Мультипликаторы степенных рядов, операторы Теплица и двойственность в некоторых пространствах аналитических в поликруге функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА 1. Описание мультипликаторов степенных рядов некоторых классов аналитических в поликруге функций

§1.1 О мультипликаторах из пространств со смешанной нормой в пространства Харди в поликруге

§1.2. О мультипликаторах в классы В МО А, Бесова и Липшица в поликруге

§1.3. Об ограниченности преобразования Харди в некоторых классах аналитических функций

ГЛАВА 2. Ограниченные проекторы, представление функционалов и операторы Теплица в пространствах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой и в классах типа ВМОА

§2.1. Ограниченные проекторы в пространствах (U") и Bap"sq (Un)

§2.2. Представление линейных непрерывных функционалов в пространствах F^q(Un) и А"

§2.3. Ограниченность операторов Теплица в пространствах

BMOAs q(U)m BMOAsq(U), 0<s<\

§2.4. Об операторах Теплица в пространствах (Un)

Актуальность темы. В теории классов Харди и ее многочисленных приложениях, как впрочем и во всем комплексном анализе, существенное место занимают вопросы, возникающие при представлении голоморфных в областях евклидова пространства Сп функций степенными рядами. Проблема описания мультипликаторов степенных рядов в пространствах аналитических функций является одной из классических, несколько результатов в этом направлении были получены еще в начале XX столетия в работах Харди и Литтлвуда (см.[1],[2]). В дальнейшем эти исследования были продолжены в многочисленных работах других математиков (см.[3]-[18], [52]). Интерес к этим задачам со временем сохраняется. Более того, в последние годы появилось большое количество работ по этой тематике. Однако случай функций нескольких переменных до сих пор остается мало исследованным(см.[10], [14], [52]).

Операторы Теплица Tfl(f)= P+(fh), где Р+ - проектор Рисса, играют важную роль при изучении вопросов связанных с факторизацией функций, при изучении метрических проекций, при описании замкнутых идеалов в алгебрах аналитических функций и т.п. В пространствах голоморфных функций в единичном шаре пространства Сп эти операторы исследовались в работах А.Б.Александрова, П.Ахерна, Р.Шнейдера (см.[36]). Актуально исследование подобных задач и в классах голоморфных в поликруге Un функций.

Возрастающая роль в математическом анализе пространств ограниченных в среднем функций (ВМО) хорошо известна. Поэтому также представляется актуальным исследование различных подпространств таких пространств, составленных из аналитических функций. Цель работы. Целью настоящей диссертации является: - получить полное описание мультипликаторов различных классов аналитических в поликруге функций ( со смешанной нормой, пространств Харди),

- исследовать действие обобщенного преобразования Харди в весовых пространствах Бергмана, в пространствах Харди и в аналитических подпространствах пространств ограниченных в среднем функций.

- изучить поведение операторов Теплица в пространствах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой, в классах типа В МОЛ.

Методы исследования. В диссертации применяются методы классического функционального и комплексного анализа, теории классов Харди. Существенную роль в работе играют диадические разбиения поликруга U п, свойства многомерных ядер Бергмана-Джрбашяна.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты, вошедшие в диссертацию, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение за пределами чистой теории функций, в частности при исследовании уравнений в свертках.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (Ростов-на-Дону, 1999), на конференции «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000), на семинаре в Ml И У (руководитель: профессор Е.А. Горин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [54]-[60].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 7 параграфов. Работа занимает 110 страниц текста. Библиография содержит 60 наименований.

выводим p e Hco^Jn j[ z = Re,> 1 Г /(tfflt)

DmG(z) = -—Ц— \-Шй-фпМ z = Re'> W (2n:i)n Jn (l - /z)

Следовательно \= lim

Hs(Un) R^l

DmG R H И

C(n) lim f ГФРЯ, ,dmn{t)dmn(¥) C(«1lim fi)

R4> 1 J грП m

Кег> л г ;

J 1-/ грП f{t)p(t)dmn(t).

Заметим теперь, что оператор

S{0){lR)=h(lR)

1 - / Re1' JirS^) является проектором Рисса от функции Ф и поэтому h(tR)eHs'(Tn] - + \ = s s

Следовательно, по лемме 1.5 имеем

D G

I \ = ГН lim J f(Rt )cp(Rt)l)mh(jR)dmn (t un Q MIHL - \w\f-1 dm2n (w), un

1 1 PZ, h{w)eHs'{Tn) - + ^ = 1. s s

Далее используя неравенство Гельдера, выводим DmG\ jMs{Dkf,p)MsI{Dmh,p)x

Н' in l-pf 1 pdpx.,dp n

Нам в дальнейшем потребуется

Лемма 2Л 5. Пусть G е H^Jn )l < s < oo. Тогда имеют место оценки

1) Ms{DmG,R2)<C{\-R)~m Ms{G,R),ReIn,meN (2.10)

2) Ms(p,R2)< Сх (l -Д)^4 M,(G,tf),Я e /и, (2.11) Замечание. При n = 1 оценки (2.10) и (2.11) хорошо известны (см.[30]).

Отложим доказательство леммы. Используя оценки (2.10) и (2.11) получаем

DG я' И

ФШл'И \Ms{Dkf,p\\-p)Mdpx.dpn (2.12) к > т,к,т е N

Из леммы 1.6 главы 1 и леммы 2.15 непосредственно следуют неравенства j\G(w}(l-\w\)}p+a~2dm2Mz

U' С1 j J(l - R)014^ \G{R^\q dR

Tn\ln dmn{%)

2.13)

7е#(с/л) max (/?,#)< 1,0 < a < со и j*M y {G, R)(1 - Rf RdR < С J|G(w) (l -1 dmln (w)

2.14) un

GeH(un}j3>-\,s> 1.

Используя (2.13) и (2.14) окончательно выводим из оценки (2.12) Теорема доказана.

Замечание. Нетрудно заметить, что предложенный в теоремах подход можно применить для получения необходимых и достаточных условий на символ (р, при которых Т- - ограничен из ^/^(t/") в X, где X- некоторое отличное от А'" и Hsm квазинормированное подпространства #([/").

Доказательство леммы 2.15. Оценка содержащаяся в пункте 2 следует из леммы 1 работы [14] . Лемма (см.[14]) .Если/ аналитична в поликольце

О < г j < Zj < Rj, 1 < j < m, и непрерывна в его замыкании, то при

О < р < q < со, р e(r,R) m i i mQY II 4 ,, v\\HP rn j j j=1 riJ<i J J=l,.,n

Первую оценку легко установить применяя теорему Фубини и индукцию по п.

1. Hardy G.H., Littlewood J.E. Some properities of fractional integrals // Math.Z. 1931. 34. №3.P. 403-439.

2. Hardy G.H., Littlewood J.E. Notes on the theory of series // Quart. J.Math,1937. 8, №31. p. 161-171.

3. Duren P.L., Shields A.L., Coefficient multipliers Hp and Bp spaces //Pacif

4. J. Math. 1970. 32. №1. P. 69-78.

5. Hedlund J.H., Multipliers of Hp spaces// J.Math. and Mech. 1969. 18. №11.1. P. 1067-1074.

6. Шамоян Ф.А., Диагональное отображение и вопросы представления ванизотропных пространствах голоморфных функций // Сиб.мат.жур, 1990. Т.ЗО. №2. С. 195-215.

7. Shields A.L., Williams D. Bounded projections, duality and multipliers inspaces of analytic functions // Trans. Amer.Math.Soc, 162. 1971. P.287-302

8. Wojtaszezyk P. On multipliers into Bergman spaces and Nevanlinna class //

9. Canad. Math. Bull. 33. 1990. P. 151-161.

10. Vikotic D. On the coefficient multipliers of Bergman spaces // J. London

11. Math. Soc. 50. 1997. P. 341-348.

12. Mateljevic M.and Pavlovic M. Duality and multipliers in Lipschitz spaces//

13. Proc. Intern. Conf. Complex Analysis. Varna. 1983. P. 153-161.

14. Oberlin D.M. Two multipliers theorem for Hpu2) // Proc Edm. Math.

15. Soc. 1979. 22. №1. P. 43-47.

16. Mateljevic M. and Pavlovic M., Duality and multipliers of Hp and ВМОП

17. Pacif.J.Math. 146. 1990. P.71-84.

18. Anderson J.M., A note on Lipschitz classes // Math. Z. 1976. 150. №1. P.39.43.

19. Jevtic M. and Pavlovic M. On multipliers from Hp to lq, 0 < q < p <1.

20. Arch. Math. 56. 1991. P.174-180.

21. Тригуб P.M. Мультипликаторы в пространствах Харди Hp от j прир е (ОД. и аппроксимативные свойства методов суммирования степенных рядов//Мат.сбор. №4. 1997. С.149-160.

22. Ahem P. and Jevtic M. Duality and multipliers for mixed norm spaces //

23. Michigan. Math. J. 30. 1983. P.53-64.

24. Anderson J. M. Coefficient multipliers and Sobolev spaces // J.Analysis. 1.1993. P. 13-19.

25. Blasco O. Multipliers on weighted Besov spaces of analytic functions //

26. Contemp. Math. 144. 1993. P. 23-33.

27. Хрущев С.В. Особенности линейных операторов в пространствах аналитических функций // Труды Седьм. Зим. Школы, Дрогобыч, Теор. фун. и функ. анал. 1974. С. 87-115.

28. Ortega J., Fabrega J. Pointwise multipliers and corona type decomposition in

29. BMOA. // Ann.De L'Inst. Four. Genoble 46. 1996. 1. P. 11-137.

30. Alexsandrov A.B. On the boundary decay in the mean of harmonic function

31. St.Pet.Math J. V. 7. 1996. №4. P.507-541.

32. Ярославцева О.В. О мультипликаторах в некоторых анизотропных пространствах аналитических функций // Зап.науч.семин.ПОМИ. 1998. Т.255. С.247-299.

33. Шамоян Ф.А. Арутюнян А.В. Теплицевы операторы в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // ДАН. АН. РА. Т.91. №4. 1990.

34. Коренблюм Б.И. Об одном экстремальном свойстве внешних функций

35. Мат. заметки. 1971. Т. 10. №1. С.53-66.

36. Широков Н.А. Деление на внутреннюю функцию не меняет класса гладкости // Докл. АН СССР. 1983. 268. №4. С.821-823.

37. Fefferman R. Bounded mean oscillation on the polydisk // Ann.Math. 1979.110. №2. P.395-406.

38. Трибель X. Теория функциональных пространств. М. Мир. 1986. 447 с.

39. Гулиев B.C., Лизоркин П.И. Классы голоморфных и гармонических функций в поликруге в связи с их граничными значениями // Труды Мат. Ин-та РАН. Т.204. 1993. С. 137-159.

40. Fefferman С., Stein Е. Нр spaces of several variables // Acta Math. 192.1972. P. 137-173.

41. Aleksandrov A.B., Peller V.V. Hankel operators and similarity to a contraction // Intern.Math. Res. Notices. 6. 1996. P. 263-275.

42. Duren P.L. Theory of Hp spaces // Academic Press. New-York. 1970. 258p.

43. Петров A.H. Об одном способе построения условных базисов из степеней в некоторых банаховых пространствах аналитических функций//Зап.науч.сем ПОМИ. 1997. Т.241 С. 170-200.

44. Андрианова Т.Н. Коэффициенты Тейлора с редкими номерами для функций суммируемых по площади // Зап.науч.сем. ПОМИ. 1976. Т.65. С.161-163.

45. Garnett J.B. Bounded Analytic functions. Academic Press. Orlando. FBA.1981. 469 p.

46. Пеллер В. В., Хрущев С. В. Операторы Ганкеля, наилучшие приближения и стационарные гауссовские процессы // Усп.мат.наук.1982. 37. №1. С. 53-124.

47. Janson S., Petre J., Semmes S. On the action of Hankel and Toeplitz operators on some function spaces // Duke Math. Journal. V. 51. №4. 1984. P. 937-957.

48. Александров А.Б. Теория функций в шаре // Итоги науки и техники.

49. Совр.проб.мат. Фунд. напр. Т.8. 1985. С. 115-186.

50. Шамоян Ф.А. Теплицевы операторы в некоторых пространствах голоморфных функций и новая характеристика классов ВМОА II Изв. АН Арм.ССР. 1987. №2. С.122-132.

51. Benedek A., Panzone R. The Lp spaces with mixed norm. Duke Math. J.28.3. 1961. P.301-324.

52. Djrbashian A. and Shamoian F. Topics in the theory of Ap spaces. Teubner

53. Texte zur Math. V.105. 1988. 288 p.

54. Duren P.L., Romberg B.W., and Shields A.L. Linear function on Hp spaceswith 0 < p < 1. J. Reine Angew. Math. 1969. V.238. P.32-60.

55. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М. Наука. 1964. 436 с.

56. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области // М. Наука. 1966. 671 с.

57. Бари Н.К., Стечкии С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. Мат. Об-ва. 1952. Т.1. С. 483-522.

58. Стейн Е.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М. Мир. 1973. 342 с.

59. Рудин У. Теория функций в поликруге. М. Мир. 1974. 160с.

60. Голубов Б.И. Мат. заметки. Т.63. Вып. 3. 1988.

61. Alexsandrov А.В. Essays on поп localy convex Hardy classes // Comlpex Anal, and spectral theory. Lect.Notes in Math. 844. 1981. P. 1-90.

62. Джрбашян M.M. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге функций // Докл. Ан Арм. ССР. 1945. Т.З. С.3-9.

63. Голубов Б.И. О преобразованиях Харди и Беллмана пространств Н' и В МО // Тез. Докл. 8-ой Саратовской зим. Мат.школы. 1996. С.36-37.

64. Buckley S.M., Koskela P., Vukotic D., Fractional integration, differentiation and weighted Bergman spaces // Proc. of Cambridge Ph. Soc. 1999. №21. P. 377-385.

65. Zhu K. Multipliers of BMC) in the Bergman metric with application to Toeplitz operatoprs // J.Funct Anal. 87. 1989. P.31-50

66. Шведенко С.В, Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге и шаре //. Итоги науки и тех. Сер. Мат. АН М. 1985. Т.23. С.3-123.

67. Забуленис А. О дифференциальном операторе в пространствах аналитических функций //. Лит. мат. сб. 1984. 24. №1.С. 53 59.

68. Шамоян Р.Ф. О коэффициентных мультипликаторах в пространствах ВМОА, Липшица и Бесова в полидиске //. Тез.конф. Ряды Фурье и их приложения, Ростов-на-Дону. 1999. С.350.

69. Шамоян Р.Ф. Непрерывные функционалы и мультипликаторы степенных рядов одного класса голоморфных в полидиске функций // Изв.вузов. Математика. 2000. №7. С. 84-87.

70. Шамоян Р.Ф. О представлении линейных непрерывных функционалов в одном пространстве голоморфных в круге функций // Мат.физ.,анализ, геометрия. 1999. №3/4. С. 361-371.

71. Шамоян Р Ф. О мультипликаторах из пространств типа Бергмана в пространства Харди в поликруге // Укр.Мат.Жур. 2000. № 10. с. 405415.

72. Шамоян Р.Ф. Об ограниченности операторов Теплица в пространствах типа ВМОА //, Тез.докл., Мат.мод. в ест. и гум. науках,.Воронеж. 2000. С.232.

73. Шамоян Р.Ф. Об ограниченности преобразования Харди в Нр и А%,0< р< 1.// Вестник молодых ученых. С-Пб. 2000. №4. С.110-118.

74. Шамоян Р.Ф. Обобщенное преобразование Харди и операторы Теплица в пространствах типа ВМОА.// Укр.мат.жур. 2001. №7.