Оценки констант Харди для областей, обладающих специальными свойствами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи Шафигуллин Ильнар Касыймович ^^^^

ОЦЕНКИ КОНСТАНТ ХАРДИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ, ОБЛАДАЮЩИХ СПЕЦИАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ

Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005553107

Казань - 2014

9 ОКТ 2014

005553107

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Авхадиев Фарит Габидинович.

Официальные оппоненты: Клячин Алексей Александрович,

доктор физико-математических наук, доцент ФГАОУ ВПО

«Волгоградский государственный университет»,

Мусин Ильдар Хамитович, доктор физико-математических наук, вед. науч. сотр. отдела теории функций Институт математики с ВЦ УНЦ РАН Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева

Сибирского отделения РАН.

Защита состоится «23» октября 2014 г. в 14:30 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань ул. Кремлевская, 35.

Автореферат разослан «_» июля 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.081.10 кандидат физ.-мат. наук, доцент

Е.К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена неравенствам типа Харди. Рассматриваемые интегральные неравенства связывают в одномерном случае функцию и ее производную, а в многомерном случае — функцию и модуль ее градиента. Основное внимание в работе уделяется вопросам существования и точности констант в многомерных интегральных неравенствах.

Актуальность темы диссертации. Неравенства типа Харди являются относительно новой областью в математике. Бурное развитие теория неравенств типа Харди получили лишь в 20 веке, в особенности, в его второй половине. Значительные результаты в этой области, помимо самого Г.Х. Харди, связаны с именами таких математиков как Е.Б. Дэвис, С.Л. Соболев, В.Г. Мазья, X. Брезис, М. Маркус, Дж. Таленти, Дж. Томаселли, А. Куфнер, В.Д. Степанов, Ф.Г. Авхадиев, К.-Й. Виртц, Д.В. Прохоров, М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, К. Бэндл, М. Флечер, А. Анкона, Й.Л. Льюис и многие другие.

Помимо того, что неравенства типа Харди представляют интерес сами по себе, они обладают еще и большим прикладным потенциалом. Так, неравенства этого типа находят важные применения в различных областях математики и математической физики. Например, С.Л. Соболев1 использовал неравенства типа Харди в теории вложений функциональных пространств, и также применял их при оценке потенциала Рисса. При оценке жесткости кручения неравенства типа Харди широко применялись Ф.Г. Авхадиевым. С изучением спектра двумерного оператора Шредингера связаны результаты А. Лаптева и Т. Вейдла. Работы А. Балинского и А. Лаптева по тематике неравенств типа Харди связаны с проблемой существования резонансных состояний.

Кроме того, следует отметить, что неравенства типа Харди нашли применение в теории интегральных и дифференциальных уравнений, в нелинейном анализе, при изучении краевых задач с особенностями. Точные значения констант в неравенствах Харди или их оценки используются при получении оценок нижней границы спектра эллиптических дифференциальных операторов с вырождающимися коэффициентами.

'Соболев, СЛ.Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1989. - 254 С.

Одномерное неравенство типа Харди выглядит следующим образом:

°° 2 °°

I Ц^-ах < 41 (1)

о о

где / : [0, оо) —> К — абсолютно непрерывная функция, такая, что /(0) = 0, /' 6 Ь2(0, оо), / ф 0. В данном неравенстве константа 4 является точной, но не существует допустимой экстремальной функции, на которой достигается равенство.

В рамках данной диссертационной работы исследуется многомерный аналог

данного неравенства

/ ^ ~ ^ / € С°(П) (2)

п я

где П — произвольная открытая область из евклидова пространства К™, 6(х) = (^(а;, дО.) — функция расстояния до границы области, V/ — градиент функции / : —К.. Ввиду того, что в неравенстве присутствует функция расстояния до границы области, вводится естественное ограничение на область О С М", / Ж", иначе д(х) = оо и неравенство теряет смысл.

Если вопрос с константой в одномерном неравенстве вида (1) исчерпан, т.е. константа найдена и она точна, то в многомерном случае (2) значение этой константы, вообще говоря, зависит от вида области. Большинство известных результатов в данном направлении получены для отдельных классов областей, обладающих некоторой особенностью. Так, например, рядом математиков различными способами было показано, что для любой выпуклой области Г2 С К" константа сп(0) равна 4 (см., например, работы таких математиков как Е.Б. Дэвис, Т. Матскевич и П.Е. Соболевский, X. Брезис и М. Маркус, М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптев).

Достаточно распространен подход, при котором для классификации областей используются функционально-геометрические характеристики областей. Так, например, для областей с локально липшицевой границей показано что константа Харди существует и конечна. Такой подход в своих исследованиях применяли К. Бэндл и М. Флечер, Е.Б. Дэвис, В. Опик и А. Куфнер и другие. Однако, липшицевость границы не является необходимым условием конечности константы Харди. Доказаны неравенства типа Харди и при более общих условиях на границу множества. В этом направлении работали А.

Анкона, X. Брезис и М. Маркус, Е.Б. Дэвис, П. Коскела и X. Цонг, Й.Л. Лыоис, В.Г. Мазья, А. Ваннебо, Ф.Г. Авхадиев, А. Лаптев и A.B. Соболев, и другие математики. Кроме того, известен подход, когда для классификации областей используются свойства специально введенных на них функционалов. Так, например, В.М. Миклюковым и М.К. Вуориненым вводится понятие изопериметрического профиля, который далее используется для получения двусторонней оценки константы Харди. В этом направлении также работали такие математики, как: Й.Л. Льюис, В.Г. Мазья и другие.

Выделим два важных для нашей диссертационной работы результата. Ф.Г. Авхадиевым 2 доказана теорема А.

Теорема А. Пусть Q с R", п > 2, П R". Если 1 < р < оо и п < s < оо, то для любой функции f(x) е Сц(Г2)

является точной и не может быть, в общем случае, заменена меньшим числом.

Особо следует отметить, что в данной теореме нет каких-либо ограничений на область С1, то есть результат получен сразу для всех областей. Более того, существуют области, на которых константа в нерваенстве является точной, т.е. в общем случае не может быть заменена меньшей постоянной. Однако, для отдельных классов областей постоянная может быть уменьшена. В первой главе нами предложен новый класс областей, для которых константа Харди Cp,s(fl) < (p/(s — п))р, т.е. аналог теоремы А справедлив с лучшей константой.

Следующим важным для нашей работы результатом является гипотеза Е.Б. Дэвиса, которую он сформулировал в 1995 году. Он предположил, что для любой области константа в неравенстве типа Харди (2) не может быть меньше, чем 4. То есть так же, как и в случае п = 1, когда такая оценка является следствием классического результата Г.Х. Харди. А именно, Дэвис предположил, что в неравенстве вида (2) оптимальной оценкой снизу для константы с„(О) будет число 4, независимо от вида области.

2 Avkhadiev, F.G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants / F.G. Avkhadiev // Lobachevskii J. Math. - 2006. - V. 21. - P. 3-31.

где S(x) = dist(x, dQ). При этом константа

Гипотеза Дэвиса в общем случае оказалась неверной, хотя при п = 2 и п = 3 мы не имеем контрпримеров, опровергающих эту гипотезу. Однако при п > 4 такой пример существует. Впервые на существование такого примера обратили внимание математики М.Маркус, В.Митцель и Я.Пинховер. Известно неравенство:

/ ^ Лс < / |У/(Ж)|2 сь, V/ е СЙ(К»).

Е" Е"

С учетом того, что для О, = Мп\{0} расстояние до границы области будет выражаться в виде 0Г2) = 5{х) = мы можем переписать это

неравенство в следующем виде

/ / V/6 СЙ(В-\{0}).

Е"\{0} Е"\{0}

А это значит, что при п > 4 будет выполняться неравенство:

4

Сп — 7

(п — 2)2

где

Сп = т£ с„(0)

Таким образом, выдвинутая Е.Б. Дэвисом гипотеза оказывается неверной для п > 4 и должна быть уточнена. Исходя из анализа гипотезы Дэвиса и контрпримера, мы предлагаем следующую гипотезу.

Уточненная гипотеза Дэвиса — инфимум констант Харди по областям, не совпадающим со всем пространством, равен

4

с2 = 4, с3 = 4, Сп = --—2 Уп > 4.

(п - 2)2

Исследование этой гипотезы проводится нами в третьей главе диссертационной работы.

Цель работы — получить новые оценки констант Харди.

Исследование ведется с использованием трех различных подходов.

Первый подход реализован в первой главе диссертации и связан с исследованием неравенств типа Харди на "производных областях", то есть областях, полученных при помощи каких-либо операций из уже известных областей. Рассматривается поведение констант Харди при декартовом

умножении области на отрезок или прямую. Кроме того, получены результаты для областей, полученных вращением плоской фигуры вокруг произвольной внешней прямой. Приведены также обобщения этих конструкций. Результатом является ответ на вопрос — для каких классов областей в неравенстве в теореме А будут иные ограничения на параметры.

Второй подход, применяемый во второй главе, связан с исследованием неравенств типа Харди на классе областей, обладающих одной особой граничной точкой. Получены как некоторые обобщения результатов Е.Б. Дэвиса, так и новый геометрический критерий для классификации областей с точной нижней оценкой константы Харди.

Третий подход, применяемый в третьей главе, связан с исследованием неравенств типа Харди на произвольных областях, без каких-либо ограничений на них. Частично доказана уточненная гипотеза Дэвиса. Получены точные по порядку нижние оценки констант Харди в случае п > 2.

Научная новизна. В диссертационной работе получены новые оценки констант Харди, частично доказана гипотеза Дэвиса. Найдены точные нижние оценки для новых широких классов областей с простым геометрическим признаком принадлежности области к соответствующему классу.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Однако, полученные в диссертации результаты могут послужить некоторым инструментом для дальнейших теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств и в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "From Carthage to the World: the Isoperimetric Problem of Queen Dido and its Mathematical Ramifications"(Тунис, 24-29 мая 2010), на международных Казанских летних научных школах-конференциях "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009, 2011, 2013 гг.), на итоговых научных конференциях Казанского университета (2010 — 2013 гг.), II Международной конференции "Геометрический анализ и его приложения" (Волгоград, 26-30 мая 2014 г.), а также результаты по мере их получения докладывались на семинарах кафедры (2009-2014 гг.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата. Среди них три работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов исследования.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 104

страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 79 наименований.

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, обзор литературы по теме диссертации и краткое изложение основных результатов.

В первой главе найдены константы Харди для областей, полученных декартовым произведением произвольной области на прямую и интервал. Изучены области, которые получаются вращением произвольной плоской фигуры вокруг внешней прямой, и для таких областей получены двусторонние оценки константы Харди.

Здесь рассматривается аналог указанной выше теоремы А. Хорошо известен тот факт, что для выпуклой области £1 аналог этой теоремы будет верен с постоянной (р/(я — 1))р. Мы обнаружили новые классы областей, для которых постоянная — п))р может быть заменена меньшей.

Рассмотрим тг-мерную область, пред ставимую как декартово произведение Г2 = х (а,Ь)к, где к € N. П1 С — произвольная область, ф

Покажем, что для таких областей постоянная Харди в аналоге теоремы А может быть взята как (р/(в — п + к))р. Это является основным результатом первого параграфа. Он сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 1.1.1. Пусть П = х (а, Ь)к с К", где П1 — произвольное открытое множество в И"-*, ^ ф К"-*1 и п — к > 2. Если 1<р<ооип — к < в < оо, то для любой функции / € Сд (П) справедливо неравенство

где 6(х) = ё'т^х, 80).

Приводится также исследование геометрической природы такого результата. А именно, вводится понятие "существенного граничного элемента" и далее изучается поведение таких граничных элементов при декартовых произведениях областей на отрезок. Показывается, что именно размерность этих граничных элементов области влияет на константу Харди.

В следующем параграфе исследуется более общее неравенство типа Харди

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

п

п

У ^ сДП;^)Iф(5)\/(х)\'ёх V/ е С^П), (3)

п

п

где 1р : (0, оо) ф : (О, оо) К+ — непрерывные функции.

Получены исчерпывающие результаты для областей вида П2 = П1 х Е?А Точнее, показано, что если для произвольной области С выполнено неравенство (3) и константа Ср^^^ф) является точной, то и для области вида Пг = X К* аналогичное неравенство с константой Ср{0,1\(р]ф) будет справедливо. При этом соответствующая константа будет точна для этих областей. Этот факт является результатом следующей теоремы.

Теорема 1.3.1. Пусть 1 < р < оо, тп <Е К, — произвольная область в Мт, Пх ф Кт. Если 0,2 = П1 х М*, где к € М, то имеет место равенство

сР(Пи Ч>\ Ф) = Ср(П2, Ч>\ Ф)-

В первой главе уделено также внимание оценкам констант Харди для тел, полученных вращением произвольной фигуры вокруг прямой. Простейшим примером такого рода тел является тор. Его можно получить, вращая круг вокруг некоторой внешней прямой, т.е. прямой, не имеющей общих точек с рассматриваемым кругом, но лежащей в той же плоскости. В зависимости от положения оси вращения мы можем получить как вырожденный тор, так и тор с большим расстоянием от границы до оси вращения. Эти параметры определим как г\ и гг, а именно, через г\ будем обозначать радиус основания наибольшего цилиндра, не имеющего общих точек с полученным тором, с осью, совпадающей с осью вращения. Через г2 будем, соответственно, обозначать радиус основания наименьшего цилиндра, полностью содержащего в себе полученный тор, с осью, совпадающей с осью вращения. Данные параметры влияют на оценки констант Харди для таких тел. Этот вопрос исследуется не только для торов, но и для тел, полученных вращением произвольных фигур. Через П1 С К2, П ф К2 определим произвольную плоскую область, а через О С К3 — тело полученное вращением вокруг некоторой внешней прямой этой плоской области. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1.4.1. Пусть 5\ — функция расстояния до границы области Г2х и для любой функции / е Сд(П 1) справедливо неравенство

I гМШГйъ I ф(6№/(х)\Р,

П! Я!

где сриф — некоторые непрерывные весовые функции, принимающие положительные значения, а ¿1 = ^(я) — функция расстояния до границы

множества Оь Тогда будет справедливо аналогичное неравенство для всех функций из класса Со(Г2):

п п

где 5 = 6(х) — функция расстояния до границы множества Г2. При этом константы в этих неравенствах будут связаны следующим соотношением

, г2

с < С\—.

П

Получено также обобщение этого результата на произвольное количество вращений вокруг различных внешних прямых. Доказаны некоторые геометрические особенности таких конструкций.

Во второй главе получен новый широкий класс областей с точными нижними оценками константы Харди. Особенностью данного класса является простота проверки признака принадлежности области этому классу.

Ключевым пунктом этой главы является введение определения Я-регулярной граничной точки.

Точку у е д£1 области Г2 С Е™ назовем 5—регулярной, если существуют точка х0 е Кп, постоянные е0 € (0, и С > 0 такие, что для любого е е (0, е0) выполняются условия:

1) Бу{х0,£) С О;

2) для любой точки х е Зу(хо,£) должно выполняться двустороннее неравенство для функции расстояния до границы области

Го — |х — х0| < СПБ^Х, 30) < го(1 + Се) -\х- х0|,

где г0 = \у — а 5у(х0,е) — усеченный шаровой конус. Приведем его определение. Пусть е 6 (0, пусть у и х0 — точки М", г0 := |х0 — у| > 0. Определим усеченный шаровой конус 5у(а;о,е) как множество точек х 6 М'\ удовлетворяющих двум следующим условиям:

{г0(1 - 2у/е) < \х - я0| < Пь

соз(^) < *

Здесь мы доказываем следующий геометрический критерий того, что точка является Э-регулярной. А именно, справедлива следующая

Теорема 2.3.1. Если для точки у £ 90 существуют два шара В± со свойствами

В+ с О, В~ С Шп\П,

Б^П В=={у}, (4)

то у — Б-регулярная точка.

Далее мы вводим понятие граничной точки, "двусторонне достижимой шарами". Упрощенно говоря, то, что хо является точкой, двусторонне достижимой шарами, означает, что Хо — общая граничная точка двух шаров, один из которых целиком лежит внутри, а второй — вне рассматриваемой области. Отметим, что определение граничной точки, двусторонне достижимой шарами, задается соотношениями (4).

В следующем параграфе этой главы мы исследуем неравенство типа Харди вида:

1-ср'з{п) 1у/ е (5) п п

где сР1а(П) является оптимальной константой, т.е.

Ср,в(П) = эир —

Ах

п

Ключевыми результатами этой главы являются теоремы, данные в последнем параграфе. Первая теорема дает точную нижнюю оценку для константы в неравенстве (5) для случая, когда р = в = 2 и О С Е2 - область, обладающая 5—регулярной граничной точкой. При указанных ограничениях на параметры р и в неравенство (5) приобретает вид

¡Щ^-Лх < с2,2(П) I \Ъ/(х)\2с1х V/ €

п п

Далее в предположении, что существует наименьшая из возможных постоянных С2,2(0) 6 (0, оо) доказана следующая теорема.

Теорема 2.4.2. Пусть П — область в К2, существует Б—регулярная граничная точка у £ 8П. Тогда

са,2(П) > 4.

В следующей теореме приведено параметрическое обобщение данного результата, а именно: пусть дано неравенство

Тогда для него будет справедлива теорема 2.4.3.

Теорема 2.4.3. Пусть р е [1,оо),в е (1,оо) и — область в К2, для которой существует Б—регулярная граничная точка у. Тогда константа сРу,(П) в (6) удовлетворяет неравенству

ср,.(П) > (тту)'-

Две приведенные теоремы исследуют константы Харди на плоских областях. Нами также доказана теорема, которая обобщает полученный результат на случай, когда £1 является областью в п-мерном пространстве.

Теорема 2.4.1. Пусть О — область в К", существует Б—регулярная граничная точка у е 90. Тогда константа сРг,(Г2) в (6) удовлетворяет неравенству

^^ОггтУ-

Ценность приведенных теорем в том, что они описывают новый широкий класс областей, для которых найдена точная нижняя оценка константы Харди. Более того, этот класс обладает очень простым геометрическим признаком принадлежности области соответствующему классу областей. Так, для сравнения, хорошо известный результат, что для любой выпуклой области константа Харди равна — 1))р, может быть доказан как простое следствие приведенных теорем, так как любая выпуклая область обладает граничной точкой, двусторонне достижимой шарами. Более того, нетрудно показать, что множество точек, двусторонне достижимых шарами, является всюду плотным в границе рассматриваемой выпуклой области. В условиях же теорем, приведенных выше, требуется наличие лишь одной такой точки.

Третья глава посвящена исследованию констант Харди для произвольных областей, без каких-либо ограничений на них. Частично доказана гипотеза Е.Б.Дэвиса — найдены оценки констант Харди для п > 2, точные по порядку при п —> оо.

В этой главе речь также идет о неравенствах вида (5), однако в данном случае нас будет интересовать значение константы CpiS(f2) не для конкретного класса областей, а для произвольной области, без каких-либо ограничений на нее, кроме естественного ограничения О ф R".

Другими словами, нас интересует следующая величина

т*

Сп = inf cp,(S!) = inf sup —-,

QcR»,i^R" ncE",fi^R" fecuaij*о / dx

n w

где n — размерность рассматриваемого нами пространства.

Полученные результаты представлены следующими теоремами. Теорема 3.1.1. Пусть Пс12,П^12и дано неравенство

I dx ~ C2'2iSl) / |V/(2;)|2 dx V/ 6 (7)

n n

Тогда константа сг удовлетворяет неравенству:

2

с2 = inf c2,2(fi) >

iiCR2,i#R2 ' 57Г2

Теорема 3.2.1. Пусть fi С К3, fi ^ R3 и дано неравенство

J l^f dx < с2,2(П) J |V/(a;)|2 dx V/ 6 С^П). (8)

n n

Тогда константа сз удовлетворяет неравенству:

2(тг2 - 4)

с3 = inf с2,2(П) >

пск3,п^к3 5п2(п2 — 1)"

Теорема 3.2.2. Пусть п > 4, П С М", П ф К" и дано неравенство

1<Ь < с2,2(П) | |У/0г)|2дх V/ е С*(П). п п

Тогда константа с^ удовлетворяет неравенству:

2тт2

Cn = inf с2)2(Г2) >

' ' - 5(8 + Tl(n + 1)7Г2) '

Получены также следующие обобщения этих результатов на случай пространства Ьр, где р € [ 1, оо).

Теорема 3.3.1. Пусть с К71, Г2 ф и дано неравенство

I <Ь < ср,р(0) У йх V/ € СоНП),

п о

где р > 1. Тогда константа сР)П удовлетворяет неравенству:

В(п,р)р(р+1У

р

™ 52((В(п,р)р)р+р+гУ-

где В(п,р) — бета функция Эйлера.

Теорема 3.3.2. Пусть I < р < со, I < в < р. Пусть, далее, П С К™, О ф Е™ и дано неравенство

Р-Ш^^РШ**

п о

Тоща константа СрА„ удовлетворяет неравенству:

Щп,р)р(р+1)?

" 2Р-355((В(п,р)р)? +Р + 1)

,р

Отметим, что в теореме 3.3.2 неравенство типа Харди доказано в случае, когда функция расстояния до границы присутствует в обеих частях неравенства.

Некоторые из результатов диссертационного исследования были получены в ходе работы по грантам РФФИ №11-01-00762-а и №14-01-00351-а.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Авхадиеву Фариту Габидиновичу за всяческую поддержку, за ценные советы, критические замечания и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов исследования

[1] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства / Ф.Г. Авхадиев,

Р.Г. Насибуллин, И.К. Шафигуллин // Известия вузов. Матем. - 2011. - № 9. -С. 90-94.

[2] Авхадиев, Ф.Г. Точные оценки констант Харди для областей со специальными граничными свойствами / Ф.Г. Авхадиев, И.К. Шафигуллин // Известия вузов. Матем. - 2014. - № 2. - С. 1-5.

[3] Авхадиев, Ф.Г. Оценки констант Харди при трубчатом расширении множеств и в областях с конечными граничными моментами / Ф.Г. Авхадиев, И.К. Шафигуллин // Математические труды. - 2013. - том 16 - №2 - С. 3-12

Статьи в сборниках научных трудов и тезисов докладов на научно - практических конференциях

[4] Авхадиев, Ф.Г. Вариационные неравенства на декартовых произведениях областей / Ф.Г. Авхадиев, И. К. Шафигуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2011. - Т. 43. - С. 9-10.

[5] Шафигуллин, И.К. Неравенства типа Харди в областях с конечными граничными моментами / И.К. Шафигуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2011. - Т. 44. - С. 317318.

[6] Шафигуллин, И.К. Нижние оценки константы Харди для произвольной области / И.К. Шафигуллин // Материалы II Международной конференции Геометрический анализ и его приложения. - Волгоград: Изд-во Волгоградского государственного университета. - 2014 - С. 148-150.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В работе исследованы различные классы областей с точной оценкой констант Харди. Перечислим основные положения, выносимые на защиту:

1) Найдены новые оценки констант Харди для областей, получаемых из произвольных областей путем специальных преобразований. Среди таких преобразований рассмотрены декартово произведение области на интервал, луч или прямую, а также, рассмотрены области получаемые вращениями произвольной плоской фигуры вокруг внешних прямых.

2) Введено понятие 5—регулярной граничной точки, и получены точные нижние оценки константы Харди для семейства областей, обладающих такой граничной точкой. Даны простые геометрические признаки, по которым можно определять принадлежность области соответствующему семейству. Таким признаком является двусторонняя достижимость одной из граничных точек шарами.

3) Приводится частичное решение проблемы поставленной в 1995 году английским математиком Е.Б. Дэвисом. Получены точные по порядку нижние оценки константы Харди для произвольных областей в п-мерном пространстве.

Полученные результаты не только являются некоторыми обобщениями результатов Ф.Г. Авхадиева и Е.Б. Дэвиса, но и являются новыми самостоятельными результатами решающими ряд проблем теории неравенств типа Харди.

Подписано в печать 17.07.2014. Бумага офсетная. Печать цифровая. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,61. Тираж 100 экз. Заказ 61/7

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. (843) 233-73-59,233-73-28