Применение интегральных неравенств на конусах монотонных функций в теории вложения пространств Кальдерона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

0.1 Описание обозначений.

Глава 1. Пространства Кальдерона-Орлича

1.1 Перестановочно-инвариантное пространство.

1.1.1 Банахово функциональное пространство.

1.1.2 Перестановочно-инвариантное пространство.

1.1.3 Пространство Орлича.

1.2 Общие свойства пространств Кальдерона-Орлича.

1.2.1 Основные определения и обозначения.

1.2.2 Дискретизация нормы F на конусе убывающих функций.

1.3 Критерий ограниченности оператора типа Харди в пространстве F = Lxr\ Ьф у

Глава 2. Критерий вложения пространства Кальдерона-Орлича в LM

2.1 Критерий вложения пространства Кальдерона-Орлича в L„ и перестановочно-инвариантная оболочка в этом случае.

2.1.1 Формулировка основных результатов.

2.1.2 Доказательства утверждений.

2.1.3 Примеры.

2.2 Описание оболочки локального роста пространства

Кальдерона-Орлича.

Глава 3. Анизотропное пространство Кальдерона-Орлича.

Интегральные неравенства на конусах монотонных функций играют важную роль в математическом анализе, теории вложения и их приложениях. Многие объекты современного математического анализа (убывающие перестановки функций, наилучщие приближения, модули непрерывности, функционалы теории интерполяции операторов) обладают свойствами монотонности. Многие вопросы теории приближений, теории интерполяции и в том числе, теории вложения сводятся к исследованию интегральных неравенств на конусе монотонных функций.

Теория вложения для пространств функций играет важную роль в математическом анализе и его приложениях в теории дифференциальных уравнений, а также в теории рядов Фурье и в теории приближений. Правильная постановка задач теории приближений в различных метриках требует наличия точной информации о вложении пространств дифференцируемых функций в те или иные банаховые функциональные пространства.

Теоремы вложения возникли в связи с задачами теории уравнений в частных производных, в которых для изучения гладкости решений вводятся одни серии пространств, для изучения поведения вблизи границы области или вблизи каких либо особых точек - другие типы пространств; изучение значений решений на многообразиях меньшей размерности проводится в новых пространствах и т.д. Возникновение теории вложения связано с работами C.JI. Соболева в 30-е годы прошлого века. Им были введены и изучены пространства W^, получена для них система теорем вложения и даны приложения в уравнениях математической физики.

Расширение соболевской классификации на дробные порядки дифференцирования было предпринято в работах JI.H. Слободецкого, И. Стейна, П.И. Лизоркина и далее Я. Петре, Г. Трибеля и его учеников, М. Тейблсона и др. Оно привело к появлению пространств Соболева - Лиувилля, а затем и более обтцей шкалы пространств Лизоркина - Трибеля. Другое направление исследований связано с созданием С.М. Никольским теории вложений пространств гельдеровского типа, образующих шкалу с непрерывно меняющимися анизотропными характеристиками гладкости. О.В. Бесов ввел и изучил более общие пространства B^(Rn), совпадающие ири в = со с пространством Никольского Hp(Rn). Эти пространства сыграли важную роль для окончательного решения задачи о следах функций из пространств Соболева, изученной в работах Н. Ароншайна, В.М. Бабича, О.В. Бесова, Э. Гальярдо, П.И. Лизоркина, И. Стейна, С.В. Успенского и др., что дало толчок в теории обобщенных решений краевых задач для операторов в частных производных. Шкала пространств Бесова естественным образом возникает также в теории приближений, в рядах Фурье, в теории интерполяции линейных операторов.

Далнейшее расширение понятия гладкости связано с рассмотрением пространств "обобшенной гладкости в которых осуществлен переход от числовых (векторных) параметров гладкости к обобщенным параметрам - функциям (вектор -функциям) или последовательностям, причем при минимальных априорных предположениях. Такие пространства естественным образом возникают в теории рядов Фурье и теории приближений. Важный вклад в развитие теории пространств обобщенной гладкости внесли исследования Н.К. Бари, А. Зигмунда, С.Б. Стечкина, П.Л. Ульянова, М.К. Потапова, Э.А. Стороженко, П. Освальда, Ю.В. Нетрусова и др.

Развитие теории обобщенных пространств Бесова связано с работами О.В. Бесова, А.В. Бухвалова, М.З. Берколайко, M.JI. Гольдмана, Г.А. Калябина, Ю.В. Нетрусова и др. Потребностьи теории нелинейных краевых задач привели в работах Ж. Госсе, Т. Дональдсона, Н. Трудингера и др. к рассмотрению пространств дифференцируемых функций, построенных на основе более общей, чем Lp, метрики пространств Орлича. Дальнейшие обобщения, связанные с введением более общих метрик изучались в книге О.В. Бесова, В.П. Ильина, С.М, Никольского, в работах М.З. Берколайко, Ю.А. Брудного, А.В. Бухвалова, К.К. Головкина, M.JI. Гольдмана, B.C. Климова и др. Параллельно шло бурное развитие общей теории идеальных (банаховых функциональных) и симметричных (иерестановочно-инвариантных) пространств, связанное с именами таких известных специалистов, как С.Г. Крейн, А.П. Кальдерон, Е.М.Семенов, П.П. Забрейко, Я. Петре, Е.И. Бережной, В.И. Овчинников и др. Синтез этих подходов привел к возникновению концепции пространств Кальдерона, введенных им.

Ряд важных современных результатов теории вложений для пространств Кальдерона получен в работах M.JI. Гольдмана, Р. Кермана. В работе [10] получены, в частности, необходимые и достаточные условия для вложения где X - перестановочно-инвариантное пространство (кратко: ПИП), и построено оптимальное (самое узкое) ПИП для него; то есть, найдено ПИП Хо такое, что вложение A(E,F) с-> X верно при X = Хо, и если это включение верно для некоторого X, то Хо X. Такая постановка вопроса об оптимальности пространства принадлежит Ю.В. Нетрусову [21]-[22].

Диссертационная работа посвящена реализации абстрактных результатов по теории вложений пространств Кальдерона в случае пространств Кальдерона-Орлича A^$(Rn; и). Указанная реализация основана на анализе теории двойственности и оценках поведения интегральных операторов типа Харди в весовых пространствах Орлича. В работе также рассматривается вопрос об описании оболочки локального роста для пространств Кальдерона-Орлича и Соболева - Орлича.

Отметим, что пространства и) обобщают классические пространства Бесова. Обобщение проводится по двум направлениям: интегральные свойства функций из выражаются в терминах Е - ПИП общего вида, а дифференциальные свойства функций в терминах принадлежности наилучших приближений пространству Орлича, норма в котором более общая, чем в Lp.

Работа состоит из вступительного §0.1 и трех глав.

В параграфе §0.1 описаны основные используемые нами обозначения.

Первая глава посвящена построению конструкции пространства Кальдерона-Орлича и получению вспомогательных результатов. Она состоит из трех разделов.

В 1.1. кратко изложены некоторые факты, относящиеся к общей теории перестановочно-инвариантных и идеальных пространств.

В разделе 1.2. даются основные определения пространства Кальдерона-Орлича и рассмотрены его общие свойства. Как мы выше отметили, пространство Кальдерона-Орлича определяется следующим образом.

Ая,ф(Дп; и) = {/ € Е : et(f)E € F(R+) = П ЬФ^П+)} ;

00

Л > 0 : J Ф (л-^(/Ь) u(t)dt < 1 I , о ) где Ьф)г/(Я+) - весовое пространство Орлича, et(f)E - наилучшее ll/lk+ W/)A,e + inf приближение функции / £ Е с помощью целых функций экспоненциального типа степени tпо каждой переменной.

Методом дискретизации получена двухсторонная оценка нормы пространства F на конусе убывающих функций через норму дискретного пространства Орлича на основе которой устанавливаются основные утверждения. Именно справедливо предложение 1.2.1:

Пусть F = П Lqo - идеальное пространство (квази) норма в котором задается соотношением ф:= 1Ыко + 1Ык,„.

Введем (квази) нормированный конус

Of = {9 6 F : 0 < g(t) 4,} ; М\п1.-:=\\д\\р=\\д\\ь^ + д(+0), genF.

Пусть Ф Е Аг т.е. 3 с > 0, для которых Ф(2в) < сФ(я) < оо, (0 < s < оо). Тогда

00

1Ы1F « \\{д(»т)Ш,„ = inf{A > 0 : < 1}. т=0

Здесь w(fim) = Ът,т = 0,1,., где 6 > 1 - фиксировано;

00

IIKJIkv =inf {x >0: Y, ф(л1ЫК < i

771=0

В разделе 1.3 приведен критерий ограниченности оператора типа Харди:

00

G[g){t) = J д(т)фЕ{т)у{т-1)<1т : ПР F[T, оо). t в пространстве F. Основные результаты работы получены при условии ограниченности оператора G : 0,р F[T,oo). Поэтому важно найти критерий ограниченности оператора G для случая весового пространства Орлича. Введем положительную функцию

6(t)=HE{w~\t)), t G [1, оо), (1.3.1) где /iE-инволюция фундаментальной функции пространства Е; w~l-непрерывная справа обратная функция к w.

Тогда условие ограниченности оператора G эквивалентно требованию 9 G —У +оо), т.е. sup[e(2t)/0(t) : t G [2, оо)] < оо.

Во второй главе рассмотрены вопросы об оптимальном вложении пространства Кальдерона - Орлича и его оболочке локального роста. В 2.1 получено конкретное описание ассоциированного пространства Q'f для конуса которое дает возможность конкретизировать критерий вложения пространства Кальдерона - Орлича в Lqq. Справедливо следующее предложение 2.1.1.

Пусть F = П Lqo, Ф 6 A2 и V(oo) — 00, где t

V(t) = f u(x)dx,t > 0. 0

Тогда для измеримой функции £ > 0 на R+

00 inf{A > 0 : J Ф(А-1ра(£; t))v(t)dt < 1} + J £(x)dx, о 0 где Ф - дополнительная функция Юнга к функции Ф;

Pa&t) = Ф J t(x)dx-, P(t) = w~1(aw{t)). t

Для различных значений а > 1 эти нормы эквивалентны. Более того они эквивалентны следующей норме, более удобной для применений: lieik ф t ж)1йх)ёх lip,,/

00 inf I А > 0 : J Ф | Л1Ф w(t) J£,{x)dx J u{t)dt 1

0 \ о

С точки зрения описания оптимального (самого узкого) ПИП Х0 для вложения имеется два существенно различных случая

1 )-фе е q'f

2).фЕ $ tiF, где фЕ(Ь) = ^(^[^(Г1)2]"1, Ы*) := \\Хо\\е ~ фундаментальная функция пространства Е.

Как результат приведенных выше предложений имеет место эквивалентность фЕеП'р & Ф G Lyt„,

Г 00 inf < Л > 0 : J Ф ^А-1Ф (^у) Ы*)) v{t)dt < т.е. оо

1 > < ОО.

V WJy----У " ~ о

Из предыдующих утверждений и известных резултатов об оптимальном вложении пространств Кальдерона непосредственно вытекает следующая теорема 2.1.3. Пусть F = L$tV П Lqo и Ф G А2

1. Если V(oo) < оо то

А£,ф (Rn;v) = E(Rn).

2. Если V(oo) — оо и ф (sfe)"E(i) е ^ то пространство Хо = П Loo с нормой рх0(л = г(+0) + ре(гх(т~^оо))есть оптимальное ПИП для вложения.

В 2.2 получено конкретное описание оболочки локального роста пространства Кальдерона-Орлича.

Оболочкой локального роста пространства Кальдерона-Орлича А = v) называется функция:

EA(t) := sup {f*(t) : / 6 Л; ||/||л < 1} •

При наличии вложения Л С L^ получим E\(t) = 0(1),t +0. При отсутствии этого вложения функция E\(t) является важной характеристикой пространства Л. Пусть Ф 1 и sup w(t) 0(21) fiE{t) £ £,ф)„

L m t G (2, oo) oo.

Тогда

EA(t) * Ф flEfat) где fiE{x-,t) = цЕ{х),х G (0, I/O? &E(x;t) = /x^(l/t),x G [1Д,оо).

В третьей главе рассмотрено анизотропное пространство Кальдерона-Орлича Л^ф(Мп; и).

С помощью пространства F = Loo П Ьф,!/ определяется пространство Fo(K+) = Fo с нормой 00 \\g\loo + inf | Л > 0 : J Ф (А-1!^-1^))!) u(t)dt 1 где A(t) = ГК (0> "(*) = {ai{t),., an(t)}, t G M+ j векторная функция со свойствами: а'(£)-непрерыш1ы, и aj(t) t> = О» Q;j(+00) = 00 • Введем пространства идеальные) Fj с помощью нормы:

Таким образом, анизотропное пространство Кальдерона-Орлича и) порождается нормой: п

Л(' ф ■

3=1 оо Ё |e$(/b + hf |А > 0 : (A-4j(A-I(0)(/)^) "(*)<** < 1

Аналоги утверждений для ' изотропного пространства, полученных в предыдующих главах, получены и в анизотропном случае.

Действительно, пусть {д : g(A(t)) е F0}; |Ы|п,0 := \\я(А(.))\\Ро

- конус убывающих функций из Fq. Этот конус так же важен как Qf, так как £ где

St(f)E := infmaxe^(/)£; к := |(i/,-)J=1 : 4 > O.JJi/,- = t

- среднее наилучшее приближение функции / 6 Е.

Для измеримой функции £ > 0 на R+

IKIk

Fo Ф t jki)f*lx)dx

Ьф, i/ inf |А > 0 : J^ /v(t)dt < 1J .

Таким образом, для анизотропного случая имеет место эквивалентность 1

Фе е n'fo Ф\—j fiE{t) е L%u.

Введем оператор

00 t A{t)

Тогда условие ограниченности оператора Go эквивалентно требованию в 6 A2(t ->■ +оо), т.е. sup[9(2t)/6(t) : t 6 [2, оо)] < оо.

В конце отметим, что приведенные выще общие результаты для пространств Кальдерона-Орлича проиллюстрированы примерами.

0.1. Описание обозначений

1). Повсеместно символ := будет означать, что величина стоящая слева от него определяется выражением стоящим справа.

Символом ~ будем обозначать эквивалентность двух величин. Например, а « 6, значит 3ci, С2 > 0 : с\а <Ь< сга.

Нумерация формул в тексте сплошная и состоит из трех чисел (слева-направо): первая цифра соответствует номеру главы, вторая указывает на раздел внутри главы, а третье число номер формулы внутри раздела. Например, (2.1.7) будет номером седьмой формулы из первого раздела второй главы. Номера теорем, лемм, предложений и т.д. совпадают с номерами раздела, где они помещаны. Ссылка на формулу, теорему, предложении дается соответствующим им номером.

Через т, к, г, j будем обозначать индексы пробегающие множество No := {0,1,2,.}. Далее, Еп евклидово действительное у/2 пространство точек х = (х\,., хп);= I ^ = ) > гДе п - заданное натуральное число, обозначающее исключительно размерность данного пространства; R+ := (0, оо) - действительная полупрямая.

Всюду в тексте термин "измеримост"будет означать измеримость в смысле Лебега, интегралы будут пониматься в смысле Лебега; mesQ - мера Лебега множества Г2.

Мы тоже будем пользоваться стандартными обозначениями: Для измеримого непустого множества fiCK":

• - банахово пространство равномерно непрерывных ограниченных на со функций.

• LP(Q), 1 < р < оо - множество классов измеримых, равных почти всюду в О, функций f(x), для которых конечна норма: (f\f(x)fdx) /Р; 1<р<оо

Ьр(П)'-=< ™ J supvrai |/(х)|; р = оо жбП

Сопряженный показатель к р обозначим через р': то есть ^ + ^ = 1, ири этом 1' = оо, оо' = 1.

• АС {О) - множество абсолютно-непрерывных на £1 функций.

• Через Врв(0,);а > 0,1 < р, в < оо обозначим классическое изотропное пространство Никольского-Бесова; В^^О,) = Нр(£1).

2). Напомним, что функция qT(x),x G Мп называется целой функцией экспоненциального типа т = (тц,. ,rn),Tj > 0, если для нее выполняются следующие условия:

1. gT(z) - целая функция по всем переменным, то есть она разлагается в абсолютно сходящийся на всем Сп степенной ряд: к3> О

2. Для любого е > 0, существует Ае > О такое, что для всех z = (zi,., zn) выполняется неравенство: rW| < A£exp^2{rj + e)\zj\. i

Для 1 < р < оо, подпространство в Lp(Wl) целых функций экспоненциального типа г часто обозначают через 9ЯГ;Р(МП). Функций из этого подпространства часто называют функциями с ограниченным спектром, поскольку они допускают эквивалентное описание в образах Фурье, а именно (теорема Пэли-Винера):

9ЯГ)Р(МП) = {qT е Lp(Rn) : supp^qT С 0>}, где У := {(&,., f„) е Rn : < т,-} - n-мерный брус.

1. Берколайко М.З., Овчинников В. И. Неравенства для целых функций экпоненциального типа в симметричных пространсвах.//Тр.МИАН. 1983.-T.161.-C.3-17.

2. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.-М:Наука, 1975.480 С.

3. Буренков В.И. Функциональные пространства. Пространства Lp. -М.: Изд-во УДН, 1987. 77 С.

4. Буренков В.И. Функциональные пространства. Основные интегральные неравенства, связанные с пространствами Lp.~М.: Изд-во УДН, 1987. 77 С.

5. Буренков В.И., Гольдман M.JI. Методические реомендации к изучению курса "Функциональные пространства". -М.: Изд-во УДН, 1989. 77 С.

6. Буренков В.И., Гольдман M.JI. Вычисление нормы положительного оператора на конусе монотонных функций. //Тр. МИАН. 1995.-Т. 210.-С. 65-89.

7. Гольдман M.JI. О вложении разных метрик для пространств типа Кальдерона. //Тр. МИАН. 1988.-Т. 181.-С. 70-94

8. Гольдман M.JI. Об одном вложении обобщенных пространств типа Бесова и Лоренца. //Функ. пр-ва и их прим. к диф. уравнениям. РУДН, 1992.-С. 46-67.

9. Гольдман M.JI. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций. //Тр. МИАН. 2001.-Т. 232.-С. 115-143.

10. Гольдман M.JI. Перестановочно инвариантная оболочка для обобщенных пространств Бесова, Соболева и Кальдерона. // Труды международной конференции, посвященной 75-летию акад. Решетняка Ю.Г., Новосибирск, 2005 (в печати)

11. Гольдман M.JI., Кермаи Р. Об оптимальном вложении пространств Кальдерона и обобщенных пространств Бесова. //Тр. МИАН. 2003. Т 243.- С. 161-193.

12. Гольдман M.JI., Энрикес Ф.Э. Описание перестановочно инвариантной оболочки для анизотропных пространств Кальдерона. //Тр. МИАН. 2005.-Т. 248.-С. 154-184.

13. Жамсранжав Д. Оценка локальной растущей оболочки пространства Кальдерона Орлича. //-М. XLII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. 2006. Секции физики. -С 53-54.

14. Жамсранжав Д. О критерии ограниченности оператора Харди в пространстве Орлича. //-М. XLII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. 2006. Секции физики. -С 55.

15. Жамсранжав Д. О перестановочно инвариантной оболочке пространства Кальдерона - Орлича. //-М., 2006. -23 С.-Рус.-Деп. в ВИНИТИ, 26.02.2006, Ш91-В2006.

16. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функций и пространства Орлича.// -М.: Физматгиз, 1958, 271 С. .

17. Крейн С.Г., Полунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов.// -М.: Наука, 1978, 400 С. .

18. Мазья В.Г. Пространства Соболева.// -Изд. ЛГУ.: 1985, 416 С.

19. Нетрусов Ю.В. Теоремы вложения пространств Бесова в идеальные пространства. // Записки научных семинаров ЛОМИ. -Л.: Наука, -Т. 159. -С.69-82.

20. Нетрусов Ю.В. Теоремы вложения пространств Лизоркина-Трибеля. // Записки научных семинаров ЛОМИ. -Л.: Наука, -Т. 159. -С.103-112.

21. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.// -М.: Наука, 1977, 456 С. .

22. Харди Г.Г., Литтлвуд Дою.Е., Полна Г. Неравенства.// -М.: ИЛ, 1948, 456 С. .

23. Adams D. A sharp inequality of J.Moser for Higher order of derivatives. //Ann. of Math. 128. (1988) 385-398.

24. Bennett C., Sharpley R. Interpolatoin of Operators// Pure and Applied Math. Acad. Press. 1988. Vol. 129,.

25. Caetano A., Moura S. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the subcritical case.// Math. Nachr. 273 (2004) 43-57.

26. Caetano A., Moura S. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the critical case.// Math. Inequalities and Applications. 7(4) (2004) 573-606.

27. Caetano M., Haroske D. Continuity envelopes of spaces of generalised smoothness: a limiting case; embeddings and approximation numbers.// J. of Function Spases and Appl. vol 3. 1. (2005). 33-71.

28. Calderon A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method.// Studia Math.,1964. -V. 24. 113-190.

29. Goldman M.L., Heinig H.P., Stepanov V.D. On the principle of duality in Lorentz spaces.// Can. J. Math. 48. (1996) 959-979.

30. Heinig H., Kufncr A. Hardy operators on monotone functions and sequences in Orlicz spaces//J. London Math. Soc.(2), 53 (1996) 256-270.

31. Triebel H. Theory of function spaces.// BasehBirkhauser. (1992).

32. Triebel H. Structure of functions.// Basel:Birkhauser. (2001).