Функциональные пространства и коэффициенты Фурье по мультипликативным системам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи -

Фадеев Роман Николаевич

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ

СИСТЕМАМ

Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань 2015

005568254

005568254

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Волосивец Сергей Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Вологодской государственной молочнохозяйственной академии им. И.В. Верещагина.

Плотников Михаил Геннадьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Казанского национального исследовательского технологического университета им. С.М.Кирова Веселова Лидия Владимировна

Ведущая организация: Московский физико-технический инсти-

тут(государственный университет)

Защита состоится «19» марта 2015 в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" по адресу: 420008, Казань ул. Кремлевская, 35, ауд. 610

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" по адресу: 420008, Казань ул. Кремлевская, 35.

Автореферат разослан « января 2015 г. Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.081.10

кандидат физ.-мат. наук, доцент /Р Е. К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Данная работа посвящена условиям принадлежности функции (или суммы ряда по мультипликативной системе) различным функциональным пространствам в терминах коэффициентов Фурье функции по мультипликативной системе (или коэффициентов ряда). К этой задаче примыкает задача оценки наилучших приближений функции по мультипликативной системе в заданном пространстве.

Актуальность темы диссертации. Первый пример ортонорми-рованной мультипликативной системы конечнозначных функций принадлежит Дж.Уолшу. В 1947 году Н.Я.Виленкин изучил системы характеров коммутативных компактных нульмерных групп со второй аксиомой счетности, переходящие при отображении на полуинтервал [0,1) в мультипликативные системы ортонормированных функций. Дж. Прайс определил мультипликативные системы функций на полуинтервале в более общей ситуации. Вклад отечественных математиков в данную теорию рядов по мультипликативным системам достаточно полно отображен в монографиях Б.И.Голубова, А.В.Ефимова и В.А.Скворцова1 и Г.Н.Агаева, Н.Я.Виленкина, Г.М.Джафарли и А.И.Рубинштейна2. Достижения венгерских и американских математиков изложены в монографии Ф.Шиппа, У.Уэйда и П.Шимона3. Теория рядов по мультипликативным системам, особенно по действительнозначной системе Уолша, находит серьезные приложения в вычислительной математики в вопросах обработки, кодирования и сжатия информации. Кроме того функции этих систем являются собственными функциями операторов, континуальные р-адднтивные аналоги которых находят в настоящее время применение в математической физике (В.С Владимиров, И.В.Волович и др). Теория приближений полиномами по мультипликативным системам развивалась в нескольких направлениях. С использованием понятие обобщенной производной были получены различные варианты прямых и обратных теорем приближения (А.В.Ефимо в, П.Л.Бутцер, Х.Вагнер, Хе Зелин). Большое число работ было посвящено вопросам сходимости линейных средних рядов Фурье, в том числе, количественным оценкам скорости сходимости (С.Л.Блюмин, В.А.Глухов, А.И.Рубинштейн, Е.С.Смаилов). Серьезное развитие получи-

1 Голубое Б. И. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения / Б. И. Голубов, А. В Ефимов В. А. Скворцов. —М.:Наука, 1987.

2 Л гаев Г. Н. Мультипликативные системы функций п гармонический анализ на нуль-мерных группах / Г. Н. Агаев, Н. Я. Вилеикин, Г. М. Джафарли, А. И. Рубинштейн.—Баку: Элм, 1981.

Schipp F. Walsh series. An introduction to dyadyc analysis / F. Schipp, W. R. VVade, P. Simon.—Budapest: Akadeinia Kiado, 1990.

ла теория единственности рядов по мультипликативным системам(С. Ф. Лукомский, М. Г. Плотников, Н. Н. Холщевникова).

Для функции /, принадлежащей пространству L%n измеримых гот-периодичных функций, интегрируемых в р-й степени на периоде, Г. Харди и Дж. Литтлвуд установили соотношения между нормой ||/||х,; и рядом

оо к=0

где о и косинус и синус коэффициенты Фурье. Более того,

в случае монотонного убывания и к нулю, они установили

при 1 < р < оо эквивалентность условия Ц/Ид» < оо и сходимости ряда приведенного выше.

Развивая этот подход, А. А. Конюшков получил оценку наилучших приближений / € 1 < р < оо с монотонными коэффициентами Фурье, а В. М. Кокилашвили установил двустороннюю оценку модуля гладкости порядка к 6 N функции / квазимонотонными коэффициентами Фурье. В настоящее время эта тематика разрабатывается Л. Лейндлером, С. Тихоновым, С. Жу и другими математиками. Т. М. Вуколова и М. И. Дьяченко получали двусторонние оценки норм функции в 0 < р < оо, коэффициенты Фурье являются монотонными или выпуклыми.

Для рядов по системе Уолша аналог результата Харди - Литтлву-да о тригонометрических рядах с монотонными коэффициентами был получен Ф. Морицем. Для более общих мультипликативных систем следует отметить результаты М. Ф. Тимана и А. И. Рубинштейна, а также С. С. Волосивца. Для рядов по мультипликативным системам с обобщенно-монотонными коэффициентами Фурье оценки наилучших приближений были получены Н. Ю. Агафоновой.

Р. Аски и С. Вейнгер4 рассмотрели класс знакопеременных коэффициентов тригонометрических рядов для которых сумма ряда принадлежала пространству L%п о степенных весом. Позднее М. и Ш. Изуми были получены оценки модулей непрерывности четных или нечетных функций из ¿2тп коэффициенты Фурье которых принадлежат классам AWq. В первой главе данной работы получаются оценки приближений функций, коэффициенты Фурье которых принадлежат аналогичным классам последовательностей.

Определения классических пространств С. Л. Соболева и О. В. Бесова

4Askey R. Integrability theorems for Fourier series / R. Askey, S. Wainger // Duke Math. J. — lOfifi. — Vol. .1.1, no. 2. - Pp. 22,1-228.

можно найти в монографии С. М. Никольского5. М. К. Потапов рассмотрел обобщения этих пространств для 2-к- периодических функций и установил взаимосвязь между ними. Аналоги этих пространств, связанные с мультипликативными системами ввел С.С. Волосивец. М. Бериша получил ряд необходимых и достаточных условий принадлежности сумм тригонометрического ряда обобщенным пространствам О. В. Бесова - М. К. Потапова в терминах коэффициентов этих рядов. Во второй главе данной работы получаются необходимые и достаточные условия принадлежности сумм рядов по мультипликативным системам обобщенным пространствам О. В. Бесова - М. К. Потапова, связанным с мультипликативными системами.

Г. Лоренц6 установил связь между принадлежностью функции классам Липшица и поведением некоторых сумм тригонометрических коэффициентов Фурье. С. Алянчич и М. Томич, а также А. А. Конюшков получили оценку монотонно убывающих коэффициентов Фурье в терминах модуля непрерывности или наилучших приближений функции. Двумерные аналоги указанных выше результатов были доказаны Л. П. Кагадий. Для мультипликативных систем аналоги результатов Лоренца были получены Н. Я. Виленкиным и А. И. Рубинштейном. В третьей главе данной работы получаются аналоги двумерных результатов Л. П. Кагадий для мультипликативных систем и изучается вопрос их неулучшаемости.

Цель работы.

Целью данной диссертационной работы является решение следующих задач:

1) Получить оценки наилучших приближений по мультипликативным системам функций со знакопеременными коэффициентами Фурье в различных интегральных метриках (//[0,1) при 1 < р < оо, Р-ичное пространство Харди #(Р, [0,1)).

2) Для функций двух переменных получить оценки сверху приближения углом функций в метрике ЩЪ, I)2, 1 < р < оо, и в метрике пространства Харди в терминах коэффициентов Фурье по мультипликативным системам.

3) Установить необходимые и достаточные условия принадлежности функции модифицированным классам Бесова в терминах ее коэффициентов Фурье по мультипликативной системе.

5Николъский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М, Никольский. — М.:Наука, 1977.

'Lorentz a. G. Fourier-Koeffizienten und Funktionenklassen / G. G. Lorentz. // Math. Zeitschrift. — 1948. — Vol. 51. — Pp. 1.1S-149.

4) Установить аналога теорем Лоренца для двойных рядов Фурье по мультипликативным системам и показать их неулучшаемость.

Методы исследования.

При решении поставленных задач применяются общие методы математического и функционального анализа, методы гармонического анализа, теории приближений и теории ортонормированных рядов.

Научная новизна.

Все основные результаты работы являются новыми. В работе получены оценки наилучших приближений сверху и снизу в интегральных метриках в терминах коэффициентов Фурье, охватывающие более широкие классы, чем ранее полученные результаты. Получены оценки сверху приближений углом в пространствах 1/[0,1)2, 1 < р < оо, и пространстве Харди Н(Р, [О, I)2), причем оценки в пространстве Харди неизвестны в тригонометрическом случае. Приведены необходимые и достаточные условия принадлежности функции модифицированным пространствам Бесова, тесно связанные с мультипликативными системами, которые до недавнего времени не изучались. Получены двумерные аналоги теорем Лоренца и установлена их неулучшаемость в определенном смысле.

Практическая ценность.

Основные результаты работы носят теоретический характер и могут найти применение в теории ортогональных рядов,в теории приближений,в гармоническом анализе. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистрантов и аспирантов.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на :

1) научных семинарах кафедры теории функций и приближений и научно-практических конференциях сотрудников Саратовского государственного университета "Актуальные проблемы математики, механики и их приложения" (Саратов, 2011, 2012);

2) 14-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" , посвященной памяти академика П.Л.Ульянова (Саратов, 2008);

3) 15-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" , посвященной 125-летию со дня рождения В.В.Голубева и 100-летию СГУ (Саратов, 2010);

4) 16-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2012);

5) расширенном заседании кафедры математического анализа Казанского (Приволжского) федерального университета(Казань, 2014).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [8]. В работе [1) научному руководителю принадлежит постановка задачи. Работы [1| - [4] опубликованы в журналах, включённых в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание учёной степени кандидата наук.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 75 наименований. Каждая глава разбита на разделы, всего в диссертации 11 разделов. Общий объем работы 140 страницы.

Краткий обзор содержания диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определена ее цель, описана структура диссертации и введены основные определения.

Пусть Р = — последовательность натуральных чисел, такая

что, 2 ^ рп ^ N при всех п е N. Положим по определению тп0 ~ 1, тп = Р1... рп при п 6 N. Тогда каждое х 6 [0,1) имеет разложение

Данное разложение определено однозначно, если при х = к/тп, 0 < к < тп, к е брать разложение с конечным числом х3 / 0. Для х е [0,1) и у € [0,1) введем обобщенное сложение

хфу = г,гп = хп + уп (тос! р„).

При фиксированном х число г определено для почти всех у. Всякое к 6 представимо в виде

оо

оо

Для х е [0,1) и к е по определению полагаем

Систему {Хк(я)}*1о называют мультипликативной системой или системой Виленкина. Известно, что — ортонормированная полная в ¿40,1) система, и что Хп{х Ф у) = Хп(х)Хп(у) Для всех у € [0,1), кроме счетного числа, при фиксированном х 6 [0,1) и п е Z+.

В главе 1 находятся оценки наилучших приближений и приближений углом функции через ее коэффициенты Фурье и их разности в различных интегральных метриках.

Пространство ¿^[0,1), 1 ^ р < оо, рассматривается с нормой

к/Ир = 1 тгм^

Максимальная функция М(/) определяется равенством

M(f)(z) = sup mn

n€Z+

f f(t)dt JlW(x)

где - интервал вида [к/тп, (к +1 )/тп„), в который попадает точка х.

Если M(f) G Ll[0,1), то функция / принадлежит Р-ичному пространству Харди Я(Р, [0,1)) с нормой ||/||я = ||M(/)lli-

Аналогичные нормы используются в двумерном случае. Пусть V„ = {/ G L*[0,1) : f(k) = 0,к>п}, п в N. Тогда наилучшее приближении функции f в пространстве X есть следующая величина En{f)x = inf {||/ — inИх : tn 6 Vn) , n 6 N. В двумерном случае наилучшее приближение определяется аналогично.

В двумерном случае будем также рассматривать так называемое приближение углом. Если Vn\ г = 1,2, есть множество f(xi,x2), таких что при фиксированных xjt j = 1,2, j ф i, имеем f(xu х2) 6 Vn, то по определению

АпАЛх = inf {||/ - « - vHx : и € V^-v € P^j .

Здесь либо X = £^[0, l)(i/[0,1)2), 1 < р < оо (в этом случае для краткости будем писать Enrn(f)p вместо EnjJf)LP и аналогично En(f)p вместо En(f)Lp), либо X = #(Р, [0,1)2)(в этом случае для краткости будем писать £„,т(/)н и En(f)H).

Основными результатами главы 1 являются

Теорема 1.2.2. Пусть {а*}^ С С такова, что lim ak = 0 и

/ 4P

ОО / ОО \ ОО

Е k2p~2 J2 |АЧ| ) < 1 < р < оо. Тогда ряд J2 акХк{з:) является

к= I \]=к J k=0

рядом Фурье некоторой функции f € ЩО, 1) и справедлива оценка

(/ оо \ Р оо / оо

n^Ki*+n2'-1 Y11д2а'1 + Е*2р~2 (Е1ЛЧ

\i=n / /t=n \ t=Jfc

Здесь А2а; = а,- - 2ai+1 + ai+2. Теорема 1.2.2 является аналогом результата М. и Ш. Изуми для тригонометрических рядов, где оценивается модуль непрерывности функции через разности ее коэффициентов Фурье первого порядка.

оо

Теорема 1.2.4. Пусть сходится ряд £ |Лаь| 1п(& + 1) и lim ak = О,

k=0 k~J"x

оо

тогда ряд J2 akXk{x) является рядом Фурье функции f € Н{Р, [0,1)) и сходится, к пей в #(Р, [0,1)).При этом

оо

En{f)n<C^\ak-aM\\n{k + l), n е N.

к=п

Результат теоремы 1.2.4 известен в тригонометрическом случае в метрике ¿2л- Здесь используется более сильная метрика пространства Харди.

Теорема 1.3.1. Пусть двойная последовательность удо-

влетворяет условию AW% для некоторого р G (1,оо), то есть ajk —

оо оо

О при maxO'.fc) ->• оо и £ £(m + l)P"2(n + lf'2{dmn)" < оо, где

т-0 n=Q

га оо оа ос

dmn = ¿2 IJ 1дпау| • Тогда ряд ajkXj{x)Xk(y) является рядом Фу-

>=т j—Ti J =0 А=0

рье функции f £ ü>[0,1)2 и для т,п € N справедлива оценка

Km{f)P < С (п^1т"-1<га(а) Ч-пТ1

V к=ш

оо оо оо \

+mt'~1Y,dUw2 + ЕЕ <%№kp-2f-2

j—n j=n k=m /

Здесь Aiiöj-fc = а,,* - aj+itk ~ tyMi + ai+i,fc+i-

oo oo

Теорема 1.3.2. Пусть lim ^ = |Лца,*[ln(j + 2)ln(fc +

j+к-юо j=0jfc=0 oo oo

2) < oo. Тогда ряд J2 J2 ajkXj(x)Xk (у) сходится к функции f в j=оk=0

Н(Р, [0,1)2) и при этом для всех п,т £ N

Епт{1)н <С Y, I 1п0' + 2) I"(к + 2)

max(j-n,k—m)>0 оо оо

Апт(Лн < X) IA11°J*¡ ïnU + 2) Ч* + 2)

j=n A=m

В теоремах 1.3.1 и 1.3.2 используется приближение углом, позволяющее перенести методы оценки наилучших приближений А. А. Конюшкова и других на многомерный случай.

Результаты главы 1 опубликованы в [1}, [2], [8].

В главе 2 изучаются необходимые и достаточные условия принадлежности функции обобщенным пространствам Бесова в терминах ее коэффициентов Фурье.

Пусть a(t) положительная на [0,1) и интегрируемая на всех [5,1), S > 0, функция, для которой выполнено <52-условие

s 2 s i

J a(t)dt <C J a(t)dt <C J a(t)dt, 5 € ( 0, ^ .

Í/2 S S

Пусть для / е £"[0,1), 1 < р < оо, по определению ui*(f,t)p =

sup ||/(- ®h) - /(-)||р. Если величина 0<h<t

1(Р,0,а)= ^J a(t){w-(f,t)pfdtj

конечна, то / принадлежит классу Бесова В(р, 0, а). Аналогично определяются 1(Н, в, а) и В(Н, в, а). Классы В(р, 9, а) являются аналогами классов, введенных М.К.Потаповым. В В(0,р,а) можно ввести норму

ll/¡W,P.a) = ll/llP + W

Введем следующие обозначения:

i A i/mi., i

А(г)= J a(t)dt ,n(i) = J a(t)dt ,/3(г)= J a(t)dt ,ie N,

i/C+i) i M !/(•+!)

Основными результатами главы 2 являются Теорема 2.3.5. 1) Пусть 2 < р < оо, / £ LP[0,1), в > 0. а) Если 0/р > 1 и сходится ряд 53 ^(к)

feB(p,e,a).

оо i „ |0

Если 0 < 0/р < I и сходится ряд £ /3(/г) |/(fc)| fc*"29/?, то f е В(р,в,а).

2) Пусть 1 < р < 2, / 6 L"[0,1), 0 > 0.

оо I „ 10

а) Если в > 2 и сходится ряд J2 Mk)l~0/2P(k)0/2\f(k)\ , то f е Bip,в,а).

б) Если в <2 и сходится ряд /?(&) |/(Л)| , то f е В(р, в,а).

Теорема 2.3.6. Пусть Í < р < оо, в>1, f е В (0,р,се). Тогда а) При 1 < р < 2 и в/р > 1 сходится ряд £ /3(к) |/(fc)| кв'2в/р.

ОО Л

б) При 1 < р < 2 и в/р < 1 сходится ряд £

fc=i

ОО | _ 10

sj При р > 2 и в > 2 сходится ряд 53 /3(Л) /(fc) .

^Оо' I „ 10

г) Прир> 2 ив <2 сходится ряд £ Л{к)х~°12 [i{k)el2 |/(/с)| •

Достаточные условия принадлежности сумм тригонометрического ряда классам Бесова-Потапова были изучены М. Беришей, аналогичные необходимые условия установлены им же. Аналогами этих результатов являются теоремы 2.3.5 и 2.3.6.

оо

Теорема 2.3.9. Пусть £ |at| < °о> в > 0, 1 < р < оо, / g Ьг[0,1)

к=0

такова, что f(n) = ak при единственном щ G [тк,тпк+1), к € Z+ и f(n) = 0 при остальных п е [rn/t, mk+i). Тогда включение f е В(р,в,а) влечет

со g

а) сходимость ряда 53 P(mk — 1) |Qfc! при в >2 и

к=i

б) сходимость ряда £ {^{к))1"0'2 рв/2(тк - 1) |akf при 0 < в < 2.

Обратно.

оо в

ej Яз сходимости ряда 53 fi(mk — 1) при 0 < в < 2 и к=1

г) из сходилюсти ряда 53 ((¿(к)У~в/2 Р°/2(тк — 1) \ак\° при в >2 к=i

следует f е В(р,в,а).

Через С*[0,1) обозначим замыкание множества всех полиномов по системе в равномерной норме Ц/JU = sup,6[0>1)\f(x)[. Пространство В {в, оо, а) определяется аналогично В {в, р,а).

Теорема 2.3.10. Пусть в > 0,/ е С*[0,1) удовлетворяет условию теоремы 2.3.9, причем ак > 0 и a(t) такова, что /3(тпк-1) х ц(к), к € N.

Тогда / е В (оо, а) в том и только том случае, когда £ /i(fc) |ai|e < оо.

Изучение условия принадлежности классам Бесова-Потапова сумм лакунарных тригонометрических рядов или рядов с монотонными коэффициентами начато М. К. Потаповым и М. Беришей для классических пространств Бесова. Теоремы 2.3.9 и 2.3.10 являются развитием этих результатов для мультипликативных систем.

Результаты главы 2 опубликованы в [4] и [5].

В главе 3 приводятся аналоги упомянутых выше результатов Г. Лоренца, С. Алянчича и М. Томича для двойных рядов по мультипликативным системам.

Введем следующие величины

( оо оо \ / п m \

ЕЕ МП • ^) = (ЕЕ|/(м)Г)

Up

Пусть Auvf(x, у) = /(х © и, у фу)- f{x Фи, у)- f(x, y®v) + /(х, у) Тогда для / е D>[0,1)2, 1 < р < оо, полагаем

"Ш)Р = sup{||Дц„/||р : 0 < и < ml0 < v < m,"1}, k, I e

Пространство С*[0,1)2 определяется аналогично С*[0,1). Основными результатами главы 3 являются

Теорема 3.2.1. а) Пусть / е £"[0,1)2, 2 < V < оо или / е

С'[0,1)2(г/ = оо) и сходится ряд £ £ (Ц, (/)„)" (т*™,)1"*/», 1 < р < 2

А=0 /=0

п,—U i ■ U

ОО ОО I л .р

Тогда сходится ряд £ £\f(i,j)\ и справедлива оценка

ОО ОО

<(р) <<?ЕЕШЛ,У(rnkmiy-^, г,sez

k=r

б) Пусть {<*;ы}^=0 - двойная последовательность, убывающая по к и по

I и сходящаяся к нулю, для которой сходится ряд £ Е^Дт^т,)1^2 и

*=01=0

оо оо

выполняется аналог условия Бари 53 Е^и = 0(шгз), г,«6 Тогда

к=г 1=з

существует /о е С*[О, I)2, такая что Цц(/)оо < С^'/а, /с, / € и

оо оо

<т?.(р) > С X) Е <4Аткш{)^!\ г, 5 6

Теорема 3.2.3. 1) Яусшъ 1 < р < 2, / е ¿"[О, I)2, 2 < г/ < оо, тог&г

¿тг- 1,га.-1(р,/) < (г^т,)1^2.

2) Пусть 1 < р < 2, убывает по к и по I, шы > 0 при

оо оо

всея /с, 2 6 Если ряд расходится и выполняет-

к=о (=о

ся условие типа Бари (3.2.3), то найдется /о 6 С*[0,1)2, такая что шы(/о)оо < С^ы, Л,' е и

Г 3

¿тг- 1,т.-г(р, /) ^^(ш.т,)1^2, г, 5 е N.

*=1 (=1

Часть а) теоремы 3.2.1 и часть 1) теоремы 3.2.3 являются аналогом результатов Л. П. Кагадий для двойных тригонометрических рядов. Более существенными являются части б) и 2) этих теорем, где утверждается неулучшаемость оценок из частей а) и 1) соответственно.

Теорема 3.2.4. Пусть 1 < р < 2, 1/р + 1/д = 1, / € С*[0,1)2 и аГЗ(р) = 0(и!гз), г, в € где убывает по к и по I, шы > 0.

оо оо

Если ряд 53 сходится и

к=о 1=0

оо оо /с=г

то

"«(/)» = О (шы^кш,)1'«) , ыЬ(/)„ = 0(ыы), к, I 6 г+.

Теорема 3.2.4 представляет собой пример обратной теоремы Лоренца, которая по убыванию сумм из коэффициентов Фурье устанавливает принадлежность функции классам типа Гельдера.

Результаты главы 3 опубликованы в [2], [3], [6], [7].

В заключение автор выражает глубокую благодарность кандидату

физико-математических наук Сергею Сергеевичу Волосивцу за научное

руководство, постановку задачи и постоянную помощь и поддержку при

выполнении данной работы.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Volosivets S. S. Estimâtes of best approximations in intégral metrics and Fourier coefficients vvith respect to multiplicative systems. / S. S. Volosivets, R. N. Fadeev // Analysis Mathematica. - 2011. - Vol. 37, no. 3. -Pp. 215-238.

[2] Фадеев P. H. Аналоги теорем Лоренца для двойных мультипликативных систем. / Р. Н. Фадеев //Изв. вузов. Матем. 2012. №2 С 76 85.

[3] Фадеев Р. Н. Равномерная сходимость рядов по мультипликативным системам. / Р. Н. Фадеев //Саратов, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.— 2013,— Т. 13, №1 ч 1 -С. 76 85.

[4] Фадеев Р. Н. Необходимые и достаточные условия принадлежности классам Бесова-Потапова и коэффициенты Фурье по мультипликативным системам. / Р. Н. Фадеев //Саратов, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.— 2012.— Т. 12 №4 — С. 41 48.

[5] Фадеев Р. Н. Необходимые и достаточные условия принадлежности обобщенным классам Бесова. / Р. Н. Фадеев //Саратов, Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. научн. Сборник — 2012. - Вып. 7 — С. 9-21.

[6] Фадеев Р. Н. О некоторых условиях абсолютной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам. / Р. Н. Фадеев //Саратов, Математика. Механнка. Сб. науч. тр. — 2008. — Вып. 10. — С. 81-83.

[7] Фадеев Р. Н. Условия выполнимости равенства Парсеваля для рядов Фурье-Уолша. / Р. Н. Фадеев //Саратов, Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. научн. Сборник. — 2008. — Вып. 5. — С. 17-24.

[8] Фадеев Р. Н. Оценки кратных коэффициентов Фурье-Виленкина. / Р. Н. Фадеев //Саратов, Математика. Механика. Сб. науч. тр.— 2013. Вып. 15. С. 89 91.

Работы [1] - [4] опубликованы в журналах, включённых в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание учёной степени кандидата наук.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

• Оценки сверху наилучшего приближения функции в пространстве //[0,1) и пространстве Харди #(Р, [0,1)) в терминах ее коэффициентов Фурье и их разностей.

• Оценка сверху наилучшего приближения функции и ее приближения углом в пространстве Харди #(Р, [0,1)2) в терминах ее коэффициентов Фурье и их разностей.

• Необходимые и достаточные условия принадлежности функции / 6 £^[0,1) обобщенным пространствам Бесова В(р, в, а) в том числе для лакунарных рядов и рядов с обобщенно монотонными коэффициентами.

• Неулучшаемые оценки некоторых сумм коэффициентов Фурье функции / е ¿^[О, I)2, 2 < р < оо через ее модуль непрерывности.

Подписано в печать 19.01.2015. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать RISO. Объем 1,0 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 05.

Отпечатано с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство № 3117 410600, Саратов, ул. Московская, д.152, офис 19, тел. 26-18-19, 51-16-28