Неравенства типа Харди с весами, имеющими степенные и логарифмические особенности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Насибуллин Рамиль Гайсаевич

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ С ВЕСАМИ,

ИМЕЮЩИМИ СТЕПЕННЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ

Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 ноя тз

Казань - 2013

005540427

005540427

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Авхадиев Фарит Габидинович.

Официальные оппоненты: Лосев Александр Георгиевич,

доктор физико-математических наук, профессор ФГАОУ ВПО

«Волгоградский государственный университет»,

Тимербаев Марат Равилевич, доктор физико-математических наук, профессор ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет». Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Российский университет

дружбы народов».

Защита состоится «19» декабря 2013 г. в 16 00 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань ул. Кремлевская, 35.

Автореферат разослан «? А> ноября 2013 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.081.10 кандидат физ.-мат. наук, доцент

Е.К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена неравенствам типа Харди. Рассматриваемые неравенства связывают в одномерном случае функцию и ее производную, а в многомерном случае — функцию и модуль ее градиента.

Актуальность темы диссертации. Помимо самостоятельного интереса, неравенства типа Харди находят важные применения в разных областях математики и математической физики. Например, С.Л. Соболев1 использовал неравенства типа Харди в теории вложений функциональных пространств, как с весом, так и без веса, и также применял их при оценке потенциала Рисса. Ф.Г. Авхадиев нашел применение неравенствам типа Харди при оценке жесткости кручения. Соответствующие результаты А. Лаптева и Т. Вейдла, А. Балипского, А. Лаптева и A.B. Соболева могут применяться при изучении отрицательности спектра двумерного оператора Шредингера и связаны с проблемой существования резонансных состояний.

Не останавливаясь на подробностях, отметим, что неравенства типа Харди используются в теории интегральных и дифференциальных уравнений, в нелинейном анализе, при изучении краевых задач с особенностями. Точные значения констант в неравенствах Харди или их оценки используются при получении оценок нижней границы спектра эллиптических дифференциальных операторов с вырождающимися коэффициентами.

Основное неравенство Харди для абсолютно непрерывной функции / : [0,оо) —> К такой, что /(0) = 0, /' € L2(0, оо), / ф 0, можно записать следующим образом:

°° 2 °°

J ^dx < 4J f2dx. (1)

о о

Константа 4 является точной, но не существует экстремальной функции, на которой достигается равенство.

Одномерные неравенства Харди вида (1) обобщались в различных направлениях такими авторами, как Дж. Таленти, Дж. Томаселли, Б. Макенхоупт, В.Г. Мазья, В.Д. Степанов, А. Куфнер и Л.Э. Перссон, В. Левин, Ф.Г. Авхадиев и К.-И. Виртц, Д.В. Прохоров и ряд других математиков. Например, Дж. Таленти и Дж. Томаселли получили условия на весовые

Соболев, Л.С.Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных / Л.С.

Соболев. - М.: Наука, 1989. - 254 С.

функции в одномерных неравенствах типа Харди, которые необходимы и достаточны для выполнения соответствующего неравенства.

Широкое развитие получили неравенства типа Харди в многомерных областях следующего вида:

J ^-dx < сь(П) J\Vf\2dx, (2)

п п

предполагающие, что область интегрирования П — собственное открытое подмножество R", / S Со(Г2), V/ — градиент этой функции, S = 6(х) = dist(a:, dQ) — функция расстояния до границы области.

Известно, что для любой выпуклой области Q С М" константа с„(П) в неравенстве (2) равна 4. В обосновании этого факта приняли участие ряд математиков: Е.Б. Дэвис, Т. Матскевич и П.Е. Соболевский, X. Брезис и М. Маркус, М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптев и другие. Для области с локально липшицевой границей константа Харди существует и конечна. Однако, липшицевость границы не является необходимым условием конечности константы Харди. Доказаны неравенства типа Харди при более общих условиях на границу множества. В этом направлении работали

A. Анкона, X. Брезис и М. Маркус, Е.Б. Дэвис, П. Коскела и X. Цонг, Й.Л. Льюис,

B.Г. Мазья, В.М. Миклюков и М.К. Вуоринен, А. Ваннебо, Ф.Г. Авхадиев, А. Лаптев и A.B. Соболев, и другие математики.

При исследовании многомерных вариационных неравенств типа Харди константы являются специальными функционалами, зависящими от области Q и числовых параметров задачи. Основной трудностью является оценка этих констант.

Пусть Q — открытое собственное подмножество R". Запишем функционал следующего вида:

Cp(s, f2) = sup

/

S'/P

: / 6 C0°°(fi),

LP{Q)

V/

S<>/P-1

= 1

£p(i!)

где Со°(Г2) — множество непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем в О.

Известно, что при р € [1, оо) и в 6 К

Р - ТЪ Р

Cp(s,H) =

|s — п\

где Н — полупространство в Мп (см. К. Бэндл, М. В. Опик, А. Куфнер). В работах Е.Б. Дэвиса, В.Г.

1|'

Флечер, В.Г. Мазья, Мазьи, М. Маркуса,

В. Мичела, Й. Пинховира рассмотрен случай, когда Г2 является выпуклой областью. Оказывается, что при р > 1 для любой выпуклой области Г2 С Е", Г2 ф Rn, верно равенство

Получены также оценки cp(s, fi) для невыпуклых областей. А именно, если Q — односвязная плоская область, то (А. Анкона)

02(2, П) <4.

В случае, когда ii — область с гладкой границей, О, С К", константа

ф,П)>р/(р- 1)

(см. Е.Б. Дэвис, М. Маркус, В. Мичел, Й. Пинховир).

И.Л. Льюис доказал, что если р > п, то постоянная Ср(р, Г2) конечна для любой области П С IRn, П ф R", то есть никаких ограничений на границу области не требуется. А. Ваннебо обобщил утверждение Й.Л. Льюиса, показав, что существует число е > 0, зависящее разве лишь от показателя р и от размерности пространства п и такое, что условия

р> п, s > р — е

гарантируют существование конечной постоянной Cp(s, f2) для любой области Q С К", Q ф R". Ф.Г. Авхадиев2 получил более общий результат, а именно, если s > п, то для любой открытой области С М", Л ф К", верна оценка

Ср(а,П) <

s — п

Причем, в общем случае константу p/(s — п) нельзя улучшить.

Обсудим случай, когда s = п. Оказывается, что при s = п существуют области, для которых соответствующая постоянная Харди равна бесконечности, например, при любом р > 1

Cp(n,Kn \ {0}) = оо.

То есть при s = п нужно накладывать некоторые дополнительные ограничения па границу множества. Из работ, относящихся к этой тематике, отметим

2 Avkhadiev, F.G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants / F.G. Avkhadiev

11 Lobachevskii J. Math. - 2006. - V. 21. - P. 3-31.

статьи Ф.Г. Авхадиева, А. Анконы, X. Поммеренке, Е.Б. Дэвиса, А. Лаптева и A.B. Соболева, П. Коскела и X. Цонг, В.М. Миклюкова и М.Р. Вуоринена, В.Г. Мазьи. Например, Ф.Г. Авхадиев, используя веса с логарифмическими особенностями, для произвольной области П с конечным внутренним радиусом, при р > l,s = п и для любой функции / е Со(Г2) получил соответствующее неравенство типа Харди. То есть логарифмический вес помогает обойти особенности, возникающие при s — п. Можно сказать, что логарифмический вес компенсирует "плохое" поведение границы области.

Как было отмечено выше, константа jP{s — п)~р является точной, то есть в общем случае константу pp(s — n)~î> нельзя улучшить. Но обнаружено интересное явление: возможно уточнение соответствующего неравенства Харди путем добавления дополнительного слагаемого в областях с конечным внутренним радиусом. Неравенствам типа Харди с дополнительными слагаемыми посвящено множество работ. Отметим работы X. Брезиса и М. Маркуса, М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа и А. Лаптева, Ж. Тидблома, Ф.Г. Авхадиева и К.-Й. Виртца, Г. Барбатиса, С. Филиппаса и А. Тертикаса, В.Г. Мазьи и А. Тертикаса.

Цель работы. Целью работы является доказательство новых неравенств типа Харди. Исследование ведется в трех направлениях. Первое направление связано с неравенствами типа Харди в произвольных областях в терминах функции расстояния до границы области. Здесь рассматриваются два вопроса. Первый вопрос — существуют ли другие веса для которых будет выполнено соответствующее неравенство типа Харди при s = п при наличии некоторых дополнительных геометрических ограничений на область? Второй естественный вопрос — существует ли аналог неравенства в случае, когда параметр s € (—оо, п)?

Второе направление наших исследований относится к неравенствам с дополнительными слагаемыми в областях, регулярных в смысле Е.Б. Дэвиса. Доказываются неравенства с весами, имеющими степенные и логарифмические особенности. Наши результаты обобщают соответствующие утверждения Ж. Тидблома3 и результат М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа, А. Лаптева4.

3Tidblom, J. A geometrical version of Hardy's inequality for lV01,p(fi) / J. Tidblom // Proc. Amer. Math. Soc. -

2004. - No 132. - P. 2265-2271.

4Hoffmann-Ostenhof, M. A geometrical version of Hardy's inequality / M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-

Ostenhof , A. Laptev // J. Funct. Anal. - 2002. - V. 189. - No. 2. - P. 539-548.

Третье направление связанно с неравенствами типа Харди в форме Ю.А. Дубинского5. Рассматриваются новые неравенства типа Харди с весами, содержащими модули логарифма.

Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые неравенства типа Харди. Особенностью полученных неравенств является наличие в весах степенных и логарифмических особенностей. Сначала мы получаем новые одномерные неравенства и распространяем их каким-нибудь известным методом на случай многомерных областей. Рассматриваем соответствующие неравенства в произвольных и выпуклых областях, в областях регулярных по Е.Б. Дэвису, во всем евклидовом пространстве К™.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут послужить некоторым инструментом для дальнейших теоретических исследований в теории вложения функциональных пространств и в теории эллиптических дифференциальных операторов с вырождающимися коэффициентами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Казанского университета (2010 — 2013 гг.), на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2010" (Казань), на международных Казанских летних научных школах-конференциях "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2011, 2013 гг.), на всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (Москва, 2011 г.), на Открытом конкурсе научных работ студентов и аспирантов им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2012 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 7 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 117 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 96 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования с некоторыми примерами, обзор литературы по теме диссертации и краткое изложение основных результатов.

5Дубинский, Ю.А. Об одном неравенстве типа Харди и его приложениях / Ю.А. Дубинский // Тр. МИАН. - 2010. - Т. 269 - С. 112-132.

В первой главе получены неравенства типа Харди в произвольных пространственных областях из R™, но при наличии дополнительного условия:

¿о = <5о(0) = sup{5(x) : х G П} < оо.

Доказываются новые неравенства с весами, содержащими степени и логарифмы функции расстояния до границы области. Полученные неравенства являются аналогами неравенства из статьи Ф.Г. Авхадиева2 в случае, когда параметр s < п и s = п. При s = п имеем неравенства с логарифмическими весами, а при s < п — неравенства со степенной особенностью.

В пункте 1.1.1 доказаны новые одномерные ".^-неравенства" с логарифмическими весами, частные случаи которых, будут использованы для получения основных результатов, //-версии неравенств получаем с помощью LP- леммы:

Лемма 1.1.5. Предположим, что О. является открытым множеством п > l,w\ = u>i(x) > 0,и>2 = W2(x) > 0 на Г2 и J : Cg(fi) —> R — некоторый функционал. Если для любой функции / € Сд(П)

J(/) + / \f\widx < с / \Vf\w2dx, с = const > 0, Jn Jn

то для любого р € (1,оо), для любого I € [1,р] и для любой функции / 6 C'q(Q)

U(\f\p) + [ \f\pmdx < (cp? [ \frl\Vf\lwl~lwl2dx. Jn J n

Пункт 1.1.2 посвящен пространственным случаям неравенств. Для целых к > 0 положим

е0 = 1, = exp ln0 X = X, lnfc+i(x) = lnlnfe(x).

Отметим, что корректная определенность области определения функции при соответствующем к достигается за счет вк-

Пусть fi — открытое собственное подмножество К", Cq(Q) — семейство непрерывно-дифференцируемых функций с компактным носителем в О, и S = 5(х) = dist(a:, dCi) — функция расстояния до границы области.

Основные результаты параграфа §1.1 приведены в следующих четырех теоремах.

Теорема 1.1.5. Пусть Я — произвольное открытое множество в R", причем П ^ Rn, Sq(Q) < 00, и пусть к & N u p 6 [1,оо). Если I € [1,р], то

для любой функции / Є Сд (О) верно следующее неравенство типа Харди

I \Й.Л{6)<Ь < АМІ \Й^ШІВ{8)<Іх, (3)

п п

где

, 5йЄк . ¿ОЄА:

причем точная, т.е наименьшая из возможных постоянных в этом

неравенстве допускает оценку

АР№)<р1.

Теорема 1.1.6. Пусть к Є N и р Є [1,оо). Если І Є [1 ,р] и ¡3 Є (1,оо), то для произвольного открытого множества из К" (Г2 ф М",5о(П) < оо) и для любой функции / Є Со(^) верно неравенство

I ^ОДЛс < І Ш^МОДЛЕ,

п п

где

С{5) =----в

, 80ек+і 50ек+\ (. ¿оЄі+Л

1п— •-.■ьи—)

и

= (ш ..... Ш, (,п,+1 ,

причем наименьшая из возможных констант в этом неравенстве £>Рі;(/3, П) допускает оценку

пр№П) < •

Теорема 1.1.7. Пусть к Є N и р Є [1,оо). Если І Є [1,р] и (5 Є (0,1), то для произвольного открытого множества П из К" (О ф Кп,<5о(П) < оо) и для любой функции / є С*о(Г2) верна оценка

I ^¿да* < я^сз.я) I

п п

где

£(<*) =---в

, 50ек 60вк (. 30ек\

и

т = (1п **..... 1-1 ^ щ 1~0,

причем для точной константы НРг\{Р, П) верно следующее неравенство

Яр,г(/3,П) <

Теорема 1.1.8. Пусть р Є [1,оо) и І Є [1,р]. Если г Є (1,оо) и <7 Є (0,1), то для произвольного открытого множества П из М" (П ^ К™,$о(П) < сю) и для любой функции / є сд (о) имеет место следующее неравенство

Г(1-д))' Л/ПУ/І',

где

í ^Vm^ ^ Р'(Г(1-д)У ГІ/ГІУ/1'

о

п

1

Цель параграфа §1.2 — показать, что константы в теоремах 1.1.5, 1.1.6 при I = 1 и 1.1.7 в общем случае нельзя заменить меньшими постоянными, то есть существуют экстремальные области fío, П1 и П2 для которых соответственно выполнены равенства

Лр,г(П0) =р\ DpA00, ПО = Яр,г(№) = .

А именно, доказывается, что для любого Sq > 0 существуют область По и функция из пространства Сд (По) такие, что соответствующее неравенство (3) не будет выполнено при замене р1 на р1 — ео. Аналогичное утверждение покажем для константы DPii(/3, П) и константы НРД/3, П). Отметим, что неравенство теоремы 1.1.6 при 1=1 является точным для шара с проколотым центром.

В параграфе §1.3 рассматриваются новые весовые неравенства в произвольных открытых множествах, содержащие степенные особенности,

и приводятся аналоги этих неравенств для выпуклых областей. Отметим, что степенные ".^-неравенства" в выпуклых областях являются точными.

Для произвольной открытой области имеет место

Теорема 1.3.2. Пусть Я с Г - произвольное открытое множество с конечным внутренним радиусом <5о(^)> причем п > 1, 5 := dist(x,d£2). Если 1 < р < оо, / € [1,р] и —оо < s < п, то

rmx<(pjn)1 /ш^т*,

J Ss ~ \n-sj J S^+Kn-1-s)

SI Q

В случае выпуклых областей справедлива

Теорема 1.3.3. Пусть Q с R" - открытое множество, компоненты которого являются выпуклыми множествами, с конечным внутренним радиусом So(fl), и пусть <5 := dist(x,dfl). Если 1 < р < со и —со < s < 1, то

п п

Во второй главе получены новые весовые неравенства типа Харди в областях регулярных по Е.Б. Дэвису. Сначала доказываются неравенства в произвольных областях, далее показывается, что неравенства принимают существенно простой вид в выпуклых областях и в областях с регулярной границей.

Доказанные в этой главе неравенства со степенными весами являются аналогами соответствующих результатов М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа и А. Лаптева, Ж. Тидблома.

В параграфе §2.1 рассматриваются неравенства для функций, заданных на отрезке числовой прямой, приводятся вспомогательные утверждения и необходимые определения. Одномерные неравенства используются нами для доказательства многомерных аналогов неравенств.

Верна следующая теорема.

Теорема 2.1.1. Пусть и € Со°(а, Ь). Тогда прир > s > 1 имеем где

p(t) = dist(t, R \ [а, Ь]) = min(i -a,b-t).

В параграфе §2.2 получен аналог неравенства теоремы 2.1.1 в многомерном случае. В доказанных неравенствах используются весовые функции, зависящие от расстояния по направлению.

Пусть Г2 — открытая область в К". Следуя Е.Б. Дэвису, обозначим через т„(х) — расстояние между точкой х € П и ближайшей точкой, принадлежащей границе дО, по направлению вектора г/ € §"-1:

т„(х) — 1шп{в > 0 : х + ей 6 Г2}.

Определим также расстояние до границы множества ри и диаметр множества £>„ вдоль направления V следующим образом:

р„(х) = шт{т.„(1), т„(а;)}, Д,(ж) = т„(х) 4- т^(х).

Пусть

д(х) = ¡п1 т„(х) = сЛэ^а:, 312),

п* = {у 6 П : х + г(у - х) е О,V* е [0,1]}. При вышеприведенных обозначениях верна следующая теорема.

Теорема 2.2.1. Для произвольной открытой области О, с К™ и произвольной функции и € Со°(Г2) при р > в > 1 верно следующее неравенство типа Харди:

/,_ , Г I совГгл Уи(а;))|р , . . , _

1 (а:)| У —Гр(х)

\п 8"-1 П /

где

В §2.3 показывается, что в случае выпуклой области О С Кп неравенство теоремы 2.2.1 может быть существенно упрощено. В параграфе §2.4 представлен специальный класс невыпуклых областей, для которых существуют аналоги неравенства теоремы 2.2.1.

Следуя Е.Б. Дэвису определим псевдодистанцию т(х) от точки х до границы области Г2:

1 _ 1 Г ¿Б71'1 {и) т2(х) У г2(*) •

Введем понятие регулярной области в пространстве К". Будем говорить, что область Осі"- регулярная область, если существует конечная константа с > 0 такая, что

6(х) < т(х) < с5(х) Vz є Г2.

Константу с назовем константой регулярности области Q,.

Теорема 2.4.1. Пусть П С М" — произвольная регулярная область с константой регулярности с, и Є Сд°(Г2) — произвольная функция. Тогда при р> s > 1 справедливо неравенство

{1 n n

где

I<i = a(p,s)(p — 1)

»M ) Dp(ü) r(£±i)r(f)

и

Dp(fl) := sup pP(x), x eil,

veS"-1

Г (ж) — гамма функция Эйлера.

Параграф §2.5 посвящен неравенствам в регулярных областях с весами, имеющими логарифмические множители. Сначала доказываются вспомогательные утверждения и вводятся необходимые обозначения. Для целых i > О положим

ео = 0, ei = 1, ej+i = expe,, 1п0:е = :е, lni+ia; = ln(lnjx).

Определим функции щ при целых k > О следующим образом

Pt(x,ek) ^ _ ^^ _ jnxj . . jn^efc — inar)' ^ ~

Отметим, что корректная определенность областей определения функций Inj и <р{ при соответствующих i и к достигается за счет Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.5.1. Для произвольной открытой области П С К™ и произвольной функции и 6 Со°(Г2) при целом к > 0 верно следующее неравенство типа Харди:

а п

п $»-1 х г_и '

где

К (л ^ *(<* Л2"(-2)/2 2/П

^ = ^ - ^ (г'6^ )

Теорема 2.5.2. Пусть Г2 С Кп — регулярная область с константой регулярности с и 0 < а < 2. Тогда для произвольной функции и е Со°(Г2) при целом к > О верно неравенство

У |Уи|2^а; -К6 ! \и{х)\2йх >

П

О ^ г-° '

где

к- (л V* (а \ (а Л2!^!^/" 1 = ^ - 2^° ' ■ ■ ■ • ^ 12'е0; —

Третья глава посвящена аналогам неравенств, полученных Ю.А. Дубинским. Особенностью результатов является наличие модуля логарифма в весовых функциях.

В параграфе §3.1 первой главы приводятся вспомогательные результаты и доказываются одномерные неравенства. Отметим, что мы используем подход Ю.А. Дубинского при доказательстве соответствующих утверждений. Пусть Я произвольное положительное число и положим, что

{я

//(¿)<Йпри ге(0,Я),

//(¿)£йпри г€(Д,оо). л

Тогда верна следующая

Теорема 3.1.1. Пусть р е [1, оо), I е [1,р], 1 < я < р + 1 и / : (0, +оо) — локально интегрируемая функция такая, что интеграл

оо

о

сходится. Тогда для любого Я > 0 верно следующее неравенство

г

I /—s

In — dr RI

i

Iгет|F(r)|Pdr- JW^W1*-1

о " о

dr.

Оказывается неравенство теоремы 3.1.1 будет верным не только в интервале (О, оо), но и также в интервале (ro,i?o) С (0, оо). Этот результат приведен в теореме 3.1.2.

В теореме 3.2.1 получен аналог неравенства теоремы 3.1.1 с другим ядром интеграла и при определении подинтегральной функции F использован весовой множитель.

В параграфе §3.2 доказываются неравенства, веса которых содержат вложенные логарифмы и экспоненты.

Параграф §3.3 посвящен неравенствам в многомерном случае. В последнем параграфе §3.4 третьей главы устанавливается точность констант в неравенствах теорем 3.1.1 и 3.2.1.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов исследования

[1] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин, И.К. Шафигуллин // Известия вузов. Матем. - 2011. - № 9. -С. 90-94.

[2] Насибуллин, Р.Г. Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей / Р.Г. Насибуллин, A.M. Тухватуллина // Уфимский математический журнал. -2013. - Т. 5. - №2. - С. 43-55.

Статьи в сборниках научных трудов и тезисов докладов на научно - практических конференциях

[3] Насибуллин, Р.Г. Неравенства типа Харди, включающие повторные логарифмы / Р.Г. Насибуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. -Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2011. - Т. 43. - С. 262-263.

[4] Насибуллин, Р.Г. Неравенства типа Харди с логарифмическими особенностями в ядре / Р.Г. Насибуллин // Сборник научных трудов победителей всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки. - М.: Изд-во РГСУ. - 2011. - С. 199-209.

[5] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди в областях с ограниченным внутренним радиусом / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2012. - Т. 45. -С. 3-4.

[6] Насибуллин, Р.Г. О точности двух констант в неравенствах типа Харди / Р.Г. Насибуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2013. - Т. 46. - С. 331-333.

[7] Насибуллин, Р.Г. Логарифмические особенности в неравенствах типа Харди / Р.Г. Насибуллин // Сборник материалов Открытого конкурса научных работ студентов и аспирантов им. Н.И. Лобачевского - Казань: Изд-во: Научный Издательский Дом. - 2012. - С. 78-79.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В диссертациониой работе получены новые неравенства типа Харди с весами, имеющими степенные и логарифмические особенности. Доказаны неравенства в одномерном случае и получены их многомерные аналоги. Рассмотрены соответствующие неравенства в произвольных и выпуклых областях, в областях регулярных по Е.Б. Дэвису, во всем евклидовом пространстве Ж". Показана точность некоторых констант. Соответствующие результаты обобщают утверждения Ф.Г. Авхадиева, М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа и А. Лаптева, Дж. Тидблома и Ю.А. Дубинского. Полученные неравенства могут послужить некоторым инструментом для дальнейших теоретических исследований в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Авхадиеву Фариту Габидиновичу за всяческую поддержку, за ценные советы, критические замечания и постоянное внимание к работе.

Подписано в печать 13.11.2013. Бумага офсетная. Печать цифровая. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Усл. печ. л. 0, Уч.-изд. л. 0,60. Тираж 100 экз. Заказ 63/11

Опечатано с готового оригинал-макета В типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 Тел. (843) 233-73-59, 233-73-28

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

042Q1 ¿5090Л пРавах рукописи

НАСИБУЛЛИН РАМИЛЬ ГАЙСАЕВИЧ

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ С ВЕСАМИ,

ИМЕЮЩИМИ СТЕПЕННЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ф.Г. Авхадиев

Казань — 2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4 Глава 1

СОЧЕТАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И СТЕПЕННЫХ

ОСОБЕННОСТЕЙ 24

§1.1 Неравенства с весами, имеющими логарифмические особенности . . 26

1.1.1 Одномерные неравенства.....................26

1.1.2 Многомерный случай.......................33

§1.2 Точность констант в трех неравенствах................38

§1.3 Весовые функции со степенными особенностями...........57

1.3.1 Одномерные неравенства и вспомогательные результаты . . 57

1.3.2 Пространственный случай....................61

1.3.3 Улучшение оценок в случае выпуклых областей........61

Глава 2

ПРИМЕНЕНИЯ К ОБЛАСТЯМ, РЕГУЛЯРНЫМ В СМЫСЛЕ

Е.Б. ДЭВИСА 64

§2.1 Функции, заданные на отрезке числовой прямой...........66

§2.2 Весовые функции в областях, зависящие от расстояния по

направлению...............................70

§2.3 Упрощения для выпуклых областей..................72

§2.4 Применения к невыпуклым областям.................74

§2.5 Случай регулярных областей и весов с логарифмами........76

Глава 3

ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛИ

ЛОГАРИФМОВ 82

§3.1 Одномерные неравенства........................85

§3.2 Случай весов с итерированными логарифмами...........95

§3.3 Неравенства в евклидовом пространстве ...............101

§3.4 Доказательство точности двух констант................103

Заключение 107

Литература 108

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена неравенствам типа Харди. Рассматриваемые неравенства связывают в одномерном случае функцию и ее производную, а в многомерном случае — функцию и модуль ее градиента. Стоит отметить, что неравенства типа Харди могут быть дискретными, то есть вместо интегралов от функций используются конечные или бесконечные суммы членов числовой последовательности (см., например, Г.Х. Харди, Дж.Е. Литтлвуд, П. Полна [60], Г.Х. Харди [61]).

Основное неравенство Харди для абсолютно непрерывной функции / : [0, со) —> К такой, что /(0) = 0, /' € Ь2(0, оо), / ф 0, можно записать следующим образом:

00 оо

J ^¿х < 4 J f'2dx. (0.0.1)

о о

Константа 4 является точной, но не существует экстремальной функции, на которой достигается равенство (см. [60]).

Актуальность темы. Одномерные неравенства Харди вида (0.0.1) обобщались в различных направлениях такими авторами, как Дж. Таленти [90], Дж. Томаселли [92], Б. Макенхоупт [79], В.Г. Мазья [75], В.Д. Степанов [24], [89], А. Куфнер и Л.Э. Перссон [68], В. Левин [72], Ф.Г. Авхадиев и К.-И. Виртц [32], [35], Д.В. Прохоров [22] и ряд других математиков. Например, Дж. Таленти [90] и Дж. Томаселли [92] получили условия на весовые функции в одномерных неравенствах типа Харди, которые необходимы и достаточны для выполнения соответствующего неравенства.

Широкое развитие получили неравенства типа Харди в многомерных областях:

I < сп(П) I\Vf\4x, (0.0.2)

п п

где £1 — произвольная открытая область из евклидова пространства Мп, причем П ф М71, 6 = 5(х) — (^(ж, Ш) — функция расстояния до границы

области, V/ — градиент функции / : Q, —> R.

Известно, что для любой выпуклой области Ü, С Мп константа сп(Г2) равна 4 (см. Е.Б. Дэвис [49], Т. Матскевич и П.Е. Соболевский [76], X. Брезис и М. Маркус [45], М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптев [62]). Для области с локально липшицевой границей константа Харди существует и конечна (см., например, К. Бэндл и М. Флечер [39], Е.Б. Дэвис [48], В. Опик и А. Куфнер [85]). Однако, липшицевость границы не является необходимым условием конечности константы Харди. Доказаны неравенства типа Харди при более общих условиях на границу множества. В этом направлении работали А. Анкона [30], X. Брезис и М. Маркус [45], Е.Б. Дэвис [48], [51], П. Коскела и X. Цонг [65], Й.Л. Льюис [73], В.Г. Мазья [75], В.М. Миклюков и М.К. Вуоринен [78], А. Ваннебо [94], Ф.Г. Авхадиев [31], А. Лаптев и A.B. Соболев [71], и другие математики.

Такому бурному развитию неравенств типа Харди способствовало их широкое применение в различных областях математики и математической физики. Например, С.Л. Соболев (см. [23]) использовал неравенства типа Харди в теории вложений функциональных пространств и также применял их при оценке потенциала Рисса. Ф.Г. Авхадиев в [2] использовал неравенства тина Харди при оценке жесткости кручения. Результаты А. Лаптева и Т. Вейдла из статьи [70], А. Балинского, А. Лаптева и A.B. Соболева из работы [38] могут применяться при изучении отрицательности спектра двумерного оператора Шредингера и связаны с проблемой существования резонансных состояний.

Не останавливаясь на подробностях, отметим, что неравенства типа Харди используются в теории аппроксимации функций, в анализе Фурье, в теории интерполяции, в нелинейном анализе и в теории дифференциальных уравнений эллиптического типа с вырождениями. Неравенства Харди также применяются в качестве инструмента в исследовании спектра эллиптических операторов и используются в доказательстве существования и единственности решения в теории вязкой несжимаемой жидкости. Более подробно с приложениями неравенств типа Харди можно ознакомиться в работах [9], [10], [23], [38], [48], [50], [52], [63], [64], [81], [93], [95], [96].

Литература, связанная с различными обобщениями и приложениями неравенств типа Харди, весьма обширна. Далее приведем краткий исторический обзор развития неравенств типа Харди связанных с темой данной работы. В 1920 году при попытке упростить неравенства Гильберта (см. [60, с. 272]), X. Харди в статье [61] получил утверждение: если р > 1 и ряд а?п сходится, то ряд

£ (т)' ■

где Ап = + й2 + ••• + ап, также сходится.

Соответствующим интегральным аналогом вышеприведенного утверждения при р > 1 является следующее неравенство (см. [60], [61]):

оо

туу Г(х)с1х,

< ^^-Г ) I (0.0.3)

а

где /(£) — неотрицательная, интегрируемая по Лебегу функция, а > 0 и

X

Р{х) = I та.

Неравенство (0.0.3) является критерием сходимости интеграла от функции в зависимости от сходимости интеграла ее производной. Другими словами, интеграл в неравенстве (0.0.3), который стоит с левой стороны, сходится, если сходится интеграл стоящий справа.

Более общее одномерное неравенство Харди в том случае, когда весовая функция находится в левой и в правой части неравенства, записывается в следующем виде (см. [60, с. 296]):

00 оо

о о

где /(ж) — неотрицательная измеримая функция, определенная на [0, оо), а

\smdt 3> 1,

Р{х) = { о, (0.0.5)

// б<1.

. х

Константа pP\s — 1\~р при р > 1 не может быть заменена в общем случае меньшей постоянной. Несмотря на то, что константа неулучшаема, не существует функции, на которой эта константа достигается. Необходимо отметить, что соотношение (0.0.3) с конечной постоянной показал X. Харди [61], а неравенство с точной константой установил Э. Ландау [69].

Приведем далее некоторые известные результаты связанные с дальнейшим развитием и обобщением одномерных неравенств типа Харди. Обобщения неравенств Харди связаны, например, с появлением дополнительных слагаемых (см. [32], [35], [87]), с добавлением новых весовых функций (см. [74], [80], [82]) или с увеличением порядка производной подинтегральной функции (см. [11], [24]). Например, результат Д.Т. Шама (D.T. Shum) из статьи [87] связан с появлением дополнительного слагаемого: пусть р > l,s ф 1 и f{x) — неотрицательная, интегрируемая по Лебегу на [0,Ь] или на [а, оо] соответственно при s > 1 или s < 1, где а > 0, Ь > 0. Тогда если F(x) определена как (0.0.5),

í x~s{xf)pdx < +оо Jo

и

roo

/ x~s(xf)pdx < +оо, j а

то имеют место неравенства:

Сx~sFpdx + -^—Fp(b) < (JLX [bx-s(xf)pdx (s > 1) Jo 8-1 \s — IJ Jo

u 00 P oo

Г x~sFpdx + Fp{a) < í \ Г x~s{xf)pdx (s < 1). ja l — s \l — s j j a

Равенство в неравенствах возможно только при / = 0. Константы точны.

Уточнение неравенства (0.0.4) с помощью дополнительного слагаемого

является ожидаемым и естественным. Как было выше указано, константа

неравенства (0.0.4) является точной, но не существует функции, на

которой эта точная константа достигается. При доказательстве точности

константы в неравенствах типа Харди приходится строить минимизирующую

последовательность. Этот факт объясняет возможность уточнения

неравенства (0.0.4) каким-нибудь образом, например, путем добавления дополнительного слагаемого.

Легко заметить, что неравенство (0.0.4) при 5 = 1 теряет смысл. Особенность, возникающую при в = 1, в статье [74] Л.-И. Чан устранил с помощью весов, содержащих логарифмические особенности. Б.Г. Пачпатте в статье [80] обобщил утверждение Л.-Й. Чана из [74] добавив в определение функции F(x) весовой множитель.

В работах [4], [60], [82] также можно увидеть примеры использования весов с логарифмами в одномерных неравенствах типа Харди. Добавим, что в [4] и [60] получены неравенства Харди, включающие повторные или иначе, кратные логарифмы.

Неравенство (0.0.4) при я > 1 иногда (см., например, [10]) называют прямым неравенством Харди, поскольку при в > 1 в определении функции ^ интегрирование ведется от 0 до а:, а при й < 1 — обратным неравенством Харди, так как в определении функции Р при я < 1 интегрирование ведется от х до оо. Результат, полученный Ю.А. Дубинским в статье [9], связан с тем, что он содержит как прямое неравенство Харди, так и обратное:

Теорема 0.0.1. Пусть / : (0,+оо) —М1 — локально интегрируемая функция такая, что интеграл

оо

I \/(г)\ргр~Чг, р> 1,

О

сходится. Тогда для любого Я > 0

г

о

я

р оо

р

! \}{г)\ргр~Чг. (0.0.6)

Обратим внимание на то, что в неравенстве (0.0.6) логарифм находится под знаком модуля. Примеры использования логарифмов под знаком модуля в неравенствах типа Харди можно увидеть в статьях [53] - [55], [74], [80]. Необходимо отметить, что базовые результаты по одномерным неравенства Харди более подробно изложены в работах [60], [66], [67], [85].

Для упрощения дальнейшего изложения запишем оригинальное неравенство Харди (см. [60]) следующим равносильным образом

-+оо

МОР

<

р

-+оо

|5 - II

а-р

4г

(0.0.7)

для р > 1, в е I, в ф 1 и любой абсолютно непрерывной функции и : [0, оо) -»• М, и'/Г/Р-1 £ Ц'{0,оо), такой, что и{0) = 0 в случае б > 1, и и(+со) = 0 в случае й < 1.

Отметим, что неравенство (0.0.7) можно трактовать как следующую теорему о вложениях весовых пространств функций (см. [23], [25]):

¿;^_р(0,оо) С 2^.(0, оо),

где

Ьр1/х8(0,оо) = { и :

и

+оо ]

0

+оо

\и\

хь

-¿X < СО

Ь1 = < и

-

\и

/I р

хз-р

-¿х < оо

Как было сказано выше, неравенства Харди обобщены многими путями. Далее рассмотрим неравенства типа Харди в пространственном случае, предполагающие, что область интегрирования О, — собственное открытое подмножество Мп, функция и и ее производная и' заменены функцией / £ Сд(Г2) и ее градиентом V/, а степени £ заменены степенями 5 = 8{х) — сНв^х, д£1) — функции расстояния до границы области.

При исследовании многомерных вариационных неравенств типа Харди константы являются специальными функционалами, зависящими от области и числовых параметров задачи. Основной трудностью является оценка этих констант.

Пусть — открытое собственное подмножество Мп. Запишем функционал следующего вида:

ср(з, О) = вир

53/Р

ЬР(П)

■ / е С0°°(^),

= 1

ЬР{П)

где Со°(Г2) — множество непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем в П, а 6 = 5(х) = сНв^я, <9Г2) — функция расстояния до границы области.

Далее приведем известные результаты значений и оценок константы О) в зависимости от вида области и используемых параметров 5, п

и р.

Хорошо известно, что при р 6 [1, со) избК

Ср(5,М"\{0}) = г-г, Ф,Н) =

— п\ к — 1|

где Н — полупространство в Еп (см. [39], [75], [85]). В статьях [51], [75], [77] рассмотрен случай, когда Л является выпуклой областью. Оказывается, что при р > 1 для любой выпуклой области О, С Кп, О ^ Мп, верно равенство

ср{р, П) = —.

р — 1

Получены также оценки ср(з, для невыпуклых областей. А именно, если Г2 — односвязная плоская область, то

с2(2,П) <4

(см. [1], [30], [44], [48]).

В случае, когда Г2 — область с гладкой границей, С Кп, константа

Ср(р,Ю) >р/{р- 1)

(см. [48] и [77]). Хорошо известно также, что ряд многомерных аналогов классического неравенства Харди оказываются справедливыми в областях с локально липшицевыми границами (см. [39], [48], [85]).

Й.Л. Льюис в работе [73] доказал, что если р > п, то постоянная ср(р, конечна для любой области С Мп, О ф то есть никаких ограничений на границу области не требуется. А. Ваннебо в статье [94] обобщил утверждение Й.Л. Льюиса, показав, что существует число е > О, зависящее разве лишь от показателя р и от размерности пространства п и такое, что условия

р > п, в > р — £ 10

гарантируют существование конечной постоянной cp(s, Г2) для любой области Q С Rn, fi Rn. Ф.Г. Авхадиев в статье [31] получил более общий результат, а именно, если s > п, то для любой открытой области С Rn, О, Rn; верна оценка

р

Cp(s, Q) <-.

s — п

Причем, в общем случае константу p/(s — n) нельзя улучшить (см. [2], [3], [5]).

Отметим, что доказательству неулучшаемости констант в неравенствах типа Харди многие авторы уделяют большое внимание. Это связано с приложениями неравенств Харди, например, в такой области как спектральная теория. Получению точных констант посвящены следующие статьи: [32], [34], [35], [37], [40], [46], [47], [77].

Дополнительную информацию про константы Харди можно найти в статье Р. Бануэлоса [43].

Далее рассмотрим случай, когда s = п. Оказывается, что при s = п существуют области, для которых соответствующая постоянная Харди равна бесконечности, например, при любом р > 1

Cp(n, Rn \ {0}) = сю.

То есть при s = п приходится накладывать некоторые дополнительные ограничения на границу множества. Из работ, относящихся к этой тематике отметим статью Ф.Г. Авхадиева [31], А. Анконы [30], X. Поммеренке [84], Е.Б. Дэвиса [48], А. Лаптева и A.B. Соболева [71], П. Коскела и X. Цонг [65], В.М. Миклюкова и М.Р. Вуоринена [78], В.Г. Мазьи [75]. Приведем результат Ф.Г. Авхадиева из статьи [31]. Этот результат дает необходимое и достаточное условие конечности константы Ср(2, Q): если l<p<oouQ<Z R2, причем Q ф R2; тогда

min{2,р}М0(П) < ср(2,Q) < 4р2 (кМ0{П) + ^^ ' ^ ,

где

М„(П) :=snpilog

а супремум берется по кольцам А таким, что

A = {ze С : r{A) <\z- zq\ < Я(А)} С Г2, z0 G дП.

Оказывается, что константа Мо(^) конечна для множеств с равномерно совершенной границей (см., например, [5], [58]). Другими словами, ср(2,0) конечно тогда и только тогда, когда граница множества О, равномерно совершенна (см. [2], [5], [31]).

Другой подход, относящийся к случаю в — п, связан с добавлением весовых множителей. Например, Ф.Г. Авхадиев, используя веса с логарифмическими особенностями, для произвольной области О,, при р > 1 и для любой функции / £ Со(^) показал, что выполнено следующее неравенство:

То есть логарифмический вес помогает обойти особенности, возникающие при в = п. Можно сказать, что логарифмический вес компенсирует "плохое" поведение границы области (подробнее см. [3]). Примеры использования весов с логарифмическими особенностями в неравенствам типа Харди можно увидеть, например, в таких работы как [4], [9], [15], [16], [19], [20], [40], [41],

Добавим, что непосредственным многомерным аналогом неравенства (0.0.7) является следующее неравенство (см. [2], [3], [5], [31]):

где Г2 — произвольная открытая подобласть К71, Со°(Г2) — пространство непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем в Г2, а 5 = 8{х) = сНв^я;, сЮ) — функция расстояния до границы области.

Как было отмечено выше, константа рР^ — п)~р является точной, то есть в общем случае константу рР(в — п)~р нельзя улучшить. Но обнаружено интересное явление: возможно уточнение неравенства (0.0.9) путем добавления дополнительного слагаемого в областях с конечным внутренним радиусом. Неравенствам типа Харди с дополнительными слагаемыми посвящено множество работ. Отметим работы X. Брезиса и М. Маркуса [45], М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа, А. Лаптева [62], Ж. Тидблома [91], Ф.Г. Авхадиева [3], Ф.Г. Авхадиева и

(0.0.8)

[42], [62], [83], [88].

Б > П.

(0.0.9)

К.-Й. Виртца [32], [35], Г. Барбатиса, С. Филиппаса и А. Тертикаса [40] - [42], С. Филиппаса, В.Г. Мазьи, А. Тертикаса [56], С. Филиппаса, А. Тертикаса [57]. Отметим, что постановка задачи о выделении дополнительного слагаемого принадлежит X. Брезису и М. Маркусу [45].

Приведем результат М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа, А. Лаптева из статьи [62]: в произвольной выпуклой области О и для любой функции f £ Н1 {О) имеет место неравенство

Г 1 Г \п(т\\2 П(п~2)/пс2/" г

у > \ у м^-лг + 4|пр;г у нх)\чх,

где 5 = 5(х) = сИв^х, дО,) — функция расстояния до

границы области, зп—1 — |§п_1| — площадь поверхности единичной сферы, — мера области П.

В статье [62] также получены неравенства с дополнительными слагаемыми, веса которых содержат логарифмические множители.

Неравенствам типа Харди посвящено множество современных работ различного содержания. Но есть и много нерешенных задач. Некоторым из этих нерешенных задач посвящена данная диссертационная работа.

Цель работы — получить новые неравенства типа Харди. Исследование ведется в трех направлениях. Первое направление связано с неравенствами типа Харди в произвольных областях в терминах функции расстояния до границы области. Здесь рассматриваются два вопроса. Первый вопрос — существуют ли другие веса для которых будет выполнено соответствующее неравенство типа Харди при в — п при на