Дискретные неравенства Харди с переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Альхалил Айман

ДИСКРЕТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ СУММИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Москва — 2011

4846753

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Российского университета дружбы народов

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Степанов В. Д.

доктор физико-математических наук, профессор Российского университета народов Гольдман М.Л.

дружбы

кандидат физико-математических наук, доцент Российского государственного университета нефти и газа им. И. М. Губкина Скориков A.B.

Московский энергетический институт (технический университет)

Защита диссертации состоится «07» июня 2011 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы народовв по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495"

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.б.

Автореферат разослан <¿2.9 » апреля 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Россовский Л. Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Систематическое изучение неравенств началось с выходом в свет ныне классической монографии Г.Г. Харди, Д.Е. Литтлвуда и Г. Полиа1, где, в частности, рассматриваются две стандартные формы неравенства Харди при 1 < р < оо: дискретное неравенство Харди

верное для произвольных последовательностей неотрицательных действительных чисел {а^Ц0, и интегральное неравенство Харди

выполненное для всех неотрицательных функций / на (0, оо), интегрируемых на любом интервале (0, х) для всех х > 0.

Для 0 < р < оо обозначим 1Р совокупность всех последовательностей а = {ап}^ вещественных чисел таких, что

Аналогично, Ьр состоит из всех измеримых на (0, оо) по Лебегу функций (классов эквивалентности по модулю равенства почти всюду) / = /(х) таких, что

(1)

<

а\\1ос :=вир|а*|.

11/1|£» := ев8вир|/(а;)|.

г€(0,оо)

'Г. Г. Харди, Д. Е. Литтлвуд, Г. Полиа. Неравенства. - М. ИЛ, 1948.

При 1 < р < оо пространства 1Р и Ьр являются линейными нормированными пространствами.

Определим линейные операторы

1 "

а И (а) = {/г„(а)} :=

71 к=1

и

/-ЯДфЛ Г/(г)<й,

® 7о

которые называются дискретным оператором Харди и интегральным оператором Харди, соответственно.

Отметим, что константа в обоих неравенствах (1) и (2)

является наилучшей из возможных. Из неравенств (1) и (2) вытекает, что операторы Харди /г и Я при р > 1 являются ограниченными линейными операторами, действующими из пространства 1Р в 1Р и из Ьр в Ьр, соответственно, и их нормы равны

В литературе к диссертации имеется гораздо больше результатов, касающихся обобщения интегральной версии (2). Эти два диаметральных случая смыкаются, когда рассматриваются неравенства с произвольными мерами Бореля.

Остановимся на развитиии результатов для дискретного неравенства Харди.

По аналогии с интегральным случаем возник естественный вопрос: найти необходимые и достаточные условия на весовые неотрицательные последовательности {«п}^ и {«п}^ такие, что неравенство

(оо / п \ ' / 00

£"»(!>)) (з)

выполняется для всех произвольных неотрицательных последовательностей {«п}^! при фиксированных параметрах О < р, д < оо.

Первый результат в этом направлении получен К. Ф. Андерсеном и X. П. Хайнигом 2( Теорема 4.1), которые в 1983 году показали, что если 1 < р < < оо и

(оо \\/п \ 7

к=п / \А=1 /

то неравенство (3) выполняется.

Кроме того, в 1985 году X. П. Хайниг 3( Теорема 3.1) доказал, что если I<<7<P<00,

/оо/оо \я/п \7 V

Е 5> <00,

\Лг=1 \к=п / \А:=1 / /

то неравенство (3) выполняется с константой С < д*(р')7В.

В 1987-1991 Г. Беннеттом в серии работ4, 5 и 6 представлена хара-ктеризация неравенства (3) практически для всех соотношений параметров р и 9 за исключением случая 0 < < р < 1, где критерий имел неявный вид. Случай 0<Q<1<P<OO независимо и альтернативным способом был характеризован в 1994 М. С. Браверманом и В. Д. Степановым 1. В полном объеме задача о характеризации весового дискретного неравенства Харди для всех соотношений параметров р ид была решена М.Л.Гольдманом в 1998 8 .

Аналогичные результаты имеют место для двойственного

2K. F. Andersen, H. P. Heinig. Weighted norm inequalities for certain integral operators. // SIAM J. Math. V. 14. 1983. P. 834-844.

3H. P. Heinig. Weighted norm inequalities for certain integral operators II. // Proc. Amer. Math. Soc. V. 95. 1985. P. 387-395.

4G. Bennett. Some elementary inequalities. // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 38.1987. P. 401-425.

5G. Bennett. Some elementary inequalities II. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 39.1989. P. 385-400.

6G. Bennett. Some elementary inequalities III. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 42. 1991. P. 149-174.

7M. S. Braverman, V. D. Stepanov. On the discrete Hardy's inequality. Bull. London Math. Soc, V. 26. 1994. P. 283-287.

8M. L. Goldman. Hardy type inequalities on the cone of quasi-monotonefunctions. Research report 98/31, Russia Acad. Sci. Far-East Branch Computer Centre Khabarovsk. 1998. P. 1-70.

дискретного неравенства

( 00 / 00 \ « / 00 \р

п=1 \fc=n / / \п=1 /

а также для их интегральных аналогов.

Кроме этого, в литературе рассматривалась задача о нахождении необходимых и достаточных условий на неотрицательные меры Бореля А, ß и и, при которых для любых неотрицательных измеримых функций / выполняется неравенство Харди

(7 (7 f(t)dX(t)Yd^x)\ <с( f f{x)*dv{x) V. (4)

V[0,oo) V[0,x] J ) V[0,oo) /

При 1 < p = q < +oo и d\(t) = dt эта задача в 1972 была решена Б. Мукенхоуптом 9, а затем результат тем же методом был обобщен на случай 1 < р < q < -f-oo (см. 10, п).

Во всей полноте неравенство Харди (4) с тремя мерами было изучено Д. В. Прохоровым 12.

Диссертация посвящена изучению обобщений неравенства (4) и дискретного неравенства Харди (3), когда пределами суммирования являются переменные функции.

Из всего многообразия мы рассматриваем, в основном, три задачи. Первая из них состоит в нахождении необходимых и достаточных условий выполнения неравенства Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами, вторая - в нахождении необходимых и достаточных условий выполнения дискретных неравенств Харди с одним переменным пределом суммирования в пространствах последовательностей, и,

9В. Muckenhoupt. Hardy's inequality with weights. // Studia Math. V. 44. 1972. P. 31-38.

WJ. S. Bradley. Hardy's inequalities with mixed norms. Canada Math.Bull. V. 21. 1978. P. 405-408

ИВ. Г. Мазья. Пространства Соболева. - Л., Изд-во Ленинградского ун-та. 1985.

12Д. В. Прохоров. Неравенство Харди с тремя мерами. // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. Т.255. 2006. С. 233-245.

наконец, третья задача о необходимых и достаточных условиях выполнения дискретных неравенств типа Харди с двумя переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей. Все три задачи объединены тем, что в них появляются новые критерии выполнения неравенств Харди.

За последние двадцать лет критерии выполнения неравенств Харди и связанные с этим вопросы об оптимальности и соотношении констант разрабатывались Ю. А. Дубинским, М. Л. Гольдманом, Р. Ойнаровым, Д. В. Прохоровым, В. Д. Степановым, Е. П. Ушаковой, А. Куфнером, Л. Малиграндой, Ь. -Е. Перссоном, К. Лаем, С. А. Окпоти, В. М. Манаковым и многими другими авторами.

Цель работы

Целью работы является решение сформулированных выше задач, а именно

1. Получить критерии выполнения неравенства Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами.

2. Получить критерии выполнения дискретных неравенств Харди с одним переменным пределом суммирования в пространствах последовательностей.

3. Получить критерии выполнения дискретных неравенств типа Харди с двумя переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей.

Методы исследования

В работе используются методы теории функций, математического и функционального анализа.

Научная новизна работы

Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.

Теоретическая значимость

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы

Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под руководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова, на Российской школе-конференции с международным участием "Математика, информатика и их приложения и роль в образовании, 2009.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях и тезисах докладов на научных конференциях.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы (43 наименования). Объем диссертации составляет 70 страниц.

Содержание работы

Первая глава "Неравенство Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами. "

В ней рассматривается неравенство Харди вида

([ ([ f(t)dX(t)Ydn(x))4 <с([ f(x)4V{x))\

\J(0,оо) \J[a{x),b(x)] / / \J(0,оо) /

где 0 < а(х) < Ь(х) < оо строго возрастающие дифференцируемые функции. Основными результатами главы являются следующие две теоремы.

Теорема 1.1. Пусть 1 < р < q < +оо, и Х,ц — а-конечные борелевские меры на (0, оо), «,uS Ш+. Неравенство

(i v{x)(f fudxYdíi(x)\ <с( í fdXУ

\J( 0,oo) \^[а(х),Ь(г)] / / V(0,oo) /

для всех / > О выполнено тогда и только тогда, когда

А := sup sup A(s, t) < оо,

s>0 s^t^a-HHs))

где

A(s,t) :=( [ vd^Y ( [ uP'dX ) . \J[s,t} / \J[a{t)tb(s)} J

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве справедливо

соотношение С А.

Во второй теореме доказывается неравенство типа Харди с тремя

мерами.

Теорема 1.2. Пусть 1 < р < q < +оо; Л , и и ц — борелевские a-конечные меры на (0, оо) и u,v £ Пусть {va,vs) — разложение Лебега меры v относительно X, то есть v — иа + vs, где va абсолютно непрерывна относительно X, a vs и X взаимно сингулярны и fy — производная Радона — Никодима va относительно X. Тогда неравенство

([ v{x)(f ufdxY dfi(x)\ <с( í fdv)'

\J{ 0,oo) \J[a(x),b{x)} J J \J( O,oo) /

t

для всех f > 0 выполнено тогда и только тогда, когда А sup sup ( f v d[i) ( [ up' (-ттЧ dX ] < +00.

s>0 ie[s,a-46W)] WM J \J[a(t),b(s)} \dX / J

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве справедливо соотношение С ~ А.

Вторая глава "Дискретные неравенства Харди с одним переменным пределом суммирования в пространствах последовательностей "

В этой главе изучаются дискретные неравенства Харди вида

£>(п)( £ f(k) J <cijrf(n)w(n))' (5)

\l<k<b{n) J J \n=l

И

ЕФ)[ £ я*)) ) <с(Ё№Нп))' (6)

,n=l \a(n)<k< 00 j j \n=l

для всех вещественных последовательностей f(n) > 0, где а(п) > 1 и b(n) > 1 строго возрастающие функции, принимающие целые значения.

Мы разбиваем наше рассуждение при 0 < р < g < оо на два случая: 1<р<(/<оои0<р<д<оо,0<р<1.

Теорема 2.1. Пусть 1 < р < q < +00. Тогда неравенство (5) выполнено тогда и только тогда, когда

/00 \ г /ь(п) \ 7

Л :=8Щ> [£«(*)] <0°-

Более того, справедливо соотношение С ~ А.

Теорема 2.2. Пусть 0<p<q<oou0<p<l. Тогда неравенство (5) выполнено тогда и только тогда, когда

А* := sup ( I sup w~7(k) < 00.

n J ^IWl

Более того, справедливо соотношение С и А*.

При 0 < < р < оо мы рассматриваем три случая: 1 < д < р < со, 0<д<р<1и0<д<р, 1<р<оо, которым посвящены теоремы 2.3, 2.4 и 2.5, соответственно.

Теорема 2.3. Пусть 1 < д < р < +оо, £ = ^ — р- Тогда неравенство (5) выполнено тогда и только тогда, когда

1

В :=

£

*=1

ч »=1

■ш

Д-р'

(к)

< оо.

Более того, справедливо соотношение С » В.

Теорема 2.4. Пусть 0 < д < р < 1, \ = \~\- Тогда неравенство (5) выполнено тогда и только тогда, когда

В := У у(п) I У ь(к) ] эир IV * (&)

/ 1 <к<Ь(п)

< 00.

. п=1

\к>п

Более того, справедливо соотношение С & В.

Теорема 2.5. Пусть 0 < д < р, 1<р< +оо и г = I ~ р- Тогда неравенство (5) выполнено тогда и только тогда, когда

(

В* :=

£

П=1

5>(л)| [ Е ¡»оь

к<Ь{п)

\к>п

\

и(п)

< 00.

У

Более того, справедливо соотношение С « В*.

В третьей главе "Дискретные неравенства типа Харди с двумя < переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей" рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий выполнения дискретных неравенств Харди вида

Х>(п)( £ даоП <с(£л«М")У (?)

кП=1 \а(п)<к<Ъ(п) I ) \П=1 /

для всех последовательностей /(п) > 0, где 1 < а(п) < Ь(п) < со целочисленные строго возрастающие функции.

Теорема 3.1. Пусть 1 < р < q < +оо. Тогда неравенство (7) выполнено тогда и только тогда, когда

А sup sup А(т, п) < оо,

m m<n<a~l(b(m))

где i

(п \ ' /ь^

k=m 1 \а{п)

Более того, справедливо соотношение С « А.

Теорема 3.2. Пусть Q<p<q<oouQ<p<\. Тогда неравенство (7) выполнено тогда и только тогда, когда

А := sup sup А(т, п) < +оо, т т<п<а~х(Ь(т))

где

Л(тп,п) := ( У^ v(k) I sup w~p~(k).

J *Ф(").ЬМ1

Более того, справедливо соотношение С » А.

Для заданных строго возрастающих последовательностей а(п) и Ъ{п) таких, что 1 < а(п) < Ь(п) выберем последовательности натуральных чисел {nk}k^n, {raJJieN С N такие, что щ = 2 и при щ<п< п'к

п'к а(п'к) ^ <Ъ(г )< а(п'к + 1); пк+1 := п'к + 1.

Теорема 3.3. Пусть 1 < q < р < +оо. Тогда неравенство (7) выполнено тогда и только тогда, когда

< +оо,

В :=

£ + Bk,t)

. к

где

/ а(п'к) (а-\п)

в,и :=

Бк,2 :=

а(п'к) \7 \

Е ( Е «(о I (Е

п=а(пк) \ г=Пк

]=п

X

причем С и В.

{ Ь(п'к) ( п'к \ ' / " \ ? ^

Е Е «(о Е «'ОГ-"

п=Ь(пк) \г=Ь—1 (тг) / у>Ь(п4) /

1 — 1 — 1 г

неравенство (7) выполнено тогда и только тогда, когда

Теорема 3.4. Пусть 0 < д < р, 1 < р < +оо и £ = ^ — Тогда

В:=

где

пк / п

I

Ф'к)

< 00,

\

| Е Е

ь п=п* / \&=а(п)

/

/ пь

причем С & В.

( Ь(п)

Е Е^) Е

п=Пк \к=п ] \к>Ь(пк)

1—1 — 1 г

(7) выполнено тогда и только тогда, когда

Теорема 3.5. Пусть 0 < д < р < = ^ — Тогда неравенство

В :=

Е(в*,1+вм)

I. к

< 00,

где

Вад := £ Е^ 8иР >

(п'к

в*,2 := у(п)

вир ги" (к) Ь(пк)<к<Ь{п)

причем С « В.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] А. Алъхалил. Неравенства типа Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами. // Вестник РУДЫ - Серия Математика. Информатика. Физика. 2010. № 1. С. 39-45.

[2] А. Алъхалил. Дискретные неравенства типа Харди с переменными пределами суммирования. I // Вестник РУДН - Серия Математика. Информатика. Физика. 2010. № 4. С. 55 -68.

[3] А. Алъхалил. Дискретные неравенства типа Харди с переменными пределами суммирования. II // Вестник РУДН - Серия Математика. Информатика. Физика. 2011. № 1. С. 5-13.

[4] А. Алъхалил. Дискретные неравенства типа Харди с переменными пределами суммирования. III // Вестник РУДН - Серия Математика. Информатика. Физика. 2011, № 2. С. 44 -50.

[5] А. Алъхалил. Неравенства типа Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами."математика, информатика их приложения и роль в образовании, "Российская школа-конференции с международным участием 2009 с 33.

vf

Альхалил Айман (Сирия) Дискретные неравенства Харди с переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей

В работе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий выполнения дискретных неравенств Харди.

Alkhliel Aiman (Syria) Discrete Hardy inequalities with variable limits of summation in the sequence spaces

The problem of necessary and sufficient couditions of validity for discrete inequalities of Hardy with variable limits of sammation in the sequence spaces is studied.

I

Подписано в печать 18.04.2011. , Формат 60x84/16. Гарнитура "Times New Roman".

Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 130.

ООО «Издательско-Полиграфическая Компания «Информкнига» 141231, Московская обл., Пушкинский район, Поселок сельского типа Лесной, ул.Пушкина, д.8, корпус А

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. НЕРАВЕНСТВО ХАРДИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С МЕРАМИ

§ 1.1. Постановка задачи и вспомогательные леммы

§ 1.2. Блочно-диагональный метод.

§ 1.3. Случай А = V

§ 1.4. Неравенство Харди с тремя мерами

Глава 2. ДИСКРЕТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ ПРЕДЕЛОМ СУММИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

§ 2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Случай 0 < < д < ос

§ 2.3. Случай 0 < д < р < оо

Глава 3. ДИСКРЕТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ СУММИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

§ 3.1. Предварительные результаты

§ 3.2. Случай 0 < р < <7 < оо

§ 3.3. Случай 0 < д < р < оо

Систематическое изучение неравенств началось с выходом в светныне классической монографии Г.Г. Харди, Д.Е. Литтлвуда и Г. Полиа [11], где, в частности, рассматриваются две стандартные формы неравенства Харди при 1 < р < со: дискретное неравенство Харди верное для произвольных последовательностей неотрицательных действительных чисел {аА;}]*3, и интегральное неравенство Харди

Г {УотаУах - (^т (оа2) выполненное для всех неотрицательных функций / на (0, сю), интегрируемых на любом интервале (0, х) для всех х > 0.

Для 0 < р < оо обозначим 1Р совокупность всех последовательностей а = К}~1 вещественных чисел таких, что

Аналогично, Ьр состоит из всех измеримых на (0, оо) по Лебегу функций (классов эквивалентности по модулю равенства почти всюду) / = /(:х) таких, что

0.0.1) а11гоо := зир|а*|.

ИЛЬоо := ев88ир|/(ж)|. ж€(0,оо)

При 1 < р < оо пространства 1Р и Ьр являются линейными нормированными пространствами.

Определим линейные операторы которые называются дискретным оператором Харди и интегралънъш оператором Харди, соответственно. является наилучшей из возможных. Из неравенств (0.0.1) и (0.0.2) вытекает, что операторы Харди Н и Н при р > 1 являются ограниченными линейными операторами, действующими из пространства 1р в 1р и из Ьр в Ьр, соответственно, и их нормы равны

В дальнейшем неравенства (0.0.1) и (0.0.2) были существенно обобщены и нашли применения во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. Некоторые из этих обобщений и применений изложены в монографиях [5], [30] и [26], а также в историобиблиографической работе [25].

В литературе имеется гораздо больше результатов, касающихся обобщения интегральной версии (0.0.2). Эти два диаметральных случая смыкаются, когда рассматриваются неравенства с произвольными мерами •

Остановимся на развитиии результатов для дискретного неравенства Харди.

По аналогии с интегральным случаем возник естественный вопрос: и

Отметим, что константа в обоих неравенствах (0.0.1) и (0.0.2)

Бореля. найти необходимые и достаточные условия на весовые неотрицательные последовательности {ипи {г^}^ такие, что неравенство выполняется для всех произвольных неотрицательных последовательностей {ап}^^ при фиксированных параметрах 0 < р,д < оо.

Первый результат в этом направлении получен К. Ф. Андерсеном и X. П. Хайнигом ([12], Теорема 4.1), которые в 1983 году показали, что если 1<р<<7<оои то неравенство (0.0.3) выполняется.

Кроме того, в 1985 году X. П. Хайниг ([22], Теорема 3.1) доказал,

В 1987-1991 Г. Беннеттом в серии работ [14], [15] и [16] представлена характеризация неравенства (0.0.3) практически для всех соотношений параметров р и д за исключением случая 0 < д < р < 1, где критерий имел неявный вид. Случай 0<д<1<£><оо независимо и альтернативны: способом был характеризован в 1994 М. С. Браверманом и В. Д. Степановым [19]. В полном объеме задача о характеризации весового дискретного неравенства Харди для всех соотношений параметров р ид была решена М.Л.Гольдманом в 1998 [20] (см. также [1], [21]).

0.0.3) то неравенство (0.0.3) выполняется с константа С < дя(р')В.

Сформулируем полученные указанными авторами результаты в виде следующей теоремы.

Теорема 0.1. (г) Если 1 < р < q < +оо, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда

-^(¿^(^(¿^^со, (0.0,) или оо \ ?

А2 := вир ик] ^ у1~р' < оо, (0.0.5

N>1 у Хк=1

ИЛИ оо \-7/оо / оо \ Р'\ Р7 := (Е ) Е^ Е«» <°°' (°-0-6) - \к=Ы \п=к / ) и) Если 0 < р < 1, < д < оо, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда

А4 := вир ( V щ ) у]/(к) < оо. (0.0.7) ш) Если 1 < р < оо, < р, и ^ = ^ - то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда оо /оо \р/п \ г п=1 \к=п / \Ь=1 / ) или оо /оо \'/п

Е«*-' Е«*) ) <«»• (° 0-9) п=\ \к—п ) \/с=1 ги) Если 0 < д < р < 1, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда л7 := Х>„ (¿щ) тах V ) < оо. (0.0.10) гг=1 \А;=п /----/

Из доказательств данной теоремы вытекает, что наилучшая константа С в неравенстве (0.0.3) и вышеуказанные константы Д; для каждого диапазона параметров связаны двусторонними неравенствами. Например,

А2 < С, Аг< С < р'Аи С < Л3 < (р')?С, (0.0.11) причем при р — <7 эти оценки неулучшаемы. Оценки (0.0.11) можно переписать также в виде тах.(д~яАъ {р')~?Аг) < А2 < С < тт(р',4ь дЛ3) < < тт{р'дКя(р')7)А2

Более точные соотношения между константами получены в ([16], Теорема 9), где при 1 < р < д < со показано, что

У + а2 < с < А2. р')-гдр7

Другие варианты соотношений даны в работах [14] и [19], а именно: а) Если 1 < р < то ч-р

РЯ где /3 = /3(а, Ь) обозначает бета-функцию, и если д = р то

Аг < С < р'Аи (0.0.13) b) Если 1 < p < q, то

A2<C<(l + iy (l + ^Y A2, (0.0.14) с) Если 1 < p < q < oo, то iLzE pq fa-^U-i' (00Л5) и если q = p то

A3<C < pAz. (0.0.16) d) Если O<<7<I<P<00, то

V Л6<С< A*. P

Аналогичные результаты имеют место для двойственного дискретного неравенства оо / оо \ ® / ОС) \р

П=1 \к—п / / \71~1 / а также для их интегральных аналогов.

Кроме этого, в литературе рассматривалась задача о нахождении необходимых и достаточных условий на неотрицательные меры Бореля А, д и и, при которых для любых неотрицательных измеримых функций / выполняется неравенство Харди f(t) d\(t))9d»(x))4 < С ( [ f(x)*dv(x)\Р. ' [0,оо) \J[0&\ J J \J[0,oo) /

0.0.17)

При 1 < p = q < +oo и d\(t) = dt эта задача в 1972 была решена Б. Мукенхоуптом [28], а затем результат тем же методом был обобщен на случай 1 < р < q < +оо (см. [18], [5]).

Во всей полноте неравенство Харди (0.0.17) с тремя мерами было изучено Д. В. Прохоровым [7].

За последние двадцать лет критерии выполнения неравенств Харди и связанные с этим вопросы об оптимальности и соотношении констант разрабатывались многими авторами (см. [23], [24], [27], [6], [29], [31], [32], [33], [35], [36], [37], [9], [10], [38], [39], [7], [34], [8], [2], [3])

Диссертация посвящена изучению обобщений неравенства (0.0.17) и дискретного неравенства Харди (0.0.3), когда пределами суммирования являются переменные функции.

Всюду в диссертации соотношение А <С В означает А < сВ с константой с, зависящей только от р и q, А « В равносильно А <С В <С А. Символы N и Z обозначают соответственно множество всех натуральных чисел и целых чисел, а 9Я+ множество всех измеримых неотрицательных функций. Хе суть характеристическая функция (индикатор) множества Е С (0,оо). Мы пользуемся также символами Lpx для обозначения классов Лебега с мерой Л.

Диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Первая глава "Неравенство Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами. "

В ней рассматривается неравенство Харди вида ( ( [ № d\(t)Y dfi(x)) q <c(f f(xf dv(x)) P ,

J(0,oo) \J[a{x),b(x)] / / \J (0,oo) J где 0 < a(x) < b(x) < oo строго возрастающие дифференцируемые функции. Основными результатами главы являются следующие две теоремы.

Теорема 1.1. Пусть 1 < р < д < +оо, и А, ¡1 — а-конечные борелевские меры на (0, оо); и,у € Неравенство

1 , .1

Q \ q , / \ Р v{x)(f fudx) dp{x)\ < С I I fpd\i

0,oo) \J[a(x),b(x)} J J \J( 0,oo) J для всех f > О выполнено тогда и только тогда, когда

А := sup sup A(s,t) < оо, s>0 s<t<a~l(b(s)) где ^ ^

A(s,t) := ( [ vdß) q ( f up'd\) P . \J[s,t] J \J[a{t),b{s)] /

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве справедливо соотношение С « А.

Во второй теореме доказывается неравенство типа Харди с тремя мерами.

Теорема 1.2. Пусть 1 < р < g < -t-oo; X , v и ß — борелевские а-конечные мери на (0, оо) и и, v 6 Ш1+. Пусть (иа, vs) — разложение Лебега меры у относительно X, то есть v = где va абсолютно непрерывна относительно X, a vs и X взаимно сингулярны и ^ — производная Радона — Никодима va относительно X. Тогда неравенство v(x)(f uf dxY dß(x)\ < С ( [ f*dvУ \J{ 0,oo) \J[a(x),b(a;)] J J \J ( 0,oo) J для всех f > 0 выполнено тогда и только тогда, когда b / г / т \ 1 -р' \ V

4 f Г > I dva 4

Л := sup sup (I vdß\ I / up ( ^^ ) dX ) < +oo. s>0 ie[s,a-i(b(s))] \J[s,t] J \J[a(t),b(s)] V dX

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве справедливо соотношение С « Л.

Вторая глава "Дискретные неравенства Харди с одним переменным пределом суммирования в пространствах последовательностей " В этой главе изучаются дискретные неравенства Харди вида оо / \ 4 / ОО \р п=1 У1^'^™) / / ^п==1 и 5 / Ч А

ОО / \\ /ОО \р

5>(п) £ Д*) <С Е№М») (0.0.19) n=l \а{п)<к< ОО / J \П=1 / для всех вещественных последовательностей /(п) > 0, где а(п) > 1 и Ъ{п) > 1 строго возрастающие функции, принимающие целые значения.

Мы разбиваем наше рассуждение при 0<р<д<оона два случая: l<p<q<oon0<p<q< оо, 0 < р < 1.

Теорема 2.1. Пусть 1 < р < q < +оо. Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда оо \ | /Ь(п) \ 7

А := sup ( Е « (*0 ) I Е w(k)1~P' < \ к^^тъ J \ 1 J

Более того, справедливо соотношение С « А.

Теорема 2.2. Пусть 0<p<q<oou0<p<l. Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда

Л* := sup ( *S~]v(k) I sup w p (k) < oo. n J *e[i,b(n)]

Более того, справедливо соотношение С ~ .

При 0 < < р < оо мы рассматриваем три случая: 1 < д < р < оо, 0<?<р<1и0<д<р, 1 < р < оо, которым посвящены теоремы 2.3, 2.4 и 2.5, соответственно.

Теорема 2.3. Пусть 1 < q < р < -Ьоо, £ = ^ — К Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда

П>6 "!(*!) 1 7 1 1 * ш

1 -р' к) оо.

Более того, справедливо соотношение С ~ В.

Теорема 2.4. Пусть 0 < q < р < 1, \ = \ — Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда оо

Ъ := / ^(п) I у(к) ) вир IV р (к)

1 * ' 1<к<Ь(п) оо. п=1 кк>п

Более того, справедливо соотношение С & Ъ.

Теорема 2.5. Пусть 0 < < р, 1 < р < +оо п £ = ^ — неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда

Тогда

Ъ* оо Е п=1 I 7

Х>(*)) ( Е ^^ к<Ь(п) г;(п) оо.

Более того, справедливо соотношение С ~ Ъ*.

В третьей главе "Дискретные неравенства типа Харди с двумя переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей" рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий выполнения дискретных неравенств Харди вида i>w( Е /мП <c(jrr(n)w(n)V (0.0.20) \п=1 \a{n)<k<b(n) J ) \n=1 / для всех последовательностей /(п) > 0, где 1 < а(п) < Ь(п) < оо целочисленные строго возрастающие функции.

Теорема 3.1. Пусть 1 < р < q < -foo. Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда

А := sup sup A(m, п) < оо, т m^n^a-^K™)) где п /ъ(т) \ 7

A(m,n):= I $>(fc) I " k=m J \а{п) J

Более того, справедливо соотношение С ~ А.

Теорема 3.2. Пусть 0<p<q<cou0<p< 1. Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда srf := sup sup А(т, п) < +оо, т т<п<а-1{Ь{т)) где ^ т,п) := J J sup w~p~(k). k=m J Ща(п),Ъ{т)]

Более того, справедливо соотношение С ~ srf.

Для заданных строго возрастающих последовательностей а(п) и Ь(п) таких, что 1 < а(п) < 6(п) выберем последовательности натуральных чисел {rik}keN, {^ilfceN С N такие, что ni = 2 и при <п< п'к п'к : a(n'fc) < Ь(пк) < Ь(п) < а(пк + 1); пк+1 := п'к + 1.

Теорема 3.3. Пусть 1 < < р < +оо. Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда

В :=

1 + ^,2)

1 к -Ьоо, где

Вк, 1 :=

О (о. 1 (п) а«)

•5л,2 V п=а{пк) \ г=Пк

Ь(п'к) ( К

Е Е »« п=Ь(пк) \г=г>-1(гг) 3=п гг с?)1^)

1]>Ь(пк) причем С & В.

Теорема 3.4. Пусть 0 < д < р, 1 < р < +оо и £ — ^ — Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда оо,

Е + ^м) 1 к где К / п к,1 '• = § («ю \ ^ ^

Е (Е «(*) Е

П=П)Ь \к=пк / \к=а{п) у с,2 := V < / К«) ^

Е Е^) Е «м1-* «м причем С ~ 38.

Теорема 3.5. Пусть 0 <#<£>< ^ = д ~~ Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда

В :=

Е(вм+вУ

I к оо, где Ч п

Вм У1 у(п) У1 "(к) I 8иР т Р а.(п)<к<а(п'к)

Ва;,2 := Ш

Пи

А, у(п) I I эир ги р (к) п~?гк / Кпк)<к<Ь(п) причем С « В.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40]-— [43].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, член-корреспонденту РАН Степанову В. Д. за постановку задачи, полезные советы, внимание к работе и неоценимый опыт научной деятельности.

1. М. Л. Голъдман. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций. // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2001. Т. 232. С. 115-143.

2. Ю. А. Дубинский. Неравенства Харди при исключительных знасениях параметров и и их приложения. // Доклады АН. 2009. Т. 427. С. 586-590.

3. Ю. А. Дубинский. Об одном неравенстве типа Харди и его приложениях. // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2010. Т. 269. С. 112-132.

4. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ. -М.: Наука. 1984.

5. В. Г. Мазья. Пространства Соболева. Л., Изд-во Ленинградского ун-та. 1985.

6. Р. Ойнаров. Двусторонние оценки нормы некоторых классов интегральных операторов. // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1993. Т. 204. С. 240-250.

7. Д. В. Прохоров. Неравенство Харди с тремя мерами. // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. Т.255. 2006. С. 233-245.

8. Д. В. Прохоров. Неравенство Харди с мерами, случай 0 < р < 1. // Матем. заметки. Т. 86. 2009. С. 870-883.

9. В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования. // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2001. Т. 232. с. 298-317.

10. В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова. Об операторе геометрического среднего с перемен-ными пределами интегрирования. //Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. Т. 260. 2008. С. 264-288.

11. Г. Г. Харди, Д. Е. Литтлвуд, Г. Полиа. Неравенства. М. ИЛ, 1948.

12. К. F. Andersen, Н. P. Heinig. Weighted norm inequalities for certain integral operators. // SIAM J. Math. V. 14. 1983. P. 834-844.

13. C. Bennett, R. Sharpley. Interpolation of operators. Academic Press, Boston, 1988.

14. G. Bennett. Some elementary inequalities. // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 38. 1987. P. 401-425.

15. G. Bennett. Some elementary inequalities II. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 39. 1989. P. 385-400.

16. G. Bennett. Some elementary inequalities III. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 42. 1991. P. 149-174.

17. S. Bloom, R. Kerman. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type. // Proc. Amer. Math. Soc. V. 113. 1991. P. 135-141.

18. J. S. Bradley. Hardy's inequalities with mixed norms. // Canada Math. Bull. V. 21. 1978. P. 405-408.

19. M. S. Braverman, V. D. Stepanov. On the discrete Hardy's inequality. // Bull. London Math. Soc. V. 26. 1994. P. 283-287.

20. M. L. Goldman. Hardy type inequalities on the cone of quasimonotone functions. Research report 98/31, Russia Acad. Sci. Far-East Branch Computer Centre Khabarovsk. 1998. P. 1-70.

21. Grosse-Erdmann K. -G. The blocking technique, weighted mean operators and Hardy's inequality. Lecture Notes in Mathematics, V. 1679. Springer-Verlag: Berlin. 1998.

22. H. P. Heinig. Weighted norm inequalities for certain integral operators II. // Proc. Amer. Math. Soc. V. 95. 1985. P. 387-395.

23. H. P. Heining, G. Sinnamon Mapping properties of integral averaging operators. // Studia Math. V. 129. 1998. P. 157-177.

24. Lai Q. Weighted modular inequalities for Hardy type operators // Proc. London Math. Soc. V. 79. 1999. P. 649-672.

25. A. Kufner, L. Maligranda, L. -E. Persson. The Hardy inequality About its history and some related results. Research report, Department of Mathematics. Lulea University of Technology. 2006. P. 1-141.

26. A. Kufner, L.-E. Persson. Weighted Inequalities of Hardy Type. -World Scientific Publishing Co., Singapore/ New Jersey/ London/ Hong Kong, 2003.

27. V. M. Manakov. On the best constant in weighted inequalities of the Rieman-Liouvlle integral. // Bull. London Math. Soc. V. 24. 1992. P. 442-448.

28. B. Muckenhoupt. Hardy's inequality with weights. // Studia Math. V. 44. 1972. P. 31-38.

29. C. A. Okpoti, L.-E. Persson, A. Wedestig. Weight characterizations of discrete Hardy inequality with kernel. //J. Inequal. Appl., Article ID 18030. 2006. P. 1-14.

30. B. Opic, A. Kufner. Hardy-type Inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics 219, Longman Scientific and Technical, Harlow, 1990.

31. L.-E. Persson, V. D. Stepanov. Weighted integral inequalities with the geometric mean operator. // J. Inequal. Appl. V. 7. 2002. P. 727-746.

32. L.-E. Persson, V. D. Stepanov, E. P. Ushakova. Equivalence of Hardy-type inequalities with general measure on the cones of nonnegative respective non-increasing functions. // Proc. Amer. Math. Soc., V. 134. 2006. P. 2363-2372.

33. L.-E. Persson, V. D. Stepanov, P. Wall. Some scales of equivalent weight characterizations of Hardy's inequality: the case q < p. // Math. Inequal. Appl. V. 10. 2007. P. 267-279.

34. D. V. Prokhorov. Inequalities of Hardy type for a class of integral operators with measures. // Anal. Math. V. 33. 2007. P. 199-225.

35. G. Sinnamon. Transferring monotonicity in weighted norm inequalities. // Collect. Math., V. 54. 2003. P. 181-216.

36. G. Sinnamon. Hardy's inequality and monotonicity. // Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis. Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republic, 2004. P. 292-310.

37. G. Sinnamon, V. D. Stepanov. The weighted Hardy's inequality: new proofs and the case p = 1. // J. London Math. Soc., V. 54. 1996. P. 89-101.

38. V.D. Stepanov , E.P. Ushakova Hardy operator with variable limits on monotone functions //J. Function Spaces Appl. V. 1. 2003. P. 1-15.

39. V.D. Stepanov V.D.,E.P. Ushakova Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications. // Math. Inequal. Appl. V. 13. 2010. P. 449-510.

40. А. Альхалил. Неравенства типа Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами. // Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. 2010. № 1. С. 39-45.

41. А. Альхалил. Дискретные неравенства типа Харди с переменными пределами суммирования. I // Вестник РУДН -Серия Математика. Информатика. Физика. 2010. № 4. С. 55 -68.