Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с континуальной производной

Эфендиев, Беслан Игорьевич

Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с континуальной производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Эфендиев, Беслан Игорьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нальчик МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с континуальной производной»

Автореферат диссертации на тему "Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с континуальной производной"

На правах ру$шиси

Эфендиев Беслан Игорьевич

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С КОНТИНУАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата, физико-математических наук

-8 ДЕК 2011

Белгород - 2011

005005266

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизаци Кабардино-Балкарского научного центра РАН (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор,

Пнхушеи Адам Маремопич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Глугтгак Александр Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор,

Шхануков-Лафишсв Мухамсд Хабалович

Ведущая организация: Самарский государственный экономический

университет

Защита состоится 26 декабря 2011 г. в 16 ч 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном национальном исследовательском университете по адресу: 308007. г. Белгород, ул. Студенческая, 1-1, корп. 1 ПИУ "НелГУ". иуд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке НИУ "БелГУ".

Автореферат разослан 25 ноября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.015.08

Прядисв В.Л.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению пропзводйых и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, имеет давнюю историю и богатое содержание, обусловленное проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Дробное исчисление функций одной и многих переменных продолжает интенсивно развиваться, и в настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к нему. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного ингегро-дифференцировання при математическом моделировании физических, химических, экономических и социально-биологических явлений. Как справедливо заметил A.M. Нахушев: "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов п систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред".

Дифференциальные уравнения дробного порядка являются основой большинства математических моделей, описывающие физические, химические, экономические и социально-биологические явления. Поэтому весьма актуальной и важной задачей является развитие аналитического аппарата теории уравнений с производными дробного порядка.

В 1925 г. впервые при обобщении задач вариационного исчисления С. Мандельбройт пришел к уравнению, позже названное В. Вольтерра, обыкновенным непрерывным дифференциальным уравнением.

A.M. Нахушев в 1988 г. ввел оператор интегро-дифференцирования континуального порядка

М2?и{х) = J as(x)Dixu{t)dt, <*<Р, (1)

где D[x - оператор дробного интегро-дифференцирования порядка £ с началом в точке а и с концом в точке х, и следуя В. Вольтерра, дал определение непрерывного дифференциального уравнения. В силу этого определения, уравнения с оператором (1) относятся к классу непрерывных дифференциальных уравнений.

В англоязычной литературе вместе с названием "непрерывное дифференциальное уравнение" используется "distributed order differential equation".

В 1995 году М. Caputo ввел производную распределенного порядка

(D°*V)(i) = J {®{a)<p){t)p{<x)da, (2)

"О

где = Da~ljt<p{t), fi - положительная функция.

В настоящее время имеется много работ, посвященных различным аспектам теории дифференциальных уравнений с производными дробного порядка в смысле Р и м ан а- Л иу внл л я и в смысле Капуто. В то время, как непрерывные дифференциальные уравнения остаются практически не исследованными.

A.M. Нахушев предложил метод решения непрерывных дифференциальных уравнений, им найдено условие однозначной разрешимости видоизмененной задачи Коши в классе функций со степенной особенностью. Доказал формулы дробного и непрерывного интегрирования по частям, взаимную сопряженность операторов дробного и непрерывного дифференцирования н интегрирования, положительность операторов дискретного и непрерывного интегрирования, положительность оператора дробного дифференцировании и континуального интегрирования сегментного порядка.

Непрерывное уравнение Абеля

Dt®u(t) = v{x), (3)

где

D%%(t) = j Dlum, (4)

в случае ß = 0, а < 0 было исследовано A.M. Нахушевым. Также им было рассмотрено задачи Коши и Дирихле для уравнения

Для уравнений с оператором дифференцирования континуального порядка A.M. Нахушев поставил класс принципиально новых задач.

A.B. Псху построил оператор, обратный оператору (4), доказал аналоги формулы Ньютона-Лейбница для интегрального и дифференциального операторов, решил непрерывное уравнение Абеля (3) через обратный оператор, сформулировал и доказал принцип экстремума для оператора иитегро-диф-ференцирования континуального порядка.

Для уравнения

D[°xß]u (t) + Ли{х) = /(.г), 0 < ß < 1

A.B. Псху построил фундаментальное решение, решил задачу Коши, доказал положительность фундаментального решения и исследовал характер зависимости от спектрального параметра.

Уравнение диффузии континуального порядка было исследовано A.B. Псху, который получил фундаментальное решение и его оценку, построил общее представление решения методом функции Грина, решил задачу Коши и основные краевые задачи.

Задачи с операторами континуального дифференцирования в краевых условиях исследовались в работах A.A. Керефова и Ф.М. Нахушевой.

Уравнения с оператором (2) рассматривали Е. Andries, Т.М. Atanackovic, R.L. Bagley, М. Budincevic, М. Caputo, Y. Chen, К. Diethelm, R. Gorenfio, T.T. Hartley, A.N. Kochubei, C.F. Lorenzo, Yu. Ludiko, F. Mainardi, A. Mura, G. Pagnini, S. Pilipovic, H.Sheng, S. Steinberg, M.N. Stojanovic, P.J. Torvik, S. Umarov.

Цель работы. Основной целью работы является исследование основных локальных и нелокальных краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной.

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием метода функции Грина, интегрального преобразования Лапласа, теории интегральных уравнений, теории специальных функций, теории дробного исчисления.

Научная новизна. В диссертации исследуются основные локальные (Коши, Дирихле, Неймана) и нелокальные (Стеклова с граничными условиями первого и второго классов) краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, содержащего производную континуального порядка.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной:

1. Найдено фундаментальное решение. Доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле и задачи Неймана.

3. Показаны непустота и конечность спектра задачи Дирихле и задачи Неймана. Доказана теорема, об оценке спектра задачи Дирихле.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Стеклова с граничными условиями первого и второго классов.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Ее результаты могут быть использованы при построении теории кра-

евых задач для непрерывных дифференциальных уравнений. Практическая ценность обусловлена прикладной значимостью обыкновенных дифференциальных уравнений, локальных и нелокальных краевых задач в математическом моделировании и других областях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики"(Нальчик, 2006), на Международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "(Эльбрус, 2008), на Международном Российско-Абхазском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик -Эльбрус, 2009), на III, V, VIII, IX школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик - Эльбрус, 2005, 2007, 2010, 2011), на I Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики" (Терскол, 2010), на Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел "(Белгород, 2011), на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - На-хушев A.M.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[18]. Из них [1]-[3] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, вводных сведений, трех глав, объединяющих 14 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 70 наименований, и изложена на 73 страницах.

Основное содержание работы

Во введении дается краткий обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание основных результатов диссертации.

В вводных сведениях приведены некоторые специальные функции и их свойства, формулы из теории дробного и непрерывного интегро-диффе-ренцирования, необходимые для дальнейшего изложения.

Первая глава посвящена построению общего представления решения, фундаментального решения и решения задачи Коши.

В § 1.1 для уравнения

¿U(x) + AD^U(í) = /(x) (5)

ставится задача Коши

и(0) = и0,

d_ dx

i(x)

Ml,

(6)

1=0

где a, P,X = const, 0 < a < (3 < 1, 0 < x < I, и0,щ - заданные постоянные.

В §1.2 первой главы выписывается общее представление решения уравнения (5).

Теорема 1. Пусть D = {{x,t):0<x<l, 0<t<l], и(х) еС^О, /]ПС2]0, /[, /(х) € L[0,Z] П С\0,1{, а функция W{x,t) такая, что W(x,t) € C(D)П Cl{D\{t = х}) и выполнены соотношения

lim i—о

(

t~x+5

W(xtt)

t=x-S

(7)

(8)

Тогда общее представление решения уравнения (5) определяется формулой I

i(x) = j W(x, t)f(t)dt + u(l)

W(x,t)

x(0)

W(x,t)

(=0

-W(x,l)\jtu(t) + XD[^-1]u(0

+ W{x, 0)

t=!

Jtuw

(9)

t=о

(10)

В §1.3 строится фундаментальное решение уравнения (5) и находится его оценка.

Определение 1. Фундаментальным решением уравнения (5) назовем функцию Ш(х — ¿), являющуюся:

1) на интервале Ь < х < I решением задачи

^(я-О + АЯ^ИЧе-^О,

при фиксированном значении

2) на интервале 0 < 4 < а: решением задачи

(П)

по переменной t, при фиксированном значении х. Теорема 2. Функция

оо

Гл(а-0 = £(-*)"''»(*-<). (12)

п=О

где

va{x) = х, vn{x) = J vn-i{x - t)jVi{2 - /3,2 - a, t)dt, n£ N,

i t

7г(сгД x) = j ЩЙ, <5 > <r > 0, r(i) -

гамма-функция Эйлера,

является фундаментальным решением уравнения (5).

В § 1.4 выписывается интегральное представление фундаментального решении уравнения (5) и его производных до второго порядка.

В §1.5 первой главы находится в явном виде решение задачи Коши (0) для уравнения (5).

Теорема 3. Пусть /(ас) € Ь [0,!] П С ]0,1{. Тогда решение задачи Коши (6) для уравнения (5) существует и единственно. Решение имеет вид

и(х) = «о^ВД + щВД + У ГЛ(1 - 0/(*)<Й. (13)

Во второй главе исследуются задача Дирихле и задача Неймана. В §2.1 для уравнения (5) находится решение задачи Дирихле

и(0) = «о, и(1) - щ, (14)

где и0, щ - заданные постоянные, и строится функция Грина задачи Дирихле.

Теорема 4. Пусть /(х) £Ь[0,1] П С]0,1[. Тогда: 1) Если А < 0, то функция

и(х) — —Mq

Ж0^

+ Ul

t=о

¡-G^t)

+ [ G^tjf^dt, (15) =i J

является решением задачи Дирихле (14) для уравнения (5).

2) Если же А > 0 и выполнено условие

Га (I) ф О,

тпо функция (15) является решением задачи (5), (Ц), где

Гл(х)ГА(4-«)

ГА(0

- функция Грина задачи (5), (14), Н(х) - функция Хевисайда.

Теорема 5. Решение задачи (5), (Ц) единственно тогда и только тогда, когда выполнено условие (16).

В параграфе 2.2 для уравнения (5) находится решение задачи Неймана

~и{ х) ах

1=0

йх

и(х)

= 6,

(17)

X=1

где а,Ь - заданные постоянные, и строится функция Грина задачи Неймана. Топпрмя К Пипръ $(т\ р ГДП Л п СШ\. Тогда:

---1-------- --у-''-- J , — — 1.-1 - j 1 ^

1) При А < 0 функция

м(х) = аС2(х,0)-Ь02(х,г) +1 С2(х,4)/(4)Л

является решением задачи Неймана (17) для уравнения (5). 2) При А > 0 и соблюдении условии

<Р

(18)

<гх2

■Гл(г)

(19)

1=1

функция, (18) является решением задачи (5), (17), где

С2(х, г) = н(х - 4)ГЛ(« - *)--

- функция Грина задачи (5), (17).

Теорема 7. Задача (5), (17) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда соблюдено условие (19).

В §2.3 изучается наличие спектра у задачи Дирихле.

Определение 2. Значения А, при которых задача

дх

а-и(х) + А £>'°Д(*) = о, «(0) = о, и(1) = О 9

, йх2

и(х) 4- А.о'х^) = О,

йх

и(х)

= 0,

1=0

дх

и(х)

= 0

(21)

Х=1

имеет нетривиальное решение будем называть собственными значениями задачи.

Теорема 8. Существует е> 0, что для любых а,/?€]0,1/3), /?—а<е, задача (20) имеет вещественные собственные значения.

Теорема 9. Задача (20) может иметь лишь конечное число вещественных собственных значений.

В §2.4 находится оценка спектра задачи Дирихле.

Теорема 10. Пусть Л0 наименьшее вещественное собственное значение задачи Дирихле. Тогда имеет место оценка

Ап >

¡В-2

Щ^)

1а~2 Щ-п)

I < 1, / > 1.

(22)

В § 2.5 изучается наличие спектра у задачи Неймана.

ТеоремаИ. Существует е > 0, что для любых а,0 € ]0,1[, (З—а < е, задача (21) имеет вещественные собственные значения..

Теорема 12. Задача (21) может иметь лишь конечное число вещественных собственных значений.

В третьей главе рассматриваются нелокальные краевые задачи.

В §3.1 для уравнения (5) ставятся задача Стеклова с граничными условиями первого класса

и{х) и(х)

= ацы(0) + апи(1),

х—1

= а21и(0) + а22«(0

1—0

и задача Стеклова с граничными условиями второго класса

и(О=0ии(О),

и(х)

= Йп«(0)+Да

Х=1

и(х)

(23)

(24)

(25)

(26)

1=0

где аи, «12,021,022,/Зц, Аъ/Згг ~ заданные постоянные.

Параграф 3.2 посвящен построению функций Грина рассматриваемых нелокальных задач.

В §3.3 третьей главы выписывается решение задачи Стеклова с граничными условиями первого класса (23), (24) для уравнения (5).

Теорема 13. Пусть J{x) 6 L[0,í] П С}0,1[ и выполнено условие

Q22Ia(1)-1)-

dx2 d

<1х

Тогда функция

Тх(х) •ВД

- «12

ОиГл(0 ) ( «22

- аи

i=i

х=1

А.

ЭД

х=1

+ а21)#0. (27)

u(®)=J GMmdt,

(28)

является решением задачи (23), (24) для уравнения (5), где

G3{x,t) = G3

«11 «12 Q21 «22

Н--<¡ ( Ct 11 «22 - «12«21 ~ «22

1. \

Йт 2

+ «21 + «22

(«22Гл(0 - l)

(я:, É) == íí(a7 - í)rA(x -1)+

ВД| )Г A(í-Í) +

j x=i'

frA(®-í)l 1 +

.«a; J x=i)

i=¡

- функция Грина задачи Стеклова с граничными условиями первого класса

для уравнения (5).

В §3.4 находится решение задачи Стеклова с граничными условиями

второго класса (25), (26) для уравнения (5).

Теорема 14. Пусть }{х) £ Ь [0, ¿] П С}0,1[ и выполнено условие

й Г\(х) ) (в22 -

D4=[011-

i=¡

i=i

/о.

Тогда функция

и(х) = I G4{x,t)f{t)dt,

(29)

(30)

является решением задачи (25), (26) для уравнения (5), где

(?4(х, 4) = С4 ° ] (1,*) = Н(х - *)Гл(а: - *)+

./>21 Р22.

Гд(а;) Г / „ Г с£ „ , Л \ Г

1>4

- /?21

# VI Л

1=(

1=1

х=1

+ Гд(0

¿л;

гА(г - г) +

- функция Грина задачи Стеклова с граничными условиями второго класса для уравнения (5).

Заключение

В диссертации, посвященной исследованию локальных и нелокальных краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной получены следующие основные результаты:

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной:

1. Найдено фундаментальное решение. Решена задача Коши.

2. Решены задача Дирихле и задача Неймана. Построены соответствующие функции Грина.

3. Показаны непустота и конечность спектра задачи Дирихле и задачи Неймана. Получена оценка спектра задачи Дирихле.

4. Решены задачи Стеклова с граничными условиями первого и второго классов. Построены функции Грина.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю Адаму Маремовичу Нахушеву за постановку задач, постоянное внимание и поддержку, а также Арсену Владимировичу Псху за весьма ценные замечания., советы и обсуждения результатов работы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Эфендиев, Б.И. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Дифференц. уравнения. - 2011. - Т. 47, № 9. - С. 1364-1368.

2. Эфендиев, Б.И. Задача Стеклова с предельными условиями второго класса для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2010. - Т. 12, № 1. -С. 85-87.

3. Эфендиев, Б.И. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнення второго порядка с континуальной производной в группе младших членов/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2010. - Т. 12, № 2. - С. 93-98.

4. Эфендиев, Б.И. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2005. - Т. 8, № 1. - С. 99-104.

5. Эфендиев, Б.И. Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2006. - Т. 8, № 2. - С. 87-89.

6. Эфендиев, Б.И. Задача Коши и задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Домады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2008. - Т. 10, № 1. - С. 83-85.

7. Эфендиев, Б.И. К вопросу о разрешимости задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной ахадемии наук. - 2008. - Т. 10, № 2. - С. 72-75.

8. Эфендиев, Б.И. Об одной нелокальной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2009. - Т. 11, № 2. - С. 61-62.

9. Эфендиев, Б. И. О разрешимости задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы VII Школы молодых ученых. Нальчик-Эльбрус, 17-22 мая 2009 г. - С. 327-328.

10. Эфендиев, Б. И. Нелокальная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Самара, 3-G июня 2010 г. - Ч. 3. - С. 282-284.

11. Эфендиев, Б.И. Об одной нелокальной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы VIII Школы молодых ученых. Нальчик-Хабез, 25-30 июня 2010 г. - С. 123-124.

12. Эфендиев, Б. И. Задача Фурье для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Дифференциальные уравнения и динамические системы: Тезисы докладов Международной конференции. Суздаль, 2-7 июля 2010 г. - С. 197-198.

13. Эфендиев, Б. И. Нелокальная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Математический анализ и математическое моделирование: Тезисы докладов Международной конференции молодых ученых. Владикавказ, 12-19 июля 2010 г. - С. 176-177.

14. Эфендиев, Б. И. Спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: Тезисы докладов Международной научной конференции. Владикавказ, 19-24 июля 2010 г. - С. 264-265.

15. Эфендиев, Б.И. Об одной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной в группе младших членов/ Б.И. Эфендиев// Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Всероссийской конференции молодых ученых. Нальчик-Эльбрус, G-9 декабря 2010 г. - С. 180-181.

16. Эфендиев, Б.И. О задаче Дирихле для дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы IX Школы молодых ученых. Нальчик, 2.4-27 мая 2011 г. - С. 95-97.

17. Эфендиев, Б.И. О нелокальной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Дифференциальные уравнения и их приложения: Материалы Всероссийской научной конференции с международным участием. Стерлитамак, 27-30 июня 2011 г. - С. 233-234.

18. Эфендиев, Б.И. Нелокальные задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: Материалы Международной конференции. Белгород, 17-21 октября 2011 г. - С. 131-132.

Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка о кпггпшуадыиш нршгщодиой

Формат 30 х 42. 1/4. Усл. печ.л. 1.0 Бумага офсетная. Заказ №101. Тираж 100 экз. ЧП "Полиграфия". Лицензия №15 от 22.01.03г. КБР, г.Нальчпк, ул. Чернышевского, 131.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Эфендиев, Беслан Игорьевич

Введение

Вводные сведения

0.1. Специальные функции

0.2. Операторы интегро-дифференцирования дробного и континуального порядка

Глава I. Задача Коши

1.1. Постановка задачи.

1.2. Общее представление решения.

1.3. Фундаментальное решение.

1.4. Интегральное представление фундаментального решения

1.5. Решение задачи Коши.

Глава II. Задача Дирихле и задача Неймана

2.1. Решение задачи Дирихле.

2.2. Решение задачи Неймана.

2.3. О спектре задачи Дирихле.

2.4. Оценка спектра задачи Дирихле.

2.5. О спектре задачи Неймана.

Глава III. Нелокальные краевые задачи

3.1. Постановка задач.

3.2. Функции Грина нелокальных краевых задач.

3.3. Решение задачи Стеклова с граничными условиями первого класса.

3.4. Решение задачи Стеклова с граничными условиями второго класса.

Введение диссертация по математике, на тему "Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с континуальной производной"

Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, имеет давнюю историю и богатое содержание, обусловленное проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Дробное исчисление функций одной и многих переменных продолжает интенсивно развиваться, и в настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к нему. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного интегро-дифференцирования при математическом моделировании физических, химических, экономических и социально-биологических явлений. Как справедливо заметил A.M. Нахушев: "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред" [19, с. 8].

A.M. Нахушев в 1988 г. ввел оператор интегро-дифференцирования континуального порядка

M2fu{x) = J a^x)Dixu(t)d^ a < P, (1) a где Dlx - оператор дробного интегро-дифференцирования порядка £ с началом в точке а и с концом в точке х, и следуя В. Вольтерра, дал определение непрерывного дифференциального уравнения [11]. В силу этого определения, уравнения с операторами (1) относятся к классу непрерывных дифференциальных уравнений [1, с. 100], [13, с. 99], [11], [12], [14], [15].

В 1995 году в работе [57] М. Caputo ввел производную распределенного порядка 1

D^V)M = J С®ia)v){tMa)da, (2) о где (pka}ip){t) = Da~lji(p{t), ¡1 - положительная функция.

В настоящее время имеется много работ, посвященных различным аспектам теории дифференциальных уравнений с производными дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля и в смысле Капуто (см., например, монографии [2],[5],[13],[19],[32] и статьи [8],[9],[10],[И],[16],[17] и ссылки там). В то время, как непрерывные дифференциальные уравнения остаются практически не исследованными.

Сделаем краткий библиографический обзор работ, в которых исследовались уравнения с операторами (1) и (2).

A.M. Нахушев в работе [11] предложил метод решения непрерывных дифференциальных уравнений, им найдено условие однозначной разрешимости видоизмененной задачи Коши в классе функций со степенной особенностью.

В работе [17] A.M. Нахушев доказал формулы дробного и непрерывного интегрирования по частям, взаимную сопряженность операторов дробного и непрерывного дифференцирования и интегрирования, положительность операторов дискретного и непрерывного интегрирования, положительность оператора дробного дифференцирования и континуального интегрирования сегментного порядка.

Непрерывное уравнение Абеля

Dtß]u{t) = Ф), (3) где 0

D[äß]u(t) = J Dlu(m, (4) а в случае ß = 0, а < 0 было исследовано A.M. Нахушевым в работе [19, с. 83] (см. также [25]). В этой же работе [19, с. 145] рассмотрены задачи Коши и Дирихле для уравнения ф) - А£>£\(г) = f(x).

В работе [20] A.M. Нахушев поставил класс принципиально новых задач для уравнений с оператором дифференцирования континуального порядка.

A.B. Псху в работе [30, с. 135] (см. также [24], [25]) построил оператор, обратный оператору (4), доказал аналоги формулы Ньютона-Лейбница для интегрального и дифференциального операторов, решил непрерывное уравнение Абеля (3) через обратный оператор, сформулировал и доказал принцип экстремума для оператора интегро-дифференцирования континуального порядка.

В работе A.B. Псху [27, с. 150] (см. также [28], [31]) исследовалось уравнение

Dtß]u (t) + А и(х) = f(x), О<0<1. (5)

Там же найдено фундаментальное решение уравнения (5), решена задача Коши, доказана положительность фундаментального решения и исследован характер зависимости от спектрального параметра.

Уравнение диффузии континуального порядка было исследовано A.B. Псху в работе [30, с. 152] (см. также [26]), который получил фундаментальное решение и его оценку, построил общее представление решения методом функции Грина, решил задачу Коши и основные краевые задачи.

Задачи с операторами континуального дифференцирования в краевых условиях исследовались в работах A.A. Керефова [4] и Ф.М. Нахушевой [22].

Уравнения с оператором (2) рассматривали Е. Andries, Т.М. Atanack-ovic, R.L. Bagley, M. Budincevic, M. Caputo, Y. Chen, К. Diethelm, R. Goren-flo, T.T. Hartley, A.N. Kochubei, C.F. Lorenzo, Yu. Luchko, F. Mainardi, A. Mura, G. Pagnini, S. Pilipovic, H.Sheng, S. Steinberg, M.N. Stojanovic, P.J. Torvik, S. Umarov [53]—[TO].

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием методов функции Грина, интегрального преобразования Лапласа, теории интегральных уравнений, теории специальных функций, теории дробного исчисления.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной:

1. Найдено фундаментальное решение. Доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле и задачи Неймана.

3. Показаны непустота и конечность спектра задачи Дирихле и задачи Неймана. Доказана теорема об оценке спектра задачи Дирихле.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решения задач Стеклова с граничными условиями первого и второго классов.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Ее результаты могут быть использованы при построении теории краевых задач для непрерывных дифференциальных уравнений. Практическая ценность обусловлена прикладной значимостью обыкновенных дифференциальных уравнений, локальных и нелокальных краевых задач в математическом моделировании и других областях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики"(Нальчик, 2006), на Международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "(Эльбрус, 2008), на Международном Российско-Абхазском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик - Эльбрус, 2009), на III, V, VIII, IX школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики"(Нальчик - Эльбрус, 2005, 2007, 2010, 2011), на I Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики" (Терскол, 2010), на Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел" (Белгород, 2011), на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев A.M.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]-[52]. Из них [46], [48] и [51] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной:

1. Найдено фундаментальное решение. Решена задача Коши.

2. Решены задача Дирихле и задача Неймана. Построены соответствующие функции Грина.

4. Решены задачи Стеклова с граничными условиями первого и второго классов. Построены функции Грина.

Хочу выразить глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю Адаму Маремовичу Нахушеву за постановку задач, постоянное внимание и поддержку, а также Арсену Владимировичу Псху за весьма ценные замечания, советы и обсуждения результатов работы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Эфендиев, Беслан Игорьевич, Нальчик

1. Волътерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегродиффе-ренциальных уравнений/ В. Вольтерра// М.: Наука, 1982. - 304 с.

2. Джрбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области/ М.М. Джрбашян// М.: Наука, 1966. - 672 с.

3. Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление/ В.А. Диткин, А.П. Прудников// М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.

4. Керефов, A.A. О нелокальных краевых задачах для вырождающихся уравнений с континуальной производной в условиях/ A.A. Керефов// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -1995. Т. 1, № 2. - С. 18-22.

5. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат// М.-Л.: Гиз технико-теоретической литературы, - 1951. - 168 с.

6. Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций/ А.И. Маркуше-вич// М.: Гиз технико-теоретической литературы, 1950. - 704 с.

7. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы/ М.А. Най-марк// М.: Наука. - 1969. - 528 с.

8. Нахушев, A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода/ A.M. Нахушев// Дифференц. уравнения. 1974. - Т. 10, № 1. - С. 100-111.

9. Нахушев, A.M. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах/ A.M. Нахушев// ДАН СССР. 1977. - Т. 234, № 2. - С. 308311.

10. Нахушев, A.M. К теории дробного исчисления/ A.M. Нахушев// Диф-ференц. уравнения. 1988. - Т. 24, № 2. - С. 313-324.

11. Нахушев, A.M. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах/ A.M. Нахушев// ДАН СССР. 1988. - Т. 300, № 4. - С. 796-799.

12. Нахушев, A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их аналогах в дробном исчислении/ A.M. Нахушев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994. - Т. 1, № 1. - С. 22-26.

13. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии/ A.M. Нахушев// М.: Высш. шк. - 1995. - 301 с.

14. Нахушев, A.M. Об одном классе дифференциальных уравнений состояния дробного порядка в сплошных средах с памятью/ A.M. Нахушев, В.А. Нахушева// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1995. - Т. 1, № 2. - С. 6-11.

15. Нахушев, A.M. О положительности интегральных операторов, весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа/ A.M. Нахушев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1997. - Т. 2, № 2. - С. 10-12.

16. Нахушев, A.M. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа/ A.M. Нахушев// Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34, № 1. - С. 101-109.

17. Нахушев, A.M. Еще раз об одном свойстве оператора Римана-Лиувил-ля/ A.M. Нахушев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. - Т. 5, № 2. - С. 42-43.

18. Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применение/ A.M. Нахушев// М.: Физматлит. - 2003. - 272 с.

19. Нахушев, A.M. Дробное исчисление фундаментальная основа краевых задач со смещением и математической физики фракталов/ A.M. Нахушев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2004. - Т. 7, № 1. - С. 60-65.

20. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных/ A.M. Нахушев// М.: Наука. - 2006. - 287 с.

21. Нахушева, Ф.М. Об одном классе нелокальных краевых задач для уравнения теплопроводности/ Ф.М. Нахушева// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1995. - Т. 1, № 2. -С. 23-25.

22. Попов, А.Ю. О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной/ А.Ю. Попов// Фундаментальная и прикладная математика. 2006. - Т. 12, № 6. - С. 137-155.

23. Псху, A.B. Об операторах типа свертки и их приложения к теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка/ A.B. Псху// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. - Т. 5, № 2. - С. 49-54.

24. Псху, A.B.K теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка/ A.B. Псху// Дифференц. уравнения. 2004. - Т. 40, № 1. - С. 120-127.

25. Псху, A.B. Уравнение диффузии континуального порядка/ A.B. Псху// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2004. Т. 7, № 1. - С. 79-83.

26. Псху, A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка/ A.B. Псху// М.: Наука, - 2005. - 199 с.

27. Псху, A.B. Задача Копій для дифференциального уравнения континуального порядка/ A.B. Псху// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т. 7, № 2. - С. 45-49.

28. Псху, A.B. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера/ A.B. Псху// Мат. заметки. 2005. - Т. 77, № 4. - С. 592-599.

29. Псху, A.B. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка/ A.B. Псху//

30. Дис. . докт. физ.-мат. наук. Нальчик. - 2006. - 183 с.

31. Псху, A.B. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка/ A.B. Псху// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. - Т. 9, № 1. - С. 30-36.

32. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения/ С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев// Минск.: Наука и Техника. - 1987. - 688 с.

33. Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной/ А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов// М.: Наука. - 1967. - 304 с.

34. Сохиева, A.B. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для регуляризо-ванного оператора дифференцирования континуального порядка/ A.B. Сохиева// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т. 8, № 1. - С. 84-86.

35. Эфендиев, Б.И. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т. 8, № 1. - С. 99-104.

36. Эфендиев, Б.И. Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. - Т. 8, № 2. - С. 87-89.

37. Эфендиев, Б.И. Задача Коши и задача Дирихле для обыкновенногодифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. - Т. 10, № 1. - С. 83-85.

38. Эфендиев, Б. И. Об одной нелокальной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. - Т. 11, № 2. - С. 61-62.

39. Эфендиев, Б.И. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной в группе младших членов/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. - Т. 12, № 2. - С. 1-2.

40. Эфендиев, Б. И. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Дифференц. уравнения. 2011. - Т. 47, № 9. - С. 1364-1368.

41. Andries, Е. Monte Carlo Random Walk Simulations Based on Distributed Order Differential Equations/ E. Andries, S. Umarov, S. Steinberg// 2006, 1-18.

42. Atanackovic, T.M. On a fractional distributed-order oscillator/ T.M. Ata-nackovic, M. Budincevic, S. Pilipovic// Journal of Physics A: Mathematical and General, 2005, 38 (30), 6703-6713.

43. Bagley, R.L. On the existence of the order domain and the solution of distributed order equations Part I/ R.L. Bagley, P.J. Torvik//Int. J. Appl. Math. 2000, 2 (7), 865-882.

44. Bagley, R.L. On the existence of the order domain and the solution of distributed order equations Part II/ R.L. Bagley, P.J. Torvik//Int. J. Appl. Math. 2000, 2 (8), 965-987.

45. Caputo, M. Mean fractional-order-derivatives differential equations and filters/ M. Caputo// Ann. Univ. Ferrera Sci. Math. 1995, 41 (1), 73-84.

46. Caputo, M. Distributed order differential equations modelling dielectric induction and diffusion/ M. Caputo //Fractional Differentiation and its Applications 2001, 4 (4), 421-442.

47. Caputo, M. Diffusion with space memory modelled with distributed order space fractional differential equations/ M. Caputo/Mnna/s of Geophysics 2003, 46 (2), 223-234.

48. Diethelm, K. Numerical Solution of Linear Multi-Term Initial Value Problems of Fractional Order/ K. Diethelm, Yu. Luchko// 1-21.

49. Kochubei, A.N. Distributed Order Calculus and Equations of Ultraslow Diffusion/ A.N. Kochubei// 1-39.

50. Kochubei, A.N. Distributed order derivatives and relaxation patterns/ A.N. Kochubei// J. of Physics A: Math, and theor., 2009, 42 (31), 1-9.

51. Lorenzo, C.F. Variable order and distributed order fractional operators/ C.F. Lorenzo, T.T. Hartley// Nonlinear Dynamics, 2002, 29 (1-4), 57-98.

52. Luchko, Yu. Initial-Boundary-Value Problems for the Generalized Time-Fractional Diffusion Equation/ Yu. Luchko// Fractional Differentiation and its Applications, 2008, 1-6.

53. Luchko, Yu. Boundary Value Problems for the Generalized Time-Fractional Diffusion Equation of Distributed Order/ Yu. Luchko// J. Fractional Calculus Applied Analysis, 2009, 12, 4, 409-422.

54. Luchko, Yu. Maximum Principle for the Generalized Multi-Term Time-Fractional Diffusion Equations and its Applications/ Yu. Luchko// Symposium on Fractional Signals and Systems, Lisbon, 2009, 1-9.

55. Mainardi, F. Time-Fractional Diffusion of Distributed Order/ F. Mainardi, A. Mura, G. Pagnini, R. Gorenflo// Journal of Vibration and Control, 2007, 1-30.

56. Sheng, H. Optimal Distributed-order Fractional Damping/ H. Sheng, Y. Chen// 2010, 1-5.

57. Stojanovic, M.N. Well-Posedness of Diffusion-Wave Problem with Arbitrary Finite Number of Time Fractional Derivatives in Sobolev Spaces Hs / M.N. Stojanovic// J. Fractional Calculus Applied Analysis, 2010, 13, 1, 21-41.

58. Umarov, S. Random walk models associated with distributed fractional order differential equations/ S. Umarov, S. Steinberg// J. High Dimensional Probability, 2006, 51, 117-127.