Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка в многомерной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

//¿¿г- ?

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

НАХУШЕВА ФАТИМА МУХАМЕДОВНА

Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка в многомерной области

01.01.03 - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Шхануков-Лафишев М.Х.

Нальчик - 1998г.

Введение

Многие проблемы теории фильтрации жидкости в сильно-пористой среде (во фрактальной среде), фильтрации жидкости в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин приводят к необходимости изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной [9, 23, 33-36, 41, 54], язык дробных производных применен в работе [53] при описании физических процессов стохастического переноса. Дробные производные использовались также при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов [10]. В [55, 56] предложена физическая интерпретация дробной производной, не связанная с той или иной конкретной проблемой. На основе этой интерпретации получены обобщенные уравнения переноса для медленных и быстрых стохастических процессов.

dp f(x)

Идея обобщения понятия — дифференцирования на нецелые р

dxp

возникла с самого зарождения дифференциального исчисления. Первые шаги в этом направлении были сделаны Г.Лейбницем, Я.Бернулли, Л.Эйлером, Ж.Фурье [69, 66]. Понятие дробной производной тесно связано с интегральным уравнением Абеля

= х>а,0<а<\, (0.1)

возникшим в связи с решением задачи о таутохроне. В работе Абеля [61] дано решение уравнения (0.1) для произвольного ае(ОД), хотя задача о таутохроне

приводит к случаю а = — [61]. Решение уравнения (0.1) в классе интегрируемых

функций задается формулой (см., например, [49])

1 d}jm_, (о.2)

T{\-a)dx[(x-t)a

Выражение, стоящее в правой части (0.2), есть дробная производная порядка а,

0<а<1 и будем обозначать ее через D"xf (или D"tf) (см. [49, 37]).

В 1832-1837 гг. появляется серия работ Лиувилля [70-77], сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного исчисления. Изучение производных любого порядка было продолжено в работах Б.Римана, Х.Хольмгрена, А.В.Летникова, А.Грюнвальда [32, 67, 68, 81]. К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L.O'Shaughnessy, S.Mandelbrojt [79, 78]. Задачу типа Коши для уравнения

D"хУ ~ /(Х>У) рассмотрели E.Pitcher, W.E.Sewell в работе [80], в которой они доказали теорему существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В дальнейшем эти результаты были значительно обобщены в работах M.A.Bassam [64, 65], A.Z.Al.Abedeen [63], A.Z.Al.Abedeen, H.L.Arora [62], где получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе А.М.Нахушева [37] изучена задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения дробного порядка

т

Ly ее у\х) + а0(х)у'(х) + (x)Dg (cok(х)у(х)) + ат+1 (х)у(х) = /(*), (0.3)

к=1

где 0<ак<\, а0(х), ат+1(х), аре), сок(х), к= 1, 2,..., т; fix) - непрерывные на [0,1] функции, оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля

дифференцирования порядка а.

К задаче Штурма-Лиувилля

р0у'( 0) + q0y( 0) = r0, рху\ 1) + qxy{\) = гх для уравнения вида (0.3) редуцируются многие прямые и обратные задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

В работах [1, 2] Т.С.Алероев исследовал спектр задачи Дирихле для дифференциального уравнения

и\х) + a(x)D%xu = fix), 0<х<1, 0<а<1. (0.4)

Им показано, что задача и{0) + ри\Щ = и{ 1) = 0, у? > 0, /(х) = 0, а(х) = Я не

имеет отрицательных собственных значений.

Еще раньше А.М.Нахушевым в [37] показано, что число X является собственным значением задачи

м(0) = 0, и{ 1) = 0, а(х) = Х для уравнения (0.4) тогда и только тогда, когда Хк является нулем функции Миттаг-Леффлера Е1а2(-Л) (см. [20]).

Ряд работ В.К.Вебера [11-16], М.И.Иманалиева, В.К.Вебера [25] посвящен исследованию систем дифференциальных уравнений дробного порядка в пространствах обобщенных функций.

Работа М.Х.Шханукова [59] посвящена построению дискретного аналога дробной производной порядка а, 0<а<1 и построению разностных схем для решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка. Работы [7, 8, 18, 57, 58] посвящены построению разностных схем для обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений в одномерном случае.

Бабенко Ю.А. в работе [5] для определения тепловых и диффузионных

потоков на границе раздела двух сред применил метод расщепления оператора

уравнения на два множителя, каждый из которых содержит производную порядка 1

— по £ (см. также [28]).

Диссертационная работа посвящена разработке численно-аналитических методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной в многомерной области. В ней получены следующие основные результаты:

1. Для решения краевых задач (первой начально-краевой и третьей) с дробной производной в младших членах в цилиндре <2к =Gx(0J(j]:, где О = {х = (х1, х2,..., х ) :0 < хк < 1к, к = 1, 2,...,р) -/^-мерный параллелепипед, получена априорная оценка, откуда следует устойчивость решения задачи по правой части и начальным данным, а также единственность решения

рассматриваемых задач.

2. Доказана сходимость метода Ротэ со скоростью О(т), где т - шаг сетки по времени, для решений рассматриваемых краевых задач.

3. Построена локально-одномерная схема (ЛОС) для нестационарного уравнения с дробной производной в /9-мерном параллелепипеде. Доказана сходимость ЛОС в классе достаточно гладких решений в равномерной метрике со скоростью 0(к+т), г - шаги сетки по времени и пространственной координате.

4. Для уравнения диффузии дробного порядка в ^-мерном параллелепипеде получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Доказана сходимость ЛОС в равномерной метрике со скоростью 0(\Ъ\2+т).

5. Для уравнения диффузии дробного порядка с малым параметром £ при старшей производной по времени построена ЛОС и доказана ее сходимость. Показано, что при £•—»0 решение возмущенной задачи стремится в некоторой норме к решению невозмущенной задачи, то есть краевой задачи для обобщенного уравнения переноса в /7-мерном параллелепипеде.

Перейдем к более детальному изложению диссертации.

Глава I

§1. Постановка задачи, априорная оценка

В цилиндре =Ох(0, ¿0], основанием которого является /^-мерный прямоугольный параллелепипед 0 = {х = (х1, х2,..., х ): 0 < хк < 1к, к = \, 2,...,р) с границей Г, рассмотрим задачу

Вы от

и\Г = 0, t>0, (1.1)

и(х, 0) = и0 (х), хеС,

р I \

Ьи = ^Ьки, Ьки = —- ак(х, 0---гк(х,^кхи

к= 1 ^/с V ®Хк У

- дробная в смысле

Римана-Лиувилля производная порядка ак, 0<а<\, к=\,2,...,р.

В одномерном и стационарном случае существование и единственность задачи типа (1.1) изучались в работах А.М.Нахушева. Вопросы численной реализации для задач типа (1.1) в одномерном случае изучались в работах М.Х.Шханукова-Лафишева и А.Р.Бечеловой.

В дальнейшем будем предполагать существование решения задачи (1.1), обладающее нужными по ходу изложения производными. Тогда справедлива оценка

где М=сотО0, зависящая от коэффициентов уравнения и размеров области

§2. Метод Ротэ для решения первой начально-краевой задачи в многомерной области

На отрезке [0, /0] введем сетку сот= {/.=7г,7=0,1,...,70} и дифференциальной задаче (1.1) поставим в соответствие схему Ротэ

(1.2)

СА, ,

\и

о

в

у{=Ьу + /(х, 0,

(1.3)

у\ =0, у(х,0) = и0(х),

где уг

V

у-у

'—Л

» У = У3 > У = У] ' т - шаг сетки.

Для решения задачи (1.3) получен дискретный аналог априорной оценки

(1.2):

Г

'2 J-+

г

ш

/=1

т<М

>мЁ

(1.4)

где М=сотОО, не зависящая от г.

Обозначим через г = у-и, где и и у - решения соответственно задач (1.1) и (1.3), тогда для погрешности г оценка (1.4) принимает вид

2 „¿,ц 2

2 ] и ^ ..

+ У

О ^-¡11 * 0

]= 1 7 =1

(1.5)

где у/=0(т).

Из оценки (1.5) следует сходимость метода Ротэ со скоростью О(т) в норме

2 J-+

2

7=1

§3. Третья краевая задача

В цилиндре =Сх (0,] рассмотрим третью краевую задачу ди

Ы

= Ьи + /(х^), хеО, Ге(0,?0],

ди

ак (х, 0 —- = Р_к (х, Г)и - ц_к (х, 0, хк = 0, дхк

ди

дху

и(х,0)=и (х),

(1.6)

о

2

дхь

du

Lu = ^Lku, Lku = - ak(x,t)~--rk(x,t)D%ku,

dx

kj

dr.

cck(x,t)>ck>0, rk(x,f)>0,

dxk

В предположении существования регулярного решения задачи (1.6)

получена априорная оценка

IHlo+klL£М

/ll^+IKwilo+Ii

с1

к=1

V-k

+

М+к

mt

\Л

(1.7)

Для схемы Ротэ задачи (1.6) получен дискретный аналог

Mo+ZIK

у"=1

т <М

2L\ff 0т+\Ы4\оК

V/=1 *=i /=1Ч

+

ßik

(1.8)

Как и в случае первой краевой задачи, из оценки (1.8) следует сходимость метода Ротэ со скоростью О(т).

§4. Локально-одномерная схема (ЛОС) для нестационарного уравнения с дробной производной в р-мерном параллелепипеде

В цилиндре Qt = G х (0, t0 ] рассмотрим задачу

du ~dt

Lu + f(x,t), x<=G, fe(0,f0],

u\ = ju(x,t), t> 0; u(x,0) = u0(x), x&G

(1.9) (1.10)

где

Lu=^Lku, Lku = -j-rk{x,t)D^xu, 0<ak<\, k = \,2,.~,P-k=l dxk

Следуя методике A.A.Самарского, уравнению (1.9) поставим в соответствие

цепочку одномерных уравнений

Р 1 du

^Pku = 0, Pku = Lku- fk, ш Pdt

2

0

где

ЕЛ(*>о=жо.

к=1

На отрезке [0,*0] введем сетку^ ={0, 1+к/р=0'+к/р)т, 7=0,1,...70-1; к=\,2,---,р},

содержащую не только узлы t=jт, но и фиктивные узлы ^+к/=(/+к/р)т, к= 1,2,...,

р—1. На каждом полуинтервале ^к последовательно решать уравнения

К к~1 , . к

]+— }+—

V р р

к=1,2,...,р, будем

полагая при этом

v,

(1)

(х,0) = и0(х), = к_х\ к=2,3,...р; 7=0,1,..

j+-

р р

Решением задачи назовем значения

7=0Л,•••Л-

Каждое из уравнений (Рку{к) = 0 заменим разностной схемой

пьУ(кГ°> к=1>2>--->Р>

или, более подробно

к . к-1

J+— Г . к

У Р-У р

= Л,

°кУ+Р +(1-<Гк)У

v

. к

.к .к у р=!л хеуКк, к = \,2,.-,Р,

у(х,О) = и0(х).

(1.11)

Здесь ук к - множество граничных узлов по направлению хк, стк - произвольный параметр,

АкУ=у,кХк - гАкх,у 1

хкхк Г

Учч к2

Нк+1 - + Угк-1

V

1

/

л

V

У:

Р

дискретный аналог дробной

у

производной ПО хк. Имеет место формула

Для решения разностной задачи (1.11) при <у=\ получена априорная оценка

У

7+1

) Р

С

<\\и0(х)\\с+ тах \ц(х,Г)\с +

о<е<и+1)т

/=0 ¿=1

, к

(1.12)

с

где у - множество всех граничных узлов,

\\у\\ = тахЫ, \\у\\ = тах\у\.

Из оценки (1.12) следует справедливость следующей теоремы.

Теорема. Пусть задача (1.9)-(1.10) имеет единственное непрерывное в 0(о решение и(х$) и существуют непрерывные и ограниченные в 0((. производные

д2и д\ д3и д2/

дг2 ' дх2адх2р' д1дх2

1 <а,/3<р.

дх:

а

Тогда схема с дробной производной (1.11) сходится равномерно со скоростью 0(к+ т), так что

у3 - и]

<М(/г + г), к = тах кк,

С 1 <к<р

где М=сот1>0, не зависящая от /г, т.

Глава II

§ 1. Постановка задачи

В последнее время для описания тепловых и диффузионных потоков широко применяется язык дробных производных. Описание структуры сильнопористой (фрактальной) среды приводит также к дифференциальным уравнениям с дробной по времени производной.

В цилиндре ()(о основанием которого является /7-мерный

прямоугольный параллелепипед 0 = {х = (хь х2,..., хр): 0 < хъ < 1к, к =1,2,...,/?} с границей Г, рассмотрим задачу

Зи

— + 0«и = Ьи + /(х, 0, (2.1)

и\ = и(х,0) = 0, хеб,

где

р о1и

Ьи = ^Ьки, Ьки = —у, к = 1,2,...,/?,

/с=1

1 0<а<1

§ 2. Априорная оценка

Допустив существование регулярного решения задачи (2.1), получена для него априорная оценка

II II2 , II II2 1 II/-II2 (2-2)

где

= 2

Г _ Л 9

>0, 0<£< Р

8 12 -тах/^

V

2р1<к<р

2 '

1 <к<р

тах/^

Из оценки (2.2) следует единственность регулярного решения задачи (2.1) и непрерывная зависимость решения от правой части /(х,£).

Аналогичная оценка имеет место и для уравнения более общего вида

+ Ки = £ — ** СмЬ--Чк (*> 0 + /(*, О

ох

дг

Ы1 дхк

к У

где ак(х,г) >с0> О, > 0, к=\,2,...,р.

В этом случае оценка (2.2) принимает вид

Но+Кка/мЦ/1

|2

'2А,

где М = со«^> 0, зависящая от коэффициентов уравнения и размеров области (2{о.

§ 3. Третья краевая задача

В цилиндре 01() = О х (0, ¿0] рассмотрим задачу ди

где

Ы

+э^и = ьи+/{х,о, о<р<\.

ди

дх„

ди дх„

а'

и(х, 0) = и0(х\

Эх,.

Эх,

■да(х^)и(х, О,

(2.3)

(2.4)

(2.5)

а=1 V У

ка(х^)>с0>0, <съ |^±а|<с2,а = 1,2,...,р.

Относительно знаков функций <?а(х,0> К±а(х^) не делается никаких предположений, то есть оператор, порожденный дифференциальным выражением Хм и условием (2.4), не является знакоопределенным.

Предположим, что задача (2.3) - (2.5) имеет регулярное в рассматриваемой области О х (О, () решение. Тогда справедлива априорная оценка

II 1|2 и 1|2

1п1о +

+ КЦ, *** ||/|| ЧЬ(*)||о+1Ы12,,

а0

(2.6)

где

2 р 0 ,

° а=1 о О'

ск'ас1т,

0'а={х\ 0 <ха <1а, а = 1,2,...,к-\,к + \,...,р}, с1ха = скх^.. .с!ха_х(1ха+1.. .скхр.

Из оценки (2.6) следует единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных.

§ 4. Схема Ротэ третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности в р-мерном прямоугольном параллелепипеде

где

Для схемы Ротэ третьей краевой задачи ды

— = Ьи + /(х, 0, (х,Г)е£ от

ды

К (х> О Т— = К-а <Л 'М*, 0 " Я-« 0,0» =

дха

ды Эх„

м(х, 0) = и0(х),

р I

а= 1

Э

Эх,

Эи

Эх,

Чаи>

а v а /

легко получить дискретный аналог оценки (2.6)

Мо+ 2К

/=г

т <М

о

иг=1

/=1

где у = у(х, Х]) - решение задачи (схемы Ротэ)

У}=Ьу + /(х, О,

ду_

~ ка Т = К+аУ ~ ё+а (Х> 0> Ха = ^а >

у(х,0) = щ(х\

V

V

где ^ =(у-у)/т9 у = у\ У = У*~1.

Отказ от знакоопределенности оператора Ь (к±а > 0, ца > 0) не вызывает ухудшения порядка сходимости схемы Ротэ. Этот факт по видимому впервые был замечен при построении схемы расщепления В.Б.Андреевым (1969г.).

§ 5. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка

В цилиндре = С/х (0,/()] рассмотрим задачу ды

— + £>0> = Ьи + Дх, (х, 0 е а от

и\ =/л(х,Х), ¿>0; и(х,0)=0, х е О,

(2.7)

где

1и = Е 1ки> ьки = -^-у'к =1>2>-> р-

к=1 Зх^.

Как и в главе I, уравнению (2.7) поставим в соответствие цепочку "одномерных" уравнений. Для чего уравнение (2.7) или

Ри = — + 0^и-Ьи-/ = 0 &

перепишем в виде

к=\

¿Л = /•

Г 7Л«

от

-1ки~/к

к>

Аг=1

На отрезке [0, ] введем сетку

О, * =

./+-р

к^ V Р.

у = ОД,...,70 -1; к = 1,2,...,/?>. Имеет место формула

Щ ки = ^г ки + 0

^ р

гтл

р)

где

1 Р]+к

^ « =--Ё

V Г(2

Л-а _ Л-а

7+-

^ =

V р

5 5-1

ир -и?

]+-

и{,

Р У

г

Р г

На каждом полуинтервале Ак =

*. . к

1+— ]+-V р Р .

последовательно решать уравнения полагая при этом

,к = 1,2,...,/?, будем

(2.8)

у(1)(*,0) = 0, V,

(к)

с \ / \

х, * у V ¿-I и- Р = 4-1) х> ^ ¿--1 7+- V р У

, к = 2,3,...,р.

На границе Г задано условие и\ = /и(х^). Решением задачи назовем значения Каждое из уравнений (2.8) заменим разностной схемой

к к-1

j+— j+--✓

у р-у р 1 у

г р Г(2 - а) 5=1

Л-а _ Л-а f k-s+\ 1 . к-s J+~

= A,

Jt-A

V ^

k

j+-

yf =

p J

+ (pk p, к = \,2,...,p, xeo)h,

У

к

j+-p

м p, y(x,0) = 0,J = 0X...J0-l-

Yh,k

Схема (2.9) обладает свойством суммарной аппроксимации. Погрешность

к

j+-

р

аппроксимации к ' представима в виде

= ¥к+¥к

где

= ОЩ+т), ¥к=0( 1), 2^=0.

к=1

Для решения задачи (2.9) получена априорная оценка

i> о

>>

У+1

j Р

< max \n(x,t')\ +

С l<i'<0>l)T

>'=0 ¿=1

, к /+-

С

откуда следует сходимость схемы (2.9) в равномерной метрике со скоростью

. При ос —» 0 ? то есть для классического уравнения диффузии, имеем

)

0\ \h\2 + т1-'

хорошо известный результат для скорости сходимости Ощ\ + г

ГЛАВА III

§ 1. Постановка задачи

В одной из работ Нигматуллина P.P. (1986 г.) показано, что в среде, представляющей собой пример фрактальной структуры типа "дерева Коха", процесс диффузии описывается обобщенным уравнением переноса в дробных производных.

к

В цилиндре =Сгх(0,Г0], где С = {х = (х1, х2,..., хр):0<хк <1к,к = 1,2,-,р} -

прямоугольный /7-мерный параллелепипед с границей Г, рассмотрим задачу

= Ьи + /(х,0, 6 Оь, м| =0, ¿>0; и(х,0) = щ(х), хеС,

где

г V г г ^

к=1

д0> =-1-А Г о < а < 1.

01 Г(1 - и) (11(, -,/)"

Также, как и в главе II, устанавливается справедливость априорной оценки для решения задачи (3.1), откуда следует единственность решения. В одномерном случае существование решения задачи (3.1) доказано в работе [19].

В дальнейшем предполагается существование и единственность решения задачи (3.1) в классе достаточно гладких вплоть до границы I- 0 функций. Тогда и0(х) = 0, то есть условие и(х) = 0 является необходимым условием разрешимости задачи (3.1) в классе достаточно гладких вплоть до границы ¿=0.

§ 2. ЛОС для обобщенного уравнения переноса в р-мерном параллелепипеде

_ к

Как и в главе II, на отрезке [0,/0] вводим сетку Ш'г ={0,£ к = (/ + — )т,

] р Р

г

у = ОД,...,70-1; & = 1,2,...,/?}. На каждом полуинтервале Ак =

^ к~\ > ^ . к

]+- ]+-

V р р

к = 1,2,...,/?, будем последовательно решать уравнения

рку{к) = 0, X 6 0,16 4, к = 1,2,...,/?. (3.2)

пологая при этом

v(l)(x,0) = О, Ут(х,хЛ = У(р)(х,(Х у = 1,2,... ,у0

с \ с \

\к)

где

х-> I. к-1

7+-

v Р )

= v,

(к-1)

7+-

v р у

,¿ = 2,3,...,/?,

Р к=1

Каждое из уравнений (3.2) заменим разностной схемой

1 1 р]+к -—-—У

рГ(2-а)%

Л-а _ л-а

7+~

v ^

7+"

^ у

= Л

аку+р+(\-ак)у+~р

. к

7+-

+ Фк р ,к = 1,2,.

7+"

= 0,у = 1,2.....Уо-1; Х*,0) = 0.

г/а

(3.3)

Таким образом, мы получаем цепочку р одномерных схем (ЛОС). Очевидно, схема (3.3) обладает свойством суммарной аппроксимации, так как каждая схема (3.3) номера к аппроксимирует в обычном смысле соответствующее уравнение (3.2).

Для решения задачи (3.3) справедлива априорная оценка

У

7+1

<

С

У

7 Р

С

+ р1~аГ(2-а)УтаУ шах

(3.4)

с

Из оценки (3.4) не удается вывести сходимость ЛОС (3.3). Это связано с тем, что не удается воспользоваться свойством аддитивности схемы из-за того, что под знаком суммы в правой части (3.4) стоит т®, а не г, как это было в главе И.

§ 3. Первая начально-краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка с малым параметром при старшей производной по времени

3

\

В цилиндре <2/0 =^Х(0А] рассмотрим возмущенную задачу с малым параметром е при старшей производной по времени

ди£

1ие = Ьи£ + Дх,0, (*,0 е

ся

и*

(3.5)

= //(*, О, t>0; ие(х,0) = 0,

и

дх2ъ

(3.6)

где

р

Ьие=^Ькие, Ькие =

£=1 ^

Наряду с задачей (3.5) в той же области <2,о рассмотрим задачу

Г>0> = + /(х,0, (х,0 е и| = ¿>0; и(х,0) = 0,

где

г V г г

к=1 <2% Так как начальные условия для ие и и совпадают, то в окрестности / 0 не

возникает погранслоя. Обозначим через г = ие - и, тогда для г справедлива оценка

где

1 8

-р=, у = 1--—,

24 5у 2р^к<Р

М= _ /_у = 1- —тах4>0, £>0, у/ = 0(е).

Из оценки (3.7) следует сходимость решения возмущенной задачи (3.5) к решению вырожденной задачи (3.6) и при г->0 в норме •

§ 4. ЛОС для возмущенной задачи

В области ()(о рассмотрим задачу

Зи

+ А>