Экстремальные задачи на классах гармонических отображений

Эйланголи, Окандзе Руфин

Экстремальные задачи на классах гармонических отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Эйланголи, Окандзе Руфин АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Тверь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Экстремальные задачи на классах гармонических отображений»

Автореферат диссертации на тему "Экстремальные задачи на классах гармонических отображений"

484 1 ичз На правах рукописи

Эйлаиголн Окандзе Руфин У/Ч '

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА КЛАССАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

4841049

Работа выполнена на кафедре математического анализа Тверского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры математического анализа Тверского государственного университета Граф Сергей Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, зав. кафедрой теории функций и приближений Казанского федерального университета Авхадиев Фарит Габидинович,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа МГУ Косухин Олег Николаевич

Ведущая организация: Петрозаводский государственный университет

Защита состоится 2011 года в ч. мин. на заседании ди

сертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы нар дов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационно библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета друж бы народов) по адресу: г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Л.Е. Россовский

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Историческая справка. Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются экстремальные свойства гармонических и локально-квазиконформных отображений в плоскости комплексного переменного.

Основы теории гармонических отображений были заложены в начале XX века в работах Т. Радо1, X. Кнезера2 и Г. Шоке3. Повышение интереса к классам однолистных гармонических функций произошло после известной работы Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла4, и обусловлено, во-первых, родством задач теории гармонических отображений с классической проблематикой конформных отображений, а, во-вторых, существенными отличиями и своеобразием свойств гармонических функций и используемых для их анализа методов. Отдельным фактором, стимулирующим развитие теории гармонических отображений, следует считать успешное доказательство JL де Бранжем5 в 1984 г. известной гипотезы Л. Бибербаха об оценке коэффициентов нормированных однолистных конформных отображений. В дальнейшем проблематике однолистных гармонических отображений был посвящен ряд работ Т. Шейл-Смолла, Дж. Бшути, У. Хенгартнера, П. Дюрена, Ю. Йоста, Э. Шауброк, М. Дорфа, а также российских математиков, таких как В.В. Старков, В.Г. Шеретов, Д.В. Прохоров, С.Ю. Граф. Следует отметить, что ряд классических проблем теории гармонических отображений

1 Rado Т. Aulgo.be 41// Jaliresber. Deutsch. Math. Ver. 1926. Bd.35. S.49.

2Kneser H. Losung der Aufgabe 41// Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1926. Bd.35. S. 123 - 124.

3Choquet G. Sur une type de représentation analytique généralisant la représentation conforme et definie au moyen de fonction harmonique// Bull. Sci. Math. 1945. T. 69, N 2. P. 156 - 165.

4Clunie J., Sheil-Small T. Harmonie univalent functions// Aun. Acad. Sci. Fenn., A.I. Math., 1984. V. 9. P. 3 - 25.

5Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture// LOMI preprintes, E - 5, 1984. S. 1 - 21.

(таких как оценка коэффициентов, теорема существования и единственности гармонического отображения с заданной дилатацией) на сегодняшний день остаются нерешенными.

В настоящее время гармонические отображения превратились в важный инструмент для решения широкого спектра задач как комплексного, так и действительного анализа, геометрии, комплексно-аналитической и теоретической физики. Теория гармонических отображений также применяется в задачах динамики жидких кристаллов и теории минимальных поверхностей. По сей день развитие теории гармонических отображений активно продолжается, о чем свидетельствуют новые интересные результаты и задачи, воз никающие в этой области6.

В настоящей диссертационной работе сделана попытка обобщить нею торые классические результаты геометрической теории функций на классь однолистных и локально-однолистных гармонических и локально-квазикон формных отображений. При этом многие результаты представляют co6oi продолжение исследований С.Ю. Графа7'8 в теории линейно- и аффинно инвариантных семейств гармонических отображений.

Цель работы:

(а) развитие теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств локаль но-однолистных гармонических отображений единичного круга, включа] щее в себя получение оценок радиусов кругов однолистности, звездообраз ности гармонических отображений, доказательство оценок кривизны образо окружностей при гармонических отображениях;

(б) развитие и адаптация методов модулей и экстремальных длин к клас

6Duren P. Harmonic mappings in the plane. Cambridge, 2004. 214 p.

7Граф С.Ю. Точная оценка якобиана в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармоничес

отображений// Труды Петрозаводского гос. ун-та. Сер. Математика. 2007. Вып. 14. С. 31 - 38.

8Граф С.Ю. Теоремы искажения в семействах гармонических отображений (/ Сборник трудов HAI

Украины. Киев, 2010. Т. 7, № 2. С. 218 - 226.

сам локально-квазиконформных и гармонических отображений.

Методика исследования. При получении основных результатов данной диссертационной работы использовались вариационные методы (в частности, методы теории линейно- и аффшшо-инвариантных семейств локально-однолистных аналитических и гармонических функций), метод параметрических продолжений, а также методы экстремальных длин и модулей.

Многие доказательства опираются на результаты П. Дюрена6, Дж. Клуни4, Т. Шейл-Смолла9 и С.Ю. Графа.

Научная новизна и достоверность. Все представленные в диссертации результаты являются новыми, за исключением материалов §1 и §6, носящих обзорный характер, и некоторых вспомогательных фактов, авторство которых отражено в ссылках. Все научные результаты, включенные в состав диссертации, сопровождены убедительными доказательствами и являются достоверными.

Работа носит теоретический характер.

Основными в ней являются следующие результаты:

- оценка модуля производной Шварца аналитической составляющей гармонического отображения, принадлежащего произвольному линейно- и аф-финно-инвариантному семейству;

- оценка модуля производной Шварца гармонического отображения специального вида, принадлежащего произвольному линейно- и аффинно-инва-рнантному семейству;

- оценка радиуса звездности однолистного гармонического отображения, принадлежащего произвольному линейно- и аффннно-ннвариантному семейству;

- оценка кривизны образа окружности при локально-однолистном гармо-

9Sheil-Sinall Т. Constants for planar harmonic mappings// J. London Math. Soc. 1990. V. 42. P. 237-248.

ническом отображении, принадлежащем произвольному линейно- и аффин но-инвариантному семейству;

- уточнение и специализация оценок искажения модулей и приведении модулей многосвязных областей при локально-квазиконформных отображ ниях.

Результаты диссертации представляют интерес для развития теории ли нейно- и аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений тесно связаны с некоторыми классическими проблемами и гипотезами те рии гармонических отображений, такими как проблема коэффициентов, про блема круга однолистности, проблема оценки Гауссовой кривизны минималь ных поверхностей. Результаты диссертации применены в исследованиях п геометрической теории функций и квазиконформным отображениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывалис на 14-ой международной Саратовской зимней школе, посвященной памят академика П.Л. Ульянова (февраль 2008 г., Саратов), на девятой между народной Казанской летней школе-конференции по теории функций (июл 2009 г., Казань), на 5-ой Петрозаводской международной конференции п комплексному анализу (июль 2010 г., Петрозаводск) и на семинарах кафедры математического анализа Тверского государственного университета.

Публикации. Результаты диссертационных исследований опубликованы и с достаточной полнотой отражены в 8 статьях, список которых приведен в конце автореферата, из них 3 опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, влю-чающих 8 параграфов, заключения и изложена на 100 страницах. Нумерация параграфов сквозная, то есть не зависит от номеров глав. Список литературы включает 76 наименований.

Краткое содержание работы

Переходя к положению основных результатов диссертации, отметим, что нумерация всех утверждений в автореферате соответствует принятой в тексте диссертации.

Во введении характеризуются научное направление, круг решаемых проблем, их актуальность и применяемые методы.

Первая глава посвящена экстремальным задачам в линейно- и аффин-но-инвариантных семействах локально однолистных гармонических отображений.

Теория линейно- и аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений естественным образом продолжает теорию линейно-инвариантных семейств голоморфных функций. Свойство линейной инвариантности эффективно использовалось для классов конформных отображений еще в работах JI. Бибербаха в начале XX в. Впоследствии К. Поммеренке10 было дано строгое определение линейной инвариантности и введен сам термин линейно-инвариантного семейства.

В 90-е годы XX в. Т. Шейл-Смолл9 обобщил понятие линейной инвариантности на классы гармонических в единичном круге функции и ввел термин аффинной инвариантности. Впоследствии линейно- и аффинно-инвари-антные семейства гармонических отображений рассматривались в работах JI. Шауброк11, В.В. Старкова12, С.Ю. Графа7'8 и ряда других математиков.

В параграфе 1 вводятся основные понятия и свойства гармонических отображений области комплексной плоскости, приводится определение ли-

10Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Functionen. /// Math. Ann., 1964, Hf. 155. P. 108 - 154.

1!Shaubroeck L.E. Subordination of planar harmonic junctions /'/ Complex Variables. 2000. V. 41. P. 163-178.

12Starkov V.V. Harmonic locally quasiconformal mappings // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Lublin, 1995, V. XLIX, 14, Sectio A. P. 184 - 197.

нейно- и аффинно-инвариатного семейства £ гармонических отображений, его порядка а и уточненного порядка с*о, а также некоторые ключевые результаты, полученные в данном направлении.

Рассмотрим произвольное линейно- и аффинно-инвариантное семейство £ сохраняющих ориентацию локально однолистных гармонических отображений / единичного круга Д = {г : \г\ < 1}, удовлетворяющих условиям /(0) = 0, Л(0) = 1.

Линейная инвариантность семейства £ локально однолистных гармонических отображений заключается в том, что наряду с каждым отображением / этому семейству принадлежит также функция

Ь* 1/1 ~ /г о Ф(0) • Ф'(0) при любом конформном автоморфизме Ф(г) = — 2о)/(1 — единичного круга, где 2о € А, <р € К.

Аффинная инвариантность семейства £ локально однолистных гармонических отображений означает, что вместе с каждым / этому семейству принадлежат отображения вида

1 + е/г(°)

при любом £ 6 Д.

Порядком семейства £ называется число а = вир |/22(0)/2|, где супремум берется по всему семейству £.

Известно, что для любого непустого семейства С порядок а > 1. Всюду в дальнейшем будем рассматривать семейства £ конечного порядка а.

Подкласс £° класса £, выделяемый наложением дополнительного условия &1 = /г(0) = 0, уже не является линейно- или аффинно-инвариантным семейством. Однако при этом £° является компактным в топологии локально равномерной сходимости в круге Д.

Примерами семейств £ и £° являются известные классы нормированных однолистных гармонических отображений Sh, SÜH соотвественно4,6,9. В соответствии с известной гипотезой Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла4 порядок семейства Sh предполагается равным 3. Оценка величины а в классе Sh остается одной из важнейших нерешенных задач теории гармонических отображений.

С.Ю. Графом7 было введено понятие уточненного порядка ао семейства £. Порядком семейства £° или уточненным порядком семейства £ назовем число Qo = max |/,z(0)/2|, где максимум берется по всему семейству £°.

Известно7, что ао < a < ао + ßo, где ßo = max |/н(0)/2|, причем максимум берётся по всем функциям из £°, ßo < 1/2. Привлечение порядка ао позволило усилить некоторые оценки в линейно- и аффинно-инвариантных классах гармонических функций7,8,13 и получить новые результаты.

В параграфе 2 приведены оценки производной Шварца для гармонических отображений и их аналитических частей.

Напомним, что производной Шварца14 локально-однолистной голоморфной в единичном круге функции F называется функция

Uw 2 {f'(z)J ■

Оценка модуля производной Шварца является актуальной задачей геометрической теории функций в силу ее связи с достаточными условиями глобальной однолистности локально-однолистной аналитической функции15. В линейно-инвариантных семействах аналитических функций оценки про-

13Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Дифференциальные неравенства в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений// Известия ВУЗов. Математика. Казань, 2010. № 10. С. 69 -72.

"Duren P. Univalent functions. Springer Verlag, New York, 1983. 383 p.

"Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions// Bull. Amer. Math. Soc., 1959. V.55. P. 545 -551.

изводной Шварца известны по работам К. Померенке10, В.В. Старкова и И.Р. Каюмова16.

Следующая теорема позволяет уточнить упомянутые результаты в случае оценки производной Шварца аналитической составляющей гармонического отображения.

Теорема 2.3. Пусть f = h + g G С, = д'(0). Тогда для любого z, \z\ = г, 0 < г < 1, справедлива оценка

№>Zn ^ _ г2)2 •

Оценка точна в смысле порядка роста при г —> 1—.

Теорема 2.3 позволяет оценить радиус однолистности аналитической части гармонического отображения, принадлежащего произвольному семейству С0, если известен его порядок qo- В частности для известного класса Cfj почти выпуклых нормированных отображений радиус однолистности аналитической составляющей оценивается числом 0,263, что, впрочем, меньше гипотетического значения 1/\/3.

Естественным образом определение производной Шварца было обобщено М. Чуакуи, П. Дюреном и Б. Осгудом17 на гармонические функции специального вида.

Рассмотрим локально-однолистное сохраняющее ориентацию гармоническое отображение / = h + g с дилатацией вида /х/ = g'/h' = g2, где q -некоторая аналитическая функция. Производная Шварца отображения / определяется в этом случае как

{/,г} = 2((1пЛ(г))г2-((1пЛ(г))г)2),

16Kayumov I.R., Starkov V.V. Estimates for logarithmic coefficients of locally univalent functions // XVIth Rolf Nevanlinna Colloquium. Berlin, N. Y., 1996. P. 239 - 245.

1TChuaqui M., Duren P., Osgood B. The Schwarzian derivative for harmonic mappings// J. analyse Math. 91(2003). P. 329 - 351.

где Х{г) = Щг)\ + \д^г)\.

В случае, когда / - аналитическая функция, данное определение совпадает с классическим определением.

Теорема 2.3 позволяет доказать оценку производной {/, г} для гармонических отображений указанного выше спецнальнного вида.

где Ь{г) — у^. Оценка точна в смысле порядка роста при г —> 1—,

Основным результатом, изложенным в параграфе 3, является оценка радиуса звездообразности однолистных гармонических отображений, зависящая от порядка а линейно- и аффинно-инвариаитного семейства С.

Заметим, что оценка радиуса выпуклости, зависящая от порядка линейно-и аффинно-инвариантного семейства гармонических отображений, известна по работе Т. Шейл-Смолла9.

Оценка радиуса звездности в классах С как н в случае конформных отображений представляет собой более сложную задачу. Напомним, что в классе 5 нормированных однолистных конформных отображений единичного круга любая функция / отображает круг {г € Д : \г\ < Й1тт/4} на область, звездообразную относительно начала координат18.

18Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966.

Теорема 2.4. Пусть / = к + д € С, причем ц/ = д2, где функция д голоморфна в Д. Пусть £>1 = </(0), с = Тогда для любого г, \г\ = г, 0 < г < 1, справедлива оценка

Следующая теорема позволяет получить оценку радиуса звездности для однолистных функций, принадлежащих линейно- и аффинно-инвариантным семействам гармонических отображений.

Теорема 3.1. Пусть функция /(г) = к{г) + д(г) € С П 5д. Тогда / звездообразна относительно начала координат в любом круге {г в Д : |г| < г} для всех г, удовлетворяющих неравенству

Приближенно значение to можно оценить величиной 2,1986.

В качестве следствия получена оценка радиуса звездности в классе Сн почти выпуклых гармонических отображений, в соответствии с которой всякое отображение / 6 Сн звезднообразно в круге радиуса 0,35037.

В параграфе 4 представлены двусторонние оценки кривизны образа окружности для гармонических отображений класса С.

Теорема 4.2. Пусть f € С, bi= fj(0). Тогда для любого z S A, \z\ = г € (0,1), справедливы следующие оценки кривизны kf(z) образа окружности {ICI = г} пРи отображении f :

где ta - решение уравнения é sin (t + |) = y/2 sh| —

«0+3/2 2

r2+2r(ao+/?o) +1

2.a). Если 0 < r < ao + Po - \/(ao + Po)2 - 1, то

r2 — 2r(ap + A)) + 1

2.6). Если ao + Po- \/(ао + Po)2 ~ 1 <r <1, то

r2 -2r(a0 + Po) + l

Из неравенства 2.а) сформулированной теоремы следует, в частности, полученная ранее Т. Шейл-Смоллом9, точная оценка радиуса выпуклости в классах нормированных гармонических отображений, а именно: / 6 С. выпукло в круге радиуса а0 + А) — \/(ао + А))2 - 1-

Заметим, что в классе S однолистных конформных отображений единичного круга впервые точные нижние оценки кривизны образа окружности были получены Я.С. Мирошниченко19 в 1951 г. и Г.В. Корицким20 в 1955 г. Впоследствии с использованием методов теории параметрических продолжений В.В. Черников и М.А. Арендарчук дополнили эти результаты верхними оценками кривизны21 . Для гармонических отображений подобные оценки ранее не доказывались.

В параграфе 5 выводится аналог уравнения Лёвнера для подчиненных гармонических отображений и изучаются его свойства.

Рассмотрим единичный круг Д = {г : |z| < 1}в комплексной плоскости С и непрерывную функцию a(i), определенную на сегменте [О, Г] С К. Тогда, как известно18,21, уравнение Лёвнера

5СМ = _c(f я)х(*) + СМ (t) = eia{t)

dt x(t)-((t, z)' ГДСХ^

имеет на (О, Г) единственное решение £ = <p(t,z),z 6 Д, которое при фиксированном значении t осуществляет конформное отображение круга Д на некоторую область At С Д, причем ip(t, 0) = 0, ip'(t, 0) = ег' V t е (0, Г), <р(0, z) = z. Если функция a(t) имеет на [0,Г] ограниченную производную, то <p(t, z) при любом t е [0, fo] to < Т, однолистно и конформно отображает Д на область Д{, получающуюся из единичного круга проведением разреза

19Мирошниченко Я.С. Об одной задаче теории однолистных функций Ц Учен. зап. Донецкого пед. ин-та, 1951, № 1. С. 63 - 75.

20Корицкий Г.В. О кривизне линий уровня и их ортогональных траекторий при конформных отображениях// Матем. сб., 1955, № 37. С. 103 - 116.

21 Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. Москва, 1976.

по гладкой жордановой кривой.

Как известно4, теорема Каратеодори о ядре не верна для гармонически отображений. Поэтому обобщение уравнений Лёвнера на гармонические фун кции возможно лишь в некоторых специальных случаях.

Рассмотрим сохраняющее ориентацию однолистное гармоническое отоГ ражение /о круга Д на область Т> С С, 0 € Х>, такое, что /о(0) = 0, /о2(0) > О и определим семейство подчиненных гармонических отображений

/(М) = /о°^*)> «6[0,Т), геД.

Функция /(¿, г) однолистно отображает Д на подобласти £>г = /о(Д^ обла сти Т>.

Теорема 5.5. 1). Семейство /(£, г) при любом фиксированном г 6 Д удовлетворяет дифференциальному уравнению по переменной í € (О, Т):

дЬ

где х) — 0 ^ ^ & оМ

2). Если некоторое семейство г) гармонических отображений круга А в область V = /0(Д), т.ч. /(¿,0) = 0, /ДО) = /ог(0)е-( V /(0,г) = /о(0), удовлетворяет уравнению (*) при любом г б Д и Ь € (0,Т), то /(£, г) = /ог), где г) - семейство конформных отображений круга А в себя, удовлетворяющих уравнению Левнера с функцией х(£) =

Глава 2 посвящена некоторым свойствам локально-квазиконформных отображений, частным случаем которых являются гармонические отображения - основной объект исследования в настоящей диссертации.

В параграфе 6 рассматриваются основные свойства квазиконформных и локально-квазиконформных отображений.

Теория квазиконформных отображений сформировалась в 30-х гг XX в на основе работ JI. Альфорса22, Г. Гретча23 и М.А. Лаврентьева24.

В настоящее время теория плоских квазиконформных отображений представляет собой хорошо разработанный, но вместе с тем активно развивающийся раздел геометрической теории функций комплексного переменного, имеющий глубокие связи со многими ветвями математики и механики (уравнения в частных производных, дифференциальная геометрия и топология, гидродинамика и газовая динамика, теория упругости, теория гармонических отображений).

Гомеоморфизм / области D будем называть локально-квазиконформным, если / квазиконформен на любом компакте К из области D. Очевидно, что для локальной квазиконформности гомеоморфизма / достаточно, чтобы выполнялось условие |/2|2 — |/г|2 > 0 в D. Таким образом, сохраняющие ориентацию однолистные гармонические отображения являются локально-квазиконформными.

Уточненные оценки модуля образа кругового кольца при локально-квазиконформных отображениях изложены в параграфе 7.

Понятие экстремальной длины семейства кривых и связанное с ним понятие модуля многосвязной области возникли в работах Г. Гретча23 и J1. Альфорса22. Метод экстремальных метрик и модулей оказался весьма эффективным инструментом, активно примененяемым во многих разделах геометрической теории функций комплексного переменного и теории римановых поверхностей. Различным аспектам этого метода посвящено значительное

22Альфорс JI. Лекции по квазиконформным отображениям. М., 1969. 133 с.

23Grotzsch H. Uber die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen Abbildungen und über damit zusammenhangende Erweiterung des Picardschen Satzes // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Math.-Naturwiss. Kl. 1928. Bd. 80, S. 503 - 507.

24Lavrentiev M.A. Sur une classe de representation continues // Mat. Sb. 1935. V.42. P. 407 - 434.

количество работ25'26, причем интерес к данной тематике сохраняется и ш сей день.

Напомним, что модулем двусвязной области ОсС называется число

где А(Г) - экстремальная длина семейства кривых Г, разделяющих гранич ные компоненты области D.

Следующая теорема представляет собой уточнение известных оцено Л. Альфорса22 для модуля образа семейства кривых при квазиконформнох отображении.

Теорема 7.1. Пусть / - локально-квазиконформное отображение кру гового кольца К{г, Я) = {г : г < \г\ < Я}, 0 < г < Л < оо, на двусвяз ную область Б с С с первой характеристикой М.А. Лаврентьева р/(г) =

Кн/Й Пусть Р/(г) = езаЩ* 1=г Если интегралы тщт

/г существуют, то модуль области И удовлетворяет соотноше-

ниям

2тг X Р,(4) Ь ~ У ' ~ 2тг Л }К> Ь

Неравенства точны.

В отличе от классического результата Л. Альфорса равенства в теореме 7.1 возможны не только на аффинных отображениях, но и на существенно более широком классе отображений с непостоянными характеристиками Лаврентьева.

Теорема 7.1 применяется для получения точных оценок в классах локально-квазиконформных и гармонических отображениий единичного круга с за-

25Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М., 1962. 262 с.

26Vasil'ev A. Moduli of families of curves for con/ormal and quasiam/ormal mappings. Springer Yerlag. Berlin; N. Y., 2002. 211 p.

данной мажорантой комплексной характеристики и/, среди которых отметим следующий результат:

Теорема 7.2. Пусть / - локально-квазиконформное отображение единичного круга А на себя, нормированное условием /(¿о) = гоц, где го, и>о 6 Д. Пусть существует такое положительное число а, что комплексная характеристика и/[г] отображения / удовлетворяет неравенству

Оценка точна.

Интерес представляет следующий частный случай последней теоремы. Следствие 7.1. Пусть / - локально-квазиконформное отображание единичного круга А на себя, такое, что /(0) = 0 и < \г\. Тогда

Оценка точна. Равенство достигается на отображении /о (г) =

Заметим, что класс локально-квазиконформных отображений с указанной мажорантой комплексной характеристики включает в себя все гармонические автоморфизмы круга, конформные в нуле.

В качестве следствия получены оценки радиуса круга покрытия и конформного радиуса образа единичного круга при локально-квазиконформном отображении.

Следствие 7.2. Пусть / - локально-квазиконформное отображение единичного круга А на область Б С С, такое, что /(0) = 0, /2(0) = 1. Если 1^7(2)1 < \г\, то

Тогда

1Л(0)|<4.

Оценка радиуса круга покрытия точна.

Конформным радиусом односвязной области В относительно точки го € В называется число

где F - конформное однолистное отображение области В на единичный кру1 Д такое, что = 0, F'(zо) > 0.

Следствие 7.3. Пусть / - локально-квазиконформное отображены единичного круга А на область В С С, такое, что /(0) = 0, /2(0) = ] и < \г\. Тогда конформный радиус р{В, 0) области В удовлетворявп

неравенству

Оценка точна.

Следствия 7.2 и 7.3 применимы, в частности, к известному классу нормированных однолистных гармонических отображений единичного круг и предствляют собой независимые доказательства известных9'4 оценок конформного радиуса и круга покрытия для гармонических отображений, принадлежащих классу 5^-.

В параграфе 8 приведены двусторонние оценки искажения приведенного модуля области в комплексной плоскости.

Напомним, что приведенным модулем25'26 области В С С относительно точки 20 6 В и выделенной граничной компоненты 7 С дВ называется число

где 7) - модуль семейства кривых, разделяющих граничные компо-

ненты 7 и {г : \г — го] — <} многосвязной области £)( = £> \ {г : \г — г0| < I}.

р(В,г0) = 1 /Г(2ь)

р(о,о)>\.

Теорема 8.2. Пусть / - квазиконформный или локально-квазиконформный гомеоморфизм односвязной области £), £) ф С \ {а}, с границей 7 на область /(О) с границей Г, 2ц 6 Ю - фиксированная точка, /(го) = Щ и Ф - функция Рима на для области О относительно точки г^. Пусть Р/(г) = еязир|г|=г причем интеграл // Р/(г)у существует при

любом I > 0. Тогда

<М(/(Д),Г,ш0)<

^^ы^-^ч:™-» т}-

Доказанное двустороннее неравенство представляет собой обобщение и уточнение оценок искажения приведенного модуля, полученных ранее И.П. Митюком, В.Г. Шеретовым и Е.А. Щербаковым27. В отличие от оценок упомянутых авторов оценки теоремы 8.2 эффективны и нетривиальны для широкого класса локально-квазиконформных отображений и диффеоморфизмов, в частности для гармонических отображений.

В заключении представлены основные выводы диссертации.

В диссертации получен ряд законченных новых результатов, имеющих теоретическую ценность для развития теории гармонических отображений и локально-квазиконформных отображений, в частности для теории линейно-н аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений. Наиболее важными среди них являются:

1) оценка модуля производной Шварца аналитической составляющей гармонического отображения, принадлежащего произвольному линейно- и аф-

27Митюк И.П., Шеретов В.Г., Щербаков Е.А. Плоские квазиконформные отображения. Краснодар: Кубанск. гос. ун-т, 1979. 84 с.

финно-инвариантному семейству £;

2) оценка модуля производной Шварца для гармонических отображений специального вида, принадлежащих произвольному линейно- и аффинно-инвариантному семейству С;

3) доказательство оценки радиуса однолистности для голоморфной составляющей части гармонического отображения в классах локально однолистных гармонических отображений £;

4) доказательство оценки радиуса звездности для однолистных гармонических отображений, принадлежащих линейно- и аффинно-инвариантному семейству £;

5) получение оценок кривизны образа окружности при локально-однолистных гармонических отображениях, принадлежащих классу С\

6) уточнение оценок искажения модуля кругового кольца и приведенного модуля многосвязных областей при локально-квазиконформных отображениях;

7) получение радиуса круга покрытия и конформного радиуса образа единичного круга для локально-квазиконформных отображений.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту, Сергею Юрьевичу Графу за постоянное внимание, полезные советы и поддержку в ходе выполнения работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Граф. С.Ю., Эйланголи O.P. Конформные отображения, не принимающие некоторых значений // Вестник ТвГУ. Серия: прикладная математика. №35(95). Тверь, 2008. С. 137 - 146.

2. Эйланголи O.P. Аналог уравнения Лёвнера для подчинённых гармони-

ческих отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2008. С. 73 - 77.

3. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Об искажений модулей двусвязных областей при квазиконформным отображении // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2009. С. 14 - 20.

4. Эйланголи O.P. Об искажении приведенного модуля// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2009. С. 47 - 52.

5. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Дифференциальные неравенства в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений // Известия вузов. Математика. Казань, 2010, Xs 10, С. 69 - 72.

6. Эйланголи O.P. Об оценке радиуса звездности в классах гармонических отображений // Вестник ТвГУ. Серия: прикладная математика. №14. Тверь, 2010. С. 133 - 140.

7. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Оценки кривизны линий уровня в линейно-и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2010. С. 29 - 36.

8. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Об оценке производной Шварца для гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2010. С. 37 - 45.

Эйланголи О.Р.

Экстремальные задачи на классах гармонических отображений

Аннотация

Изучаются свойства линейно- и аффинно-инвариантных семейств одно листных и локально-однолистных гармонических отображений единичног круга комплексной плоскости, а также свойства локально-квазиконформны отображений. Доказаны точные в смысле порядка роста оценки модуля про изводной Шварца аналитической составляющей гармонического отображ ния, принадлежащего произвольному линейно- и аффинно-инвариантном семейству и модуля производной Шварца гармонических отображений сп циального вида. Получены оценки радиуса круга однолистности для гол морфной составляющей гармонического отображения в линейно- и аффинн инвариантных семействах локально-однолистных гармонических отображ ний. Доказана оценка радиуса звездообразности для однолистных гармони ческих отображений, принадлежащих линейно- и аффинно-инвариантном семейству. Получены двусторонние оценки кривизны образа окружности пр! локально-однолистных гармонических отображениях, принадлежащих про извольному линейно- и аффинно-инвариантному семейству. Уточнены оцен ки искажения модуля двусвязной области и приведенного модуля много связных областей при локально-квазиконформных отображениях. Получ ны точные оценки радиуса круга покрытия и конформного радиуса образ единичного круга при нормированных однолистных локально-квазиконфор мных отображениях единичного круга с заданной мажорантой комплексно характеристики.

Eyelangoli O.R. Extremal problems on classes of harmonic mappings

Annotation

The properties of linear- and affine-invariant families of univalent and locally-univalent harmonic mappings of the unit disk of the complex plane and properties of locally-quasiconformal mappings are studied. The exact in the sence of the order of growth estimates for the module of the Schwarzian derivative of holo-morphic part of the harmonic mapping from linear- and affine-invariant families and for the module of the Schwarzian derivative of the harmonic mapping of the special form are proved. The estimates of the radius of the circle of the univalence of holomorphic part of the harmonic mapping from linear- and affine-invariant families are obtained. The estimate of the radius of starlikeness for univalent harmonic mapings from linear- and affine-invariant families is proved. The double-sided inequalities for the curvature of the image of the circle under the locally-univalent harmonic mappings from linear- and affine-invariant families are obtained. The specified estimates of the distortion of the module of double-connected domain and for reduced module under the locally-quasiconformal mappings are proved. The exact estimates of the radius of the covering circle and of the conformal radius for normalized locally-quasiconformal mappinfs of the unit disk with the given majorant of the complex dilatation are given.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Эйланголи, Окандзе Руфин

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНО- И АФФИННО-ИНВАРИАНТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§1. Предварительные сведения.

§2. Оценки модуля производной Шварца для гармонических отображений

§3. Оценка радиуса звездности однолистных гармонических отображений

§4. Оценки кривизны образа окружности при гармонических отображениях

§5. Аналог уравнения Лёвнера для подчиненных гармонических отображений

ГЛАВА 2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В СЕМЕЙСТВАХ ЛОКАЛЬНО-КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.

§6. Общие свойства квазиконформных и локально-квазиконформных отображений .:.

§7. Оценка искажения модуля двусвязных областей.

§8. Оценка искажения приведенного модуля.

Введение диссертация по математике, на тему "Экстремальные задачи на классах гармонических отображений"

Основы теории гармонических отображений были заложены в начале XX века в работах Т. Радо [68], X. Кнезера [57] (1926 г.) и Г. Шоке [40] (1945 г.). Повышение интереса к классам однолистных гармонических функций произошло после известной работы Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла [43] (1984 г.), и обусловлено, во-первых, родством задач теории гармонических отображений с классической проблематикой конформных отображений, а, во-вторых, существенными отличиями и своеобразием свойств гармонических функций и используемых для их анализа методов. Отдельным фактором, стимулиру-. ющим развитие теории гармонических отображений, следует считать успешное доказательство Л. де Бранжем [38] в 1984 г. известной гипотезы Л. Бибер-баха об оценке коэффициентов нормированных однолистных конформных отображений. В дальнейшем проблематике однолистных гармонических отображений был посвящен ряд работ Т. Шсйл-Смолла [72], Дж. Бшути [39], У. Хенгартнера [53], П. Дюрена [45], Ю. Йоста [54, 55], Э. Шауброк [71], М. Дорфа, а также российских математиков, таких как В.В. Старков [73, 74], В.Г. Шеретов [33], Д.В. Прохоров, С.Ю. Граф [10 - 14]. Следует отметить, что ряд классических проблем теории гармонических отображений (таких как оценка коэффициентов, теорема существования и единственности гармонического отображения с заданной дилатацией) на сегодняшний день остаются нерешенными.

В настоящей диссертационной работе сделана попытка обобщить некоторые классические результаты геометрической теории функций на классы однолистных и локально-однолистных гармонических и локально-квазиконформных отображений. При этом многие результаты представляют собой продолжение исследований С.Ю. Графа [11, 14] в теории линейно- и аффин-но-инвариантных семейств гармонических отображений.

Цель работы: а) развитие теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств локально-однолистных гармонических отображений единичного круга, включающее в себя получение оценок радиусов кругов однолистности, звездообраз-ности гармонических отображений, доказательство оценок кривизны образов окружностей при гармонических отображениях; б) развитие и адаптация методов модулей и экстремальных длин к классам локально-квазиконформных и гармонических отображений.

Методика исследования. При получении основных результатов данной диссертационной работы использовались вариационные методы (в частности, методы теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств локально-однолистных аналитических и гармонических функций), метод параметрических продолжений, а также методы экстремальных длин и модулей.

Многие доказательства опираются на результаты П. Дюрена [45, 46], Дж. Клуни [43], Т. Шейл-Смолла [72] и С.Ю. Графа. ■

Работа носит теоретический характер.

Основными в ней являются следующие результаты:

- оценка модуля производной Шварца гармонического отображения специального вида, принадлежащего произвольному линейно- и аффинно-инва-риантному семейству;

- оценка радиуса звездности однолистного гармонического отображения, при над л ежащего произвольному линейно- и аффинно-инвариантному семейству;

- оценка кривизны образа окружности при локально-однолистном гармоническом отображении, принадлежащем произвольному линейно- и аффинно-инвариантному семейству;

- уточнение и специализация оценок искажения модулей и приведенных модулей многосвязных областей при локально-квазиконформных отображениях.

Результаты диссертации представляют интерес для развития теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений и тесно связаны с некоторыми классическими проблемами и гипотезами теории гармонических отображений, такими как проблема коэффициентов, проблема круга однолистности, проблема оценки Гауссовой кривизны минимальных поверхностей. Результаты диссертации применены в исследованиях по геометрической теории функций и квазиконформным отображениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 14-ой международной Саратовской зимней школе, посвященной памяти академика П.Л. Ульянова (февраль 2008 г., Саратов), на девятой международной Казанской летней школе-конференции по теории функций (июль 2009 г., Казань), на 5-ой Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу (июль 2010 г., Петрозаводск) и на семинарах кафедры математического анализа Тверского государственного университета.

Публикации. Результаты диссертационных исследований опубликованы и с достаточной полнотой отражены в 8 статьях, список которых приведен в конце диссертации, из них 3 опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Заключение диссертации по теме "Математический анализ"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория гармонических функций и отображений, ставшая к настоящему времени уже классическим разделом теории функций, тем не менее сохраняет большой потенциал для своего дальнейшего развития и приложений. Начало многочисленным исследованниям, предметом которых являются гармонические отображения, было положено в первый трети двадцатого века и связано с такими известными задачами, как классическая задача Дирихле, задача Плато. Несмотря на активность специалистов по теории функций комплексного переменного, многие, как уже известные, так и новые задачи, возникающие в классах гармонических отображений, ещё ожидают своего решения Существенную сложность решения этих задач представляет комбинирование методов конформного и гармонического анализа. Поэтому требуется разработка новых или удачное сочетание и адаптация уже имеющихся методов, чтобы преодолеть эти трудности.

В диссертации предпринята попытка применения некоторых классических методов геометрической теории функций к теории гармонических и локально-квазиконформных отображений.' В диссертации получен ряд законченных новых результатов, имеющих теоретическую ценность для развития теории гармонических отображений и локально-квазиконформных отображений, в частности для теории линейно- и аффинно-инвариантных семейств гармонических отображений. Наиболее важными среди них являются:

1) оценка модуля производной Шварца аналитической составляющей гармонического отображения, принадлежащего произвольному линейно- и аф-финно-инвариаптному семейству С]

2) оценка модуля производной Шварца для гармонических отображений специального вида, принадлежащих произвольному линейно- и аффинно-инвариантному семейству £;

3) доказательство оценки радиуса однолистности для голоморфной составляющей части гармонического отображения в классах локально однолистных гармонических отображений

4) доказательство оценки радиуса звездности для однолистных гармонических отображений, принадлежащих линейно- и аффинно-инвариантному семейству С;

5) получение оценок кривизны образа окружности при локально-однолистных гармонических отображениях, принадлежащих классу

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Эйланголи, Окандзе Руфин, Тверь

1. Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М., 1976. 158 с.

2. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображеничм. М., 1969. 133 с.

3. Белинский П.П. Решение экстремальных задач теории квазиконформных отображений вариационным методом// Сиб. мат. жур., 1960. Т. 1, № 3. С. 303 330.

4. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974.

5. Билута П. А. О решении экстремальных задач для одного класса квазиконформных отображений// Сиб. мат. жур., 1969. Т. 10, К2 4. С. 734 -743.

6. Белый В.И., Миклюков В.М. Некоторые свойства конформных и квазиконформных отображений и прямые теоремы конструктивной теории функций// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1974. Т. 38, № 6. С. 1343-1361.

7. Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения. Львов, 1954. 154 с.

8. Волковыский Л.И. О конформных модулях и квазиконформных отображениях // Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск, 1961. С. 65 68.

9. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966. 628 с.

10. Граф. С.Ю. Теорема покрытия для одного класса гарлюнических отображений круга в полосу // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1996. С. 53 59.

11. Граф С.Ю. Точная оценка якобиана в линейно- и аффинно-инвариант-ных семействах гармонических отображений // Труды Петрозаводского гос. ун-та. Сер. Математика. 2007. Вып. 14. С. 31 38.

12. Граф С. Ю. Теоремы искажения в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2008. С. 43 56.

13. Граф С. Ю. Об оценке шварциана в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2009. С. 22 33.

14. Граф С.Ю. Теоремы искажения в семействах гармонических отображений// Сборник трудов HAH "Украины. Киев, 2010. Т. 7, № 2. С. 218 226.

15. Граф. С.Ю., Эйланголи O.P. Конформные отображения, не принимающие некоторых значений// Вестник ТвГУ. Серия: прикладная математика. №35(95). Тверь, 2008. С. 137- 146.

16. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Об искажений модулей двусвязных областей при квазиконформным отображении // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2009. С. 14 20.

17. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Дифференциальные неравенства в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений // Известия вузов. Математика. Казань, 2010, №10, С. 69 72.

18. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Оценки кривизны линий уровня в линейно-и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2010. С. 29 36.

19. Граф С.Ю., Эйланголи O.P. Об оценке производной Шварца для гармонических отображений// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2010. С. 37- 45.

20. Гутлянский В.Я. О методе вариаций для однолистных аналитических функций с квазиконформным продолжением// Сиб. мат. жур., 1980. Т. 21, № 2, С. 61 78.

21. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М., 1962. 262 с.

22. Дубинин В.Н. Симметризация в теории функций'комплексного переменного// Успехи мат. наук, 1994, Т. 49, № 1. С. 3-76.

23. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1989. 624 с.

24. Корицкий Г.В. О кривизне линий уровня и их ортогональных траекторий при конформных отображениях// Ма.тем. сб., 1955, № 37. С. 103 116.

25. Кудрявцев Л.Д. О свойствах гармонических отображений плоских областей// Мат. сборник, 1955. Т. 36(78), № 2. С. 201 208.

26. Кузьмина Г.В. Методы геометрической теории функций. /// Алгебра и анализ, 1997. Т. 9, №3. С. 41 103.

27. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М., Наука, 1975.

28. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. М., Наука, 1971.

29. Мирошниченко Я.С. Об одной задаче теории однолистных функций// Учен. зап. Донецкого пед. ин-та, 1951, Na 1. С. 63 75.

30. Митюк И.П., Шеретов В.Г., Щербаков Е.А. Плоские квазиконформные отображения. Краснодар: Кубанск. гос. ун-т, 1979. 84 с.

31. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирс: Наука. Сиб. отд-ние, 1962.

32. Хейман В.К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960.

33. Шеретов В.Г. Классическая и квазиконформная теория римановых поверхностей. М.; Ижевск, 2007. 296 с.

34. Эйланголи O.P. Аналог уравнения Лёвнера для подчинённых гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2008. С. 73 77.

35. Эйланголи O.P. Об искажении приведенного модуля// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2009. С. 47 52.

36. Эйланголи O.P. Об оценке радиуса звездности в классах гармонических отображений// Вестник ТвГУ. Серия: прикладная математика. №14. Тверь, 2010. С. 133 140.

37. Ahlfors L. Conformai invariants: topics in geometric functions theopy. N.Y., Mc-Graw-Hill Company, 1973.

38. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture// LOMI preprintes, E 5, 1984. S. 1 - 21.I

39. Bshouty D., Hengartner W. Univalent Harmonic mappings in the plane // Ann. Univ. Mariae Curie-Skladowska, 1994. Sect. A, V. XLVIII (3). P. 12-42.

40. Choquet G. Sur une type de representation analytique généralisant la representation conforme et definie au moyen de fonction harmonique // Bull. Sei. Math., 1945. T. 69, N 2. P. 156 165.

41. Chuaqui M., Düren P., Osgood B. The Schwarzian derivative for harmonie mappings// J. analyse Math. 91(2003). P. 329 351.

42. Chuaqui M., Düren P., Osgood B. Univalence criteria for lifts of harmonie mappings to minimals surfaces. J. Geom. analysis, to appear.

43. Clunie J., Sheil-Small T. Harmonie univalent functions// Ann. Acad. Sei. Fenn., A.I. Math., 1984. V. 9. P. 3 25.

44. David G. Solution de l'équation de Beltrami avec H^H^ = 1 // Ann. Acad. Sei. Fenn., 1988. V.13. P. 25 70.

45. Düren P. Harmonie mappings in the plane. Cambridge, 2004. 214 p.

46. Düren P. Univalent functions. Springer Verlag, New York, 1983. 382 p.

47. Fehlmann R. Ueber extremale quasikonforme Abbildungen// Comment. Math. Helv., 1981. V. 56, N. 3. P. 558 580.

48. Friedrichs K.O. The identity of weak and strong extensions of differential operators// Trans. Amer. Math. Soc., 1944. N. 55. 132 151.

49. Gardiner F.P. Teichmuller theory and quadratic differentials. N.Y.: Wiley, 1987.

50. Grotzsch H. Uber die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen Abbildungen und über damit zusammenhangende Erweiterung des Picardschen Satzes // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Math.-Naturwiss. Kl. 1928. Bd. 80, S. 503 -507.

51. Hamilton R.S. Extremal quasiconformal mappings with prescribed boundary values// Trans. Amer. Math. Soc., 1969. V. 138. P. 399 406.

52. Hardt R., Kinderlehrer D., Lin. F.H. Existence et régularité des configurations statiques des cristaux liquides// C. r. Acad. Sei., 1985. Ser. A. 301, N. 11. P. 577 579.

53. Hengartner W., Schober G. Univalent harmonie functions// Trans. Amer. Math. Soc., 1987. V. 299, N. 1. P. 1 31.

54. Jost J. Harmonie maps between surfaces. Lect. Notes Math., 1984. N. 1026. 133 p.

55. Jost J., Schoen R. On the existence of harmonie diffeomorphisms between surfaces// Invent. Math., 1982. V. 66. P. 353 -359.

56. Kayumov I.R., Starkov V.V. Estimates for logarithmic coefficients of locally univalent functions// XVIth Rolf Nevanlinna Colloquium. Berlin; N. Y., 1996. P. 239 245.

57. Kneser H. Losung der Aufgabe 4-1 // Jahresber. Deutsch. Math. Ver., 1926. Bd.35. S. 123 124.

58. Krzyz J.G. Coefficient problem for bounded nonvanishing functions // Ann. Polon. Math., 1967 1968. V. 20. P. 314.

59. Lavrentiev M.A. Sur une classe de representation continues// Mat. Sb. 1935. V.42. P. 407 434.

60. Lehto 0. Univalent functions and Teichmuller spaces. Springer Verlag, Berlin; N. Y., 1987.

61. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. Springer Verlag, Berlin; N. Y., 1973.

62. Lehto O., Virtanen K. Quasikonforme Abbildungen. Springer Verlag, Berlin; N. Y., 1965.

63. Martio O. On quasiconformal harmonic maps // Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Mathematica, 1969. N. 425. P. 1 -10.

64. Minser Ch. Harmonic maps as models for physical theories // Phys. Rev. D., 1978. V. 18, N. 12. P. 4510 4524.

65. Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions// Bull. Amer. Math. Soc., 1959. V.55. P. 545 551.

66. Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Functionen. /// Math. Ann., 1964, Hf. 155. P. 108 154.

67. Prokhorov D.V. Even coefficient estimstes for bounded univalent functions // Ann. Polon. Math. 1993. V. 58, N. 3. P. 267 273.

68. Rado T. Aufgabe 41 // Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1926. Bd.35. S.49.

69. Schaeffer A.C., Spencer D.C. The coefficient regions of schlicht function// Amer. Math. Soc. Colloquim Publication. V. 35. N.Y., 1950.

70. Schoen R., Yau S.T. On univalent harmonic mappings// Invent. Math., 1978. V. 44. P. 265 278.

71. Shaubroeck L.E. Subordination of planar harmonic functions// Complex Variables, 2000. V. 41. P. 163-178.

72. Sheil-Small T. Constants for planar harmonic mappings// J. London Math. Soc. 1990. V. 42. P. 237 248.

73. Sobczak-Knec M., Starkov V.V., Szynal J. Old and new order of linear invariant family of harmonic mappings and the bound for Jacobian// Ann. Acad. Sci. Fenn., to appear.

74. Starkov V.V. Harmonic locally quasiconformal mappings // Ann. Univ. Ma-riae Curie-Sklodowska. Lublin, 1995, V. XLIX, 14, Sectio A. P. 184 197.

75. Tammi O. Extremal Problems for Bounded univalent Functions. Lect. Notes Math., 1978. N. 646.

76. Vasil'ev A. Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mappings. Springer Verlag, Berlin; N. Y., 2002. 211 p.