Эффективная факторизация новых классов матриц-функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

. . • '-.ЕРЕВАНСКИЙ ГО&УДАРСТВЕШШ УШШРСИТЕТ

'Л

На правах рухспмси

УД!? 517.983

СГАНЯН ВАРУЖАН АНДРАКМКОВРП

г1

ЭФФЕКТИВНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ НОВЫЯ КЛАССОВ матриц-функция

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван - 1993

- 2 ~

Работа шнолнена в Институте Математики И4Я Армении. )уч«не руководители - чд--л-корр. НАК Армении, профессор,

Л.Б. Керсесян,. кандидат физ.-мп*. наук А.Г. Камаяян.

[.ицпальные оппоненты:

жтор фигшко-матемзтлческм наук, профессор Н.З. Тоянаояя, андидат физико-математических наук, доцент, Г.В.Вишбян утутоя организация - Центр мятемагичрской фикики Пк<ракакской аотро'уизичсгсчой обсервяторщг ЯДН Аруонии. Защита диссертации состоится * г.

/^часов на заседании специализированного совета 055.01.12 по присуждению ученой степени кандидата физико-атематических наук при Ереванском Государственном Унивирси-сте ио адресу: 375049, Ереван, ул. Алена Мзнунянз,1.

С диссертаций можно ознакомиться в библиотеке нотитута Математики КАЯ Республики Армения.

Автореферат разослан '•21 »шкяШ 993 года.

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат физ.-ыат. наук

Т.Н. Арутшян

Актуальность теш. Задача факторизации матрицы-функи возникла в связи с потребностям;! теории векторной краевой зада Римана и родственных ей теории одномерных сингулярн интегральных операторов, интегральных и дискретных оператор Винера-Хопфа. Факторизация матрицы-функции позволяет свести оСп случай задачи Римана к ее простейшему случаю - задаче о скачке, таком аспекте задача факторизации изучалась, начиная с рас Римана, Гильберта, Пяемеля, Карлемана, .Винера и Хопфа. настоящее время необходимые к достаточные условия факторизуемо< изЕестны для широких классов матриц-функций, а для соотвек вующих операторов построена теория Нетера. Основополагавдую р< здесь сыграли работы Ф.Д.- Гахова, Н.И. Мусхелишвили, Н.П. Веку И.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна, Б.В. Хведелидзе, И.В. Симонен Р, Дугласа, Д. Сарасона и многих других авторов. Особый слу изучен в работах С. Пресдорфа, Н.К. Карапетянца, В.Б. Дыби Н.Е. Товмасяна, Н.Б. Енгибаряна, Л.Г. Арабаджяна и др. авторов В скалярном случае факторизация строится в явном вид< помощью интегралов типа Кош. Однако в матричном случав, вон эффективного построения факторизации и вычисления част индексов, - в более или менее общей ситуации, - остае нерешенной по настоящее время. В этом смысле новым направлени« развитии тзории факторизации явилась работа И.Ц. Гохберга, Лерера, Л. Родмана*, где получены явные формулы для час индексов. Современное состояние теории факторизации достат( полно изложено в монографиях23. Значение задачи факторизации исчерпивается только ее ролью в теории краевой задачи Рим сингулярных операторов и операторов Винера-Хопфа. К матри задаче факторизации приводят также уравнения типа свертки коночном промежутке, а также уравнения с ядрами "близким* разностным возникающие в большом числе прикладных' задач. За факторизацш естественным образом возникает также а те

*Gohborg I.» Leror L.. Rodman L. Factorization indeces for ma polynomials. Bull. Amrcr. Math. Soc. . vol. 84, J£ 2, 1978 p.37S-S7

zClancey K. . Gc.hborg I. Factorization of Matrix Functions Singular Integral Operators. Operator Theory: Advance.s Applications, vol. 3, Basel-Boston-Stuttgart: BirfchSusor-Ver 1081.

SLitvinchuk. G.S. , Spitkovslcii I.M. Factorization of Measui Matrix Functions. Berlin: Akademie-Verlag. 1987.

глутсДагс. процессов, и теоретической ¿Донке (кетод оирзтлой задача тесртщ рассеяния), в ряде прикладах задач механики. Так ншфимер, некоторые задачи дифракции я акустики сводятся к факторизации мотрлц-фуккциЯ вчда

N-1

У = ^ а,ак С13

ь = о

где с к - о, 1.....ч-1э скалярные функции, а рациональная

матрица-функция порядка пхп. Задача . эффективной факторизации матриц-функций вида (1 ? носвщени работ» А,й. Храпкова, В. Даниэля, Е.Майстера, Ф.-О. Шека, С. Прзодорфа, А. ЛеСре, К,Г. Моисеева к других авторов.

Укбзаноте аспекты повышают интерес вопросам эффективной факторизации матриц-функций вида (1).

Заметим, что в некоторых случаях матрицы-функции вида (1) удаотся записать в виде

V = гиг"1 сгэ

где г рациональная матрица-функция, а и ма трица -фу i ¡кция простой структуры, допускащая явную факторизацию.

Важным подклассом матриц-функций вида (1) являются / -циркулянтные матрицы-функции

а о а 1 а * . , а п-1

/а ' п-1 а, о а 1 .. С 35

}а ' п-г а о . а п-э

й а» • /V . а о

Настоящая работа посвящена исследования факторкзгщш матриц-функций вида (2) и (3),

Ноль работы.

и) ку* ародполол'ош»:, что цгм.'естйа доиторизадоя иатршы-'ушсции и, а г рациональная матрица -функция. получите яенкй 5с)р(.'ули для факторизации гихряад-функцхи виде (2) и эКск-гикнята

ктатэрж устойчивости частных индексов, построить обобщеннук факторизацию;

б) Дл.«-. матриц-функций вида (3) построить функционально--теоретичесхую факторизацию и свести задачу факторизации матрицы-функции вида (3) в винеровской алгебре к факторизации рациональной матрицы-функции.

Методика исследования. Используются классические метода задач факторизации, методы теории фредгольмоЕых операторов (в частности, метод матричногс сцепления Bari. Н. „ Gohberg I. , Kaashoek М. А. 1 ), -ТвОрКИ ОДНОМйрШ сингулярных операторов,, теории граничных задач аналитические функций» свойства функции из алгебрц Винера.

Научная новизна работы.

а) получены явные формулы для частных индексов и построен; обобщенная факторизация матриц-функции вида (2), где г v-зональная матрица-функция. Уже при п=г, когда и диагональная (т.е» случай, соответствующий матрице-функции вид (3) при п=й„ /=дг)„ зти результаты являются нобыми; да факторизации матрицы-функции вида (2),

2) для /-циркулянтных матриц-функции предложена эффективна процедура сведения функционально-теоретической факторизации факторизации рациональной матрицы-функции. Описывается подкласс /- циркулянтшх матриц-функций, для которых строится явна мороьюрфиая факторизация. При п > г задачи такого рода ранее я рассматривались, а при п=г указанная процедура, в отличии о рано© известных (С. Просдорф, Ф.-О. Шпек), позволяет избежат апроксимаций.

Теоретическая и практическая ценность. Как уже было упомянуто, факторизация матриц-функций часа встречается при решении различных задач физики и механик!

'■ Эффективная факторизация дает возможность наиболее полно pema'j теоротические и практические проблемы.

Апробация рабсты. Работа доложена на семинарах в Институт математики HAU Армении и на Егегодиой конференции по математике

Bart H. . Gohberg I., Kaashock M. A. The Coupling Method 1 Solving Integral Equations, Operator Theory: Advances ai Applications, BjusoI ets, v. IS, 1S34, p. 39-73

!ране (Тегеран, март хЗЭЗг,).

Публикации. Основные результаты отражены в публикациях с 1-43=, Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и ;вух глав, разбитых на 12 параграфов. Общий объем диссертация 73 траниц, библиография содержит 92 наименований»

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приводятся краткие исторические сведения по теме иссертации, перечисляются основные положение работы» вводятся снятия и обозначения, используемые на протяжении всего стального текста. Отметим те из них* которые понадобятся для алькейшсго изложения: г - положительно ориентированный прямляемый замкнутый контур в комплексной плоскости с, граиичиЕаадий область г". Дополнение к г*иг в расширенной госкости си<со> обозначим через г". Будем считать г гандартнш контуром (т.е. оег", .»=г~). Пусть

CSp3Ct3 = -i и-р- Г -i- уСтЗЛт, peí. (1<р<га>)

ni J т-t p

гератор сингулярного интегрирования вдоль г, действующий в юстранстве 1р (1 <•?<<»)„ Относительно контура г дополнительно дем предполагать, что г принадлежит классу % (т.е. [овлетворяет лишь требованию ограниченности в метрике ь [тегрального оператора Введем проекторы » | а*53, и

:ассы функций» определяемые их образами: £.* - р*-Р* я ¡.р+соп5*.. Пусть х^жгэ множество рациональных функций с люоами вне г. о*г группа обратимых элементов алгебры а г.г множество п мерных векторов (матриц порядка пхп) с ементами из некоторого класса I.. Под правой обобщенной кторизацией матриц-функций у^ы.™" в простанстве (1<-р«х>) нимается представление вида

уаз = / аз\ азу аз а^гз слу

- V ♦

. , ».МП у . ,.-1 _ , , ♦ , ПХП .. ^ - ,ПХП 1,-1

3 У & а } о=р/р-1 , У е Ц ) . У е И 2 , У а ♦ ч Ч г- г • + р * - р * -

¿£~;пхг\ и оператор ограничен в а -

[-"■• ¡г

4 \ ..., I л . Цслш числа » > ... называются частшми индексам! гатртш-фуикцкл у. Факторизация называется канонической, вела * *• о. Число * - «,+. .+« назы-

А к Л гч

вается сукларним индексом матрицы-ф;, ищии V. Всюду в дальнейшем под оператором х-»/ дейс-тущкм из банахова пространства х в банехово пространство у, понимается линейшай ограниченный оператор. Обозначим через го единичную окружность в комплексной плоскости с, а через 'у винеровскую алгебру всех функций, разлагающихся в абсолютно сходящиеся ряды Фурье:

= {«= Vе' а" X! = Т. (ак1<о°}

к¿Ж

Введем проекторы (те2), п^ = I -- гГ.5

(т, пе2, т<п).

Определим следующие классы функций:

'V = п*С¥Э , V ~ п"СЮ , М^ = V. + ЛСГ Э.

* о ' з. ' ± ± о

Под левой факторизацией матрицц-функции у в пространстве относительно го, погашаем представлошя вида

/СО - V СОЛ С1>У СО ((сГ ) С 43

+ V 4 о' 1

где к;1 е V*1* .

Под мероморфной факторизацией в пространстве будем

понимать представление

КСО « (-'СОНСО (£Г£Г ) С!3)

* 4 о'

где ^с лГп, у;1 с

Представление (;>) будем называть фуикцлолгыьно-теороти-чоской Факторисацией матрицы-функции и, если определенные почти всюду у± вместе со своими обратными, допускают аналитическое продолжение соответственно в области г* ■-•

Глава I посвяа-опа задаче правой- обобщенной факторизации матриц-ФупкциД вида (2), при предположении, что

- ю -

= diagft*1; ... ; l *nj,

згда представление (4) является обобщенной факторизацией у в юстрапстве i.p (кр<-«).

В §G приводятся некоторые примеры.

Глава Ii посвящена левой факторизации матриц-функций вида 5) относительно единичной окружности го в пространстве v, где

ГЛ

1

(к О, 1,*.... п-гз, а ^ = У /,гк, гсСч<0> , m , m

/ к I «с

h stm

г

всюду на r(i. Пусть максимальное значение функции |/| на го es-

ютигается В точке z = е ° (-п<& ог). Пусть гл =n>in<0,-m.>.

О и - - i

=max<0, -тУ . Введем СЛеДУЮЩИв проекторы: па, = col а , . , , гт* а I , п а = col п а , ir" а , . . . , тт~ а j „

i i m s J^ 0> o> m -i-1 4 wn Ы. ^i-lj

а = а - Cn а. + тг сО, ГДв а = coi С а , а , . . . a а 3 „ ВСЮДУ В

' О - О 4 П-1 ^

!авс Ii вместо термина "левая факторизация" используется термин историзация.

В §i вьодятся коммутативные алгебры Ve/о и „ Каждому

= со] Г«о. .... an_tl« СОПОСТаВЛЯбТСЯ МЗТрИЦа Ф.УШСЩШ Иа

:да (з). Пусть ¿fc /-отсго>^л.аг некоторая банахова алгебра с

;ташцей, содержащую / с нормой и-8^« Тогда отображение V^o^c/:? co^c/j = ае/1)-, vc<o=/e:> определяет произведение

i V :аь » . Определенное произведение, вместе с нормой

n-i

aV= »"«.'о = ^ |!/||УП|1ак"лг превращает V в коммутативна

к=о

иахову алгебру с единицей e=coiti, о..... оз. Эта алгебра

означается через Vc/;>. В частности, доказано (Лемма I.I), что ;я любого ае имеет ws с то следующее равенсво va= гех c'Y"*,

;е

Г = diag ti. ...../"'""I, С = |>а]

Г.-1

„•; =expC2rnVn..> , К = díagtX11, Xa, . . . , Xa i,

a 3 o £ r.-l

r>-»

• -o

В q2 поетроз.ча функционально-теоретическая факторпзс матрицы-функтш вида (3).

. В §3 приводится достаточное условие пршадлошости тСсо -

6 ^ - .\"*С1гЛ .>,, (atí,r"c/J ) „ классу W/> „

В §4 построен пример вектор-функций из- -ят»^ (мноасес

ргрдаопалышх вектор-функций из ) с произвольным х-индев

«

(í.r»d¡ a = col íindXa, , ... ind\a 3), ГД6 = íae/cp, aC-z

К О г>-i 3

В fjS приведено одно свойство [где = <ac<v2' indx° о и ^творкдевдее, что в случае > г для любого benocv"c

сусаствуит некоторое , такое, что п^^ь.

Б §6 построенй мароморфная факторизация матрицы-функции

В §7 факторизация матрицы-функции вида (3) сводите? факторизации рациональной матриц-функции.

Пусть aoöVc/Э и г - col t у , г..... у i некотс

Oft- r»-í

лзгари4М a~lc-so> в алгебре Л/с^». Вектор-функцию л * « <r k^c/j будзм называть - обратной к

Теорема 7.1. Пусгь aacu^c/z, н^хру является - обратной к а (у » coitro. ^.....rn-t3)' п вектор-функцщ

f*e , qe&V^ удовлетворяет СЯ9ДУЩШ УСЛОВИЯМ: Ind^p =

^ 9 . . ** •

« -iíisi a?t, KT « -TT Cr . -ГЭ. Тогда в<ХШ V - Q

<• о © übf* -i» -£

р «I

яаяяэтся фактортаацкей рациональной матрицц-функции v_t _t

р «г

яросг'рапсть-з то представление

V ' ехрП'Гл Ст., + т ->-.>.>] О АО oxpk'Oi Ст * т 1

« L "hJ> r> J * " L ~ ah¡> ч J ;:в::яотси факторизацией матрицы-фугкции Уа в арстраястве

Теорема 7.2. Пусть 1, «естЛг/.>, л = ехрк го-обратная

С а , реЯЛ'" и 1 р~- -íъdкah. ТОГДЗ, вСЛИ V

"о ' г>

факторизация матрицы-функции у _1 в прострайстве то яредстгв-

р

некие

V = ехр Г>'Сг£ Ст -}✓;>;> ] К ЛК ехр |1'Сгг Ст I

с* I + лКр J I. ' " р J

является факторизацией матрицы-функции Уа в пространстве т. Введем следующие условия и обозначения:

С 85

1

= О Сгпос1пЭ ЛИбО т^ = 1 СтосЬО <-®-5г

: т. - четное свэ

1 э

171 ~ 1 т = 2 о

т -1 т = 2 1-

л*. — 1 т = 2 3

Л *

Л = ь.

¿171^-1. кт4 + Лп < о|.

е (Ы = со1 С О.....О, Ь V, 0.....0К ГДв

1 )

С к . .ЭЭ е 22. 1<к<п-1, т+1<_)<т-1.

Теорема 7.3. Пусть г, / удовлетворяет одному из

УСЛОВИЙ (8), а е С^С/У, Н = ехрг го-обраТН0Я К а , р И

в

- 1 псз^ал. Тогда представление

У = ехр \ VCrx Ст ь -уэЛу Л Л схрГиСгт <т -у>}\ а I * J Р"1 + " I _ аЬР J

где

Л± = ехр

3

является мероморфной факторизацией у ■

Оснобшк результаты диссертации опубликованы в следует

1. Накаляй А.Г., Оганян В.А. О факторизация / -• циркулянты матриц-функций. - Изв. АН Армении, сер. Матем., т.28, 36. 1993, с. 38-54.

2. Kamalian А. , Ohanlan V. The Method for the Calculation с the Partial Indices for the One Class of Matrix Function: Proceeding of the Conference, Tehran. March 1993.

3. КатпянА.Г., Огвнян В.А. Метод конструктивного построен факторизации для одного класса матриц-функций. - 'изв. Арыонии, сер. матом., т.28, Ш, 1993.

4. -Оганян В.А. Метод построения'факторизации для матриц-функи специального вида. - Деп в Арм. ШШТИ, j6Z2-Ap 93, 24.08.1993, Юс. . .

работах: