Обобщенные параллелепипедальные сетки и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

РГб од

РОДИОНОВА Ольга Владимировна

2 к МйГ( 200В

Обобщенные параллелепипедальные сетки и их приложения

Специальность 01. 01. 06. — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре теории чисел.

Научные руководители:

доктор физико - математических наук, профессор МИТЬКИН Д.А., кандидат физико - математических наук, доцент ДОБРОВОЛЬСКИЙ Н.М.

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор ЧУБАРИКОВ В.Н., кандидат физико - математических наук, доцент ВАНЬКОВА B.C.

Ведущая организация — Тульский государственный университет.

Защита состоится " ...лИ-Ш^........... 2000 г. в Ж.. часов на

заседании диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МПГУ по адресу: 119882, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1, МПГУ.

Автореферат разослан " 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета

КАРАСЕВ Г. А.

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Краткая история создания теоретико-числовых методов в приближенном анализе содержится в работе Н. М. Коробова в которой также приводится достаточно обширная библиография. Одним из главных направлений теоретико-числовых методов приближенного вычисления кратных интегралов является теория квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками, предложенными Н. И. Коробовым в 1959 году.

Пусть натуральные N > 1, в > 2 и целые ..., ае взаимно простые с Дг. Множество точек Мк = ({'%-} ,..., (к = 0,1,..ЛГ-1), как

известно, называется параллелепипедальной сеткой и используется для построения многомерных квадратурных формул вида:

где 7?л'[/] ~ погрешность квадратурной формулы, /(£) - функция, интегрируемая на [0,1]в.

Здесь и далее £' означает, что из суммирования исключена точка т = (0,..., 0), х — тах(1, для любого вещественного .г, и

§м(а) = { I ПР" ° 55

| 0 в остальных случаях.

По определению, если для бесконечной последовательности N п целых ау ~ а11(М) (и = 1,2,..., э) существуют константы /3 = 3($) и

со — со (-9) такие, что для функции

-

5„(а1—,««)= + .•■ + а8ш8) - (ТЩ ■ ТЩ)"

т1,...,тп,=-(ЛГ-1)

выполняется неравенство

с / ^ 1г/лГ

N '

1 Н.М. Коробов. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

то целые а\,...,а, называются оптимальными коэффициентами по модулю N, а константа ¡3 - их индексом. Погрешность интегрирования

RN{E°{C))= sup |ВД]|

/6 Ef(C)

■ на классе Ef(C) периодических функций

m

С

11/1|я?(С) = sup|C(mb...,ms)(ml-...-m7)a| < С, выражается следующей формулой:

Если целые bi — 1, b2,...,bs удовлетворяют сравнениям bjai = а; (j = 1,..., s), то квадратурная формула

(2)

совпадает с хсвадратурной формулой (1), так как узлы сетки берутся в другом порядке, и

Множество решений сравнения гпх + Ъ^т^ + • • - + Ь3те = 0(то<1Лг) являются точками целочисленной решетки Л(&2,... с базисом

Л1 = (Л*. О, -.. ,0). А,- = ^ = 2,...,«), где Кроне-

кера задается равенствами

8ц

Чо

при г — j при г ф j.

Узлы квадратурных формул (1) и (2) являются точками взаимной решетки Л*(Ь2, ■ ■ • -/V) с базисом А| = ..., , А,- =

..., <54.у), (] = 2,..., в), лежащими в единичном 5-мерном полуоткрытом кубе Сц — [0; I)5. Основной результат метода оптимальных коэффициентов состоит в том, что для любого N можно выбрать 62,..., Ье таким образом, что для гиперболической дзета-функции решетки

Ся(Л(&2,...Л,Л0Н =

справедлива оценка

Ся(Л(Ь2,...Л,лои = 0(м~а1па(^м),

где константа в знаке О не зависит от N, а только от в и а. Таким образом, для погрешности

ДдКя?(С)) = с ■ (я(л(б2,.. .А,;\он

с точностью до степени логарифма N на классе квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками достижим наилучший возможный порядок малости погрешности, так как в 1963 г. И. Ф. Ша-рыгин 2 показал, что для любой сетки из N точек

Нх{Е?{С)) > С ■ С1П*-1 АГ, где Сг{а, я) > 0.

В 1976 году К. К. Фролов 3 предложил конструкцию квадратурных формул с весами и узлами в точках алгебраической решетки, для которой

Я*(£?(С)) = 0(ЛГо1 п8-1^).

Различные варианты аналогичных конструкций квадратурных формул с использованием алгебраических решеток были предложены В. А. Быковским 4, II. М. Добровольским 5 М. М. Скригановым. Другое направление развития метода оптимальных коэффициентов, связанное с по-

21/Гарыгин И.Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., N4, 1963.

3Фролов К.К. Оценки сверху поргешности квадратурных формул на классах функций. ДАН СССР 231, N4, 1976.

4Быковский В.А. О правильном порядке погрешности оптимальных кубатурных формул .в пространствах с доминирующей производной и квадратичных отклонениях сеток. Владивосток, 1985.

5Добровольский Н.М. О квадратурных формулах на классах Е°(С) и Н"(С). - Деп., 1984.

строением алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов с помощью теории дивизоров, развивается в серии работ С. М. Воронина 6 и Н. Темиргалиева 1.

На первый взгляд теории предложенные Н. М. Коробовым и К.К.Фроловым далеки друг от друга. Но, как показал Н. М. Добровольский 8, здесь есть тесное единство. Его конструкция выглядит следующим образом.

Пусть А произвольная 5-мерная полная решетка и А* ее вза мная решетка. Обобщенной параллелепипедальной сеткой решетки Л называется сетка М(Л) = Л*П[0; — состоящая из точек взаимной решетки Л*, лежащих в 5-мерном единичном кубе = [0; 1)*. Пусть для произвольного вектора х {¿с} = ({а*х},..., М\{к) — Л*р|[—1;1)* и М'(Л) = {х\х = {у},у € М\(А.)} — обобщенная параллелепипедальная сетка II типа. Ясно, что М(А) С М'(Л), а для целочисленной решетки Л имеем М(А) = М'(\).

Гладкая функция р{£), удовлетворяющая условиям

о

р{х + (еь..., е8)) = 1 при />(£)= 0 при

I 1

/ • ■ ■ / р(х)е2™^ёх

< В(<71 ■ . . . ■ <Тэ) Г для любого <Х 6

называется весовой функцией порядка г с константой В.

Квадратурной формулой с обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода и весовой функцией р(х) называется формула вида

11

о о геМ'(А)

где Рг= Е Р(Ю, ЩЛ) = \М'(А)\,

6Воронин С.М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел. 1989.

'Темиргалиев Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных, 1990.

8Добровольский Н.М. Гиперболическая дзета-функция решеток. Деп. 1984.

ЯЛ"<л,(Л — погрешность квадратурной формулы.

Для погрешности квадратурной формулы с обобщенной параллеле-пипедальной сеткой II рода на классе Е* справедлива оценка

Ялг'(А)(Е:(С)) = £ < С • ВС,(аУ(и(А\а),

/Е£?(С)

где

Сх{а) = 2*+1 (з + —) , Ся(ЛН = •" \ а — 1 у геЛ

Рассмотрим произвольную квадратурную формулу с параллелепи-педальной сеткой (1) при (aj,N) = 1, (_?' = 1,..., в) Для линейного функционала погрешности квадратурной формулы (1) справедливо следующее выражение для его нормы

IIО г ли ^ Мй1т1+-... + а,тв)

Н^ГЛИ^ = — —.

Так как функция связана с неравенствами

у) (Я(а1,...,ав_1;^)-1),

то один из известных алогритмов поиска оптимальных коэффициентов а],...,а,_! по произвольному модулю N основан на последова- тельном поиске оптимальных значений Н(а\,Ы), Н(а\,а ^ДГ),.,., ГЦщ...а„_1, Н) методом последовательного перебора всех йк при уже найденных значениях аь ... 1 и, таким образом, требует <9(л2 - Аг2) арифметических операций.

При 8 = 1 легко получить полное решение задачи, так как при («, Лт) = Л имеем:

ирг т -ЦЛпШПг? = - дга >

где - дзета-функция Римана

Следующий по сложности случай 6 = 2 при прямом использовании формулы (2) для поиска оптимальных коэффициентов требует О {И2) арифметических операций сложения и умножения.

И. Д. Кан в своей кандидатской диссертации "Рекуррентные последовательности и их приложения", в частности, рассмотрел вопрос о существовании алгоритма вычисления величины Н(а,М) за 0(1п Лг) арифметических операций. Он показал, что такой алгоритм существует. но его явный вид не был найден. Актуальность построения * кого алгоритма связана с тем, что вычисления величины Н(а, ¿У) за 0(1п Аг) арифметических операций позволяет за О (Л' 1и ЛГ) арифметических операций находить наилучшую параллелепипедальную сетку из N точек для квадратурных формул вида (1) на классе

Методы исследования.

В работе применяются методы оптимальных коэффициентов, цепных дробей и аналитической теории чисел.

Цель диссертационного исследования.

1. Рассмотреть комбинированные сетки Н. М. Коробова и п среднее преобразование периодических функций.

3. Найти рекурсивные формулы для вычисления степенных сумм с дробными долями.

4. Найти явные формулы для вычисления степенных сумм с дробными долями типа (а, /3) с а+/3 < 4, (3 < 2 через числители и знаменатели подходящих дробей и неполные частные.

5. Найти явную формулу для вычисления функции Н(а, ЛГ) за 0(1пЛг) операций.

Новизна результатов.

1. Для квадратурной формулы с комбинированными сетками Н. М. Коробова предложена интерпретация как квадратурной формулыъ с па-раллелепипедалъной сеткой для п-среднего преоблазования интегрируемой функции.

2. Найдено выражение погрешности квадратурных формул с двумерными параллелепипедальными сетками через степенные суммы с дробными долями.

3. Получены рекуррентные формулы для вычисления степенных сумм с дробными долями.

4. Получены явные формулы для вычисления степенных сумм с дробными долями типа (а, /?) с о + /3 < 4, ¡3 < 2 через числители и

знаменатели подходящих дробей и неполные частные.

5. Построены новые алгоритмы вычисления за 0(1п Лг) операций погрешности двумерной квадратурной формулы с параллелепипедальяой сеткой.

Все результаты являются новыми.

Теоретическое и практическое значение.

Работа имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение при исследовании вопросов аналитической теории чисел.

Апробация работы.

Результаты докладывались на Ш-ей международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения" (Тула, 1997), теоретико-числовом семинаре под руководством кандидата физ. - мат. наук Н. М. Добровольского в ТГПУ им. Л.Н.Толстого, Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2000), теоретико-числовом семинаре под руководством доктора физ. - мат. наук Д. А. Митькина в МПГУ, семинаре под руководством доктора физ. - мат. наук В. И. Иванова в ТулГУ.

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из предисловия, трех глав, 8 параграфов и списка литературы из 68 наименований, включающего публикации автора по теме исследования. Диссертация содержит 104 страницы машинописного текста.

Обзор содержания диссертации

Во введении дается обзор результатов, полученных ранее другими авторами, кратко излагается содержание диссертации.

Первая глава посвящена квадратурным формулам по обобщенным параллелешшедальным сеткам и п-среднему преобразованию.

В §1 рассматриваются классы Е%(С), (а > 1) и С{), (а > 1)

периодических функций }(х\,..., хе) с периодом 1 по каждой переменной, для коэффициентов Фурье которых в разложении в ряд Фурье

+оо

/(*!,-О - Е С(т1,...,т,)е2х,'(га>г1+-+га''*)

т!,...,т1=—оо

соответственно выполняются неравенства:

|С(т)| < С(гЩ-... -гщ)~а, |С(т)\ < С-С{(*)(т-...-гп7)-а,

где г(т) — количество ненулевых т„( 1 < V < в). С использованием формулы

„ /дг КАС2,гт/ дП (6-тг2С)ТТ2С С) = - 35-(Я(0, Ж) - 1) + 9]у2; ,

выведенной в лемме 1.1.1 доказывается Теорема 1.1.1. Пусть ао определено из условий

1 < ао < N (а0,Ю = 1

(ч,Л?)=1 '

тогда для квадратурной формулы (1) при «о достигается минимум величин ./?2,2(Лг) и Л^ч^, С) для любого с > 0.

Далее показано, что если подходящие дроби к ^ и IIк = Н[ЪМ,- то Н). можно выразить через степенные суммы с дробными долями

4 Як ¿0 I Яь) I О л !

а именно справедлив следующий результат: Теорема 1.1.2. Справедливо равенство

12

Во втором параграфе рассматривается связь между погрешностью приближенного интегрирования по квадратурным формулам с парал-лелепипедальными и комбинированными сетками. Для

Ra,nAN) = sup \RN[f]\

/(¿Г)££Г(1)

- погрешности приближенного интегрирования на классе по квадратурной формуле с параллелепипедалыюй сеткой справедливо следующее:

Теорема 1.1.3. При (N,12) = 1 выполняется равенство

Для квадратурной формулы с комбинированными сетками Н.М.Коробова, которые являются обобщенными параллелепипедальнымн сетками с целочисленной решеткой с детерминантом равным Nns, наряду с интерпретацией, как квадратурной формулы с прямым произведением лараллелепипедальной и равномерной сеток, предложена другая интерпретация, как квадратурной формулы с параллелепипедалыюй сеткой для п -среднего преобразования интегрируемой функции, где п-среднее преобразование произвольной функции задается равенством

о VI п\ I п))

и используя лемму 1.1.2 доказана Теорема 1.2.2. п5 — 1 соотношений

+О0

/„¿(0) = £ С(п-т + к)= О

•т—~ оо

{0 < К < п - 1 (¡/ = 1,...,а) А^б)

выполнены тогда и только тогда, когда /(ж) — /(0) для любого х — {к\/п,... ,к$/п) (®<ки<п-1 (и - 1,...,«)).

Вторая глава посвящена выводу рекуррентных формул второго порядка для степенных сумм дробных долей.

В §1 доказаны леммы, позволяющие вычислить с помощью рекурсивного алгоритма за О {{а + 1)(/3 1 )к) операций.

В §2 доказаны теоремы: Теорема 2.2.1. При к <2 для б'^1 справедлива рекуррентная формула

С1,1 1 , (~1)*-Ч , (Як-Л2 , (Як-2\2 си

т 12 я\

из которой по индукции, выводится явная формула Теорема 2.2.2.При к > 0 справедлива формула

4 4 12 С)к + 120|

Тем самым решена проблема вычисления за О (к) операций через непрерывную дробь а/И.

Другой метод получения рекуррентных формул, связывающих

с (0 < А < а, 0 < ^ < /3, А + ^ < а + /3)

^ (0<Л<а + /?-1,0<^</3,А + /у</3-+-а)

основан на развитии так называемого рекуррентного метода суммирования степеней натурального ряда и был получен в §1 третьей главы. Где утверждается следующее

Теорема 3.1.1. При а > 1,/3 > 1 ,к> 1 справедливо рекуррентное равенство

- - & л.

ОО.Р _ — -

\4-1 / ^П. , \ а+1\ // 1 \jfc-1 \ ^

которая вместе с леммами 3.1.2 и 3.1.3 дает новый алгоритм вычисления за 0((а +1)(/3 +1)&) арифметических операций, а значит и вычисление функций Н(а,Ы) требует 0(1п Лг) арифметических операций. Определение величин ^дано на страницах 50,

51 диссертации.

Из теоремы 3.1.1 при /3=1 получено следующее рекуррентное соотношение:

Теорема 3.1.2. При а > 1, к > 1 справедливо равенство

к в+11 д* У ^ + "^¿о ~

« (Яь-л**1-" „ И)*-1?» (Як-1\а+1~" В1+1(<2к)

Ои) + а+1\дк) ~01

1 ~ И)'"' _ , ~ М)*

Як \Як ) 2 +як

2

11 21 31 2 2

Для нахождения явных формул для Зк' , Як' . Я,Як' вводятся новые величины и А^"3, определенные формулами:

5а,/3__1 о1Д

Определение их позволило существенно упростить выкладки и довести всю программу вычислений до конечной цели —- нахождения явных выражений. Последовательно это реализовано в виде цепочки следующих результатов в §2 третьей главы: Теорема 3.2.1. Для величин

д?'1 = - - / 1 Ч (а>1) ■ * 2(о + 1) ~

справедливо равенство

- , /-"П*"1 а

« (Як-гу+1 ^д , (-1Г1 ^ ^. в;+2(як^)

к а+1 \~оГ) ^ + к0+1 01+2

Як-Ла+1~" ы

(-1)^^ па+1_иВ1+гШ , (-1)1' (ят , /

Теорема 3.2.2. Справедливы равенствы

5и 1 . Мг{~1Г~1дк 3 + (-1)*-1 (-!)»-'<&-! + Рк к 4 12 Як &Як 12 Я\

к

I

Я*1 = --" ' ^-+

1Д _ А*-1)"-1» 3+{-1)к~1 , + П

1204 8 Як 12<Э

Здесь другим способом был доказан основной результат §2 этой главы, а затем были найдены явные формулы для в^1 и б^'1 Теорема 3.2.3. Справедливо равенство

= 1 , 11(~1)У~1д* 3 + (-1)*-1 + РЬ + 1

* 6+ 12дк + 12

Теорема 3.2.4. Справедливо равенство

к

+

12<Э*

-+

1 /(-1 + Д 1\ -ЗП +(-1)^,1, +С}1\ 12 +8;+ 120<?| +

+ 12Щ (Ы-УЬМ + + - ЬЯЛи-г)} •

После доказательства этих теорем все необходимые составные для 2 2

вычисления ¿^ найдены, и в §3 получены следующие результаты: Теорема 3.3.1. При а + /3 > 0 справедливо равенство

Е

Г <КА<0

< 0<*<ОГ

V Л+|/«>+£

VI

£

Г 0<А</3 \ 0<к<о+1 I (X, а.

СрСа+1 Х

+1)

(МГ'Г'^-Г^А + ^ ("IV

а-А+Д-1/

ы

н

ЫЧ/3

+

(-IV

+

1 //1 + (~1р'-1

+

/ / \\ 2 Теорема 3.3.2. Справедливо равенство

с2-2 - I 4- —

( А

Я \

г)

+

12

+

8

К

1 /5 + fc +Pk 1 *=? * q\

Qi{ 36 +-12-+18£(~1)Q>-iPA + a?118Ö'

Ql-iPk-m (~i)k~lqkQk-2Pk~2 90 90

к-1 ff.f-l^-l - E 90 (^aQa + PAÖA-2 + <?A-2PA-2) ) +

+ ^ + ^ ё(-1)А(9Л«Й + РАСА-* + - й^л^А-Ь

60

И, наконец, в §4 получена явная формула для Я*. Теорема 3.4.1. Справедливо равенство

4 (l0 | 5fr I f а2 3(Р* + Qtl)

2 Е 9А(<?аГ4,л+1 + ^А-2Г*|Д+1 + Ях-^х-г) - 10 Удл-Д.д+Л

I А—1 _ Л—I__

Як

Доказанная теорема позволяет, зная Рд, Рь.. . ,Рп - числители подходящих дробей, <5о><?ь • • ■ ,Яп ~ знаменатели подходящих дробей,

<1\-____1п ~ неполные частные непрерывной дроби для а/М{ 1 < а <

Лг — 1, (а, ЛГ) = 1) и величины Т^д = • • ■ ,9*] скобки Эйлера, вычислять Нк за О(к) арифметических операций.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Добровольский Н. М., Родионова О. В. Квадратурные формулы с обобщенными параллелешгаедальными сетками. //Сб.:"Ш Международная конференция " Современные проблемы теории чисел и ее приложения", Тула, 1996 с. 47-48

[2] Добровольский Н.М., Родионова О.В. Квадратурные формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1996, Т.2.Вып.1, с. 71-77.

[3] Добровольский Н.М., Родионова О.В. Об одном конечном ряде Фурье и его приложениях // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4.Вып.З, с. 68-79.

[4] Добровольский Н.М., Есаян А.Р., Пихтильков С.А., Родионова О.В., Устян А.Е. Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1999. Т.5.Вып.1, с. 51-71.

[5] Родионова О. В. Рекуррентные формулы первого порядка ля степенных сумм дробных долей //Сб.:"Всероссийская научная конференция ''Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула, 2000 с. 50-51

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям доктору физико - математических наук, профессору Д. А. Митькину и кандидату физико - математических наук, доценту Н. М. Добровольскому за руководство и помощь при работе над диссертацией, а так же доктору физико - математических наук, профессору В. И. Нечаеву за внимание и помощь при работе над диссертацией.

Введение

Глггва 1. Многомерные квадратурные формулы по обобщенным параллелепипедальным сеткам

§1. Погрешность приближенного интегрирования по двумерным параллелепипедальным сеткам

§2. Комбинированные сетки и п-сред«нее преобразование

Глава 2. Рекуррентные формулы второго порядка для степенных сумм дробных долей

§1. Выражение сумм дробных долей с помощью многочленов Бернулли

§2. Явные формулы для

Глава 3. Рекуррентные формулы первого порядка для степенных сумм дробных долей

§1. Вывод общих отношений

2. Явные формулы для

§3. Явные формулы для Бк

§4. Явные формулы для Я/. Список литературы

2Д к * 2,

Предисловие

Работа посвящена алгоритмам вычисления погрешности приближенного интегрирования по многомерным квадратурным формулам с обобщенными па'раллелепипедальнымп сетками. Построен новый алгоритм вычисления за 0(1п7У) операций погрешности двумерной квадратурной формулы с параллелепипедальной сеткой.

Нумерация параграфов и математических предложений для каждой главы своя, например, теорема 1.2.1 означает: теорема

§2 первой главы, нумерация формул, констант С'(А) единая для всей работы и не зависит от параграфа. Когда формулы переносятся на следующую строку, знак дублируется в начале каждой строки.

Цель работы

1. Рассмотреть комбинированные сетки Н. М. Коробова и п среднее преобразование периодических функций.

2. Выразить погрешность квадратурных формул с двумерными па-раллолепипедальными сетками через степенные суммы с дробными долями.

3. Найти рекурсивные формулы для вычисления степенных сумм с дробными долями.

4. Найти явные формулы для вычисления степенных сумм с дробными долями типа (а, /3) с а-\-[3 < 4, [3 < 2 через числители и знаменатели подходящих дробей и неполные частные.

•5. Найти явную формулу для вычисления функции Н{а,1V) за ()(\пУ) операций.

Объем работы

Диссертация состоит из предисловия, трех глав, 8 параграфов и списка литературы из 68 наименований, включающего публикации автора по теме исследования. Диссертация содержит 104 страницы машинописного текста.

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях. Их список приведен в конце работы.

Апробация

Результаты докладывались на III ей международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения" (Тула, 1997), теоретико-числовом семинаре под руководством кандидата физ. - мат. наук Н. М. Добровольского в ТГПУ им. Л.Н.Толстого, Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2000), теоретико-числовом семинаре под руководством доктора физ. - мат. наук Д. А. Митькина в МПГУ, семинаре под руководством доктора физ. - мат. наук В. И. Иванова в ТулГУ.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям: доктору физико-математических наук, профессору Д. А. Митькину, кандидату физико-математических наук, доценту Н. М. Добровольскому за руководство и помощь в работе над диссертацией, а также доктору физико-математических наук, профессору В. И. Нечаеву, за внимание и помощь при работе над диссертацией.

Краткая история создания теоретико-числовых методов в приближенном анализе -содержится в работе [33] П. М. Коробова, в которой также приводится достаточно обширная библиография. Одним из главных направлений теоретико-числовых методов приближенного вычисления кратных интегралов является теория квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками, предложенными Н. И. Коробовым в 1959 году.

Пусть натуральные N > 1, з > 2 и целые аг,., а8 взаимно простые с V. Множество точек Мк = ,. {к = 0.1,., N - 1); как известно [33], называется параллелепипедальной сеткой и используется для построения многомерных квадратурных формул вида:

•••//(^41ИЩ'-'-Ш-™ (П где /?д'[/] - погрешность квадратурной формулы, /(;?) - функция, интегрируемая на [0,1]5.

По определению [33, стр. 69], если для бесконечной последовательности N и целых аи = а„{М) (и = 1,2,.,«) существуют константы ^ = ¡(в) и Со = Со (я) такие, что для функции

N-1

S„((7.b • • ■, as) = Y! 6N(aim i + . + asms) ■ {1Щ • . ■ mj) mi,.,,ms=-(N — 1) выполняется неравенство ln^ N

Sjy(ai,., as) < Cq

-l

N ' то целые а., аК называются оптимальными коэффициентами по модулю а константа (3 - их индексом.

Здесь и далее Е' означает, что из суммирования исключена точка т = (0,. . ,0), х = тах(1, |ж|) для любого вещественного х, и

1 при а = O(modiV) SN(a) = <

0 в остальных случаях. Погрешность интегрирования

Rn(E%(C))= sup \RN[f}\ f£Ef(C) на классе Eg (С) периодических функций f) = ^С(т)е27Г':("7'£)

Ef = sup IС (mu., ms)(mi ■ .■ ms)a\ < С, выражается следующей формулой [33] w(c)) = c '»'f^'l;1-"1'1 (2.х (mi • . • ms)n

При а — 2n, п > 1 натуральное, справедливо конечное представление а где В(х) = Е C^Buxa~v(a > 0) — «ый полином Бернулли, Bv - числа v=0

Бернулли.

Ясно, что если целые Ь\ — 1, Ь<2,., bs удовлетворяют сравнениям hjOi = a,j (j = 1,. . ., .s), то квадратурная формула

Н^'ФШ.ЙЙН"И (4-) о о совпадает с квадратурной формулой (1*), так как узлы сетки берутся в другом порядке, и к» (ТР<*(Г\\ г + Ь2т2 + . + Ь8т8) Км{Ь8(С))=С ^ --—--. -(о) т1,.,та=—оо \"Ч ■■• П18)

Множество решений сравнения т\ + + • • • + Ь8т8 = О(пюсЬУ) являются точками целочисленной решетки Л(&2,. . . Л>6, Д^) с базисом Л1 = (Лг, 0,., 0), = <%,. Д,;) У = 2,., б), где Кронекера задается равенствами

1 при г — / 0 при г ф

Узлы квадратурных формул (1*) и (4*) являются точками взаимной решетки Л*(&2, • • •, Ь8, ЛГ) с базисом Л* = (4. ., , А, =

ЛГ' УУ' ' ' ' ' Лг / ' 3 ., (] — 2,., лежащими в единичном 5-мерном полуоткрытом кубе — [0; 1)в. Основной результат метода оптимальных коэффициентов состоит в том, что для любого N можно выбрать Ь-2,., Ь8 таким образом, что для гиперболической дзета-функции решетки

Ся(Л(Ь2,.а,Д0И= £' (хт-.-^)"* (б*) справедлива оценка

Ся(Л(Ь2,.Л,А0И = .(7*) где константа в знаке О не зависит от Л^, а только от з и а. Таким образом, для погрешности

Ян{Щ{С)) = С ■ СнЩЬ-2,. Л, Ю\а) с точностью до степени логарифма Лг на классе квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками достижим наилучший возможный порядок малости погрешности, так как в 1963 г. И. Ф. Ша-рыгнн [61] показал, что для любой сетки из N точек

В,м{Е"(С)) > С ■ С\{а, 8)Н~п кг5"1 N. где С^а, 8) > 0.

В 1976 году К. К. Фролов [56] предложил конструкцию квадратурных формул с весами и узлами в точках алгебраической решетки, для которой

• 11м{Е°{С)) =0{М~аЫ8-1

Различные варианты аналогичных конструкций квадратурных формул с использованием алгебраических решеток были предложены В. А. Быковским [6;7], Н. М. Добровольским [12; 14; 15; 17], М. М. Скригано-вым. Другое направление развития метода оптимальных коэффициентов, связанное с построением алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов с помощью теории дивизоров, развивается в серии работ С. М. Воронина [10] и Н. Темир галиева [54].

На первый взгляд, теории, предложенные Н. М. Коробовым и К.К.Фроловым, далеки друг от друга. Но, как показал Н. М. Добровольский [12], здесь есть тесное единство. Его конструкция выглядит следующим образом.

Пусть А произвольная 5-мерная полная решетка и А* ее взаимная решетка. Обобщенной параллелепипедальной сеткой решетки А называется сетка М(А) = А*П[0; I)5, состоящая из точек взаимной решетки А*, лежащих в 5— мерном единичном кубе = [0; 1)А. Пусть для произвольного вектора х {ж} = ({х\},., М\{ А) = Л* П[—1; I)'9 и М'(\) = {х\х = {у},у 6 Мг(А)} — обобщенная параллелешшедальная сетка II типа. Ясно, что М(А) С М'(А), а для целочисленной решетки А имеем М(А) = М'(А).

Гладкая функция р(х), удовлетворяющая условиям о р(х + (еь ., ts)) = 1 при х £ GH р(х)= 0 при

1 1

J ■■■ J p(x)c2xi(^dx -1 -1 В (ai • . • <7s) г для любого a £ Rs называется весовой функцией порядка г с константой В.

Квадратурной формулой с обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода и весовой функцией р(х) называется формула вида 1 I

О о гДе ' Рх — £ Р(У)< ЛГ'(Л) = |М,(Л)|, у£Мг(А),{у\=х " погрешность квадратурной формулы. Для погрешности квадратурной формулы с обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода на классе Е" справедлива оценка

В,ща)(Е:(С)) = £ |Д„,(/)| < С • ВС^аУ^А|а),

1 ■■■х8)~а где

Ci{a) = 2«+1 (з + , Ся(ЛИ а - 1 / В случае целочисленной решетки Л имеем

Rn,[A)(E?(C)) = С ■ С//(А|п ). N'(A) = dot Л, /V- 1 \х Е Д/(А:). М'(А) = М(Л)

Для алгебраической решетки Л(£) = А, Л = {6(1),. ., G ZFg}, где Fs-чисто вещественное алгебраическое поле степени s, Zf4-кольцо целых алгебраических чисел поля Fs, F^ = Fs,. , набор сопряженных полей и для алгебраического 0 из Fs, набор его алгебраически сопряженных чисел, справедливы следующие результаты, полученные H. М. Добровольским, В. С. Ваньковой, С. Л. Козловой в работе [20] /л/ M ; ^/д M~\detA{t)) /lne"2(cletA(t))\

С я(А(0|а) = С (А, а) + О , .

- !)! ' л (w)

Г1-регулятор поля Fs, £ -означает суммирование по всем главным идеш) алам кольца Zfs,

N'{ А) = 2S det A(t) + Q(t) (~8A + 2 det A(22 + 10 In det A + 10 • s ln t)8,

6(f)|<l.

Пусть q(A) = min;?eA^|Q>j x\ •. . -xs — усеченный норменный минимум или гиперболический параметр решетки А. Справедлива обобщенная теорема Бахвалова [12] и «

Для алгебраической решетки А имеем q(A(t)) = (detA(f))(detA)-1, detA(?/) = f'detA, то есть существуют вещественные решетки M со сколь угодно большим детерминантом, для которых q(M) > С det M

8*) I \ / \

Пусть . ., соя - базис кольца ZFS и Со^ — ,., с^!- ) {] з) базис алгебраической решетки Л. Если целые ац [г.,] з) и А удовлетворяют условию г) «У t~S, то для любого достаточно большого t и решетки Ai(¿) с базисом . справедлива оценка [12; 15] g(A!(í)) > CidetAi(í).

Таким образом неравенство (8*) достижимо на классе рациональных решеток со сколь угодно большим детерминантом. Рассмотрим две функции

T*N(au .,а8)= Е1 П (l - 21п (2 sin ,

TN(ai. ••, as) = N¿ П (b N - 2 ln (2 sin (тг {^}))) •

H. M. Коробов [33] доказал, что необходимым и достаточным условием того, чтобы целые (ai,., as) были оптимальными коэффициентами, является существование констант = ¡3(s) и С\ = Cj(-s) таких, чтобы оценка

Тх{а{.r/J < .Y + Glif' .V выполнялась для бесконечной последовательности целых N.

В работе [67] Н. М. Добровольским и О. В. Родионовой доказана асимптотическая формула тцл) = N - (1 + 21пЛТ + NSN(3) - Ir(N) + 1 )'

2lr(N) + l)s - (2 In N + l)'s - 2s(lr{N) - In TV))), где

N 7Г2 0*(a, N) <

Л* - 1)1иЛ* ' ; 6' г(ЛГ) = 1пЛГ + 7-^.

Для доказательства этой асимптотической формулы использовались разложения функции

21п ^2 бш 7Г ПРИ к = 1,2,.,АГ- 1 в конечный ряд Фурье 21п ^б'штт {ту}) = Е С{т)е2жг^. V J / „г=-лг, где .V, = Гф1, ДГ, = [f 1 .

2 J ' ^ 11 L2

Рассмотрим произвольную квадратурную формулу с параллелепи-педальной сеткой (1*) при (a,j,N) = 1, (j — 1,. ., s) Для линейного функционала погрешности квадратурной формулы (1*) справедливо следующее выражение для его нормы

11 г> Г ли ^ + ■ ■ ■ + asm,) '

Известный алгоритм поиска оптимальных коэффициентов а по произвольному модулю N [33, стр. 148] основан на нахождении наименьшего значения функции

-^gHlnHSf • методом последовательного перебора всех а\,. ., a,si и, таким образом, требует 0(s2 ■ Аг'2) арифметических операций [1; 2; 3; 4].

При 5 = 1 легко получить полное решение задачи, так как при (а. Л') = аI имеем: т=—оо \'п\ т= 1 '" 777= 1 \ " / где (,(а) - дзета-функция Римана При а = 2п

2<12п((2п) .,¿$-4 (-1)"(2тг)2» /И* Г —1)п(27г)2га 1 ^ /а:

2(2п)! ЛГДГЙо

-1)"(2тг)2- В2п(0) (—1)п+1 (2тт)2пВ-2Пс12г

2(2 п)! (Д//^)2" 2(2п)\М2п в силу теоремы умножения берн}шлиевых многочленов [8, стр. 270]. Отсюда, в частности, следует известное тождество

1)п~1 (2-к)2п

С(2 ") = —2(2»)! (п = 1'2'-'-)

Следующий по сложности случай я = 2 при прямом использовании форлхулы (4*) для поиска оптимальных коэффициентов требует 0.(А^2) арифметических операций сложения и умножения.

И. Д. Кан в своей кандидатской диссертации "Рекуррентные последовательности и их приложения", в частности, рассмотрел вопрос о существовании алгоритма вычисления величины Н(а1М) за 0(1пАГ) арифметических операций. Он показал, что такой алгоритм существует, но его явный вид не был найден. Актуальность построения такого алгоритма связана с тем, что вычисления величины Н(а,1V) за 0(1п7У) арифметических операций позволяет за О (А" 1п Аг) арифметических операций находить наилучшую параллелепипедальную сетку из N точек для квадратурных формул вида (1*) на классе Е2.

Краткое содержание работы

Первая глава посвящена квадратурным формулам по обобщенным параллелепипедальным сеткам и п -среднему преобразованию.

В §1 рассматриваются классы Е"(С), (а > 1) и Е''{С,Су), (а > 1) периодических фз^нкций f(xl,. . .,х8) с периодом 1 по каждой переменной. для коэффициентов Фурье которых в разложении в ряд Фурье оо

Я1,., х8) = £ С\ти ., .

Ш1,.,т8=—оо собственно выполняются неравенства:

С{т) | <С ■С[{Л\гЩ- .-гщу(\ где г(т) — количество ненулевых ти( 1 < V < й). С использованием формулы

7Г4С2 (6 - 7Г2С')7Г2С

Л',С) = - 1) + . выведенной в лемме 1.1.1 доказывается Теорема 1.1.1. Пусть ац определено из условий

1 < а0 < N

К АО = 1

Н(а{). X) = пш! Н(а,Ю

4 7 ' 1 <а<Лг 4 7 ' а,Лг) = 1 тогда для квадратурной формулы (1) при достигается минимум ае.л.ичин и для любого С > 0.

Далее показано, что если подходящие дроби к ^ и Н^ =

Я(Рь (¿к), то Нк можно выразить через степенные суммы с дробными долями 1 X У ¡РкХ\в а именно справедлив следующий результат: Теорема 1.1.2. 'Справедливо равенство

Чк

Во втором параграфе рассматривается связь между погрешностью приближенного интегрирования по квадратурным формулам с парал-лелепипедальными и комбинированными сетками.

Для

N) = sup \RN[f}\ ./Ук / "¡D погрешности приближенного интегрирования на классе Е",п по квадратурной формуле с параллелепипедальной сеткой справедливо следующее:

Теорема 1.2.1. При (N,n) = 1 выполняется равенство

Для квадратурной формулы с комбинированными сетками Н.М.Коробова, которые являются обобщенными параллелепипедальными сетками с целочисленной решеткой с детерминантом равным Nns, наряду с интерпретацией, как квадратурной формулы с прямым произведением параллелепипедальной и равномерной сеток, предложена другая интерпретация, как квадратурной формулы с параллелепипедальной сеткой для п -среднего преобразования интегрируемой функции, где «-среднее преобразование произвольной функции задается равенством g(x) = ~ Е / {{х\ + —},., + —)), п ki,.,ks=0 U П) I П\) и используя лемму 1.1.2 доказана Теорема 1.2.2. ns — 1 соотношений 0)= Е С(п-т + к)=0 то=—оо

О <кр<п-1 (г/ = 1,.,в) к^б) выполнены тогда и только тогда, когда /(х) = /(0) для любого X = (ку/п,., к8/п) {0<К<П~1 {V = 1,., в)).

Вторая глава посвящена выводу рекуррентных формул второго порядка для степенных сумм дробных долей.

В §1 доказаны леммы 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, позволяющие вычислить с помощью рекурсивного алгоритма за О ((а + 1)(/3 + 1)к) операций.

В §2 доказаны теоремы: Теорема 2.2.1. При к < 2 для Б^1 справедлива рекуррентная формула fc-l«. /П. ,\2 /ГЛ. \2 1,1 1 , ИГЧ , т V ,1,1 , (Як-2\ ,1,1

Як-1 , Як-2{Як-1~Як-2) , (-1)к-1Чк(Як-2-з>Як-1) щ\ + 12д| п по индукции, с применением предыдущего утверждения Теорема 2.2.2.При к > 0 справедлива формула и 1 , 3 (-1)^,-1 + рк к 4 Т 12Як + 12(Д

Тем самым решена проблема вычисления Б^1 за О (к) операций через непрерывную дробь а/И.

Другой метод получения рекуррентных формул, связывающих

Б^ С (0 < Л < се, 0 < V < /3, Л + V < а + (3) и

Б^ (0 < Л < а + [3 - 1, 0 < V < /3, А + V < /3 + а) основан на развитии так называемого рекуррентного метода суммирования степеней натурального ряда и был получен в §1 третьей главы.

Где утверждается следующее

Теорема 3.1.1. При а > 1, /3 > > 1 справедливо рекуррентное равенство qa,p Як (гра+1,13 (Як~~\\а+1 Щ+\{Як) а+ 1)Я„-Ук + ор1 га+1 ,/3 .

1 - (^Р) 1 + 1 ^— I УГ + гГ 'р + П к которая вместе с леммами 3.1.2 и 3.1.3 дает новый алгоритм вычисления за 0((а+ 1)(/3 + 1 )к) арифметических операции, а значит и вычисление функций Н{а, ТУ) требует 0(1пЛ?") арифметических операций. гга+1,0 т га+1,/3 гуа+1,8 т^а+1 ,¡3 ГГ1

Определение величин 1к , ук ,Ук дано на страницах 50,

51 диссертации. •

Из теоремы 3.1.1 при /3=1 получено следующее рекуррентное соотношение:

Теорема 3.1.2. При а > 1, к > 1 справедливо равенство ПУ (Як-\\ ы+1 , (-1) Л Ги Ву+2(Як-]

2^ 1 п ¿к-1 ' гл 1 П/у+2 и=О V Чк ) Чк-1 ¿,=0 к а+11 яи) к~1 + яы-1 к а+1 У Як) ~я^ 1 [Як-Ла+1 I - , 1

Як \ Як / 2 (¿к 2

7 112 13 12 2

Цля нахождения явных формул для , , , вводятся новые а.в д а, к И ¿V величины и Д^, определенные формулами: а,в па,[3 1 да,/3 па,(] <=,1,1

Определение их позволило существенно упростить выкладки и довести всю программу вычислений до конечной цели — нахождения явных выражений. Последовательно это реализовано в виде цепочки следующих результатов во §2 третьей главы: Теорема 3.2.1. Для величин 1 к к 2 (а + 1) - ' справедливо равенство

А ^ /<Эл:-1 , Л Гу В1+2{Як-\,

1 п ^к-1 "Г п а +1

1/=1 \ Чк / Чк~ 1 ;у=0 Ч^о- //") \ а + 1-г^

Г1" Чк-1 \ С^1 I г^Чо»] ^+

-1)'-1«+1„„ в^ш , (-1)4 /«+; ^ ло+1-у " г^+1 у "у > I V / [ ^ А —1 . 1 а+\Чк~\ гла+2 ' ^п + 1 "Г 1 '

Теорема 3.2.2. Справедливо равенство к

4 + ' 12(5, + 12^1 и = к{~1Г~1(1к 3 + (-1)^1 (-1)^-1 + Рк к 12<Э* 8<Э* + 12СЛ

Здесь другим способом был доказан основной результат §2 этой главы, а затем были найдены явные формулы для б^'1 и б','1 Теорема 3.2.3. Справедливо равенство

2д=1 к{~1у~1(1к з+с-1)^-1 (-1)к~1(Эк-1+Рк+1 к 6+ 12<Эк 8<& + 12д|

Теорема 3.2.4. 'Справедливо равенство к , . , чзд 1 'Л 3+ (-1)*-1 - о + "

12(), 8<Эк ((-1)к-1Як-1 + Рк 1'\ -ЗП + (-1)^11 <21 { 12 + 8) + 120<# 1

3 1 £ (-1 УЫЯ1 + Я,Яи-2 + Я1-2) - ] .

120ф

После доказательства теорем 3.2.2. 3.2.3 и 3.2.4 все необходимые со

2 2 ставные для вычисления найдены, и в §3 получены следующие результаты:

Теорема 3.3.1. При а + (3 > 0 справедливо равенство ^ \ ^ —

1 Л я?

Як а + 1

0<А</3 , 0<1/<а I Л+у<а+/3 X

-I)-7 ^ 2 е

О < Л < /3 0<|/<а + 1 X

7-1 \ &

-1 да+1

-1) 1

1 + (-1у-г о»

Я 3-1 ) ) Я 3-1 \\ 2 Теорема 3.3.2. Справедливо равенство Я

С2.2 1 , к , ч 1 \

Е (-1)^4 о , / 144-1 у= 1

12 з+(-1У

4 ч\

1 /5 + к (-1)к~1Як-1+рк 1 л ^^

--+ — Ы"1) Ях-1рх + Ъ

А—1

Я1 \ 36

12

18л=1

Я1-2Рк-2Рк {~1)к'~1ЯкЯк-2Рк-2

90

90 к-1 (1)А-1 \

- Е (РхЯх+РхЯх-2 + ЯХ-2РХ--2) + х=\

90

3 + | И)АЫ01 + ЯхЯх-2 + <Й2) - 5дА^л-1))

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.:Наука,1986.

2. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов. //Вести. Моск. ун-та, N4(1959), с.3-18.

3. Бахвалов Н. С., Коробов Н. М., Ченцов Н. Н. Применение теорети-кочисловых сеток к задачам приближенного анализа. Доклад на IV математическом съезде.

4. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

5. Быковский В. А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов // Препринт. Хабаровск. 199-5, с. 1 13.

6. Воронин С.М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. N 5, с. 189 194.

7. Воронин С.М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. матем. 1995. Т. 59. N 4.

8. Воронин С.М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Матем. заметки, 1989, Т. 46, N 2, с. 34 41.

9. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей.- М.: Наука, 1967.

10. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решеток. -Деп. N6090 84, ВИНИТИ.

11. Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллеле-пнпедальных сеток. Деп. N6089-84, ВИНИТИ.

12. Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Е"(с) и Щ{с). Деп. N6091-84, ВИНИТИ.

13. Добровольский Н. М. Теоретикочисловые сетки и их приложения. Диссертация . канд. физ. мат. наук. - Тула, ТГПИ 1984

14. Добровольский Н. М. Теоретикочисловые сетки и их приложения. Автореферат Москва, МГПИ, 1985

15. Добровольский Н. М. Теоретикочисловые сетки и пх приложения.// Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Теория чисел и ее приложения". Тбилиси, 1985 с.67-70

16. Добровольский Н. М.,Ванькова В. С. Об одной лемме А.О. Гель-фонда. Деп. ВИНИТИ, N 1467-В87

17. Добровольский Н. М., Ванькова В. С. О гиперболической дзета-функции алгебраических решеток. //Сб.: Теория чисел и ее приложения. Тезисы докладов республиканской конференции. г.Ташкент, 1990 с.22

18. Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. Л. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решеток.- Деп. ВИНИТИ, N 2327-В90

19. Добровольский Н. М., Ванькова В. С. Численный эксперимент по применению Параллелепипедальных сеток. //Сб.: Алгоритмические проблемы теории групп и подгрупп. Тула, 1990 с. 153-155

20. Добровольский Н. М., Клепикова Н. Л. Таблица оптимальных коэффициентов для приближенного вычисления кратных интегралов.// Препринт 63. ОРИАН СССР. Москва 1990.

21. Добровольский Н.М., Манохин Е.В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.З, с. 56-67.

22. Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел. //ДАН СССР 115, N6(1957), с.1062-1065.

23. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов. // ДАН СССР. 1959. Т.124, N6. с.1207-1210.

24. Коробов Н. М. О некоторых теоретикочисловых методах приближенного вычисления кратных интегралов (резюме доклада на Моск. матем. об-ве). //УМН 14,2(86) (1959), с.227-230.

25. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов. //Вестн. Моск. ун-та, N4(1959), с.19-25.

26. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов. //ДАН СССР 132, N5(1960), с. 1009 1012.

27. Коробов Н. М. О применении теоретикочисловых сеток. //Сб. Вычислительные методы и программирование. МГУ, 1962, с.80-102.

28. Коробов Н. М. О теоретикочисловых методах в приближенном анализе. //Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. Машгиз, 1963.

29. Коробов Н. М. О некоторых задачах теории чисел, возникающих из потребностей приближенного анализа. Сообщение на IV математическом съезде.

30. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

31. Коробов Н. М. О некоторых вопросах теории диофантовых приближений. //УМН, т.22,3 (135), 1967, с.83-118.

32. Коробов Н. М. О вычислении оптимальных коэффициентов. //ДАН СССР 267, N2, 1982, с.289-292.

33. Коробов Н.М. Об одной оценке А.О.Гельфонда // Вестн.МГУ. Сер. 1.Математика, механика. 1983. N3. с.3-7.

34. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения.- М.: Наука, 1989.

35. Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками.// Математические заметки. 1994. Т.55, вып.2, с. 83-90.

36. Коробов Н.М. О теоретико числовых методах приближенного интегрирования // "Историко - матем. исследования". С.- Пб. 1994. Вып. XXXV. с. 285-301.

37. Лев В.Ф. Диофония и квадратичные отклонения многомерных сеток // Мат.заметки. 1990. - 47, N6. - С.45-54. - Рус.

38. Локуциевский О. В., Гавриков М. Б., Начала численного анализа. М.:ТОО "Янус" 1995.

39. Никитин А. Н., Русакова Е. И., Пархоменко Э. И. Иванкина Т. И., Добровольский Н. М. О реконструкции палеотектонических напряжений по данным о пьезоэлектрических текстурах горных пород. //Известия АН СССР, Физика Земли, N 9, 1988 с.06-74

40. Никитин А. Н., Русакова Е. И., Пархоменко Э. И. Иванкина Т. И., Добровольский Н. М. Reconstruction of Paleotectonic Stresses Using Data on Piezoelectric Texstures of Rocks. //Izvestiya Earth Physics vol 24 No 9 1988, c.728-734

41. Скриганов M.M. Решетки в полях алгебраических чисел и равномерные распределения по mod 1. Препринт ЛОМИ Р-12-88, Ленинград, 1988.

42. Скриганов М.М. Равномерные распределения и геометрия чисел. Препринт ЛОМИ Р-6-91, Ленинград, 1991.

43. Skriganov М.М. On integer points in polygons, Ann. Inst. Fourier, 43, No. 2 (1993), 313-323.

44. Skriganov M.M. Constructions of uniform distributions in terms of geometry of numbers, Prepublication Inst. Fourier (1992), No. 200; Algebra Analiz. 6, No. 3 (1994), 200-230; Reprinted in St. Petersburg Math. J., 6, No. 3 (1995), 635-664.

45. Skriganov M.M. Ergodic theory on homogeneous spaces and the lattice point counting for polyhedra, Dolclady RAN, (1996) .

46. Skriganov M.M. Anomalies in spectral asymptotics, Doklady RAN, 340. No. 5 (1995), 597 599; English transl.: Doklady Mathematics, 51, No. 1, (1995), 104 - 106.

47. Skriganov M.M. On the Littlwood Paley theory for multidimensional Fourier series, Zap. Nauchn. Semin. POMI, 22G, (1996), 155 -169; English transl.: Journal of Math. Sciences (Plenum Publish. Corporaton).

48. Соболев С.Jl., Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

49. Солодов В. М. О вычислении кратных интегралов. //ДАН СССР 127, N4(1959), с.753-756.

50. Сушкевич А. К. Теория чисел.- М.: 1949.

51. Темиргалиев Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных // Матем. сб. 1990. Т. 181. N 4, с. 490 505.

52. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций. //ДАН СССР 231, N4, 1976, с.818-821.

53. Фролов К. К. О связи квадратурных формул и подрешеток решетки целых векторов. //ДАН СССР 232. N1, 1977, с.40-43.

54. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. Диссертация. М., 1971.

55. Хинчин А. Я. Цепные дроби.- Харьков. 1956.

56. Davenport Н., Note on irregularities of distribution, //Mathematilca 3(1956), p.131 135.

57. Hua Loo Keng, Applications of Number Theory to Numerical Analysis,Springer-Verlag Berlin, 1981.

58. Larcher G., Niederreiter. Optional coefficients modulo prime powers in the three-dimensional case //Ann.mat.pura ed appl. 1989. -N155.C.299-315.

59. Добровольский H. M., Родионова О. В. Квадратурные формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками. //Сб.:"III Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", Тула, 1996 с. 47-48

60. Добровольский Н.М., Родионова О.В. Квадратурные формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками // Изв. ТулГУ. Сер.104Механика. Математика. Информатика. Тула, 1996. Т.2.Вып. 1, с. 7171.

61. Добровольский Н.М., Родионова О.В. Об одном конечном ряде Фурье и его приложениях // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4.Вып.3, с. 68-79.

62. Добровольский Н.М., Есаян А.Р., Пихтильков С.А., Родионова О.В., Устян А.Е. Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1999. Т.5.Вып.1, с. 51-71.

63. Родионова О. В. Рекуррентные формулы первого порядка для степенных сумм дробных долей //Сб.:"Всероссийская научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула, 2000 с. 50-51