Обратные функциональные неравенства и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Павленко Алексей Николаевич

Обратные функциональные неравенства и их приложения

01.01.02 Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 1998

Работа выполнена на кафедре алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета.

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор Климов B.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математ!гческих наук,

профессор Бобылев H.A.

кандидат физико-математических наук,

доцент Пснкин О.М.

Ведущая организация - Московский государственный университет.

Защита состоится "29" декабря 1998 г. в 15 ч. 20 мин. в ауд.314 на заседании диссертационного совета К 063.48.09 при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл.1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат

Ученый секретарь диссертационного совета

Задорожний В.Г.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Диссертация посвящена обратным функциональным неравенствам и их приложениям к граничным задачам. Теория прямых и обратных функциональных неравенств является одной из интенсивно развивающихся областей математического анализа. Типичным примером прямых неравенств могут служить теоремы вложения, существенную часть которых составляют оценки норм функций через нормы производных этих функций. Первые исследования в данном направлении производились ещё Пуанкаре и Гильбертом на рубеже XIX и XX столетий. Эти исследования были связаны с вариационными методами математической физики. Как научное направление теория вложения оформилась в работах С. Л. Соболева; о дальнейшем развитии згой теории и плодотворности её приложений можно судить по многочисленным публикациям в этой области.

Обратные функциональные неравенства дают оценки норм старших производных функций через нормы их младших производных. Такого рода оценки справедливы лишь для функций, удовлетворяющих дополнительным условиям. В качестве примера можно рассмотреть оценки С. Н. Бернштейна вида ||г(;С:| < решений дифференциального неравенства .

верную для тригонометрических многочленов степени не превосходящей числа«. Неравенство (1) связано с классическим ¿-условием Бернштейна, играющим первостепенную роль в теории нелинейных краевых задач. Оценка (2) играет важную роль в конструктивной теории функций. Естественно возникает задача, связанная с обобщением и усилением линейных и нелинейных обратных неравенств.

Значительная часть диссертации посвящена обратным неравенствам для функций, принадлежащих конусам в пространствах Банаха. Большинство полу-

(1)

а также принадлежащую ему же оценку

'¡к;С'|!<4<;С||,

(2)

чениых результатов не требуют положительной обратимости дифференциал ных операторов, рассматриваемых краевых задач, несмотря на широкое и пользование конусных методов.

Цели работы. Доказательство новых теорем о разрешимости нелинейнь краевых задач и ветвлений соответствующих решений на основе применен! обратных неравенств.

Методика исследования. В работе используются качественные метод теории краевых задач и общие методы анализа, в том числе теория уравнений пространствах, полуупорядоченных конусом.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Ус1 лены и обобщены линейные и нелинейные обратные неравенства для скаля] ных и векторных функций одной переменной, с помощью которых устанавл! вается существование нетривиальных решений краевых задач с сильными № линейностями. Полученные результаты были обобщены для случая банаховь: пространств функций многих переменных. Следует отметить, что использов; пие пространств Марцинкевича-Соболева вместо традиционно используемы пространств Соболева позволило усилить ряд обратных неравенств. В диссе] тации рассмотрены приложения полученных результатов к нелинейным эллш тнческим краевым задачам.

Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результ; ты диссертации могуг быть использованы в целях дальнейшего уточнения усиления обратных неравенств, в теории нелинейных краевых задач для обьн повенных дифференциальных уравнений, а также к нелинейным эллиптич« скнм краевым задачам.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались н конференции молодых учёных «Проблемы современной науки» (Орлог схий ГПУ, апрель 1996 г. на Воронежской весенней математической школ «Современные методы в теории краевых задач» (Воронежский ГУ, май 1997 г. на Воронежской математической школе «Современные проблемы механики прикладной, математики» (Воронежский ГУ, апрель 1998 г.), на семинар Ю. В. Покорного (Воронежский ГУ).

Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в заботах [1-5].

Структура диссертации. Диссертация содержит 119 страниц и состоит нз зведения, трёх глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы из 105 наименований.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю В. С. Климову за постановку задач и помощь в работе; Ю. В. Покорному, И. А. Бахтину, В. Н. Камышникову за внимание к работе.

Содержание работы.

Результаты первой главы (§§ 1-3) в основном носят подготовительный характер. Здесь приводятся как новые, так и широко известные результаты, которые используются в дальнейшем.

В начале § 1 приводятся известные сведения из теории конусов и действующих в них линейных операторах. Целью этого изложения является фиксация терминологии и соответствующих обозначений. Далее § 1 содержит новый материал. Выделяется класс линейных непрерывных операторов К : Е —»Е, (Здесь £",£,- банаховы пространства, причём Е1 вложено в Е, в котором выделен конус для которых справедливо неравенство

Л,(РМгЛ((у)(у6£), где Л0, Л, - положительные линейные функционалы, заданные на Е, Л„ > > 0), функционал Л„ является равномерно положительным;

Р : £?—- непрерывный оператор, причём Р(и)>и и < А']!г;;£||. При

этом получены оценки

|»;£,|<;ф;£!|, ¡н^Ц^с-Д^) (иеЖ).

В дальнейшем показывается, что оператор К, обратный к линейному дифференциальному оператору, удовлетворяет приведенным требованиям при весьма слабых ограничениях на его коэффициенты.

В § 2 теория вполне непрерывных векторных полей применяется к исследованию абстрактного уравнения Гаммерштейна вида

б

и = Ш'/(и) (3)

здесь К - линейны» оператор, действующий и непрерывный из банахова пространства Е в банахово пространство /Г,, компактно вложенного в пространство Е, IV - нелинейный оператор, действующий и вполне непрерывный из Я, в Е, Л > 0. В пространстве Е задан конус Е_, удовлетворяющий условиям:

1) Е_ - нормальный конус;

2) существует непрерывный в Е оператор Р, для которого при всех и из Е выполняются неравенства /'(;/)> 0, Р(и)>и.

Уравнение (3) изучается в предположении истинности условий С[-С4.

С). Существует нормированное пространство £0 э , функционалы Л0,Л, с Я'/{0} и положительные числа Аг,, к,, к., такие, что

Л.ИВДМ.Л.М, Л0(у)>ь\.»,

Л0(у)>*зЦАГ(У);Е;||>0

для любого V е Ь\/{о}.

С2. Оператор IV положителен на £", (т.е. IV: Е1 —» Е_). Сз. Существует такая положительная функция /?('), определённая на ЭТ., что \/а > 0 справедливо неравенство

А0(^(Н))>аЛ,И»))-Ж«) (" е Я,),

где Л0, Л. - функционалы из условия С[.

С4. Для решений семейства операторных уравнений и = (1 - 1)ЛШ(и)+ 1аКР{и) (0 < Г < 1) справедлива оценка '

где V : ->9?. - возрастающая функция.

Показывается, что при выполнении условий С1-С4 найдётся такое Л > 0, что при любом Л из (0До) существуют два решения и. , VЛ уравнения (3), причём ид -> 0 в Я,, ;£■,!->да при Л—>0.

При усилении предположений относительно оператора ¡V можно установить существование не менее двух решений уравнения (3) при любом Л> 0. Например, достаточно потребовать, ч тобы 1У(о) - 0 и оператор IV : Е1 Е был дифференцируем по Фреше в точке 0.

Наибольший интерес представляют ненулевые решения уравнения (3), называемые иногда собственными векторами нелинейного оператора К1У. По определению соответствующие решения образуют в банаховом пространстве Н{Е] с Я с Е0) непрерывную ветвь бесконечной длины, если для каждой ограниченной, содержащей 0, области Ос Я существует такая пара (и,Х), что Л > 0, и - решение уравнения (3) и II едО. Как показывается в § 2, если выполнены условия С], Сг, С4 и Л0(^(г<))> Л,(Р(г<)), то ненулевые решения уравнения (3) образуют в пространстве Н с Я0 непрерывную ветвь бесконечной длины. Основное отличие полученных автором результатов от теоремы Красносельского об операторах с монотонными минорантами связано с тем, что изучаемый нелинейный оператор КIV : £, -» не является, вообще говоря, положительным.

В § 3 теория положительных векторных полей применяется к исследованию положительных решений уравнения (3). Предполагается, что линейный оператор К положителен (КЕ_ с Е_) и выполнены условия С* - С*, представляющие относительные варианты условий С] - С4. При малых Л > 0 устанавливается существование ветви и, положительных решений уравнения (3).

Во второй главе (§ 4 - § 7) изучается нелинейная краевая задача

Аи = Л/{1,иУ,...,и[^)+уГ!, (4)

В и — 0 (/ = 1 ,...,т). ' (5)

Здесь А - линейный дифференциальный оператор, определяемый равенством Аи = атг1{т) +... + а.и' + аС1и, заданный на £"(/) (1<Р<0°), /(',<?) (/ е I = [О, Г], £ е 31") - функция, удовлетворяющая условию Каратеодори, /. > 0, V, - фиксированная функция, 5 (/ = 1,...,/?!) - линейные функционалы, задающие однородные граничные условия (5).

Важную роль во второй главе играет пространство Еа Д/), измеримых на I функций, для которых имеет смысл и конечна норма

I

Здесь а, р - неотрицательные числа.

Приводятся формулировки некоторых теорем вложения для Е",,(/) (дифференциальная надстройка для ЕаР(1)) и других функциональных пространств.

В § 4 рассматривается линейное уравнение

Аи = v,,, (6]

представляющее собой частный случай уравнения (4) при Л = 0. Приводятся требования к коэффициентам (/ = 0,1,...,/?/), при выполнении которых оператор А: Ет -» Е является непрерывным. Здесь Е - одно из пространств Еар(1). С(1), £ (/) (12 р< со), Е" - соответствующая дифференциальная надстройка над Е. Задача (4), (5) называется невырожденной, если КегА о {и е Ет, В,и = 0 где / = \,...,т } = 0. Невырожденность задачи (4), (5) гарантирует существование и единственность решения и = К\0 задачи (4), (5) при любом у,, из Е. Оп ределяемый таким образом оператор К действует и непрерывен из пространства Е в пространство Е1 ={ае Е",Ви = 0, где / = 1 ,...,т }, Имеет место оценка

называемая неравенством коэрцитавности, которая является частным случае* неравенства

|и;Я-|2фи;£;: + Л(и)), (8!

также называемое неравенством коэрцитивности. Здесь Л : Е" - полунорма, подчинённая норме | • невырожденная в том смысле, что /¡(у)*0, если у - ненулевое решение уравнения Аи- 0.

Первые два пункта § 5 посвящены обратным неравенствам для функций и из конуса К(я)= {г; е £",,(/), Ли > о}. Линейный функционал

г-0 ;=о

непрерывен на (/), если к = т-\-а, I = т-\- ¡3 . В предположениях у/{г)> О п.в, (почти всюду) на I, у/е /„„(/), ЬХк{~ О"*'

>0-, ( > 0, доказывается

существование таких положительных С0, С, что для всех функций и из конуса К(.4) верна оценка

(9)

Очевидно, что если функционал В обращается в нуль на некотором пространстве Е с Е"Д/), то (9) влечёт обратное неравенство

(Ы6К(Л)ПЕ). (Ю)

В качестве Е в ряде случаев можно взять пространство Е, = {и е Е"^(1), 8^1 =... = Вти = 0 }. Отсюда следует, что обращение К оператора А при краевых условиях (5) удовлетворяет условию С] главы 1.

За счёт дополнительных ограничений на оператор Л удаётся установить неравенство (10) при существенно меньших требованиях к функции у/ из ¿г(/). В частности, приводятся условия, налагаемые на оператор А, при выполнении которых функция у/ может обращаться в нуль на множестве положительной меры; при ещё более жёстких ограничениях б качестве у может быть взята любая ненулевая функция из

В третьем пункте § 5 изучается множество К е £"(/), состоящее из функций и, удовлетворяющих неравенству

М<С(1 + §|«<"|Й), (11)

где к-тт\т-а,т-р}, 1<р1<——у—— {коп-1), рп_1=2. При этом

/— к 4* 1

устанавливаются оценки вида

где V, К, —>кЛ_ - возрастающие функции. Очевидно, что (11) аналогии»' неравенствам (1); (12) есть нелинейное обратное неравенство.

В § б полученные результаты применяются к нелинейной краевой задач (4), (5). Формулируются условия У] - У4 на данные этой задачи, позволяюши редуцировать её к уравнению Гаммерштейна (5). Уь Задача (4), (5) является невырожденной.

Уг. Существует такая неотрицательная функция у/ е Ьс(1), чт \/1<еК(л)п£, (£", = {и е П"р(/), В,(и) = ...= Вт(и) = о}) выполняется неравенств

Уз. Справедливо неравенство \£„'), где ц/ - функция из у<

ловия У2, Л/: —> 1П. - непрерывная функция, удовлетворяющая условш Л/(г)/г —» оо при т —> со.

У4. Для каждой константы М0 существует постоянная с(М0)> что есл + - + |£Л'0 ' (Р,{1) = Г{Т-1)Л-, а,=шах{а + /-/я + 1,0

Д =шах{Д + !-т + 1,0}), то выполняется неравенство +

где определены в (11).

Показывается, что возникающие при подобном сведении оператор АГ: Е —> /Г,, ^ : -> Л' удовлетворяют условиям С| - С4 главы 1. Это позвол ет гарантировать существование двух решений и,, и. краевой задачи (4), ( при любом Я из (0, Я0), причём их А"у0 в £"(/), |£/;_ -> оо при Я 0

Если оператор ЛГ положителен, то для исследования задачи (4), (5) мо: но применить конусные методы, позволяющие вывести условия существован положительных решений.

В § 7 общие результаты § б конкретизируются применительно к много! чечным и периодическим краевым условиям. Важным достоинством подобш условий является наличие эффективных признаков положителной обратимое

шератора А. Соответствующий оператор К = А~' допускает интегральное федставление, фигурирующая в нём функция Грина хорошо изучена, в частно-;ти, имеются достаточно тонкие двухсторонние оценки этой функции.

Основные теоремы § б легко перенести на неоднородные краевые усло-шя вида В1(х)=Ь1 (/ = \,...,т). Более сложным представляется обобщение тредшествующих результатов на векторные функции скалярного аргумента. Соответствующие модификации обсуждаются в п. 7.5.

Весьма нетривиальны обобщения результатов второй главы на функции лногих переменных; им посвящена третья глава диссертации. В третьей главе осматривается краевая задача

Ли = Я/(х ,и,Ои,...,Огт^и)+ (13)

Вхи = Вги =... = Вти = 0 . (14)

5десь А - линейный равномерно эллиптический оператор, определённый ра-¡енством

/■(.т,с0, (хеОсЭТ", ^Г, ..., £пЧ е 9Г""') - функция,

.-довлетворяющая условию Каратеодори, Я> О, v0(x)- фиксированная функ-шя; Вп В,, ..., Вт - дифференциальные операторы, определяющие граничные условия (14) и задаваемые равенствами

Ви{х)= ]ГА Дх^ф) (хедП),

тричём О < ¡\ < г, <...</•„ <2т-\. Коэффициенты аа, Ьи граница оГ2 огра-шченной области АсЭТ" предполагаются достаточно гладкими.

ааеС'{П), Ь1деС''1т"'{еП), сйеС',:", ■де Р > О. Число I варьируется по ходу изложения. Граничные операторы В1 ] = 1 ,...,т) удовлетворяют условию дополнительности в усиленной форме.

Задача (13), (14) может быть редуцирована к уравнению Гаммерштейна 3). Однако подобное сведение отличается рядом сложностей по сравнению с шалогичными конструкциями второй главы.

Важную роль с третьей главе играет пространство ¿.,,(о), состоящее из измеримых на П функций V : —> Уг, для которых имеет смысл и конечна норма

здесь р{х) = гшп|л' -у\,у е 60.) - расстояние отточки „геП до границы ей, л = 2т -1 - г, где г =гт.

Наряду с Ь,, (О.) в третьей главе рассматриваются пространства Лебега Марцинкевича и Орлича ¿г(П), а также дифференциальные

надстройки Соболева над этими пространствами, обозначаемые символами V (П), /.^(П) соответственно. Приводятся некоторые теоремы вложе-

ния для этих пространств.

В § 8 изучается линейное уравнение

Аи = \'.„ (15)

Получающееся из (13) при Я =0. При изучении краевой задачи (15), (14) естественно рассматривать А как оператор, действующий из ^"(П) в (1 < /7<оэ). Основная особенность, отличающая задачу (15), (14) от аналогичной ей задачи (6), (5) связана с тем обстоятельством, что при Е = результаты, аналогичные неравенствам (7), (8) не имеют места.

Задача (15), (14) называется невырожденной, если { и е Е?" (П), Аи = 0, В{и = ... = Вти = 0 } = 0 . Невырожденность задачи (15), (14) влечёт существование и единственность решения и = Ку } этой задачи при любом V0е£я(Г2) (1 < < ю). Определенный таким образом оператор К действует и непрерывен из пространства Е = в пространство = {и е //'(О),

Вхи =... = Впи = 0}. Справедлива оценка

' ¡и;£г,"(п|5с|ии;£,(д| (*<=£,), (16)

называемая,, как и (8) неравенством коэрцитивности.

Оператор К допускает интегральное представление

где

АЧ ^¡С(-,у)у0(у)с!у,

о

С(-Х,у) - функция Грина задачи (15), (14). Свойства функции Грина эллип-

тических операторов исследовались многими авторами; в диссертации приводятся следствия оценок функции Грина, найденные В. А. Солонниковым. К; этих оценок вытекает, в частности, что оператор К может быть расширен д;

непрерывного из в оператора = 1-—

Основная часть § 9 посвящена обратным неравенствам для функций и щ конуса К(л)= {« е //"(о), Ли > о}. При определенных предположениях относительно данных задачи (15), (14) будет выполняться условие

Уг- Существует такая неотрицательная функция у/ из ¿.„(О), что справедливо неравенство

^^¿„(О^С.^^АДО! (иеК^пЯ,). (17;

Непосредственным следствием (17) является оценка

имеющая как и (10) характер обратного неравенства. Отсюда следует, что оператор К = Л'1 при краевом условии (14) удовлетворяет условию С) главы !.

Далее обсуждаются предложения, гарантирующие выполнение услоЕнг Уз. Показывается, например, что если данные задачи (15), (14) достаточно гладкие, а операторы В; (у = 1,...,т) образуют нормальную систему, то условие У: выполнено. Для эллиптических операторов второго порядка удаётся ослабит: ограничения гладкости, доказать положительность оператора К для краеил;: условий типа Дирихле и Неймана; при этом устанавливается, что в качестзе ■;/ в оценке (18) может быть взята любая ненулевая функция из ¿„(р), постоянна.--с зависит лишь от выбора у/ и не зависит от и из К(л)пЕ,.

В заключительном пункте § 9 рассматривается множество К функц::~ класса Е, = {и е I}" (П), В,и-... = Вти = 0} (п < р< к>), удовлетворяю;!". . неравенству

|/íz/| < + c^cexpjDSíp + c^jjD'ííl^' , (]

доказывается оценка вида

|k¿;"(Q|<4í;M;(Q|)(ueK). (2

где V \ "Л. ->s)í_ - возрастающая функция. Очевидно, что неравенство (1 аналогично неравенствам (1), (11), а неравенство (20) - (12).

В § 10 даются приложения предшествующих результатов к нелинеГпк краевой задаче (13), (14). Формулируются условия У[ - У4 на данные этой зад чи, позволяющие свести её к уравнению Гам.мерштейна (3). Устанавливаете что возникающие при подобном сведении операторы К : Е —» Et (Е = L {£

п<р< со, Е. = {и е L2"(Cl), Вхи = ... = Bmii = 0}), W:E,—>E удовлетворя»

условиям С| - С4 главы 1. Это влечёт существование двух решений i

краевой задачи (13), (14) (0<Я<Я,) причём u.-^-Kv^ в

|jí/¿;L:j)™(Q)|-> да при Л —> 0. Отмечается, что и другие результаты главы

также имеют свои естественные аналога для эллиптических краевых зада Приводятся примеры иллюстративного характера.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Климов В.С.Павленко А. Н. Нетривиальные решения краевых задач сильными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 1997. т. 33, N2 12. с. 1676 1682.

2. Павленко А. Н. Нелинейные граничные задачи и обратные функционал ные неравенства. Понтрягинские чтения - VIII. Тезисы докладов. - Вороне; ВГУ, 1997. с. 108.

3. Павленко А. Н. Об одном классе обратимых функциональных неравенст Проблемы современной науки. Материалы областной межвузовской конфере ции молодых учёных. Апрель 1996 года. - Орёл, 1996. с. 62 - 63.

4. Павленко А. Н. Обратные функциональные неравенства для функций мн гих переменных и их приложения к нелинейным эллиптическим краевым зад чам. Современные проблемы механики и математики. Тезисы докладов. - В ронеж, ВГУ, 1998, с. 208.

5. Павленко А. Н. Обратные функциональные неравенства и их приложения к нелинейным граничным задачам. / Орловский гос. ун-т. - Орёл, 1997. - 20 с. -Деп. в ВИНИТИ 29.05.97, №1 751 - В97.

В работе [1] постановка задач принадлежит Климову В. С., а исследование диссертанту.

Заказ № $£6 от 1$/&199В г. Тир. <00 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

'' с ч 1 / ч-ь 1

Орловский государственный университет.

На правах рукописи.

Павленко Алексей Николаевич.

Обратные функциональные неравенства и их приложения.

01.01.02. Дифференциальные уравнения.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор Климов В. С.

Орел, 1998.

Содержание

Введение. Общая характеристика работы_

Глава 1. Обратные неравенства в пространствах с конусом.

§1. Линейные операторы в пространствах с конусом ._6

§2. Обратные неравенства и уравнение Гаммерштейна._12

§3. Положительные решения уравнения Гаммерштейна._22

Глава 2. Обратные неравенства для функций одной переменной и их приложения к нелинейным краевым задачам.

§4. Пространства функций одной переменной и линейные

дифференциальные операторы._28

§5. Обратные неравенства для функций одной переменной._39

§6. Приложения обратных неравенств к одномерным

краевым задачам._54

§7. Примеры и замечания, обобщения и модификации._62

Глава 3. Обратные неравенства для функций многих переменных и их приложения к нелинейным эллиптическим краевым задачам. §8. Пространства функций многих переменных и

линейные эллиптические операторы.__75

§9. Обратные неравенства для функций многих

переменных. _87

§10. Приложения обратных неравенств к нелинейным

эллиптическим краевым задачам._99

Заключение. __108

Литература.

110

Введение. Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Диссертация посвящена обратным функциональным неравенствам и их приложениям к граничным задачам. Теория прямых и обратных функциональных неравенств является одной из интенсивно развивающихся областей математического анализа. Типичным примером прямых неравенств могут служить теоремы вложения, существенную часть которых составляют оценки норм функций через нормы производных этих функций. Первые исследования в данном направлении проводились еще Пуанкаре и Гильбертом на рубеже 19 и 20 столетий. Эти исследования были связаны с вариационными методами математической физики. Как научное направление теория вложения оформилась в работах С. Л. Соболева; о дальнейшем развитии этой теории и плодотворности ее приложений можно судить по публикациям [1,4,9,1115,18,20,22,25,28,45,53,59,61,71,87,88,94,95].

Обратные функциональные неравенства дают оценки норм старших производных функций через нормы их младших производных. Такого рода оценки справедливы лишь для функций, удовлетворяющих дополнительным условиям. В качестве примера можно рассмотреть оценки С. Н. Бернштейна вида || х;С21| < <У (I х ; С II) решений дифференциального неравенства

|х"|<к(1 + |х'|2), (0.1)

а также принадлежащую ему же оценку

Цх^МЫп II х;С I, (0.2)

верную для тригонометрических многочленов степени, не превосходящей числа п. Неравенство (0.1) связано с классическим Ь-условием Бернштейна, играющим первостепенную роль в теории нелинейных краевых задач. Обсуждение Ь-условия и его многочисленных модификаций можно найти в [3,9,12,25,2735,44,54,56,57,62,65,67,68,70,81,95]. Оценка (0.2) играет важную роль в конструктивной теории функций [12]. Кроме того, обобщения этой оценки нашли важные приложения в теории вложения [11], [61]. Естественно возникает зада-

ча, связанная с обобщением и усилением линейных и нелинейных обратных неравенств.

Значительная часть диссертации посвящена обратным неравенствам для функций, принадлежащих конусам в пространствах Банаха. Наиболее тесно связаны с диссертацией теоремы М. А. Красносельского об операторах с монотонными минорантами и операторах, растягивающих конус, а также о различных специальных классах конусов и действующих в них линейных и нелинейных операторах.

Цели работы. Вывод, обобщение и усиление линейных и нелинейных обратных неравенств вида II и ; Е1 II < У( II и ; Е2 II), где Еь Е2 - банаховы пространства, Е1 компактно вложено в Е2, иеКсЕь V: -возрастающая непрерывная функция. Рассмотрение некоторых приложений полученных неравенств к нелинейным краевым задачам.

Методика исследования. В работе широко используется теория конусов, разработанная М.Г. Крейном в 30-х годах и нашедшая отражение в обзорной статье [51]. В дальнейшем теория конусов интенсивно развивалась в работах М.А. Красносельского, И.А. Бахтина, их последователей и учеников [5-8, 16,4050, 62-64,80-86,89-91,97-99]. Кроме того, используется теория вполне непрерывных векторных полей, которой было положено начало в 30-е годы Ж.Лере и Ю. Шаудером. Дальнейшее развитие понятие вращения получило в работах целого ряда авторов ([16,17,40-42,44,70,81,95,99] и приведенная там литература).

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Усилены и обобщены линейные и нелинейные обратные неравенства для скалярных и векторных функций одной переменной, с помощью которых устанавливается существование нетривиальных решений краевых задач с сильными нелинейно-стями. Полученные результаты были обобщены для случая банаховых пространств функций многих переменных. Следует отметить, что использование

пространств Марцинкевича-Соболева вместо традиционно используемых пространств Соболева позволило усилить ряд обратных неравенств. В диссертации рассмотрены приложения полученных результатов к нелинейным эллиптическим краевым задачам.

Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в целях дальнейшего уточнения и усиления обратных неравенств, в теории нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также к нелинейным эллиптическим краевым задачам.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых "Проблемы современной науки" (Орловский ГПУ, апрель 1996 г.), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронежский ГУ, май 1997 г.), на Воронежской математической школе "Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронежский ГУ, апрель 1998 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [101-105].

Структура диссертации. Диссертация содержит 119 страниц и состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы из 105 наименований.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю B.C. Климову за постановку задач и внимание к работе, И. А. Бахтину за ряд замечаний и дополнений, В. Н. Камышникову за заинтересованность автора этой темой.

Глава 1

Обратные неравенства в пространствах с конусом.

§ 1. Линейные операторы в пространствах с конусом.

1.1. Полуупорядоченность и конусы. Теории конусов и полуупорядоченных пространств посвящена обширная литература (см., например, [5, 21, 26, 41, 42, 48, 51, 81, 89, 90, 98, 99] и приведенную в них библиографию). Далее используется терминология, принятая в [5, 41, 48, 51].

Пусть Е- действительное нормированное пространство с нормой || •; Е ||. Выпуклое замкнутое множество Е+сЕ называется клином, если из иеЕ+ и Х>0

следует, что АлеЕ+. Если Е+ - клин, то множество Е+п(-Е+) называют его лезвием; лезвие есть максимальное линейное пространство, содержащееся в Е+ (см. [48,с.9]). Клин Е+ называют конусом, если его лезвие состоит только из нулевой точки.

Пусть Е+ - клин в линейном нормированном пространстве Е. Положим и<У, если У-иеЕ+. Очевидно, что Е+ ={иеЕ, и>0},и<и и из и<У, У<0) вытекает

неравенство У<С0. Таким образом, каждый клин определяет в Е некоторую полуупорядоченность, согласованную с линейной структурой пространства Е. Если Е+ - конус, то из и<У и У<и вытекает равенство и=-У: для произвольного клина это неверно.

В пространстве 5ЯП векторов х=(^ъ £,2, множество векторов с

неотрицательными компонентами является конусом. В каждом из пространств С(Г2), ЬР(Т2) (и в других функциональных пространствах) множество неотрицательных функций является конусом, определяющим следующую полуупорядоченность: у<и, если у(х)<и(х) при всех хеО. в случае пространства С(О) или почти при всех хе£2 в случае пространства ЬР(С>).

Клик (конус) Е+сЕ называется телесным, если он содержит шар ненуле-

вого радиуса. Например, конус векторов с неотрицательными компонентами в пространстве и конус C+(Q) неотрицательных функций в пространстве C(Q) телесны. Конус Lp +(Q) неотрицательных функций в пространстве Lp(Q) (1<р<оо) не является телесным.

Клин (конус) E+czE называется воспроизводящим, если каждый элемент соеЕ допускает представление co=u-v, где u, veE+. Каждый телесный клин (конус) является воспроизводящим. Обратное неверно. Например, воспроизводящий в Lp(Q) конус Lp+(П) не является телесным, если (1<р<оо). Для любого

воспроизводящего клина Е+ существует непрерывный оператор Р: Е->Е+ такой,

что Vue Е выполняется P(u)>u, 11 P(u); El | <kj I u; El |, причем константа ко не зависит от иеЕ (см.[48,с,16]).

Норму в Е называют монотонной, если из 0<u<v, следует 11 u; Е 11 < <! I v;E 11, и полумонотонной, если из 0<u<v следует II u; Е11 < b 11 v; Е11, где b - универсальная постоянная.

Конус Е+ называется острым, если норма в Е монотонна, и нормальным, если норма в Е полумонотонна. Конусы векторов с неотрицательными компонентами и неотрицательных функций в пространствах соответственно 9în и С(Ц), Ьр(П) острые. Критерии нормальности конуса можно найти в [5,41,48]. Понятия нормальности и воспроизводимости связаны некоторой двойст-

5jj

венностью. Пусть Е - банахово пространство с клином Е+, обозначим через Е+

г-»* г-»*

мнолсество всех линейных положительных функционалов: Е+={АеЕ , А(и)>0 при ибЕ+}; множество t+ является клином в сопряженном к Е пространстве

Е . Клин Е+ называют сопряженным к Е+.

Предложение. 1.1. Клин Е+ является воспроизводящим в Е, тогда и толь-

ко тогда, если Е*+ - нормальный конус в Е .

Предложение 1.2. Клин Е+ является нормальным конусом в Е, тогда и только тогда, если jf - воспроизводящий конус в ]f~.

Доказательства предложений 1.1., 1.2. приведены в [5,48]. Из предложений 1.1,1.2 вытекает, в частности, что если Е+ - нормальный воспроизводящий

_¡к с ч/

конус, то Е+ есть также нормальный воспроизводящий конус.

1.2. Функционалы и операторы в пространствах с конусом. Конус Е+ называют конусом, допускающим оштукатуривание, если существует другой конус =зЕ+ такой, что Vu0eE+ выполняется {u:| I и-ио;Е| I <b| I u0;E| I }

где постоянная b не зависит от и0.

Линейный функционал A(v) называют равномерно положительным, если 3 к>0 такое, что

II v;E||<kA(v) (veE+). (1.1)

Равномерно положительные функционалы существуют не для каждого конуса Е+; они существуют тогда и только тогда, когда конус Е+ допускает оштукатуривание. Конус Е+ допускает оштукатуривание тогда и только тогда, если Е+

является конической оболочкой замкнутого ограниченного множества М, не содержащего нулевой точки: Е+= {u : и= av, a>0, ve М} (см.[48,с.40]). Понятия оштукатуриваемости и телесности в некотором смысле двойственны.

Предложение 1.3.[48]. Клин Е+ является оштукатуриваемым конусом в

банаховом пространстве Е, тогда и только тогда, если клин телесен в £*.

Пусть U,V- банаховы пространства. Обозначим через B(U,V) совокупность линейных непрерывных операторов K:U-»V. С обычно определенными линеиными операциями и с нормой 11 K;B(U,V)| I = Sup 11 K(u);V| I

\\u;U\\<l

B(U,V) является банаховым пространством.

Пусть, вообще говоря, нелинейный оператор Б действует из банахова пространства и с клином 11+ в банахово пространство V с клином У+ . Оператор Б называется положительным, если Б И+ с У+ и монотонным, если 111 < иг

влечет Р(и1) < Р(и2). Если Б- аддиативный положительный оператор, действующий из банахова пространства и с воспроизводящим клином и+ в банахово

пространство V с конусом У+, то тогда РеВ(И,У) (см.[5,48]).

Многочисленные признаки положительности линейных операторов можно найти в [5,41,48]. Отметим, что линейный интегральный оператор

действующий в пространстве Ьр (£1) (1<р<оо) с конусом ЬР>+(П), положителен,

если ядро 0(х,у) неотрицательно.

Положительные линейные операторы обладают важными спектральными свойствами. Формулировки и доказательства многочисленных результатов в этом направлении можно найти в [41,43,44,46,48,51,81,89,90,98]. Приведем одно из утверждений подобного типа [43,48,84,90].

Предложение 1.4. Пусть К: Е-»Е линейный вполне непрерывный оператор, Е+- воспроизводящий и нормальный конус в банаховом пространстве Е и

КЕ+с: Е+. Тогда спектральный радиус р(К) оператора К является собственным

значением как оператора К, так и сопряженного к нему оператора К ; собственному значению р(К) отвечает хотя бы один собственный элемент

хоеЕ+(для оператора К) и хотя бы один собственный функционал До е Е+ (для оператора К ).

Необходимым и достаточным условием положительности р(К) является существование таких А1Е Е+\{0}, р0> 0, что К Л^рсЛь последнее неравенство эквивалентно соотношению

(1.2)

Л1(К(у))> роА](у), где уе Е+.

(1.3)

Оценка (1.3) влечет неравенство р (К) > р0. Далее существенную роль играет некоторая модификация неравенства (1-3), верная и в случае неположительности оператора К.

Пусть Р: Е -> Е+- непрерывный, причем

Р(и) > и и 11 Р(и); Е11 < ко11 и; Е11 (1.4)

Для широкого класса действующих в пространстве Е операторов К справедливо неравенство

Л0(у) < А1(Р(К(у))) (уеЕ+) (1.5)

*

где Ло, А)е Е+\ {0}, Л0> роЛ] (ро>0). Для положительного оператора К (1.5)

совпадает с (1.3).

Лемма 1.1. Пусть выполнены условия:

1) оператор К удовлетворяет неравенству (1.5);

2) функционал Ло:Е^11 равномерно положителен;

3) КеВ(Е,Е1), где Е]- банахово пространство, непрерывно вложенное в Е. Тогда существует такая постоянная с, что

||и;Е11кс||и;Е|| (иеКЕ+). (1.6)

□ Положим и = К (у), где у е Е+, тогда 11 и; Е! 11 = 11 К (у); Е, 11 < 11 К ; В(Е, Е011 11 у; Е 11 < к 11 К; В(Е, Ег)| | Л0 (у) <

<к|| К;В(Е,Е1)|| А] (Р(Ку)) < к 11 К; В (Е, Ег) 11 11 Ль Е*\| 11 Р (К(у)); Е 11 < <к0 к 11 К;В(Е,Е])| I 11 Ль Е*\ \ \ | К(у); Е11 =к0к 11 К;В(Е,Е1)| | 11 Л1; £*| | 11 и; Е| | .

Отсюда вытекает (1.6) с с =ко к 11 К; В(Е, Е]) 11 || Ль Е II . □

Оценка (1.6) представляет собой обратное неравенство. Она позволяет оценивать норму 11 •; Е] II через подчиненную ей норму 11 •; Е 11. В определенном смысле (1.6) характеризует степень узости множества К Е+ в пространстве Еь

Предположим, что вместо (1.5) справедливо неравенство

Л0(у)< Л](К(у)) (V е Е+), (1.7)

где Л! е Ег . Тогда имеет место

Лемма 1.2. Пусть верно неравенство (1.7), и выполняются условия 2),3) леммы 1.1. Тогда существует такая постоянная ср что

II и; Е1 11 < С]Л1(и) (иеКЕ+). (1.8)

□ Положим и = К (у), где V е Е+, тогда

II и; Е! 11 =11 К (у); ^ 11 < 11 К; В(Е, ЕО II 11 у; Е 11 < к 11 К; В (Е, Е^ 11 А0(у) < <к 11 К; В(Е, Е]) 11 А](К(у)) = к 11 К; В(Е, Ет) 11 Л^и). Таким образом, имеет место неравенство (1.8) с С]= к 11 К; В(Е, Е]) 11 . □

Так как Л](и) молено продолжить на Е без увеличения нормы, то тогда

имеем Лг(и) < 11 Ль Ё[ 11 11 и; Е 11. Из последнего неравенства следует, что (1.8) также есть обратное неравенство. В главах 2,3 будет показано, что операторы К, обратные к линейным дифференциальным операторам, при широких предположениях относительно коэффициентов удовлетворяют неравенствам (1.5), (1.8).

§ 2 Обратные неравенства и уравнение Гаммерштейна.

2.1. Вполне непрерывные векторные поля. Ниже используются некоторые результаты теории вполне непрерывных векторных полей [17,42,44]. Напомним ряд определений.

Пусть Е - банахово пространство. Вполне непрерывный оператор FE-»E порождает векторное поле Ф(и) = u - F(u), также называемое вполне непрерывным. Элемент ио называется особой точкой поля Ф, если Ф(и0) = 0. Равенство Ф(и0) = 0 равносильно тому, что ио есть неподвижная точка оператора F. Поле Ф называют невырожденным на множестве К с Е, если К не содержит особых точек поля Ф. Через I обозначим оператор тождественного преобразования пространства Е.

Вполне непрерывные векторные поля Фо= I - F0 и Ф1 = I - F] называют гомотопными на множестве Кс Е, если существует вполне непрерывное отображение F: Кх[0,1]н>Е, обладающее свойствами. F(u,0) = F0(u), F(u,l) - Fj(u) (ue К)

u Ф F(u,t) (ue K, te [0,1]).

В этом случае говорят, что семейство векторных полей Фг=1-Р(-^) (0<t<l) компактно соединяет векторные поля Фо=1-Р0 и Ф^ Т-Е] на множестве К.

Если F(u,t)=(l-t) F0(u)+tFi(u) (неК, te [0,1]) , то векторные поля I-Fo , I-Fj называются линейно гомотопными на К.

Ниже через Юо(Е) обозначается совокупность всех ограниченных открытых подмножеств пространства Е. Замыкание, внутренность , граница множества К обозначаются символами К , int К, 5К соответственно.

Каждому вполне непрерывному в Е векторному полю Ф, не вырожденному на д со области соесо0(Е) можно сопоставить целое число у(Ф,со), называемое вращением поля Ф на д со . Многочисленные способы определения, свойства и методы вычисления вращения вполне непрерывных векторных полей мож-

но найти в [17, 42, 44, 70, 95, 99]. Сформулируем наиболее часто используемые свойства вращения.

1. Если и0еш (ю€(Оо(Е)), Ф(и)=и- ио, то тогда у(Ф,ю)=1.

2. Гомотопные на 8 со (сое(со0(Е)) вполне непрерывные векторные поля имеют одинаковые вращения.

т

3. Пусть со,®],..,,©тесоо(Е), причем © = Щ, сснпщ=0 при щ; век-

/=1

т

торное поле Ф не вырождено на 1^30);, тогдау(Ф,со)=у(Ф,со])+...+у(Ф,сот).

г=1

Свойства 1)-3) называют свойствами нормировки, гомотопии и аддитивности соответственно.

Пусть вполне непрерывное векторное поле Ф определено на ш (соеооо(Е)) и не вырождено на д со, тогда все особые точки поля Ф принадлежат со. Особую точку 110 называют изолированной, если в некоторой ее окрестности нет других особых точек. Для изолированных о�