньютона-Лейбница Решена задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка

7 Для уравнения диффузии континуального порядка построено фундаментальное решение, решены основные краевые задачи в прямоугольных областях и задача Коши, доказана единственность в классе функций быст-

poro роста

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической Полученные результаты найдут применение в развитии теории дифференциальных уравнений дробного порядка, интегральных преобразований и теории специальных функций Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью дробного исчисления в физике и математическом моделировании процессов переноса

Апробация работы Результаты работы неоднократно докладывались на международных конференциях и научно-исследовательских семинарах, в частности на семинаре по современному анализу, информатике и физике (рук АМ Нахушев, НИИ ПМА КБНЦ РАН г Нальчик), на научно-исследовательском семинаре (рук В А Ильин, Е И Моисеев, ф-т ВМиК МГУ им М В Ломоносова) на научно-исследовательском семинаре (рук Е И Моисеев, И С Ломов, ф-т ВМиК МГУ им М В Ломоносова) на научно-иссчедовательском семинаре "Нелинейные дифференциальные уравнения" (рук И А Шишмарев, ф-т ВМиК МГУ им М В Ломоносова) на научно-исследовательском семинаре "Обратные задачи анализа, математической физики и естествознания" (рук В А Садовничий, А И Прилепко, мех -мат ф-т МГУ им М В Ломоносова) на семинаре по анализу и его приложениям им акад Ф Д Гахова (рук Э И Зверович, А А Килбас, С В Рогозин, БГУ, Минск) на заседании объединенной научной сессии, посвященной 90-летию со дня рождения А В Бицадзе (НИИ ПМА КБНЦ РАН Нальчик 2006), на Международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (AMADE-2001, AMADE-2006)" (Минск, 2001, 2006), на II Международной конференции ''Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии информатики и физики" (Нальчик, 2001) на Международном Российско-Узбекском симпозиуме "Уравнения смешанного гипа и родственные проблемы анализа и информатики" (п Эчьбрус 2003) на II Международной

конференции "Функциональные пространства Дифференциальные уравнения Проблемы математического образования", посвященной 80-летию Л Д Кудрявцева (Москва, 2003), на Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы" (п Эльбрус, 2004), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач Понтрягинские чтения-XV" (Воронеж 2004), на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006), на Международной научной конференции "Современные проблемы дифференциальных уравнений, теории операторов и космических технологий" (Алматы, 2006), на III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 2006)

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[27] Структура и объем работы Работа состоит из введения, вводных сведений, четырех глав и списка литературы Список литературы содержит 183 наименования Объем - 190 страниц

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткий обзор состояния предмета исследования и приводятся основные результаты работы.

В вводных сведениях приведены основные положения теории дробного интегро-дифференцирования, необходимые для дальнейшего изложения

В первой главе исследуются линейные уравнения двух независимых переменных порядка меньше либо равного единице

В пунктах 1 1-1 3 рассматривается краевая задача в прямоугольной области для уравнения

+ = 0<а, /? < 1 оф < 1 (1)

Операторы интегрирования и дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля дробного порядка и € Ж, с началом в точке s, определяются следующим образом

S

dn

Dteit) = signn(í - s)~D^n9(t), n £ N

Производная Калуга определяется с помощью равенства

f^T(k-u + 1)

Через I? будем обозначать прямоугольную область переменных х ш у D = {(х,у) 0 < х < а, 0 < у < 6}. 0 < а, 6 < оо Регулярным решением уравнения (1) в области D назовем функцию и — и(х,у) из класса х1~ауг~8и(х,у) G C(D), D^u, D$yu G C(D) удовлетворяющую уравнению (lj во всех точках (х,у) 6 D

Задача 1. Найти регулярное решение и(х, у) уравнения (1) 0 < а, (3 ^ 1, а р < 1, А > 0, е области D удовлетворяющее краевым условиям

hm Dt\{xt у) = ц(х), 0 < х < а (2)

у—>о "

hm D^uix, у) = <р{у) 0 < у < Ъ, (3)

а—»0

где <р, ф - заданные функции

Теорема 1. Яустоъ 0 < а,/? ^ 1, а (3 < 1, А > 0, xl~aip(x) 6 С[0, а], у1-^(у) е С[0, Ъ], x'-vyl-Pf(x,y) е C(D), is > ав р> (3(1-6), в е (0,1), функция x1~"yí~pf(x,y) удовлетворяет условию Гельдера по крайней мере по одной 'из переменных равномерно относительно другой, и выполнено условие согласования lira D®~lip(y) = hm D®~lti/(x) Тогда существует

единственное регулярное решение уравнения (1) в области £), удовлетворяющее краевым условиям (2) и (3) Решение имеет вид V л

(ж, у) = J¡р(1)'ю(х, y — t)dt + xJф($)ги(х — й, у)

о

х у

У J f{s,t)w{x — —

о о

В этой и следующих главах существенно используются доказанные в пункте 1 2 свойства функции типа Райта

о

х у О О

где

е

'aj3W ¿Г(ап + /*)Г(<У-/?п)

Доказаны формулы дробного интегрирования и дифференцирования этой функции, построены различные представления и формулы трансформации, получены предельные соотношения и неравенства

В пункте 1 4 исследована задача в прямоугольной области для уравнения

их(х, у) - AD$yU(x у) = f(x, у), Л > 0 (4)

Задача 2. Найти регулярное решение и(х, у) уравнения (4), 0 < /3 < 1, в области, D, удовлетворяющее краевым ус,ювиям

lim DLlu{x,y) = ijj(x), Q <х < а, и(а,у) = tp(y), 0 < у < Ъ (5)

у-* О "

Теорема 2 Пусть 0 < /8 < 1, А > О, а<оо € С[0, а], у1~ву?{у) е С[0, 6], xl~vyi-i>S{xty) € Сф), v > в, р> ¡3(1 - в), в € (0,1), функция ~pf{x>y) удовлетворяет условию Гельдера по крайней мере по одной

из переменных равномерно относительно другой, и выполнено условие согласования limD'Qylip(y) = 'ф(а) Тогда существует единственное регулярное решение уравнения (4) в области D, удовлетворяющее краевым условиям (5) Решение имеет вид

ф.) - (-л^)*+л/^а

О X

Г /7(М) 1,0 ( , 8-х \

х О

В пункте 1 5 рассмотрена задача Коши Далее будем обозначать через D = {(х, у) х < а, 0 < у < Т} а < оо Рассмотрим уравнение

у) + С^ф,у) = /(ж, у), 0 < ¡3 < 1 (6)

Задача 3. Найти регулярное решение и(х, у) уравнения (6) в области D, удовлетворяющее начальному условию

limD%ylu(x,y) = т(х), х < а, (7)

где т(х) - заданная непрерывная функция

Теорема 3. Пусть т{х) G С(—оо, a], y1"pf{x,y) € C(D), р > 0, функция fo(x, у) — у1 ~pf{x,y) удовлетворяетi условию Гелъдера по крайней мере по одной из переменных либо по переменной х равномерно по у & [0, Т], либо по переменной у равномерно по х £ [с а] для любого с < а, и существуют равномерные на множестве {у £ (0 Т)} пределы

lim yl~pf(x, у) ехр ( —¿тЫ^Ь») = 0, lim т(х) ехр ( -стЫ^) = 0, а—»—эо \ / г—»—ос V ' J

где а < (1 — ¡3) {¡3/Т)^^1-1"^ Тогда функция и(х, у), определяемая формулой «<-) - )«.)& ) * + //fefe !5 Л А

— ОС О —ОС

является регулярным решением задачи (6), (7)

Теорема 4. Существует не более одного регулярного решения и{х,у) задачи (6), (7) в области И, для которого при некотором к > 0 существует предел

1шг у1ч3и(х,у)ещ> ( -Цх^ ) = 0 (8)

эс \ )

Аналогичные результаты получены для уравнения

У) ~ у) = /(ж, у), 0 < /3 < 1

Показано, что показатель 1/(1 — ¡3) в условии (8) нельзя улучшить

В п 1 6 результаты предыдущих пунктов переносятся на уравнения с производными Капуто

+ = Я®,»), 0 < а,(9)

их(х, у) + д^и(х, у) = /(ж. у), (10)

их(х, у) - д$уи{х, у) = /(х, у) (11)

Так же, как и для уравнений с производными Римана-Лиувилля, для уравнений (9)-(11) решены краевые задачи в прямоугольных областях и задачи в полосе Решение выражается в терминах функции типа Райта и, в случае задачи Коши, имеет место условие типа (8) Однако, в отличии от уравнений с производными Римана-Лиувилля, решение ищется в классе непрерывных вплоть до границы функций и в качестве начальных и краевых условий задается значение искомой функции

Результаты первой главы опубликованы в работах [1], [2], [7], [8], [21] [27]

Во второй главе исследуются интегральные преобразования с функцией Райта в ядре Для функции у{х), заданной на положительной полуоси, определим интегральные преобразования

оо

Аа'<*у{х) = (А^ь) (х) = У0 < а < 1, (12)

о

ОС

B06v(x) = (B^v) (x) = Jdt, 0 < ¡3 < 1 (13)

о

Далее, в случае, когда д = О или <5 = 0, будем обозначать Aa'Qv(x) — Aav(x), B^,0v(x) — B9v(x) Если преобразования А'"41 и Вм применяются к функции, зависящей от нескольких переменных, то в случае необходимости с помощью нижних индексов будем обозначать переменную, по которой проводится преобразование Например у), B^v(x,y)

В пункте 2 2 изучены свойства преобразований (12) и (13) Построены преобразования некоторых специальных функций, доказаны формулы композиции и свертки преобразований связь с преобразованием Лапласа и с преобразованием Меллина, связь с операторами дробного интегро-дифференцирования, предельные соотношения В частности, доказаны соотношения

D^Aav{x) = A^°v'{x), д&АаЛ~ау(х) = Аа l"av'(x),

и

hm D%:lAQv{x) = v(0), lirn Аа,1~аъ(х) =■ t>(0)

х-+0 х---О

В пункте 2 3 показаны некоторые применения к изучению свойств функции типа Райта

В пункте 2 4 на основе свойств этих преобразований предложен метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, основанный на редукции к уравнениям целого порядка

Пусть X - множество точек х, &у £№.+ = {у у > 0} Рассмотрим уравнение

да

у) = I,ги(х, у) + F(x, у)

дробного порядка а £ (0 1), относительно неизвестной функции и(х,у) е Т, где через Т обозначено множество действительнозначных функций, определенных на X х М+, Т = {/ = f(x,y) f X х Rf R}, da/dya

означает либо производную Римана-Лиувилля либо производную в смысле Капуто д§у Через L3 обозначен линейный оператор Lx Т —+ J-, с областью определения D(Ьх) F(x, у) € Т

Предположим, что функция v(x, у) е D (L^) и v(x, у) € С1 (М+) для любого фиксированного х € X, и v(x, у) является решением задачи

Пусть выполнены следующие условия 1) F(x, у) = A^G(x, у), х € X 2) функции v(x,y), vy(x, у) и LXv(x,y) при любом фиксированном х € X непрерывны и растут не быстрее, чем ехр (ку6) и y~g (е < 1/(1 — а), 5 < 1) при у —* оо и у —^ 0 соответственно 3) AyV(x,у) £ D(и A*Lxv(x,у) = (ж,у) € X х К+ Тогда функция и(хуу), опре-

деленная равенством и(х,у) = A^v(x,y) является решением задачи

D$u(x,y) = Ьхи{х,у)-\- F(x,y), ]imD^Jlu{x1y) = r(x), х£Х (15)

Аналогично, функция и(х,у) = А^~аг{х,у) будет решением задачи

д$хи(х, у) = Ьагг(ж, у) + F(x, у), и(х, 0) = т(х), х G X (16)

Таким образом, вопрос о существовании и представлении решения задач (15) и (16) сводится к решению задачи (14)

В качестве примера решены задачи в прямоугольной области для уравнения

Пользуясь свойствами преобразований (12) и (13), в пункте 2 5 доказывается утверждение, позволяющее распространять результаты, связанные с наличием или отсутствием у функции типа Миттаг- Леффлера

дха

dyß

вещественных нулей при определенных значениях а и ц, на более обширные области изменения этих параметров

Далее будем считать £ > 0,77 > 0 Примем следующие обозначения

В = {(§, т?) $,г}> 0, ^ 6 К, Е1Л (4, п) < 0},

в* = {(С, Т)) V > 0, е ж, Е1/( {г п) > 0}. Яо = {(£,??) £,г1>о}\(вив*)

Оа,ц = {(£, V) а ^ 0 < V ^ К/а, (£, ??) ^ (а, м)}, = {(£, >7) 0 < С < а, V > 1^/а, г?) ф (а, М)}

Теорема 5. 1 Пусть (а, р) € В* и В0 Тогда С В* 2 Пусть (а, д)еВи В0 Тогда £>а,„ С В

Теорема 6. Пру, р ^ 1/2, р, ^ 3/(2р), кроме случая, когда р = 1/2 и р, — 3, функция Ер(г р) не имеет вещественных нулей

Теорема 7. Пусть (а, р) £ В и Во и р. > е > 0, а г(а, ¿г) и г(а, р — е) -наименьшие по модулю вещественные нули функции (г, //,) и функции Е\/а М — £) соответственно Тогда г(а р) < г(а, р, — е) <0

Далее будем обозначать через М+ = {(£,?7) С > 0, Т) > 0}

Теорема 8. Существует 'кривая о такая, что 1) а С М+, 2) кривую а мооюю задать параметрически а = {(£,??) С = ■К7?), V > 0}, причем функция 5(77) не убывает и удовлетворяет условию Липшица, то есть, если г] 1 > щ то 0 < в{л\) — ^(щ) < г)\ — щ 3) кривая а делит на две связные части, одна из которых совпадает с В, а вторая принадлежит В*, а именно,

В = {(£ Л) ${г}) < С < оо, V > 0} В'иД,={М) 0 < в(т7), V > 0}, В0 С а

Результаты второй главы опубликованы в работах [1], [6], [11], [12], [18], [20], [23], [24]

В третьей главе исследовано диффузионно-волновое уравнение Рассмотрим уравнение

да

Ъи{х у) = У) ~ У) = /О, У), (17)

п

где Ах — - оператор Лапласа, х = (хг) € Еп, а через да/дуа обо-

г=1

значена дробная производная порядка а либо в смысле Римана-Лиувилля, либо в смысле Капуто

Уравнение (17) называется уравнением диффузии дробного порядка в случае, когда 0 < а < 1, и волновым уравнением дробного порядка, когда 1 < а < 2, или, в общем случае, диффузионно-волновым уравнением Будем считать, что n=l,0<a<l,/? = a/2 Рассмотрим уравнение

Iм(х, у) = Dqvu(x, у) - ихх(х, у) = f(x, у) (18)

Используя свойства оператора дробного дифференцирования, показывается, что функция и{х,у) является решением системы

их{х,у) + D^u(x,y) = v(x,y), vx(x, у) - D$yv(x, у) = - f(x7y)

Используя результаты первой главы, в пункте 3 2 построено решение задачи Коши и решение первой краевой задачи для уравнения (18)

В пункте 3 3 построено фундаментальное решение для уравнения (17) Показано, что функция (/3 = а/2)

Г„,п (х, у) = Сп y^-^Mlxly-P, п - 1, ,5(2 -п)), п € N, (19)

где Сп = 2~птт(-1~п^2 и

f гГ7^%1Л (-zt) (t2 - 1W2-1^, ц > 0, л , х

Mzlfi,S)=l^3H П ' (3 € (0,1)

I ("«) » А* = °>

является фундаментальным решением уравнения (17) Изучены свойства функции Г%,{ (х, у) В частности, исследована его асимптотика, доказаны соотношения

(х,у) = -2тг\х\Та^, +2 (х, у) Га,„+1 (х, у) = а,п(х,у)< (а, у) = /СчГа,„+1 (х, у),

где

г г

Показано, что если а € (0,1], то при любом п £ N функция Г„)П(ж,у) положительна Если а е (1-2) то Га,„ (ж, у) > 0 х е К", у > 0, при п < 3, а при ?1 > 4 функция Га,п (х, ?/) принимает как положительные, так и отрицательные значения В случае, когда о. — 1 или а —> 2, построенное фундаментальное решение переходит в соответствующие решения для диффузионного и волнового уравнений

В пункте 3 4 построено общее представление решений многомерного диффузионно-волноього уравнения Обозначим через П = {(х,у) х € 5, 0 < у < Т} и = {(£, т]) £ € 5, 0 < т) < у}, где 5 - ограниченная область К" с кусочно-гладкой границей дБ

Теорема 9. Пусть а £ (0,2), т — 1 < а ^ то, т £ {1,2} и функция непрерывна в С^ х Пу, § С 5 вместе с производньши г = 17п, и {дт~к/дг)т-к)и Д^Ч к = 0~т; Г^Чу^ = 0, и в области Пу при любых фиксированных (х у) £ является решением уравнения

Ь*ь г у, ??) - ?/£,??) = у, £, ??), д € С(£> х Д,)

Тогда

1) если функция и(х,у) является регулярным решением уравнения

п«уи(х, 0) - ДХж, у) = /{*, г/) (20)

16

и € С1 (5 х (0,Т)), Из,, € х (0,Т)), г — 1,п. и удовлетворяет условию

\\mDn и(х, у) = тд.(ж), 1 ^ А; ^ т, х € 5,

у—>0 у

то Для любой точки (ж, у) € <3 имеет место соотношение

дк- г

где ад(ж, у, ??) = и(аг, у, г)) + Га,п (х -£,у- г/),

т г дк-1

у) = у '°) ^+»)+р(и> »)

у

С{и,х,у) = J J

о ее

У, V) - г])~^ш{х1 у, т?)

¿вдг),

(21) у

Ни, /, д.х,у) = J! и>{х, у, ?г)/(£, ??) - у, 97) ^ ¿9?, (22)

о я

у = КО ~ направление внешней нормали к дБ в точке £ € с^, 2) если функция и(х, у) является регулярным решением уравнения

д^и(х,у) - Ахи(х,у) = /(ж,у),

и € СЧ5 х (О Г)), иХг е х (0,Т)), и удовлетворяет условию

Ьт я-т_^и(х, у) = 7>(г), 1 < к < т, ж е 5,

»До

то доя любой точки (х,у) € (Э, имеет место соотношение

™ г

«(я,!/) =

г<?е ж,?/) и Р(и,/,д,х,у) заданы равенствами (21) гг (22), соответственно

В пункте 3 5 построено решение задачи Коши и доказана его единственность в классе функций экспоненциального роста

Задача 4. Найти регулярное решение и — и(х,у) уравнения (20), а е (0 2) в области D — {{х,у) х € R" 0 < у < Т} удовлетворяющее условиям

lim D?Cku(x, у) = тк{х), l^k^m, x£Rn (23)

где m - 1 < а ^ m, а € (0,2), m G {1,2}

Теорема 10 Пусть т — 1 < а ^ т, га € {1,2}, /? = а/2, тк(х) € С"1-1 (Kn), 1 ^ & ^ т, и, в случае m = 2, производные (д/дхг)т2(х), 1 ^ г ^ п, удовлетворяют, условию Гельдера с показателем q > y1~ßf(x, у) € C(D) ¡j, > 0, /(ж, у) удовлетворяет условию Гельдера по переменной х, и выполняются соотношения

hm тк(х)ехр (—р\х\^\ — 0, 1 < к < т,

|ж|—>ос V /

lim у1"д/(х,?/)ехр (-pjxjÄ ) = О,

где р < (1 - 0) Тогда функция и = и(х,у), определенная ра-

венством

и

m л f f

и(х = ^ ~~ ^ J J (х - у - п) d^dt],

О К*1

является регулярным решением уравнения (20) в области Б, и удовлетворяет краевым условиям (23)

Теорема 11. П^стъ 0 < а < 2, т. — 1 < а ^ т, т € {1,2} Существует не более одного регулярного решения задачи (20), (23) в классе функций, удовлетворяющих дм некоторой положительной константы а условию

1ш1 ут~аи{х, у) ехр (~сг\х\^) = 0 (24)

'г!—>оо \ /

Показано, что как и в случае уравнения теплопроводности, показатель 2/(2 — а) в условии (24) увеличить нельзя

Методом продолжения построено решение первой краевой задачи в цилиндрической области, в основании которой лежит п-мерный параллелепипед

Аналогичные утверждения доказаны для уравнения с производной Ка-путо

В пункте 3 6, используя теорему об общем представлении, решаются первая, вторая и смешанные краевые задачи для одномерного диффузионно-волнового уравнения в прямоугольных областях и строятся соответствующие функции Грина

Результаты третьей главы опубликованы в работах [1], [3], [4], [8], [9], [13], [16], [19], [21] [27]

В четвертой главе исследуются уравнения континуального порядка Оператор интегро-дифференцирования континуального порядка определяется следующим образом

О

= / ВЬФ) & а<0 (25)

а

В пункте 4 1 исследованы свойства оператора (25) Пусть <р е Ь[0, а] Обозначим через С"[(0, а) пространство функций и(х) € Ь[0,а] таких, что (и*ф) € С'г[0,а], причем (йп/4хп)(и*<р) е АС[0,а], где ЛС[0,а] - пространство абсолютно непрерывных на [0, а] функций, (/ * д)(х) —

х

Jf(t)g(x — £)сМ - свертка Лапласа функций /(х) и д(х) о

Обозначим через

£Ч{х.5) = ^-х11Е^{х^ д+ц),

7 ОЦ

где Ек (х, 5) - функция типа Миттаг-Леффлсра

0х Л {¿п/4хп)О-^+п<0+п]г(х), -п < 0 < -п + 1, п е:

Введем оператор определенный следующим образом

\ {^/4хп)В(

Далее будем обозначать через

= 1пп В^и'х) ¿^и = ЬтВ^ф), и через С| = С* [(0, а),(х,/? + п)1 где п € N выбрано из

и а J

условия —71 < ¡3 —п + 1, 1 ^ /с < п

Теорема 12. Пусть а < в < 0, п € N и удовлетворяет условию —п < Р < — п + 1 Если и(ж) € ¿[0, а! 3 тогда В^ ^ в\^и(х) = и(ж) и, если и(х) е то выполняется соотношение

п

В[°/]В^а %(х) = г»(®) - ^(я, а + к-1,р + к- 1)В^кф+к]и (26)

Соотношение (26) является аналогом формулы Ньютона-Лейбница для оператора интегрирования континуального порядка

Рассмотрим уравнение

В[£Йи{х) = ф) (27)

Теорема 13. Пусть и(х) € а < в < 0 -п < < -п +1, п € N Тогда при выполнении условий В^°+к = 0, 1 ^ к < п, единственное решение уравнения, (27) задается формулой и(х) = В^а'®и(х)

Рассмотрим оператор (25) в случае (3 > 0 Далее будем обозначать через С* = [(0, а), и(х, а — п,р — п)], где « е И выбрано из условия п — 1 < Р ^п, I ^к ^п

Теорема 14 Пусть Р > 0, а < рг п € N и удовлетворяет условию п — 1 < р < п Если и(х) £ Ь{0, а], тогда В^^ В^а'в^и{х) — и(х), и, если и{х) е С£Г\ то

Во}аДВ^\(х) = «(х) + . (х,Р-к + 1) В\п~~к(28)

*--0- X

к=1

Равенство (28) является аналогом формулы Ньютона-Лейбница для оператора дифференцирования континуального порядка

Соотношение (28) дает основание для корректной постановки задачи Коши для уравнения (27)

Задача 5. Найти решение и(х) уравнения (27) (¡3 > 0) из ■класса удовлетворяющее начальным условиям

Dl^0~k]u = щ, 1 < к < п, (29)

где п £ N выбрано из условия п — 1 < /3 ^ п

Теорема 15. Пусть п ~ 1 < /3 ^ п, neN, а < ¡3 v(x) £ L[0, а] Тогда существует единственное решение уравнения (27) из класса С™-1, удовлетворяющее начальным условиям (29) Решение имеет вид

и(х) = D~la'®v{x) - (x0-k+l)ttk

h=l

Причем, если v(x) £ АС{0, а], то и{х) £ С"

, В пункте 4 2 построено решение задачи Коши для обыкновенного уравнения континуального порядка Рассмотрим уравнение

D[of]u{x) + Аи{х) = /(яг), 0 < в ^ 1 (30)

Задача 6. Найти решение и = и(х), х £ (0, а), 0 < о < оо, уравнения (30) такое, что xl~0u{x)¡( 1 + |lnar|) £ С{0, a], х) £ С(0, а), и

удовлетворяющее условию

lixn D{«~u~\(x) = м0, о < Р ^ 1, а < Р (31)

х—>0

Рассмотрим функцию

эс

А) = ^(-A)nw„(a;),

тг=0

где

wo{x) = (х, (3), wn(x) = (w0*wn-l)(x), п£ N

8-а

Теорема 16. Пусть fix) £ L{О, а) в & (0, 1], а < /3 Существует единственное ■решение уравнения (30) удовлетворяющее условию (31) Решение представильо в виде

и(х) = u0wa.fi(x, А) + f(x)*wa^(x, А)

В пункте 4 3 строится фундаментальное решение уравнения диффузии континуального порядка Рассмотрим уравнение

D%fu(x, у) - щ3.(х, у) = f{x, у) (32)

Далее будем предполагать, что 0 ^ а < в < 1 Обозначим через

ос

Г(х, = ^ j wn,ß(y, 12) cos(at) I

}dt

ö

Показано, что функция Г(:с — — rf) является фундаментальным решением уравнения (32)

Введем в рассмотрение функцию р — pa,ß{z, <$), определенную для z > 0, 0 ^ а < ß < 1 и <5 € (0,1] соотношением

Функция paß{z, 5) удовлетворяет соотношениям д

Ра ß(z, S) > 0, 2-paß(Zi <J) > 0, Pa ß(0, S) = 0, lim pa,ß(z, 5) = оо

OZ z—>оо

цг1"1-™ ^ рал(г, 6) ^ caz1/{1-QÖ) при 0 < z < (0 - а)~\ C^i/fi-o«) ^ Paß(z% S) ^ цг1"1-™ при z>(ß-

где ca = (ß- cß = (ß-

Лемма 1 Для любых т е N U {0} ö < е G R и некоторого к > 0 справедаьво соотношение

гЙм> 6ХР ' = ^ ж° > 0

Лемма 2. Имеет место представление

Г(я, у) - ^ J [а(р)]_1ехр (ру - |ж(а(р)) dp,

где у(е, шк) - контур Ханкеля, и а(р) — [(р^ — ра)/1пр]1,/2

В пункте 4 4 строится общее представление решения уравнения диффузии континуального порядка Далее будем обозначать через D прямоугольную область D — {(я, у) 0 < х < а, 0 < у < 6}, и, для фиксированной точки (х, у) € D через Dy — {(£, rj) 0 < £ < а, 0 < г] < у}

Теорема 17. Пусть 1) функция и = и(х, у) является решением уравнения (32) в области D, из класса (j/1-iV(l + Un2/|))u € C(D), D^u, ихх е C(D), щ непрерывна вплоть до участков х = 0их = а, 0<у<Ь, границы dD, их(0,у), иг(а,у) £ £(0 у) 2) функция v = v(x,y,£,rj) при фиксированных (х, у) 6 D является решением сопряженного уравнения

дг

Vv = Dl^ß]v{x. у С, г))- у, г}) = д(х, у, и)

в области Dy, д £ C(D х Dy) (функции v, vc, -u«, vn, Вщ®v непрерывны

в D х D4 Тогда функция и(х, у) представима в виде у

и(х, У) = J {G(x, У, а, г})щ(а, г/) - G(x, у, 0, г])щ{0, ??)-

о

-С((х,у,а,7})и(а,г}) +G((x,y,0,rj)u(0,7]) dq+ (34)

у а

G{x,y,Z,0)T{£)dZ + J J \G(x,y,^V)f(^v)

У а

+ Г _. . -.....

0 0 0 где G(x, у £,г}) — Г(а; - у — г}) 4- v(x, у, г?) Г(ж, у) - фундаментальное

решение уравнения (32), т(х) = lim у), ж 6 [0, а]

В пункте 4 5, используя представление (34) получено решение первой второй и смешанных краевых задач для уравнения (32) и построены соответствующие функции Грина

В пункте 4 6 исследована задача Коши уравнения диффузии континуального порядка

Обозначим через D — {(ж, у) х € R, у € (0,Т)} aq¡(z) — paß ó > 0, q0(z) = paß (z, 1/2), где paß(z,ö) определена формулой (33)

Теорема 18 Пусть т(х) £ С(Ж), f{x у) € C(D)nGl{D) и для функций т(х) и f{x,у) найдутся.<, положительные константы С и к, такие, что выполнены неравенства

|т(л)! < Сexp fe (kx)}, j/(x.у)\ < Су3~1 (1 + |Ыу\) exp [yqs {kx/y)] Тогда функция и = и(х, у), определяемая равенством

ОС ? X

и{х,у)= J r(x-Z,y)T(t)d£ + I I Г(x-Z,v-r,)f(S,v)dtdi),

-ж 0-х

является решением уравнения (32) и удовлетворяет условию

hm D¡?~lJ)-v'u(x, у) = т{х), х е Ж (35)

у—о ■'

Решение задачи (32), (35) единственно в классе функций, удовлетворяющих для некоторых положительных Со и неравенству

¡иМКСоГ^а + М exp[qs(kox)] (36)

Неравенство (36) является аналогом условия А Н Тихонова для уравнения теплопроводности и условия (24) для диффузионно-волнового уравнения (18)

Представленные в этой главе результаты были опубликованы в работах [1], [51, [10] [14], [15], [17] [22] [25]. [26]

Автор выражает глубокую признательное гь и благодарность Адаму Ма-рсмовичу Нахушеву и Евгению Ивановичу Моисееву за постановку задач и неоценимое внимание и поддержку

Список основных работ по теме диссертации

1 Псху А В Уравнения в частных производных дробного порядка — М Наука, 2005 199 с

2 Псху А В Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Дифферент; уравнения 2003 Т 39, № 8 С 1092-1099

3 Псху А В Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифферснц уравнения 2003 Т 39 № 9 С 12861289

4 Псху А В Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифферснц уравнения 2003 Т 39, № 10 С 1430-1433

5 Псху А В К теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка // Дифференц уравнения 2004 Т 40, № 1 С 120-127

6 Псху ABO вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат заметки 2005 Т 77, № 4 С 592-599

7 Псху А В Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2000 Т 5, № 1 С 45-53

8 Псху А В Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка — Нальчик Сообщения Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНП РАН, 2001 43 с

9 Псху А В Метод функции Грина для уравнения диффузии дробного порядка // Тр Ин-та матем HAH Беларуси Минск, 2001 С 101-111

10 Псху А В Об операторах типа свертки и их приложении к теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка // Докл Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2001 Т 5, № 2 С 49-55

11 Псху А В Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Изв Кабардино-Балкарского научного центра РАН 2002 № 1(8) С 76-78

12 Псху А В Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре // Докл Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2002 Т 6, № 1 С 35-47

13 Псху А В Условие типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения // Докл Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2003 Т 6, № 2 С 72-73

14 Псху А В Уравнение диффузии континуального порядка // Докл Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2004 Т 7, № 1 С 79-83

15 Псху А В Задача Коши для дифференциального уравнения континуального порядка // Докл Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2005 Т 7, № 2 С 45-49

16 Псху А В Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения // Докл Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2005. Т 8 № 1 С 26-31

17 Псху А В Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка // Докл Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2007 Т 9 № 1 С 73-78

18 Псху А В Краевые задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка со спектральным параметром Ц Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики II Международная конференция, Нальчик 3-9 декабря 2001 г Тезисы докладов С 81-83

19 Псху А В Функции Грина краевых задач для уравнения дробного порядка // Дифференциальные уравнения и их приложения Международная научная конференция. Самара, 2002 г Сборник трудов С 269273

20 Псху А В Интегральные преобразования с функцией типа Райта в ядре // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (АМАОЕ-2003) Международная конференция, Минск, 2003 г Тезисы докладов С 139

21 Псху А В Условие типа Тихонова для уравнений дробного порядка // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики Международный Российско-Узбекский симпозиум Нальчик-

Приэльбрусьс, 2003 г Материалы симпозиума и Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" С 76-78

22 Псху А В Формулы Ньютона-Лейбница для оператора интегро-дифференцирования континуального порядка // Функциональные пространства Дифференциальные уравнения Проблемы математического образования II Международная конференция, посвященная 80-летию Л Д Кудрявцева. Москва, 2003 г Тезисы докладов С 213-215

23 Псху А В Краевая задача для уравнения с частными производными дробного порядка // Современные проблемы математической физики и информационные технологии Международная научная конференция, Ташкент, 2003 г Труды конференции Т I С 216-217

24 Псху А В Видоизмененная задача Коши для уравнения с частными производными дробного порядка // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы Международная научная конференция, Стерлигамак, Башкортостан, 2003 г Сборник научных трудов, Т I С 194-198

25 Псху А В Задача Коши для уравнения диффузии континуального порядка // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы Российско-Казахский симпозиум, п Эльбрус 2004 г Материалы симпозиума и Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы анализа и информатики" С 145-147

26 Псху А В Задача Коши для дифференциального уравнения континуального порядка // Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики Международная научная конференция Ташкент, 2004 г Материалы конференции Т 1 С 121-124

27 Псху А В Условие А Н Тихонова для уравнений дробного порядка // Тихонов и современная математика Функциональный анализ и дифференциальные уравнения Международная конференция. Москва, МГУ им М В Ломоносова, 19-25 июня 2006 г Тезисы докладов секции N° 1 С 205-206

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка

Формат 30x42 'А Уел печ л 7 Бумага офсетная Заказ № 109 Тираж 100

ЧП «Полиграфия». Лицензия № 15 от 22 01 ОЗг КБР, г Нальчик, ул Чернышевского, 131

Введение

Вводные сведения

1.1. Специальные функции

1.2. Операторы дробного интегро-дифференцирования •.

1.3. Интегральные и дифференциальные уравнения дробного порядка

Глава 1. Уравнение порядка <

1.1. Уравнение с производными Римана-Лиувилля.

1.1.1. Регулярное решение.

1.1.2. Представление решения.

1.1.3. Функция типа Райта

1.2. Свойства функции типа Райта.

1.2.1. Представление в виде ряда и формулы трансформации.

1.2.2. Предельные соотношения.

1.2.3. Дробное интегрирование и дифференцирование.

1.2.4. Оценки функции типа Райта.

1.2.5. Свертка функций Райта

1.2.6. Свойства интегралов с функцией типа Райта.

1.2.7. Неравенства для функции Райта е\'р (г).

1.3. Задача в прямоугольной области

1.3.1. Специальное решение.

1.3.2. Постановка задачи.

1.3.3. Формулировка теоремы.

1.4. Задача для уравнения с отрицательным коэффициентом

1.5. Задача Коши.

1.5.1. Постановка задачи и представление решения.

1.5.2. Теорема единственности решения.

1.5.3. Случай отрицательного коэффициента.

1.5.4. Неулучшаемость показателя степени в условиях единственности решения.

1.6. Уравнение с производными Капуто.

1.6.1. Задача в прямоугольной области

1.6.2. Задача Коши.

Библиографические комментарии.

Глава 2. Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре

2.1. Определение.

2.2. Свойства преобразований.

2.2.1. Общие свойства.

2.2.2. Преобразования степенных функций.

2.2.3. Свертка преобразований.

2.2.4. Связь преобразований B0's с преобразованием Лапласа и с преобразованием Меллина.

2.2.5. Композиция преобразований.

2.2.6. Связь с операторами дробного интегро-дифференцирования

2.2.7. Предельные соотношения.

2.2.8. Сравнение преобразований.

2.2.9. Преобразования некоторых функций.

2.3. Применение преобразований Aa,fl к изучению свойств функции типа Райта

2.3.1. Формула перестановки параметров.

2.3.2. Неравенства.

2.3.3. Представление функции типа Райта в форме интеграла по положительной полуоси.

2.4. Применение к решению дифференциальных уравнений дробного порядка

2.4.1. Эволюционные уравнения

2.4.2. Общее уравнение диффузии дробного порядка.

2.4.3. Уравнение со свободным членом.

2.5. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера.

2.5.1. Обозначения.

2.5.2. Основная теорема.

2.5.3. Следствия.

2.5.4. О геометрии множеств В, В* и Во.

Библиографические комментарии.

Глава 3. Диффузионно-волновое уравнение

3.1. Введение.

3.2. Метод редукции к системе уравнений меньшего порядка.

3.2.1. Задача Коши.

3.2.2. Первая краевая задача.

3.3. Фундаментальное решение.

3.3.1. Вспомогательные утверждения

3.3.2. Свойства фундаментального решения.

3.3.3. Случай уравнения диффузии

3.3.4. Волновое уравнение.

3.4. Представление решения.

3.4.1. Формулировка теоремы.

3.4.2. Вспомогательные утверждения

3.4.3. Доказательство теоремы о представлении решения.

3.5. Задача Коши.

3.5.1. Уравнение с производной Римана-Лиувилля.

3.5.2. Уравнение с производной Капуто.

3.5.3. Единственность решения задачи Коши. Аналог условия А.Н. Тихонова.

3.5.4. Первая краевая задача.

3.6. Краевые задачи в прямоугольных областях.

3.6.1. Функция Грина первой краевой задачи.

3.6.2. Вторая краевая задача.

3.6.3. Смешанные задачи

Библиографические комментарии.

Глава 4. Уравнения континуального порядка

4.1. Оператор интегро-дифференцирования континуального порядка.

4.1.1. Обозначения и определения

4.1.2. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для оператора интегрирования

4.1.3. Непрерывное уравнение Абеля.

4.1.4. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для дифференциального оператора

4.1.5. Задача Коши.

4.1.6. Принцип экстремума.

4.2. Задача Коши для обыкновенного уравнения континуального порядка . . 150 4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Представление решения.

4.2.3. Фундаментальное решение.

4.2.4. Решение задачи Коши.

4.2.5. Положительность фундаментального решения и характер зависимости от спектрального параметра.

4.3. Уравнение диффузии континуального порядка. Фундаментальное решение

4.3.1. Определение фундаментального решения

4.3.2. Асимптотика фундаментального решения.

4.3.3. Представление фундаментального решения в форме контурного интеграла.

4.3.4. Оценка контурного интеграла.

4.3.5. Доказательство леммы 4.3.2.

4.3.6. Неравенство для фундаментального решения.

4.4. Общее представление решения уравнения диффузии континуального порядка

4.5. Краевые задачи для континуального уравнения диффузии

4.5.1. Первая краевая задача.

4.5.2. Вторая краевая задача.

4.5.3. Смешанные краевые задачи.

4.6. Задача Коши уравнения диффузии континуального порядка.

Библиографические комментарии.

В настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к дробному исчислению. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного интегро-дифференцирования при описании широкого класса физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических явлений. Как справедливо заметил A.M. Нахушев, "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред" [57, с. 8].

Основой большинства математических моделей, описывающих указанные явления, являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.

Развитие теории уравнений с производными дробного порядка стимулируется и развитием теории дифференциальных уравнений целого порядка. Хорошо известна роль дробного исчисления в теории уравнений смешанного типа, в теории задач со смещением, в теории вырождающихся уравнений. Кроме того, уравнения дробного порядка, существенно дополняя картину общей теории дифференциальных уравнений, могут обнаруживать связь между вещами, которые, оставаясь в рамках целочисленного дифференцирования, кажутся независимыми. Например, тот факт, что для единственности решения задачи Коши в случае уравнения теплопроводности необходимо требовать ограничения на рост решения, а в случае волнового уравнения — нет, видится более согласованным после того, как становится известным, что соответствующее условие для диффузионно-волнового уравнения порядка а ^ 2 (см. ниже) при а = 1 совпадает с условием для уравнения теплопроводности, а при а —> 2 ограничивающая рост решения функция стремится к бесконечности.

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка изучались в работах как отечественных, так и зарубежных авторов. В основном предметом исследования являлись диффузионные и диффузионно-волновые уравнения дробного порядка, при решение которых использовались методы интегральных преобразований, методы функционального анализа, метод разделения переменных и т.д.

Сделаем краткий библиографический обзор работ, в которых исследовались уравнения в частных производных дробного порядка, а также свойства специальных функций, возникающих при их решении.

Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. в работе [135] исследовали уравнение

D& (и - hx) + D0Ox (и - h2) = f, а, Ре (0; 1), относительно неизвестной функции и = u(t,x) при заданных hi = и{0,х), h2 = u(t, 0) и / = f(Ux). В этой работе построено фундаментальное решение, доказаны некоторые оценки и исследована гельдерова гладкость решений в зависимости от краевых условий и правой части. В работе [134] этих же авторов был рассмотрен вопрос о гельдеровой гладкости решений уравнения

D%t (и - и0) + c(t, x)ux(t, х) = f(t, х), t,x> 0, удовлетворяющих краевым условиям и(0,х) = щ(х) и u(t,0) = щ{Ь).

Шевякова О.П. [118] рассмотрела краевую задачу в прямоугольной области для уравнения

Щ, + А < + В D^) и(х, у) = f(x, у) с частными производными дробного порядка, имеющими различные начала.

В работе Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. [135] изучено эволюционное уравнение и - u0) + Bu = f, где В - положительно определенный линейный оператор, действующий в пространстве Банаха. В работе [136] (Clement Ph., Londen S-O., Simonett G.) исследовалось квазилинейное эволюционное уравнение. Эволюционные уравнения дробного порядка рассматривали также Кочубей А.Н. [43], Костин В.А.[42], El-Sayed A.M.А. [137], [138], [139], Bazhlekova Е. [130], [131], Глушак А.В. [20], [21], Kilbas А.А., Pierantozzi Т., Trujillo J.J., Vazquez L., [147].

Задача Коши для уравнения диффузии с регуляризованной дробной производной (производной Капуто) была исследована в [46] (Кочубей А.Н., Эйдельман С.Д.).

В работах [43], [44], [45], [46] (Кочубей А.Н., Эйдельман С.Д.) рассматривалось общее уравнение диффузии (0 < а ^ 1) дробного порядка с регуляризованной дробной производной, было построено фундаментальное решение, найдено решение задачи Коши и показана его единственность в классе функций, удовлетворяющих условию типа условия А.Н. Тихонова.

Уравнение дробной диффузии исследовалось в работе Wyss W. [183]. Schneider VV.R. и Wyss W. в работе [169] рассмотрели уравнение т-1 1 u{x, t) = Yfk(x)tk + —г / (t - T)a~lAu[x, t)dT, с начальными данными (dk/dtk)u(x, 0) = fk(x), 0 ^ к ^ m — 1, m— 1 < a ^m. В терминах Я-функции Фокса получено фундаментальное решение и изучены его свойства.

В работах Fujita Y. [141], [142] рассматривалось уравнение ta/2 j Г ( Q \ 2 х)=ф{х)+щтщф[х)+mi'"~,r 1 Ы x)ds о в области {t > 0, х 6 R}. Изучены некоторые структурные свойства решения. В частности, построено фундаментальное решение, показана неотрицательность решения (ф(:г) ^ 0, ф(х) = 0). Отмечено, что фундаментальное решение достигает своего максимума на линиях х = ±cata/2, где са - постоянная, зависящая от а.

Преобразование Лапласа и преобразование Фурье были использованы в работах Mainardi F. [154], [155], и Геккиевой С.Х. [11], [15], [17], Ворошилова А.А., Кил-баса А.А. [7], [8], [9] для построения фундаментальных решений диффузионных и волновых уравнений дробного порядка с производными Капуто и Римана-Лиувилля и решения задачи Коши, краевой задачи в четверть-плоскости для однородного уравнения.

Диффузионно-волновое уравнение методами группового анализа исследовалось в работах Engler Н. [140], Buckwar Е., Luchko Yu., Gorenflo R., Mainardi F. [133], [145], [146], [153].

Методом разделения переменных диффузионно-волновое уравнение исследовалось в работах [10] (Геккиева С.Х.), [119] (Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков М.Х.), [38] (Керефов М.А. ), [79, §2.5] (Нахушева В.А.), [128] (Agrawal О.Р.), [5] (Андреев А.А., Еремин А.С.).

Принципы экстремума для нелокальных диффузионно-волновых уравнений были доказаны в работах Нахушевой В.А. [78], [79]. В работах Керефова М.А. и Шхану-кова М.Х. [39], [40] и Нахушевой В.А. [79] были получены априорные оценки для некоторых классов нелокальных уравнений переноса, в том числе со смешанными производными дробного порядка.

Нахушева З.А. в работе [80] исследовала задачу Самарского для уравнения диффузии дробного порядка.

В работах [49], [50], [51], [52] Мамчуев М.О. исследовал системы двух уравнений дробного порядка, не превышающего единицу. Эти результаты были использованы в работах [53], [54] при исследовании краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка а с постоянными коэффициентами и производной порядка (3 — а/2 в младших членах.

В работах Agrawal О.Р. [126], [127] исследуется диффузионно-волновое уравнение с производной четвертого порядка по пространственной переменной.

Разностные методы решения краевых задач для уравнений дробного порядка, в том числе диффузионно-волновых, развиваются в работах Шханукова М.Х. и Нахуше-вой Ф.М. [82], [120], [121], [122], [123], [124], Чадаева В.А. [117].

В работах Ozturk I. [162] и Геккиевой С.Х. [18], [19] исследовались задачи для нагруженного уравнения диффузии дробного порядка, причем в первой статье нагрузка представляет собой дробную производную от усреднения по пространственной переменной искомого решения, в остальных двух — след от искомого решения.

Дифференциально-разностное уравнение дробной диффузии исследовалось в работе Зарубина Е.А. [32].

Задачи для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии в одной из частей смешанной области исследовались в работах [12], [13], [14], [16] (Геккиева С.Х.), [36], [107], [108] (Килвас А.А., Репин О.А.), [31] (Ефимов А.В.). Работа Зарубина Е.А. [33] посвящена единственности решения задачи Жевре для смешанного уравнения диффузии с дробными производными, имеющими различные начала.

В работе Еремина А.С. и Андреева А.А. [30] изучается уравнение диффузии с производной матричного порядка.

В работе [29] Еремин А.С. рассмотрел краевые задачи для уравнения

D10-eD10+£u(x,y) = f(x,y).

Отметим работы Лопушанской Г.П. [48], Нахушевой В.А. [79, §2.3], Нахуше-ва A.M. [70], Еремина А.С. [28], в которых ставятся и исследуются краевые задачи для уравнений в частных производных дробного порядка, которым соответствуют (в случае целого порядка) уравнения эллиптического типа.

Оператор интегро-дифференцирования континуального порядка 0

D[°/]u(x) = J DM dt, a <13. (1) a ввел Нахушев A.M. в работе [62]. Там же было изучено непрерывное уравнение Абеля и построено решение для случая (3 = 0 (см. также [57, с. 33, с. 86]).

Уравнения с операторами (1) относятся к классу' непрерывных дифференциальных уравнений [6, с. 100] (Вольтерра В.), [61], [66], [56], [77], [75], [71] (Нахушев A.M., Тх-акахов Р.Б., Нахушева В.А.). Непрерывные дифференциальные уравнения исследовались в работе Нахушева A.M. [61] (см. [57, с. 90]), был предложен метод решения и найдено условие однозначной разрешимости видоизмененной задачи Коши в классе функций со степенной особенностью.

В работе [70] Нахушев A.M. поставил класс принципиально новых задач для уравнений с оператором дифференцирования континуального порядка.

В работах Керефова А.А. [37] и Нахушевой Ф.М. [81] исследовались краевые задачи с операторами континуального дифференцирования в краевых условиях.

Нахушев A.M. в работе [61] указал на возможность распространения принципа экстремума для дробной производной [58] на случай континуальных дифференциальных операторов. Формулы непрерывного интегрирования по частям для операторов дискретного и континуального порядка были доказаны в [58], ([57, с. 34]). Положительная определенность оператора дискретного и непрерывного дифференцирования была показана в [62] (см. также [58], [67], [69]).

Функцию Райта ф(р,ц,г) впервые исследовал Wright Е.М. [178], [179], [180], [181], [182]. В этих работах, сначала для положительных, а затем и для отрицательных значений р, изучено асимптотическое поведение функции ф(р,р,г) (см. также Mikusinski J. [158], Станкович Б. [174], Джрбашян М.М., Багян Р.А. [25]), построено интегральное представление и др. В работах [157], [158] (Mikusinski J.), [174], [143] (Станкович Б., Gajic Lj.) получены некоторые неравенства и соотношения для функции Райта. Свойства функции Райта исследовались в работах [157], [158] (Mikusinski J.), [170], [174], [143] (Станкович Б., Gajic Lj.), [165] (Pollard Н.), [177] (Wlodarski J.). Распределению нулей функции Райта посвящены работы Luchko Yu. [151], [152]. В работе Gorenflo R., Luciiko Yu., Mainardi F. [145] проведен обзор известных и новых результатов относительно свойств функции Райта и их приложений.

В работе [23] Джрбашян М.М. рассмотрел функцию для положительных параметров pi, pi и р2, Р2, которую он назвал обобщенной функцией типа Миттаг-Леффлера. Приведен ряд свойств этой функции, в частности, построены интегральные представления и вычислено преобразование Меллина. На этой основе строится аппарат приближения целыми функциями в классах Ь2. В работе Пересел-ковой И.Н. [85] исследовался вопрос о распределении нулей этой функции. В работе [35] (Килвас А.А., Королева А.А.) была рассмотрена расширенная обобщенная функция типа Миттаг-Леффлера представленная с помощью интеграла Меллина-Барнса, которая определяет продолжение обобщенной функции типа Миттаг-Леффлера для произвольных комплексных параметров pi, и р2, Рг

В работе Luchko Yu., Gorenflo R. [153] была рассмотрена функция

00 к WWW) (*) = £Г(а + ^)Г {b + vky к=О названная обобщенной функцией Райта. Для нее построено интегральное представление и получено асимптотическое разложение. В терминах этой функции получены инвариантные относительно масштабных преобразований решения уравнения u(x,t) ^u{x,t) dt« ~а дхР ' ' с производными Римана-Лиувилля.

В работе [144] (Gorenflo R., Iskenderov A., Luchko Yu.) в форме линейных интегральных операторов построены отображения между решениями задачи Коши для уравнения

УиМ 9 с производными Капуто, при различных значениях параметров а и (3, и построены соответствующие фундаментальные решения в терминах обобщенной функции Райта [180], [181] (Wright Е.М.), [132] (Braaksma B.L.J.) аь Ах). (ар, Ар)

Upi=1T(ai + Aik) z к

ПЦГв + ВДЛГ В работе [125] Agarwal R.P. ввел обобщенное преобразование Ханкеля оо

G(x) = 2~У9(y)dy, где ад=£ к=оЫТ(1 + \ + »к)

- функция Мейтленда-Бесселя. Это преобразование при ц — 1 совпадает с преобразованием Ханкеля. В работах [171], [172] Станкович Б. рассмотрел обобщенное преобразование Ханкеля в виде

00

G(x) = J<&(ii + l,v;-ofy)y"g(y)dy, и> 0, /г > —1, где

Ф (д,1/;х) = £ хк ц + ик) к=0

-функция Райта (Wright Е.М. [178], [182]). Затем в работах [113], [173] (Станкович Б.) преобразование такого вида было рассмотрено для отрицательных значений параметров, а именно было изучено интегральное преобразование

00 0 < f < 1. (2) о

Указанные выше, а также рассмотренные в данной работе интегральные преобразования могут быть выражены в терминах Я-преобразований. Теория этих преобразований и ее достаточно полная библиография изложена в работе [148] (Kilbas А.А, Saigo М.).

Отметим, что в работе Miller K.S., Ross В. [159] для решения класса обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка был предложен метод редукции к уравнениям целого порядка.

Распределению нулей функции типа Миттаг-Леффлера посвящено значительное количество работ (см. Wiman А. [176], Polya G. [167], Pollard Н. [166], Островский И.В., Переселкова И.Н. [163], [84], Попов АЛО. [87], [88], Седлецкий A.M. [110], [111], [112] и библиографию там). Вопрос о вещественных нулях функции Миттаг-Леффлера тесно связан с разрешимостью спектральных задач для уравнений дробного порядка (см. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. [26], Тихонов И.В., Эйдельман Ю.С. [115], Попов А.Ю. [86], Алероев Т.О. [1], [2], [3], [4], Нахушев A.M. [60], [57, гл.3-4], [72]).

Данная работа посвящена систематическому исследованию и развитию аналитических методов решения и анализа краевых задач для уравнений в частных производных дробного и континуального порядка. О применении таких задач в физике, биологии, математическом моделировании и т.д., рассказано в работах [83], [160], [183], [55], [56], [77], [75], [156], [168], [65], [73], [74], [79], [57], а также в литературе, цитируемой в этих работах.

Диссертация состоит из введения, вводных сведений, четырех глав и списка цитированной литературы.

1. Алероев Т. С. О полноте системы собственных функций одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 6. С. 829831.

2. Алероев Т. С. К проблеме о нулях функции типа Миттаг-Леффлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 9. С. 1278-1279.

3. Алероев Т. С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 10. С. 1422-1423.

4. Алероев Т. С. Об одном классе интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка, и их применение // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2004. Т. 7, № 1. С. 9-13.

5. Андреев А.А., Еремин А.С. Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. двенадцатой межвуз. конф. Ч. 3. Самара: СамГТУ, 2004. С. 3-9.

6. Волътерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1982. 304 с.

7. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача типа Коши для уравнения диффузии дробного порядка // Докл. НАН Беларуси, 2005. Т. 49, № 3. С. 14-18.

8. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Римана-Лиувилля // Докл. АН, 2006. Т. 406, № 1. С. 12-16.

9. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференц. уравнения, 2006. Т. 42, № 5. С. 599-609.

10. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2001. Т. 5, № 2. С. 18-22.

11. Геккиева С.Х. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН, 2001. № 2(7). С. 78-80.

12. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса в полубесконечной области // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН, 2002. № 1(8). С. 6-8.

13. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса в полубесконечной области // Современные методы в теории краевых задач: Тез. докладов Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XIII". Воронеж, 2002. С. 37.

14. Геккиева С.Х. Первая краевая задача для нагруженного уравнения с дробной производной // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара, 2004. С. 65-67.

15. Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. физ., мат. Воронеж, 2001. № 2. С. 74-77.

16. Глушак А.В. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. физ., мат. Воронеж, 2002. № 2. С. 61-63.

17. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. -М.: Наука, 1966. 672 с.

18. Джрбашян М.М. Об интегральных преобразованиях, порожденных обобщенной функцией типа Миттаг-Леффлера // Изв. Акад. Наук Арм. ССР, физ.-мат. науки. 1960. Т. 13, № 3. С. 21-63.

19. Джрбашян М.М., Вагян Р.А. Об интегральных представлениях и мерах, ассоциированных с функцией Миттаг-Леффлера // Докл АН СССР. 1975. Т. 223, № 6. С.1297-1300.

20. Джрбашян М.М., Вагян Р.А. Об интегральных представлениях и мерах, ассоциированных с функцией Миттаг-Леффлера // Изв. Акад. Наук Арм. ССР, математика. 1975. Т. 10. С. 483-508.

21. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. О построении некоторых специальных биортого-нальных систем // Изв. Акад. Наук Арм. ССР. 1959. Т. 12, № 5. С. 17-42.

22. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задачи Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. Акад. Наук Арм. ССР, 1968. Т. 3, № 1. С. 3-28.

23. Еремин А.С. Три задачи для одного уравнения в дробных частных производных // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара, 2004. С. 94-98.

24. Еремин А.С., Андреев А.А. Краевая задача для уравнения с матричным инте-гродифференциальным оператором // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2004. № 26. С. 5-10.

25. Ефимов А.В. О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Серия физ.-мат. науки. 2004. № 26. С. 16-20.

26. Зарубин Е.А. О единственности задачи Жевре для смешанного уравнения диффузии дробного порядка // Современные методы в теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XV". Воронеж, 2004. С. 93-94.

27. Ильин A.M., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук. 1962. Т.17, вып.З, С. 3-146.

28. Килбас А.А., Королева А.А. Расширенная обобщенная функция типа Миттаг-Леффлера // Докл. НАН Беларуси. 2005. Т. 49, № 5. С. 5-10.

29. Килбас А.А., Репин О.А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 5. С. 638-644.

30. Керефов А.А. О нелокальных краевых задачах для вырождающихся уравнений с континуальной производной в условиях // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1995. Т. 1, № 2. С. 18-22.

31. Керефов М.А. Решение одной краевой задачи для волнового уравнения дробного порядка // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и метематиче-ской физики: Сб. научных трудов института математики НАН Украины. Киев, 1997. С. 144-145.

32. Керефов М.А. Об одной краевой задаче для модифицированного уравнения влаго-переноса с дробной производной по времени // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1999. Т. 4, № 1. С. 12-14.

33. Керефов М.А., Шхануков М.Х. Априорные оценки для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной // Вестн. Сев.-Осет. гос. ун-та. Владикавказ, 1999. С. 17-21.

34. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1972. 496 с.

35. Костин В.А. Задача Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными // Докл. АН. 1999. Т. 326, № 4. С. 597-600.

36. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1359-1368.

37. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 4. С. 660-770.

38. Кочубей А.Н., Эйдельман С.Д. Уравнения одномерной фрактальной диффузии // Доп. Нац. АН Укра1ны. 2003. № 12. С. 11-16.

39. Кочубей А.Н., Эйдельман С.Д. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Докл. АН. 2004. Т. 394, № 2. С. 159-161.

40. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -М: Наука, 1987. 688 с.

41. Лопушанська Г.П. Основш граничш задач1 для одного р!вняння в дробних похщ-них // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 1. С. 48-59.

42. Мамчуев М. О. Метод матрицы Грина для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2002. Т. 6, № 1. С. 18-22.

43. Мамчуев М. О. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. № 1(8). С. 37-42.

44. Мамчуев М. О. Краевые задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка в неограниченных областях // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2003. Т. 6, № 2. С. 64-67.

45. Мамчуев М.О. Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2004. Т. 7, № 1. С. 56-59.

46. Мамчуев М. О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2005. Т. 7, № 2. С. 26-35.

47. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. -М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

48. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. -Нальчик: Логос, 1995. 50 с.

49. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. -М.: Физматлит, 2003. 272 с.

50. Нахушев A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, № 1. С. 100-111.

51. Нахушев A.M. К теории дробного исчисления // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 2. С. 313-324.

52. Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // Докл. АН СССР. 1977. Т. 234, № 2. С. 308-311.

53. Нахушев A.M. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 4. С. 796-799.

54. Нахушев A.M. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования, весьма важных в дробном исчислении и втеории уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 1. С. 101-109.

55. Нахушев A.M. Видоизмененная задача Коши для оператора дробного дифференцирования с фиксированным началом и концом // Дифференц. уравнения, 2000. Т. 36, № 7. С. 903-908.

56. Нахушев A.M. Структурные и качественные свойства оператора обратного оператору дробного интегро-дифференцирования с фиксированным началом и концом // Дифференц. уравнения, 2000. Т. 36, № 8. С. 1093-1101.

57. Нахушев A.M. Математические модели вязкоупругого тела // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 107-109.

58. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их аналогах в дробном исчислении // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1994. Т. 1, № 1. С. 22-26.

59. Нахушев A.M. О положительности интегральных операторов, весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1997. Т. 2, № 2. С. 10-12.

60. Нахушев A.M. Об одной формуле обращения интегрального уравнения Абеля // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1998. Т. 3, № 2. С. 10-11.

61. Нахушев A.M. Еще раз об одном свойстве оператора Римана-Лиувилля // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2001. Т. 5, № 2. С. 42-43.

62. Нахушев A.M. Дробное исчисление фундаментальная основа краевых задач со смещением и математической физики фракталов // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2004. Т. 7, № 1. С. 60-65.

63. Нахушев A.M., Кенетова P.O. Математическое моделирование социально-исторических и этнических процессов. Нальчик: Эль-Фа, 1998. 170 с.

64. Нахушев A.M., Нахушева В.А. О дифференциальных уравнениях переноса и состояния дробного порядка и некоторых обобщениях закона Кольрауша. Нальчик:Сообщения Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 2000. 11 с.

65. Нахушев A.M., Нахушева В.А. Об одном классе дифференциальных уравнениях состояния дробного порядка в сплошных средах с памятью // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1996. Т. 2, № 1. С. 52-55.

66. Нахушев A.M., Салахитдинов М.С. О законе композиции операторов дробного дифференцирования с различными началами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, № 6. С. 1313-1316.

67. Нахушев A.M., Тхакахов Р.Б. О континуальных аналогах реологических уравнений состояния и логистическом законе изменения вязкоупругих свойств полимера // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1995. Т. 1, № 2. С. 6-11.

68. Нахушева В.А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волнового уравнения // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1996. Т. 2, № 1. С. 26-28.

69. Нахушева В. А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002. 100 с.

70. Нахушева З.А. Видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1997. Т. 2, № 2. С. 36-41.

71. Нахушева Ф.М. Об одном классе нелокальных краевых задач для уравнения теплопроводности // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1995. Т. 1, № 2. С. 23-25.

72. Нахушева Ф.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Об устойчивости локально-одномерной схемы для уравнения диффузии дробного порядка в многомерной области // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 1997. Т. 2, № 2. С. 13-15.

73. Нигматулин P.P. Особенности релаксации системы с "остаточной" памятью // Физ. тверд, тела. 1985. Т. 27, № 5. С. 1583-1585.

74. Переселкова И.Н. Неасимптотические результаты о распределении а-точек функции Ep{z,n) // Доп. Нац. АН Украшы. 1999. № 2. С. 18-21.

75. Попов А.Ю. О спектральных значениях одной краевой задачи и нулях функций Миттаг-Леффлера // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 5. С. 611-621.

76. Попов А.Ю. О нулях функции Миттаг-Леффлера с параметром р > 1/2 // Analysis Mathematica. 2006, 32, 207-246.

77. Попов А.Ю., Седлецкий A.M. Распределение нулей функции Миттаг-Леффлера // Докл. АН. 2003. Т. 390, № 2. С. 165-168.

78. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., 1986.

79. Псху А.В. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Сообщения Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 2001. 43 с.

80. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

81. Псху А.В. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 8. С. 1092-1099.

82. Псху А,В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 9. С. 1286-1289.

83. Псху А.В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 10. С. 14301433.

84. Псху А.В. К теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 1. С. 120-127.

85. Псху А.В. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат. заметки. 2005. Т. 77, № 4. С. 592-599.

86. Псху А.В. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2000. Т. 5, № 1. С. 45-53.

87. Псху А.В. Об операторах типа свертки и их приложении к теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2001. Т. 5, № 2. С. 49-55.

88. Псху А.В. Метод функции Грина для уравнения диффузии дробного порядка // Тр. Института математики НАН Беларуси. Минск, 2001. С. 101-111.

89. Псху А.В. Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2002. Т. 6, № 1. С. 35-47.

90. Псху А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. № 1(8). С. 76-78.

91. Псху А.В. Условие типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2003. Т. 6, № 2. С. 72-73.

92. Псху А.В. Уравнение диффузии континуального порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2004. Т. 7, № 1. С. 79-83.

93. Псху А.В. Задача Коши для дифференциального уравнения континуального порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2005. Т. 7, № 2. С. 45-49.

94. Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2005. Т. 8, № 1. С. 26-31.

95. Псху А.В. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2007. Т. 9, № 1. С. 73-78.

96. Репин О.А. О разрешимости одной нелокальной задачи для параболо-гиперболического уравнения с дробной производной // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара, 2004. С. 183-188.

97. Самко С. Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. -Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

98. Седлецкий A.M. Асимптотические формулы для нулей функции типа Миттаг-Леффлера // Analysis Math. 1994. V. 20. P. 117-132.

99. Седлецкий A.M. О нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат. заметки. 2000. Т. 68, № 5. С. 710-724.

100. Тихонов И.В., Эйдельман Ю.С. Обратная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей целой функции типа Миттаг-Леффлера // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 5. С. 637-644.

101. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 427 с.

102. Чадаев В.А. Модификация метода Эйлера для дифференциального уравнения с дробной производной // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2005. Т. 7, № 2. С. 82-86.

103. Шевякова О.П. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук, 2005. Т. 7, № 2. С. 68-71.

104. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Докл. НАН Украины. 1997, № 12. С. 47-54.

105. Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной // Докл. АН. 1996. Т. 348, № 6. С. 746-748.

106. Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф.М. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка и сеточные методы их решения. В сб. <Неклассические уравнения математической физики>. Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1998. С. 37-44.

107. Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф.М. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка в р-мерном параллелепипеде // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 1999, № 2. С. 35-41.

108. Agarwal R.P. Sur une generalisation de la transformation de Hankel // Ann. soc. sci. Bruxelles., 1950, ser.l, 64, 164-168.

109. Agrawal O.P. A general solution for the fourth-order fractional diffusion-wave equation // Fractional Calculation and Applied Analysis, 2000, 3, 1-12.

110. Agrawal O.P. A general solution for a fourth-order fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Computers and Structures, 2001, 79, 1497-1501.

111. Agrawal О. P. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Nonlinear Dynamics, 2002, 29, 145-155.

112. Barrett J.H. Differential equation of non-integer order // Canad. J. Math, 1954, 6, 4, 529-541.

113. Bazhlekova E. The abstract Cauchy problem for fractional evolution equation // Fractional Calculus and Applied Analysis, 1998, 1, 257-270.

114. Bazhlekova E. Perturbation properties for abstract evolution equations of fractional order // Fractional Calculus and Applied Analysis, 1999, 2, 4, 359-366.

115. Braaksma B.L.J. Asymptotic expansion and analytic continuations for a class of Barnes-integrals // Compositio Math. 1964, 15, 239-341.

116. Buckwar E., Luchko Yu. Invariance of a partial differential equation of fractional order under the Lie group of scaling transformations // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1998, 227, 81-97.

117. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. Holder regularity for a linear fractional evolution equation // Progress in Nonlinear Differential Equations an Their Applications, 1999, 35, 62-82.

118. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. Schauder estimates for equations with fractional derivatives // Transactions of the American Mathematical Society, 2000, 352, 5, 2239-2260.

119. Clement Ph., Londen S-O., Simonett G. Quasilinear evolutionary equations and continuous interpolation spaces // J. Differ. Equat. 2004, 196, 2, 418-447.

120. El-Sayed A.M.A. Fractional order evolution equations // J. Frac. Calculus, 1995, 7, 89-100.

121. El-Sayed A.M.A. Fractional-order diffusion-wave equation // International Journal of Theoretical Phisycs, 1996, 35, 2, 311-322.

122. El-Sayed A.M.A. Fractional-order evolutionary integral equations // Applied Mathematics and Computation, 1999, 98, 139-146.

123. Engler H. Similiraty solutions for a class of hyperbolic integrodifferential equations // Differential Integral Equations, 1997, 10, 5, 815-840.

124. Fujita Y. Integrodifferential equation which interpolates the heat equation and the wave equation // Osaka J. Math. 1990, 27, 309-321.

125. Fujita Y. Integrodifferential equation which interpolates the heat equation and the wave equation (II) // Osab J. Math. 1990, 27, 797-804.

126. Gajic Lj., Stankovic B. Some properties of Wright's function // Publications de L'institut Mathematique, Beograde, 1976, 20, 34, 91-98.

127. Gorenflo R., Iskenderov A., Luchko Yu. Mapping between solutions of fractional diffusion-wave equations // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2000, 3,1, 75-86.

128. Gorenflo R., Luchko Yu., Mainardi F. Analytical properties and applications of the Wright function // Fractional Calculus Appl. Anal., 1999, 2, 383-414.

129. Gorenflo R., Luchko Yu., Mainardi F. Wright functions as scale-invariant solutions of the diffusion-wave equation // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000, 118, 175-191.

130. Kilbas A.A., Pieraniozzi Т., Trujillo J.J., Vazquez L. On the solution of fractional evolution equations // Journal of Physics A: Mathematical and General, 2004, 37, 3271-3283.

131. Kilbas A.A., Saigo M. H-Transforms. Theory and Applications. Boca Raton-London-Boston-New York-Washington. 2004.

132. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics Studies, Volume 204. 2006.

133. Курант P. Уравнения с частными производными. -М: Мир, 1964. 830 с.

134. Luchko Yu. Asymptotics of zeros of the Wright function // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen, 2000, 19, 2, 583-595. .

135. Luchko Yu. On the distributions of zeros of the Wright function // Integral Transforms and Special Functions, 2001, 11, 195-200.

136. Luchko Yu. Gorenflo R. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order // Fractional Calculus к Applied Analysis, 1998, 1, № 1, 63-78.

137. Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos, Solitons and Fractals, 1996, 7, 9, 1461-1477.

138. Mainardi F. The fundamental solution for the fractional diffusion-wave equation // Appl. Math. Lett., 1996, 9, 6, 23-28.

139. Mainardi F. Fractional calculus: some basic problems in continuum and statistical mechanics, in "Fractal and Fractional Calculus in Continuum Mechanics", (Eds. A. Carpinteri, F. Mainardi), Sprienger-Verlag, Wien, 1997, 291-348.

140. Mikusinski J. Sur la croissance de la fontions operationnelle exp (-saA) // Bull. Ac. Pol. Sci. CI. Ill, 1956, 4.7, 423-425.

141. Mikusinski J. On the function whose Laplace transform is exp(-sQA), 0 < a < 1 // Studia Math., 1959, 18, 191-198.

142. Miller K.S., Ross B. Fractional Green's functions // Indian .J. pure appl. Math., 1991, 22, 9, 763-767.

143. Nigmatullin R.R. The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Status Solidi., 1986, В 133, 425-430.

144. Oldham К.В., Spanier J. The fractional calculus. New-York, London: Academic Press, 1974.

145. Ozturk I. Boundary value problem for loaded differential equation of fractional order // Doklady Adygskoi Mezhdunarodnoi Akademii Nauk (Reports of Adyghe (Circassian) International Academy of Scienses), 1995, 1, 2, 12-17.

146. Ostrovskii I. V., Peresyolkova I.N. Nonasymptotic results on distribution of zeros of the function Ep(z,p) // Analysis Math. 1997, 23, 283-296.

147. Podlubny I. Fractional differential equations. New-York: Academic Press, 1999.

148. Pollard H. The representation of exp(—xx) as a Laplace integral // Bull. Amer. Math. Soc., 1946, 52, 10, 908-910.

149. Pollard H. The completely monotonic character of the Mittag-Leffler function Ea{—x) // Bull. Amer. Math. Soc., 1948, 54, 12, 1115-1116.

150. Polya G. Bemerkung liber die Mittag-Lefflerschen Funktionen Ea(z) // Tohoku Math. J., 1921, 19, 241-248.

151. Saichev A., Zaslavsky G. Fractional kinetic equations: solutions and applications // Chaos, 1997, 7, 4, 753-764.

152. Schneider W.R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equations // J. Math. Phys., 1989, 30, 1, 134-144.

153. Stankovic B. Sur une de fonction du calcul operationel I I Pubis Inst. math. Acad, serbe sci., 1954, 6, 75-78.

154. Stankovic B. Inversion et invariantes de la transformation generalisee de Hankel // Pubis Inst. math. Acad, serbe sci., 1955, 8, 37-52.

155. Stankovic B. Inversion et invariantes de la transformation generalisee de Hankel // C. r. Acad. sci. Paris, 1955, 241, 1905-1907.

156. Stankovic B. Inversion d'une transformation integrate // Pubis Inst. math. Acad, serbe sci., 1956, 10, 85-88.

157. Stankovic B. On the function of E.M. Wright. // Publications de L'institut Mathematique, Beograde, 1970, 10, 24, 113-124.

158. Vallee O. Some integrals involving Airy functions and Volterra /^-functions // Integral Transforms and Special Functions, 2002, 13, 5, 403-408.

159. Wiman A. Uber die Nulstellen der Funktionen Ea(x) // Acta Math., 1905, 29, 217-234.

160. Wlodarski J. Une remarque sur une classe de fonctions exponentielles du calcul operationel // Studia Math., 1953, 13, 188-189.

161. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc., 1933, 8, 29, 71-79.

162. Wright E.M. The asymptotic expansion of the generalized Bessel function // Proc. London Math. Soc. (Ser. II), 1934, 38, 257-270.

163. Wright E.M. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function // Journal London Math. Soc., 1935, 10, 286-293.

164. Wright E.M. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function // Proc. London Math. Soc. (Ser. II), 1940, 46, 389-408.

165. Wright E.M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math., Oxford Ser., 1940, 11, 36-48.

166. Wyss W. The fractional diffusion equation // J. Math. Phys., 1986, 27, 11, 2782-2785.