Сетевые пространства и их приложения к задачам гармонического анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Г л а в а I. Многопараметрический интерполяционный метод.

§1.1. Функционал Ф^.

§1.2. Многопараметрическая интерполяция

§1.3. Пространство Лоренца LPq, q = (gi,., qn) и теоремы о реитерации

§1.4. Интерполяция билинейных отображений.

§1.5. Теорема Овчинникова для билинейных отображений

Г л а в а II. Сетевые пространства.

§2.1. Сетевые пространства. Определение, свойства

§2.2. Интерполяционные свойства сетевых пространств

NPq(M)

§2.3. Некоторые аналоги и обобщения сетевых пространств

§2.4. Анизотропные сетевые пространства NP4(M) и пространства Lpq, р = (рь . ,рп), q = (qh ., qn)

§2.5. Интерполяционные теоремы для анизотропных пространств

§2.6. Интерполяционный метод для анизотропных пространств

Глава III. Неравенства типа Харди - Литтлвуда

Пэли.

§3.1. Об интегральных свойствах тригонометрических рядов с коэффициентами из пространства Лоренца lpq при р > 2.

§3.2. Свойства суммируемости коэффициентов Фурье функции из пространства Лоренца Lpq(ТГП), при р >

§3.3. Об интегральных свойствах тригонометрических рядов с коэффициентами из анизотропного пространства /pq при р > 2.

§3.4. Необходимые условия принадлежности функции / пространству Lpq(Tm) при р>2.

§3.5. Достаточные условия принадлежности функции / пространству Lpq(Tm) при 1 < р < 2 и при 2 < р<оо.

§3.6. Теорема Харди-Литтлвуда для ортогональных рядов

§3.7. Теорема Харди-Литтлвуда для кратных ортогональных рядов.

Глава IV. Операторы свертки и мультипликаторы

Фурье

§4.1. О нижней оценке нормы интегрального оператора свертки.

§4.2. Об оценках нормы интеграла типа потенциала в весовых пространствах Лебега.

§4.3. О нижней оценке мультипликаторов преобразования Фурье из M(LP —>■ Lq)

§4.4. О сходимости частичных сумм по гармоническим отрезкам.

§4.5. Об ограниченности частичных сумм тригонометрических рядов Фурье.

§4.6. Мультипликаторы рядов Фурье.

§4.7. Интегральные операторы в сетевых пространствах.

Неравенство типа Юнга-О'Нейла.

Используемая литература

Теория функциональных пространств и неразрывно связанная с ней теория интерполяции операторов являются мощными методами в исследовании уравнений в частных производных, теории рядов Фурье, теории приближений, теории операторов и других разделов математики. Современное состояние этих направлений и их применение отражены в г-вестных монографиях [23], [41], [9], [6], [72], [36], [30], [79], [80], [82], [40], [110], [12] и других.

Диссертационная работа посвящена развитию интерполяционных методов функциональных пространств и их приложениям к задачам гармонического анализа . Основная идея этой работы связана с введением новых пространств Мрд(М), названных сетевыми. Данные пространства, в отличии от пространств Лебега, весьма чувствительны к распределению особенностей функции, имеют хорошие интерполяционные свойства. Эти свойства сетевых пространств используются при исследовании коэффициентов Фурье, мультипликаторов Фурье, интегральных операторов.

Первая половина работы (главы 1-Н) посвящена построению метода исследования. Здесь отметим следующие результаты:

1. Введен метод многопараметрический интерполяции, который является обобщением вещественного метода Лионса и Петре. Данный метод порождает пространство Лебега зависящее от векторного параметра д = (дь.д«) и р. Эти пространства обобщают пространство Лоренца Ьрд и замкнуты относительно вещественного интерполяционного метода (все известные шкалы пространств не обладают этим свойством).

Полностью решена задача реитерации для вещественного интерполяционного метода, а именно, описаны пространства (Ьрдо, ЬРЯ1)аг и {АвЧо,АвЧ1)аг в недиагональном случае 1 ¡г ф (1 — ог)/до + сг/д1.

Уточнена теорема Лионса и Петре [102] об интерполяции билинейных отображений.

2. Введены сетевые пространства ]Ур?(М), анизотропные сетевые пространства АГРЧ(М) и анизотропные пространства Ьрч(Кт). На основе идей работ Фернандеса [93], [94] (см. также [113], [89]), развиваются интерполяционные методы для анизотропных пространств. Изучены интерполяционные свойства введенных пространств.

Вторая половина работы (главы III-V) посвящена решению некоторых задач гармонического анализа . Приведем постановки этих задач.

Задача А. Зависимость интегральных свойств функции / от свойств суммируемости ее коэффициентов Фурье по тригонометрической системе хорошо известна. Наиболее ярким подтверждением этого факта является равенство Парсеваля: для функции / Е ¿2 имеет место равенство 0 где а^-ее коэффициенты Фурье по полной ортонормированной системе. Если же р ф 2, то такого абсолютного результата нет. Так, при р > 2 верны неравенства или, < ^ fe(l*l + ^M«^) > где p' < 9 < я k=l носящие названия Харди-Литтлвуда, Хаусдорфа-Юнга, Питта, Пэли. Имеются и другие подобные неравенства [105], [13], [100],[76], [77], [29], [85], [22], [70], [71].

Известно также, что ни одно из упомянутых неравенств не обращается ([82]), и более того, согласно теореме Карлемана, существует непрерывная функция /, что для любого е > 0 ряд из ее коэффициентов Фурье по тригонометрической системе ^^ \f(k)\2~£ = оо.

Нижние оценки для функции / из Lp при р > 2 доказаны лишь при дополнительных условиях монотонности.

Здесь известна теорема Харди и Литтлвуда Теорема Пусть 1 < р < оо, р' = р/(р - 1). Если а = -монотонно невозрастающая, стремящаяся к нулю последователь

СО ностъ, fix) = ak cos якх , то для того чтобы / Е Lp[ 0,1], необхо-k=l димо и достаточно, чтобы последовательность а = {dk\kL\ принадлежала пространству Лоренца 1Р>Р.

Этот результат на пространство Лоренца и более общие симметричные пространства обобщены в работах Б.М.Семенова [69], А.Б.Гули-сашвили [16], У.Загбера [115], В.А.Родина [67],[66].

Теорему Харди - Литтлвуда для системы Уолша доказал Ф.Мориц [106] и для мультипликативной системы М.Ф.Тиман и К.Тухлиев [77].

В.А.Кокилашвили [26] для тригонометрических рядов ослабил условие монотонности, заменив его на условие квазимонотонности. Для рядов по мультипликативной системе с квазимонотонными коэффициентами теорему Харди - Литтлвуда доказал Г.А.Акишев [1].

Для кратных тригонометрических рядов проводили исследования

Ф.Мориц [106], М.И.Дьяченко [18],[19]. Ф.Мориц показал, что если коэффициенты а = Удовлетворяют условиям акгк2 > 0, Аюа*1*а > 0, А01 акгк2 > 0, Ацак1к2 > 0, то условие / £ Ьр, 1 < р < оо эквивалентно сходимости ряда

00 оо

Е Е *Г2*Г2кАГ (0-1) к1=1 к2=1

Если же коэффициенты а = {ак^}^^^ монотонны по каждому переменному индексу то, как показал М.И.Дьяченко [18], сходимость числового ряда (0.1) эквивалентна / £ ЬР(Т2) лишь при 4/3 < р < оо (в случае 2 ^ п, при < р < оо ).

Возникают следующие вопросы:

1) При п ^ 1, 2 < р < оо какие условия (существенно зависящие от параметров р и д) для коэффициентов Фурье по тригонометрической системе являются необходимыми для принадлежности функции / пространству Лоренца Ьря ?

2) При п ^ 1, 1 < р < 2 какие условия (существенно зависящие от параметров р и д) для коэффициентов Фурье по тригонометрической системе являются достаточными для принадлежности функции / пространству Лоренца Ьрч ?

3) Можно ли расширить класс рядов с монотонными коэффициентами с тем , чтобы сохранялось утверждение теоремы Харди-Литтлвуда?

4) Неравенства Харди-Литтлвуда для кратных тригонометрических рядов в анизотропных пространствах Лоренца?

5) Каким условиям должна удовлетворять ортогональная система, чтобы для нее имела место теорема Харди-Литтлвуда ? Вопросы 1)-4) для общих ортогональных рядов ?

Задача В. Пусть Л = {Лк]к&п ~ последовательность комплексных чисел. Будем говорить, что Л £ шр, т.е. является мультипликатором

Фурье в если для функции / Е Ьр(Тп) с рядом Фурье ^Г^ ¡{к)егкх к£Ъп найдется функция /д из Ьр(Тп), ряд Фурье которой совпадает с рядом

У^ Хк/(к)е{кхи оператор ТА/ = /л ограничен в Ьр{Тп). тр - линейное к&п пространство с нормой

Теория мультипликаторов рядов Фурье имеет своим истоком теорему М. Рисса [23], где показано, что характеристическая функция ха, когда А - отрезок из Ж, является мультипликатором в £р[0,2я"), т.е. где С не зависит от выбора отрезка А из Ъп и функции / из Ьр{Т").

В общем же случае, когда А -произвольное конечное подмножество в Zn, константа С в (0.2) будет зависеть существенно от геометрических свойств множества А.

Когда А - есть шар, константа С в (0.2) исследована Бабенко К.И. [3], Алимовым Ш.А., Никишиным Е.М., Ильиным В.А.[2], Митягиным Б.С. [39], [38], Кордобой А. [90]. Наиболее полное исследование проведено Юдиным В.А.[83], где показаны оценки с точностью до логарифмического сомножителя.

В 1939 г. Марцинкевич в работе [104] получил следующую теорему о мультипликаторах рядов Фурье:

Теорема. Пусть 1 < р < сю, Л = {Лга}ше^ -последовательность вещественных чисел, удовлетворяющих условию

А||тр = ||Га||^

0.2) тогда А - мультипликатор в Ьр[0,2тт) и оо,

А||тр^о(А).

В теореме Марцинкевича условия на последовательность А одинаковы для всех 1 < р < оо, т.е. не зависят от параметра р.

В диссертационной работе рассматриваются следующие вопросы:

1) Для каких еще множеств А кроме отрезков из Z" имеет место утверждение теоремы об ограниченности частичной суммы, т.е. верно соотношение (0.2)?

2) Как константа С из (0.2) зависит от параметра р и конструктивных свойств множества А, а именно, изучается зависимость от N из представления А = Uk=ihi где Ik Е М - некоторый класс конечных подмножеств Zn для которых имеет место (0.2)?

3) Получение достаточных условий для принадлежности Л пространству шр, которые бы существенно зависели от параметра р7 Эта проблема для преобразования Фурье обсуждалась в книге И.Стейна [74].

Задача С. Пусть М.п - n-мерное евклидово пространство. Рассмотрим интегральный оператор свертки

А/)(®) = J К(х — y)f{y)dy = К * f

Ж" действующий из Lp в Lq, где Lp = Ьр(Шп) - пространства Лебега.

При 1 ^ р ^ q ^ +оо, согласно неравенству Юнга имеем, что \\A\\Lp^Lq ^ \\K\\Lr, где i = 1 - i + i. Но данное достаточное условие невозможно применить для операторов со степенным ядром К(х) = |ж|-7, 0 < 7 < п.

Согласно неравенству Харди - Литтлвуда оператор

Af(x) = У

Ж" является ограниченным тогда и только тогда, когда ^ = 1 — ^ +

В последствии О'Нейлом [108] было доказано неравенство IHUp>Lg < С • \\K\\roo (1 < V < Ч < +со, J = 1 - i + i, Lroo - пространство Марцинкевича), которое дает более тонкое, чем неравенство Юнга, достаточное условие ограниченности интегральных операторов свертки и охватывает неравенство Харди-Литтлвуда ([8]). Одной из трактовок неравенства О'Нейла является следующая оценка:

A\\Lp^Lq < C(p,q) sup . |1/р1/в е где Е-множество всевозможных ограниченных измеримых по Лебегу подмножеств К", |е|-мера Лебега множества е.

Аналогично для мультипликаторов преобразования Фурье из Ьр(Жп) в Ьр(Мп), Хермандером [81] была получена верхняя оценка: 1 < р ^ 2 ^ д < со

1)Возникает вопрос о нижних оценках нормы операторов из (0.3) и (0.4). (Как показано в данной диссертационной работе, если вместо множества Е взять некоторое более узкое множество , то неравенства (0.3),(0.4) обращаются.)

2) Обобщение неравенства О'Нейла для интегральных операторов общего вида.

Диссертация состоит из введения , четырех глав и списка литературы. Нумерация теорем трехзначная : первое число означает номер главы , второе - номер параграфа, третье - собственный номер теоремы. Нумерация формул внутри каждого параграфа своя. Объем работы 206 страницы. Библиография состоит из 115 наименований.

1. Акишев Г.А. Об условиях сходимости рядов из коэффициентов Фурье по мультипликативным системам.// Деп КазНИИНТИ, 1991, №3343, 19 С.

2. Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. 1Ц УМН. 1976. Т.31, №6. С.28-83.

3. Бабенко К.И. О сходимости в среднем кратных рядов Фурье и асимптотике ядра Дирихле сферических средних//Препринт №52. ИПМ АН СССР. М., 1971.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

5. Бекмаганбетов К.А. О связи методов комплексной и многопараметрической интерполяции //в сборнике "Современные вопросы теории функции и функционального анализа", Караганда 1996. С. 32-39.о о

6. Берг И., Лефстрем И. Интерполяционные пространства. Введение. М., Мир, 1980, С.264.

7. Берниязов Е.Е. Мультипликаторы Фурье в пространствах Лоренца и Бесова. // Алматы, дисс. к.ф.м.н., 1996, 97 С.

8. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегралъые представления функций и теоремы вложения. М.:Наука, 1975, 480 С.

9. Бесов О.В. К теореме Хермандера о мультипликаторах преобразования Фурье. // Труды МИАН СССР, 1986,т. 173.

10. Бесов О.В. Применение интегральных представлении функции к интерполяции пространств дифференцируемых функции и мультипликаторов Фурье. // Труды МИАН СССР, 1989,т.187.

11. Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Функторы вещественной интерполяции. Докл. АН СССР,1981, 256, №1, С.14-17.

12. Брудный Ю.Я., Крейн С.Г., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. Итоги науки и техники. Математический анализ. М., ВИНИТИ, 1986, т. 24, С. 3-163.

13. Бугров Я.С. Суммируемость преобразовании Фурье и абсолютная сходимость кратных рядов Фурье. // Труды МИАН СССР, т.187, 1989, С.22-30.

14. Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. О свойствах сумм тригонометрических рядов с монотоными коэффициентами.// Вестник МГУ, серия 1 1995, №3, С.22-32.

15. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М.: Наука, 1987 С.327.

16. Гулисашвили А.Б. Тригонометрические ряды с монотонно убывающими кодфициентами и функциями распределения, // Матем. заметки т.Ю, №1,1971 С.3-10

17. Дмитриев В.И., Овчинников В.И. Об интерполяции в пространствах вещественного метода. // Доклады АН СССР 2^6, 19?2, Ш, С.794-29?.

18. Дьяченко М.И. О сходимости двойных тригонометрических рядов и рядов Фурье с монотонными коэффициентами.// Математический сборник. 1986, 129(171), №1, С. 55-72.

19. Дьяченко М.И. Кусочно-монотонные функции многих переменных и теорема Харди-Литллвуда. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1991, 55№6, С. 1156-1170.

20. Дьяченко М.И. Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах Ьр.// Матем. сборник, 1993. Т.184, N 3, С.3-20.

21. Дьяченко ММ.Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов // Успехи Матем. Наук т. 47, вып. 5(287) С.97-162.

22. Жантлесов Ж.Х., Смаилов Е.С. Двумерный аналог теоремы Харди Литллвуда по мультипликативной системе. // АН Каз-ССР, Сер: физ.-мат., №3, Деп в ВИНИТИ, №3494.

23. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М., Мир, 1965, т.И, С.1-537.

24. Канторович JI.В., Акилов Г.П. Функциональный анализМ.: Наука, 1984,751 С.

25. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. // М.: Наука,1984.26