Приложение метода оптимальных коэффициентов к численному решению уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

В [13] Н.М.Коробов предложил метод численного интегриЫрования функций класса Е 5 /в - целое положительное, сЛ > ^ - вещественное/, т.е. функций, определённых на единичном кубе = Ео,*/] , коэффициенты классического ряда чурье которых ито (И1'Х1 + . + и5 ос5)

- ^

С И<,.И& & удовлетворяют неравенству

I Си,. и$ I * сб С Я,. Ws) 9 где Иу - kytcox^ (4, lui) и Сб не зависит от Vi-L . Н.М.Коробов построил куб&турные формулы с помощью сеток, узлы которых получаются из теоретико-числовых соображений. Погрешность приближённого интегрирования функции f класса

В s с помощью замены интеграла средним значением в узлах оптимальной параллелепипедальной сетки на р узлах есть величина

04 Р"1 WP ), (i) где У не зависит от р и £ . Оценка (I) на классе Е* при любом выборе сеток может быть улучшена лишь на логарифмический множитель.

Предложенный метод был назван методом оптимальных коэффициентов /"оптимальные коэффициенты" - некоторый набор целых чисел, определяющий сетку/; он изложен в [16],

Liv] .

Ряд работ по теории оптимальных коэффициентов и её приложениям принадлежит Н.С.Вахвалову /см. [I], [2]/.

Рассмотрим класс / о(>Д - целое/ функций определённых на и таких, что производная

Р и«)

4- ы.

-х1 . -х5 и подчинённые ей существуют и непрерывны на /вплоть до границы/. Реализуя одно замечание Н.Н.Ченцова И, И.Ф.Шарыгин [39] расширил область применимости метода оптимальных коэффициентов до класса И5 , предложив периодизирующую замену переменных, преобразующую непериодическую функцию класса Н5 в функцию класса Ьз • Вопросами периодизации занимались также Н.С.Бахвалов и Н.М.Коробов.

В.С.Рябенький [29] и С.А.Смоляк [32[] показали, что оптимальные коэффициенты могут быть применены при аппроксимации функций класса Е^ . В работе [[29] предложено

Л гприближенно вычислять коэффициенты Фурье функции методом оптимальных коэффициентов и определять аппроксимирующий тригонометрический многочлен равенством г) где С-и-,.-^ - полученные указанным способом приближённые коэффициенты Фурье. При этом требуется знание значений £ лишь в узлах оптимальной параллелепипедальной сетки.

Распространяя естественным образом определение класса Н^ на ограниченные замкнутые области в Ц^ , В.М.Соло-дов [34], используя оптимальные коэффициенты, построил для функций класса И5 , производные которых известны, кубатурные формулы на некоторых областях, отличных от Сг5 . Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром, задающим сжимающий интегральный оператор, можно, как известно, решать методом итераций. В [1б] Н.М.Коробов предложил считать возникающие при этом интегралы на кубах £5 /с растущим 5 / с помощью оптимальных коэффициентов. В [14] для случая, когда интегральный оператор не является сжимающим, построен коллокационный метод со слоями ядра в качестве базисных функций и с точками оптимальной параллеле-пипедальной сетки в качестве узлов коллокации.

При решении методом итераций интегрального уравнения

Вольтерра второго рода приходится считать интегралы ос о О о по многогранникам специального вида /К - ядро/. В этом случае Ю.Н.Шахову [40], [41^ удалось построить теоретико-числовые кубатурные формулы, не использующие производных заданных функций.

Теоретико-числовые методы аппроксимации, решения интегральных уравнений и нахождения собственных значений интегральных операторов исследовались также в [9Д, [22], [27], [42], [45], [46], [47].

В [16], § 12, приведён пример применения оптимальных коэффициентов к приближённому решению уравнений в частных производных. Собственно говоря, в [1б] решается не какая--нибудь краевая задача, а ищется периодическое решение уравнения Пуассона с периодической правой частью. Правая часть заменяется аппроксимирующим тригонометрическим многочленом В.С.Рябенького, после чего легко вычислить приближённые коэффициенты Фурье решения /кроме коэффициента с нулевыми индексами, который остаётся свободным/.

В работе В.С.Рябенького £30Д оптимальные коэффициенты применяются при решении задачи Коши для эволюционного уравнения, решение которого периодично по всем пространственным переменным. Эта задача приближённо сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Я.М.Жилейкин в [в], [ю] использовал явное интегральное представление решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, считая возникающие при этом интегралы с помощью оптимальных параллелепипедальных сеток. Также к счёту интегралов свёл В.Т.Стоянцев [Зб| задачу Коши для параболического уравнения с пространственно-периодическим решением, заменяя её эквивалентным интегральным уравнением.

Характерной чертой перечисленных выше методов решения задач вычислительной математики, использующих оптимальные коэффициенты, является то, что оценки их погрешности практически не зависят от размерности /на классах Н5 /и улучшаются с возрастанием гладкости входных функций.

Настоящая диссертация посвящена приложениям метода оптимальных коэффициентов к численному решению краевых, начально-краевых и некорректных начальных задач для уравнений в частных производных. Никакой периодичности решения, коэффициентов уравнений или правых частей не предполагается.

Диссертация состоит из трёх глав.

Первая глава носит вспомогательный характер и содержит леммы, необходимые для дальнейшего изложения. Она начинается параграфом, содержащим нужные нам сведения о методе оптимальных коэффициентов и о двух видах классических ортогональных многочленов - ультрасшерических и многочленах

Эрмита. В § 2, 3 оценивается погрешность ^ и вычисления коэффициента по си°теме ортогональных многочленов с помощью оптимальных коэффициентов I ~ приближённое значение ^ , полученое с помощью оптимальной параллелепипедальной сетки на р узлах/. Как следствие, в § 2 для функции £ , определённой на А и принадлежащей классу Н5 , и для аппроксимирующего ряда по многочленам Лежандра Ри & - параметр, сравните с (21 / получается оценка погрешности аппроксимации

4)

Отметим, что при оптимальном выборе в (4) параметра 0. , х р 3 , имеем оценку

Н-?16= 0Чр"*+вЬО), (5) где в (о1) ограничены равномерно по оС /.

Основной по содержанию и по объёму является глава II. В ней описывается использующий теоретико-числовые сетки Н.М.Коробова вариационный метод решения задач для уравнений в частных производных. Если решается корректная дифференциальная задача на кубе где Ыу - элемент линейного нормированного пространства решений И , £ - элемент гильбертова пространства правых частей ? , /.г З1 - линейный дифференциальный оператор, то мы заменяем все переменные коэффициенты оператора и все переменные компоненты правой части /определённые на кубах размерности ^ £ / аппроксимирующими их рядами по многочленам Лежандра, строящимися, как в главе I. Полученная таким образом приближённая задача i * - & проектируется на конечномерное подпространство % в % , после чего решается методом наименьших квадратов /см. [25], гл. X/, т.е. в качестве приближённого решения берётся элемент £ 11> , минимизирующий на 11, квадрат нормы невязки ii 1«-П\.

Эта схема реализуется в § 1 - 3 главы II в применении к краевым задачам для эллиптического уравнения второго порядка и к первой начально-краевой задаче для гиперболического и параболического уравнений второго порядка. Предполагается, что коэффициенты задачи (6) лежат в классах, близких к Н / £ ^ 5 /, а решение ¿6 - в классе, близком к Н •

В качестве пространств <3^ берутся пространства С.Л.Соболева, подходящие по смыслу задачи /см. £20] или

24]/.

В § 4 мы показываем, как метод может быть применён в случае области, отличной от параллелепипеда, в предположении, что решение, коэффициенты и правая часть задачи гладко и согласованно продолжаются на объемлющий куб. Там же мы показываем, как искать аналитические решения, и приводим результаты численных экспериментов по нахождению аналитических решений задачи Ноймана для уравнения Гельмгольца.

Наши оценки погрешности во всех случаях /кроме случая аналитического решения/ имеют вид для нахождения "С нужно затратить

8) арифметических операций, необходимая память ЭВМ р з + -Vх) (9) чисел, где ©¿(«¿) ограничены равномерно по . Из (7), (в) и (9) видно, что предложенный алгоритм реагирует на гладкость без существенного увеличения объёма вычислений и памяти. При этом объём вычислений и объём необходимой памяти ЭВМ лишь несущественно зависят от размерности. Все эти свойства обеспечиваются, во-первых, аналогичными свойствами метода оптимальных коэффициентов, а во-вторых, тем, что скорость сходимости рядов Фурье - Лежандра также реагирует на гладкость разлагаемой функции.

В третьей главе мы предлагаем условно устойчивый численный метод /в двух вариантах/ решения задачи Коши для уравнения Пуассона - естественного обобщения задачи Коши для уравнения Лапласа, важной для геофизики и в некоторых других прикладных областях.

Задачу Коши для уравнения Лапласа иногда сводят к интегральному уравнению первого рода /см. [18], гл. II/, иногда решают с помощью удовлетворяющих некоторым специфическим определениям аппроксимации и устойчивости разностных схем /см. [4], [37], [38]/, иногда решают методом квазиобращения, что подразумевает опять-таки применение разностных схем /см. [21], гл. 4/.

В предположении большой гладкости решения мы решаем задачу Коши для уравнения Пуассона с помощью разложения в ряды по ортогональным многочленам. Быстрая сходимость таких рядов, коэффициенты которых вычисляются с помощью оптимальных параллелепипедальных сеток, позволяет максимально использовать гладкость, что в какой-то степени компенсирует неустойчивость задачи. Так же, как и в [38] /случай далёких особенностей/, нам не приходится применять специальные мероприятия по регуляризации, но алгоритм оказывается регуляризирующим в смысле А.Н.Тихонова [Зб], гл. II.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [II], [12].

Условимся о некоторых обозначениях.

Знак И.М.Виноградова употребляется наравне с & . Запись { означает, что ^ ^ и ^ ^ }

Мы часто для краткости будем писать ОС вместо xiJ.)<Ks) > (-X) t) вместо (oc1),.)'XS) -b) , cUc вместо <koC"i doce,

Обозначения, связанные с ортогональными многочленами: Руь - многочлен Лежацдра, ^ - ультрасферический многочлен, Я^п, - многочлен Эрмита, - ортонормированный многочлен Эрмита,

Ри1-. Vls&) ~ Рк-, te-,)-. Pvts^sh r-j ÍA) í/) nü) y Vi,. nsL*) = У^М- (**), Hi. ns te) = h и* M Ans bcs) и т.п.

Для целого Vü K> означает WUfcc \уь\).

Через У/ мы обозначаем пространство С.Л.Соболева функций, имеющих в данной области обобщённые производные j \ / до ¿'-ого порядка, принадлежащие . Через обозначается пространство функций, имеющих в обобщённые производные первого порядка по пространственным переменным.

Формулы нумеруются отдельно в каждой главе. Ссылка на j, -ую формулу другой, I -ой, главы имеет вид (l7 j,) , а на формулу той же главы - просто (j) . Аналогичное соглашение действует в отношении ссылок на номера параграфов.