Многомерные теоретико-числовые сетки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

«'о '! * по

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕПИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УПИВЕРСИТЕТ имепп В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

На правах рукоппсп

ВАНЫСОВА Валентина Сергеевна

МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ СЕТКИ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фнзнко-математнчеекпх наук

Москва 1992

Работа выполнена в Московском ордена Леннпа л ордена Трудового Красного Знамени государственном педагогическом университете имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор фпзиконматематдчюскнх паук, профессор В. И. НЕЧАЕВ

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В М. СОЛОДОВ,

кандидат физико-матомашческпх наук, доцент 10. Н. ШАХОВ

Ведущая организация — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится «... .1992 г. в ча-

сов на заседапии специализированного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата фпзико-математиче-ских наук в Московском ордена Ленина и ордена Трудового 'Красного Знамени государственном педагогическом университете имени В. И. Ленина: 107140, Москва, Краснопрудная, 14, МПГУ имени В. И. Ленина, математический факультет, ауд. Ш.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина: 119435, Москва, М. Пироговская, 1, МПГУ им. В. И. Ленина.

Автореферат разослан «...¿2м..»..

Л.............1992 г.

Ученый секретарь^^циа^изнрюванного Совета

Г. А. КАРАСЕ В

О

р£гогЗскдя

Ct^-^YiiSHHAfl -.2 -

Актуальность темы

¡»«..V. ,""""

' „< " Пусть зг1, Gg=tO;I)s - з-мерный единичный куб. При изучении равномерности распределения точек сетки

X = { ik= (*k1...,.xkg> I k = О.....N-1 } = G3 (1)

обычно используют функцию локального отклонения

D(X,ä) = Z(X,ä) - Н-а,-...-а3 , (2)

где 2(Х,й)-количество точек сетки X, попавших в параллелепипед ГЦ*) » Г| Ю;ал).

В настоящее время наиболее изученной характеристикой равномерности распределения точек сетки является квадратичное отклонение

D3(2(X) = J...J (D(x,d))2 ad (3)

В 1954 году К.Рот показал, что для любой сетки X из N точек, для ее квадратичного отклонения справедлива оценка снизу

DS(2(X) г с(з):2п3_1У . (4)

где константа с(з)>0 зависит только от размерности з.

В 1980 г. К.Ф.Рот2' доказал теорему о существовании сетки для которой справедлива оценка

D4 р(Х) i с, (3)-ins_1.V . (5)

3 •' 1

В работе В.Чена в 1983 году были предложены преобразования сеток Фора, зависящие от дискретных параметров, и пока -

1. K.P.Roth On Irregularities of distribution , Mathematlka,

1(1954),- p.73-79.

2. K.P.Roth On . irregularities of distribution IV , Acta

Arlth., 37(1900), p.67-75.

3. Я.Я.L.Chen On Irregularities of distribution II , Quart.

J.lath., Oxford (2), 34 (1983), p.257-279.

звно, что за конечное число операций можно получить сетку, для которой выполняется оценка (5).

Другие алгоритмы построения сеток с оптимальным порядком квадратичного отклонения-были предложены Н.М. Добровольским в работах в 1934 году. Количество операций'для построения сеток было снижено до О(Н^).

Методы работ Чена и Добровольского Н.Ы.4'^ явля -лись дальнейшим развитием работ К.Рота и основывались на оценках среднего арифметического квадратичных отклонений по всем ■ преобразованным сеткам.

После указанных работ в данном направлении исследований выделяются две основные проблемы:

- получение меньших значений константы в оценке среднего арифметического квадратичных отклонений сеток из некоторого класса;

- разработка экономных алгоритмов построения сеток для квадратичного отклонения которых выполняется оценка (5).

За последние годы не ослабевал интерес исследователей к равномерному распределению последовательностей типа последовательности ван дер Корпута которых, в основной, получена результаты для одномерного случая..

4. Добровольский Н.Ы. Оценки отклонений модифицированных соток Хэммерсди-Рота. Деп. #1365-84 ВИНИТИ.

5. Добровольский Н.Ы. Эффективное доказательство теоремы Рота о квадратичном отклонении., УЫН,т.39,41238,198«, с.155-156

6. Я.я.L.Chen On irregularities of distribution , llathecatlka 27, »2, 1980, p.153-170.

7. Chalx H.,Pauere H..Dlskrepance and diaphonie des suites de van der Corput generalisees.Ш/C.r.Acad.sei.Ser.1. -1990.-311.H2.-C.65-68.

6. Froinov P..GroEdbnov V.S. Synastrieation of the van der Corput-Halton sequence/ЛДокл. Бои. AK",1987,40,KQ.-С.5-8

В 1982 году Н.Ы.Коробов в работе предложил новые алго-. ритмы поиска.оптимальных коэффициентов, требующие для своей реализации всего лишь 0(Н) элементарных операций. Алгоритмы Добровольского. Н.М. для поиска сеток с правильным порядком квадратичного отклонения основаны на идеях Н.М.Коробова. Указанный алгоритм Н.И.Коробова основан на теореме переноса А.О.Гельфонда для линейных сравнений, которая была доказана для простого р А.О.Гельфондом и для степени простого Н.М.Коробовым

Цель работы.

Продолгить изучение некоторых теоретико-числовых сеток.

1. Рассмотреть класс р-ичных сеток, включающих в себя модифицированные сетки Хэмыерсли-Рота, Фора-Чена, Соболя, Холтона.

2. Построить группы преобразований, действующих на классе ачннх сеток.

3. Получить пригодные для вычисления формулы для среднего арифметического квадратичных отклонений сеток из орбиты произвольной $-ичной сетки.

4. Разработать экононннй алгоритм поиска сетки из орбиты про -извольной $-пчной сетка, для которой квадратичное отклонение не превосходят среднего арифметического.

5. Рассмотреть класс регулярных $-ичннх сеток и получить оценка среднего врафаетнчоского квадратичных отклонений сетки вз орбятн произвольной регулярной $-ичной сетки.

3. Пргазпать результаты исследований. к конкретным классам еатса: кодО дарованный сеткаи Х^лиерсли-Рота, Холтона, Фо -рз-Чэпа, СоСояя. 7. Дать эггпэптзрзоа доказательство теоремы переноса А.О.

Гэ^ьСспдэ для срггявпзЭ по произвольному составному модули. 9. Полупта погзз кодгСзпацзз алгоритмов Н.Ы. Коробова поиска слгайэльгш пос^цлаптэз.

9. йорсбоэ Н.Э. О аачаслзпзи опгнаальлых коэффициентов // дан СССР. 1902. Т. 267.• В 2. С. 28Э - 292.

Краткое содержание работы.

В первом параграфе выводится несколько тождеств для сумм, содержащих функции ван дер Корпута-Хэымерсли и вновь введенную функцию Чена.

Пусть натуральное р>2, произвольное целое и Р=р? Для неотрицательных целых п и заданных в р-ичном разложении

П = 2 пу . г = I «у .

где Пу.^е А(р), .

определим функцию ван дер Корпута-Хэммерсли равенством

(6)

Р(П) =1 nvp-v-1

víO

а функцию Чена; -v>0

Справедливо р(п) = р(п,0).

С помощью указанных функций строятся две группы преобра -зованкй множества рациональных дробей со знаменателем Р = ph (p,h - целые, большие единицы ). Для произвольного натурального К определим множества:

i(N) = <0,...,N-1) (8)

и

В(К) = {o,¿.....(9)

Зададим на множестве А(Р> групповую операцию » равенством , t,+t, ч

VVO-V"}'-

для любых t1 и t2 из множества А(Р) я обозначим полученную группу через С(Р). Очевидно, что G(P) изоморфна zp - группе классов вычетов по модулю Р.

Используя р-ичные разложения элементов множества А(Р),

определим другую групповую операцию о равенством

V V I {-^К1

- reA(h)

и группу с указанной операцией обозначим через G*(P).

Ясно, что G*(P) изоморфна группе zjj = zpx..,xzp

Зададим действие группы G(P) на множестве В(Р) с помощью периодизированной функции ван дер Корпута-Хэммерсли введенной Добровольским Н.Н.5* х(п) = р^ р| Р Jj следующим равенством: для любых teG(P) и zeb(P)

t * z = x(t+P-x(P-z)), то есть, если z=x(n), то t*s = x(n+t).

Такое преобразование будем называть арифметическим сдвигом, a G(P)- группой арифметических сдвигов множества В(Р).

Аналогично зададим действие группы G*(P) на множестве ' В(Р) для любых teG*(P) и zeB(P) с помощью периодизированной

функции Чена x(n,t) = }] .следующим образом

t я z = x(P;X(P*S),t), то есть из z=x(n), следует tsz = x(n,t) и

t1n(t2=Z) = X(n,t,ot2) = (tjOtgïaZ. Данное преобразование назовем : поразрядным сдви-

гом, a G*(P) - группой поразрядных сдвигов множества В(Р).

Пусть р1.....рд - фиксированные натуральные числа, отличные от 1. Для любого натурального ¡1*2 определим целые h,,....hg.P,,...,Рд из условий

N -< Pv= p/s N-pv (v=1.....з) (10)

Таким образом, hv=(ln H / ln pv]*1 , Й = (hj,v.,hg).

Через' xv(n) обозначим функцию x(n) при p = pv, h = hv, P = Pv

'y=1.....з)'. ■

Олрэделакаа 2.1.

р-ичной сеткой I рода или. просто р-кчной сеяной навиваеп-

ся любая сегска X вида ~~ -

* » {г*,^.....V'W'.^1 .- (ID

при зяол целые и й должны уЭо&легг.воряпь условию uvk1'A nvk2 ( nod V п?и V (v=I,...,s). (12)

Таким образом $-ичная сотка является N-подмнокеством де -картового произведения

В CPt )x...xB(Ps)xB(K), (13)

Так как на каздоЛ компонёнте'В(Р ) декартового произведения (13) действуют группы преобразований С(Р ) и G*(PV), то M.if;o определить группы преобразований ^-ичних сеток.

G = G(P1 )x...xG(Ps)

Сь= G*(Pn )r...xG*(Pg) -действие групп G к G* на сетку X задается равенствами: для лсОого t = (i^.....t3) e А(?) , где

Л (й) = ¿(и, )х...хА(ид), (й = (ш1.....шд) е is3)

£*Х = {[х, (n^-tt,).....V^V-N) 1 keA<N>} <14>

t.x = {(х1(Ш,кД,).....Xs(Bsk.t8).gi кеА(И)} . ■ (15)

будем обозначать

Х({) = t» X и XC(t) = i о X (16)

и называть соответственно арифметическим и поразрядным сдвигами сетки X. Определение 2.2,

р-ичноИ ceusofl II рода называемся сегака У биЭа

У = (fi,inJfcJ.....i3rnakJn'fe6/!WJ , (17)

где целые т fe, ( v=I.....s ) удовлеаворяюя условиях (12).

Через СХ,СУ,С1*Х,О*У будем обозначать орбиты сеток X и У под действием групп С и 0* соответственно , а через стд+1 (СХ), о3(СУ),ад+1(а*Х),ст3(С*У) - средние арифметические квадратичных отклонений по орбитам указанных сеток.

' °з+1<И> = Р^ГТГ 1 <18>

1 3 ЬА(Р)

Средние арифметические по другим орбитам определим аналогично. Определение 2.3.

Назовел оптимальной сепкой орбит лябуя сепку, у которой квадратичное отклонение не превосходит среднего ариф.;епи-ческого квадратичных отклонений сепок орбипи. Таким образом, возникает следующие две задачи:

I. Оценить среднее арифметическое квадратичных отклонений по орби?ам р-ичной сетки.

II. Построить алгоритм нахождения оптимальных сеток из данной орбиты.

Ранее эти задачи рассматривались Чаном для сеток Фора и Добровольским Н.М.4^ для соток Хвммерсли-Рота.

В третьем параграфе выводятся формулы для среднего ариф -¡.готического квадратичных отклонений сеток из орбиты произвольной $-ичной сетки. Для вычисления по этой формуле требуется 0(э-1!элементарных операций такое хе количество , как и для вычисления квадратичных отклонений произвольной ¡5-ичной сетки. Выведенные формулы среднего арифметического квадратичных от -клонений сеток из орбиты, образованной группой арифметических сдвигов, является аналогами соответствующей формулы Добровольского Il.ll. для соток Хэшерсли - Рота. Для орбит, образованных группой поразрядных сдвигов, такие формулы не. были известны. Доказан следующий интересный результат о независимости среднего арифметического от группы преобразований. Теорсая 3.1.

/¡ла среднего оршр.чепичэского хваОрапичпых отионений р-

ичних овток X и Z I и II рода оооийепошЗвнмо по орбитал GX, G*I, GY, G*Y справедливы равенства :

os(GY) = os(G*Y) Г

Основной цельп четвертого параграфа является построение алгоритмов поиска оптимальной сетки из данной орбиты. Описаны три метода решения данной задачи: полного перебора, покоординатной оптимизации, поразрядно -покоординатного поиска. Сравнительный анализ указанных методов проводился по двум критериям: сложность реализации и трудоемкость вычислений.

Стмет/м, что аналогичные алгоритмы первых 2х типов Добровольским Н.М. были построены только для модифицированных сеток Хэнморсли - Рота ^ и алгоритм полного перебора Ченом3^ для сеток Фора .

Доказано, что метод покоординатно -поразрядной оптимизации позволяет построить оптимальные сетки Х(21 ), У(2г), ХС)>

УС(24) соответственно из орбит GI,GY,G*I,G*Y, затратив при атом 0(згЯг1п Н).

В пятом параграфе вводится понятие q-регулярных сеток, описаны их свойства.

ПУ"Ь П. Пп

■Ь(М> = р,1- ••• -р3 • <19>

Для произвольных целых а^.....ag,a,q,n1.....ng,r обозначим

.....

Р/ Р3 ■ Л Pj Р]

а-Ь(М)'Ч ^ (а+1)-Ь(^,й)-д ^ ' f?fn .

И ' К

прямоугольный параллелепипед объема

■

»• «*С а, а3 a-b(p,ñ)-q a-b(p,ñ)-q+r •

п =п V.....1

з г а1 а.+1 , г a*b(fi,ñ)-q а*Ь(й,й)-q+r ,

- jfl L-sí: "Ч1я [ —;—:-v—1- (2,)

Pj PjJ . я я

прямоугольный параллелопипод объема —--.

.V-b(p.ñ)

Определение 5.1.

параллелепипед П* вида (20) будея называть р-ичныл

параллелепипеде я ранга Л я una q, если целые а{,.. .-,ад,а, q,n1.....пд связаны соожоиениххи :

Пн

О s aj< p3J-1 , nj s О , (J=1.....з);

Ч.

A (22)

a > O . (a+1 )-b(j5,ñ)-q < .V , q > 1 . Очевидно, что при фиксированном ранга й и типе q имеется ровно b(j5,ñ)-LV/(b(j5,ñ)-q)) р-ичных параллелепипедов. . Определение 5.2.

Параллелепипед f)** ®u3a (21) будея назыбачь неполнил р -ичнил параллелепипедол ранга /5 a una q, если целые at,...,a3,a,q,n1,... ,пд,г связаны соопноиенияли :

О ¿ ají p-jJ-1 , rij Í О , (J=1.....a);

a г O , a-b(iM)-q < У , q s 1; (23)

1 < г s nln(b(f,ñ)'q-1 ,.V-a-b(j5,ñ)- q). При фиксированном ранге ñ и типе q имеется . ровно

Г N - Г—--])-b(ñ,ñ) - неполных й - ичных параллелепипедов.

Обозначим через I* = Z*(X), Z** -= Z**(X) - количество' точек сетка X, попавсих соответственно в-параллелепипеды П*> П

Определение 5.3.

$-ичную сеику X вида (11) и соошвеяспвущую р-ичную сетку У II рода вида (17) казовел Ч~регулярньли, если для любого р-ичного параллелепипеда П * биЭа (20) объела $

г* = (24)

и для любого неполного р-ичного параллелепипеда П**

' вида (21) объела -^---< Й

г ¿ ч. (25)

Замечание. Если q=1 , то q-peгyляpнaя $-ичная сетка называется просто регулярной р-ичной сеткой. Доказана Теорема 5.1.

Пусяъ р-ичная г.епка X вида (11) и соответствующая р-ичная сепка У II рода вида (17) - q-peгyлярки. Тогда для любого целочисленного вектора 1*А(Р) ц-регулярнияи являтся следующие пары сеяок : Х(1) и УЦ) ; X0(t) и УС(1), другими едовали, сЗоСспбо ц-регулярпост инвариангшо относительно преобразований из групп С и С*. Итог данного праграфа заключен в следующем утверждении: Теореыа -5.3.

Цля любой ц-регулярной р-ичной сетки X вида (11) и соопвепспвуюцей q-peгyляpнoй р-ичной сетки У вида (17) справедлива неравенсива :

д п2-)

°3+1(СХ) = ао + 1(Се1) £ —^[п — 1 - 1п3йГ +0(1пэ-12/) 3+1 0+1 з1'63\М 1прJ

> , ъ р2,-1 . ,

• аАвУ) = ао(С*У) £ --|П -1— |-1п3К+0(гп3 1»). .

3 ° З1'б31)=1 ^ПР; }

Понятие д-регулярных сеток является конечным аналогом

босконотгшх q-множеств, из работа Чена3'. Другими аналогами понятия q-регулярной сетки являются Пх сотки Соболя11'.сотки Фора.

В § б объектами исследования являются и хорошо известные модифицированные сотки Хэммерсли-Рота и впорино опроде -ленные здесь сетки Хэммерсли-Ротз-Чена, модифицированные, сетки Холтона, сетки Холтона-Чена,.Доказана теорема 6.2 о ток, что сетг'.и Хэммерсли XR(i) и Холтона Х(У) являются регулярными р-ичными сетками. Каи следствие показано, что для любого целочисленного вектора teA(P) следующие сетки XR(.V,t), X(?/,t), XRC(.V,{), XC(.V,i) являются р-ичнкмн регулярными.

1 ? 1

Параграф седьмой посвящен изучению сеток Фора а так-se модифицированных сеток Оорз и сеток Зора-Чена. Структура исследования повторяет § б, то есть сначала показана регулярность сеток из орбиты сетки Фора и оценка среднего арифмети -ческого квадратичных отклонения получена как следствие из теоремы 5.3.

В восьмом параграфе с использованном результатов Соболя11' доказано, что рациональные П сетки, построенные с помощью

т

ЛП последовательностей, являются двоичными, 2 -регулярными сетками, а значит к ним применимы все результаты теории {5-ичных сеток, развитой в §1- §5.

Таким образом, в первой главе наряду с известными сетками рассматриваются естественно возникающие новые типы сеток.

Показано, что все они относятся к числу наиболее равномерно распределенных сеток, и в- тооремз 5.3 для среднего арифметического квадратичных отклонений получены оценки с

11. Соболь И.И. Многомерные квадратурные формулы и функции Ха-ара. !1.: Наука, 1969 .

12. П.гяиге. Diacrcpar.ce tie suites ачпос!нез a un aystene fie-г.г.ч "itlon (en rttcpntlon я) , Acta Arlth.. "1, (1942),

- IfJ -

константами, существенно меньшими, чей в работах Чвнв и Доб -ровольского H.H. -

Вторая глава "Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов" состоит из девятого и десятого параграфов.

Пусть з - натуральное, а,,....^ - целые, натуральное _V>1

•и (av,.V) = 1 (v=1,2.....з). Определим х, .V, и Нг с помощью

равенств:

х = шах (1, | х |), .V, = Х2 = [-£-].

Рассмотрим сравнение

m0+a1m1 + ...+a3mg = 0(modiO, -Я^а^ №г (v-0,1.....з)(26)

и систему сравнений

{ Q1ko £ k1

\.....(moM), -H.ikv£ м2 (v=0,1.....з).- (27)

I азко = кз

Исключив тривиальные репения сравнений (26) и (27) ш =...=т_= О и к = ... = к =0 обозначим соответственно

О 3 О 3

через я3(.*0 и 03(Ю минимальные произведения й0'...»ю

н |к0| •. •.- |кд|. •

Известна 13'следующая лемма, установленная А.О.Гельфондои. Лемма (А.О.Гельфонда).

Суцеспвуея положительная констант с^ с^(з) пакая, чао при простоя К выполнится оценки : Я8(Ю £ (28)

* с,-а1(Х)/Н9 "1 . (29)

Н.Ы.Коробов доказал оценку ( 28 ) для любого Н, равного степени простого числа.

В §9 приводится доказательство оценок ( 28 ) и ( 29 ) для произвольного N . Этого удалось достичь за счет перехода от

13. Коробов Н.У. Об одной оценке А.О.Гельфонда // Вестн.УГУ. Сер.I.Математика,механика.1963. В 3. с.З - 7.

языка сравнений, которым пользовался Н.И. Коробов к использование расстояния до ближайшего целого линейных форм.

По определению14) целые а,.....^, взаимнопростне с натуральным И>2, называются оттилалъныли коэффициентами индекса Р=Р(з) по модулю X с конеяаняой с=с(з), если выполнена оценка

5Аа......а )=J -v"1 -I1JLJ--, (30)

* 1 3 L n1.....в3—(f-1) тг ..ш3 У

где ^ означает, что из суммирования исключен нулевой' набор

(и,.....шд) = (0.....0), m = шах(1 ,|ю|) и

г

| 1, если а = 0 (modtf), <Ыа) = \

I 0, если а * 0 (mod.V). v.

В работе было указано значение оптимальных коэффици-

циентов для приближенного вычисления многомерных интегралов произвольной кратности з. Различные алгоритмы для вычисления з-мерных оптимальных коэффициентов по модулю Я, где У - »гисло узлов квадратурной формулы, были получены в работах [13-15].

Для реализации этих алгоритмов требовалось 0(Кг) или,

0(.V1f1/3) операций. Снижение количества операций до 0(.¥) при

1 ч)

И, равном степени двойки, сделано в работе .

В десятом параграфе построен класс алгоритмов нахождения

п ?

оптимальных коэффициентов по модулю 2 за 0(з N) операций. Эти алгоритмы являются обобщением известных алгоритмов Н.И.Коробова , описанных в работе

14. Коробов Н.И. Теоретико-числовые методы в приближенном ана -лизе. П.: Физматгиз, 1963.

15. Коробов H.H. О вычислении оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1982. т. 267, Я 2. с. 289 - 292.

- 15 -Нвучнвя новизна.

1. Построена теория квадратичного отклонения $-ичных регулярных сеток. Доказано, что в орбите произвольной регулярной $-ичной сетки имеются сетки X и У, для которых квадратичное отклонение не превосходит среднего арифмети -ческого по орбите .

Указаны экономные алгоритмы нахождения таких сеток за О (.V2операций.

2. Дано элементарное доказательство теоремы переноса ' А.О.Гельфонда для линейных сравнений по произвольному

составному модулю.

3. Получены новые модификации алгоритмов Н.Ы;Коробова для поиска оптимальных коэффициентов.

Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы в реиении различных задач теории равномерного распределения.

Апробация работы Результаты работы докладывались на республиканской научно-теоретической конференции "Теория чисел и со приложения" в городе Таикенте, в сентябре 1990 года, па Всесоюзной конференции "Современные проблемы ннфор«атгшз, вычислительной техники н автоматизации", на секции "Проблеси теоретической и прикладной математики" в г. Туле, в 1989 г., на научной конференции профессорско-преподавательского состава .11ПГУ им. В. И. Ленина в 1990 году, на секанзре по тригонометрически» суммам и вх пралогавяяи про£зсесра Н.Ы.Коробова в ИГУ им.И.В.Ломоносова. .

ч Объем работы

Диссертация состоит из введения, дзух глав, десяти

- 1'Л -

параграфов, списка литературы из з? наименований. Диссертация содержит 104 страницы машинописного текста.

РА60ТЫ АВТОРА ПО TEliE ДИССЕРТАЦИИ.

1 . Добровольский Н.М., Ванькова B.C. Об одной лемме А.О.Гель-

• фонда. Деп. ВИНИТИ. JH467-B87.

2 . Добровольский H.H., Ванькова B.C., Муньос Ы. Пентон

Алгоритм построения оптимальных модифицированных сеток Хэимерсли-Рота. В сб. "Математическое моделирование в физико-технических задачах." Тула, Приокское книжное издательство, 1989, с.92-95.

3 . Ванькова B.C., Добровольский Н.И., Есаян А.Р. О преобра-

зованиях многомерных сеток." Деп.ВИНИТИ. #447-91

4 . Добровольский H.H., Ванькова B.C. Новые оценки для моди-

• фяцированных сеток Хэииерсли-Рота. Деп. в ВИНИТИ.4992-690

5 . Ванькова B.C., Добровольский H.H. Об одном алгоритме для

ыногонарпых сеток. Тезисы докладов на республиканской паучнс-тзорзтическоЗ конференции "Теория чисел и ее ПрЕЛР23НЯЯ".Т83К8НТ. 1990.

6 . Бочарова Л.П., Ванькова B.C., Добровольский H.H. О

внчпсгонЕИ оптпаальпнх коэффициентов. автоматические ггтэпш. Т.49, вкп. 2, 1991.

7 . Еашгояз B.C. Оцзекз квадратпчпого отклонения сеток Холто-

на.//?ула,199114 с.-Деп в ВИНИТИ 18.03.91.Й1157-В91 О . Вгаьксза B.C. Квадратичное отклонение сеток вора-Чена. //

Тула,199119 с.-Доп в ВИНИТИ' 21.11.91 .JH372-B91 9 . Вспятова B.C. Об алгорятиах поиска оптимальных сеток Хэм-U3pcjr3-Fo73 и Холтопа. //Гула,1991.- 19,с.-Деп в ВИНИТИ 21.11.51 ,.54371-В91