Квадратичное отклонение плоских сеток тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ВРОНСКАЯ Гульнара Ташканбаевна

Квадратичное отклонение плоских сеток

Специальность 01. 01. Об. — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре теории чисел математического факультета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Добровольский Николай Михайлович

Официальные оппоненты:

Чубариков Владимир Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор Горкуша Ольга Александровна, кандидат физико-математических наук

Ведущая организация:

Владимирский государственный педагогический университет.

Защита диссертации состоится 'п мая 2005 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, аудитория 301.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского педа гогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д.1.

Автореферат разослан апреля 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В 1957 году вышла первая работа Н М Коробова — "Приближенное

tti

вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел , с которой начинается отсчет в становлении теоретико-числового метода в приближенном анализе Краткая история возникновения этого метода содержится в его статье "О теоретико-числовых методах приближенного интегрирования"2 Теоретические предпосылки теоретико-числового метода восходят еще к работе Г Вейля 3, вышедшей в 1916 году, в которой содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1

Цель первой главы — реализация метода усреднения Н М Коробова для доказательства существования оптимальных коэффициентов для любого составного модуля N

В 1991 году профессорами Н М Коробовым и В И Нечаевым на семинаре в МГУ при обсуждении кандидатской диссертации В С Вань-ковой 4 была поставлена задача о вычислении квадратичного отклонения плоской сетки Хэммерсли В работах В С Ваньковой, в частности, исследовалось среднее арифметическое квадратичных отклонений модифицированных сеток Хэммерсли — Рота и были получены оценки сверху для этого среднего Задача Коробова — Нечаева подразумевала и получение асимп готической формулы среднего для плоских сеток

Цель второй главы — получение быстрых алгоритмов вычисления значений величин важных характеристик качества полных сеток Хэм-мерсли Н2(Х(Р)) и D2(X(P)) за 0(1пР) арифметических операций, аналогичных алгоритмам из работы "Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов"5 для вычисления а также

решение задачи Коробова — Нечаева для полных плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота

1 Коробов Н М Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел //ДАН СССР 1957 № б С 1062-1065

2 Коробов Н М О теоретико-числовых методах приближенного интегрирования // Историко-матем исследования СПб 1994 Вып XXXV С 285-301

3Weyl H Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Ems // Math Ann 1916 Bd 77 S 313 352 (пер в кн Вейль Г Математика Теоретическая физика М Наука, 1984)

4Ванъкова В С ,Добровольский Н М , Есаян А Р О преобразовании многомерных сеток Дел в ВИНИТИ 22 01 91 N 447 - 91

5Добровольский Н М , Есаян А Р, Пихтильков С А , Родионова О В , Устян А Е Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ Сер Математика Механика Информатика Т 5 Вып 1 Тула, 1999 С 51-71

В конце 80-х и в первой половине 90-х годов С М . Воронин выполнил серию работ по применению теории дивизоров к вопросам построения оптимальных квадратурных формул. В частности, в двумерном случае было показано, что теория целых гауссовых чисел может быть успешно применена к построению плоских параллелепипедальных сеток.

Цель третьей главы — построение быстрых алгоритмов вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина и решение задачи Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальных сеток, что позволит сравнивать полученные результаты для двух разных типов сеток.

Научная новизна работы

Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

— найдена асимптотическая формула для среднего основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальным сеткам для любого составного модуля

— построены быстрые алгоритмы вычисления величин количественных характеристик качества полных сеток Хэммерсли: Н2(Х(Р)) и

арифметических операций;

— решена задача Коробова — Нечаева для полных плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота;

— построены быстрые алгоритмы вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина;

—решена задача Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальных сеток.

Методы исследования

В работе используются методы теории цепных дробей, теории конечных разностей, теории сравнений, теории целых гауссовых чисел и геометрии чисел.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по цепным дробям и по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа, а также в теории плоских решеток и сеток.

Апробация работы

Результаты настоящей диссертации докладывались автором на следующих семинарах:

— научно-исследовательский семинар "Теория аппроксимации" под руководством профессора В. И. Иванова в Тульском государственном университете;

— научно-исследовательский семинар "Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений" под руководством профессора В. Н. Чуба-рикова в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова;

— научно-исследовательский семинар "Теоретико-числовые методы приближенного анализа" под руководством профессора Н. М. Добровольского в Тульском государственном педагогическом университете им. Л. Н. Толстого;

— научно-исследовательский семинар "Аналитическая теория чисел" под руководством профессора Д. А. Митькина в Московском педагогическом государственном университете;

— всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" в Тульском государственном университете. Тула, 2002.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация изложена на 104 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 78 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена сравнениям, суммам и произведениям по приведенной системе вычетов, решению вопроса о получении асимптотической формулы для среднего основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальным сеткам для любого составного модуля N.

В 1959 году Н.М.Коробов в работе "Вычисление кратных интегралов

методом оптимальных коэффициентов"6 ввел сетки вида:

где Й = (сц.....й5), а1,...,а5 - целые числа, взаимно простые с N.

Такие сетки он назвал параллелепипедальными.

взаимно простые с N ("V = и 6)\|(Ь) — символ Коробова, задан-

ный равенствами

МЬ)

еслиЬ ф О(тосМ) еслиЬ = 0 (пкнШ)

Основной мерой качества набора Ъ = (г^,...,^), где ..., Ъь

произвольные целые, называют сумму

Согласно определению, если существуют константы (5 = и

В = В (в) такие, что для некоторой бесконечной последовательности значений N выполняется неравенство

то целые О.],... , а3 называются оптимальными коэффициентами индекса 3 по модулю N1, а соответствующие им сетки М(й,М) — оптимальными параллелепипедальными сетками.

Для <т(М) - среднего арифметического основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальным сеткам, заданного равенством

намп была получена асимптотическая формула для любого составного модуля N.

бКоробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 19-25.

7Здесь ^ означает суммирование по системам (т,т,... ,ТПв] ф (0,... ,0).

Следствие 7. Справедливо асимптотическое равенство

Во второй главе рассматриваются степенные суммы с периодизиро-ванной функцией ван дер Корпута — Хэммерсли

где а > 0, |3 > 0 и 0 < к < К.

При фиксированном натуральном р > 1, натуральном Ь. ^ 1, Р = периодизированная по модулю Р функция ван дер Корпута — Хэммерсли х(т) = Х(н)(т) задается равенствами

где для произвольного натурального Т множество А(Т) = {0, ... ,Т— 1}. О качестве произвольной полной двумерной сетки Хэммерсли

в сравнении с произвольными плоскими параллелепипедальными сетками М^Ц^М) I Л.' I Г Л 1 I '\ ' Г Т ГП, ТТП 1Ь 'Г ТП Т ТГI П ' (IIVI г т г тг тг

р_^ 2

Н2[Х(Р)) = ^£(1-2^ (1 — 2х(к))2,

для вычисления которой по определению требуется О(Р) арифметических операций.

Нами были построены быстрые алгоритмы вычисления величин количественных характеристик качества полных сеток Хэммерсли Н2(Х(Р)) за арифметических операций.

Теорема 13. Справедливо равенство

Другой важной характеристикой произвольной двумерной сетки Хэм-мерсли является квадратичное отклонение, которое задается формулой

где х(х^) = ' х(*2> ^г) ~~ характеристическая функция прямо-

угольника

1 при 0 ^ х < 1,

х(м) =

О при X ^ [0;

- характеристическая функция промежутка

Непосредственное вычисление по определению квадратичного отклонения требует 0(Р2) арифметических операций.

Для построены быстрые алгоритмы вычисления величин

количественных характеристик качества полных сеток Хэммерсли за арифметических операций, доказана следующая теорема. Теорема 16. Справедливо равенство

Для плоских модифицированных сеток Хэммерсли— Рота

справедлива

Теорема 17. Для среднего арифметического квадратичных отклонений модифицированных сеток Хэммерсли — Рота справедливо равенство

СТ2(Х(Р))--180^- 8 4Р~ 72Р^'

В третьей главе рассматриваются двумерные сетки Воронина, построенные с помощью целых гауссовых чисел.

По определению, целочисленной решеткой Л(с|) для целого гауссова числа с| = + Цгх с нормой 1Ч(д) +

I называется

А(д)

у) е ъ

21 (х>у) = (ПЧ1 -пи^пчг + пип),' Кт]е22

и имеет базис А1 = (с[1, (^2)> — (—42» Й1)-

Взаимная решетка А*(с]) задается формулой

и имеет взаимный базис

Обобщенной параллелепипедальной сеткой М(Л) целочисленнойре-шетки А С К8 называется множество

Плоскую обобщенную параллелепипедальную сетку М(А(ц)) для произвольного ненулевого целого гауссова числа Ц называют двумерной сеткой Воронина.

Обозначим : Ро,..., Рп ~ числители, а Ql,..., (Зп — знаменатели подходящих дробей к цепной дроби

Нами в работе были получены следующие явные формулы для описания сеток Воронина.

Теорема 18. Для любого целого гауссова числа Ч = С| 1 + С^ = ¿С)',

двумерная сетка Воронина

имеет представление

М(А(ч))

Р1

(др( + дрОр, р2 сМ(д') а

о ^ р2< а \

Теорема 19. Для любого целого гауссова числа = ф + Ч2Т- = ¿Щ', С)' = + 0^., ф ф 0, (\2 Ф 0 двумерная сетка Воронина имеет представление в виде произведения сжатой параллелепипедальной сетки и равномерной сетки

где

О качестве обобщенной параллелепипедальной сетки М(Л) целочисленной решётки Л можно судить по величине

которая является приближенным значением интеграла от гладкой периодической функции

разложение которой в ряд Фурье в комплексной форме можно записать в виде

где

Из этих формул следует, что

Н2(М(Л)) = £

тёЛ

>1

и вычисление величины арифметических

операций.

Получены явные формулы для плоских сеток Воронина и вычисление Нг(М(Л(ч))) сведено к вычислению Н2(М(а,М)) с подходящими значениями а и N. откуда получены быстрые алгоритмы вычисления величины арифметических операций.

Теорема 20. Справедливо равенство

Теорема 21. При (Й^(д')) = 1

справедливо равенство

Кроме того, в п.3.4 рассматривается среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных параллелепипедальных сеток

М(али)

{(М

а(к + гП N /

Определив среднее арифметическое

доказали следующую теорему.

Теорема 22. При 1 < а < N. (а, 14) = 1

Теорема 23. Справедливо равенство

/ 23 1 1 ^(Н2(М(а^))-1)

<Т2 (М.{а, N3) = + — + -

72 4N 72№

144

Теорема 23. Справедливо равенство

Из теорем 22 и 23 непосредственно вытекает Теорема 24 Справедливо равенство

п 1

+ рЛ_2ТА+] + <3Х 2ТЛ ,) - 5 <Зл-1Т*И

А-1

Полученные быстрые алгоритмы вычисления количественных харак теристик качества двумерных сеток Воронина и решение задачи Коробова—Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальных сеток позволяют сравнивать их для разных типов сеток

1 Вронская Г Т О квадратичном отклонении плоских сеток Хэм мерсли // Известия ТулГУ Сер Математика Механика Информатика Т 9 Вып 1 Тула 2003 С 23-62 (2,5 п л)

2 Вронская Г Т, Добровольский Н М О двумерных сетках Ворони на // Чебышевский сборник 2004 Т 5 Вып 1(9) Тула, Изд-во ТГПУ им Л Н Толстого С 74 86 (0,8 п л , соискателем выполнено 50% рабо ты)

3 Вронская Г Т, Добровольский Н М Родионова О В Сравнения суммы и произведения // Известия ТулГУ Сер Математика Механика Информатика Т 8 Вып 1 Тула, 2002 С 10-28 (1 2 л л , соискателем выполнено 50% работы)

4 Вронская Г Т, Добровольский Н М, Родионова О В Сравнения суммы и произведения (докл )// Материалы всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики и информати-ки"ТулГУ Тула, 2002 (0,25 п л , соискателем выполнено 50% работы)

5 Вронская Г Т, Добровольский Н М, Родионова О В Сравнения суммы и произведения (тезисы)// Материалы всероссийской кон ференции "Современные проблемы математики, механики и информа тики "ТулГУ Тула 2002 (0,06 п л , соискателем выполнено 50% работы)

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

Подл, к печ. 31.03.2005 Объем 10 пл. Заказ №.110 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

Ol М- о/. 03

Введение

Глава 1. Сравнения, суммы и произведения по приведенной системе вычетов.

§ 1. Неоднородное сравнение по приведенной системе вычетов

§ 2. Однородные сравнения по приведенным системам вычетов

§3. Суммы по приведенным системам вычетов

§4. Две леммы о произведении синусов

§ 5. Произведения по приведенной системе вычетов

§ 6. Оценка минимума Б^Дсиа5) по сиа

§7. Рекуррентная оценка минимума Б^си,., а5+1) через

5м(аь • • • > а5)

§ 8. Асимптотическая формула для

Глава 2. Квадратичное отклонение плоских сеток

Хэммерсли

§1. Степенные суммы с функцией ван дер Корпута — Хэммерсли

§ 2. Квадратичное отклонение

§3. Среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота

Глава 3. Двумерные сетки Воронина

§1. Полная система вычетов по модулю целого гауссова числа

§2. Обобщенная параллелепипедальная сетка целого гауссова числа

§3. Быстрый алгоритм вычисления функции Н2(М(Л^)))

§4. Среднее арифметическое квадратичных отклонений плоских модифицированных параллелепипедальных сеток

Диссертация выполнена на кафедре теории чисел Московского педагогического государственного университета и затрагивает ряд вопросов диофантовых приближений и их приложения к проблемам численного интегрирования.

Актуальность темы. В 1957 году вышла первая работа [37] Н. М. Коробова, с которой начинается отсчёт в становлении теоретико-числового метода в приближенном анализе. Краткая история возникновения этого метода содержится в [49]. Теоретические предпосылки теоретико-числового метода восходят ещё к работе [73] Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, в которой содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1.

Цель первой главы — реализация метода усреднения Н. М. Коробова для доказательства существования оптимальных коэффициентов для любого составного модуля N.

В 1991 году профессорами Н. М. Коробовым и В. И. Нечаевым на семинаре в МГУ при обсуждении кандидатской диссертации В. С. Вань-ковой [9] была поставлена задача о вычислении квадратичного отклонения плоской сетки Хэммерсли. В работах В. С. Ваньковой, в частности, исследовалось среднее арифметическое квадратичных отклонений модифицированных сеток Хэммерсли — Рота и были получены оценки сверху для этого среднего. Задача Коробова — Нечаева подразумевала и получение асимптотической формулы среднего для плоских сеток.

Цель второй главы — получение быстрых алгоритмов вычисления значений величин важных характеристик качества полных сеток Хэммерсли: Н2(Х(Р)) и D2(X(P)) за 0(1пР) арифметических операций, аналогичных алгоритмам из работы [28] для вычисления Н2(М(а,М)), а также решение задачи Коробова — Нечаева для полных плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота.

В конце 80-х и в первой половине 90-х годов С. М. Воронин выполнил серию работ по применению теории дивизоров к вопросам построения оптимальных квадратурных формул. В частности, в двумерном случае было показано, что теория целых гауссовых чисел может быть успешно применена к построению плоских параллелепипедальиых сеток.

Цель третьей главы — построение быстрых алгоритмов вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина и решение задачи Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальиых сеток, что позволит сравнивать полученные результаты для двух разных типов сеток.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие: найдена асимптотическая формула для среднего основной меры качества набора коэффициентов по всем параллелепипедальным сеткам для любого модуля 14; построены быстрые алгоритмы вычисления величин количественных характеристик качества полных сеток Хэммерсли Н2(Х(Р)) и ЕЫХ(Р)) за 0(1пР) арифметических операций; решена задача Коробова — Нечаева для полных плоских модифицированных сеток Хэммерсли — Рота; построены быстрые алгоритмы вычисления количественных характеристик качества двумерных сеток Воронина; решена задача Коробова — Нечаева для плоских модифицированных параллелепипедальиых сеток.

Методы исследования. В работе используются методы теории цепных дробей, теории конечных разностей, теории сравнений, теории целых гауссовых чисел и геометрии чисел.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по цепным дробям и по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа, а также в теории плоских решеток и сеток.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на следующих семинарах: научно-исследовательский семинар "Теория аппроксимации" под руководством профессора В. И. Иванова в Тульском государственном университете; научно-исследовательский семинар "Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений" под руководством профессора В. Н. Чуба-рикова в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова; научно-исследовательский семинар "Теоретико-числовые методы приближенного анализа" под руководством профессора Н. М. Добровольского в Тульском государственном педагогическом университете им. Л. Н. Толстого; научно-исследовательский семинар "Аналитическая теория чисел" под руководством профессора Д. А. Митькина в Московском педагогическом государственном университете;

Всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" в Тульском государственном университете. Тула, 2002.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [74], [75], [76], [77] и [78].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 104 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 78 наименований.

1. Бахвалов Н. О приближенном вычислении кратных интегралов //Вести. Моск. ун-та, 1959. N 4. 3-18.

2. Бахвалов Н. С , Коробов Н. М., Чепцов Н. Н., Применение теоретико-числовых сеток к задачам приближенного анализа / / Труды Четвертого Всесоюзного математического съезда. Л.: Наука, 1964. Т. II. 580-587.

3. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

4. Бочарова Л. П., Ванькова В. С , Добровольский Н. М. О вычислении оптимальных коэффициентов //Мат. заметки. 1991. Т. 49. Вып. 2. 23-28.

5. Ванькова В. Оценка квадратичного отклонения сеток Холтона. Деп. в ВИНИТИ 18.03.91, N 1157-В91.

6. Ванькова В. Об алгоритмах поиска оптимальных сеток Хэм- мерсли - Рота и Холтона. Деп. в ВИНИТИ 21.11.91, N 4371-В91.

7. Ванькова В. Квадратичное отклонение сеток Фора-Чепа. Деп. в ВИНИТИ 21.11.91, N 4372-В91.

8. Ванькова В. Многомерные теоретико-числовые сетки: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. / / Моск. пед. гос. ун-т. М., 1992.

9. Ванькова В. С , Добровольский Н. М., Есаян А. Р. О преобразовании многомерных сеток. Деп. в ВИНИТИ 22.01.91, N 447- 91.

10. Виленкин И. В. О плоских сетках интегрирования / / Журн. вы- числ. мат. и мат. физики. 1967. Т. 7. № 1. 189-196.

11. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

12. Добровольский Н. М., Ванькова В. О регулярных Р-ичных сетках / / Мат. заметки. 1993. Т. 54. Вып. 6. 22-32.

13. Добровольский Н. М., Ванькова В. С, Козлова Л. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решеток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, N 2327-В90.

14. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Пихтильков А., Родионова О. В., Устян А. Е. Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов / / Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. 51-71.

15. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решеток / / Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5 Вып. 3. Тула, 1999. 38-51.

16. Добровольский Н. М., Клепикова Н. Л. Таблица оптимальных коэффициентов для приближенного вычисления кратных интегралов / / ИОФАН СССР. 63. Москва, 1990. (Препринт.)

17. Добровольский Н. М., Коробов Н. М. Оптимальные коэффициенты для комбинированных сеток.// Чебьнпевский сборник, Т. 2, Тула, 2001, с. 41-53.

18. Добровольский Н. М., Родионова О. В. Квадратурные формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками / / Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула, 1996. 71-77.

19. Добровольский Н. М., Родионова О. В. Об одном конечном ряде Фурье и его приложениях //Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4. Вып. 3. 68-79.

20. Кап И. Д. Рекуррентные последовательности и их приложения. Дне. ... канд. физ.-мат. наук. / Моск. ун-т. МГУ, М., 1997.

21. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. Литература 100

22. Колмогоров А. Н., Фомин В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

23. Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел / / ДАН СССР. 1957. N 6. 1062-1065.

24. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов / / Вести. Моск. ун-та, 1959. N 4. 19-25.

25. Коробов Н. М. О некоторых теоретико-числовых методах приближенного вычисления кратных интегралов. Резюме докл. на заседании Моск. мат. об-ва. / / УМН. 1959. Т. 14. Вып. 2 (86). 227-230.

26. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов / / ДАН СССР. 1959. Т. 124, N 6. 1207-1210.

27. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов / / ДАН СССР 132. 1960. N5. 1009-1012.

28. Коробов Н. М. О применении теоретико-числовых сеток / / Вычислительные методы и программирование: Сб. Моск. ун-т. 1962. 80-102.

29. Коробов Н. М. О теоретико-числовых методах в приближенном анализе / / Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. М.: Машгиз. 1963.

30. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

31. Коробов Н. М. О некоторых вопросах теории диофаптовых приближений / / УМН. 1967. Т. 22, 3 (135). 83-118.

32. Коробов Н. М. О вычислении оптимальных коэффициентов / / ДАН СССР. 267. 1982. N2. 289-292.

33. Davenport Н. Note on irregularities of distribution, / / Mathematika. 3. 1956. P. 131-135.

34. Faure H. Discrepance de suites associees a un systeme denumeration (en dimention s) / / Acta Arith. 41. 1982. P. 337-351.

35. Halton J. H. On the effeciency of certain guasirandom secuencis of points in evaluating multidimensional integrals / / Numerische Math. 2. 1960. N 2. P. 84-90.

36. Hammersley J. M. Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems / / Proc. N 4. Acad. Sci. 1960.

37. Hua Loo Keng. Applications of Number Theory to Numerical Analysis, - Springer-Verlag Berlin, 1981.

38. Proinov P., Atanassov E. On the distibution of the van der Corput generalized sequences / / C.r.Acad.Sci.Ser.l. 1988. N 18 (307). P. 895-900.

39. Proinov P., Grozdanov V. S. Symmetrization of the van der Corput- Halton sequence / / Докл. Волг. АН. 1987. N 8 (40). 5-8.

40. Roth К. F. On irregularities of distribution / / Mathematika. 1. 1954, P. 73-79.

41. Roth K. F. On irregularities of distribution - IV, / / Acta Arithm. 37. 1980. P. 65-75.

42. Schmidt Wolfgang M. Irregularities of distribution - VII, / / Acfa Arithm. 21. 1972. P. 45-50.

43. Schmidt Wolfgang M., Irregularities of distribution - X / / Number Theory and Algebra (H.Zassenhaus ed.) New York: Academic Press. 1977. P. 311-329.

44. Weyl H. ijber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. / / Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313-352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984) Литература 103

45. Вронская Г. Т. О квадратичном отклонении плоских сеток Хэм- мерсли / / Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 9. Вып. 1. Тула, 2003. 23-62.

46. Вронская Г. Т., Добровольский Н. М. О двумерных сетках Воронина / / Чебышевский сборник 2004 Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. 74-86.

47. Вронская Г. Т., Добровольский Н. М., Родионова О. В. Сравнения суммы и произведения / / Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 8. Вып. 1. Тула, 2002. 10-28.

48. Вронская Г. Т., Добровольский Н. М., Родионова О. В. Сравнения суммы и произведения (доклады)// Материалы всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики "ТулГУ. Тула 2002