Линейные средние рядов Фурье функций нескольких переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение. с. 2

Глава I. Линейные методы суммирования рядов Фурье функций одной переменной. с. 8

§1.1 . Мажоранта ядра -Л-метода суммирования. с. 8

§1.2 . Весовые оценки линейных средних рядов Фурье и сопряженных рядов Зурье. с. 19

Пусть Х=СХ4.Х/г) >У=(У1.У п) ~ произвольные точки /векторы/ вещественного П -мерного пространства^ ,(ХУ} -скалярное произведение в Еп , , функции ¿(X) ~ - измерюлы на , периодичны по всем переменным у • ,

С[) - класс непрерывных ас; Каждой функции У 6 ¡(0. ^сопоставим ее |1 -кратный ряд Фурье

0.1/ где К• пробегают-"множество всех целых чисел /П. /, а

- комплексные коэффициенты Фурье.

Как известно, уже в одномерном случае ряды Фурье, вообще говоря, не пригодны в качестве аппарата представления произвольных функций; так, например, существует /б (Г (0.^), ряд Фурье которой расходится в некоторой точке /результат дю-Буа-Реймона, см. [I] , т.1, с.470-476/; для функций из класса 1. ] расходимость может иметь место почти всюду и даже всюду /результат А.Н. Колмогорова; см. [I] , т.1, с.480-494/. Эти и другие примеры / [I] , гл.8/ приводят к необходимости рассматривать некоторые процессы, построенные с помощью разложения /0.1/ и сходящиеся к /(X) почти всюду или по метрике пространства, которому принадлежит

X) .

В 1904 г. Фейер доказал, что последовательность средних арифметических частных сумм ряда Фурье /И -1/ тлеет пределом /Сх) в каждой точке непрерывности функции / ; позднее Лебег установил, что для всякой/f/УО)сходимость такой последовательности к/СХ) имеет место почти всюду /см. [Ij , т.1, с. 148-152/.

Рассматривая применение к рядам Фурье методов суммирования, используемых в теории расходящихся рядов, в 1948 г. С.М.Никольский поставил и решил задачу в следующем общем виде / [2] , с. 472-482/: какие условия требуется наложить на последовательность

К=од.,гг}<™h)f\$>=о, К-тш+г,.1 /о.з/ чтобы можно было утверждать, что frtn /0.4/ tn->oo к--т почти всюду и в точках непрерывности? Его исследования положили начало целой серии результатов, относящихся к этому вопросу; см. [3] и библиографию в [3] , [4] , [5] .

Переход к кратным рядам Шурье вносит своеобразие в формулировки и методы доказательства результатов уже тем, что само определение частичной суммы ряда /0.1/ $ /о.5/

V К(]Г зависит от вида множестваVCE^ . В литературе /см. статью [6] , содержащую обширную библиографию, [7 ] - [9] и др./ изучаются вопросы, связанные, в основном, с формой "прямоугольной" /суммы /0.5/ называют тогда суммами по Принсхейму/ или "сферической"; имеются также исследования при!7-£ в случаях, когда V" - "гиперболический крест", ромб и др. /см.[10] - [13] /.

Для кратных рядов Фурье уже не справедлив аналог результата Карле со на [14] об их сходимости почти всюду к функциям из[, : существует / [15] / непрерывная/^^), ряд Фурье которой расходится по Принсхейму всюду. В связи с этим повышается интерес к методам суммирования разложений /0.1/. В диссертации рассматриваются операторы

-г Т 2 , (У 7 )с (Г]р^№~+К>1хп) терминология: линейные средние, ^-средние, полунепрерывные средние ряда /0.1/ /, построенные с помощью последовательности функций (г)/°м* ниже соотношения /2.1.1/ /, аргументы Ту /О^^-М / которых принимают "непрерывные" или ■

71 ■ дискретные / значения. Одной из основных задач является получение условий Д-суммируемости к / разложений /0.1/, т.е. выполнения соотношения т 61 (^Х-Л)-^(Х) /0.7/

1Т1Ш * почти всюду в $ или по метрике пространства, которому принадлежит/ . При этом значительное внимание уделяется вопросам ограниченности операторов /б^СЛ/ в ¡^ -весовых пространствах. Об актуальности тематики, связанной с изучением максимальных операторов, весовых пространств, суммируемости простых и кратных рядов Щурье свидетельствуют многочисленные исследования, имеющиеся по этим вопросам, особенно в последние годы. Кроме уже цитированных работ и библиографии в них, см. также следующие статьи и монографии: [16] - [18], [19] , [20]- [2б] , [27] , [28]-[36] , [37] , [38], [39]/с.307-324/, [40], [41]/с.478-585/, [42]-[611.

Дадим краткое описание основных результатов; точные формулировки см. в соответствующих главах. §1.I главы I посвящен обобщению и улучшению известного условия А.В.Ефимова [з] Д - ■ суммируемости при 11-1 ряда /0.1/ кпочти всюду. В §1.2 получены оценки роста -А -средних одномерного ряда Фурье и сопряженного ряда в метриках весовых пространств Ц^ //371/, возникающих в случаях, когда на отрезке (? задана абсолютно непрерывная мера ^И , т.е. о!р~о)(х)с1х ; условие абсолютной непрерывности меры у4 в рассматриваемом круге вопросов существенно, см. [1б], с.227-228. Такие оценки роста оказываются возможными в случае весовых функцийЬ) , удовлетворяющих известному Ар -условию [17]. Даже для классических методов суммирования ), о(>0,результаты являются здесь новыми.

В §2.1 главы 2 исследуется Л-суммируемость почти всюду рядов Сурье функций П переменных из класса Ц^^Г и сопряженных /по любому набору переменных/ рядов. Условия суммируемости §1.1 обобщаются при этом на -кратный случай. Как следует из результатов Сакса [18] /существование/Й ) с расходящимися почти всюду средними Фейера ее двойного ряда зурье/, утверждения §2.1, вообще говоря, перестают быть верными для функций [ДУ' §2.2 посвящен оценкам весовых -норм средних причем полученные неравенства содержат в левой и правой частях весовые функции, которые могут быть различными; предполагается, что эти функции удовлетворяют А-мерному аналогу Д-условия. Теоремы 2.2.3 и 2.2.4 §2.2 показывают, что на всем классе методов суммирования .Д -условие является для таких оценок и необходимым.

§3.1 главы 3 посвящен вопросам ограниченности максимального оператора Харди-Литтлвуда /см., напр., [19], с.65-72/ и оператора, получающегося из него некоторой модификацией, действующих в весовых пространствах. В §3.2 эти результаты применяются к вопросам ограниченной суммируемости кратных рядов Фурье; термин "ограниченная суммируемость" означает выполнение /0.6/ при ус

1-Т; ловии, что все отношения -т^ остаются ограниченными,

I "Ч когда ЬгнпТ.-М . Рассмотрено также Л -суммирование разложений /

Фурье функций множеств; в частности, получено утверждение о локализацик в крестообразных окрестностях.

Отметим, что результаты глав 1-3 представляют интерес в связи с задачами, поставленными Розенблюмом в [541.

В главе 4 исследуется сходимость почти всюду двух видов средних двойных рядов Фурье, построенных с помощью регулярных методов суммирования. Результаты §4.3 о средних треугольного типа являются новыми даже для классического метода суммирования Фейера; утверждения, касающиеся Д-средних типа Марцинке-вича, обобщают результаты известных работ Марцинкевича ['?] и Л. В.Жижиашвили (^9].

В конце каждой главы рассматриваются приложения основных результатов. Отметим здесь возможность интерполирования непрерывных функций /§2.3/, восстановления функций по их моментам /§3.3/, аппроксимации аналитических функций классов Харди средними их разложений Тейлора /§1.3, §2.3, §3.3/. Практически все результаты диссертации переносятся на средние кратных рядов Сурье-Чебышева /§2.3, §3.3, §4.4/; новыми здесь являются далее аналоги многих хорошо известных в тригонометрическом случае результатов. К кругу вопросов, рассматриваемых в диссертации, примыкают "эллиптические" способы суммирования рядов и интегралов Фурье /двумерный случай/; соответствующие результаты в диссертации лишь цитированы /ввиду их большого объема/, а полностью приведены в [23.1.

Диссертация выполнена под руководством Б.П.Осиленкера, которому автор приносит самую глубокую благодарность.

Основные результаты по теме диссертации изложены в [20]-Г26] и ГБ1]. Результаты глав I и 2 опубликованы в единоличных работах соискателя[20] , [24] и [61] . В главе 3 соискателем обобщаются на векторнозначные функции главные утверждения работы [26] , выполненной в соавторстве с научным руководителем /в [26] Б.П.Осиленкеру принадлежат: постановка задач и методы получения весовых оценок из установленных соискателем /основных для главы 3/ оценок средних через максимальные функции/. К результатам главы 4 относятся единоличные работы соискателя [2lj-[23j, {25].

Материалы диссертации докладывались в Воронежской зимней математической школе /1979 г./, на научных конференциях Пермского политехнического института и Московского инненерно-стро-ительного института им. В.В.Куйбышева /1980, 1981 г./, на семинаре при кафедре высшей математики МИСй /руководители семинара проф. А.Л.Гаркави и проф. С.Я.Хавинсон/ в 1980 г., на семинарах при кафедре функционального анализа и теории функций в МГУ /семинар под рук. проф. Е.М.Никишина и проф. А.М.Олев-ского, 1981 г.; семинар под рук. членов-корр. АН СССР Д.Е.Меньшова и П.Л.Ульянова, 1980 и 1982 годы/, объединенном семинаре кафедр механико-математического факультета Саратовского ГУ /рук. семинара проф. Н.П.Купцов и проф. А.А.Привалов, 1982 г./, Саратовской школе по теории функций и приближений, 1984 г.

1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т.1,2.-М., "Мир", 1965. z. Бари Н.К. Тригонометрические ряды.-М., Оизматгиз, 196I.

2. Ефимов А.В. О линейных методах суммирования рядов Фурье.-Изв. АН СССР, сер. матем, т.24, №5, I960, с.743-756.

3. Тригуб P.M. Линейные методы суммирования и абсолютная сходимость рядов ^урье.-Изв. АН СССР, сер. матем, т32, №1, 1968,с • S4"™ •

4. Тригуб P.M. Суммируемость рядов Фурье в точках Лебега и одна Банахова алгебра функций.-В кн. "Метрические вопросы теории функций и отображений", вып.6. Киев, 1975, с.125-135.

5. Жижиашвили Л.В. Обобщение одной теоремы Марцинкевича.-Изв. АН СССР, сер. матем., т.32, №5, 1968, с.1112-1122.10. 10дин А.А., 10дин В.А. Дискретные теоремы вложения и константы Лебега.-Матем. заметки, т.22, №3, 1977, с.381-394.

6. Нахман А.Д. Оценки слабого типа для некоторых операторов.-Межвуз. сборн. научн. трудов "Краевые задачи". Пермь, 1980, с. 193-194.

7. Нахман А.Д. Об эллиптических средних двойных рядов и интегралов Фурье,-Ред. Сибирск. матеи. журн. Новосибирск, 1981, 17 с./Рукоп. депон. в ВИНИТИ №5505-81 ДЕП/.

8. Нахман А.Д., Осиленкер Б.П. Оценки весовых норм некоторых операторов, порожденных кратными тригонометрическими рядами Фурье."Изв. вузов. Математика, №4/239/, 1982, с.39-50.

9. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов.-М., ИЛ, 1983.28. \Jivb ¡-о^ы-Им^&еЛп ШЙ

10. СаШоь СР. ^»пкпоьк* о^и^'фй К/е^-Ы^а*« 5мтьШу о ньЩЬ НсстМ5ШаЦмт^са,30. /ЬИМ, И/ф^

11. VпиЛкрЬ. Ы^опо^Ыс Ш^-Ъ^Л^ МЖ .^ос., / ЬХ

12. Матвеев И.В. 0 методах суммирования двойных рядов Фурье для функций от двух переменных."Матем. сборн., №1, 29/71/, 1951, с. 185-196.

13. Лебедь А.Г. К линейным методам суммирования двойных рядов' ^урье.-Докл. АН УССР, сер.А, №5, 1973, с.403-405.

14. Матвеев И.В. О суммировании двойных рядов Фурье функций двух переменных.-Успехи матем. наук, т.12, вып.5/77/, 1957, с. 22Х-229•Т37. Жижиашвили Л. В. Сопряженные функции и тригонометрические ряды.-Изд-во Тбилисского ун-та, Тбилиси, 1969.

15. Wuckenhoupi 5. Two weight J-undion norm foz Ык Poivot)iiit(!paL~Txans.Qmex. Waik Soc.,vM0,№Z ¿15-2Ъ1

16. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс.-М., Физматгиз, I960.

17. Лебедь А.Г. Линейные методы суммирования и абсолютная сходимость двойных рядов Фурье.-Изв. Вузов. Математика, №12, 1971, с.91-102.

18. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменно го.-М., Физматгиз, I960.

19. Лйфлянд И.Р. Об интегрируемости преобразования Фурье финитной функции и суммируемость рядов Фурье функций двух переменных.- "Метрические вопросы теории функций и отображений", вып.6. Киев, 1975, с.69-81.

20. Белинский Э.С. Суммируемость кратных рядов Фурье в точках Лебега.- "Теория функций, функциональный анализ и их приложения1,1 1ЖЗ, 1974, с.3-12.

21. Хилл Э. Функциональный анализ и полугруппы.-М., ИЛ, 1951.

22. Riv/t'eie ЛАМ. S¿пдиСал intejiatfs and rnutUptiex <?petaMs.-/k^»/ j-ox NaihemafanCZM i971. гкЪ-Ш.

23. Kuitï Ъоцд1а$$. Weighkd почт inepaPl-iies -foz ihe Hatdy-Liti^eWood Maximal Jutidion éoi ont j^avkwdix %zdûi\^ks>. -Siudia fflathematica. t. ЬШ, 1915, 39-Sk .

24. Metnij M. P. Wzijhïed Mimal wi^ua^Uts /о? \}(хШ kticüoni.-Canal ШЬ Ш HS-кЯ.

25. Кокилашвили В.M. Максимальные неравенства и мультипликаторы в весовых пространствах Лизоркина-Трибеля.-Докл. АН СССР, т.239, PI, 1978, с.42-45.

26. Осиленкер Б.П. О проблеме JU -моментов.-Труды МИХМа, вып. 48, M., 1973, с.47-48.

27. Габиоония О.Д. О точках суммируемости двойных рядов Фурье некоторыми линейными методами.-Изв. вузов. Математика, Р5/120/, 1972, с.29-37.

28. Киприянов И.А. О суммировании интерполяционных процессов для функций двух переменных.-Докл. АН СССР, т. 95, №1, с.17-20.

29. Подкорытов А.Н. Линейные средние кубических сумм Фурье непрерывных функций нескольких переменных.-Рукопись, депонир. в ВИНИТИ, №2117-77 ДЕП. /Ред. яурн. "Вестник ЛГУ"-. Л., 1977/

30. Жижиашвшги Л.В. О суммировании двойных рядов Фурье.~Си-бирск. матем. ж., т.8, Ш, 1967, с. 548-564.р

31. Rose hêiitm Pi. Fouxi et seiies in L'dfl-TxanS.ûmex. mrih. $oc., m. /05, 1962, %-tjl

32. Теляковский С.A. Условия интегрируемости тригонометрических рядов и приложение к изучению линейных методов суммирования рядов Фурье.-Изв. АН СССР, сер. матем., т.28, №6, 1964,с. 1209-1236.

33. Голубов Б.И. 0 методе суммирования типа Абеля-Пуассона кратных рядов Зфрве.-Матем. заметки, вып.1, т.27, 1980, с. 4959.

34. Кивиннук А.А. Об одном методе приближения функций многих переменных.-Матем. заметки, вып 4, т.20, 1976, с.597-604.

35. Нахман А.Д. Теоремы типа Розенбшома-Макенхоупта для кратных рядов Фурье векторнозначных функций.~йзв. вузов. Математика, Ш, 1984, с.25 32.