Некоторые вопросы представления в весовых пространствах голоморфных и n-гармонических функций со смешанной нормой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.,.

ГЛАВА 1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЕКТОРЫ, ДВОЙСТВЕННОСТЬ И ДИАГОНАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ.

§1.1. Доказательство вспомогательных утверждений.

§1.2. Непрерывные проекторы в пространствах Нр(3).

§1.3. Представление линейных непрерывных функционалов в пространствах ff р(3), 1 < р < -foo.

§1.4. Представление линейных непрерывных функционалов в пространствах H * (S), 0 < В < 1.

§1.5. Диагональное отображение в пространствах^^(3).

ГЛАВА 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛЖШРШЬЕХ ШШЁРЁШйХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ п -ГАРМОНИЧЕСКИХ И ПЛЮРЖАРМОИИЧЕСКИХ В ПОЛИДИСКЕ ФУНКЦИЙ.

§2.1. Доказательство вспомогательных утверждений.

§2.2. Представление линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах и—гармонических и плюригармонических в полщиске функций при 1 < р < +оо.

§2.3. Представление линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах п - гармонических и плюригармонических в полидаске функций при 0 < р < 1.,.

§2.4. Диагональное отображение в весовых пространствах плюригармонических в полндиске функций.

ГЛАВА 3. МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ В НЕКОТОРЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

§3.1. Доказательство вспомогательных утверждений.

§3.2. Описание мультипликаторовиз Нр(т) в 1Р.

Актуальность исследования. Теория функциональных пространств со смешанными нормами, введенных в 60-х годах А.Бенедеком и Р.Панцоне (см. [1]), играет существенную роль в теории функций, функциональном анализе и их приложениях. По этим вопросам опубликован ряд фундаментальных работ (см. [2-4]). В основном эти исследования проводились в вещественной области. В комплексной области интенсивно исследовались пространства гармонических и голоморфных функций с обычной Иметрикой: пространства типа пространств Харди Нр (см. [5,6,10,12,13]) и пространства типа Бергмана Ар (см. [7-9]). В связи с этим возникает необходимость изучения весовых пространств со смешанной нормой голоморфных, п— гармонических, плюригармокических функций в полициливдрических областях. Поэтому можно сказать, что тематика диссертационной работы весьма актуальна.

Цель работы - исследование пространств голоморфных, и-гармонических, плюригармонических функций со смешанными нормами.

Для реализации гюставленной цели решены следующие задачи:

- построен линейный ограниченный проектор из Ьр(с5) на Нр (со) и из }гр(&) на

Нр(ёу,

- полнено полное описание линейных непрерывных функционалов на пространствах голоморфных, п — гармонических, плюригармонических функций со смешанными нормами;

- дана характертоация следов функций пространств голоморфных и плюригармонических функций со смешанной нормой на диагонали полидиска;

- получено полное описание мультипликаторов го указанных пространств в 1Р пространства.

Методы исследования. В диссертации использованы общие методы линейного и комплексною анализа, а также более специфические методы теории сингулярных интегральных операторов. В работе существенную роль играют интегральные представления исследуемых классов функций посредством известных ядер.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер и может найти применение в других вопросах теории фушсций одной и нескольких комплексных переменных, в теории операторов, в гармоническом анализе.

Апробация работы. Результаты исследования нашли отражение в пяти печатных работах, докладывались на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997 г.), на семинаре по комплексному анализу Брянского госпедуниверситета им. акад. И.Г.Петровского (Брянск, 1995-1998гг.). Основное содержание диссертации отражено в работах [40-45].

Работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы. Прежде нем приступить к обзору результатов диссертации, заметим, что задачи, решаемые в ней, таге или иначе связаны с изучением интегральных представлений некоторых классов голоморфных и п - гармонических в единичном полидиске функций.

1. Benedek A., Panzone R., The spaces LP with mixed norm/TDuke Math. J. - 1961.- V. 28.-№ 3,- P.301-324.

2. Никольский C.M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. -М. : Наука, 1977.- 455 с.

3. Бесов О.И., Ильин В.П, Никольский СМ. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.- 480 с.

4. Трибель X. Теория функциональных пространств. М. : Мир, 1986,- 447 с.

5. Duren P.L., Theory of Нр spaces, New York and London, Acad, press, 1970.

6. Рудин У. Теория функций в поликруге. М : Мир, 1974.

7. Djrbashian A., Shamoyan F.A,, Topics in the theory of Ap spaces/ZTeubner Texte zur Math. 1988.-V. 105.

8. Шведенко C.B. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре/УИтоги науки и техники, ВИНИТИ, Математический анализ. 1985.- Т. 23,- С.3-103.

9. Shields A.L., Williams D.L., Bounded projections, duality and multipliers in space of analytic functions/ZTrans. Amer. Math. Soc. 1971,-V. 162.- P.287-302.

10. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции. М. : Мир, 1984.- 469 с.И. ДжрбашянМ. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966.- 672 с.

11. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М. : ИЛ, 1963.

12. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр с приложением доказательства Волффа теоремы о корне. М.: Мир, 1984.- 364 с.

13. Shields A.L., Williams D.L., Bounded projections, duality and multipliers in space of harmonic functions//! reine and angew. Math. 1978,- Bd. 299/300.- Jfe 8.- P.256-279.

14. Forelly F., Rudin W., Projection spaces of holomorphic functions in balls//indiana Univ. Math. J. -1974.-V. 24.- P.596-602.

15. Шамоян Ф.А. Теоремы вложения и характеристика следов в пространствахН р (t/" ) 0 < р < -И»//Мат. сб. 1978,- Т. 107.- № 3,- С.446-462.

16. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске фунщий//Сиб. мат. журн. 1990.- Т. 31.-№>2,- С. 197-215.

17. Aleksandrov А.В., Essays on поп locally convex Hardy classes/ZComplex Anal, and spectral theory. Lect. Not. in Math. 1981,- № 864,- P. 1-90.

18. Джрбашян M.M. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге функщш//Докл. АН АрмССР. 1945,- Т. 3.- №> 1.- С.3-9.

19. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций//Сообгц. Ин-та математики и механики АН АрмССР. -1948.- Вып. 2.- С.3-55.

20. Сенета Е. Правильно меняюпщеся функции. М.: Наука, 1985. - 141 с.

21. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L., Linear functional on Hp spaces with 0 < p < 1 //J. reine and angew. Math. -1969.- Bd 238.- P.32-60.

22. Duren P.L., Shields A.L., Restrictions Hp functions to the diagonal of the polydisc//Duke Math. J. 1975.- V. 42.- №> 4.- P.567-579.

23. Horowitz C., Oberlin D., Restrictions to diagonal of Un//Indiana Univ. Math. J. 1976.-V. 24,- № 7.-P.767-772.

24. Шамоян Ф.А. Теоремы вложения в пространствах п гармоническых функций и некоторые приложения//ДАН АрмССР. - 1975.- Т. 60.- Да 3,- С.203-208.

25. Duren P.L., Shields A.L., Coefficient multipliers of Hp and Bp spaces/ZPacif. Yourn. Math. 1970,-V. 32.-P.69-78.

26. Obertm D.M., Two multiplier theorems for H\Ul)HProc. Edin. Math. Soc. -1977.-V. 22.- jVo 1,-P.43-47.

27. Гварадае М.И. Множители одного класса аналитических функций, определенных на полидиске/ЛГруды Тбилисского математического института. 1980.-Т. LXVL- С.15-21.

28. Гварадае М.И. Об одном классе пространств аналитических фужций//Математические заметки. 1977.- Т. 21,- № 2,-С. 141-150.

29. Frazier А.Р., The dual space of Hp of the polydisc for 0 < p < 1 //Duke Math. I 1972.-V. 39.-№ 2,- P.369-379.

30. Шамоян Ф.А. Теплицевы операторы и деление на внутренюю функцию в некоторых пространствах аналитических функций//ДАН АрмССР. 1983.- Т. 16- № 3.- С. 109-113.

31. Duren P.L., Shields A.L., Properties of Hp ( 0 < p < 1 ) and its containing Banach spaces/'Trans. Amer. Math. Soc. -1969,-V. 141.-P,255-262.

32. Шведенко C.B. О коэффициентах Тейлора функций из пространств Бергмана в поликруге//Докл. АН СССР. 1985.- Т. 283.- № 2,- С.325-328.

33. Хермавдер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М. : Мир, 1968,- 280 с.

34. Ронкин ЛИ. Введение в теорию целых функций многих переменных. М. : Наука, 1971.-432 с.

35. Fefferman Ch., Stein Е.М. Hр spaces of several variables//Acta Math, 1972.-V. 129,-P. 137-193.

36. Рудин У. Функциональньш анализ. M : Мир, 1975.- 443 с.

37. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М. : Фюматгоз, 1959.- 807 с.

38. Coifman R.P., Rochberg R. Representation theorems for holomorphic and harmonic functions in Lp //Asterisque. -1980.- V. 77,-P. 11-66.

39. Ярославцева O.B. Представление линейных непрерывных фушсционалов в некоторых весовых пространствах «-гармонических и плюригармонических в полидиске функций //Деп. в ВИНИТИ 21.02.97 № 560 - В97.

40. Шамоян Ф.А., Ярославцева О.В. О некоторых весовых пространствах голоморфных в полидиске функций со смешанной нормой/УСовременные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов школы. Воронеж: ВГУ, 1997,- С. 170.

41. Ярославцева О.В. Описание линейных непрерывных функционалов в некоторых весовых пространствах к-гармонических в полидиске функций//Современные методы теории функций и смежные проблемы; Тезисы докладов школы. Воронеж: ВГУ, 1997,- С.175.

42. Шамоян Ф.А., Ярославцева О.В. Непрерывные проекторы, двойственность и диагональное отображение в некоторых пространствах голоморфных функций со смешанной нормой//3ап. научн. семин. ПОМИ.- 1997.- Т. 247,- С.268-275.

43. Ярославцева О.В. О мультипликаторах в некоторых анизотропных пространствах аналитических функций //Зап. научн. семин. ПОМИ.-1998.- Т. 255.- С,244-248.

44. Ярославцева О.В. Описание мультипликаторов в некоторых весовых анизотропных пространствах голоморфных в полидиске фунций/УДеп. в ВИНИТИ 12.02.99 № 476 -В99.