Сходимость простых и кратных рядов Виленкина в пространствах Лоренца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи

Лукъяненко Ольга Александровна

СХОДИМОСТЬ ПРОСТЫХ И КРАТНЫХ РЯДОВ ВИЛЕНКИНА В ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА

01 01 01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 20^ ооэ Ш302е С/ Г

003163028

Работа выполнена на кафедре математического анализа Саратовского государственного университета им Н Г Чернышевского

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Лукомский Сергей Федорович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Рубинштейн Александр Иосифович,

кандидат физико-математических наук, доцент Волосивец Сергей Сергеевич

Ведущая организация

Самарский государственный университет

Защита состоится 12 ноября 2007 г в 15 час 30 мин на заседании диссертационного совета К 212 243 02 при Саратовском государственном университете им Н Г Чернышевского по адресу 410012, Саратов, ул Астраханская, 83, Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного университета им Н Г Чернышевского

Автореферат разослан " ^ " :

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент В В Корнев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Хорошо известно1, что если функция / g Lp, (1 < р < оо), то ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к / по норме пространства Lp и для частичных сумм ряда Фурье функции / выполняется неравенство

115»(/)11р<ад|Р1(1<Р<оо)

Аналогичный результат справедлив и для системы Виленкина? В работе Янг Восанг 3 было доказано, что для частичных сумм Фурье-Виленкина выполняется аналогичное неравенство Следовательно, система Виленкина является базисом в Lp для 1 < р < оо Причем этот результат Янг Восанг был доказан без всяких ограничений на образующую последовательность системы Виленкина

Ситуация меняется, если / принадлежит пространствам, лежащим между Lp и Loo или L\ и Lp

Вначале этот вопрос обсуждался для пространств Орлича, лежащих между Li и Lp

В монографии А Зигмунда4 для классов Орлича Lv, где ip(u) = иа(и) и а{и) - слабо колеблющаяся функция, доказано, что если / € %(0,2тг), то

1

J ¥>(1ЗД-/!)<«-»О,

О

и

где ip(u) = uf t~2ip(t) dt о

1Бари Н К Тригонометрические ряды М Физматгиз, 1961

2Агаев Г Н , Вкленкин Н Я , Джаварли Г М , А И Рубинштейн Мультипликативные системы функций и гармонического анализа на нуль-мерных группах Баку Изд "Элм", 1981

3Yong W-S Mean convergence of generalized Walsh-Founer series// Trans Amer Math Soc ,

218 1976,311-320

43игмунд А Тригонометрические ряды T 1,2 M Мир,1965

Схожая проблема рассматривалась в статье Файна и Ткебучавь^ для сепарабельных пространств Орлича Ь^ (Заметим, что сепарабельность пространств равносильно тому, что для функции ¡р выполняется условие Д2, а именно <р(2х) < у<р(х)) Вопросы сходимости были рассмотрении для систем Виленкина, образующие последовательности которых ограничены. Было доказано, что если

функция / 6 Ьф, где <р(и) — и ft 2<p(t) dt, то ряд Фурье-Виленкина

тем не менее сходится к ней по норме более широкого пространства Lv Была доказана точность полученного результата

В работах Лукомского С Ф 6 7 был рассмотрен вопрос сходимости кратных рядов Фурье-Уолша в пространствах Орлича

Лукомский С Ф 8 рассматривал вопрос сходимости рядов Фурье-Уолша для случая пространств Lp a, лежащих по шкале пространств Орлича между Lp и Lx и определил в этих пространствах норму

и доказал, что если функция / 6 Lp,a, то ||5„(/) — /||p,Q+i —> О

Асташкин С В 9 отметил, что пространства Lp.a есть ни что иное как пространства Лоренца

Вопрос сходимости рядов Фурье по тригонометрической системе

5С Finet and Tkebuchava Walsh-Founer Senes and Their Genralization m Orlicz Spaces// J

Math Anal Appl 221, (1996), 405-418

6Lukomskii S F Convergence of multiple series m mesure and m L // East J on Approx 1997

V3 №3 P 317-332

7Lukomskn S F Convergence of multiple Walsh senes m near Lea Orlich spaces// East J on

Approx 2003 V 9 №3 P 295-308

8Лукомский С Ф О сходимости рядов Фурье-Уолша в пространствах, близких к

¿„//Матем заметки 2001 Т 70 №6, С 882-889

вАсташкин С В Об экстраполяциониых свойствах шкалы ¿^-пространствах //Матем сб

2003 Т 194 №6 С 26-42

U

1

и системе Уолша в пространствах Лоренца был также изучен Лу-комским С Ф 10 11 Было доказано, что если / € A^j, (при некоторых условиях на функцию Ф), то тригонометрический ряд Фурье функции / тем не менее сходится в более широком пространстве Лоренца

$(*) = f^dt,

X

и была показана точность данного результата Более того, для тригонометрической системы результаты остаются справедливыми независимо от того, по какой последовательности п* стремится к бесконечности номер частичной суммы Snk(f), (n* f +00)

В случае системы Уолша результаты отличаются Сходимость рядов Фурье по системе Уолша зависит от того, ограничены или нет в совокупности константы Лебега Ln с номерами, пробегающими последовательность {П/с}

Цель работы. Изучить вопросы сходимости рядов Фурье-Виленкина в простанставах Лоренца Показать, что система Виленкина не является базисом в пространствах Лоренца, однако для любой функции / 6 Лф1? частичные суммы Фурье-Виленкина Sn(f) сходятся в более широком пространстве Л5 q Рассмотреть аналогичные вопросы для кратных рядов Виленкина

Методика исследований Используются методы теорий функций действительного переменного и функционального анализа Применяются также методы теории интерполяции линейных операторов

Научная новизна. Все результаты являются новыми и приводятся с полными доказательствами Основные результаты работы

10Lukomsku S F Convergence of founer senes ш Lorents spaces //East J on Approx 2003 V9 No 2 P 229-238

иЛукомский С Ф О подпоследовательностях частичных сумм рядов Фурье Уолша в пространствах Лоренца // Известия ВУЗов 2006 Математика С 48-55

1) Введено понятие р-вариации числа п 6 N для системы Вилен-кина

2) Найдены оценки констант Лебега для систем Виленкина в терминах р- вариации

3) Доказаны теоремы о сходимости простых и кратных рядов Фурье Виленина функции / 6 Лф,9 в пространствах Лоренца Л^ q

4) Построены примеры для простых и кратных рядов Фурье-Виленкина, показывающие, что ряды Фурье-Виленкина не сходятся в пространствах более узких чем А^ q

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теретический характер Полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов по ортогональным рядам

Апробация работы. Основные результаты прошли апробацию на семинарах по теории функций действительного переменного Саратовского государственного университета (руководитель - проф СФ Лукомский, 2004-2007 г г), на Воронежской зимней математической школе (2005 г), на Саратовской зимней математической школе (2006 г) г, на объединенном семинаре Саратовского государственного университета по математическому анализу (2007 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух разделов, разбитых на 6 подразделов и списка литературы из 40 наименований Общий объем диссертации 108 страниц машинописного текста

Основное содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы и дается краткое содержание диссертации

В данной диссертационной работе будем рассматривать вопросы сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца Лф,9 близких к Loo Покажем, что система Виленкина не является базисом в пространствах Лоренца, однако для любой функции / € Аф ч частичные суммы Фурье-ВиленкинаSn(f) сходятся в более широком

пространстве Л^ ? Также будут рассмотрены аналогичные вопросы для кратных рядов Фурье-Виленкина

В первом подразделе первого раздела дается определение системы Виленкина Уточняется общепринятая терминология и приводятся необходимые определения и обозначения относительно рядов Фурье Виленкина

Пусть {pfc}b=o образующая последовательность системы Виленкина гпо — 1) тпк+i = РкШ-к, тогда для любого п 6 N справедливо представление 00

n = Y2a¡tmb (а* = 0,1, ,Рк- 1) fc=0

В работе введено понятие модифицированного ядра Дирихле для системы Виленкина

D*n(x) = Vn.(x)Dn(x),

где

ОО

= £ а"ктк, где (а£ = (рк - ак) mod рк),

lt=0

- дополнительное число для п, и модифицированной частичной суммы

s;(/,x) = J D'n(x Ф t)f(t) dt

G

В подразделе 1 2 рассмотрены свойства системы Виленкина и доказаны вспомогательные результаты используемые в дальнейшем

При рассмотрении вопросов сходимости рядов Фурье-Виленкина важную роль сыграли оценки констант Лебега

Известно, что для системы Уолша имеет место оценки констант Лебега в терминах вариации числа п12

<Ln< V(n),

IJF Shipp, Wade and P Simon W R Walsh Series An Intrduction to Dyadic Harmonic Analisis, Akademia Kiado, Budapesht, 1990

где

оо

V(n) = +

к=1

- вариация числа

оо к=0

До сих пор аналогичных оценок для системы Виленкина не было В третьем подразделе первого раздела дается определениер-вариации для системы Виленкина

Определение 1 3.1. Пусть

I оо

п — ^Г^ актк

- р-ичное разложение числа п,

оо

п* = актк

к=О

- дополнительное число к п, тогда число

оо оо

Var(n) = aj + ]Г + ak-i) mod 2dk) + ]Г 4 W-i ~ 1) -fc=l fc=о

где dfc = max{a£_j,a£}, fe случае, когда dk — 0, будем считать (ak + ak_i) mod 2dk = (aj: + ajj^j)козое&м р-вариацией числа п В случае когда образующая последовательность^ не ограничена вместо Var(n) будем рассматривать число

Vor(n) = gS + f К + О 2dfe "aj (aj x - l)

<»> po h pi U ti

которое будем называть р-вариации числа п по последовательности

ы

В терминах определенной вариации найдена двусторонняя оценка для констант Лебега Ln как для ограниченной образующей последовательности, так и для неограниченной

Терема 1.3.1 Пусть число п записано ввиде

S

П = 1-1т*2.-1-1 + акъ-1-2ГПк2^-2 + + ak,mkJ,

1=1

гдеа} =p} — quj = k2,-i — l,k2,-i — 2, ,к2г, г = 1,2, ,s,kl>k2> >

l

Ln = f \Dn{t)\dt о

- константы Лебега для системы Виленкина, тогда

Var(n) <Ln< Var(n) {pfc}

Если последовательность {p}£L0 ограничена число р сверху, то

^Р <Ln< Var(n)

Очевидно, что в случае, когда pi- — 2, для любого к = 0,1, , р-вариация определенная в определении 13 1 принимает вид вариации V(n), а обе оценки из условия теоремы 13 1 превращаются в известную оценку для контант Лебега по системе Уолша в терминах вариации, которая была приведена выше

Второй раздел посвящен вопросам сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца

В первом подразделе определены одномерные13 и m-мерные пространства Лоренца Даны основные определения и изложены вспомогательные результаты, используемые в дальнейшем

Назовем Ф функцией Лоренца, если она удовлетворяет следующим условиям

1) Ф(2) > 0 на (0,1), убывает на (0,1) и выпукла,

2) ЬтФ(1) = +оо,

<—о

В работе рассматриваются пространства Лоренца

- порожденные функцией Лоренца Ф(£), которая удовлетворяет условию

Пространства Лоренца для функций многих переменных определяется как и в одномерном случае, а именно

Л?, = |/ 6 Ьы ц/ц,Л = (/ (^Ц)'*) < -

В подразделе 2 2 рассмотрены простые (однократные) ряда Фурье-Виленкина Доказана следующая теорема

Терема 2 2.1 Существует постоянная С = С(Ф, д) > 0 такая,

13Lvndenstrauss J , Tzairin L Classical Baaach spaces 2, F\inct)oa spaces - Berlm SpringerVerlag, 1979

что V/ е

Ц5„(/)||5Л<С||/||»Л где функция Лоренца Ф при 0 < х < | определяется равенством

х

В силу сепарабельности пространства Лф1? из этой теоремы следует

Терема 2.2 2 -Если / € Лф1?, то ряд Фуръе-Виленкина функции f сходится в более широком пространстве Л^ ?

При доказательстве следующей теоремы построен пример, доказывающий точность теоремы 2 2 2 Пример был построен для случая, когда образующая последовательность ограничена сверху

Терема 2.2 3 Пусть образующая последовательность {pk)kLi ограничена числом р сверху, функция Лоренца ^{х) удовлетворяет дополнительному условию

Если N = {щ, \ произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел таких, что supneN Ln = +оо, то для любой функции a(t) J, 0 при t J, 0 существуют функции / 6 Лф9 такая, IIS./!!».,

что отношение ц^ ' - неограничено

В подразделе 2 3 рассмотрены вопросы сходимости кратных рядов Фурье-Виленкина Также как и для одномерного случая справедлива следующая теорема

Терема 2 3 1. Пусть функция Лоренца Ф удовлетворяет усло-

вию

Тогда существует постоянная С = С(Ф, д) > 0 такая, что V/ £ Лф>9([0,1)т) выполняется

В силу сепарабельности пространств Лоренца из теоремы 2 3 1 следует

Терема 2.3.2. Если / € Лф,9([0,1)т), то ряд Фурье-Виленкина функции / сходится в более широком пространстве А^ ?([0,1)т)

Теорема доказывающая точность теореме 2 3 2 доказана для случая сходимости по кубам, следовательно тем более предыдущая теорема является точной и в случае сходимости по прямоугольникам Пример построен для случая, когда образующая последовательность системы Виленкина ограничена сверху

Терема 2.3.3. Пусть {Т^^)} - кратная система Виленкина, порожденная последовательностью {р*}£1о> которая ограниченна

ШЛИ»,, < с ||Я!*„

где

при 0 < х < \

2>

9®

при 5 < х < 1

числом р, и Sn(f, t) - кубические частичные суммы ряда Фурье-Виленкина,

(7 > тп) Тогда для любой функции a(t) J, 0 при t J, О отношение

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Лукомскому Сергею Федоровичу за постановку задач и поддержку в исследованиях

Публикации автора по теме диссертации.

1 Лукъяненко О А Об оценке констант Лебега по системе Вилен-кина // Современные методы теории функций и смежные проблемы Материалы конференции -Воронеж ВГУ, 2005 -с 150

2 Лукъяненко ОАО константах Лебега для систем Виленкина // Математика Механика Сб науч тр - Саратов Изд-во Са-рат ун-та, 2005 - Вып 7 с 70-73

3 Лукъяненко ОАО сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца // Современные проблемы теории функций и их приложения Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы -Саратов ООО Изд-во "Научная книга", 2006 -110-

4 Лукъяненко ОАО сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца по подпоследовательностям // Математика Механика Сб науч тр - Саратов Изд-во Сарат ун-та,

при 0 < х <

Ф(^) при \ < х < 1

У... —неограничено

111

2006 - Вып 8 -с 72-74

5 Лукъяненко ОАО сходимости кратных рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца // Известия Сарат ун-та Математика Механика Информатика-Саратов 2007 Т7 Вып 1 с 15-22 (Данный журнал входит в Перечень ВАК для кандидатских диссртаций)

Подписано в печать 05 10 2007 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Гарнитура Times New Roman Печать RISO Объем 1,0 печ л Тираж 100 экз Заказ N° 071

Отпечатано с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю Б Свидетельство № 3117 410600, Саратов, ул Московская, д 152, офис 19, тел 26-18-19, 51-16-28

Введение

1 Вспомогательные результаты и константы Лебега

1.1 Основные понятия

1.2 Свойства систем Виленкина

1.3 Константы Лебега по системе Виленкина

2 Сходимость рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца

2.1 Основные понятия и вспомогательные утверждения

2.2 Сходимость простых рядов Фурье-Виленкина

2.3 Сходимость кратных рядов Фурье-Виленкина

Хорошо известно[6,9], что если функция / € Lp, (1 < р < оо), то ряд Фурье но тригонометрической системе сходится к / по норме пространства Lp и для частичных сумм ряда Фурье функции / выполняется неравенство ш/)||р<адР1 (1<р<оо).

Аналогичный результат справедлив и для системы Виленкина. В работе Янг Восанг [40] было доказано, что для частичных сумм Фурье-Виленкина выполняется аналогичное неравенство и, следовательно, система Виленкина является базисом в Lp для 1 < р < оо. Причем этот результат Янг Восанг был доказан без всяких ограничений на образующую последовательность системы Виленкина.

Ситуация меняется, если / принадлежит пространствам, лежащим между Lp и Lqo или L\ и Lp .

Вначале этот вопрос обсуждался для пространств Орлича [13,23,32,39], лежащих между L\ и Ьр.

В монографии А. Зигмунда [9] для классов Орлича!/^, где </?(«) = иа(и) и а(и) слабо колеблющаяся функция, доказано, что если е^(0,27г),то 1

J <p(\Sn(f)-f\)dt^O, о и где <р(и) = uf t~2ip(t) dt (см. [9], гл. 12, теорема 4.39). о

Схожая проблема рассматривалась в статье Файпа и Ткебуча-вы [29] для сепарабельных пространств Орлича L1р. (Заметим, что сепарабельность пространств L^ равносильно тому, что для функции (р выполняется условие Д2, а именно: ip(2x) < ^{х)). В этой работе Файна и Ткебучавы вопросы сходимости были рассмотрен-ны для систем Виленкина, образующие последовательности которых ограничены. Было доказано, что если функция / 6 где и р(и) = uf t~2ip(t) dt, то Фурье-Виленкина сходится к ней по норме 1 более широкого пространства Lv.

В работах Лукомского С.Ф. [33,34] был рассмотрен вопрос сходимости кратных рядов Фурье-Уолша в пространствах Орлича, лежащих между L\ и Lp.

В работе [15] были определены пространства ЬРА(д,Т) (р > 1 ,а > О), как пространства измеримых па [0,Т] функций, для ко

00 /||/|| \ р\ р п

Па торых конечна норма iii/nu=(E п=1 и было доказано, что если функция / £ Ьр>а, то ||5„(/) — /||р,а+1

О (Sn(f) - частичные суммы ряда Фурье-Уолша). Отметим, что пространства ЬРА лежат между Lp и L^ и LP:0l+i более широкое пространство. Таким образом, доказанная в [15] теорема означает, что система Уолша не базис в пространствах LpM) но тем не менее ряд Фурье-Уолта сходится в более широком пространстве ЬРА+\

Асташкин С.В. в своей работе [4] отметил, что пространстваLp^a есть ни что иное, как пространства Лоренца.

Вопрос сходимости рядов Фурье но тригонометрической системе и системе Уолша в пространствах Лоренца был также изучен Лукомским С.Ф. в работах [16,35|. Было доказано, что если / £ Лф)Р при некоторых ограничениях на скорость роста функции Ф), то тригонометрический ряд Фурье функции / тем не менее сходится в более широком пространстве Лоренца Л^ , где № f^dt, при 0 < гс <

1)

Ф(ж) = <

Ф (i) , при \ < X < 1. и была показана точность данного результата. Более того, для тригонометрической системы результаты остаются справедливыми независимо от того, но какой последовательности щ стремится к бесконечности номер частичной суммы Snk(f), Т +оо).

В случае системы Уолша результаты отличаются. Сходимость частичных сумм Фурье-Уолша зависит от того, ограничены или нет в совокупности константы Лебега Ln с номерами, пробегающими последовательность {щ}.

В данной диссертационной работе будем рассматривать вопросы сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца [32] близких к Ьж. Условие близости записывается в виде ограничения на скорость роста функции Ф. Покажем, что система Виленки-на не является базисом в пространствах Лоренца, однако для любой функции / G Лф)(? частичные суммы Фурье-Виленкина Sn(f) сходятся в более широком пространстве Л^ (функция Ф определена равенством (1)). Также будут рассмотрены аналогичные вопросы для кратных рядов Фурье-Виленкина.

В нервом параграфе первой главы дается определение системы Виленкина. Уточняется общепринятая терминология и приводятся необходимые определения и обозначения относительно рядов Фурье-Виленкина.

Пусть {рк} образующая последовательность системы Виленкина

Vn(x)} [1,2,3,10,11,12,24,31,38], m0 = 1, тк+1 = рктк, рк £ N, рк > 2, тогда для любого п £ N справедливо представление

00 п = актк, (ак = 0,1,. ,рк - 1).

Функции Виленкина с соответствующими номерами п определяются равенством

00

Vn(x) = Y[r?(x), к=О где г^(х) = ехр(27гг^). В работе введено понятие модифицированного ядра Дирихле для системы Виленкина:

D*n{x) = Vn*(x)Dn(x), где

00 п* = актк, {а*к = (Рк - ак) mod рк), к=О

- дополнительное число для п, и модифицированной частичной суммы

S*n(f,x) = J D*n(x 0 t)f(t) dt. G

Заметим, что в частном случае, когдарк = 2 для любого к, т.е. в случае системы Уолша, число п совпадает с п*, модифицированное ядро Дирихле [27] соответственно имеет вид D*n{x) = Wn(x)Dn{x) (Wn(x) - функции Уолша.)

В параграфе 1.2 рассмотрены свойства системы Виленкина и доказана следующая лемма о разложении ядра Дирихле. Лемма 1.2.2 Пусть число п G N записано ввиде S п = + ак2г-1-2ГПк2^-2 + . + ak2imk2i) i=1 где a,j = pj -qi, 1 < q{ < pj - 1 j = At2»—i - 1, hi-i ~ 2,k2i, г = 1,2,., 5, ki > к>2 > . > fe определяет пачку в разложении числа п), тогда модифицированное ядро Дирихле можно записать в виде

ВД =Y,[Dmk2lJx) - Dm^-гМ Е + г=1 ^ г/=0

Ап*и1,(я) - Dm^^ix) rL-i-2(X) + v=0

При рассмотрении вопросов сходимости рядов Фурье-Виленкина важную роль сыграли оценки констант Лебега Ln [1,7,17,26,28,36].

Отметим, что при п = rrik меет место следующее соотношение: Lmk = 1. Таким образом, по некоторой подпоследовательности номеров Константы Лебега ограничены. По другой подпоследовательности они растут неограниченно. Вместе с тем порядок этого роста ограничен сверху функцией Inn, а имеено справедливо неравенство In < log2n [1,8J.

Известно, что для системы Уолша имеет место более аккуратная оценка констант Лебега в терминах вариации числа п [37]

Ln< V(n), где

00

V(n) = + -sk-i\ k=1

- вариация числа

00 k=0

До сих пор аналогичных оценок для системы Виленкина не было.

В третьем параграфе первой главы дается оиределениер-вариации для системы Виленкина [18].

Определение 1.3.1. Пусть

00

П = ^ актк к=0

- р-ичное разложение числа п

00 п* = J2akmk к=О 9

- дополнительное число к п, тогда число

00 00 Var(n) = а*0 + £ ((4 + aU) mod 2dk) + £ (4i - 1), fc=l /c=0 где dk — max{a*kv a^.}^ назовем р-вариацией числа п. (в случае, когда dk = 0, будем считать (а*к + а*кг) mod 2dk = (а*к + ), В случае когда образующая последовательность^, не ограничена вместо Var(n) будем рассматривать число

Var{n) = + f К + «Ц 24 А 4 («U - 1) <*> ^ н Я to Й которое будем называть р-вариации числа п ио последовательности ы

В терминах определенной вариации найдена двусторонняя оценка для констант Лебега Ln как в случае ограниченной образующей последовательности, так и в случае неограниченной. Терема 1.3.1 Пусть число п записано ввиде S п = ^(a^-i-i^feai-i-i + 0^-1-2^-1-2 + . + ak2imk2i), i=i где cij = pj - qu 1 < g,- < pj - I, j = hi-1 - 1, &2i-i - 2,k2i, г = 1,2, .,s, k\ > k2 > . > (Qi определяет пачку в разложении числа п), о

- константы Лебега для системы Виленкипа, тогда

Var{n) <Ln< Var(n) W

Если последовательность ограничена числом р сверху, то

Ln< Var(«).

Рг

Очевидно, что в случае, когда р^ = 2, для любого к = 0,1,., р-вариация определенная в определении 1.3.1 принимает вид вариации V(n), а обе оценки из условия теоремы 1.3.1 превращаются в известную оценку для контант Лебега по системе Уолша в терминах вариации, которая была приведена выше.

Вторая глава посвящена вопросам сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца [19,20,21].

В первом параграфе приведены определения одномерные [32] и m-мерные пространства Лоренца. Даны основные определения и изложены вспомогательные результаты, используемые в дальнейшем.

Пусть /* - невозрастающая перестановка функции |/|. Назовем Ф функцией Лоренца, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) Ф(£) > 0 на (0,1], убывает на (0,1] и выпукла;

2) lim Ф(£) = -foo; 1

В работе рассматриваются пространства Лоренца

- порожденные функцией Лоренца Ф(£), которая удовлетворяет следующему условию: для любого р £ N существует константа Ср> О такая, что справедливо неравенство

Условие (2) есть ограничения на скорость роста функции Ф в нуле. При таком условии на функцию Ф пространства Лоренца лежат «между» Lp и Loo.

Пространства Лоренца для функций многих переменных определяется как и в одномерном случае, а именно

Отметим, что несмотря на то, что / есть функция т переменных, ее перестановка /* есть функция одной переменной.

В параграфе 2.2 рассмотрены простые (однократные) ряда Фурье-Виленкина. Доказана следующая теорема.

Терема 2.2.1 Существует постоянная константа С = С(Ф, q) > О такая, что V/ 6 Лф;<г sn(f)hq < C\\fh,q. где Ф определяется равенством (1).

В силу сепарабельности пространства из э той теоремы следует

Терема 2.2.2 Если / £ то ряд Фурье-Виленкина функции f сходится в более широком пространстве Л j iQ

В следующей теореме построен пример, доказывающий точность теоремы 2.2.2. Пример был построен для случая, когда образующая последовательность ограничена сверху.

Терема 2.2.3 Пусть образующая последовательность {рк}ь=\ ограничена числом р сверху, функция Лоренца Ф(х) удовлетворяет дополнительному условию

V i + bg^y р

Если N = {щ} произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел таких, что supneN Ln = +схэ, то для любой функции a(t) j 0 при t | О существуют функции f Е Лф;(? такие, что отношение - неограничено.

Эта теорема означает, что для / £ Лф)9 сходимости по норме более узкого пространства, чем Л^ нет. iQ

В параграфе 2.3 рассмотрены вопросы сходимости кратных рядов Фурье-Виленкина. Также как и для одномерного случая справедлива следующая теорема.

Терема 2.3.1. Пусть функция Лоренца Ф удовлетворяет условию

Тогда существует постоянная С = С(Ф, q) > О такая, что V/ G Лф)9([0,1)т) выполняется

WSniDh, < C\\f\\%q, где

Ф(х) = < тп—1

Ini) Sl^dt npuO<i<i,

Ф (I) при \ < X < 1.

В силу сепарабельности пространств Лоренца из теоремы 2.3.1 следует

Терема 2.3.2. Если / £ Лф)9([0,1)т), то т-кратный ряд Фурье-Виленкина функции f сходится по прямоугольникам в более широком пространстве Л^ ([0,1)ш)

Теорема доказывающая точность теоремы 2.3.2 доказана для случая сходимости по кубам, следовательно тем более предыдущая теорема является точной и в случае сходимости но прямоугольникам. Пример построен для случая, когда образующая последовательность системы Виленкина ограничена сверху.

Терема 2.3.3. Пусть {T4(t)} - кратная система Виленкина, порожденная последовательностью {рк}™= о> которая ограниченна числом р, и Sn(f, t) - кубические частичные суммы ряда Фурье-Виленкина,

7 > т)- Тогда для любой функции a(t) J, 0 при 11 0 отношение

Таким образом, в кратном случае для / £ ^ РЯД Фурье-Виленкина сходится в пространстве А^ ^ по Прингсгейму, но в более узких пространствах не сходится даже по кубам.

Ф(я) = < при 0 < х <

Ф (±) при \ < X < 1, пеограничено.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Jly-комскому Сергею Федоровичу за постоянную поддержку и советы при подготовке диссертации.

1. Агаев, Г.Н. Об одном классе мультипликативных ортонормиро-ванных систем функций / Г.Н. Агаев, Г.М. Джафарли // Изв. АН Азерб. ССР, серия физ.-матем. и техн. наук. 1963, №2, с.27-36

2. Агаев, Г.Н. К теории мультипликативных ортонормированных систем / Н.Я. Виленкин, Г.Н. Агаев, Г.М. Джафарли // ДАН Азерб ССР, 18,1962, №9 с.3-7.

3. Асташкин, С.В. Об экстраиоляционных свойствах шкалы Ьр— пространств / С.В. Асташкин // Матем. сб.-2003.-Т.194.-№6-С.26-42.

4. Асташкин, С.В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марценкевича близких к L00 / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Сиб. матем. ж., 2006. Т. 47. № 5. с.974-992.

5. Бари, Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К.Бари. М.: Физмат-гиз, 1961.

6. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Т.2 / А. Зигмунд. М.: Мир, 1965, 538 с.

7. Кашин, Б.С. Ортогональные ряды / Б.С. Кашин, А.А. Саакян. М.: АФЦ, 1999.

8. Красносельский, М.А. Выпуклые функции и пространства Ор-лича / М.А. Красносельский, Рутицкий Я.Б. Физматгиз 1958 272.С.

9. Курош, А.Г. Теория групп / А.Г. Курош. М., 1967. 550.С

10. Лукомский, С.Ф. О сходимости рядов Фурье Уолша в пространствах, близких к Loo / С.Ф. Лукомский // Матем. заметки,2001,т. 70,М, С. 882-889.

11. Лукомский, С.Ф. О подпоследовательностях частичных сумм рядов Фурье Уолша в пространствах Лоренца / С.Ф. Лукомский // Известия ВУЗов.-2006.-Математика.-№6.-С.48-55.

12. Лукъяненко, О.А. Об оценке констант Лебега по системе Виленкина / О.А. Лукъяненко // Воронежская зимняя математическая школа 2005. Тезисы докладов. Воронеж, 2005 - с.150.

13. Лукъяненко О.А. О константах Лебега для систем Виленкина / О.А. Лукъяненко // Математика. Механика.: Сб. науч. тр. -Саратов. Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Выи. 7 с. 70-73.

14. Лукъяненко О.А. О сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца / О.А. Лукъяненко // Саратовская зимняяматематическая школа 2006. Тезисы докладов. Саратов, 2006 -с.110-111.

15. Лукъяненко О.А. О сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца / О.А. Лукъяненко // Математика. Механика.: Сб. науч. тр. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Выи. 8 -с. 72-74.

16. Лукъяненко О.А. О сходимости кратных рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца / О.А. Лукъяненко // Известия Сарат. ун-та. Математика. Механика. Информати-ка:Саратов, 2007. с. 15-22.

17. Понтрягин, Л.С. Непрерывные группы / Л.С. Понтрягин. М.: Наука, 1973.

18. Симоненко, И.Б. Интерполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича / И.Б. Симоненко // Матем. сб. 1964. Т.63. С.536-553

19. Хеладзе, Ш.В. О расходимости всюду рядов Фурье-Виленкина ио ограниченным системам Виленкина / Ш.В. Хеладзе // Тр. Тбилисского матем. института АН Груз. ССР. Вып. 58, 1978. С.225-242.

20. Шнейдер, А.А. О единственности разложений по системе функций Уолша / А.А. Шнейдер j j Матем. сб., 24 , 1949, 279300.

21. Шнейдер, А.А. О сходимости рядов Фурье по функциям Уолша 7~А.А. Шнейдер // Мат. сб. 1954.Т.34. №3. С.441-472.

22. Billard, P. Sur la convergence presque par tout des series de Fourier-Walsh des fonctions de l'espace L2(0.1) / P. Billard // Studia Math-1967. V.28. №3. P.363-388.

23. Fine, N.I. On the Walsh functions / N.I. Fine // TYans. Amer. Math. Soc., 65, 1949, №3, 372-414.

24. Finet, C. Walsh-Fourier Series and TheirGeneralizations in Orlicz Spaces / C. Finet, G.E. Tkebuchava // J. Math. Anal. Appl. 221 (1996), 405-418.

25. Frendenthal, H. Die Haarschen Orthogonalsysteine von Gruppencharakteren in Lichte der Pontrjaginschen Dialitatstherue / H. Frendenthal // Сотр. Math., 5, 1938, c.354-357.

26. Gosselin, J. Almost everywhere convergence of Vilenkin -Fourier series / J. Gosselin // Trans. Amer. Math.Soc. 1973. V.185. P.345-370.

27. Lindenstrauss, J. Classical Banach spaces 2, Function spaces / J. Linderistrauss, L. Tzafriri. Berlin: Springer-verlag, 1979.

28. Lukomskii, S.F. Convergence of multiple series in measure and in L / S.F. Lukomskii // East J. on Approx. 1997. V. 3. № 3. P. 317-332.

29. Lukomskii, S.F. Convergence of multiple Walsh series in near L^ Orlich spaces / S.F. Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V. 9. № 3. P. 295-308.

30. Lukomskii, S.F. Convergence of fourier series in Lorents spaces / S.F. Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V.9. No. 2. P. 229-238.

31. Paley, R. A remarkable series of orthogonal functions / R.E.A.C. Paley // Proc. London Math. Soc. 1932. V.34 P.241-279.

32. Shipp, F. An Introduction to Dyadic Harmonic Analysis. / F. Shipp, W.R. Wade, P. Simon. W.R. Akademiami Kiado, Budapesht, 1990.

33. Simon, P. On the divergence of Vilenkin-Fourier series / P. Simon // Acta math. Hung. 1983. V.41. №3-4. P.359-370.

34. Watari, C. Mean convergence of Walsh-Fourier series. I / C. Watari // Tohoku Math. J. 16, 1964. №2. P.183-188.

35. Young W.-S. Mean convergence of generalized Walsh-Fourier series / W.-S. Young// Trans. Amer. Math. Soc., 218. 1976, 311-320.