Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

0.1 Предисловр1е.

0.2 Введение.

0.2.1 Решетки, многомерные квадратурные формулы и гиперболическая дзета - функция решеток . 5 0.2.2 Обобщенная гиперболическая дзета-функция решеток на пространстве CPRS

0.2.3 Равномерное распределение и сетки.

0.2.4 Апробация работы

I. Пространство сдвинутых решеток

1.1 Метрики на пространстве сдвинутых решеток.

1.2 Декартовы решетки. i Обобщенная гиперболическая дзета — функция решеток

2.1 Асимптотическая формула для гиперболической дзета -функции алгебраической решетки.

2.1.1 Вычисление вспомогательных интегралов.

2.1.2 Интегральное представление для (н(Л | а) алгебраической решетки А.

2.1.3 Получение асимптотической формулы для' гиперболической дзета - функции.

2.2 Значения С(Л|а) при A g PZS и a g n.

2.2.1 Ряд Фурье с положительными коэффициентами, связанный с полиномами Бернулли.

2.2.2 Тригонометрические суммы решеток.

2.2.3 Частные значения гиперболической дзета - функцииЮЗ 2.3 Аналитическое продолжение функции Ся(А + Ъ \ а)

2.4 С#(Л | л) при а = а + И (а < 0) для решеток решений сравнений.

Отклонение и квадратурные формулы

3.1 Отклонение и норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования.

3.2 Метод Колмогорова-Рота получения нижних оценок отклонения

I Преобразования сеток

4.1 Группы арифметических и поразрядных сдвигов [0; 1)

4.2 Группы преобразований единичного й - мерного куба

4.3 Преобразование одномерных сеток.

4.4 Преобразование многомерных сеток.^

Классы функций и квадратурные формулы

5.1 Банаховы пространства АРВ.

5.2 Решетки и проекторы на прямой сумме пространств АГ

5.3 Вычисление нормы линейного функционала погрешности квадратурной формулы с паралелепипедальной сеткой

Данная диссертация посвящена рассмотрению ряда задач аналитической теории чисел, геометрии чисел, равномерного распределения и приложению полученных результатов к вопросам приближенного анализа.

Исследование проводится по трем новым направлениям: обобщенная гиперболическая дзета-функция решеток на метрическом пространстве сдвинутых решеток; р-преобразования 5-мерного единичного куба и орбиты сеток; средние по решетке для функций многих переменных. Решаются следующие проблемы: получение асимптотической формулы для гиперболической дзета-функции алгебраических решеток; построение аналитического продолжения обобщенной гиперболической дзета-функции декартовой решетки; сравнение средних арифметических отклонений сеток по орбитам для двух групп преобразований.

Автор выражает благодарность: своим учителям по теории чисел - профессорам А. А. Карацубе и Н. М. Коробову, у которых начиналось теоретико-числовое образование автора; научному консультанту - профессору Н. М. Коробову за постоянное внимание, полезные советы и обсуждение на протяжении длительного периода (на семинаре профессора Н. М. Коробова по тригонометрическим суммам и их приложениям определились основные направления этого исследования и оттачивались методы его проведения); профессорам: С. М. Воронину - за полезное обсуждение темы исследования; С. Б. Стечкину - за полезные советы по содержанию работы; В. И. Нечаеву - за сотрудничество при подготовке по данной тематике аспирантов В.С.Ваньковой, А.Л.Рощени, И.Ю.Ребровой, О.В.Родионовой.

0.2 Введение

Теоретико-числовые методы приближенного анализа, позволившие построить ненасыщаемые алгоритмы численного интегрирования периодических функций многих переменных (т.е. алгоритмы, автоматически учитывающие любой порядок гладкости интегрируемых функций (подробности и определение см. в [3] и [45])), базируются на элементарной теории сравнений, методе тригонометрических сумм, геометрии чисел, теории равномерного распределения и алгебраической теории чисел. Интересно отметить, что К. Ф. Гаусс не только заложил фундамент каждого из этих направлений теории чисел (кроме теории равномерного распределения, основателем которой считается Г. Вейль), но и внес существенный вклад в теорию квадратурных формул для численного интегрирования функций одной переменной.

Ниже, в кратком историческом обзоре, особое внимание уделяется вкладу отечественных исследователей в становление теоретико-числовых методов в приближенном анализе и связанных с ним вопросов (важные исторические детали содержатся в обзорной работе Н. М. Коробова [43]). Обзор разбит на три части, каждая из которых кроме исторических данных содержит краткое описание основных результатов автора.

0.2.1 Решетки, многомерные квадратурные формулы и гиперболическая дзета — функция решеток

Центральное понятие геометрии чисел - решетка - возникло в связи с теорией приведения положительно определенных квадратичных форм (ПКФ). Как указывают С. С. Рышков и Е. П. Барановский в своей обзорной работе [54] по ПКФ, впервые понятие решетки ввел К. Ф. Гаусс в своей рецензии [87] на работу Зеебера в 1831 году. Использование решеток, сдвинутых решеток и проекций решеток на координатные подпространства позволяет на единообразном языке обсуждать разные вопросы теории чисел, а не только теорию квадратичных форм. Так, например, решеткой Л с с^ Л = N является множество Л = Л(а1,. ,а3; И) решений линейного однородного сравнения

I также, если -Р — чисто вещественное алгебраическое расширение сте-тени 5 поля рациональных чисел <2 и Ър ■— кольцо целых алгебраических чисел поля то 5 - мерной решеткой является множество А(-Р), следующим способом образованное с помощью Ър : эешеток - решетка А(а-1,., ]У) решений линейного сравнения и алгебраическая решетка Л(Р) будут играть центральную роль в данной эаботе.

В частности, доказательство теоремы Дирихле о строении группы эдиниц конечного расширения поля рациональных чисел существенно упрощается при использовании понятия решетки и теоремы Минков-жого о выпуклом теле. В монографии Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеева 24] значительная часть теории алгебраических чисел излагается как теория решеток, повторяющихся умножением в в-мерном комплексном 1ространстве Сй.

В аналитической теории чисел наиболее часто фигурирует решетка всех целых точек, то есть фундаментальная решетка . А клас

31 • Х\ + . + а8 • х8 = 0 (тос! Л7") сическая задача о целых точках в различных областях — это задача о точках решетки в этих областях. Наиболее широко известными являются задачи о числе К (Л) целых точек в круге О(К) — {(х, у) | х 2+у2 < Я} и о числе Ь(В) целых точек с положительными координатами под гиперболой х • у = Л, которые впервые были решены соответственно К. Ф. Гауссом в начале XIX века [88] и П. Леженом-Дирихле в 1849 году [85].

Как известно (см. [6], стр. 117), достаточно общее определение вещественной теоретико - числовой решетки в геометрии чисел следующее.

Пусть А1,.,Ат, т < з — линейно независимая система векторов вещественного арифметического пространства К5. Совокупность А всех векторов вида —* + . + где aj независимо друг от друга пробегают все целые рациональные числа, называется т - мерной решеткой в К5 , а сами векторы Ах,. ., Лт — базисом этой решетки.

Если т = з, то решетка называется полной, в противном случае — неполной. Так как в этой работе рассматриваются только полные решетки, то, следуя традиции многих изложений (см. [27]), для краткости будем говорить просто о решетках, опуская слово полная. Множество всех 5 - мерных полных решеток из будем обозначать через РЯ3. Отметим, что в монографии [68] под решеткой понимается произвольная сдвинутая решетка, то есть множество вида Л -+- ж, где А е РЯе и х Е Е-5. Множество всех сдвинутых решеток Л + х из будем обозначать через СРЛ3.

На формирование геометрии чисел как самостоятельного раздела теории чисел огромное влияние оказали два выдающихся математика, годившихся в России в 60-х годах XIX столетия — Г. Минковский и \ Ф. Вороной. Несмотря на короткую жизнь, и Г. Минковский (1864909), и Г. Ф. Вороной (1868-1908) внесли, по оценке специалистов, яр-:ий и значительный вклад в теорию чисел. Работы Г. Минковского [ Г. Ф. Вороного дополняют друг друга и являются фундаментом в >азвитии геометрии чисел.

Г. Ф. Вороной разрабатывал геометрию чисел одновременно и неза-шсимо от Г. Минковского. Продолжая традиции Петербургской школы теории чисел, Г. Ф. Вороной занимался теорией алгебраических чисел, $ которой успешно развивал геометрические методы в алгебраическом гзложении. Вместо 5-мерной решетки он рассматривал систему из 5 шнейных форм от 5 целочисленных переменных. К этому направленно относится его работа 1896 года "Об одном обобщении алгорифма 1епрерывных дробей", а работа "Об одной задаче из теории асимптоти-•геских функций" стимулировала развитие современной аналитической теории чисел. В этой работе Г. Ф. Вороной сделал принципиальный про-эыв в проблеме делителей Дирихле, которая на геометрическом языке формулируется как проблема о количестве целых точек под гиперболой г -у = М.

Важные результаты по теории чисел и геометрии чисел были получены Б. Н. Делоне [24]. Основные его труды в этой области относятся ес теории неопределенных уравнений 3-й степени с двумя неизвестными, а в геометрии — к теории правильного разбиения пространства, теории приведения квадратичных форм, теории решетчатых покрытий пространства сферами. Теория приведения, в частности алгоритм Кор-кина - Золотарева, имеет важное значение для теории оптимальных кубатурных формул, построенной академиком С.Л.Соболевым (см. [68], стр.57). В более позднее время геометрией чисел занимались Д. К. Фадцеев, А. В. Малышев, Б. Ф. Скубенко и другие российские математики.

Многие задачи геометрии чисел формулируются в терминах сдвинутых решеток Л + х, нормы N(x) = \х\ •. • xs|, норменного минимума решетки и норменного минимума сдвинутой решетки. Для произвольной решетки Л £ PRS норменным минимумом ([1]) называется величина

N(A) = inf N(x). x£k\{Ö}

Иногда дают другое определение N'(Л) = 7V(A)/detA, [66].) Для произвольной сдвинутой решетки Л -f Ъ Е CPRS норменным минимумом называется величина

N(A + b) = inf N(x). xe(A+b)\{0}

Так, знаменитая неоднородная гипотеза Минковского состоит в том, что в пространстве Еядля любой унимодулярной решетки А и любой точки х сдвинутая решетка А + ж содержит точку у = (г/i,., ys), для которой

M = N(y)< 2-, или другими словами

N(A + х) < 2~s.

Гипотеза Литтлвуда в этих терминах формулируется так: при s > 1 для любых ненулевых действительных чисел ai,. ,as для решетки

A(ari,.,are) = {(q,q • «i +Pi, • • • ,q • «s + Ps) | Q,Pi, • ■ • ,Ps €

N(A(au.,as)) = 0.

Гипотеза Оппенгейма, из которой вытекает гипотеза Литтлвуда, в терминах решеток утверждает, что при s > 2 всякая s - мерная решетка А с N(A) > 0 подобна алгебраической решетке.

Гипотеза Минковского была доказана для 5 = 2 (Минковский), = 3 (Ремак, 1923 - 24), з = 4 (Дайсон, 1948). Для в > 4 имеется оценка I. Г. Чеботарева (1934):

Эта оценка несколько раз уточнялась; лучший результат был получен эомбьери (1963):

Б. Ф. Скубенко разработал новый метод в геометрии чисел ("метод труса"), который позволил ему в 1972 г. доказать гипотезу Минковского сразу для всех я < 5 (см. [62]), что по оценке специалистов явилось математической сенсацией.

Через несколько лет Б. Ф. Скубенко [63] рассмотрел гипотезу Мин-совского для больших 5 и получил оценку: шачительно усиливающую результат Бомбьери.

Среди целого ряда других результатов Б. Ф. Скубенко по геометрии зисел важное значение для приложений теории чисел имеют теоремы переноса, в которых речь идет о связи неоднородных и однородных минимумов унимодулярной решетки, а также теоремы изоляции для алгебраических решеток [65], т.е. решеток, подобных решеткам вида (1). Очень интересные работы Б. Ф. Скубенко [66], [67] были посвящены исследованию норменного минимума решетки, т.е. величины А^(А), и содержали в себе решение проблем Оппенгейма и Литтлвуда. В этих работах особую роль играет метрическая структура пространства решеток, критерий компактности Малера и дальнейшее развитие метода

М < 2~8'2.

М < (3 + • для в > 50 да г}8 —> (2е — 1) 1 при й —> оо. iapyca. Позднее эти идеи, а также смежные вопросы, нашли отражение в работах М. М. Скриганова ([55] - [61]).

С норменным минимумом тесно связан усеченный норменный минимум, или гиперболический параметр решетки , так называется величина ([106],[132]) q(A) = min q(x), f€A\{0} которая имеет простой геометрический смысл : гиперболический крест К(Т) не содержит ненулевых точек решетки А при Т < q{А) . Гиперболическим крестом называется область

К(Т) = {$ | д(х) < Г}, где q{x) = х\ • . • xs — усеченная норма х, и для вещественного х обозначаем х — тах(1, \х\) ([37], 1963).

Так как тах(1, iV(i?)) < q(x): то max(l,A^(A)) < q(А) для любой решетки А, а из теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что q(А) < max(detA, 1).

Вопрос о вычислении гиперболического параметра решетки решений линейного сравнения рассматривался в работах Н.М.Добровольским, А.Р.Есаяном и И.Ю.Ребровой [137], [143]. j

В 1957 - 1959 годах вышли первые работы П. М. Коробова [29], [30], в которых были применены методы теории чисел к вопросам чиелейного интегрирования кратных интегралов. Выделение класса периодических функций позволило для оценки погрешности приближенного интегрирования использовать методы гармонического анализа и теорию тригонометрических сумм, важный раздел аналитической теории чисел. Наиболее плодотворным оказался метод оптимальных коэффициентов юстроения для 5-мерного куба Gs = [0; I)5 многомерных квадратур-[ых формул с параллелепипедальными сетками вида: це - погрешность квадратурной формулы и целые числа

I] (а;-,]У) = 1 и — 1,-,^) ~ оптимальные коэффициенты выбира-отся специальным образом.

Первые алгоритмы вычисления оптимальных коэффициентов при-гадлежат Н.М.Коробову, ему же принадлежат наилучшие по быстродействию из известных на сегодня алгоритмов (см. [39]). Эти алгоритмы )снованы на применении леммы А.О.Гельфонда о гиперболическом параметре решетки решений линейного сравнения (см. [38], [39],[40], [112]). Ло предложению Н.М.Коробова, на основе этих алгоритмов Доброволь-жий Н.М. и Клепикова Н.Л. составили таблицы оптимальных коэффициентов для размерности в < 30 и по модулю N = 2к 3 < к < 22 [121], что намного превосходит диапазон известных таблиц А.И.Салтыкова. Таблицы из работы [121] использовались для реализации псевдослучайного поиска экстремальной точки в одной геофизической задаче [113]. В работе Бочаровой Л. П., Ваньковой В. С. и Добровольского Н. М. [122] эыла получена модификация алгоритма Коробова, позволяющая находить не одну оптимальную сетку по модулю N = 2к, а целый, класс таких сеток.

Серия важных работ по применению теории дивизоров для поиска оптимальных коэффициентов для параллелепипедальных сеток принадлежит С. М. Воронину и Н. Тимергалиеву (см. [17], [18], [19], [72]). Фактически в этих работах указаны алгоритмы поиска целочисленных решеток с большим значением гиперболического параметра решетки.

За рубежом аналог метода оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова был предложен на три года позже (1962 г.) Е. Главкой, который назвал параллелепипедальные сетки с оптимальными коэффициентами сетками с "хорошими точками". Как отмечает Н. М. Коробов в своей обзорной работе [43], "в результате, один и тот же объект вошел в позднейшие публикации и вычислительную практику с различными названиями и ссылками на разных авторов".

Первые результаты по применению теоретико - числовых сеток для вычисления интегралов произвольной кратности были получены в работе [29] для периодических функций, разлагающихся в абсолютно -сходящийся ряд Фурье. В связи с изучением погрешности приближенного интегрирования для квадратурных формул с параллелепипедаль-ными сетками на классе Е® периодических функций с быстро убывающими коэффициентами Фурье, в работе Н. М. Коробова [30] впервые встречается частный случай гиперболической дзета - функции решетки А = А(й1, ., а8; Ж) для вещественного а > 1:

Ся(ли - £ -т=-—^

2) где

5N(m) =

1 при т = 0 (mod Лг), 0 при т ф 0 (mod N), и Лг) = 1 (j = 1,., s). Здесь и далее £' означает, что суммирование проводится по всем ненулевым точкам.

Гиперболическая дзета - функция вида (2) встречается в работах многих исследователей в связи с оценкой погрешности многомерных квадратурных формул с параллелепипедальными сетками на классе Ef. частности, Н. С. Бахвалов ([4], 1959) доказал оценку ,А| , (lnq(A) + l)s-1 я(Л|ог) « 1 J • (3) Н. М. Коробов ([30], 1959) показал, что для таких решеток / * i \ ln6-1 det Л

IditAF гри любом выборе целых ai, ., as, взаимно простых с N.

Были построены алгоритмы нахождения ai,., as таких, что

Ся(АН « ^^ (Н. М. Коробов, 1960), det Л н(А\а) <С —^ tA)a— ^ахвалов' ^ К°Р°бов)-.

В общем виде гиперболическая дзета - функция решеток встречайся в работах К. К. Фролова [73], [76]. В кандидатской диссертации К. Фролова [76] показано, что для любого а > 1 и произвольной $ -лерной решетки Л ряд

Y!(xi ■ . • xs)~a хел сходится абсолютно.

Рассмотрев алгебраическую решетку вида (1), К. К. Фролов пока-¡ал, что при t > 1 для решетки A(t, F) = tA(F) с det A(t, F) = ts det A(F) справедлива оценка л /л/ пм ч detA(í,jP)

Развитие метода К. К. Фролова содержится в работах В. А. Бы-швского [7], [8] и работах Н. М. Добровольского [106], [108], [109]. Конструкция из работы [106] демонстрирует, что методы Н.М.Коробова \ К.К.Фролова являются двумя противоположными полюсами теории квадратурных формул с обобщенными параллелепипедальными сетками и весовой функцией специального вида. При этом задача о вычислении погрешности приближенного интегрирования по таким формулам один раз сводится к теоретико - числовой задаче об оценке гиперболической дзета - функции соответствующей решетки, и не требуется каждый раз заново проводить оценку нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования для каждого нового типа обобщенной параллелепипедальной сетки.

В пятой главе содержится вывод формулы для нормы линейного функционала погрешности многомерной квадратурной формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками на широком классе банаховых пространств периодических функций многих переменных. Это обобщение класса Е® позволяет в принципе изучать вопросы приближенного интегрирования для периодических функций многих переменных в подходящей норме, максимально учитывающей свойства этой функции, так как с каждой функцией можно связать свое пространство АР3 . Справедлив следующий результат для многомерной квадратурной формулы с обобщенной параллелепипедальной сеткой М(А) где #л[/] ~ погрешность квадратурной формулы, которая является линейным функционалом:

Теорема 5.8 Для класса АР8 выполнено соотношение падли = пзд - р®.

Для класса АР% выполнено соотношение

Дл[/]|и,, = (ПЗД - ПО))'

Он проводит водораздел между задачами анализа, связанными с выбором соответствующего банахова пространства, и задачами теории чисел выбора и построения нужного типа решетки. Необходимо отметить, 1то квадратурные формулы с обобщенными параллелепипедальными сетками обладают двумя видами "ненасыщаемости" - дифференциальной и лакунарной. Первый вид ненасыщаемости связан со скоростью убывания коэффициентов Фурье интегрируемой функции, а второй — с пакунарностью множества ненулевых коэффициентов Фурье. Примером первого типа является скорость убывания погрешности на классе Еf с ростом a, a второго типа — нигде недифференцируемые функции вида 00 /I ! I ,4 = £ с(7й)Г(М+-+К1). exp(27ri(imixi + . + tm'xB)), rni,.,ms=—oo где t G N и 0 < cl < с(т) < с2, для которых скорость убывания погрешности зависит от величины t - "параметра лакунарности".

Средние Д (х) функции многих переменных f(x) по целочисленной решетке А, задаваемые равенством aet А уем{А)

- другой пример конструкции, рассматриваемый в пятой главе, в которой пересекаются задачи анализа и теории чисел. А именно, с помощью такой конструкций строится проектор в пространстве AFS на слагаемые прямой суммы банаховых пространств, определяемых решеткой Л, и строится разложение в конечный ряд Фурье функции, заданной на обобщенной параллелепипедальной сетке M (А). А рабочим инструментом в этих вопросах являются тригонометрические суммы решетки, которые рассматриваются в разделе 2.2.2. Заметим, что в работе Добровольского Н.М., Манохина Е.В., Ребровой И.Ю. и Аккуратовой C.B. [142] эта тема развита, и там построены нормированное пространство сеток с весами, нормированная алгебра сеток с весами, а также метрическое пространство сеток.

Термин " гиперболическая дзета-функция решетки" был введен Н. М. Добровольским в работах [106]— [109], в которых начато систематическое изучение функции

В частности, получены нижние оценки для гиперболической дзета - функции произвольной « - мерной решетки:

С#(ЛИ > Сг(а, з)(6егА)~1 при 0 < <Ы;Л < 1,

Ся(Л|а) > Сч{а, ¿)((1еЬ Л)-сЧп5-1 сЫЛ при detЛ > 1, (5) где £1(0.', я), 62(0?, в) > 0 — константы, зависящие только от а и 5.

Доказана верхняя оценка для гиперболической дзета - функции 5 -мерной решетки:

Ся(ЛН <С'з(а,5)С1(ЛГ при д(Л) = 1,

Ся(Л|а) <С4(а',%-а(Л)(1п^(Л) +I)5-1 при д(А) > 1. (6)

Этот результат является обобщением теоремы Н. С. Бахвалова, то есть неравенства (3). Из оценки (6) получены различные следствия. В частности, из нее автоматически следует результат К. К. Фролова (4), так как гиперболический параметр = ^ при £ > 1. ^

Также Н. М. Добровольским доказана теорема: для любой целочисленной решетки Л и натурального п справедливо представление

Ся(Л|2п) = -1 + (ае»Л)-1 £ П (1 - ^¡У'Зь. (*,")) , (7) где В2п{х) — полином Бернулли порядка 2п и М(А) — обобщенная параллелепипедальная сетка решетки А, которая состоит из точек взаимной решетки А*, лежащих в 5-мерном единичном полуоткрытом кубе [0; 1)в. В разделе 2.2 этот результат дополнен формулой

1 5 / (2тг)2п+1

ЫЛ I 2» + 1) = -1 + ^¿ п (1 - (-1)" • ¿¿Т)! 1 £

0 у

Эта теорема указывает на аналогию между гиперболической дзета функцией решетки и дзета - функцией Римана, для которой о2п—1 х-1 ^

7Г

2п

С(2тг+ 1) = (-1 Г+1(2уг+1)!/ ^(ттг/) ¿у.

Заметим, что справедливо равенство 1 а) =-Ся(2|а) а = сг + г • ^ сг > 1.

Из представления (7) непосредственно вытекает, что для любой целочисленной решетки Л и четного а = 2п значение £#(Л|2п) - трансцендентное число.

Формула (7) позволяет за 0(п-8-с1е1;Л) операций вычислять £я(Л|2п). В работе Добровольского Н. М., Есаяна А. Р., Пихтилькова С. А., Ро-ционовой О. В., Устяна А. Е. [139] получена формула, позволяющая зычислять £#(А.(а; ЛГ)|2) за 0(1пАГ) операций.

Для гиперболической дзета - функции решетки А(£, Р) Доброволь-:ким Н. М., Ваньковой В. С., Козловой С. Л. ([119]) была получена асимптотическая формула ™ - Дф-1)! I § +

In5"2 det A(t, j (detA {t,F)) где R — регулятор поля F ([6]) и в сумме ^(ш) ^^^ суммирование про водится по всем главным идеалам кольца Ър . Вывод этого результата содержится в разделе 2.1.

На первом этапе исследований с 1984 года по 1990 год изучение функции £#(Л|а) проводилось только для вещественных а > 1. Начиная с 1995 года, в совместных работах Добровольского Н. М., Ребровой И. Ю. и Рощени А. Л. ([131],[132],[136]) начался новый этап изучения гиперболической дзета-функции £#(А|а) решетки Л: во-первых, как функции комплексного аргумента а, во-вторых, как функции на метрическом пространстве решеток.

Гиперболической дзета - функцией решетки Л для комплексного а называется функция, задаваемая в правой полуплоскости а =■ а + И (<т > 1) абсолютно сходящимся рядом х<=А

По теореме Абеля ([77], с. 106) гиперболическую дзета - функцию решеток можно представить в следующем интегральном виде где D(T|Л) — количество ненулевых точек решетки Л в гиперболическом кресте К(Т).

Прежде всего заметим, что гиперболическая дзета - функция решеток является рядом Дирихле. Действительно, дадим несколько определений и обозначений.

8)

Норменным спектром решетки Л называется множество значений юрмы на ненулевых точках решетки Л:

Nsp{Л) = {Л | Л = N{x), х Е Л\{б}}.

Соответственно усеченным норменным спектром решетки Л — множество значений усеченной нормы на ненулевых точках решетки: gsp(A) = {A | А = q{x), х Е Л\{0}}.

Усеченный норменный спектр является дискретным числовым множеством, т.е.

QSp(Л) = {Ах < А2 < . < Afc < .} и lim А* = оо. к—юо

Очевидно, что

NÍA) = inf A, q(A) = min А = Аь v ; Аеадл) AGQ,P(Л)

Порядком точки спектра называется количество точек решетки с заданным значением нормы. Если таких точек решетки бесконечно много, то говорят, что точка спектра имеет бесконечный порядок. Порядок точки А норменного спектра обозначается через п(А), а порядок точки X усеченного норменного спектра, соответственно, ч^рез q(А).

Понятие порядка точки спектра позволяет лучше понять определение гиперболической дзета - функции решетки. В нем вместо нормы гочкй х фигурирует усеченная норма.

Можно привести пример решетки Л, для которой ряд

• • • " | жеЛ расходится при любом а > 1.

Действительно, пусть Л = t ■ A(F) - алгебраическая решетка, тогда

1*1 Е' (9) хЕА WGZF где iV(iü) — норма целого алгебраического числа из кольца Ър. В силу теоремы Дирихле о единицах ряд в правой части равенства (9) расходится при любом а > 1, так как в кольце Z р целых алгебраических чисел чисто вещественного алгебраического поля Fs степени s имеется бесконечно много единиц е и для них |iV(£)| = 1. Таким образом в этом случае каждая точка норменного спектра имеет бесконечный порядок, что и приводит к расходимости при любом а.

Из этого примера видно, что использование ху. .-xs вместо ¡av. -в определении (я (А | а) существенно, так как тем самым обеспечена абсолютная сходимость ряда гиперболической дзета - функции произвольной решетки А.

Из дискретности усеченного норменного спектра вытекает, что гиперболическую дзета - функцию произвольной решетки А можно представить как ряд Дирихле: оо х&А хеА к=1 Ае<5,р(А)

10)

Так как D(T|А) = 0 при Т < q(А), то

МАП 7 D{t\K)dt з(л)

Из равенства (10) следует, что для любого комплексного а = а + it в правой полуплоскости (а > 1) определена регулярная функция комплексного переменного, заданная рядом (8), и справедливо неравенство

Ся(Л|а)|<<(Л|а).

Возникает естественный вопрос о продолжении для произвольной решетки Л гиперболической дзета - функции решетки £я(Л|а) на всю комплексную плоскость. В работах Добровольского Н. М., Ребровой И. Ю. и Рощени A. JI. ([132], [136]) эти вопросы исследовались для PZS — множества всех целочисленных решеток, PQS — множества всех рациональных решеток, PDS — множества всех решеток с диагональными матрицами. Доказано, что для любой целочисленной решетки Л G PZS гиперболическая дзета - функция £у(Л|а) является регулярной функцией во всей а - плоскости, за исключением точки а = 1, в которой она имеет полюс порядка s.

Для любой решетки Л £ PQS гиперболическая дзета - функция Ся(А|а) также является регулярной аналитической функцией во всей а - плоскости, за исключением точки а = 1, в которой она имеет полюс порядка s.

Изучено поведение гиперболической дзета - функции решеток на пространстве решеток. В частности, установлено, что если последовательность решеток {Лп} сходится к решетке Л, то последовательность гиперболических дзета - функций решеток £#(Л„|а) равномерно сходится к гиперболической дзета - функции решетки £я(А|а) в любой полуплоскости <7 > со > 1.

Другой результат такого тип& формулируется следующим образом. Для любой точки а из а - плоскости, кроме точки а = 1, найдется окрестность \а — ß\ < 5 такая, что для любой решетки Л = Л (db., ds) ePD, lim (H{M\ß) = Ся(Л|/3), причем эта сходимость равномерна в окрестности точки а.

Вывод этих результатов существенно опирается на асимптотическую формулу для числа точек произвольной решетки в гиперболическом кресте, полученную H. М. Добровольским и А. Л. Рощеней ([135]):

28Т\ъ'-1Т ^ . 2S • Tlns2T

D(T А) = 7-—- + е • С (А)-:-7-, v 1 ; (s - 1) ! det A v ' detA где C{A) - эффективная константа, вычисляемая через базис решетки, и |6| < 1.

В случае целочисленной решетки A — вопрос о величине D(T\A) тесно связан с проблемой делителей Дирихле.

Пусть D(N) = T,\<xy<N 1 = Еп=iT(n)- Хорошо известен результат Дирихле

D(N) = NlnN + (2j — l)iV -f- O(VÑ), где 7 — константа Эйлера.

Для А = Z2 мы получаем связь с теоремой Дирихле ([77], с.73). Количество точек решетки z2 в гиперболическом кресте выражается через сумматорную функцию для числа делителей

D{t\z2) = 4[í] + 4D(í).

В случае A =ZS мы получаем связь с многомерной проблемой делителей Дирихле ([16], с. 117):

D(t\A)= ±Cks2kDk(t),

Jb=l где

Dk(t) = Y,rk(n). n<t

JI. Дирихле ([85]) был рассмотрен вопрос о поведении среднего значения функции Тк(п) и получена асимптотическая формула. Проблемой уточнения остаточного члена для числа точек решетки А = Zs, s =

2, 3,. занимались Г. Ф. Вороной, И. М. Виноградов, Э. Ландау, Г. Хар-ди и Д. Литтлвуд, X. Е. Рихерт, А. Ивич, А. А. Карацуба, Е. И. Пантелеева, Г. И. Архипов и др. ([16]).

Наряду с классическим направлением уточнения теоремы Дирихле для решетки А = Z5 возникает естественный вопрос об обобщении теоремы Дирихле на случай произвольной решетки А. Этими вопросами занималась А. Л. Рощеня в работах [50], [51], [52] и в своей кандидатской диссертации [53].

В разделе 2.4 для решеток решений сравнений получены явные формулы для гиперболической дзета - функции в левой полуплоскости. Еще А.О.Гельфонд обнаружил важную связь между гиперболическим параметром q(А) решетки A(öi, ., asi, 1; N) и величиной

Q = min к ■ ki ■ . • i, k—l,ldots,N—\ где целые к, ki,., к,5i удовлетворяют системе сравнений к\ = а\- к к2 = 02 ' к I А Ы\ mod /V) ks-1 = tts-i ' к с решеткой решений A^(ai,., asi, 1 ;N), которая известна как лемма Гельфонда. Оказалось, что эта связь проявляется и при аналитическом продолжении в левую полуплоскость.

Теорема 2.12 В левой полуплоскости а = сг 4- it (с* < 0) справедливы равенства

C#(A(ai, • • •, as-ii 1; N) | а) = Е MlN-at Е ., ajt-N)\l-а), t=1 Jt€Jt,. M \s

Ся(Л^(аь • • -, a.-i, 1; N) \ а) = -1 + [l + ^(Ъ \ 1 - а))

Ms MSN mZ-C{Z | 1-а) + С(А(а1;. ,а.ь 1; N) | 1 - а)-^-, v 1 > ' v -1' I I ~ ^ JVas где яг, . 2Г(1 — а) . тга М(а) = Ч1—- sin ——. v ' . (2-к)1~а 2

Из этой теоремы вытекает следующий результат о значении гиперболической дзета - функции этих решеток в отрицательных нечетных точках.

Теорема 2.14 Для а — 1 — 2n, n GN справедливы равенства:

Ся(Л(аь. ь l;iV) | а) =

1 П 7:0/,Л./.'; ;-~-0 ¡'=1 VI N )) хБ2ге Ц--

Ся(А(г,)(аь ., asi, 1; iV) | a) = -1 + fl +

N2n-1B2n n

•^ытчш а четные отрицательные точки являются тривиальными нулями.

0.2.2 Обобщенная гиперболическая дзета-функция решеток на пространстве СРЯ3

Исходя из аналогии между гиперболической дзета-функцией решеток и дзета-функцией Римана, И.Ю.Реброва по предложению автора в работах [48], [49] рассмотрела обобщение гиперболической дзета-функции решеток как 5-мерного аналога дзета - функции Гурвица. При этом в своем исследовании она решала следующие естественно возникающие при таком подходе вопросы: насколько результаты относительно гиперболической дзета-функции решетки переносятся на общий случай? Можно ли получить аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета-функции решетки на всю комплексную плоскость? Каково поведение обобщенной гиперболической дзета-функции решетки как функции на метрическом пространстве решеток? При таком подходе речь идет о целом классе функций £я (А [ а, 6), определенных на пространстве решеток, которые зависят от параметра Ь. В данной работе исходим из другого взгляда на этот объект исследования. А именно: естественно смотреть на него как на одну функцию, но на пространстве сдвинутых решеток. При таком подходе можно было бы изменить и название, но мы ограничимся только другими обозначениями. Будем называть обобщенной гиперболической дзета-функцией решеток функцию (н(А + Ъ | а), которая задается в правой полуплоскости а = а г ■ 1,(7 > 1 абсолютно сходящимся рядом

Ся(А + Ь|а)= £ д(х)~а. х£(А+Ь)\{0}

Встав на такую точку зрения, мы сразу оказываемся перед необходимостью рассмотреть пространство сдвинутых решеток и возможность задать на нем метрику.

В первой главе расмотривается СРТ1$ - множество всех сдвинутых решеток А(х) — А + х, где Л Е РЯ8 — произвольная 5 - мерная вещественная решетка нжбй8 — произвольный вектор.

Из свойств решетки непосредственно вытекает, что Л(:с + у) = А(х) для любого у Е Л, и если А\ 4- х\ = Л2 4- £2, то Л1 = Л2 и х\ — хч Е Л1. Для задания структуры метрического пространства на множестве

СРИ8 для произвольного аф О определяется вложение ра : СРД* РЯ^г следующим образом. —»

Пусть Л в А^ = = — ее базис и х = (хх,., х8) Е Я8 — произвольный вектор. Решетка <ра{А + х) задается базисом Лу (у — 1,., 8 + 1), где Л^ = (Ад,., Л,-в, 0) (э —

1,., —в), = (х1,. а). Тем самый решетка <^а(Л + я) опре делена однозначно и не зависит от выбора базиса Ах,., Л5 или замены вектора х на х + у, где у € А.

Как известно (см. [27], [49]), РЯ8 является полным метрическим пространством относительно метрики

Л,Г) = тах(1п(1 + , 1п(1 + г/)), где

1= т£ 1И-П1, Ы Ц-В-/Ц,

1 =

1 .

0 . 1 единичная матрица и ||А|| ■ тах

Теперь с помощью вложения (ра и метрики р(А, Г) на пространстве РЯ8+1 для любого а ф 0 молено задать метрику ра{А + х, Г + у) равенством

Ра(А + Х,Г+у) = р(<ра(А + £),<ра( Г + $).

Теорема 1.1 Функция ра(А + ¿Г, Г + у) задает метрику на пространств е С РЯ8.

После введения метрики на пространстве сдвинутых решеток сразу возникает вопрос о вычислении расстояния между двумя сдвигами одной и той же решетки. Второй естественный вопрос: как согласована метрика в пространстве сдвинутых решеток с уже имеющейся метрикой на подпространстве решеток. Эти вопросы удается решить в малой окрестности любой сдвинутой решетки следующим образом.

Для удобства записи преобразований и выкладок будем для любого вектора х = (хх,. ,х8) через (х)^ обозначать его j-ю координату.

Как известно, любая решетка А является образом фундаментальной решетки Ъ в под действием линейного невырожденного преобразования А. Если А — соответствующая матрица линейного преобразования, то

Л = А-Ъ*.

Для соответствия правилам матричного умножения в данном случае необходимо писать векторы столбцы х = (х\,.,х8)т £ Ли п = пь ., п8)т £ Вектор - столбцы матрицы \ он . а и

А — ; ••. ;

У . а33 — {аЦ-> • • • и = 1? • • • 5 5) являются базисом решетки Л. Поэтому, если решетке Л соответствует матрица А, а решетке Г — матрица В, и С переводит Л в Г, то этому соответствует матричное соотношение

В = С -А.

Лемма 1.3 Если решетка А £ РД? задана 5 - мерной невырожденной матрицей А : А = А- ZSJ) то рршетка <£>а(А + х) переводится в решетку <^0(А + у) линейным преобразованием с блочной матрицей

В(х,у) = а I

О . О 1 где I — единичная в-мерная матрица.

Лемма 1.3 допускает простое обобщение.

Лемма 1.4 Если решетки А и Г £ РЯ8 заданы б -мерными невырожденными матрицами А и В, соответственно:

А = А- Ъ8, Т = В-Ъ8, то решетка <£>а(Л + х) переводится в решетку <^а(Г + у) линейным преобразованием с блочной матрицей \

С(А,В,х,у) =

ВА

-1 О О

1 1 где г

ВА~1х + у а

В дальнейшем нам потребуется общее свойство метрики на позволяющее, в принципе, за конечное число операций вычислять расстояние между двумя решетками, заданными своими базисными матрицами. Обозначим через 118{р) множество матриц ТГ из с ЦИ^Ц < р.

Теорема 1.2 Пусть решетки Л и Г заданы своими матрицами А и В, соответственно:

Л = А • Ъ\ Г = В-Ъ\ и величины ßi и vi вычисллютсж по формулам: тогда р(Л, Г) = max(ln(l + /¿), 1п(1 + и)) < < max (In (1 + \\BA~1 - /||), 1п(1 + \\AB~1 - /||)), где = min II BW A~l - /||, ^ = min \\AWB'1 - /||,

WEUsini) weus{f О и найдутся матрицы A(A, Г), В(А, Г) такие, что

Г = А(Л, Г) ■ Л, Л = В(А, Г) • Г, р(Л,Г) = max (In (1 + |И(Л,Г) - /||),1п(1 + ||В(Л,Г) - /||)).

Теорема 1.2 позволяет решить вопрос о вычислении расстояния между сдвинутыми решетками в ^-окрестности для достаточно малого е. Для этого прежде всего введем следующие обозначения.

Пусть MSje( R) — множество всех вещественных квадратных матриц А порядка s с операторной нормой II All = 5 • max ]аг;-| < е.

1 <i,j<s

Так как при е < 1 для любого A £ MSj€(R) матрица I +'А обратима и

14- А)~1 = 1 + А + А2 + . + Ап + . = 1 + А\ || А*\\ < то при .0 < £ < | через М*£( К) обозначим множество всех вещественных матриц А порядка s таких, что ||Л|| <еи ||А*|| < е, где А* = {I-\-A)~l—I. Из определения следует, что M*S(R)С MSj£(R).

Как обычно, для любого действительного числа х расстояние до ближайшего целого обозначается через ||аг||. Эта величина выражается через дробную часть х по формуле шщ({г}, 1 — {я}).

Непрерывная периодическая функция задает метрику на окружности Т = М / Z единичной длины. Аналогично, на 5 - мерном торе Т8 = Е® / Ъ8 молено задать метрику

Ю) = тах \\х, -щ||, где через (х) обозначена сдвинутая фундаментальная решетка х+ Zs — класс эквивалентности, порожденный точкой х Е К®. Окрестность радиуса £ точки (х) на обозначим через

Тв(х,б) = {{у) | тах

1<;'<в

ОС -) у Л <

Рассмотрим наряду с решеткой Л ее взаимную решетку

А* = {х \ ег, у е Л}.

Как известно, если А

Ли . матрица из базисных векторов А] х* Л11

X* V Л«1

• С\д,. . то

X*

X* • • л88 матрица из базисных векторов = (Ад,., Xjs) взаимного базиса взаимной решетки Л*, который определяется условием м=%=I п ри г, ^

I (J при г j.

Определим величину

М(А) = ^\\А\\-\\А~% которую по аналогии с мерой обусловленности системы линейных уравнений будем называть мерой обусловленности решетки. В силу дискретности специальной группы SLs{ Z) существует матрица ^4(А) такая, что Л - А(А)Т ■ zs и М(Л) - ||А(Л)|| • Ц^Л)"1!!.

Теорема 1.3 Пусть 0 < е < --- ^^^ и отображение задано на М*£(R) по правилу фА(В) = (I + В) ■ А, ВеМ1, тогда гр^(В) — взаимнооднозначное отображение М*е(ж) на и (А, 1п(1 + е)), где и{А,6) = {ГеРЯ3 I />(Л,Г) < 5}, и для любого В £ М*е(ш) справедливо равенство } р(А,фА(В)) = шах(1п(1 + ||5||),1п(1 + ||Я*||)), где В* = (I + В)-1 - I.

Лемма 1.5 Для меры обусловленности решетки 9?а(Л +Л(А) -х) £ РЯ8+\,.где х £ [0; справедливо равенство

МЫА + Л(Л) • *>) < (. + 1). • шах (Ш1,1, МШ, .

При фиксированных А Е -РД,, х Е и а > 0 на декартовом произведении М*е('К)хТ5(0, е) зададим отображение в = ©л,ж в СРК8 по правилу: еАл(В, у) = (I + В) ■ (Л + А(Л) • (а? + у)), ует£(б,б).

Через II(Л+г, обозначим 6 - окрестность сдвинутой решетки Л+г:

17{А + г,6) = {Г + еСРЛ8 | р(А + г, Г+ ?!;)< 5}. Теорема 1.4 Дрг/

А + А(Л)-1)) справедливы вложения ща + л(л) ■ г, «у с еа>г(м;|е(к) х т5(о,е)) с с г/(л + а(л) • 52) любых 5\ и ¿2, удовлетворяющих условиям:

5 + 1) -5 -а (5 + 1) -а (в-Ц)-е 1п 11 + тт

А(А)|| '||А(Л)||+а'||2-«-А(Л)-Ч

2>1п + (« + 1) тах К Л^И • (£ + г2) и ра(к + А(Л) ■ х, (I + В) ■ (Л + А(Л) • (х + у))) =

В\\ ||(/ + В)-Л(Л)-Я тах 1п 1 + (з + 1) тах а

1„ (1 + (. + 1) шах (М + ) |

Для построения аналитического продолжения обобщенной гиперболической дзета - функции выделяется достаточно широкий класс решеток — декартовы решетки. Даются следующие определения.

Определение 1.1 Простой декартовой решеткой называется сдвинутая решетка Л 4- х вида

Л + х = (¿1 • ъ + х1) X • ъ + х2) х . . . X (ъ ■ ъ + х8), где^фО У =

Другими словами, если решетка А + х простая декартова решетка, то она получается из фундаментальной решетки растяжением по осям с коэффициентами ¿1,., и сдвигом на вектор х.

Определение 1.2 Декартовой решеткой называется сдвинутая решетка, представимая объединением конечного числа простых декартовых решеток.

Определение 1.3 Декартовой решеткой называется сдвинутая решетка, у которой найдется сдвинутая подрешетка, являющаяся простой декартовой решеткой.

Теорема 1.5 Определения 1.2 и 1.3 эквивалентны.

Теорема 1.6 Любой сдвиг рациональной решетки я-вляется декартовой решеткой.

Две решетки Л и Г называются подобными, если

Г = !>№,.,-Л, Л = .,£) -Г, где

Ч . о ^

1, . ,су О 1 произвольная диагональная матрица, • . • ф 0.

Множество всех невырожденных вещественных диагональных матриц порядка я будем обозначать

А(Е) - {£>(<¿1, .1ав) | ^ • . . • <1, ф 0}.

Относительно операции матричного умножения (Е) — мультипликативная абелева группа.

Множество всех унимодулярных вещественных диагональных матриц Лиз(№) является подгруппой группы Д>(е). Кроме того,

А (К) = £>1/в(К) X Е+, где изоморфизм (р между Дз(к) и прямым произведением 0118(к) х Е+ устанавливается по правилу йх йв

1Я

Обозначим через ВМ8}£(ш) множество всех диагональных матриц £>(с2ь . ,4) с цл№,.,<уц <е, а через £)М*е( Е) — множество всех диагональных матриц 1,., д,8) с в

Д + ¿¿1 '1 + 4 е.

Так как DM*£(r) — компактное подмножество множества М*е(к), а Ts(0,е) — компактное подмножество тора, то для любой сдвинутой решетки Л + хее замкнутая £ - окрестность траектории Ds(R)-(A -fr х) при достаточно малом £ будет полным метрическим пространством.

Теорема 1.7 Произвольная декартова решетка подобна сдвинутой целочисленной решетке.

Определение 1.4 Целочисленную решетку Л назовем простой, если проекция на любую координатную ось совпадает с Ъ.

Теорема 1.8 Любая целочисленная решетка Л подобна простой решетке, которая однозначно определяется решеткой Л.

Теорема 1.9 Для любой декартовой решетки А существует единственное представление

А = D(ti,. .,ts) ■ А0, ¿Ь.Л>0, где До — простая решетка.

Для произвольной сдвинутой решетки Л + Ъ £ CPRS усеченным норменным минимумом, или гиперболическим параметром, называется величина q(A + Ъ) = min q(x). xe(A+b)\{6}

Так как niax(l,N(x)) < q(x), то max(l, N(A + b)) < д(Л + &), для любой решетки Л.

-t

Норменным спектром сдвинутой решетки Л + b называется множество значений нормы на ненулевых точках сдвинутой решетки Л + Ь:

Nsp(A + Ъ) = {\ | Л = х G (Л + £)\{0}}, соответственно усеченным норменным спектром сдвинутой решетки Л + Ъ — множество значений усеченной нормы на ненулевых точках сдвинутой решетки:

QSP(A + Ь) = {А-| Л = q(£), х е (Л + Ь)\{б}}.

Очевидно, что

N( А + Ъ)= inf Л, aeivsp(a+¿) q(A + 6) = min Л.

Порядком точки спектра называется количество точек сдвинутой решетки с заданным значением нормы. Если таких точек сдвинутой решетки бесконечно много, то говорят, что точка спектра имеет бесконечный порядок. Порядок точки Л норменного спектра будем обозначать через п{А), а порядок точки Л усеченного норменного спектра, соответственно, д(А). Справедлив следующий аналог леммы 1 из работы [132].

Лемма 0.1 Для любой решетки А + Ь и любой точки А из усеченного норменного спектра Qsp{А + Ь) порядок точки А конечен и Qsp(А + 6) — дискретен.

Из леммы 0.1 следует, что

Qsp(А + b) = {Ai < А2 < . < Ап < .} и q(А + Ь) = Аь Jim An = оо.

Отсюда вытекает, что обобщенную гиперболическую дзета - функцию произвольной сдвинутой решетки Л -f b можно представить как ряд Дирихле: оо

Ся(А + ь|«)= Е q{ß)~Q = Е Q(xk)^ka = Е хб{А+Ь)Ш k=1 AeQíp(A+?)

Теорема 0.1 Для любого а = о + И в правой полуплоскости сг > 1 ряд Дирихле для | а) абсолютно сходится, а в полуплоскости о > ^о > 1 равномерно сходится.

Так как при а = <7 + г£и<7><7о>0

Я&к) Е

Jb=l

1 ^jfc xa Лк то из теоремы 0.1 следует, что для любого комплексного а — а + it в правой полуплоскости (с > 1) определена регулярная функция комплексного переменного, заданная рядом (8) и справедливо неравенство

Ся(Л + ЬН(<Ся(Л + 6|(т).

Теорема 2.4 Обобщенная гиперболическая дзета - функция одномерной фундаментальной решетки является аналитической функцией на всей а - плоскости, кроме точки а — 1, в которой у нее полюс первого порядка с вычетом, равным 2.

В левой полуплоскости о < 0 справедливо равенство 6 | а) = • Г(1 - а) • sin (f ■ а) Е / пф0 71

В правой полуплоскости о > 0 справедливо равенство

Z + Ь\а) =

-1+№+{1 - ч+«• f и-^-ь}-^})^

В общем случае для | а) справедлив следующий результат.

Теорема 2.5 Для произвольной сдвинутой одномерной решетки A + b = d-Z-\-b обобщенная гиперболическая дзета - функция z+& | а) является аналитической на, всей а - плоскости, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс первого порядка с вычетом, равным 2 detA'

Теорема 2.7 Обобщенная гиперболическая дзета - функция ("я(Л | а) для любой простой декартовой решетки Л = YlSj=i{dj • Ъ -f aj) является аналитической функцией во всей а-плоскости а — и + it, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс s-порядка.

Теорема 2.8 Для любой декартовой решетки Л обобщенная ги перболическая дзета - функция + Ь | является аналитической функцией во всей а-плоскости а = cr + it, кроме точки а = 1, в которой у нее полюс s-порядка.

После этого исследуется вопрос о поведении на орбите декартовых решеток. И снова рассмотрение начато с одномерного случая.

Теорема 2.9 Для любой точки а из а - плоскости, кроме точки а = 1, найдется окрестность \а — ß\ <8 такая, что для любой, сдвинутой решетки Л + Ъ Е CPR\ liml Ся(Г + 0|/?) = Ся(Л + Ь|0), причем эта сходимость равномерная в окрестности точки а.

Теорема 2.11 Для любой точки а из а - плоскости, кроме точки а = 1; найдется окрестность \а — ß\ < 6 такая, что для любой декартовой решетки Л + Ъ Е CPRS j

Hm Хн(D(qu ., q,) • Л + g | ß) = Ся(Л + b | ß),

D(q1,.,qs)-A+g-^A+b причем эта сходимость равномерная в окрестности точки а. 0.2.3 Равномерное распределение и сетки

В 1916 году в работе [102], с которой обычно ведется отсчет теории равномерного распределения, Г.Вейль установил интегральный критерий равномерного распределения бесконечной последовательности точек в s- мерном единичном кубе Gs. Согласно этому критерию бесконечная последовательность точек X = {i?o, • • •, • • •} из Gs равномерно распределена тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману функции f(x) справедливо равенство н = (Ii)

N ib=o ¿i

Равенство (11) можно переписать в виде квадратурной формулы f(x)dx = /(£*) - -МА Hm RN(f) = о (12)

Js ^ k—G N-*°°

Если в равенстве (12) взять в качестве f(x) характеристическую функцию се) прямоугольной области П(а) = [0; ai} х . х [0;as), то получим связь между погрешностью квадратурной формулы и локальным отклонением

RN[xi = ^D(XN,a) N-l

D(Xn, а) = E x(xk, а) - N ■ • . • ot8, k= 0 где Xn = {x0,., xn-i} ~ сетка, образованная из первых N членов бесконечной последовательности X. Здесь сразу необходимо подчеркнуть, что понятие последовательности допускает повторение точек, а^понятие сетки, как произвольного множества точек из Gs, такого повторения не допускает. Такое несоответствие легко преодолеть, перейдя к понятию сетки с весами (X, р), где

X = {£о,.,с Gs, р= (ро, • • •,pN-hp) е Ms+1 (13) Рассмотрим произвольную s-мерную сетку

X = .,xks)\k = 0,., iV — 1} г «Г ^'Т-'Г [' я

V -ч.'/о 1Е.КА из 5-мерного единичного куба С8 = [0; I)5. Для д > 0 ^-отклонением сетки X с весом р называется величина

1 1

В8Д(Х,р).= ¡.¡\В(Х,а,р)\Ча, о о где

N-1 5

1)(Х, а, р) = £ Рк п х(хкз> а^ - р • N ■ аг • . ■ а8 к=0 ¿=1 функция локального отклонения сетки X и %(ж,а) — характеристическая функция промежутка [0; а).

Другой способ преодолеть это затруднение — "подъем размерности", впервые использовал К.Рот в работе [98]. Суть этого приема состоит в том, что начальному отрезку из N членов з - мерной последовательности X ставится в соотвествие 5 + 1 - мерная сетка

У* = {(^1,.,^,,-^ | j = 0,.1N-l}

Из определения сразу видно, что справедливо равенство

Р(а, К, ТУ) = (аь ., а8, ^ .

При р = ро = • • • = />п1 = 1 будем писать просто В8Л(Х). Относительна В8>д(Х) известны следующие результаты.

В 1954 году К. Рот [98] доказал: существует константа с(з) > 0 такая, что для любой сетки X из N точек справедлива оценка снизу

А,, 2{Х)>ф)1п8~1М. (14)

В 1977 году В. Шмидт [101] установил существование с(я,д) > 0 такой, что для любой сетки X из N точек справедлива оценка снизу

X) > ф, д) Ы^-1^2 Л/", д > 1. (15)

В 1980 году К. Рот [99], рассмотрев преобразования сеток Хэммер-сли и усредняя по непрерывному параметру квадратичное отклонение преобразования^ сеток, доказал существование для любого N сетки из N точек, для которой верхняя оценка квадратичного отклонения по порядку совпадает с оценкой (14). Тем самым была доказана неулучшаемость нижней оценки К. Рота.

В работах [81], [82] Чень обобщил К. Рота для произвольного q-отклонения и, таким образом, доказал неулучшаемость нижней оценки (15). Чень использовал преобразования Рота для сеток Хэммерсли и ввел новые, дискретные преобразования для множеств Фора.

В работах [104], [105] Н. М. Добровольский предложил дискретные преобразования сеток Хэммерсли, с помощью которых доказал верхние оценки Рота и Ченя с лучшими константами. В ряде работ [105],[115],[118],[117] изучались алгоритмические вопросы поиска оптимальных преобразований сеток Хэммерсли.

Нетрудно показать, что множество преобразований, предложенных К. Ротом, образуют бесконечную группу преобразований сеток Хэммерсли. Аналогично, преобразования Ченя [82] множеств Фора и преобразования из работы [104] относительно композиции являются конечными группами.

В работе [123] В. С. Ваньковой, Н. М. Добровольского, А. Р. Есаяна был введен класс рациональных р-ичных сеток, и для них определены две группы преобразований: группы арифметических сдвигов и группы поразрядных сдвигов.

Группа арифметических сдвигов является обобщением конструкции из работ [104], [105] для сеток Хэммерсли, а группа поразрядных сдвигов — обобщение конструкции Ченя из работы [82] для множества Фора.

Метод доказательства существования сетки с правильным квадратичным отклонением или д-отклонения в работах [82], [104], [105] состоял в оценке среднего д-отклонения по орбите сетки Хэммерсли или сетки Фора.

В работе Н.М.Добровольского [125] было установлено, что для произвольной рациональной р-ичной сетки среднее арифметическое квадратичных отклонений сеток из орбиты для группы арифметических сдвигов совпадает со средним арифметическим квадратичных отклонений сеток из орбиты для группы поразрядных сдвигов. Тем самым было показано, что для квадратичного отклонения подходы из работ [82] и [104] дают для одной и той же исходной сетки одинаковые результаты. Кроме этого, в работе [123] были рассмотрены алгоритмические проблемы поиска сетки из орбиты с квадратичным отклонением, не превосходящим среднего арифметического по орбите.

В работах В. С. Ванысовой [9]-[11], [13] и ее кандидатской диссертации [12] были разработаны основные направления теории квадратичного отклонения ^-ичных сеток.

В работе Добровольского Н.М. [125] был предложен способ определения двух групп преобразования арифметических сдвигов и поразрядных сдвигов для произвольных сеток, при этом свойство равенства средних по орбитам квадратичных отклонений сохраняется для этих групп.

Третья глава посвящена доказательству, что при подходящем выборе нормированного пространства фукций норма линейного функционала погрешности квадратурной формулы (12) будет выражаться через соответствующую норму локального отклонения сетки с весами деленную на количество точек сетки. При таком взгляде на различные виды отклонения оказываются сравнимы общий метод Колмогорова - получения оценок снизу для норм погрешностей квадратурных формул и частный метод Рота - оценок квадратичного отклонения. Доказывается обобщение теоремы Рота об оценке квадратичного отклонения снизу на случай произвольной сетки с весами.

В четвертой главе предлагается другой подход для построения указанных групп преобразований на множестве произвольных сеток, основанный на рассмотрении соответствующих преобразований 5 - мерного куба на себя. При этом будет показано равенство средних арифметических по орбитам для произвольного д-го отклонения. Такой подход сразу позволяет применять преобразование сеток к произвольной сетке, не ограничиваясь только специальным классом р - ичных сеток, как это делалось в первоначальных работах автора со своими соавторами. В первом разделе этой главы изучаются группы преобразований единичного отрезка. Во втором разделе эти конструкции переносятся на многомерный случай. Третий раздел содержит применение преобразований промежутка [0; 1) к одномерным сеткам и доказательство теоремы о равенстве средних по орбитам одномерных сеток. В четвертом разделе рассматривается многомерный случай. Кроме этого в этой главе изучается ротовский "подъем размерности" для упорядоченных сеток.

Более подробно суть этих конструкций в следующем. Пусть .,р3 — фиксированные натуральные числа, отличные от 1, и натуральные числа Их,., Р\,., Р3 связаны соотношениями Р^ = р]3 {] = В работе рассматриваются две группы преобразований:

С(Р) = {д(?)\0 < Р^^ = и куба 0£.

Группа арифметических сдвигов в(Р) ~ (г/р^) х • • .• х {г/р8г), группа поразрядных сдвигов.

G+(P) ~ (г/Р1г)к1 х • • • х (г/Рзг)к>.

Пусть ХЙ — образ сетки X под действием преобразования д(?) Е С(Р), а XСЙ—преобразования р*Й £ ^(Р)Х и С*{Р)Х соответствующие орбиты; а^(Р)Х) = -А- £ В8Л(ХС(^р) д*(?)€С*(Р) средние арифметические по орбитам.

Основной результат работы: для любой сетки X справедливо равенство сг,л(С(Р)Х) = *8,д{0*(Р)Х). 0.2.4 Апробация работы

Результаты работы докладывались на: } научно-исследовательском семинаре кафедры теории чисел МГУ в период с 1983 года по 2000 год; семинаре профессора Н.М.Коробова в МГУ по тригонометрическим суммам и их приложениям в период с 1976 по 1997 годы; семинаре О.Б.Лупанова, В.М.Сидельникова и Ю.В.Нестеренко "Дискретная математика и математические проблемы криптографии" в 1996 году;

Всесоюзной конференции по теории трансцендентных чисел и их приложениям (Москва, МГУ, 1983 год);

Всесоюзной конференции "Теория чисел и ее приложения" (Тбилиси, 1985 год);

Республиканской научно-практической конференции "Теория чисел и ее приложения" (Ташкент, 1990 год);

Международной конференции "Современные проблемы теории чисел" (Тула, 1997);

Н-й международной конференции "Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел'? (Воронеж, 1995);

Ш-ей международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения" (Тула, 1996);

II international conference on analytic and probabilistic number theory (Palanga, 1996);

Международных научных чтениях по аналитической теории чисел и приложениям (Москва, МГУ, 1997);

Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998);

Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2000).

1 Пространство сдвинутых решеток