Экстремальные задачи в некоторых классах двумерных гармонических отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Ступин Денис Леонидович

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ДВУМЕРНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

специальность 01.01.01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов, 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Тверского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Владимир Георгиевич Шеретов Научный консультант: кандидат физико-математических наук,

доцент Сергей Юрьевич Граф

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Кемеровский государственный университет

на заседании диссертационного совета К 212.243.02 в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83, механико-математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ

профессор Дмитрий Валентинович Прохоров кандидат физико-математических наук, доцент Василий Петрович Чуев

Защита состоится

2005 г. в часовминут

Автореферат -^.¿ил 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-м; ких

наук, доцент

Владимир Викторович Корнев

-г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В геометрической теории функций комплексного переменного одно из центральных мест занимают вопросы, связанные с решением различных экстремальных задач в классах конформных, квазиконформных и гармонических отображений. Они стимулировав ли развитие эффективных методов аналитического исследования: площадей и контурного интегрирования, вариаций, модулей и экстремальных длин, параметрических продолжений и оптимального управления, симметризации, структурных формул и других.

В диссертации вводятся подклассы класса Каратеодори, классы типа Каратеодори, разнообразные подклассы звездных однолистных функций, классы локально однолистных гармонических и логгармонических отображений круга, представимых структурными формулами. Рассматриваются актуальные, в свете изложенного, задачи об оценке модулей коэффициентов, задачи об искажении и о вычислении обобщенных констант Кебе для функций перечисленных классов. Затрагивается также известная проблема Кшижа, и доказывается ее локальная справедливость.

Целью работы является решение поставленных экстремальных задач, а также связанных с ними вопросов.

Методика исследований состоит в специализациях метода структурных формул В.Г. Шеретова. Параллельно используются и все основные методы ТФКП.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все изложенные в этой диссертации результаты, за исключением Введения, параграфа 5 и начала параграфа 12, содержащих обзорный и вспомогательный материал, являются новыми.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

* характеризация множества крайних точек класса функций, удовлетворяющих лемме Шварца;

* точные оценки модулей тейлоровских коэффициентов, теоремы искажения и покрытия для подклассов класса Каратеодори С и обобщенных классов Каратеодори; связь обобщенных классов Каратеодори с классами конформных отображений;

* теоремы искажения и покрытия для симметричных подклассов класса

звездных функций; оценки модулей тейлоровских коэффициентов и других функционалов на упомянутых классах;

* локальная справедливость гипотезы Кшижа;

* вывод структурной формулы для классов логгармонических отображений; применение метода структурных формул к получению теоремы искажения, точных оценок начальных коэффициентов локально однолистных логгармонических отображений, генерируемых функциями класса Кара-теодори С; вычисление обобщенной константы Кебе, оценка коэффициентов квазиконформности; применение метода структурных формул к получению точных оценок всех коэффициентов локально однолистных гармонических отображений, генерируемых функциями подклассов класса 5 и функциями из обобщенных классов Каратеодори С\А,В]\ вычисление обобщенной константы Кебе, оценка коэффициентов квазиконформности;

* исследование классов двумерных гармонических отображений единичного круга в евклидовы пространства; выделение подклассов функций, первая характеристика Лаврентьева которых субгармонична; пример, показывающий, что эта характеристика не всегда субгармонична.

Работа носит теоретический характер, поэтому ее результаты могут быть востребованы в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и смежным разделам математики, а также в тех прикладных вопросах, где используются конформные, квазиконформные и гармонические отображения.

Апробация работы. Основные результаты реферируемой диссертации были представлены на: 11-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2002); "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск 2002;

Шестой Казанской международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (2003); Международной конференции "Колмогоров и современная математика". Мех. мат. МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва 2003;

12-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2004);

Школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения" Волгоград 2004.

В целом работа доложена в 2004 и 2005 годах на научном семинаре кафедры математического анализа Тверского государственного университета (рук. проф. В.Г. Шеретов), на семинаре по геометрической теории функций в Саратовском государственном университете — СГУ (рук. проф. Д.В. Прохоров) и на объединенном научном семинаре кафедр механико-математического факультета СГУ (рук. проф. А.П. Хромов).

Диссертационные исследования поддержаны грантом РФФИ (проект 04-01-00368).

Публикации. Основные результаты диссертационных исследований с достаточной полнотой опубликованы в 5-ти статьях и 6-ти тезисах. Список этих публикаций дан в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав основного текста, содержащих 11 параграфов, заключения, приложения, содержащего 2 параграфа, и изложена на 127 страницах. Список использованной литературы включает 74 наименования. Нумерация параграфов — сквозная, нумерация теорем — по параграфам.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Многие теоремы сформулированы в упрощенной форме.

Введение. Во введении характеризуются научное направление, проблематика и применяемые методы. Обоснована актуальность исследовав ний, их новизна, сформулирована цель работы.

Глава 1. Метод структурных формул для классов конформных отображений состоит из четырех параграфов.

§1. Оценки на классе функций, удовлетворяющих лемме Шварца.

Обозначим символом П семейство функций, голоморфных в единичном круге Д := {г € С : |г| < 1} и нормированных условиями ш(0) = 0, \ш(г)\ <1, г е Д.

Справедлива

Теорема 1.1. 1) Функции вида и^Дг) = где (р 6 К, к е М,

являются крайними точками П.

2) Если функция ш(г) такова, что ш(А) С А, то она не является крайней точкой П.

3) В классе О существуют крайние точки, не входящие в множество, описанное в первом пункте теоремы.

§2. Обобщенные классы Каратеодори.

Класс Каратеодори С состоит из голоморфных в единичном круге функций Я с нормировкой Н(0) = 1, КеН(г) >0, г 6 Д.

При фиксированных А и В, —класс С (А, В) состоит

из голоморфных в единичном круге функций вида Н(г) = т—тг^гт,

1 4- Вш(г)

сгенерированых функциями ш(г) € П.

Пусть р(г) е С(А, В). Обозначим через С(А,В,Ь), Ь е С, Ь ф 0, множество функций /1(2), генерируемых из р(г) по формуле

Цг) = Ь(р{г) - 1) + 1. (2.7)

Теорема 2.1. Множество значений функционала 1(Ь) = ^(20), где го 6 Д и фиксировано, на классе С{А,В,Ь) ('при фиксированных параметрах) представляет собой круг

Г 1-(Ь(Л-Д) + В)ДЫ2 |го| 1

Г' 7--ГГвад- ^^-^ГГвад/-

Теорема 2.2. Множество значений функционала 1(Ь) = {/г}„, для всех п € N на классе С(А,В,Ь) представляет собой круг

{I : |/|<|Ь|(Л-В)}. При Ь = А = —В = 1 теоремы 1 и 2 дают классические результаты для класса Каратеодори.

Рассмотрим класс М[а,Ь\, представляющий собой совокупность всех монотонно неубывающих на [а, 6] функций /л(£) таких, что

ц(Ь) - ц(а) = 1, р(а) = 0. Семейство функций, генерируемое из функций /л, € М[0,27г] по формуле типа Рисса-Герглотца

2тг

/1 Л- Арг*гР

ТТв^Гр <2ЛЗ>

о

при фиксированных А, В, р, обозначим через СР[А, В]. Теорема 2.3. Пусть Н£СР[А,В], тогда

21Г

{Ь}пр = (А- В)В"~1 у е'п< (2.14) о

КМ пр\$(А-В)\ВГ-\ (2.15) °° А — И

Екл}»| (2Л6)

П=1 ' '

Оценки (2.15) и (2.16) точны (оценки (2.15) точны сразу для всех коэффициентов при всех А и В ). Экстремальны только ядра представления (2.13).

При А = —В = 1, р = 1 формула (2.13) превращается в известную формулу Рисса-Герглотца.

Совокупность функций, соответствующих функциям класса С по формуле

М*) = <4+ (!-«)/(*)> «е[о,1], л,/ее, (2.18)

обозначим символом С".

Теорема 2.6 (искажения). Если Н е Са, а е (1/2,1), то имеет место точная оценка

\к'(г)\ > 2(2а - 1)/ ^ ~г\)2+' > 0.

1 + г 1 + е"*гк Все экстремали: /1^(2) = «---Н(1 —аг)--^ к , к £ М, <р € [0,27г).

§3. Связь обобщенных классов Каратеодори с классами локально однолистных отображений.

Множество всех голоморфных в единичном круге функций к(г), нормированных условиями Л(0) = 1, / 0, называется классом УУ.

Множество всех локально однолистных конформных в Д отображений /(г) с нормировкой ДО) = 0, /'(0) = 1 называется классом 5. Подмножество функций из 5 таких, что /(г) = 0 если и только если г = 0, называется классом 5о.

Теорема 3.1. Формула

И

где /г € УУ, / € 5у, устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами УУ и Бц.

При каждом р 6 N класс 5Р — множество всех функций / класса 5, отображающих Д на области с р -кратной симметрией вращения относительно начала координат, то есть таких, что /(е27"^рг) = е21Г'/р/(,г).

Определим подклассы.

Классом 5* (А, В, Ь) называется множество функций /, генерируемых по формуле (3.1) из отображений к € СР(А,В,Ь).

Классом 3*[А,В,Ь] будем называть множество функций /, генерируемых по формуле (3.1) из отображений к е СР[А, В, 6].

Обозначим т := (А — В)|6|.

Теорема 3.10. Пусть / е Б*(А, В, Ь), тогда

|{/Ьр+1| < £ £ |{/}«-1)р+1| ^ ¿т п<™+(3-18) " 1=1 Р ' 1=0

При р = 1 формула (3.18) упрощается и переходит в формулу для несимметричных подклассов. Если дополнительно положить А — —В = 1, то получим хорошо известные точные оценки на классе звездных функций.

Теорема 3.11. Пусть / е 8*[А,В,Ь], р € К, тогда имеют место точные оценки

к к—1

|{/ьр+1| < £ £в«*-«'-1»'|{/}(,-1)р+1| < ¿т п(т + (з-19)

Р 1=1 Р ■ ¡=0

обобщающие оценки на классе звездных функций.

Замечание 3.1. В классах СР(А, В,Ь) не при всех А и 5 есть функции, для которых оценки теоремы 2.2 точны сразу для всех коэффициентов. Это влечет неточность оценок (3.18). В остальных случаях оценки точны.

В классах СР\А, В, Ъ] при всех А и В есть функции для которых оценки теоремы 2.2 точны сразу для всех коэффициентов. Это влечет точность оценок на классах 8*[А,В, 6]. Экстремалями являются только обобщенные функции Кебе, ассоциированные по формуле (3.1) с ядрами интегрального представления (2.13).

Теорема 3.14. Множество значений функционала /(/) = /(г), где г € Д и фиксировано, на классе Б" [А, В\ (при фиксированных параметрах А и В ф 0 ) представляет собой замкнутое кольцо

¡1--——г—лпг \.

[ (1 -Вг)^в- (1 + Вг)—)

Следствие 3.4. Эта теорема, в частности указывает на то, что при В ф —1 функции класса 5*[Л,5] равномерно ограничены (по модулю) сверху числом

МА,В:=-Вф 0, Мл,0:=еА, 5 = 0,

(1 + В)-=г

то есть справедливо включение 3*[А,В] С 3*Млв, причем обратное включение не имеет места.

Из предыдущей теоремы и формулы (3.1) следует

теорема 3.15 (об искажении). Множество значений функционала /(/) = /'(г), где г € А и фиксировано, на классе 5*[Л,В] (при фиксированных параметрах А и В ф 0) представляет собой замкнутое кольцо

// ■__< | л <_1±±_\

Из теоремы 3.14 вытекает

Теорема 3.16 (о покрытии). Множество значений любой функции /(г) € 5*[Л, В] (при фиксированных параметрах А и В ф 0 ) содержит круг с центром в начале координат и радиусом

Ьлл = (1-В)Атг-.

Экстремальны только обобщенные лучевые функции Кебе, ассоциируемые по формуле (3.1) с обобщенными ядрами Шварца представления (2.13).

Отметим, что при А = —В = 1, то есть когда рассмотрения ведутся в классе С или в классе 5*, теоремы 3.14-3.16 дают классические оценки.

§4.0 локальных экстремалях в проблеме Кшижа.

Класс В состоит из голоморфных в Д функций /, не обращающихся в нуль и таких, что |/(^)| ^ 1, г 6 Д.

В 1968 г. польский математик Ян Кшиж предположил, что если / 6 В,

то

|{/}„| < 2/е, пеК, причем равенство достигается на функциях вида еи1'Р(е1'ргп), где

Сейчас гипотеза Кшижа доказана только до пятого тейлоровского коэффициента включительно. Существование экстремалей в этой задаче очевидно, поскольку после присоединения к классу В функции /(г) = О получается компактное семейство функций.

В литературе имеется результат о том, что Р{гр) дает строгий локальный максимум для Ие {/}р на множестве функций / из В таких, что 0 < /(0) < 1. В диссертации доказано более сильное утверждение

ТЕОРЕМА 4.1. Функции вида е"1'Р(е"('гр), <р, ф £ [0,27т), дают строгий локальный максимум для функционала /р[/] := |{/}р| на классе В.

Глава 2. Метод структурных формул для классов плоских гармонических и логгармонических отображений состоит из семи параграфов.

§5. Определение и локальное представление гармонических и логгармонических отображений и §6. Некоторые классы гармонических и логгармонических отображений являются подготовительными.

Клуни и Шейл-Смолл изучали класс 5д(Д) однолистных элементов из Бц. Класс S°H состоит из всех гармонических, сохраняющих ориентацию локально однолистных отображений u(z) = b{z) + о(г) ( о и Ь — голоморфны) крута Д с нормировкой и(0) = 0, uz(0) = 1, щ(0) = 0.

Заметим, что известный класс 5 однолистных функций и 6 Hol(A) с нормировкой и(0) = 0, и'(0) = 1 содержится в

Введем в рассмотрение голоморфную функцию

U(z) := b(z) + a(z), (6.7)

ассоциируемую с каждым отображением и класса Накладывая на функцию U различные дополнительные ограничения, можно выделять подклассы класса S°H. Потребовав, например, чтобы U 6 5, получим класс §°н изученный В.Г. Шеретовьш.

Возьмем F(z) := g(z)h(z) из локально однолистного класса Каратео-дори С. Обозначим символом C°Lh семейство всех сохраняющих ориентацию комплекснозначных локально гомеоморфных отображений единичного круга Д, представимых в виде / = gh, где g,h € Цо£(А), с нормировкой /(0) = 1, fj(0) = 0 и таких, что F € С.

§7. Структурные формулы для классов гармонических и логгармони-ческих отображений содержит следующие утверждения:

Теорема 7.1. Каждому элементу f = gh класса C°Lh отвечает единственная пара функций F € С и Н £ С.

Обратно, любая пара элементов F £ С и Н 6 С порождает отображение f Е CaLh по формуле

Дг) = ехРи|(1-Я(С))5|^С+§ ¡(1 + Н(0)^ёА . (7.5) \ о о /

Следствие 7.2. Имеют место точные оценки

1 — Г 1 + 7"

1 + г 1 — г

для / 6 и г = гег1р 6 А. Равенство достигается на ядрах Шварца. Имеет место следующая

Теорема 7.2. Любому элементу и = Ь + а класса отвечает единственная пара функций и = Ь + а 6 5 и Н 6 С. Обратно, всякая пара элементов II 6 Б и Н £ С порождает отображение и класса по формуле

г г

о о

Структурные формулы (7.5) и (7.7) устанавливают связь логгармони-ческих и гармонических отображений с известными классами аналитических функций и позволяют свести экстремальные задачи в или к соответствующим задачам в С и 5. Однако, в отличие от класса Ка-ратеодори, класс 5 является мало изученным. Рассмотрим подкласс Зц отображений, представимых по формуле (7.7) с Р £ Б и Н 6 С, а также подкласс 8°н однолистных элементов из Очевидны включения 5 С и 5 С

§8. Оценки для начальных коэффициентов в С°ьк.

Теорема 8.1. Если / = дЬ, £ то начальные тейлоровские ко-

эффициенты функций д и к допускают точные оценки |{р}г| ^ 1, |{ЛЫ < 2, |{Л}2| ^ 3, |{/1}3| < 14/3 и оценку |{3}3| ^ 2.

Экстремали порождаются структурной формулой (7.5) с генераторами Р = Ра, Н = Р/з при подходящих действительных а и /3, где Ри и F^з — ядра Шварца.

Пример 8.1. Взяв в (7.5) ^ = Н - Р0 получаем / = дк € где д(г) = 1 - г2 - §г3 + ... , Цг) = 1 + 2г + Зг2 + + ... .

Приведенный пример показывает, что все упомянутые в теореме 1 оценки точны за исключением оценки для |{д}з|-

§9. Оценки всех коэффициентов в ^"[А^-В^-Аг,^].

Теорема 9.1. Для тейлоровских коэффициентов {Ь}„ и {а}„ голоморфных функций Ь(г) и о(г), таких, что

и{г) :=Щ + а(2)е§°1}*[А1,В1,А2,В2],

при натуральных п ^ 2 имеют место точные оценки

I . (Ai--gi)|j?i|"-a у* 3 тт А2-В2 + к\В2\ Ъг ^(Т^й \Вг |

I Wnl ^ К^}п| + \Ш < у—^ " + ЩВ2\)+

(Лх-Дх)!^!"-2 ^ j ^ л2 - в2 + к\в2\

+ 2 п. ¿Wí-iull

2n éíü-i)i¿i №1

II W»l - \Ш\ $ \{U}n\ < П(А2 -В2 + к\В2\).

* к=О

Равенства в них выполняются одновременно для всех п ^ 2, причем экстремали находятся по формуле (7-7), в которой Н — обобщенные ядра Шварца представления (2.13) для класса C[Ai,Bi] и U — обобщенные лучевые функции Кебе ассоциированные с обобщенными ядрами Шварца по формуле (3.1).

Отметим, что при А\ = А2 = — Bi = —В2 = 1 эта теорема содержит результаты В.Г. Шеретова, совпадающие с гипотезой Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла для нормированных однолистных гармонических отображений.

§10. Оценки коэффициентов квазиконформности содержит оценки констант квазиконформности в классах гармонических и логгармоничес-ких отображений, необходимые для параграфа 11.

§11. Задача о покрытии в классах гармонических и логгармонических отображений.

3 61п 2

Теорема 11.1. При а > -—^^—- яз 0.88 обобщенная константа Кебе для классов положительна и равна

G(a) 2(2а - 1) 1п 2 + 1 - |а.

Рассмотрим теперь задачу о вычислении обобщенной константы Кебе для класса S^*(A,B), состоящего из функций, полученых по формуле (7.7) с генераторами U € S'{A,B) и Я б С(А,В).

А — В А — В

Теорема 11.2. Если -——-> -—-—, то для §°л*(А,В)

2 — (А + В) 2 + (А + В) н к ' '

обобщенная константа Кебе равна

(Д-1)2-(1-2АВ + Л2)(1-Д)* - (В-1)'(А-2В)

и не меньше числа 1/6.

д _^ д _^

Теорема 11.3. Если -—г—-—— > -—-——, то для класса

2-(А1+В1) ^ 2+(А1+В1)'

(А}, В1, А-2, В2) обобщенная константа Кебе выражается интегра-

лом

1 Г 1-А2( ( (Аг-Вг» \ (\-A.t \

2 /о +

При А :— А\ = А2, В := В\ = В2 эта константа равна д(А,В). Ее значение при А = —В — 1 равно 1 /6.

Введем класс £#(«) сохраняющих ориентацию локально однолистных гармонических отображений единичного круга, образованный функциями вида

U{Z) = \[{1 ~ + \j\l + H(Q)(U'{0)ad(,

где ос — комплексный параметр, Н е С и U 6 S — голоморфные функции называемые генераторами отображения и.

Теорема 11.4. Обобщенная константа Кебе при Rea ^ 0 имеет вид

1 (1 -t)*»«*1

(l + í)3Rea+l О

dt.

При а = 1 множество (а) совпадает с классом §°н и, как частный случай, получается результат В.Г. Шеретова В( 1) = 1/6. Теорема 11.3 дает тот же результат при А = —В = 1.

Заключение. Здесь подводятся итоги и кратко формулируются положения, диссертации, выносимые на защиту.

Приложение. Некоторые свойства гармонических отображений диска в евклидовы пространства.

§12. Квазиконформные свойства гармонических отображений диска в евклидовы пространства.

Пусть и(г) = (и1(г),... , ип(г)) —действительнозначная вектор-функция, гармоническая в единичном круге Д. В этом случае будем писать, что и 6 "Нагт(Д) и называть поверхность з := и(А) гармонической.

Характеристика Лаврентьева р имеет вид

V Е + С - у/(Е - в)2 + 4^2 v

Теорема 12.1. Пусть и — регулярное гармоническое отображение Д в К" с отличным от нуля дифференциалом Хопфа узск2 = щ)с1г2. Тогда и — отображение типа Тейхмюллера, то есть его вторая характеристика Лаврентьева определяется по дифференциалу Хопфа формулой

в=-\ъ.щ>р. (12.12)

§13. О субгармоничности характеристики р. '

Сформулируем основную задачу: выяснить как влияет гармоничность и невырожденность вектор-функции и на характеристику Лаврентьева р. Отметим, что наличие субгармоничности или, хотя бы, принципа мак- <

симума у функции р означает присутствие хороших квазиконформных свойств у функции и.

Введем в рассмотрение класс И3 (А) голоморфно-гармонических в Д вектор-функций (и1, и2,и3) таких, что и2+ги3 6 Но£(А). Введем также подкласс Н^(А) класса И3(А) вектор-функций, определяемых формулой и (и,их,иу).

Теорема 13.2. Характеристика Лаврентьева р отображений и из класса Н3(Д) субгармонична всюду в А.

Приведем пример гармонического отображения в трехмерное пространство с несубгармонической первой характеристикой Лаврентьева:

и(х,у) = (2х,у,х2 - у2).

Список публикаций

1. Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Некоторые свойства гармонических отображений диска в евклидовы пространства // Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". ГосУНЦ "Колледж" Саратов, 2002. С. 199-200.

2. Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Некоторые свойства гармонических отображений диска в евклидовы пространства // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 40-53.

3. Ступин Д.Л. Применение метода структурных формул к логгар-моническим отображениям // Тезисы докладов международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2002. С. 103.

4. Ступин Д.Л. Метод структурных формул для плоских логгармо-нических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 108-118.

5. Ступин Д.Л. Некоторые задачи в классах гармонических отображений / / Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 119-124.

6. Ступин Д.Л. Об одном классе локально однолистных гармонических отображений // Тезисы докладов шестой Казанской международной летней школы-конференци "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". Казань, 2003. С. 206-207.

7. Ступин Д.Л. Некоторые задачи теории обобщенных гармонических отображений // Тезисы докладов международной конференции "Колмогоров и современная математика". Мех. мат. МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва, 2003. С. 345-346.

8. Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Обобщенные классы Каратеодори и их приложения // Тезисы докладов школы-конференции "Геометрический анализ и его приложения" Волгоград, 2004. С. 62-63.

9. Ступин Д.Л. Обобщенные классы Каратеодори и их связь с классами локально конформных отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2004. С. 1823.

10. Граф С.Ю., Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Оценки в группе нормированных локально конформных отображений круга // Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". ГосУНЦ "Колледж" Саратов, 2004. С. 50-51.

11. Граф С.Ю., Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Оценки в группе локально конформных отображений единичного круга // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2004. С. 4-11.

05-1 402 1

РНБ Русский фонд

2006-4 9290

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОД СТРУКТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ

КЛАССОВ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.

§1. Оценки на классе функций, удовлетворяющих лемме Шварца

§2. Обобщенные классы Каратеодори.

§3. Связь обобщенных классов Каратеодори с классами локально однолистных отображений.

§4. О локальных экстремалях в проблеме Кшижа.

ГЛАВА 2. МЕТОД СТРУКТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ

КЛАССОВ ПЛОСКИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ И

ЛОГГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ.

§5. Определение и локальное представление гармонических и логгармонических отображений.

§6. Некоторые классы гармонических и логгармонических отображений.

§7. Структурные формулы для классов гармонических и логгармонических отображений.

§8. Оценки для начальных коэффициентов в

§9. Оценки всех коэффициентов в [А\, А-2, В2].

§10. Оценки коэффициентов квазиконформности.

§11. Задача о покрытии в классах гармонических и логгармонических отображений.

Объектом исследования, в настоящей диссертации, являются локальные и глобальные свойства обобщенных гармонических отображений единичного круга А в С. При этом упор делается на три основные экстремальные задачи: оценка модулей тейлоровских коэффициентов, вычисление обобщенной константы П. Кебе и получение теорем искажения для заданных классов гармонических отображений.

Определим понятие обобщенного гармонического отображения. Пусть II т С? —римановы поверхности, ¿в2 = р2(и))\с1м\'2 —риманова метрика на Снормированная условием ff р2(-ш)с1и(1у = 1, где и) = и + 1у, р(ш) а измеримая, положительная, исключая возможные изолированные нули, функция, определяющая метрику ¿в2. Гармоническим относительно указанной метрики называется отображение / : Я —» С}, локальные представления ю (г) которого являются решениями квазилинейного уравнения д2ю ^ ¿р о дт дю ^ ^ дгдг ¿и) ™ дг дг Уравнения подобного типа привлекли внимание физиков как модели некоторых калибровочных теорий. В приложениях важен вопрос о структуре особенностей решений уравнения (1).

Заметим, что гармонические относительно метрики ¿з2 отображения часто удобно определять как экстремали функционала Дирихле-Дугласа р2 о тс1х(1у, (2)

2 дги дг для которого (1) есть просто уравнение Эйлера-Лагранжа <Ш = 0.

В теории пространств О. Тейхмюллера наряду с гармоническими отображениями относительно гладких римановых метрик рассматриваются отображения, гармонические относительно римановых метрик с особенностями, например, метрик вида ¿в2 = \ip\w) с?ш|2, где <р'2(ы)(1т2 — аналитический квадратичный дифференциал, а уз(ги) — заданная на <3 аналитическая функция.

В частности, если ф = С и ¿э2 = \(1гп\2 — евклидова метрика на С (то есть р = 1 или (р = т), то имеем евклидовы гармонические отображения (в дальнейшем просто гармонические), которые согласно (1) являются решениями уравнения Лапласа

Случай логарифмической метрики гп 1 ¿ио^2, (то есть р == 1/|«;| или (р = Ьп ги) отвечает так называемым логгармоническим отображениям, которые, согласно (1), являются решениями уравнения д2гп 1 дги дгп ^ дгд2 т дг дг и изучались, например, в [1,55].

Отметим, что функции составляющие класс отображений гармонических одновременно относительно всех метрик вида \(р'{т)йт\2, где 1р — конформное отображение, — суть отображения конформные.

Ясно, что если и — конформное отображение, то оно также и гармоническое, более того ри также конформное, гармоническое и обобщенное гармоническое отображение.

История геометрической теории функций комплексного переменного берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. Теория конформных отображений получила значительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем, в качестве таких областей обычно берутся канонические области — единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основной результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая задача на экстремум относительно заданного непрерывного функционала /[/] в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства римановой теоремы о конформном отображении односвязной области на круг, теорем Д. Гильберта, Г. Голузина, А. Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.

В настоящей диссертации одно из центральных мест занимает впервые рассмотренный К. Каратеодори [26] и О. Теплицем [53] класс С. Кара-теодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы тейлоровских коэффициентов {({/г}х,. , {/¿}п)Ь п ^ 1 на классе функций к £ С.

Несколько позже Л. Бибербах доказал, что в классе 5 выполняется точная оценка |{/}2| ^ 2 с функциями Кебе в качестве единственных экстремалей и высказал ставшее широко известным предположение (гипотезу Бибербаха) о том, что в классе Б для всех п 6 N имеют место точные оценки |{/}п| ^ п с теми же экстремальными функциями. Тогда же была поставлена проблема коэффициентов Бибербаха, требующая точного описания области Уп в евклидовом пространстве размерности 2п — 2, заполняемой точками (Яе{/}2,1т{/}2,. , Яе{/}п, 1т{/}п), где ({/}2> {/}з, • • • 5 {/}„) — векторы, образуемые начальными тейлоровскими коэффициентами функций / б 5. Задачи о влиянии однолистности отображения на величины коэффициентов отображающих функций и структуру п -тел коэффициентов Уп были, очевидно, навеяны работами К. Каратеодори и О. Теплица о телах коэффициентов функций класса С.

Лишь в 1984 г. Л. де Бранж [22] дал полный положительный ответ на гипотезу Бибербаха.

Проблема описания п -тел коэффициентов Уп и получения коэффициентных критериев однолистности также оставалась в центре исследований. В 1939 г. X. Грунский получил важный критерий однолистности в терминах введенных им коэффициентов, называемых ныне коэффициентами Грунского однолистной функции. Другие критерии однолистности были установлены Г.М. Голузиным, И.Е. Базилевичем, В.Я. Гутлянским. В.Г. Шеретов в 1985 г. применил метод площадей для получения счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеристической для области коэффициентов

Ах>(5) := |({/}2, {/Ь,.) € С°° : {/}„ := п = 2,3,. , / € 51 .

Этот результат дает алгоритмическое решение проблемы коэффициентов Бибербаха. Он изложен в главе 5 докторской диссертации [59] и в усиленной форме опубликован в статье [63].

Эти и многие другие исследования нашли отражение в монографической литературе [2-7,11,14,16,23,31,32,33,36-39,57], список которой не претендует на полноту.

Понятие квазиконформного отображения возникло во второй четверти двадцатого века в ходе исследований, проводимых М.А. Лаврентьевым, Г. Гретчем и Л. Альфорсом. Идеи, заложенные в работах М.А. Лаврентьева, Г. Гретча и О. Тейхмюллера, получили дальнейшее развитие в трудах Л. Альфорса, П.П. Белинского, Л. Берса, Л.И. Волковыского и привели к созданию глубокой и разветвленной теории квазиконформных отображений с обширными приложениями в гидродинамике. На сегодняшний день на ее основе сформировалась самостоятельная теория пространств Тейхмюллера, имеющая перспективные приложения в современной математической и теоретической физике (солитонике, конформной, калибровочной и струнной теории'поля).

Не менее важное место в современной математике занимает теория гармонических отображений, возникшая на основе работ Т. Радо, X. Кнезера

1926 г.), Г. Шоке (1945 г.). Заметную роль в формировании теории гармонических и обобщенных гармонических отображений сыграли такие математики, как Э. Райх, К. Штребель, Дж. Элс, Л. Лемер, С. Бохнер, Ф. Хартман, И. Ниче, Р. Шен, С. Яо, Ю. Йост, К. Уленбек, П. Дюрен, Г. Шобер, В. Хенгартнер, Дж. Клуни, Т. Шейл-Смолл.

В работах Дж. Клуни и Т. Шейл Смолла, В. Хенгартнера и Г. Шо-бера, П. Дюрена и В. Хенгартнера, А. Лизайка и других были изучены свойства некоторых классов однолистных гармонических отображений, обобщающих класс 5. В.Г. Шеретов предложил новый метод исследования классов локально однолистных гармонических отображений — метод структурных формул, связывающих эти классы с классами С и б1. С помощью этого метода получены основные результаты второй главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами покрытия и параметрами квазиконформности рассматриваемых отображений.

В развитие теории квазиконформных и гармонических отображений, а также пространств Тейхмюллера большой вклад внесли отечественные математики М.А. Лаврентьев, И.Н. Векуа, Ю.Г. Решетняк, П.П. Белинский, Г.Д. Суворов, Б.В. Шабат, С.Л. Крушкаль, А.Т. Фоменко, В.А. Зо-рич, В.Я. Гутлянский, В.М. Миклюков, И.П. Митюк, Д.В. Прохоров, В.В. Горяйнов, А.Ю. Васильев, В.В. Чуешев, В.П. Чуев, М.С. Иоффе и В.Г. Шеретов.

В настоящее время квазиконформные и гармонические отображения превратились в гибкий мощный инструмент для решения широкого спектра актуальных проблем и задач как комплексного, так и действительного анализа, геометрии, теории клейновых групп, пространств Соболева, комплексно-аналитической динамики, а также задач в различных областях математической и теоретической физики. В частности, теория гармонических отображений находит свое применение в задачах динамики жидких кристаллов и теории минимальных поверхностей. При этом возможности развития теории гармонических и квазиконформных отображений далеко не исчерпаны, о чем свидетельствуют новые интересные результаты и задачи, возникающие в этих областях.

В этой диссертационной работе выработан общий подход к экстремальным задачам теории гармонических отображений, основанный на исследовании структурных формул. При этом значительная часть результатов продолжает исследования В.Г. Шеретова [61,62,64,65]. Метод структурных формул разрабатывался также К. Каратеодори, И.А. Александровым, В.А. Зморовичем, В.В. Черниковым, В. Хенгартнером и другими

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и приложения. Нумерация параграфов — сквозная, нумерация формул и утверждений — по параграфам. Обсудим содержание работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выделим основные положения работы, выносимые на защиту. Данная диссертация посвящена применению метода структурных формул к задачам об оценках коэффициентов, о покрытии и искажении в известных и новых классах обобщенных гармонических отображений. На защиту выносятся следующие основные положения: характеризация множества крайних точек класса функций удовлетворяющих лемме Шварца £7; теоремы искажения и покрытия для подклассов класса Каратеодори С и обобщенных классов Каратеодори; оценки модулей тейлоровских коэффициентов для подклассов класса Каратеодори и обобщенных классов Каратеодори; связь обобщенных классов Каратеодори с классами конформных отображений; теоремы искажения и покрытия для симметричных подклассов класса звездных функций; оценки модулей тейлоровских коэффициентов и других функционалов в симметричных подклассах класса звездных функций; интегральные представления функций упомянутых классов; локальная справедливость гипотезы Кшижа; вывод структурной формулы для классов логгармонических отображений; применение метода структурных формул к получению теоремы искажения, точных оценок начальных коэффициентов локально однолистных логгармонических отображений, генерируемых функциями класса Каратеодори С; вычисление обобщенной константы Кебе, оценка коэффициентов квазиконформности; применение метода структурных формул к получению точных оценок всех коэффициентов локально однолистных гармонических отображений, генерируемых функциями подклассов класса Б и функциями из обобщенных классов Каратеодори С[А, В] ; вычисление обобщенной константы Кебе, оценка коэффициентов квазиконформности; * исследование классов двумерных гармонических отображений единичного круга в евклидовы пространства; выделение подклассов функций, первая характеристика Лаврентьева которых субгармонична; пример, показывающий, что эта характеристика не всегда субгармонична.

Работа носит теоретический характер, поэтому ее результаты могут быть востребованы в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и смежным разделам математики, а также в тех прикладных вопросах, где используются конформные, квазиконформные и гармонические отображения.

На протяжении XX столетия были достигнуты впечатляющие успехи в геометрической теории функций — теории римановых поверхностей, конформных, квазиконформных и гармонических отображений. Возникали и укреплялись многообразные перекрестные связи с другими ветвями современной математики и выходами во внематематические приложения. Последняя треть века отмечена решением крупных проблем в теории однолистных функций, теории экстремальных квазиконформных и гармонических отображений с выходами в тейхмюллеровы пространства. Определяющий вклад в развитие методов геометрической теории функций внесли отечественные математики. Новые методы В.Г. Шеретова, использованные в диссертации, весьма перспективны.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Шеретову, научному консультанту кандидату физико-математических наук, доценту Сергею Юрьевичу Графу и всем участникам руководимого В.Г. Шеретовым семинара по теории квазиконформных отображений в Тверском государственном университете за поддержку в ходе выполнения работы.

1. Abdulhadi Z., Hengartner W. Spirallike Logharmonic Mappings // Complex Variables. 1987. V. 9. P. 121-130.

2. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. Казань, 1996. 216 с.

3. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

4. Александров И.А. Введение в геометрическую теорию функций. Донецк, 1972. 335 с.

5. Александров И.А. Конформные отображения односвязных и многосвязных областей. Донецк, 1972. 335 с.

6. Альфорс JI. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. 134 с.

7. Ahlfors L.V. Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory. N.Y., 1973. 157 p.

8. Al-Kharsani H.A., Al-Chal R.A. On a class of bounded univalent functions // Soochow journal of mathemathics 2004.

9. Aouf M.K. On a Class of p -valent Starlike Functions of Order a // J. Math, and Math.Sci. 1987. V. 10, N. 4. P. 733-744.

10. Бабенко К.И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1972. Т. 101. С. 1-318.

11. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. 99 с.

12. Bieberbach L. Uber die Koeffizient Derjenigen Potentreihen, welche eine Schlichte Abbildung des Einheitskreises Vermitteln // Sitzung-sbereichite Konig. Preuss. Akad. 1916. P. 940-955.

13. Bshouty D., Hengartner W. Univalent Harmonie mappings in the plane // Ann. Univ. Mariae-Sclodowska. Sect. A. 1994. V. 48. P. 12-42.

14. Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения. Львов: Ль-вовск. гос. ун-т, 1954. 155 с.

15. Голубев A.A., Шеретова В.В. Квадратичные дифференциалы и локальные свойства гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1994. С. 48-60.

16. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

17. Граф С.Ю., Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Оценки в группе нормированных локально конформных отображений круга // Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". ГосУНЦ "Колледж" Саратов, 2004. С. 50-51.

18. Граф С.Ю, Ступин Д.Л, Шеретов В.Г. Оценки в группе локально конформных отображений единичного круга // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2004. С. 4-11.

19. Григорьев В.В. Применения метода структурных формул к локально однолистным гармоническим отображениям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 40-60.

20. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Урсс, 2004. 895 с.

21. Дао-Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. М., 1987.

22. De Branges L.A. A Proof of the Bieberbach Conjecture // Acta Math. 1985. V. 154. P. 137-152.

23. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962. 266 с.

24. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, N. 1. С. 3-76.

25. Düren Р., Hengartner W. Harmonie Mappings of Multiply Connected Domains // Pacific J. Math. 1997. V. 180, N. 2. P. 201-220.

26. Caratheodory C. Uber die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion // Rendiconti Circ. Mat. di Palermo. 1911. V. 32. P. 193-217.

27. Krzyz J.G. Problem 1, posed in Fourth Conference on Analytic Functions // Ann. Polon. Math. 1967-1968. V. 20. P. 314.

28. Krzyz J.G. Coefficient problem for bounded nonvanishing functions // Ann. Polon. Math. 1968. V. 70. P. 314.

29. Clunie J., Sheil-Small T. Harmonic Univalent Functions //Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A 1. Math. 1984. V. 9. P. 3-25.

30. Ковалев Л.В. Оценки конформного радиуса и теоремы искажения для однолистных функций // Записки научных семинаров ПОМИ. 2000. Т. 263 С. 141-156, 239-240.

31. Крушкаль С.Л., Кюнау Р. Квазиконформные отображения — новые методы и приложения. Новосибирск: Наука, 1984. 216 с.

32. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИЛ, 1953. 311 с.

33. Lehto О., Virtanen K.I. Quasiconformal Mappings in the Plane. Berlin: Springer-Verlag, 1973. 260 p.

34. Lewandowsky Z., Szynal J. On the Krzyz Conjecture and Related Problems // XVI-th Rolf Nevanlinna Colloquium. Berlin, 1996. P. 257-268.

35. Lewandowsky Z., Szynal J. On the Krzyz Conjecture and Related Problems II / / Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. 1998. Sect. A. V. 52, N. 1. P. 73-82.

36. Милин И.М. Однолистные функции и ортонор мир о ванные системы. М.: Наука, 1971. 256 с.

37. Митюк И.П. Применение симметрияационных методов в геометрической теории функций. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1985. 95 с.

38. Митюк И.П., Шеретов В.Г., Щербаков Е.А. Плоские квазиконформные отображения. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1979. 83 с.

39. Pommerenke Ch. Univalent Functions. Gottingen, 1975. 375 p.

40. Peretz R. The Krzyz problem and polynomials with zeros on the unit circle // Computational Methods and Function Theory 2001. Abstracts of the Fours CMFT Conference, Aveiro (Portugal), June 25-29,2001, V. 8 P. 75.

41. Прохоров Д.В. Принцип максимума в решении экстремальной задачи на классе однолистных функций // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27 , N. 1. С. 186-190.

42. Prochorov D.V., Szynal J. Coefficient Estimates for Bounded Nonva-nishing Functions // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. 1981. V. 29, N. 5-6. P. 223-230.

43. Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Некоторые свойства гармонических отображений диска в евклидовы пространства // Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". ГосУНЦ "Колледж" Саратов,2002. С. 199-200.

44. Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Некоторые свойства гармонических отображений диска в евклидовы пространства // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 40-53.

45. Ступин Д.Л. Применение метода структурных формул к логгар-моническим отображениям // Тезисы докладов международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2002. С. 103.

46. Ступин Д.Л. Некоторые свойства логгармонических отображений // Труды международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2002. 4 с. (в печ.)

47. Ступин Д.Л. Метод структурных формул для плоских логгармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 108-118.

48. Ступин Д.Л. Некоторые задачи в классах гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 119-124.

49. Ступин Д.Л. Об одном классе локально однолистных гармонических отображений // Тезисы докладов шестой Казанской международной летней школы-конференци "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". Казань, 2003. С. 119-124.

50. Ступин Д.Л. Некоторые задачи теории обобщенных гармонических отображений // Тезисы докладов международной конференции "Колмогоров и современная математика". Мех. мат. МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва, 2003. С. 345-346.

51. Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Обобщенные классы Каратеодори и их приложения // Тезисы докладов школы-конференции "Геометрический анализ и его приложения" Волгоград, 2004. С. 170-172.

52. Ступин Д.Л. Обобщенные классы Каратеодори и их связь с классами локально конформных отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2004. С. 1823.

53. Töplitz О. Uber die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen // Rendiconti. Circ. Mat. di Palermo. 1911. V. 32. P. 191-192.

54. Hummel J.A., Schernberg S., Zalcman L.A. A coefficient problem for bounded nonvanishing functions // J.d'Analyse Mathematique-1977, V 31. P. 169-190.

55. Hengartner W., Schober G. Univalent Harmonic Functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 299, N. 1. P. 11-31.

56. Hengartner W., Szynal J. Univalent Harmonic Ring Mappings Vanishing on the Interior Boundary. // Canad. J. Math. 1992. V. 44, N. 1. P. 308-323.

57. Хейман B.K. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1955. 435 с.

58. Szapiel W. A New Approach to the Krzyz Conjecture // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. 1994. Sect. A. V. 48, N. 13. P. 169-192.

59. Шеретов В.Г. Квазиконформные отображения, экстремальные относительно своих граничных значений. Дисс. доктора физ.-мат. наук. Краснодар, 1988. 322 с.

60. Шеретов В.Г. Гармонические отображения и однолистные функции // Мат. анализ. Краснодар, 1974. Вып. 2. С. 143-153.

61. Sheretov V.G. Structural Formulae Method for the Planar Harmonic Mappings ¡I International Conference on Geometric Function Theory dedicated to Herbert Grötzsch 1902-1993. Abstracts. P. 19. Halle, 2002.

62. Шеретов В.Г. Метод структурных формул в геометрической теории плоских гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 3039.

63. Шеретов В.Г. К проблеме коэффициентов для однолистных функций Ц Сиб. матем. журн. 2002. Т. 43, N. 2. С. 472-481.

64. Шеретов В.Г. Метод структурных формул в геометрической теории гармонических отображений // Российской математике —триста лет. Труды юбилейной научной конференции. Тверь, 2002. С. 70-78.

65. Шеретов В.Г. Доказательство гипотезы Кшижа для некоторых подклассов класса ограниченных голоморфных функций // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 116-123.

66. Janowski W. Some Extremal Problems for certain Families of Analytic Functions // Annales Polonici Math. 1973. V. 28. P. 297-326.

67. Ступин Д.Л. Исследование выпуклой структуры на классе функций, удовлетворяющих лемме Шварца // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2005. С. 24-30 (в печ.)

68. Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. О локальных экстремалях в проблеме Кшижа // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2005. С. 31-36 (в печ.)

69. Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Обобщенные классы Яновского и их приложения в теории гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2005. С. 37-54 (в печ.)

70. Ступин Д.Л., Шеретов В.Г. Доказательство локальной гипотезы Кшижа // Вестник ТвГУ, серия прикладная математика. Тверь, 2005. 5 с. (в печ.)

71. Чуешев В.В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности Ч. 2. Кемерово 2003.

72. Чуешев В.В. Периоды гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности // Сибирский математический журнал, 2002, Т. 43, N. 4, С. 937-952.

73. Прохоров Д.В. Коэффициенты голоморфных функций // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Т. 71. Комплексный анализ и теория представлений 2. М.: Наука, 2000.