Усеченные операторы Теплица и факторизации псевдопродолжимых функций

Бессонов, Роман Викторович

Усеченные операторы Теплица и факторизации псевдопродолжимых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Бессонов, Роман Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Усеченные операторы Теплица и факторизации псевдопродолжимых функций»

Автореферат диссертации на тему "Усеченные операторы Теплица и факторизации псевдопродолжимых функций"

На правах рукописи

Ои

Бессонов Роман Викторович

Усеченные операторы Теплица и факторизации псевдопродолжимых функций

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

8 АПР 2013

Уфа, 2013 г.

005057758

Работа выполнена в лаборатории математического анализа федерального государственного бюджетного учреждения науки "Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стек-лова РАН".

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук В.В.Капустин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук И.Х.Мусин

доктор физико-математических паук В.Ж.Снкбаев

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский Государственный Университет

Защита диссертации состоится 12 апреля 2013 г. в 15 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112, ауд 24.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан " и" МаЬт<к 2013г.

Ученый секретарь совета Д.002.057.01 кандидат физико-математических наук

С.В.Попёнов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации исследуются свойства операторов Теплица на модельных пространствах.

Рассмотрим классическое пространство Харди Я2 в единичном круге комплексной плоскости. Пусть Р+ обозначает проектор Рисса в пространстве Ь2 на единичной окружности, то есть ортогональный проектор в Ь2 на Я2. Оператором Теплица с символом ¡р е называется отображение

Тр : / Р+(<р/), / е Н2. (1)

Теория опе[)аторов Теплица в пространстве Харди хорошо развита и имеет множество приложений. Операторы Теплица рассматриваются и в других пространствах аналитических функций, например, в пространствах Бергмана, Пэли-Винсра, Баргмана-Фока, Дирихле и др. В настоящей диссертации исследуются свойства операторов Теплица, действующих в так называемых модельных пространствах. Такие операторы называются усеченными операторами Теплица.

Модельные пространства суть инвариантные подпространства оператора обратного сдвига 5* : / , действующего в пространстве Харди Я2. Из теоремы А. Берлинга следует, что замкнутое подпространство Е С Н2 инвариантно относительно оператора Б* тогда и только тогда, когда Е — К2 для некоторой внутренней функции в, где

К^ = Н2 © вН2 = {/ € Я2 : (/, вд) = 0 для всех д € Я2}.

Функция в € Я2 называется внутренней, если \в{г)\ = 1 почти всюду но мере-Лебега на окружности Т. Пусть Рд обозначает ортогональный проектор на в пространстве Ь2. Усеченным оператором Теплица с символом р £ Ь2 называется плотно заданный оператор

(2)

действующий в пространстве К^. В случае, когда оператор А^ ограничен на своей области задания, будем считать его продолженным по непрерывности на нее пространство А',2.

Операторы (2) естественно рассматривать как усечения "больших'' операторов Теплица (1) на меньшее подпространство. Например, матрица Теплица размера п х п, получающаяся из бесконечной матрицы {(Т1ргк, г1)} оператора Т^ выбором первых п строк и п столбцов, порождает усеченный оператор Теплица А(с тем же символом у) в конечномерном пространстве где 0 = Другой пример: известно,

что операторы Винера-Хопфа свертки на полупрямой [0, +оо) унитарно эквивалентны операторам Теплица (1). Их усечения, т.е. операторы Винера-Хопфа на отрезке [0, а],

унитарно эквивалентны усеченным операторам Теплица в пространстве где 5n(z) -- eiaz — внутренняя функция в верхней полуплоскости.

Усеченные операторы Теплица с ограниченными аналитическими символами естественным образом возникают в скалярном случае модели Б.Секефальви-Надя-Ч.Фойаша для сжатий в гильбертовом пространстве при построении //^-исчисления модели исследуемого сжатия. Этим объясняется интерес к таким операторам и тот факт, что они хорошо изучены (см., например, книгу Н.К.Никольского "Лекции об операторе сдвига"). С другой стороны, до недавнего времени имелось сравнительно мало информации об усеченных операторах Теплица с L2 -символами общего вида. В статье "Algebraic properties of truncated Toeplitz operators", опубликованной в 2007 год}', Д.Сарасон исследовал общие свойства таких операторов и поставил ряд вопросов, определивших дальнейшее развитие этой области. Оказалось, что усеченные операторы Теплица тесно связаны с мерами Карлесона для модельных пространств, возможностью слабой факторизации псевдопродолжимых функций, условиями П.Ахерна и Д.Кларка существования угловых производных внутренних функций, свойствами модельных пространств, отвечающих однокомпонетным внутренним функциям. Основное содержание настоящей диссертации связано с ответами на три вопроса из вышеупомянутой статьи (см. задачи 1, 2, 4 в пункте "Цели и задачи диссертации"). Полученные результаты применяются к исследованию свойства гиперрефлексивности оператора усеченного сдвига (т.е. усеченного оператора Теплица с символом ip(z) — z). Также рассматривается тесно связанная с усеченными операторами Теплица задача о существовании усредненных волновых операторах на сингулярном спектре.

Цели и задачи диссертации заключаются в следующем:

1. Дать критерий существования ограниченных символов у всех ограниченных усеченных операторов Теплица, действующих в пространстве Kg в терминах внутренней функции (9;

2. Доказать, что все ограниченные усеченные операторы Теплица порождаются мерами Карлесона для модельных пространств или построить контрпример к этому утверждению:

3. Описать те модельные пространства Кв которых возможна слабая факторизация функций / £ Кд2 и сумму произведений / = 2 хкУк, хк, У к е Кд С оценкой норм;

4. Полностью описать усеченные операторы Теплица конечного ранга в терминах воспроизводящих ядер модельных пространств;

5. Выяснить, при каких условиях на внутреннюю функцию 0 оператор усеченного сдвига в пространстве КЦ обладает свойством гиперрефлексивности или свойством относительной гиперрефлексивности;

6. Исследовать вопрос о существовании усредненных волновых операторов для унитарных операторов и2 и ограниченного оператора отождествления А, в случае, когда гапк(Л£/1 — Ь^А) 2 и спектральные меры операторов и2 не являются абсолютно-непрерывными.

Вое необходимые определения -1 формальные постановки задач приводятся в параграфе "Содержание; работы".

Методы исследования. Доказательство большинства результатов использует методы комплексного анализа, относящиеся к теории модельных пространств. Для исследования задач 5 и 6 (см. список выше) привлекаются сведения из теории операторных алгебр и спектральной теории унитарных операторов.

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Основными результатами диссертации служат теоремы 1, 2, 3, 5, 8, формулируемые в параграфе "Содержание работы".

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применения в различных областях математического анализа и теории операторов, таких как теория модельных пространств, теплицевы матрицы конечного порядка, интегральные операторы Винера-Хопфа, операторные алгебры, математическая теория рассеяния. Результаты диссертации могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН, Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, Московском государственном университете, Санкт-Петербургском государственном университете, Сибирском федеральном университете, а Тськже в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па нескольких международных школах и конференциях: Seventh Advanced Course in Operator Theory and Complex Analysis (University of Seville, Испания, 2010), Recent Trends in Analysis (University Bordeaux 1, Франция, 2011), Operator Theory and Integrable Systems (Institute Mittag-Lefler, Швеция, 2011), Summer St.Petersburg Meeting in Mathematical Analysis (Институт им. Л.Эйлера, Санкт-Петербург, 2010, 2011 и 2012гг.). Также результаты диссертации докладывались па семинаре по теории операторов и теории функций Санкт-Петербургского отделения института им. В.А.Стеклова и на семинаре по анализу университетов США California Institute of Technology, Texas A&M University.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приводится в конце автореферата. Из двух совместных работ [lj, [2] на защиту выносятся только те результаты, основная идея доказательства которых принадлежит диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 10 глав, включая главу "Введение". Объем диссертации составляет 95 страниц. Библиография - 64 наименования.

Краткое содержание диссертации

Введение к диссертации содержит основные определения, постановки исследуемых задач, известные результаты об усеченных операторах Теплица, а также формулировки теорем 1-8.

Глава 2 содержит сведения из теории модельных пространств и некоторые результаты предварительного характера, необходимые для доказательства теорем 1-8.

Глава 3 посвящена выявлению взаимосвязей между мерами Карлесопа для модельных пространств и усеченными операторами Теплица.

Напомним, что мера ß с носителем в замкнутом единичном круге Ю> называется мерой Карлесопа (для пространства Харди Н2), если ограничен оператор вложения Jß : Н2 L2(ß). При этом вложение J^ изначально задают на аналитических полиномах по правилу Jfi '■ / ^ /IsuPPMj а потом продолжают по непрерывности па все пространство Я2 (здесь и далее /1 supp // обозначает сужение функции / на носитель supp/л меры ß).

Аналогичным образом вводится понятие меры Карлесона для модельных пространств К2. А именно, зафиксируем внутреннюю функцию в и рассмотрим оператор вложения : Кд Ь2(ц), где ц — конечная положительная борелевская мера, эиррд С О. Первоначально определим оператор : / м- /| эирр на плотном подмножестве функций / 6 Кд, непрерывных в замкнутом единичном круге В. Мера ц называется мерой Карлесона для пространства Л'|, если оператор вложения

: Кд 12{ц) можно продолжить до линейного ограниченного оператора, заданного на всем пространстве Кд. Нас будут интересовать меры Карлесона для пространства К2,, сосредоточенные на единичной окружности Т. Обозначим множество всех таких мер через В случае, когда вариация |/х| комнлекснозначной меры ц лежит в классе будем писать /х € А.Б.Алексадров доказал, что для всякой меры // € С2(0) функции из пространства обладают угловыми граничными значениями |д|-почти всюду.

Задачу о геометрическом описании мер Карлесона для модельных пространств поставил Б.Кон в 1982 году. Для модельных пространств Кд, соответствующих однокомпоиетным внутренним функциям О эта задача была решена в серии работ А.Л.Вольберга, С.Р.Трейля, А.Б.Александрова (внутренняя функция 0 называется однокомпопепт-пой, если множество {г € О : |#(г)| < е} связно для некоторого числа ее (0,1)).

МерЕ>1 Карлесона для модельных пространств тесно связаны с усеченными операторами Теплица. По каждой комплексной мере ¡л из класса можно задать усеченный оператор Теплица действующий в пространстве Кд по правилу

(А</.я) = У/.¡7ф, 1,д€К2е. (3)

Так как /г £ С2(0), оператор Лм ограничен. Тот факт, что он является усеченным оператором Теплица (т.е. А^ = А^ для некоторого символа у; £ I2) нетривиален и принадлежит Д.Сараеону. Возникает следующий вопрос (Д.Сарасон): Верно ли, что каждый ограниченный усеченный оператор Теплица А : Кд —> Кд совпадает с оператором вида порожденным некоторой мерой д е С2''6>)? Ответ оказывается утвердительным.

Теорема 1. Пусть 0 — внутренняя функция. Каждый ограниченный усеченный операт,ор Теплица А : Кд —^ порождается комплексно-аначной мерой /х из класса С2 (0), то есть

(А/,д) = 11дс1[1 (4)

для всех функций /, д £ Кд и некоторой меры ¡1 е С2(в). Если операт,ор А неотрицателен, то мера р. € (^¡{0) может быть выбрана неотрицательной.

Усеченный оператор Теплица А : Кд —>■ Кд им.еет ограниченный си.мвол тогда и только тогда, когда он порождается мерой ц € С\(в2).

Если один из символов у? усеченного оператора Теплина А = А^ ограничен на единичной окружности Т, то в качестве меры /и можно взять абсолютно-непрерывную меру на Т с весом ¡р. В общем случае в теореме 1 мера /г не является абсолютно-непрерывной.

Как и символ усеченного оператора Теплица, его порождающая мера не единственна. Однако, порождающие меры из Сг(0) имеют ряд достоинств по сравнению с Ь2-символами. Например, из теоремы 1 следует, что для каждого неотрицательного усеченного оператора Теплица можно построить неотрицательную порождающую меру (хотя неотрицательного символа у него может и не быть). Кроме того, для мер ц, € Сг($) равенство (4) имеет смысл на всех функциях из пространства Кд и, таким образом, оно задает усеченный оператор Теплица Лм явной формулой на всем пространстве Кд, а не на плотном подмножестве Кд Пучаствующем в формуле (2). Это обстоятельство позволяет описать предсопря-женное пространство к пространству Т, всех ограниченных усеченных операторов Теплица, которое приводится в теореме 2. Кроме того, с помощью теоремы 1 будет доказано, что слабая операторная топология и *-слабая топология на пространстве То совпадают.

Глава 4 содержит явное описание предсопряженного пространства к пространству Те всех усеченных операторов Теплица, действующих в заданном пространстве Кд. Рассмотрим множество функций

= {^2хкУк ■ *к,Ук € К2д, Н^Нз-Н^Нг < +оо| . Ясно, что Хд — линейное пространство. С нормой

||л||£в = м {Х^ И®*!'2' И^Ь : Тк>Ук е К%> н = Иь* •

оно становится банаховым. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве %о дается формулой

ФА(к) = ук), к = ^ хкук е Хв, (о)

к к

где А 6 Те — ограниченный усеченный оператор Теплица. При это.м имеет место совпадение норм ||Фд|| =

Эта теорема позволяет сводить многие вопросы об усеченных операторах Теплица к вопросам.из теории функций, рассматривая их двойственные переформулировки.

В Главе 5 решен вопрос об описании тех модельных пространств К'Ц. в которых каждый ограниченный усеченный оператор Теплица имеет ограниченный символ. В отличие от операторов Теплица, действующих в пространстве Харди Н2, усеченные операторы Теплица не обладают свойством единственности символа. Множество всех символов оператора Ар,

К : / ь-> РоЫ), /еК2пь~,

совпадает с множеством 1р + вН2 + вН2. Ясно, что если ¡р € Ь°°, то оператор Лф ограничен и |М!«с- С другой стороны, среди символов, задающих усеченный оператор Теплица, всегда найдутся неограниченные (поскольку множество ОН2 + ОН2 содержит неограниченные функции). Д.Сарасон задал вопрос о существовании хотя бы одного ограниченного символа у заданного ограниченного усеченного оператора Теплица. Более формально, в случае, когда А^ = А^ для некоторой функции -ф Е £ос, будем говорить, что оператор А.^ обладает ограниченным символом ф.

Оказывается, что не каждый ограниченный усеченный оператор Теплица имеет ограниченный символ. Первый пример модельного пространства Кд и ограниченного усеченного оператора Теплица А^ : —> КЦ без ограниченного символа построили в совместной статье А.Д.Баранов, И.Шалендар, Э.Фрикен, Дж.Машреги и Д.Тимотин.

С другой стороны, каждый ограниченный усеченный оператор Теплица в модельном пространстве К2(, соответствующем внутренней функции

^ = ехр(~ГГ§)' = (6)

имеет ограниченный символ. Этот результат, принадлежащий Р.Рохбергу, хорошо известен в теории операторов Винера-Хопфа на

конечном интервале. Возникает вопрос об описании модельных пространств в которых каждый ограниченный усеченный оператор Теплица имеет ограниченный символ. Перед тем как сформулировать ответ на этот вопрос, рассмотрим тесно связанную с ним задачу о слабой факторизации функций в модельных пространствах.

Известно, что любую функцию / 6 Я1 можно разложить в произведение двух функций д, /г € Я2 с контролем норм: \\f\h = ЦяЦг ■ ЦЛЦг-Равенство множеств Н1 = Я2 • Я2 играет важную роль в доказательстве известной теоремы Нехари о норме оператора Ганкеля. Нас будет интересовать наличие равенства Кд2 = ■ Кд, понимаемое в некотором слабом смысле, уточняемом ниже.

Инвариантные подпространства оператора обратного сдвига в пространстве Яр на единичной окружности Т имеют вид = НрП26Нр, где 9 — внутренняя функция. При р = 2 старое определение пространства совпадает с новым. Функции из модельных пространств обладают псевдопродолжением через точки единичной окружности Т на всю комплексную плоскость С. Поэтому их часто называют псевдопродол-жимыми (формальное определение псевдопродолжимой функции дано в главе "Введение" диссертации).

Предположим, что 0(0) = 0. Тогда функция в2/г — внутренняя и справедливо включение

К1 ■ К2е = (Я2 П гвЩ • (Я2 П гвЩ С Я1 П г2921Р = К],/,. (7)

Если пространство конечномерно (т.е. функция в является конечным произведением Бляшке), то можно показать, что в формуле (7) имеет место равенство: Кд2/,г = К2 ■ С другой стороны, не известно ни одной внутренней функции, отличной от конечного произведения Бляшке, для которой формула = К2 ■ была бы доказанной. В конечно-

мерной ситуации зависимость константы ап от размерности н в оценке вида Ц/дЦх > СпИЛЫ^Нг является открытым вопросом даже в случае в = гп, когда функции /,д € Кд являются полиномами степени не выше п — 1. С другой стороны, несложно показать, что множество • /<"|)

конечных линейных комбинаций функций вида /д, где /,д 6 Кд, плотно но норме в пространстве Кд2/г-

В случае, когда 0(0) / 0, в рассуждении выше следует заменить пространство Крна подпространство ЛГ(|2 П гКд2 коразмерности 1 пространства Кд2.

Оказывается, что для многих внутренних функций в множество 1т(/<Т2 • К2) не только плотно в подпространстве К\2 П гК})2, но и совпадает с ним. Следующая теорема связывает усеченные операто-

ры Теплица, классы мер Карлесона для модельных пространств и факторизации псевдопродолжимых функций.

Теорема 3. Пусть в — внутренняя функция. Следующие условия равносильны:

1) любой ограниченный усеченный оператор Теплица А : Кд -г К$ имеет ограниченный символ: А — А^, '-р £ ;

2) С1(в2)=С2(в2);

3) в пространстве К]2 возможна ыабая факторизация функций, т.е. для любой функции / £ К]? П гК^ найдутся функции Хк, у к 6 1<о, такие, что / = ^2кхкук и £ |Ы|2-\\ykh <

Условие 3) в теореме 3 равносильно следующему: любую функцию / £ К12 Пможно разложить в сумму / = хху\ + х2уг + хзУз + , где %к,Ук е К2 и имеет место оценка норм \\f\h ^ ]С£=1 И^Иг-||?л1|2 < сЦЛК с константой с, не зависящей от функции /.

Из результатов А.Л.Вольберга, С.Р.Трейля и А.Б.Александрова следует, что классы мер С^О2) и С2(в2) совпадают для любой однокомпо-нентной внутренней функции в.

Предложение. Пусть в — однокомпонентная внутренняя функция. Тогда выполняются равносильные условия 1) — 3) теоремы 3.

Таким образом, теорема 3 доказывает часть следующей гипотезы: ограниченные усеченные операторы Теплица в пространстве Щ обладают ограниченными символами тогда и только тогда, когда в — одно-компонентная внутренняя функция (авторы гипотезы — А.Д.Баранов, И.Шалендар, Э.Фрикен, Дж.Машреги и Д.Тимотин). Обратная импликация этой гипотезы остается открытым вопросом.

Глава 6 посвящена описанию усеченных операторов Теплица конечного ранга в терминах воспроизводящих ядер модельных пространств.

Хорошо известно, что если оператор Теплица на пространстве Харди компактен, то он является нулевым оператором. Иначе обстоит дело с усеченными операторами Теплица.

Усеченные операторы Теплица ранга 1 были описаны Д.Сарасоном. Для того, чтобы привести описание Сарасона, нам потребуется несколько определений.

Пусть в — внутренняя функция, К2 = Н2 © ОН2. В каждой точке Л открытого единичного круга О положим

¿^й (8)

1 — Аг г — л

Функция к\ являете^ воспроизводящим ядром пространства Кд в точке А; функция к\ — это сопряженное воспроизводящее ядро в точке А. Для целого числа п ^ 0 обозначим через П„ = П(0, п) множество точек А единичной окружности Т в которых все функции из пространства Кд вместе со своими производными до порядка н имеют угловые пределы в точке А. Множества П„ полностью описаны П.Ахерном и Д.Кларком в терминах функции в. Из этого описания, в частности, следует, что точка А € Т является элементом множества По тогда и только тогда, когда функции кх,кх, определяемые формулами (8), лежат в пространстве Кд.

Для пары векторов х.у £ К2 обозначим через х(8у оператор ранга 1, действующий по правилу Ъ, (Л,, у).х. Упомянутое выше описание усеченных операторов Теплица ранга 1 состоит в следующем. Операторы вида

кх®к\ и кх®к а, (9)

где А 6 0и По, являются усеченными операторами Теплица в пространстве Кд. Обратно, любой усеченный оператор Теплица ранга 1 в пространстве К2 есть скалярное кратное одного из операторов вида (9).

Конечные линейные комбинации операторов вида (9) являются усеченными операторами Теплица конечного ранга. Также усеченные операторы Теплица конечного ранга можно получить с помощью следующей конструкции. Рассмотрим аналитическое отображение Ф : А к\ ® кх из единичного круга В в пространство В(Кд) всех ограниченных операторов, действующих в пространстве Кд. Возьмем целое число п ^ 1. Обозначим через Т)п[к\ 0 А;а] значение Ф^(А) производной порядка п отображения Ф в точке А Е ГО. Для точек А ¡Е П„, лежащих на окружности Т, символ будет обозначать угловую производную порядка п отображения Ф в точке А. Так как множество всех усеченных операторов Теплица образует линейное пространство, разностные отношения вида

к\ <8> кх - кц <8> кц

А — ц

являются усеченными операторами Теплица ранга 2 для любых не совпадающих точек А,£ ГО и По- Линейное подмножество пространства В(Кд). состоящее из усеченных операторов Теплица, замкнуто в слабой операторной топологии. Переходя к пределу по /л —> А в формуле (10),

находим, что производная ® к\] определяет ограниченный усеченный оператор Теплица в каждой из точек А € Ю) и Г1). Аналогичные рассуждения справедливы и для производных порядка и ^ 2, а также для операторов вида (оператор б"^®^], где п ^ 1 — целое чис-

ло, определяется как производная аналитического операторнозначного отображения Л и- к\ ® к\ порядка п по переменной А). Итак, операторы

6"[ЛА«)АА], и1[кх®кх], п^ 0, АеВ>1Шп, (11)

а также их линейные комбинации, являются усеченными операторами Теплица конечного ранга. Эти операторы были построены Д.Сарасоном. Ему принадлежит следующий вопрос: исчерпывается ли множество всех усеченных операторов Теплица конечного ранга линейными комбинациями операторов вида (11)? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 4. Пусть в — внутренняя функция. Любой усеченный оператор Теплица А : Кд —» Кд конечного ранга является конечной линейной комбинацией операторов вида (11).

Операторы Теплица конечного ранга в пространстве Пэли-Винера были описаны Р. Рохбергом в работе. Его результат можно вывести из теоремы 4, рассматривая случай, когда в — ехр( —Доказательство Р.Рохберга использует унитарную эквивалентность операторов Теплица в пространстве Пэли-Винера и операторов Винера-Хопфа на конечном промежутке, задаваемую преобразованием Фурье. Пространство для функции в общего вида не имеет хорошего описания в терминах преобразования Фурье. Поэтому для доказательства теоремы 4 применяются другие методы, подробнее об этом см. главу 6 диссертации.

В главах 7, 8, 9 исследуется свойство гиперрефлексивности для ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.

Любое линейное сжатие Т в гильбертовом пространстве Н, обладающее свойствами

гапк(/ - Т'Т) = гапк(/ - ТГ) = 1, У/г е Я Тпк -> О, Т"Ъ 0 (12)

унитарно эквивалентно оператору усеченного сдвига 5# : / Рд(г/) на пространстве Кд для некоторой подходящей внутренней функции в, которая называется характеристической функцией сжатия Т. Обратно, для любой внутренней функции в оператор Бд обладает свойствами (12). Поэтому большинство вопросов для сжатий со свойствами (12) сводится к соответствующим вопросам для операторов Бд, где 0 — внутренняя

функция. Не является исключением и вопрос о наличии свойства гиперрефлексивности. Перейдем к определениям.

Пусть В(Н) обозначает банахову алгебру всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Я. Для любого оператора Т € В(Н) обозначим через AlgT алгебру с единицей, получающуюся замыканием множества аналитических полиномов от оператора Т в слабой операторной топологии. Рассмотрим алгебру Alg Lat Т, состоящую из всевозможных операторов S £ В(Н), сохраняющих решетку инвариантных подпространств Lat Т оператора Т. Ясно, что имеет место включение AlgT С Alg Lat Т. Оператор Т называется рефлексивным, если

Alg Т = Alg Lat Т.

Для сжатий со свойствами (12) известен критерий рефлексивности в терминах характеристической функции (В.В.Капустин, 1992). Количественным уточнением свойства рефлексивности является свойство гиперрефлексивности, которое ввел В.Арвесоп в 1975г. Пусть РЕ обозначает ортогональный проектор в пространстве Н на подпространство Е: положим РЕ± — I - Ре- Будем называть оператор Т е В{Н) гиперрефлексивным, если существует постоянная k > 1 такая, что неравенство

sup \\PE±SPE\\^ dist(S, AlgT) sc к sup \\PE±SPE\\ (13)

EeL8.lT SeLatT

выполняется для любого оператора S 6 В(Н), где dist(5, AlgT) обозначает расстояние от оператора S до алгебры AlgT в пространстве В(Н). Нестрого говоря, формула (13) означает, что любой оператор 5, почти сохраняющий решетку инвариантных подпространств Lat Т, лежит близко к алгебре AlgT. Так как PE±SPE = 0 для любого оператора S Е AlgТ и любого подпространства Е G Lat Т, из гиперрефлексивности оператора Т следует его рефлексивность. Как показывает пример Дж.Крауса и Д.Ларсона, обратное утверждение неверно. Однако, не было известно, существуют ли рефлексивные негиперрефлексивные операторы, удовлетворяющие соотношениям (12). Легко проверить, что любой оператор со свойствами (12) и со спектром, состоящим из изолированных собственных значений кратности 1 является рефлексивным. Следующая теорема показывает, что такой оператор может не быть гиперрефлексивным.

Теорема 5. 1) Существует негиперрефлексивное сжатие Т со свойствами (12) и со спектром, состоящем из изолированных собственных значений кратности 1.

2) Если спектр а (Т) такого сжатия Т образует множество Карлесо-

на, то есть если

ы П

хесг(т) ±Л-то оно является гиперрефлексивным.

1 -ДА

>0,

Рассмотрим обобщение понятий рефлексивности и гиперрефлексив-пости. По каждому оператору Т € В(Н) построим подпространство

Т(Т) = с1оз1т(А1еТ,А1ёГ*)!

замкнутое в слабой операторной топологии. Назовем оператор Т относительно рефлексивным, если любой оператор 5 е Т(Т), сохраняющий решетку инвариантных подпространств ЬагТ, лежит в алгебре А^Т. Если оператор рефлексивен, то он и относительно рефлексивен. С другой стороны, свойство относительной рефлексивности встречается гораздо чаще, чем свойство обычной рефлексивности. Для модели Бо оператора Т множество Т(5а) совпадает с пространством Та ограниченных усеченных операторов Теплица, действующих в пространстве Кд. Это позволяет применить технику, развитую при доказательстве теорем 1-3.

Теорема 6. Операторы со свойствами (12) относительно рефлексив-

Будем называть оператор Т относительно гиперрефлексивным, если неравенство (13) выполняется для всех операторов 5 £ Т{Т).

Теорема 7. Пусть 0 — характеристическая функция оператора Т со свойствами (12). Оператор Т относительно гиперрефлексивен тогда и только тогда, когда любая функция к е К] П \т(Щ ■ К}) представима в виде

Ь = ]Г>?Уь £ |Ы2|Ы|2 ^ с||Л||ь хк € ук € К\, (14) к

где внутренние функции 1к, -1к таковы,, чт.о 1к ■ — в-

Некоторые следствия из теорем 5, 6 и 7 приводятся в главе 9 диссертации.

В Главе 10 исследуется вопрос о существовании усредненных волновых операторов для унитарных операторов £/ь 1/2 и ограниченного оператора отождествления А, в случае, когда гапк(Л£/1 — ЬТ2А) ^ 2 и спектральные меры операторов [Д, и2 не являются абсолютно-непрерывными.

Рассмотрим унитарные операторы £7Ь 112 и ограниченный оператор А,

иг-.Нг-уНи и2:Н2->Н2, А:Нх^Н2,

где НиН2 — гильбертовы пространства. Определим волновые операторы прошлого и будущего IV-, \¥+ как пределы последовательности {и2ПАи"}пех при п —)■ —оо, п -¥ +оо, соответственно. В случае, когда рассматриваемые пределы существуют в сильной (слабой) операторной топологии, говорят о существовании сильных (слабых) волновых операторов \¥±. Один из ключевых результатов теории рассеяния, теорема Като-Розенблюма-Пирсона, утверждает, что в предположениях абсолютной непрерывности спектральной меры одного из унитарных операторов и\,и2 и ядерности коммутатора А1>\ — Ьт2А существуют сильные волновые операторы \¥± = Нт„_,±00 Ь'^АЩ.

Хорошо известно, что в теореме Като-Розенблюма-Пирсона существенно условие абсолютной непрерывности спектральной меры хотя бы одного из унитарных операторов Г/х, 112. Простой пример, показывающий важность этого условия, можно построить следующим образом: в качестве пространств Н\, Н2 возьмем одномерное пространство, то есть поле комплексных чисел С, операторы 11у,и2,А зададим формулами

игг = ьог, и2г — г, Аг — г,

где число ш £ С таково, что = 1, ш ^ 1. Нетрудно видеть, что в этом примере волновые операторы прошлого и будущего не существуют, поскольку последовательности {и)~пг}пег+ и {и/'г}п62+ не имеют предела при п —у +оо. С другой стороны, если усреднить последовательности {и)~пг}пе%+ и {шпг}п£2+ по методу Абеля, то они станут сходиться к нулю, поэтому существуют усредненные волновые операторы \¥± = 0. Возникает общий вопрос о сходимости средних Абеля последовательностей {ЩАи^п}пи {ЬГ2"пЛ/7{'}пе2+ Для унитарных операторов С/ь1г2, спектральные меры которых не обязательно-абсолютно непрерывны относительно меры Лебега.

Для пары унитарных операторов , С/2 и ограниченного оператора А при каждом г € (0,1) рассмотрим средние Абеля

+оо +ОС

1У_(г) = (1 - г) гпЩАЩп, \У+{г) = (1 гпЩпАЩ. (15)

п=0 71=0

Слабым усредненным волновым оператором прошлого будем называть предел = Нтг_ц1У_(г) в слабой операторной топологии, если этот предел существует. Ан&погично, слабым усредненным волновым оператором будущего будем называть предел 1У+ = Итг_,11-У+(г).

Термин "волновой оператор" заимствован из классической теории рассеяния, в которой рассматривается случай абсолютно-непрерывного спектра. Если существует слабый волновой оператор, понимаемый в классическом смысле без использования усреднения, то существует и усредненный волновой оператор, причем они совпадают.

Можно показать, что усредненные волновые операторы прошлого и будущего, соответствующие унитарным операторам ЕД, и2 со взаимно сингулярными спектральными мерами, существуют и равны нулю. Случай операторов [/¡, 1/2 с абсолютно-непрерывными спектральными мерами составляет содержание теоремы Като-Розенблюма-Пирсона. Таким образом, можно ограничиться рассмотрением унитарных операторов 1/1,1/2, спектральные меры которых сингулярны относительно меры Лебега.

Если имеет место равенство А1/\ = 1/2А, то и^АЩ — А, поэтому в такой ситуации операторы \¥± существуют и равны А. Естественно рассмотреть вопрос о существовании усредненных волновых операторов 1У± для оператора А с "малым" коммутатором А1/\ — 1/2А. В случае, когда коммутатор А(/1 — 1/2А является оператором ранга 1, существование усредненных волновых операторов было доказано В.В.Капустиным.

Можно показать, что для любого ограниченного усеченного оператора Теплица Аф : —\ и унитарного оператора Кларка •

и„ = во + са(-, ко) ко

в модельном пространстве имеем гапк(А^иа — иаАр) = 2. Это важное наблюдение позволило В.В.Капустину доказать, что условие гапк(ЛС/1 — 1/2А) = 2, вообще говоря, не влечет существование усредненных волновых операторов = Нтг-+1 \У±(г). Следующий результат показывает, что в отличие от семейств IV!(г), \У+(г) семейство 1¥+{г) — И'.(г) всегда имеет предел.

Теорема 8. Пусть спектральные меры унитарных операторов 1/1, и2 сингулярны относителгмо меры Лебега. Предположим, что гапк(Л£/1 - и2А) ^ 2. Тогда слабый предел Нт1._>1(Ж+(г) - И^_(г)) существует и равен нулю.

В частности, слабые усредненные волновые операторы \У± существуют или нет одновременно, и если существуют, то совпадают.

Отметим, что если спектральные меры операторов 1/1,1/0 абсолютно-непрерывны относительно меры Лебега, то волновые операторы прошлого и будущего совпадают лишь в редких ситуациях. В определении усредненных волновых операторов можно заменить метод усреднения Абеля

на более слабый метод, обладающий несколькими естественными свойствами, так, чтобы заключение теоремы 8 осталось верным, подробнее об этом см. главу 10 диссертации.

Публикации автора по теме диссертации

[1] R.V.Bessonov, J.Bracic, M.Zajac, "Non-hyperreflexive reflexive spaces of operators", Studio. Math., 202:1 (2011), 65-80.

[2] A.Baranov, R.Bessonov, V.Kapustin, "Symbols of truncated Toeplitz operators", J. Fund. Anal., 261:12 (2011), 3437-3456.

[3] Р.В.Бессонов, "Волновые операторы прошлого и будущего на сингулярном спектре", Зап. Научн. Сем. ПОМИ, 389 (2011), 5-20.

Отпечатано в ООО «Издательство АЛЕКС», Санкт-Петербург, В.О., 22-я линия, д.З. Сдано в печать 06.03.2013г., зак. №22т, Тир. 70 экз.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Бессонов, Роман Викторович, Санкт-Петербург

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН

На правах рукописи

Бессонов Роман Викторович

Усеченные операторы Теплица и факторизации псевдопродолжимых функций

Специальность 01.01 01 — вещественный, комплексный и • функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физико-математических наук

В. В Капустин

Санкт-Петербург 2013

00 со см

СО

ю со

со о

Очі

СО О

см ^

з °

Содержание

1 Введение 3

2 Общие сведения и предварительные результаты 23

3 Доказательство теоремы 1 54

4 Доказательство теоремы 2 58

5 Доказательство теоремы 3 64

6 Доказательство теоремы 4 68

7 Доказательство теоремы 5 75

8 Доказательство теоремы 6 79

9 Доказательство теоремы 7 80

10 Доказательство теоремы 8 87 Список литературы 92

1.1 Усеченные операторы Теплица

В пространстве Ь2 на единичной окружности Т комплексной плоскости С рассмотрим подпространство Я2, полученное замыканием множества аналитических полиномов. Это подпространство называется пространством Харди (классическое определение см. в параграфе 2.1); оно состоит из функций / £ Ь2, отрицательные коэффициенты Фурье которых равны нулю: /(п) = (/, гп) = 0 при п < 0. Обозначим через Р+ ортогональный проектор на подпространство Н2 в пространстве Ь2. Оператором Теплица с символом Е Ь°° называется отображение

/6 Я2. (1.1)

Теория операторов Теплица в пространстве Харди хорошо развита и имеет множество приложений. Основные результаты этой теории можно найти в книге [17]. Операторы Теплица рассматриваются и в других пространствах аналитических функций, например, в пространствах Бергмана, Пэли-Винера, Баргмана-Фока, Дирихле; см. [СО, 51, 15, 52] и др. В настоящей диссертации исследуются свойства операторов Теплица, действующих в так называемых модельных пространствах. Такие операторы называются усеченными операторами Теплица.

Модельные пространства суть инвариантные подпространства оператора обратного сдвига 5* : / ь-» , действующего в пространстве Харди Н2. О теории модельных пространств см. книгу [47]. Из теоремы А. Берлинга [16] следует, что замкнутое подпространство Е С Н2 инвариантно относительно оператора 5* тогда и только тогда, когда Е = Кд для некоторой внутренней функции 0, где

К2 = Я2 0 вН2 = {/ € Я2 : (/, вд) = 0 для всех д Е Я2}.

Функция в Е Я2 называется внутренней, если \в(г)\ = 1 почти всюду по мере Лебега на окружности Т. Пусть Рд обозначает ортогональный проектор на Кд в пространстве Ь2. Усеченным оператором Теплица с символом (р Е Ь2 называется плотно заданный оператор

А^-./^РвЫ), /бА^ПГ, (1.2)

действующий в пространстве Кд. В случае, когда оператор А^ ограничен на своей области задания, будем считать его продолженным по непрерывности на все пространство Кд.

Операторы (1.2) естественно рассматривать как усечения "больших" операторов Теплица (1.1) на меньшее подпространство. Например, матрица Теплица размера п х п, получающаяся из бесконечной ¿матрицы {(Т1ргк, г1)} оператора Т^ выбором первых п строк и п столбцов, порождает усеченный оператор Теплица А^ (с тем же символом (р) в конечномерном пространстве Кд, где в = гп. Другой пример: известно, что операторы Винера-Хопфа свертки на полупрямой [0, +оо) унитарно эквивалентны операторам Теплица (1.1). Их усечения, т.е. операторы Винера-Хопфа на отрезке [0, а], унитарно эквивалентны усеченным операторам Теплица в пространстве Кда, где ¿""(г) = еШ2 — внутренняя функция в верхней полуплоскости. Подробнее об этих и других примерах см. пункт 2.4.2.

Основное содержание настоящей диссертации связано с ответами на три вопроса из вышеупомянутой статьи [55]. В параграфах 1.2, 1.-3 приводятся формулировки этих вопросов и ответы на них. В параграфе 1.4 сформулированы результаты, касающиеся свойства гиперрефлексивности так называемого модельного оператора, то есть усеченного оператора Теплица с символом = г. Параграф 1.5 посвящен теме, тесно связанной с усеченными операторами Теплица: вопросу о существовании волновых операторов на сингулярном спектре.

1.2 Ограниченные символы, меры Карлесона и факторизации псевдопродолжимых функций

В этом параграфе обсуждаются три взаимосвязанных темы:

- существование ограниченных символов у ограниченных усеченных операторов Теплица;

- связь усеченных операторов Теплица и мер Карлесона для модельных пространств;

- факторизации псевдопродолжимых функций.

Эти три темы объединяются в формулировке теорем 1-3, которые содержатся в пункте 1.2.4.

1.2.1 Задача о существовании ограниченного символа

Рассмотрим усеченный оператор Теплица с символом <р £ Ь2,

заданный в пространстве Кд. В отличие от операторов Теплица, действующих в пространстве Харди Н2, усеченные операторы Теплица не обладают свойством единственности символа. Множество всех символов оператора А^ совпадает с множеством ср + вН2 + вН2, см. [55]. Ясно, что если (р Е то оператор А^ ограничен и ||Др|| ^ |М1оо- С другой стороны, среди символов, задающих усеченный оператор Теплица, всегда найдутся неограниченные (поскольку множество вН2 + ОН2 содержит неограниченные функции). Важным является вопрос о существовании хотя бы одного ограниченного символа у заданного ограниченного усеченного оператора Теплица. Более формально, в случае, когда А<р — А'ф для некоторой функции ф е Ь°°, будем говорить, что оператор Ау обладает ограниченным символом ф.

Оказывается, что не каждый ограниченный усеченный оператор Теплица имеет ограниченный символ. В статье [13] построен явный пример модельного пространства К1 и ограниченного усеченного оператора Теплица Аф : Кд —> Кд без ограниченного символа (подробнее об этом примере см. пункт 2.4.-3).

С другой стороны, известно, что каждый ограниченный усеченный оператор Теплица в модельном пространстве Кд , соответствующем внутренней функции

А^-./^РвЫ), ¡еК2

(1.3)

имеет ограниченный символ, см. [13] или [51]. Возникает следующая задача: Описать модельные пространства Кд, в которых каждый ограниченный усеченный оператор Теплица имеет ограниченный символ. В диссертации содержится решение этой задачи (теорема 3). В качестве следствия из теоремы 3 получен следующий результат: если 0 — однокомпонентная внутренняя функция в единичном круге В, то любой ограниченный усеченный оператор Теплица в пространстве Кд имеет ограниченный символ (внутренняя функция в называется одноком-понентной, если множество {г € В : \0(г)\ < е} связно для некоторого числа е € (0,1)). Примером однокомпонентной внутренней функции является функция из формулы (1.3). По поводу модельных пространств, отвечающих однокомпонентным внутренним функциям, см. статьи [28, 29, С, 5, 10, 11, 14].

1.2.2 Меры Карлесона и теоремы вложения для про-

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые функции из пространств Харди продолжены в единичный круг В по формуле Коши:

Такое продолжение обладает рядом известных свойств, подробнее см. параграф 2.1.

Пусть ¡л — конечная положительная борелевская мера в замкнутом единичном круге В. Мера ц называется мерой Карлесона (для пространства Харди Н2), если ограничен оператор вложения : Н2 Ь2(/х). При этом вложение изначально задают на аналитических полиномах по правилу «7^ : f >—> /| эирр//, а потом продолжают по непрерывности на все пространство Н2 (здесь и далее /^ирр/х обозначает сужение функции / на носитель эиррд меры /л).

Аналогичным образом вводится понятие меры Карлесона для модельных пространств Кд. А именно, зафиксируем внутреннюю функцию 9 и рассмотрим оператор вложения : Кд >■ Ь2(ц), где ц — конечная положительная борелевская мера, вирр^ С В. Первоначально определим оператор Зр, : / •->• /¡вирр^ на функциях / £ Кд, непрерывных в замкнутом единичном круге В. Теорема А. Б. Александрова утверждает, что множество таких функций плотно в пространстве Кд, какова бы ни была внутренняя функция в, см. [2], [23]. Мера ¡1 называется мерой Карлесона для пространства Кд, если оператор вложения : Кд >■ Ь2(ц)

странств Кд

можно продолжить до линейного ограниченного оператора, заданного на всем пространстве Кд. Нас будут интересовать меры Карлесона для пространства Кд, сосредоточенные на единичной окружности Т. Обозначим множество всех таких мер через В случае, когда вариация |/і| комплекснозначной меры \х лежит в классе будем писать ц Є Сг(0).

Ясно, что ограниченность оператора : Н2 —> Ь2(/л) влечет ограниченность его сужения : Кд —> Ь2((і). Значит, любая мера Карлесона для пространства Харди является мерой Карлесона для пространства Кд. Обратное утверждение неверно. Этот факт объясняется дополнительной аналитичностью функций из пространства Кд на единичной окружности Т. Например, легко показать, что в точках регулярности функции в на окружности Т все функции из пространства Кд анали-тичны, и поэтому в таких точках карлесоновы меры для пространства Кд могут иметь нагрузки, в отличие от мер Карлесона для пространства Харди. Задачу об описании мер Карлесона для модельных пространств поставил Б.Кон в 1982 году. Несмотря на значительные успехи в этом направлении, для многих внутренних функций она пока остается открытой. Упомянем работы [5, 10, 11, 28, 29, 46, 58], в которых можно найти различные результаты в этой области. Также см. параграф 2.5, в котором сформулирована теорема Вольберга-Трейля-Александрова об описании карлесоновых мер для модельных пространств, соответствующих однокомпонентным внутренним функциям.

Меры Карлесона для модельных пространств тесно связаны с усеченными операторами Теплица. Оказывается, что по каждой комплексной мере ¡і из класса можно построить ограниченный усеченный опе-

ратор Теплица в пространстве Кд. Для ¡і Є Сг(#) определим оператор А^ : Кд —>• Кд с помощью полуторалинейной формы

Правая часть равенства (1-4) корректно определена на плотном подмножестве функций /,д £ Кд, непрерывных в замкнутом единичном круге Ю>. Более того, равенство (1.4) можно распространить на все функции /,д е Кд, если понимать его правую часть в смысле угловых граничных значений функций /, д на единичной окружности Т, которые существуют //-почти всюду на Т и попадают в пространство Ь2(|//|), подробнее см. параграф 2.5. Операторы вида (1.4) появились в статье [55] как примеры применения следующей общей теоремы из той же статьи.

(1.4)

Теорема 1.1 (Д.Сарасон). Ограниченный оператор А : Кд —» Кд является усеченным оператором Теплица тогда и только тогда, когда равенство

(А/,/) = (Аг/,г/) (1.5)

имеет место для всех функций / Є Кд, таких, что г/ Є Кд.

Зафиксируем меру ц Є Сг(#) и проверим, что оператор А^ удовлетворяет условиям этой теоремы. Ограниченность оператора следует из ограниченности оператора вложения : Кд <—¥ Ь2(|/х|):

ит

/9 ¿/л

< 11/1к2(Ы) • ІІ&іиг(Н) ^ сУ\\ы

Ь2-

Далее, если /, г/ Є Кд, то

(Л/.Л= / 1/|2^= / |г/|2^=(Лмг/,г/), (1.6)

так как = 1 на единичной окружности Т. Итак, оператор АА является ограниченным усеченным оператором Теплица в пространстве Кд.

В статье [55] был поставлен следующий вопрос: Верно ли, что каждый ограниченный усеченный оператор Теплица А : Кд —» Кд совпадает с оператором вида А^, порожденным некоторой мерой /і Є Сг(0) ? В теореме I будет дан утвердительный ответ на этот вопрос. Стоит отметить, что теорема 1 справедлива для всех внутренних функций в и тем самым показывает, что меры Карлесона для модельных пространств отвечают ограниченным усеченным операторам Теплица.

Пусть А — ограниченный усеченный оператор Теплица в пространстве Кд. Всякую комплексную меру ц из класса С2{0) со свойством А = Ац будем называть порождающей мерой оператора А. Усеченный оператор Теплица А^ с символом <р Є Ь°° порождается мерой ірт (нормированной мерой Лебега т с весом ір):

(Л>/, 9) = ! /9 4>йт = (Аут/, д), /,

9 Є К2д.

Ясно, что для ограниченных функций ір мера ірт лежит в классе С другой стороны, не любой ограниченный усеченный оператор Теплица обладает ограниченным символом. В общей ситуации неизвестно, можно ли выбрать символ ір Є Ь2 ограниченного усеченного оператора Теплица А так, чтобы мера ірт лежала в классе С2(в). Теорема 1 утверждает, что существует (не обязательно абсолютно-непрерывная) мера /л Є Сг(б) со

свойством А = Ац. Таким образом, меру /л можно рассматривать как обобщение ограниченного символа оператора А. При этом оператор А обладает ограниченным символом (р Е Ь°° тогда и только тогда, когда он порождается мерой ц, для которой ограничен оператор вложения -^ОИ). гДе Щ* = п Н1. Множество С^О2) всех таких

мер содержится в классе но, вообще говоря, не совпадает с ним.

Подробнее о классах Ср(в), где р 6 [1,+оо), см. параграф 2.5.

Как и символ усеченного оператора Теплица, его порождающая мера не единственна. Однако, порождающие меры из С2(в) имеют ряд достоинств по сравнению с 1/2-символами. Например, будет доказано, что для каждого неотрицательного усеченного оператора Теплица можно построить неотрицательную порождающую меру (хотя неотрицательного символа у него может и не быть). Кроме того, для мер ц £ Сг(#) равенство (1.4) имеет смысл на всех функциях из пространства Кд и, таким образом, оно дает возможность задать усеченный оператор Теплица Ац явной формулой на всем пространстве Кд, а не на плотном подмножестве Кд П Ь°°, участвующем в формуле (1.2).

В качестве следствия из теоремы 1 будет получено описание предсо-пряженного пространства к пространству Те всех ограниченных усеченных операторов Теплица, которое приводится в теореме 2. Кроме того, будет доказано, что слабая операторная топология и *-слабая топология на пространстве Те совпадают.

1.2.3 Слабые факторизации псевдопродолжимых функций

Пусть Нр, где 1 ^ р ^ +оо, обозначает пространство Харди, то есть множество функций, аналитических в открытом единичном круге О, угловые граничные значения которых существуют и попадают в пространство на единичной окружности Т. При р = 2 это определение совпадает с прежним определением пространства Н2, см. параграф 2.1.

Известно, что любую функцию / € Н1 можно разложить в произведение двух функций д, Н 6 Н2, причем так, чтобы выполнялось равенство ¡¡/¡¡! = ¡¡у¡¡2'¡¡"Цг- Чтобы проверить этот факт, представим функцию / в виде / = ВР, где В - произведение Бляшке, а функция Р е Н1 не имеет нулей в единичном круге О (см. параграф II.5 в книге [37]). Функция корректно определена и лежит в пространстве Харди Н2. Теперь достаточно положить д = Возможность факторизации

функций из пространства Н1 в произведение двух функций из пространства Н2 можно записать в виде формулы Н1 = Н2 ■ Н2. Отметим, что равенство Н1 = Н2 ■ Н2 играет важную роль в доказательстве известной теоремы Нехари о норме оператора Ганкеля.

Функции, лежащие в модельных пространствах, обладают мероморф-ным псевдопродолжением через единичную окружность на всю комплексную плоскость С, см. пункт 2.2.4. Рассмотрим задачу факторизации псевдопродолжимых функций, которая окажется тесно связанной с вопросом о существовании ограниченных символов у усеченных операторов Теплица. Нас будет интересовать наличие равенства К^2 = Кд-Кд, понимаемое в некотором слабом смысле, уточняемом ниже.

Инвариантные подпространства оператора обратного сдвига в пространстве Нр на единичной окружности Т имеют вид Кд = Нр П 2вНр, где в — внутренняя функция. При р = 2 выполняется равенство Я2 © вН2 = Я2 П гвН2. Предположим, что 0(0) = 0. Тогда функция 6»2/г — внутренняя и справедлива формула

к2в ■ К2 = (Я2 П гвЩ ■ (Я2 П ЮН2) С Я1 П г2в21Р = К]2/г. (1.7)

Если пространство Кд конечномерно (т.е. функция в является конечным произведением Бляшке), то можно показать, что в формуле (1.7) имеет место равенство: Кд= Кд • Кд. С другой стороны, не известно ни одной внутренней функции, отличной от конечного произведения Бляшке, для которой формула Кд2/г = Кд ■ Кд была бы доказанной. В конечномерной ситуации зависимость константы сп от размерности п в оценке вида \\fgWi ^ с^||/||2Ц2 является открытым вопросом даже в случае в = гп, когда функции /, д е Кд являются полиномами степени