Сходимость и расходимость почти всюду рядов Фурье по переставленным системам Уолша и Виленкина тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукопис. УДК 517.52"

Поляков Игорь Викторович

СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮД^ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО ПЕРЕСТАВЛЕННЫМ СИСТЕМАМ УОЛША И ВИЛЕНКИНА

Специальность 01.01.01. - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ ,__

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005015533

МОСКВА

1 2 МАР Ш 2012

005015533

Работа выполнена на кафедре Теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Скворцов Валентин Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Вочкарев Сергей Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент Щербаков Виктор Иннокентьевич

Ведущая организация:

Институт Математики и Механики Уральского отделения РАН

Защита диссертации состоится 16 марта 2012 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государтсвенном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Афтореферат разослан 15 февраля 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук,

профессор

В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Система Уолша была введена в 1923 году1. Данное ей изначально определение было рекурсивным и не использовало функции, введенные Раде-махером в 1922 году2. Первым, кто понял, что функции Уолша являются произведениями функций Радемахера, был Пэли. Нумерация, предложенная им в 1932 году Также широко известна нумерация Качмажа, введенная Шнейдером в 1948 году3. Шиппу4 принадлежит понятие кусочно-линейных перестановок системы Уолша-Пэли, с помощью которых могут быть получены нумерация Качмажа и оригинальная нумерация самого Уолша. Система Виленкина5 была введена в 1947 году как система характеров топологической группы, удовлетворяющей специальным свойствам. Она может быть рассмотрена как на группе, так и на отрезке. Ее частным случаем является система Уолша.

В настоящее время функции Уолша получили широкое распространение в области передачи сигналов и сжатия изображений, что связано с их более простым устройством по сравнению с тригонометрической системой и меньшей вычислительной сложностью алгоритма быстрого преобразования Фурье, обусловленной тем фактом, что функции Уолша принимают лишь

2 значения: 1 и -1.

1 Walsh J,L. A closed set of normal orthogonal functioas // Amcr. J. Math. 1923. V. 45. p. 5-24.

2H.A. Rademacher Einige Satze Uber Reihen von allgemeinen Orthogoualenfunciiouen // Math. Aiuialen. 1922. V. 87. p. 112-138.

3A. А. Шнейдер,0 рядах но функциям Вальша с монотонными коэффициентами, Изв. АН СССР. Сер. ыатем., 1948, 12:2, 179-192

4F. Schipp, Некоторые перестановки системы Уолша, Мат. заметки 18 (1975) 193-201.

5Вилеккин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем // Изо. АН СССР Сер. мат. 1947.

Т. 11. с. 363-400

Изучение проблемы поточечной сходимости рядов Фурье впервые началось в теории тригонометрических рядов. В 1915 году H.H. Лузин публикует свою диссертацию "Интеграл и тригонометрический ряд"6, к числу основных результатов которой принадлежит критерий сходимости почти всюду ряда Фурье интегрируемой с квадратом функции. На основании анализа этого критерия Лузин выдвигает гипотезу, что тригонометрический ряд Фурье любой функции из Ь2[0,2П) сходится почти всюду.

В 1922 году А.Н. Колмогоров7, исследуя проблему Лузина, построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой по тригонометрической системе расходится почти всюду. Им же было отмечено, что построенная функция не принадлежит £2[0,2П). Колмогоровым, Селиверстовым8 и Плеснером8 впервые была получена оценка в положительном направлении: если / принадлежит L2[0,2П), то почти всюду выполнено

Sn(/,a;) = o((lnn)i).

Дж. Литтлвуд и Р. Пэли10 обобщили эту оценку для более широких классов функций: если / принадлежит i7[0,2П), р > 1, то почти всюду выполнено

Этот результат до середины 60-х годов прошлого века оставался наиболее сильным и общим результатом в положительном направлении изучения

0 Лузин H.H. Интеграл а тригонометрический ряд. И. 1916. Докт. дисс. 242 с.

TKolmogoroff A. Une seris de Fburier-Lebesgue divergente preque partout // Fund. math. 1923 V.4 p. 324-328

8Kolmogoroff A., Seliverstoff G. Sur la convergence des series de Fourier // Rend. Acad. N&z. Lince!. 1920 V.3 p. 307-310

'Plessner A. Uber Konvergenz von triginometrischen Riehen // Journal fur reine und angew. Math. 1826 V. 155 p. 15-25

10Littlewood J.E., Paíey E.E.A.C. Theorems on ïburier series and power series // (1) Proc. London. Math. Soc. 1936. V. 42. p. 52-89, (2) Proc. London. Math. Soc. 1937, V. 43. p. 105-120.

проблемы Лузина. Истинность гипотезы Лузина не была даже установлена для непрерывных функций.

В 1966 году Л. Карлесон, используя новый метод, установил справдели-вость гипотезы Лузина. В его работе11 было установлено несколько результатов.

1. Если / £ 1/(1п+ £)1+г([0,2П)), 6 > 0, то почти всюду

^п^,/) = о(1п1пп).

2. Если / € 2П)), 5 > 0, то почти всюду

^(ж,/) = о(1п1п1пп).

3. Если / € Ь2[0,2П), то ее ряд Фурье сходится к ней почти всюду.

Исследования Карлесона были развиты Хантом12 в 1968 году. Пусть М(/, х) — зирп>1г)| - мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции /. Пусть ■ характеристическая функция измеримого множества ^ С [0,2П), - его мера по Лебегу. Хантом была получена оценка

|{* € [0,2П) : М(Хр,Х) > у}| < (ВрУУЧП (1)

2

где у > 0, 1 < р < оо, Вр < Из нее были получены следствия.

nL. Caileson, On the convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta. Math. 118 (1068), 135-157.

1JHuut R. A. On the convergence of Fourier series // Orthogonal expajisions and their continuous analogues. SIU Press, Caiboudale, Illinois. 1968. p 235-255

1. ||М(/,*)||р<Ср||/||рпРи 1 < р < оо, /€Ь°°([0,2П)),

2. ||M(/,*)||i < С/Пп |/(z)|(ln+ \f(x)\)4x + С при / £ L(Ln+L)2([0,2П)),

3. |{® е [0,2П) : M(Xf,x) > у}| < С7ехр(-^) при у > 0, f 6 Ь°°([0,2П)).

Из второй оценки следует, что для всякой / е L(ln+L)2([0,2П)) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду. После появления работ Карлесона и Ханта многие авторы начали развивать данные методы и переносить их на случай систем Уолша и Виленкина. Наиболее заметные в этом направлении результаты принадлежат П. Шелину13, который заметил, что путем выбора оптимального числа р для каждого у оценка (1) может быть приведена к виду

\{х € U,M(xf,x) > у}| < с-In-in о < у < (2)

У У б

где U отрезок [0,211) для тригонометрических мажорант и [0.1) для мажорант по системе Уолша-Пэли, С - абсолютная константа. С помощью этой оценки Шелиным были получены новые результаты.

1. Для всякой JeL ln+L ln+ln+L([0,2П)) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду.

2. Для всякой / Е L 1п+L ln+ln+£([0,1)) ее ряд Фурье по системе Уолша-Пэли сходится к ней почти всюду.

13Sjolin P. An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh-Fourier series. // Arkiv for mat. 1S69. V.7. p. 551-570

Антонов получал усиление данных результатов в 90-х годах14,15 Он показал, что для любой / € L ln+ L ln+ ln+ ln+ L ее ряд Фурье по тригонометрической системе или системе Уолша-Пэли сходится к ней почти всюду. На данный момент этот результат является наиболее сильным в положительном направлении.

Гипотеза Лузина для системы Виленкина-Пэли в случае р,- = р для всех г была доказана Хантом и Тейблсоном16. Для случая ограниченной последовательности {p¿} - Госселином17.

Сходимость рядов Фурье по системе Уолша также изучалась для различных нумераций этой системы. Для системы Уолша-Качмажа B.C.Юнг показал18, что для всякой функции f из класса L(ln+ L)2([0,1}) ее ряд Фурье-Уолша-Качмажа сходится к ней почти всюду.

Сходимость рядов Фурье по произвольным-кусочпо линейным перестановкам изучалась Шиппом19. Он показал, что для всякой функции f из класса Ь2([0,1)) ее ряд Фурье по произвольной кусочно-линейной перестановке системы Уолша сходится к данной функции почти всюду.

Госселин и Юнг ввели специальный класс перестановок системы Вилеикина-Пэли, расширяющий понятие кусочно-линейных перестановок системы Уолша-

14Aiitonov N. Y. Convergence of Fourier series, East Journal on Approximations. 1996. V. 2. n. 2. P. 187-196.

15 Антонов Н.Ю, Сходимость почти всюду рядов Фурье и смежные вопросы. Дохт. дисс. Екатеринбург 2009. 162 с.

löHunt. R.A., Taibleson М.Н. Almost everywhere convergence of Fourier series on the ring of integers of local field // SIAM J. Math. Anal. 1971. V.2 p. 607-624.

17GosseIin J. Almost everywhere convergence of Vileukin-Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1373. V.1S5. P. 345-370.

18Wo-Sang, Young, On a.e. Convergence of Walsh-Kaczmarcz-iburier Series. Proc. Amer. Math. Soc. 44 (1974), 353-358. (Rom p. 635)

10F. Schipp On the dyadic derivative Ц Acta. Math. Hung. 1976. V. 28. p. 145-152.

Пэли20. Они показали, что для всякой функции из Ь2 сс ряд Фурье по перестановке системы Виленкина из данного класса сходится к ней почти всюду. В то же время, для некоторых перестановок, которые были названы ими "блочными", достаточно принадлежности функции классу £(1п+ Ь)21п+ 1п+ Ь Параллельно с этими исследованиями многими авторами были начаты попытки получения примеров функций с наложенными на них дополнительными условиями и плохим поведением частичных сумм их рядов Фурье по тригонометрической и другим системам. Исторически первым примером такого рода был, уже упомянутый выше, пример Колмогорова. Прохоренко21 и Чень22 построили примеры функций из классов Ь(1п+ 1п+ ЬУ{[0,2П)), О < с < 1 с расходящимися почти всюду рядами Фурье по тригонометрической системе. Бочкарев23 построил аналог конструкции Колмогорова для широкого класса ортонормированных систем. Тотик24 показал, что если в некотором классе ^(Ь)([0,2П)) существует функция с тригонометрическим рядом Фурье, расходящимся на множестве положительной меры, то в этом же классе найдется функция, ряд Фурье которой неограниченно расходится всюду. Как показал Казарян25, этот результат не может быть обобщен для произвольной ортонормированной системы.

2UJ.A. Gosselin, W.S. Young, On rearrangements of Vilenkin-Fourier series wliich preserve almost everywhere convergence, TVans. of the Amer. Math. Soc. 209, 1975, p. 157-174 "Прохоренко В.И. О расходящихся рядах Фурье // Мат. сборник. 1968. Т. 75. (117), 2. с. 185-198

2iChen Y.M. An almost everywhere divergent fburier series of class L(Ln+Ln+L)l~' // J. London Math.

Soc. 1969. V. 44. p. 643-654.

23Бочкарев C.B. Расходящийся на множестве положительной меры ряд Фурье для произвольной

ограниченной ортонормированной системы // Мат. сб. 1975. Т. 98. н. 3, 436-449 MTotik V. On the divergence of fburier series // Publ. Math. (Debrecen) 1982. V. 29. p. 251-264

25K. С. Казарян. О некоторых вопросах теории ортогональных рядов // Мат. сб. 1982. Т. 119. н. 2. С. 278-294.

Наилучший на сегодняшний день результат, касающийся расходимости всюду для рядов Фурье по тригонометрической системе, принадлежит Ко-нягину26.

Он показал, что для всякой функции у. [О,+оо) ->• [0,+оо) и последовательности {ip(m)} со следующими свойствами: функция р{и)/и является неубывающей на (0,+оо), ф(т) ^ 1 (т = 1,2,...) и ip(m)%l>(m) — о(т\Лпm/\/lnIn т) при т оо, найдется функция / е L[—я", 7г] такая, что

Г <p(\f(x)\)dx < со J- 1Г

и limsupn^oo Sm(f, х)/ф(т) = оо для всех х 6 [-тг,7г]. Здесь Sm(f) это т-я частная сумма тригонометрического ряда Фурье функции /. В частности, верно, что для всякой функции <р: [0,+оо) -> [0, +оо) со следующими свойствами: функция <р{и)/и является неубывающей на (0,+оо) и <р{т) = o(mv/lnm/Vlnlnm) при m —»• оо, найдется функция / G L[—7г, тг] такая, что

f <p[\f[x)\)dx < оо,

J- 7Г

и ее ряд Фурье неограниченно расходится всюду.

Для системы Уолша-Пэли наиболее сильный результат был получен Боч-каревым27. Он показал, что для всякой F{и) = uf(u), где f(u) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и f(u) удовлетворяет условию

f{u) = o(\/logu), при иоо,

26S.V. Konyagin, On divergence of trigonometric Fourier series everywhere // C. R. Acad Sei. Sei. Paris

Ser I. Math. 1999. V. 329. n. 8. P. 693-697

"Бочкарев С. В. , Всюду расходящиеся рады Фурье-Уолша // Докл. РАН. 2003. Т. 390. н. 1. С. 11-14.

существует такая функция g € F(L), ряд Фурье-УолшагПэли которой расходится всюду на [0,1).

Для нумерации УолшаЖачмажа были получены более сильные результаты о расходимости всюду, чем для нумерации Шли. Это связано с тем, что свойства ядер Дирихле в нумерации Качмажа существенно отличаются от свойств ядер Дирихле в нумерации Пэли. Балашов показал, что для всякого £ € (0,1) найдется функция / из класса L(ln+ L)1-e[0,1], ряд Фурье-УолшагКачмажа которой имеет монотонные коэффициенты и расходится почти всюду в [0,1]. Отметим, что для системы Уолша-Пэли всякий ряд с монотонными коэффициентами, которые стремятся к нулю, сходится всюду за исключением, быть может, нуля. Результат Балашова показывает, что для нумерации Качмажа это свойство не выполняется.

В связи с существованием большого количества примеров интегрируемых функций, ряд Фурье которых по различным системам расходится почти всюду или даже всюду, актуальным стал вопрос изучения методов суммирования ортогональных рядов. Наибольший интерес в этом отношении представляет метод (С, 1). Для тригонометрической системы хорошо известен классический результат Лебега28 о том, что чезаровские средние ряда Фурье интегрируемой функции сходятся к ней почти всюду. Попытки изучения данного метода для рядов Фурье-Уолша начались значительно позже. Доказательство аналога теоремы Лебега для системы Уолша-Пэли принадлежит Файну29. Вопросы сходимости чезаровских средних рядов Уолша-Качмажа изучались Скворцовым30. Долгое время оставалось неизвестным,

î8Lebesgue H. Recherches sur la convergence des series de Fourier M.F. 1905. V. SI. p. 251-28D.

J8Fme N.J. Cesaro summability of Walsh-Fourier séries //' Proc. Nat. Acad. Sei. USA 1955. V.48 p. 588-591.

30Skvorcov V. A., On Fourier series with respect to the Walsh-Kaczmarz system, Analysis Mathcmatica, 7 (1981), 101-201

является ли справедливой теорема Лебега для системы Уолша-Качмажа, до тех пор пока Гаттом31 не была исследована поточечная сходимость чеза-ровских средних рядов Фурье-Уолша-Качмажа и рядов Фурье-Виленкина-Качмажа, в случае системы Виленкина, построенной по постоянной последовательности простых чисел (р,р,...).

Цель работы. Цель работы состоит в изучении поведения рядов Фурье по системам Уолша и Виленкина в различных нумерациях с точки зрения расходимости почти всюду.

Методы исследований. В работе использованы методы теории функций и теории аппроксимации.

Научная новизна. Основные результаты работы диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано, что в случае системы Виленкина-Качмажа, построенной по последовательности простых чисел, не стремящейся к бесконечности, найдется функция из класса п+ L), ряд Фурье-Виленкина которой расходится всюду.

2. Установлено, что для всякой положительной и возрастающей последовательности {А„} такой, что ряд X^li расходится, верхний предел отношения ядер Дирихле по системе Уолша-Качмажа к членам данной последовательности равен бесконечности почти всюду.

3. Показано существование функции из класса Lo(ln+L), ряд Фурье-Уолша-Качмажа которой имеет монотонные коэффициенты и расходится почти всюду.

31 Gat <?., Cesaro summability of the character system of the p-serieS field in the Kaczmarz rearrangement ,// Anal. Math. 2002 28, n. 1. 1-23.

4. Для кусочно-линейных перестановок системы Уолша-Пэли из специально выделенного множества Р построены примеры функций из класса £o(Vln+i), у которых ряды Фурье-Уолша по данной перестановке расходятся всюду.

5. Установлено, что в случае системы Виленкина-Качмажа, построенной по ограниченной последовательности простых чисел, средние ряда Фурье-ВиленкинаЖачмажа интегрируемой функции сходятся к данной функции почти всюду.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер; результаты диссертации могут быть использованы специалистами по теории ортогональных рядов.

Аппробация работы. Результаты диссертации были доложены на следующих научных семинарах и конференциях:

• семинар 'Теория ортогональных и тригонометрических рядов" под руководством профессора М.К. Потапова, профессора М.И. Дьяченко, профессора В.А. Скворцова, профессора Т.П. Лукашенко (2009-2010 гг., неоднократно);

• научно-исследовательский семинар по теории функций под руководством чл.-кор. РАН, профессора B.C. Кашина, профессора C.B. Ко-нягина, профессора М.И. Дьяченко, профессора Б.И. Голубова (2009

г.);

• конференция "Современные проблемы теории функций и их приложения" в Саратове (2010г.);

• конференция "Современные методы теории функций и смежные вопросы" в Воронеже (2009 г., 2011 г., неоднократно);

• конференция 'Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" в Казани (2011 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-8]. Работы [1-3] опубликованы в журналах из действующего Перечня ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 81 наименование. Общий объем диссертации составляет 75 страниц. Нумерация теорем в автореферате совпадает с нумерацией теорем в диссертации.

Краткое содержание работы

Во введении содержится обзор исследований по тематике диссертации и проводится краткий обзор содержания диссертации.

Первая, глава посвящена определению основных понятий, используемых в тексте диссертации. В ней определяются системы Уолта и Виленки-на и некоторые классы их перестановок. Введем понятие кусочно-линейной перестановки системы Уолша.

Определение 1.1. Пусть задано семейство невырожденных матриц {Ап} над полем причем Ап имеет размеры п х п. Построим семейство отображений т„(х) : в в, у = тп(х), Уъ = х» при г > п, од = при г < п. Здесь сложение понимается по модулю 2. Все эти отображения бу-

дут биективными в силу невырожденности матриц. Пусть 2т < п < 2т+1, тогда положим

хп{х) - тт(х)ф„-2'п{тт{х)) = ■фпЫ^)). Отметим, что если семейство {Ап} состоит из матриц вида

го о ... О О О 0 ... 1 о

0 1 ... о о

1 О ... О

то нумерация порождаемая этим семейством называется нумерацией Уолша-Качмажа. Если же матрицы {Ап} имеют вид

' 1 10 О ... О О 1 1 о ... о о 0 0 1 1 ... о о

О О О ... 1 1 о О О О ... О 11 ^ 0 0 0 ... О 0 1

то будет получена нумерация, в которой система функций изначально была введена самим Уолшем. Для системы Виленкина-Пэли, построенной по последовательности {po.fi,---}, существует аналог кусочно-линейных перестановок. Положим m¿ = popí • • -pi~i. Пусть задано семейство перестановок {crn,i},Vn.i ■ {0,1,.. ■ ,п — 1} -> {0,1,... ,п - 1},г = 1,... ,рп - 1.

12

Рассмотрим последовательность, полученную из последовательности Р перестановкой первых п членов :

Рпл = (р<7„>((0). • ■ ■ ,Ре„л(п-1ЬРп, ■ ■ •)•

Пусть С?рп( — Р-ичная группа, построенная по ней, и — тп-я функция Виленкина—Пэли на этой группе, которую будем обозначать фт. По виду аргумента всегда можно будет определить, на какой группе она задана.

На группе Срп . определены ядра Дирихле и Фейера по системе Виленкина—Пэли, обозначаемые ( по аргументу видно, к какой группе они относятся ). Определим отображение гп,;: Срп равенством

Т„,;(х) = (Я<7„,,(0)> ■ • • , ХапЛ{„-1), х-п,...).

Тогда п-я функция Виленкина в новой нумерации имеет вид

Хп{х) - гМ>(х)'Фп-пыты{т\п\,пы{х)) = е " "»' = фп,{х),

где п - П|„|ТП|„| = < = 1, п\ = р^^до)---?^,^!) •

Заметим, что п! £ [п\п\тп\п\, (п|п| + 1)^|т1|)- Таким образом, это просто перенумерация системы Виленкина—Уолша. Видно, что эта перенумерация происходит внутри Р-ичных пачек, а это означает, что О^х) = где — ядро Дирихле для системы {х}- Отметим, что в случае если (¿41(0),сгп.Д1),..., сгПд(п - 1)) = (п - 1,п — 2,..., 0) мы получаем систему Виленкина-Качмажа. Если ддя всех п € IV, г = 1,..., рп — 1, гп = 0,... п — 1 выполнено

К<(0),..., ащ{т)) = {К,К + 1,...,К + т),

для некоторого целого неотрицательного К, то считается, что полученная перестановка системы Виленкина-Пэли удовлетворяет условию блочности.

В работе также выделяются специальные классы кусочно-линейных перестановок системы УолшагПэли, для которых исследуются вопросы расходимости почти всюду ряда Фурье.

Введем класс Шипповских перестановок Р. Перестановка принадлежит этому классу, если для семейства матриц найдутся последователь-

ности {<?„}, {рп}, {/„} , для которых выполнено

= 0 при- г> gn-pn,j < fn, ■ (3)

lim рп = оо,

7l~> 00

lim fn = oo,

п-юо

9n+i > 9n-

Пусть kn = P-p], тогда lim,,-»«, = oo. Переходя, если необходимо, к подпоследовательностям, можно считать, что выполнено

кп+1 > 2*»,

fn+1 > 9п-

Для всякого натурального к определим класс Шипповских перестановок Рк. Перестановка принадлежит этому классу, если для семейства матриц {А„}~=1 выполнено

= О, при j > i + к

для всех натуральных п > к, 0 < i < п — к. Отметим, что систему Уолша в классической нумерации, (в той, в которой ее изначально рассматривал Уолш) можно получить из нумерации Пэли, с помощью Шипповской перестановки класса Р\.

Заметим, что при к > т верно Рт С Д. В то же время, класс Р находится в общем положении с каждым классом Р'¡¡.

Вторая глава посвящена построению примеров функций, ряд Фурье-Уолша которых расходится почти всюду по некоторой перестановке системы Уолша-Пэли.

Параграф 2.1 посвящен доказательству следующего утверждения.

Лемма 2.1. Для всякой положительной и возрастающей последовательности {А„} такой, что

С помощью нее в параграфе 2.2 доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Для всякой F(u) = uf(u), где f(u) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и f(u) удовлетворяет условию

существует такая функция д € Р(Ь), ряд Фурье-Уолша-Качмажа которой расходится почти всюду на [0,1).

Теорема 2.2. Для всякой положительной и возрастающей последовательности {Ап}, такой что

выполнено:

lim sup —^— = оо для почти всех х € [0,1]. n-foo AJJ

f(u) = o(logu), при и 00,

найдется f из L(0), такая что

lim sun |5íÍ£l/2| = оо для почти всех х £ [0,1]

В параграфе 2.3 доказывается

Теорема 2.3. Пусть к - произвольное неотрицательное целое число. Система {Хп} получена из системы Уолша - Пэли с помощью некоторой перестановки из класса Р*. Для всякого 1 > е > 0 найдется функция / 6 L(ln+ln+)1_ei/, такая что S%f расходится почти всюду в G.

В параграфе 2.4 получена

Теорема 2.4. Пусть F(u) = uf(u), где f{u) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и f(u) удовлетворяет условию

f(u) = o(\/(log«)) при и оо.

Система {Хп} получена из системы Уолша с помощью некоторой пер-становки класса Р. Тогда существует функция g € F{L), у которой ряд Фурье по данной системе расходится всюду в [0,1).

Третья глава полностью посвящена обощению примера Бочкарева на случай системы Виленкина-Пэли

Теорема 3.1. Пусть F(u) = uf(u), где /(w) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 u f(u) удовлетворяет условию

f(u) = о(\/(logи)) при и н> оо.

Пусть система Виленкина построена по последовательности простых чисел, не стремящейся к бесконечности. Тогда существует функция g € F(L), у которой ряд Фурье по системе Виленкина расходится всюду в [0,1).

Четвертая глава посвящена вопросам суммируемости почти всюду рядов Фурье по системе Виленкина-Качмажа, а также вопросам равномерной сходимости (С, 1) средних ряда Фурье непрерывной функции по произвольной кусочно-линейной перестановке системы Уолша-Пэли. В параграфе 4.1 доказывается

Теорема 4.1. Пусть а - произвольная кусочно-линейная перестановка системы Уолша-Пэли. Для всякой / £ С (О) ее Чезаровские средние с°(х, /) равномерно сходятся к /(,х).

В параграфе 4.2 получена

Теорема 4.2. Пусть / £ ¿([0,1)), система Виленкина-Качмажа построена по ограниченной последовательности простых чисел. Тогда средние с*/ ряда Фурье-Виленкина-Качмажа функции / сходятся к / почти всюду.

Благодарности. Автор благодарит научного руководителя профессора Валентина Анатольевича Скворцова за предложенную тему, постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения, а также участников семинара "Теория ортогональных и тригонометрических рядов" под руководством профессора М.К. Потапова, профессора М.И. Дьяченко, профессора В.А. Скворцова, профессора Т.П. Лукашенко за ценные замечания к работе.

Список публикаций автора по теме диссертации.

[1] И. В. Поляков, Пример расходящегося ряда Фурье по системе Вилен-кина, Матем. заметки, 2011, том 89, выпуск 5, 780-787

¡2] И.В. Поляков, Пример расходящегося ряда Фурье по переставленной системе Уолша-Пэли, Вестник МГУ, 2010, том 65, номер 6, стр 229-232

[3] И.В. Поляков, (С, 1) - суммирование рядов Фурье по переставленной системе Виленкина, Вестник МГУ, 2010, том 65, номер 4, стр 140-147

[4] И.В. Поляков, Равномерная (С,1) суммируемость ряда Фурье непрерывной функции по переставленной системе Уолша-Пэли, Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2011, т.43, 289-290

[5] И.В. Поляков, Примеры расходящихся рядов Фурье для специального класса перестановок системы Уолша-Пэли, Материалы международной научной конференции, посвященной 105-летию академика С.М. Никольского, 2010, 32-33

[6] И.В. Поляков, Примеры расходящихся рядов Фурье для широкого класса переставленных систем УолшагПэли, Материалы Воронежской зимней математической школы, 2011, 269-271

[7] И.В, Поляков, Пример расходящегося ряда Фурье по системе Виленкина, Материалы Воронежской зимней математической школы, 2009, 145-146

[8] И.В. Поляков, Расходящиеся почти всюду ряды Фурье по переставленной системе Уолша, Материалы 15-й Саратовской зимней школы, 2010, 142-143

(

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 160 экз. Заказ № /О

61 12-1/555

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи УДК 517.5

Поляков Игорь Викторович

СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО ПЕРЕСТАВЛЕННЫМ СИСТЕМАМ УОЛША И ВИЛЕНКИНА

Специальность 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.А. Скворцов

МОСКВА 2011

Оглавление

Введение 2

0.1 История исследований в области сходимости почти всюду рядов Фурье 4

0.2 Расходимость рядов Фурье..................................................9

0.3 Методы суммирования рядов Фурье......................................15

0.4 Структура и краткое содержание диссертации............................18

1 Основные определения и вспомогательные утверждения 21

1.1 Системы Уолша и Виленкина..............................................21

1.2 Шипповские перестановки системы Уолша-Пэли...................22

1.3 Аналог Шипповских перестановок для системы Виленкина-Пэли, условие блочности ................................................................24

1.4 Специальные классы Шипповских перестановок Р и {Рк}, к — 1,.. .оо. 25

1.5 Ряд Фурье и его средние....................................................26

1.6 Сублинейные операторы сильного и слабого типов на пространствах интегрируемых функций....................................................27

2 Расходимость почти всюду для перестановок системы Уолша 29

2.1 Обобщение оценки Шнейдера для ядер Дирихле по системе Уолша-Качмажа......................................................................30

2.2 Примеры расходящихся почти всюлу рядов Фурье по системе Уолша-Качмажа......................................................................34

2.3 Пример расходящегося ряда Фурье по перестановке системы Уолша

из класса Р^....................................................................41

2.4 Пример расходящегося ряда Фурье по перестановке системы Уолша

из класса Р....................................................................44

3 Расходимость почти всюду для системы Виленкина 50

3.1 Обобщение примера Бочкарева для системы Виленкина................50

4 (С, 1)— суммируемость 57

4.1 Равномерная (С,1) суммируемость по переставленной системе Уолша 57

4.2 Поточечная (С,1) суммируемость для системы Виленкина-Качмажа 59

Введение

Одним из направлений теории ортогональных рядов является проблема поточечной сходимости ( расходимости ) ряда Фурье интегрируемой функции к данной функции. Диссертация продолжает исследования в этом направлении. Изучаются вопросы расходимости рядов Фурье интегрируемой функции по системам Уолша и Виленкина и их перестановкам. Также изучаются вопросы поведения (С, 1) средних ряда Фурье по системам Уолша и Виленкина.

0.1 История исследований в области сходимости почти всюду рядов Фурье

Изучение проблемы поточечной сходимости рядов Фурье впервые началось в теории тригонометрических рядов. В 1915 году H.H. Лузин публикует свою диссертацию "Интеграл и тригонометрический ряд" [1] ( [2]). К числу основных результатов работы [1] принадлежит критерий сходимости почти всюду интегрируемой с квадратом функции:

Теорема I (Лузин). Пусть / 6 L2[О, 2П). Тогда ее ряд Фурье сходится почти всюду тогда и только тогда, когда почти всюду выполнено соотношение

сопряженная функция к /.

Отметим, что в работе [1] доказана

Теорема II (Лузин). Для всякой функции / € Ь2[0,2П) ее сопряженная функция существует и также принадлежит Ь2[0,211).

(0.1)

где

В качестве следствия данного факта легко видеть, что для всякой / € Ь2[0,2П) предел

существует почти всюду и является функцией из L2[0, 2П). Сравнивая формулы (0.1) и (0.2) и заметив, что интегралы в них отличаются множителем cosna, который "принимает положительные и отрицательные значения, равномерно распределяющиеся на области [0,2П), когда п стремится к +оо ..." ( [2]), Лузин выдвигает гипотезу, что ряд Фурье любой функции из L2[0, 2П) сходится почти всюду.

В 1922 году А.Н. Колмогоров [3], исследуя проблему Лузина, построил первый отрицательный пример в данном направлении:

Теорема III (Колмогоров). Существует / € L[0, 2П), ряд Фурье которой по тригонометрической системе расходится почти всюду.

Как отмечено в [3], построенная функция не принадлежит £2[0,2П). Колмогоровым, Селиверстовым [4] и Плеснером [5] впервые была получена оценка в положительном направлении:

Теорема IV (Колмогоров, Селиверстов, Плеснер). Если / принадлежит Ь2[0,2П); то почти всюду выполнено

Дж. Литтлвуд и Р. Пэли [6] обобщили эту оценку для более широких классов функций:

Теорема V (Литтлвуд, Пэли). Если / принадлежит Ьр[0,2П); р > 1, то почти всюду выполнено

Данная Теорема является обобщением классической оценки [7]: Теорема VI (Харди). Если / принадлежит Ь[0,2П), то почти всюду выполнено

Результат Литтлвуда и Пэли до середины 60-х годов прошлого века оставался наиболее сильным и общим результатом в положительном направлении изучения проблемы Лузина. Истинность гипотезы Лузина не была даже установлена для непрерывных функций.

В 1966 году Л. Карлесон, используя новый метод, установил справделив'ость гипотезы Лузина. В его работе [8] было установлено несколько результатов.

(0.2)

S„(f, X) = 0((lnn)5)

Sn(f, х) = o((lnn)p)

Sn(f,x) = o(lnn).

Теорема VII (Карлесон). Положим 1п+ и = 1п(и + 2). Если / е L(ln+ L)1+s{[0,2П)), 5 > 0, то почти всюду

Sn(x, /) = o(lnlnn).

Логарифм здесь и далее понимается по основанию 2.

Теорема VIII (Карлесон). Если / е L1+6([0, 2П)), S > 0, то почти всюду

Sn(x,f) = o(lnlnlnn).

Теорема IX (Карлесон). Если / € Ь2[0,2П), то ее ряд Фурье сходится к ней почти всюду.

Система Уолша была введена в работе [9] в 1923 году. Данное в ней определение было рекурсивным и не использовало функции, введенные Радемахером в 1922 году [10]. Первым, кто понял, что функции Уолша являются произведениями функций Радемахера, был Пэли. Нумерация, предложенная им в 1932 году [11], на сегодняшний день является наиболее изученной. Также широко известна нумерация Качмажа, введенная Шнейде-ром в 1948 году [12]. В работе [13] было введено понятие кусочно-линейных перестановок системы Уолша-Пэли, с помощью которых могут быть получены нумерация Качмажа и оригинальная нумерация самого Уолша.

П. Биллард перенес метод Карлесона на случай системы Уолша в нумерации Пэли [14].

Теорема X (Биллард). Если / G L2[0,1), то ее ряд Фурье-Уолша сходится к ней почти всюду.

Исследования Карлесона были развиты Хантом [15] в 1968 году. Пусть

M(f, х) = sup \Sn(f, ж)| -

п> i

мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции /. Обозначим через If(x) характеристическую функцию измеримого множества F С [0, 2П).

i 1, х е F;

Ых) = (0.3)

[О, х ф F.

Под |F| будем понимать Лебегову меру измеримого множества F. В работе [15] была получена оценка

\{х Е [0,2П) : M(IF,x) > у}| < (BPYy~p\F\, . (0.4)

где у > О, 1 < р < оо, Вр < С^—^. Из нее были получены следующие следствия:

Теорема XI (Хант). Выполнено

1. ||М(/,*)||Р < Ср||/||р при 1 < р < оо, / е ЬР([0,2П)),

при / е Ь(1п+Ь)2([0,2П))

5. |{я е [О, 2П) : М(/,х) > у}\ < Сехр(-^) при у > 0, / е Ь°°([0,2П)).

Из второй оценки данной теоремы следует

Теорема XII (Хант). Для всякой / 6 Ь(1п+ Ь)2([0, 2П)) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду.

Для системы Уолша-Пэли оценки аналогичные (0.4) появились в работе П. Шели-на [16] в 1969 году. Им также было замечено, что путем выбора оптимального числа р для каждого у оценка (0.4) может быть приведена к виду

|{ж £ 17,М(1р, х) > у}\ < С— 1п 0 <у<~, (0.5)

У У 6

где и отрезок [0,2П) для тригонометрических мажорант и [0,1) для мажорант по системе Уолша-Пэли, С - абсолютная константа. С помощью этой оценки Шелиным были установлены:

Теорема XIII (Шелин). Для всякой / € Ь 1п+ Ь 1п+1п+Ь([0, 2П)) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду.

Теорема XIV (Шелин). Для всякой / € Ь 1п+ Ь 1п+1п+¿([0,1)) ее ряд Фурье по системе Уолша-Пэли сходится к ней почти всюду.

Доказательство данных утверждений было проведено с помощью приближения / линейной комбинацией характеристических функций и использования оценки (0.5).

Антонов получал усиление данных результатов в 1996 и 2001 годах [17], [18]

Теорема XV (Антонов). Для любой

/ £ Ь 1п+ Ь 1п+ 1п+ 1п+ Ь([0, 2П)) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду.

Теорема XVI (Антонов). Для всякой

/ е Ь 1п +Ь 1п+ 1п+ 1п+ Ь([0,1)) ее ряд Фурье по системе Уолша-Пэли сходится к ней почти всюду.

Усиление было достигнуто за счет применения конструкции, требующей лишь приближения частичных сумм ряда Фурье функции / линейной комбинацией характеристических функций, в то время как сама функция может ими и не приближаться. Результат для системы Уолша в 2003 году был независимо получен Шелиным и Сориа [19]. Метод, используемый для получения теорем XV и XVI, был в дальнейшем разработан Антоновым для последовательностей операторов более общего вида [18], [20].

Бочкарев получил усиление классической оценки Харди для системы Уолша-Пэли [21]:

Теорема XVII (Бочкарев). Для всякой интегрируемой f, для любого е > 1 почти всюду выполнено

^(ж,/) = о(У&(1п1пп)е).

Гипотеза Лузина для мультипликативных систем, введенных Виленкиным [22], в случае рг = р для всех % была доказана Хантом и Тейблсоном в [23]. Для случая ограниченной последовательности {р.^} - Госселином в [24]. В работе [24] фактически содержится доказательство оценки (0.4) для случая мультипликативных систем построенных по ограниченной последовательности {Рг}. В связи с чем результаты Антонова дают следствие:

Теорема XVIII. Для всякой функции

/еь 1п+ Ь 1п+ 1п+ 1п+ Ь([ 0,1))

и для всякой мультипликативной системы, построенной по ограниченной последовательности {рг}, ряд Фурье / по данной системе сходится к / почти всюду.

Сходимость рядов Фурье по системе Уолша также изучалась для различных нумераций этой системы. Для системы Уолша-Качмажа В.С.Юнг показал [25], что справедлива:

Теорема XIX (Юнг). Для всякой функции / из класса £(1п+ Ь)2{[0,1)) ее ряд Фурье-Уолша-Качмажа сходится к ней почти всюду.

Сходимость рядов Фурье по произвольным-кусочно линейным перестановкам изучалась Шиппом [26]. Им была доказана

Теорема XX (Шипп). Для всякой функции ¡из класса 1?({0,1)) ее ряд Фурье по произвольной кусочно-линейной перестановке системы Уолша сходится к данной функции почти всюду.

В работе [27] был введен специальный класс перестановок системы Виленкина-Пэли, расширяющий понятие кусочно-линейных перестановок системы Уолша-Пэли. Для всех перестановок системы Виленкина-Пэли из данного класса была получена

Теорема XXI (Госселин, Енг). Пусть {х} - переставленная система Виленкина-Пэли, тогда

||^/||9<С9||/||9, 2<д<оо.

Для всякой / € Ьг(Ср) частные суммы ее ряда Фурье по системе {х} сходятся к / почти всюду.

Из данного класса перестановок был выделен специальный подкласс перестановок, удовлетворяющих условию блочности. Для данного подкласса была показана

Теорема XXII (Госселин, Юнг). Пусть {х} - переставленная система Виленкина-Пэли, тогда

Ц^'711, <а,||/||„ 1 < д < оо, \\БХ'*П\1<С [ |/|(1п+|/|)3 + С, /еД1п+Ь)3,

Если выполнено §Ср |/|(1п+ |/|)21п+ 1п+ |/|, то частные суммы ряда Фурье функции / по системе {х} сходятся к / почти всюду.

0.2 Расходимость рядов Фурье

Как уже упоминалось выше, Колмогоров построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Им же в работе [28] был построен пример, в котором уже была расходимость всюду. С данных примеров многими исследователями были начаты попытки получения примеров функций с наложенными на них дополнительными условиями и нехорошим поведением частичных сумм их рядов Фурье по тригонометрической и другим системам. Прохоренко [29] и Чень [30] построили примеры функций из

классов L(Ln+Ln+L)e([0,2П)), 0 < е < 1 с расходящимися почти всюду рядами Фурье по тригонометрической системе. Бочкарев [31] получил аналог теоремы Колмогорова для широкого класса ортонормированных систем.

Теорема XXIII (Бочкарев). Для любой ортонормированной на отрезке, ограниченной в совокупности системы функций существует ряд Фурье-Лебега, расходящийся на множестве положительной меры.

Для тригонометрических рядов Тандори показал [32], что справедлива

Теорема XXIV (Тандори). Для всякого 0 < е < 1 и для всякой последовательности положительных чисел Хп = o((lnlnn)1_e) найдется функция f из класса 1/(1п+ 1п+ Ь)б([0,2П)); такая что всюду

\sn(f,x)\

sup J—^-= +оо.

п п

Отсюда следует, что в результате Прохоренко и Ченя расходимость почти всюду можно заменить на расходимость всюду. Тотик [33] показал, что если в некотором классе F(L)([0,2П)) существует функция с тригонометрическим рядом Фурье, раоходящимся на множестве положительной меры, то в этом же классе найдется функция, ряд Фурье которой неограниченно расходится всюду. Как показал Казарян [34] этот результат не может быть обобщен для произвольной ортонормированной системы. Кернером [35] была получена

Теорема XXV (Кернер). Пусть ф : [0, оо) —> [0, оо) удовлетворяет условию

■ф(и) = o(lnln'u) при и —У оо, тогда существует функция из класса Li/j(L)([0,2П)) с расходящимся всюду рядом Фурье.

Наилучший на сегодняшний день результат, касающийся расходимости всюду для рядов Фурье по тригонометрической системе, принадлежит Конягину [36], [37].

Теорема XXVI (Конягин). Для всякой функции <р: [0, +оо) —[0, +оо) и последовательности {ф(т)} со следующими свойствами: функция ip(u)/u является неубывающей на (0,+оо); ф(т) ^ 1 (т = 1,2,...) и <р(т)ф(гп) = о(тл/1пт/л/1пInт) при т оо, найдется функция f G L[—tt,tt] такая, что

/7Г

ip(\f(x)\)dx < оо

•7Г

и Итвирт_>со 5*т(/, х)/ф{т) — оо для всех х Е [—7г,тг]; где Зт(/) - т-я частная сумма тригонометрического ряда Фурье функции /.

В частности, верно следующее утверждение.

Теорема XXVII (Конягин). Для всякой функции (р: [0,+оо) —[0,+оо) со следующими свойствами: функция (р(и)/и является неубывающей на (0,+оо) и (р(т) — о(ту/ 1п т/у/ 1п 1п т) при т —оо, найдется функция / 6 Ь[—ж,ж] такая, что

/77

</?(|/(ж)|)сЬ < оо,

-7Г

и ее рл<? Фурье неограниченно расходится всюду.

Для системы Уолша-Пэли наиболее сильный результат был получен Бочкаревым [38], [39].

Теорема XXVIII (Бочкарев). Для всякой -Р(и) = и/(и), где /(и) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и /(и) удовлетворяет условию

/(и) = О (у/Ищи), при и —>■ оо,

существует такая функция д Е Е(Ь), ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится всюду на [0,1).

Предложенная Бочкаревым конструкция позволила также установить следующие результаты:

Теорема XXIX (Бочкарев). Если возрастающая последовательность чисел {А„} удовлетворяет условию

А„ = о (л/Ьп) при п —У оо, то существует / Е Ь([0,1)) такая, что для всех х Е [0,1)

г 1Я(/,*-)1

птвир---= оо.

Теорема XXX (Бочкарев). Существует функция / из Ь([0,1)) такая, что ее модуль непрерывности в Ь\ удовлетворяет условию

но ряд Фурье-Уолша функции / всюду расходится.

Отметим что результат Коиягииа для тригонометрической системы (теорема XXVII) является менее точным чем его аналог для системы Уолша-Пэли ( теорема XXVIII ).

Теорема XXVIII является усилением ранее известного результата Муна [40], который построил пример функции из класса L(ln+ ln+)1_eL, ряд Фурье - Уолша - Пэли которой расходится почти всюду. Исторически же первый пример интегрируемой функции, ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится всюду, был построен Шиппом в 1969 году [41], [42]. Ему предшествовал результат Стейна [43] о существовании интегрируемой функции, ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится почти всюду. Для мультипликативной системы примеры расходящихся всюду рядов Фурье построены Хеладзе [44], в случае, когда последовательность {pi} ограничена, и Симоном [45] в общем случае. Автором были продолжены данные исследования [46], с использованием метода, разработанного Бочкаревым. Было показано ( Теорема 3.1 данной диссертации ), что для всякой F(u) = uf(u), где f(u) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и f(u) удовлетворяет условию f(u) = о(-\/(1°Sи)) ПРИ и ^ оо, существует функция д G F(L), у которой ряд Фурье по системе Виленкина расходится всюду в [0,1).

Для нумерации Уолша-Качмажа были получены более сильные результаты о расходимости всюду, чем для нумерации Пэли. Это связано с тем, что свойства ядер Дирихле в нумерации Качмажа существенно отличаются от свойств ядер Дирихле в нумерации Пэли [12], для которых верна оценка ( см. [47] стр. 28 ): Dn(x) < \ при всех х отличных от нуля. Для ядер же Дирихле-Качмажа найдется константа С > 0, такая что

Dx

lim sup > С для почти всех х G [0,1]. (0.6)

п—>оо Ши

В работе Балашова [48] данная оценка использована для получения следующих утверждений:

Теорема XXXI (Балашов). Для любой последовательности w(n), монотонно убывающей к нулю, существует функция f & L[0,1], такая что

lim sup = оо для почти всех х G [0,1].

.„^оо w(n) in(n)

Теорема XXXII (Балашов). Для всякого е б (0,1) найдется функция / из класса L(ln+ L)1_6[0,1], ряд Фурье-Уолша-Качмажа которой имеет монотонные коэффициенты и расходится почти всюду в [0,1].

Отметим, что для системы Уолша-Пэли всякий ряд с монотонными коэффициентами, которые стремятся к нулю, сходится всюду, за исключением, быть может, нуля. Это впервые было отмечено Шнейдером в [12]. Результат Балашова показывает, что для нумерации Качмажа это свойство не выполняется.

Автором получено обобщение оценки (0.6) в лемме 2.1 данной диссертации. Было доказано, что для всякой положительной и возрастающей последовательности {Ате}, такой что

оо ^

ОО

выполнено:

Dx(x)

limsup —2-= оо для почти всех х 6 [0,1].

П—>-СО

С использованием этого утверждения по методу Балашова в Теоремах 2.1 и 2.2 данной диссертации были получены следствия [49]:

1. Для всякой F (и) = uf{u), где f(u) - неубывающая непрерыв�