Вычислительные методы на последовательности сеток тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Общие свойства экстраполяции Ричардсона

1.1. Теорема о разложении для разностных схем

1.2. Экстраполяция Ричардсона решении разностных задач.

1.3. Теорема о разложении для метода конечных элементов

1.4. Экстраполяция Ричардсона в методе конечных элементов

1.5. Разложение разностных и интегральных выражений в ряд по шагу сетки.

1.6. Решение специальных систем уравнений и некоторые вопросы интерполяции

1.7. Экстраполяция Ричардсона для консервативных трехточечных разностных схем

1.8. Экстраполяция Ричардсона для трехточечных схем метода Бубнова-Галеркина

ГЛАВА 2. Экстраполяция Ричардсона для уравнений в частных производных

2.1. Разностный метод для эллиптического уравнения.

2.2. Метод Бубнова-Галеркина для задачи Дирихле

2.3. Уточнение собственных чисел и векторов.

2.4. Одномерное уравнение теплопроводности

2.5. Метод расщепления для уравнения теплопроводности

ГЛАВА 3. Итерационные процессы на последовательности сеток для проекционно-сеточных задач.

3.1. О свойствах двух специальных функций.

3.2. Общая формулировка алгоритма.

3.3. Модификации алгоритма для энергетических норм и для несамосопряженных задач.

3.4. Совместное использование алгоритма с экстраполяцией Ричардсона.

3.5. Решение вырожденных задач.

3.6. Решение спектральной задачи.

ГЛАВА 4. Использование итерационного процесса на последовательности Сеток для эллиптических уравнений второго порядка.

4.1. Двумерная задача Дирихле

4.2. Модификация алгоритма для областей с криволинейной границей.

4.3. Вторая и третья краевые задачи.

4.4. Задача с точечной особенностью

4.5. Трехмерная задача Дирихле

4.6. Спектральная задача.

4.7. Пакет прикладных программ M0K-I

4.8. Пакет прикладных программ МОК-3.

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Современные задачи науки и техники ставят все более высокие требования к точности математических моделей и вычислительных алгоритмов. Математически это выражается в повышении размерности соответствующих уравнений математической физики, усложнении краевых условий, изучении различного рода особенностей у решения, возникающих вследствие углов областей, малых параметров, разрывов коэффициентов и т.д. При численной реализации вычислительных алгоритмов для таких моделей остро возникает -проблема быстродействия и памяти ЭВМ. Быстрый темп развития вычислительной техники все же не обеспечивает необходимых ресурсов для решения задач на основе простых численных методов малого порядка точности. Поэтому экономичное построение приближенных решений с высоким порядком точности в настоящее время является одной из актуальных задач вычислительной математики.

Пути повышения точности решений разностных и проекцион-но-сеточных задач в математической литературе обсуждаются весьма широко. Во-первых, это простейший прием повышения точности разностных схем пропорциональным уменьшением интервалов дискретизации дифференциальных задач. Для достижения необходимой точности в ряде задач математической физики, особенно многомерных, он приводит к существенному росту числа искомых неизвестных и создает проблему экономичного решения систем и обработки данных огромных размерностей.

Второе направление состоит в использовании большей априорной информации о решении дифференциальной задачи и, в ' частности, о его повышенной гладкости. Наиболее полно в этом направлении развиты методы построения устойчивых многоточечных разностных схем, обладающих повышенным порядком аппроксимации. Эти методы изложены в монографиях и учебных пособиях А.Н.Валиуллина [14] , И.И.Ляшко, В.Л.Макарова, А.А. Скоробогатько [58] , Ш.Е.Микеладзе [67] , А.А.Самарского [85] , А.А.Самарского, В.Б.Андреева [86] * А.А.Самарского, А.В.Гулина [87] , В.К.Саульева [90] , Н.Н.Яненко [119]. Здесь и дальше опущена обширная литература по решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые не затрагиваются в диссертации. Для проекционно-сеточных задач, или метода конечных элементов, многоточечные схемы повышенной точности получены при использовании базисных функций более сложной структуры в монографиях и учебных пособиях Р.Варги [15] , В.Г.Корнеева [46] , Г.И.Марчука, В.И.Агош-кова [60] , Ж.-П.Обэна [75] , Л.А.Оганесяна, Л.А.Руховца [77] , Г.Стрэнга, Лд.Фикса [93] , Ф.Сьярле [94] и других авторов.

В ряде задач удается достигнуть повышения порядка точности путем коррекции сеточных уравнений разностями высоких порядков. Эта методика в некоторой общей постановке изложена, например, в монографиях Г.И.Марчука, В.В.Шайдурова [153], Х.Штеттера [117] и статьях Е.А.Волкова [17] - [21] , В.Пе-рейры [157]., [158] .

И, наконец, уже для достаточно широкого круга задач удается применить экстраполяционный метод Ричардсона, использующий решения разностных и проекционно-сеточных задач на последовательности сеток. Алгоритмически он состоит в проведении расчетов для одной и той же разностной схемы, построенной на нескольких сетках с разными шагами. В итоге получается несколько сеточных решений. В тех узлах сетки, где они заданы, из них составляется некоторая линейная комбинация. При определенных условиях она обладает более высоким порядком точности, чем порядок точности каждого из используемых сеточных решений.

Необходимо отметить некоторые свойства этого метода, которые выдвигают его в ряд довольно мощных средств вычислительной математики. Во-первых, для достижения высокой точности используются простые и, как правило, хорошо изученные разностные аппроксимации. Во-вторых, алгоритм однородно реализуется на последовательности сеток с различными параметрами, что позволяет использовать уже имеющиеся стандартные подпрограммы для этих простых аппроксимаций. И в-третьих, весь алгоритм в целом выглядит и реализуется логически просто. Эти свойства привлекают все большее внимание к методу.

К настоящему времени его краткое описание включено в учебные пособия Е.А.Вожова [23] , Н.Н.Калиткина [38] , В.С.Рябенького, А.Ф.Филиппова [83] , А.А.Самарского [85] . Более подробное изложение теории и применений этого метода проведено в учебном пособии Г.И.Марчука [59] , монографиях Г.И.Марчука, В.В.Шайдурова [65] , Х.Штеттера [117] , в сборнике [91] и обзоре [145]. В учебном пособии В.В.Шайдурова [Ю9] на примере обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка проводится детальное сопоставление различных способов повышения точности.

К этой методологии повышения точности за счет использования разностных и проекционно-сеточных аппроксимаций на последовательности сеток близко примыкают алгоритмы решения сеточных задач, предложенные Р.П.Федоренко [101],[103] . Эти алгоритмы тоже используют сеточные аналоги на нескольких сетках и основаны на двух приемах. Поясним их на примере решения сеточной задачи, построенной на довольно мелкой сетке и имеющей большое число неизвестных. Первый из них заключается в последовательном решении сеточных задач, аналогичных исходной задаче, но построенных на более редких сетках. Процесс решения начинается с самой грубой сетки, где решение может быть осуществлено довольно экономично. Затем полученное решение интерполируется на более мелкую сетку и используется в качестве начального приближения в каком-либо итерационном процессе. За счет одинакового порядка шагов этих сеток такое начальное приближение уже имеет точность, близкую к удовлетворительной. В итоге в итерационном процессе требуется существенно меньше итераций для доведения точности до требуемых пределов.

Второй прием основан на быстрой сходимости ряда итерационных процессов для высокочастотных гармоник. Это позволяет за несколько итераций существенно подавить их вклад в ошибку. Что касается низкочастотных.гармоник, то они сходятся гораздо медленнее и поэтому будут составлять подавляющую часть ошибки. В результате она будет некоторой плавно меняющейся сеточной функцией, для которой можно выписать систему о и и т\ разностных уравнении с невязкой в правой части. В принципе, эту систему можно решить и найти ошибку, но этот путь довольно трудоемок. Вместо этого заметим, что системе для ошибки можно поставить в соответствие дифференциальную задачу с достаточно гладким решением. По этой дифференциальной задаче снова построим сеточную задачу на сетке с более крупным шагом (например, в 2 или 3 раза крупнее). Такую задачу можно решить более экономно, поскольку число неизвестных и уравнений уменьшилось в 4 или 9 раз.Ввиду указанной гладкости ее решение будет хорошо приближать ошибку в узлах редкой сетки. Проинтерполируем его линейно на исходную мелкую сетку.

Ввиду плавного изменения ошибка будет найдена с достаточно высокой точностью. Далее можно либо провести еще несколько итераций для подавления высокочастотной составляющей, появляющейся при интерполяции [102] , либо повторить еще раз всю процедуру перехода на более редкую сетку [12] . Решение сеточной задачи на сетке вдвое или втрое крупнее все еще может представлять собой трудоемкую задачу, поэтому ее решение также можно осуществить приближенно, используя описанный прием перехода на еще более редкую сетку. В итоге этот прием понижения размерности можно использовать до тех пор, пока не перейдем к задаче на самой редкой сетке, на которой можно осуществить решение прямым методом.

Несмотря на относительную алгоритмическую сложность метода, в работе Н.С.Бахвалова [12] для разностной задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка была доказана оптимальность метода по порядку числа арифметических операций для достижения точности, согласованной с точностью дискретизации. Г.П.Астрахавдев [6] получил аналогичный результат для разностной аппроксимации третьей краевой задачи для эллиптического уравнения в произвольной двумерной области с гладкой границей. Идея понижения размерности подпространств кратко изложена в монографии Г.И.Марчу-ка, В.И.Лебедева [61] . В учебной литературе описание метода имеется в книге С.К.Годунова, В.С.Рябенького [24] .

В течение последних лет в использовании метода наметились следующие тенденции. Первый прием (начальное приближение с более редкой сетки) начал использоваться самостоятельно в комбинации с другими итерационными процессами [7] , [31] , [33] . Он довольно прост и эффективен, особенно когда в руках исследователя имеется пакет прикладных программ, оснащенный автоматизированным построением вложенных сеток и соответствующих им аппроксимаций.

В полной совокупности метод Р.П.Федоренко начал бурно распространяться в последние годы для решения проекционно-сеточных задач(главным образом в методе конечного элемента). Отметим работы Г.П.Астраханцева, Л.А.руховца [8] , В.Г.Кор-неева [46 ] , В.Хакбуша [139-144] , У.Лангера [54] по теоретическому обоснованию метода. Работы Р.А.Николайдеса [146147] , Р.Е.Бэнка [124-125] посвящены обсуждению и выбору алгоритмических конструкций применительно к разным задачам математической физики. В работах А.Брандта [I29-I3I] излагается большое количество численных экспериментов. Методу Р.П. Федоренко и его модификациям посвящены также значительная часть сборника [135 ] и сборник трудов [ 156 ] . Ссылки в них содержат почти все работы в этом направлении до 1982 года.

Диссертация посвящена исследованию, разработке и обоснованию методов повышения точности и экономичного решения сеточных аналогов задач математической физики. Методы основаны на многократном решении однотипных сеточных задач на последовательности сеток с разными шагами. Первая часть диссертации посвящена построению методов повышения порядка точности разностных и проекционно-сеточных схем с использованием экстраполяции Ричардсона. Во второй части проводится разработка и обоснование итерационных методов, являющихся обобщением метода Р.П.Федоренко, для решения проекционно-се-точных задач. Обе части связаны единой методологией и совместным использованием в пакетах прикладных программ, два из которых кратко описаны в заключение.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка

Выводы, полученные ранее на основе анализа главных членов, согласуются с численными экспериментами.

1. Алексеев 'А.В., Бабурина Т.Е., Берсенев С.М., Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Модульный комплекс программ M0K-1. Словарь заданий.- Препринт ВЦ СО АН СССР $ 19. Красноярск, 1980.

2. Алексеев А.В., Берсенев С.М., Добронец Б.С., Щепановская Т.Ф. Модульный комплекс программ M0K-I. Примеры заданий. Прецринт ВЦ СО АН СССР & 39. Красноярск, 1981.

3. Алексеев А.В., Шайдуров В.В. Повышение точности разностного решения для уравнений диффузии.- Препринт ВЦ СО АН СССР. Красноярск, 1978.

4. Алексеев Г.В., Шайдуров В.В. О некоторых численных методах решения краевой задачи для одного уравнения океанологии.- В сб.: Гидрофизические поля океана. Владивосток: изд. ДВНЦ АН СССР, 1976, с.79-82.

5. Алексеев Г.В., Шайдуров В.В. О некоторых разностных схемах решения 1фаевой задачи для уравнения движения.- В сб.: Математические модели и вычислительные методы механики сплошной среды. Красноярск: КГУ, 1979, с.144-151.

6. Астраханцев Г.П. Об одном итерационном методе решения сеточных эллиптических задач.- ЖВМ и МФ, 1971, II, №2,с.439-448.

7. Астраханцев Г.П. Итерационные уточнения собственных значений.- КВМ и Ш, 1976, 16, Ж, с.131-139.

8. Астраханцев Г.П., Руховец Л.А. Метод Р.П.Федоренко для вариационно-разностных схем с экстраполяцией.- В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981, с.20-26.

9. Багаев Б.М., Богданов С.Н., Смирнов А.В., Шайдуров В.В., Щепановская Т.Ф. Пакет программ МОК-З решения трехмерных краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка.» Препринт ВЦ СО АН СССР №2. Красноярск, 1984.

10. Багаев Б.М., Шайдуров В.В. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром.- В сб.: Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977, с.89-99.

11. Багаев Б.М., Шайдуров В.В. Повышение точности вариационно-разностных решений дифференциальных задач с особенностями.- В кн.: Вычислительные методы в математической физике, геофизике и оптимальном управлении. Новосибирск: Наука, 1978, с.216-228.

12. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор. IBM и МФ, 1966, 6, Л 5, с.861-883.

13. Бахвалов Н.С. Численные методы,- М.: Наука, 1973, т.1.

14. Валиуллин А.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики.- Новосибирск: НГУ, 1973.

15. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе.- М.: Мир, 1974.

16. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.- М.: Наука, 1977.

17. Волков Е.А. Об одном способе повышения точности метода сеток.- ДАН СССР, 1954, 96, № 4, с.685-688.

18. Волков Е.А. Исследование одного способа повышения точности метода сеток при решении уравнения Цуассона.- В сб.: Вычислительная математика. М.: изд. АН СССР, 1957, № I, с.62-80.

19. Волков Е.А. Дифференциальные свойства решений краевых задач дал уравнения Лапласа и Пуассона на прямоугольнике. -Труды МИАН СССР, 1965, 77, с.89-112.

20. Волков Е.А. Решение задачи Дирихле методом уточнений разностями высших порядков, I.- Дифф.уравнения, 1965, I,7, с.946-960.

21. Волков Е.А. Решение задачи Дирихле методом уточнений разностями высших порядков, П.- Дифф.уравнения, 1965, I,8, с.1070-1084.

22. Волков Е.А. Приближенное решение уравнений Лапласа и Пуассона в весовых пространствах Гельдера.- Труды МШШ СССР, 1972, 128, с.76-112.

23. Волков Е.А. Численные методы.- М.: Наука, 1982.

24. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.: Наука, 1977.

25. Горбунов-Посадов М.М., Карпов В.Я., Корягин Д.А. и др. Информационное обеспечение пакета САФРА.- Препринт ИПМ АН СССР № 172, М., 1981.

26. Давиденко Д.Ф. Об одном методе построения разностных уравнений при решении методом сеток внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона.- Укр.мат.журнал, 1961, 13, JM, с.92-96.

27. Дадаян Ю.Г., Оганесян Л.А. Покоординатное сгущение сетки при решении задачи дифракции в областях с углами.- В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981, с.46-54.

28. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций.- ЛГУ, 1977.

29. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. О повышении точности решений вариационно-разностных схем.- В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск: ВЦ СО АНСССР, I981, с.55-62.

30. Дьяконов Е.Г. Некоторые классы операторов, эквивалентных по спектру, и их применения.- В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976, с.49-61.

31. Дьяконов Е.Г. 0 использовании последовательностей сеток при решении сильноэллиптических систем.- В сб.: Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977, с.146-162.

32. Дьяконов Е.Г. О некоторых топологических и геометрических задачах, возникающих при триангуляции области в про-екционно-разностных методах.- Мат.заметки, 1977, 21, вып. 3, с.427-442.

33. Дьяконов Е.Г., Орехов М.Ю. О минимизации вычислительной работы при нахождении первых собственных чисел дифференциальных операторов.- Мат.заметки, 1980, 27, вып. 5,с.795-812.

34. Жидков Е.П., Нгуен М., Хоромский Б.Н. Уточнение приближенных решений нелинейных операторных уравнений.- Сообщение ОШИ P5-I2979. Дубна, 1979.

35. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики. -Новосибирск: Наука, 1974.

36. Ильин В.П., Саблин Н.И. О некоторых вариантах решения уравнения Пуассона на последовательности сеток.- Препринт ВЦ СО АН СССР 94. Новосибирск, 1982.

37. Ильин В.П., Свешников В.М. О разностных методах на последовательности сеток.-"Численные методы механики сплошной среды, 1971, 2, Л I, с.43-54.

38. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука, 1978.

39. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.- М.:Наука, 1977.

40. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.- М.: Физматгиз, 1962.

41. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский А.А. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики.- ЖВМ и МФ, 1978, 18, № 2, с.458-467.

42. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками.- Тр. Московск.мат.общества, 1967, 16, с.209-292.

43. Коновалов А.Н. Об одном способе построения итерационных процессов.- Известия СО АН СССР, сер.техн.наук, 1967,13, вып.З, с.105-108.

44. Коновалов А.Н. Численное решение задач теории упругости.-Новосибирск: НГУ, 1968.

45. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1970.

46. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности.- Л.: ЛГУ, 1977.

47. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы.- М.: Наука, 1976, т.1.

48. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы.- М.: Наука, 1977, т.2.

49. Кузнецов Ю.А., Шайдуров В.В. О равномерной сходимости разностных схем.I.- В сб.: Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972, с.70-92.

50. Кузнецов Ю.А., Шайдуров В.В. О равномерной сходимости разностных схем.П.- В сб.: Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972, с.93-113.

51. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики.- М.: Гостехиздат, 1953, т.1.

52. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука, 1967.

53. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- М.: Наука, 1973.

54. Лангер У. О выборе итерационных параметров в релаксационном методе на последовательности сеток.- ЗЙЗМ и МФ, 1982, 22, & 6, c.III8-II32.

55. Лебедев В.И. О задаче Дирихле и Неймана на треугольных и шестиугольных сетках.- ДАН СССР, 1961, 138, Ш I, с.33-36.

56. Лебедев В.И.-, Финогенов С.А. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевских итерационных методах.- IBM и МФ, 1973, 13, $ I, с.18-33.

57. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- М.: Мир, 1972.

58. Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробогатько А.А. Методы вычислений.- Киев: Вища школа, 1977.

59. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1980.

60. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.- М.: Наука, 1981.

61. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов.- М.: Атомиздат, 1981.

62. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. 0 численном решении эволюционной задачи с ограниченным оператором.- ДАН СССР, 1974,216, В I, с.749-751.

63. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности приближенных задач.- Препринт ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1974.

64. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем.- М.: Наука, 1979.

65. Мадокин A.M. Вариационно-разностный метод решения эллиптических уравнений в круге.- Препринт ВЦ СО АН СССР № 13, Новосибирск, 1975.

66. Микеладзе Ш.Е. Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными.- М.-Л.: изд. АН СССР, 1936.

67. Микеладзе Ш.Е. О численном интегрировании уравнений эллиптического и параболического типа.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1941, 5, й I, с.57-73.

68. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными.- М.: Мир, 1981.

69. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.-М.: Наука, 1970.

70. Михлин С.Г. Линейные уравнения в -частных производных.- М.: Высшая школа, 1977.

71. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости.- Киев: Наукова думка, 1979.

72. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. О вариационном подходе к решению одного класса краевых задач.- В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибщюк:ВЦ СО АН СССР, 1976, с.195-203.

73. Нгуен М., Хоромский Б.Н., Ямалеев P.M. Уточнение разностных решений задачи на собственные значения для интегро-дифференциального уравнения.- Сообщение ОИЯИ P5-I2993. Дубна, 1979.

74. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.

75. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Часть П.- Тр. семинара "Дифференциальные уравнения и их применение", 1974, вып.8, Вильнюс: ИФ и М АН Лит.ССР.

76. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений.- Ереван: изд. АН Арм.ССР, 1979.

77. Перронне А. Модульная система конечных элементов: module?. -В кн.: Вычислительные методы в математической физике, геофизике и оптимальном управлении. Новосибирск: Наука, 1978, с.160-175.

78. Повещенко D.A. Пакет программ ТЕКОН для решения тепловых задач.- Препринт ИПМ АН СССР Я 502. М., 1980.

79. Полежаев В.И., Федосеев А.И. Метод конечных элементов в задачах гидромеханики, тепло и массообмена.- Препринт ИП Механики АН СССР № 160. М., 1980.

80. Рвачев В.Л., Манько Г.П., Федько В.В. Генератор программ для решения краевых задач методом R -функций.- В сб.: Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики. М.: ИПМ АН СССР, 1981, с.148-150.

81. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения 1фаевых задач.- М.: Мир, 1972.

82. Рябенышй B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений.- М.: Гостехиздат, 1956.

83. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем.- М.: Наука, 1971.

84. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.

85. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений,- М.: Наука, 1976.

86. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем,-М.: Наука, 1973.

87. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978.

88. Сандер С.А. Вариант использования последовательности сеток при решении уравнения Пуассона в ступенчатой области.-Препринт ВЦ СО АН СССР Л 91. Новосибирск, 1982.

89. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток.- М.: Физматгиз, I960.

90. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под ред. Д.Холла, Д.Уатта.- М.: Мир, 1979.

91. Стахеев А.В., Шайдуров В.В. О расчете динамического режима нелинейной электрической цепи.- Препринт ВЦ СО АН СССР № 21. Новосибирск, 1976.

92. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.- М.: Мир, 1977.

93. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М.: Мир, 1980.

94. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979.

95. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1977.

96. Урванцев А.Л., Шайдуров В.В. Метод уточнения для одномерного квазилинейного уравнения диффузии.- В сб.: Вычислительная математика и программирование. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974, с.81-90.

97. Урванцев А.Л., Шайдуров В.В. Уточнение приближенного решения квазилинейного уравнения Пуассона.- В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976, с.137-144.

98. Фаге Д.М., Шайдуров В.В. О вариационно-разностном решении задачи с косой производной.- Численные методы механики сплошной среды. 1976, 7, № 7, с.121-130.

99. Фаге Д.М., Шайдуров В.В. Об одном прямом методе решения систем уравнений с блочно-трехдиагональной матрицей.- В сб.: Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977, с.117-122.

100. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений.- ЖВМ и МФ, 1961, I, № 5,с.922-927.

101. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса.- ЖВМ и МФ, 1964, 4, $ 5, с.559-564.

102. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений.- Успехи мат.наук, 1973, 28, вып.2, с.I21-182.

103. Шайдуров В.В. Об одном методе повышения точности разностных решений.- Численные методы механики сплошной среды, 1972, 3, № 2, с.96-104.

104. Шайдуров В.В. О построении кривых.- В сб.: Машинная графика и ее применение. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, c.III-II7.

105. Шайдуров В.В. Продолжение по параметру в методе регуляризации.- В сб.: Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, с.77-85.

106. Шайдуров В.В. Экстраполяция Ричардсона для проекционно-разностной задачи Штурма-Лиувилля.- В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974, C.II6-I25.

107. Шайдуров В.В. Регуляризация систем с симметричной матрицей.- В сб.: Вычислительная математика и программирование. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974, с.91-98.

108. Шайдуров В.В. Методы повышения точности приближенных задач.- Новосибирск: НГУ, 1977.НО. Шайдуров В.В. Экстраполяция решений задач, содержащих экспоненциальный пограничный слой.- Препринт ВЦ СО АН СССР № 53. Новосибирск, 1978.

109. Шайдуров В.В. Модульный комплекс программ M0K-I. Краткое описание.- Прецринт ВЦ СО АН СССР № 18. Красноярск, 1980.

110. Шайдуров В.В. Модульный комплекс M0K-I программ метода конечных элементов.- В сб.: Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики. М.: ИПМ АН СССР, 1981, с.174-176.

111. Шайдуров В.В. Численное решение задачи Дирихле в области с углами.- В кн.: Вычислительные методы в прикладной математике. Новосибирск: Наука, 1982, с.173-188.

112. Шайдуров В.В. О решении вариационно-разностных схем на последовательности сеток.- Препринт ВЦ СО АН СССР № 92. Новосибирск, 1982.

113. Шайдуров В.В. Проекционно-сеточные схемы на последовательности сеток.- В сб.: Вычислительные методы линейной алгебры. М.: ОВМ АН СССР, 1983, с.238-246.

114. Шайдуров В.В. О решении спектральной вариационно-разностной задачи на последовательности сеток.- Прецринт ВЦ СО АН СССР № 105. Новосибирск, 1983.

115. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1978.

116. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики.- Новосибирск: Наука, 1967.

117. Яненко И.Н. Введение в разностные методы математической физики, ч.1, 2.- Новосибирск: НГУ, 1968.

118. Albrecht I., Uhlmann W. Differenzenverfahren fur die 1. Randwertaufgabe niit krummlinigen Randern bei ди=г(х,у,и). Z.Angew. Math, und Mech., 1957, 37, No 5/6, S. 212-224.

119. Babuska I., Rheinboldt Y/., Mestenyi C. Self-adaptive refinements in the finite element method.- Technical Report of University of Maryland, 1975.

120. Bank R.E. Analysis of a multilevel inverse iteration procedure for eigenvalue problems.- SIAM J. Numer. Anal., 1982, 19,No 5,p.886-898.

121. Bank R.E. A multi-level iterative method for nonlinear elliptic equations.- In: Elliptic problem solvers.-New York: Academic press, 1981,p.1-16.

122. Bank R.E., Rose D.J. Extrapolated fast direct algorithms for elliptic boundary value problems.- In: Algorithms and complexity: New directions and results.- New York: AcademicPress, 1976,p.201-247.

123. Bickley W.G., Michaelson S., Osborn M.R. On finite-difference methods for the numerical solution of boundary-value problems.- Proc. Roy Soc. London,1961, ser.A, No 2б2,р.219-236.

124. Bramble J.H., Hubbard B.E. On the formulation of finite difference analogues of the Dirichlet problem for Poisson^ equation.- Numer. Math., 1962,4,Ho 4,p.313-327.

125. Brandt A. Multilevel adaptive solutions to boundary-value problems.- Math. Comput., 1977,31,No 138, p.333-390.

126. Brandt A. Multigrid solvers on parallel computers.- In: Elliptic problem solvers.-New York: Academic press, 1981, p.39-84.

127. Brandt A. Guide to multigrid development.- Lecture Notes in Math.,1982,960, p.220-312.

128. Brezinski C. Conditions d*application et de convergence de procedes d»extrapolation.- Numer. Math.,1972, 20,No 1, p.64-79.

129. Bulirsch R., Stoer J. Fehlerabschatzungen und Extrapolation mit rationalen Funktionen bei Vervahren vom Richard-son-Typus.- Numer. Math., 1964, 6,No 5, S.413-427.

130. Dendy J.E.,Нуman Jr., Human J.M. Multigrid and ICCG for problem with interfaces.- In: Elliptic problem solvers.-New York: Academic press, 1981,p. 247-254.

131. Elliptic problem solvers.- Hew Yorks Academic press, 1981.

132. Foerster H., Stuben K., Trottenberg U. Non-standard mul-tigtid techniques using checkered relaxation and intermediate grids.- In: Elliptic problem solvers.- New York Academic press,1981,p.285-300.

133. Hackbusch W. On the computation of approximate eigenvalues and eigenfunctions of elliptic operators by means of a mul-tigrid method.- SIAM J.Nuraer. Anal., 1979, 16До 2,p.201-215.

134. Hackbusch W. Survey of convergence proofs for multigrid iterating.- In: Special topics of applied mathematics.-Amsterdam: North-Holl. Publ. Co., 1980,p.151-164.

135. Hackbusch V/. Convergence of multi-grid iteration applied to difference equations.- Math. Comput., 1980, 34, Ho 150, p.425-440.

136. Hackbusch W. Multi-grid solutions to linear and nonlinear eigenvalue problems for integral and differential equations, Report 80-3. Mathematisches Institut, Universitat zu КоIn, 1980.

137. Hackbusch W. Multi-grid convergence theory.- Lecture Notes in Math., 1982,960, p.177-219.

138. Hackbusch W. A multi-grid method applied to a boundary value problem with variable coefficients in a rectangle.--Report 2/83. Institut fur Informatik und Praktische Ma-thematik, Christian-Albrechts-UniversitatKiel,1983.

139. Joice D.C. Survey of extrapolation processes in numerical analysis.- SIAM Review,1971, 13, No 4, p.435-490.о

140. Nicolaides R.A. On the 1 convergence of an algorithm for solving finite element equations.- Math. Comput., 1977,31,No 140, p.892-906.

141. Nicolaides R.A. On some theoretical and practical aspects of inultigrid methods.- Math. Comput., 1979,33,-No 147, p.933-952.

142. Marchouk G.I.,Shaydourov V.V. Increasing accuracy of protective difference schemes.- In: Methodes de calcul scientifique.- Paris: IRIA, 1973,p.180-201.

143. Marchouk G.I., Shaydourov V.V. Increasing accuracy of projective difference schemes.- Lecture Notes in Computer Science,1974,11,p.120-141.

144. Marchouk G.I., Shaydourov V.V. A variational method for increasing the accuracy of the difference scheme.- In: Resume des communications.Deuxieme colloque international sur les methodes de calcul scientifique et technique.-Paris: IRIA, 1975, p.45-48.

145. Marchouk G.I.,Shaydourov V.V. Л variational method for increasing the accuracy of the difference scheme.-Lecture Notes in Economics and Math. Systems, 1976,134,p.193-205.

146. Marchouk G., Shaydourov V. Raffinement des solutions des schemas aux differences.- Moscou: Mir,1983.

147. Marchouk G.I., Shaydourov V.V. Difference methods and their Extrapolations.- New York: Springer-Verlag,1983.

148. Mayers D. The diferred approach to the limit in ordinary differential equations.- Computing J., 1964, 7,p.54-57.155» McCormick S.P. A mesh refinement method for Math. Comput., 1981, 36, No 3 , p. 485-498.

149. Multigrid Methods.- Lecture Notes in Math., 1982,960.

150. Pereyra V. On improving an approximate solution of a functional equation by deferred corrections.- Numer. Math.1966, 8, No 3,p.376-391.

151. Pereyra V. Accelerating the convergence of discretization algorithms.- SIAM J. Numer. Anal.,1967, 4, No 4, p.508-533.

152. Pierce J.G.,Varga R.S. Higher order convergence results for the Rayleigh-Ritz method applied to eigenvalue problems.

153. Estimates relating Rayleigh-Ritz and Galerkin approximations to eigenfunctions.- SIAM J. Numer. Anal.,1972, 9, No 1,p.137-151.

154. Richardson L.F. The approximate arithmetical soluton by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam. -Philos.Trans.Roy.Soc.,London,1910,ser.A, 210, p.307-357.

155. Richardson L.F. The diferred approach to the limit. 1: Single lattice.- Philos.Trans.Roy.Soc., London,1927, ser.A,226, p.229-349.

156. Saff E.B., Varga R.S. On incomplete polinomials.- In: Nu-merische Methoden der Approximationstheorie,4.Basel-Stuttgart: Birkhauser Verlag, 1978, S.281-298.

157. Schortley G., Weller R. The numerical solution of the Laplace»s equation.- J. Appl. Phys., 1938,9, No 5, p.334-348.

158. Stiiben K., Trottenberg U. Multigrid methods: Fundamental algorithms,model problem analysis and applications.- Lecture Notes in Math., 1982, 960, p. 1-176.

159. Thatcher R.W. The use of infinite Grid refinements at singularities in the soluton of Laplace's equation.- Numer. Math., 1976, 25, No 3, p.163-178.

160. Wesseling P. A robust and efficient multigrid method.-Lecture Notes in Math., 1982,960,p. 614-630.