Факторизация матриц-функций, сводящихся к подстановочным, и некоторые приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

2 6 0

ОДЕССКИЙ ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. И." МЕЧНИКОВА

, на правах рукописи

»

Крутий Юрий Сергеевич

УДК 517.544

ФАКТОРИЗАЦИЯ МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ, СВОДЯЩХСЯ К ПОДСТАНОВОЧНЫМ, И НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.31.01 - математический анализ

\

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОДЕССА - 1990

Работа выполнена на кафедре методов математической физики Одесского ордена Трудового Красного Знамени государственного" университета им. И.И.Мечникова.

Научный, руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент КРУГЛОВ В.Е.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

науж, профессор ЧЕРСКИЙ Ю.й.,

кандидат физико-математических наук, доцент КРИВОЙ А.Ф.

Ведущая организация: Белорусский государственный университет им. В.И.Ленина.

Защита диссертации состоится " 30 п ми/тг-'ъ 1990 г в часов на заседании специализированного совета, ига

К.068.24.10, по физико-математическим наукам /математика/ Одесском государственном университете им. И.И.Мечникова /270000, .г.Одесса, ул. Петра Великого, 2/. • .

С диссертацией можно ознакомиться в научной бнблиоте Одесского государственного университета.

Автореферат разослан " 1990 года.

Ученый сещзетврь специализированного совета,.

- доцент В.Г.Кротов

. Г*ЦИЙ

ОБЩАЯ .ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Общеизвестна роль задачи факторизации матриц-функций /м.-ф./ 3 теории векторной задачи Римана. Этим, однако, не исчерпывается значение этоЛ задачи, которая естественным образом возникает также в механике, теории упругости, математической физике, теории интегральных уравнений, теории дифференциальных уравнений, теоретической физике, теории вероятностей, теории дифракции и других областях естествознания.

В этой связи факторизация каждого нового класса м.-Ф. представляет большой научный интерес ка$ с теоретической точки зре- ' ния, так и с точки зрения ее возможных приложений. Вопросу факторизации м.-ф. и ее приложений посвящено множество работ и монографий целого ряда авторов. Среди них в первую очередь отметим работы Гахова Ф.Д., Бекуа Н.П., Мусхелишзили Н.И., Чеботарева Г.Н., Черепанова Г.П., Черского О.П., Зввровича Э.И., Литвинчу-ка Г.С., Спитковского И.М., Примачука Л.П., Круглова В.Е., Моисеева Н.Г.

Темой данной диссертации является факторизация м.-ф. специального вида, чем и ог еделяотся ее актуальность. Кроме того, тема входит в план научной тематики "КравЕые задачи математической физики с усложненными граничными условиями' и дефектами типа разрезов и тонких включений" /шифр 1.1.12.1., № госрвгистрашш 01860083955/, которой занимается кафвцра методов математической физики Одесского госуниверситета в соответствии с планом Фундаментальных исследований в области естественных и общественны«: наук АН УССР. '.

Целью работы является выделение новых классов м.-Ф,, допускающих явное построение факторизация и ее приложение к рви;ч«ии интегральных уравнений.

Методика исследования. При исследовании привлекались: метода теории матриц,, аппарат задачи Римана теории аналитических функций, метод неполной факторизации, теория сингулярных интегральных уравнений.

Научная новизна рабсч заключается в следующем:

1. Выделены классы почти подстановочных м.-ф. второго и тротьего порядка.

2. Построена каноническая (факторизация для кусочно почти подстановочной матриш второго порядка и вычислены ее частные индексы.

3. Указан способ построения каыоничиокой факторизации для кусочно постоянной матрицы второго порядка с нулевым следом.

4. Методом неполной факторизации провалена факторизация на разомкнутом контуре матрицы Чеботарева-Храпкопа.

5. Методом неполной факторизации пповэдона Факторизация матри-ш второго порядка специального вида с нулевым следом.

6. Пре,дложена схема построения точного решения обобщенного интегрального уравнения типа Бюкнара к сформулирована теорема о его разрешимости.

7. Предложена схема построения точного решения для интегрального уравнения "двойственного" типа и сформулирована теорема о его разрешимости.

Практическая ценность'. Результаты, этой работы могут быть использованы при исследовании задач и0 различных областей математики, которые сводятся к задаче Факторизации матриц. В особенности это относится к задачам тоории упругости и теории сингулярных интегральных уравнений.

Ийнность для наутй диссертации, заключается в том, что она • расширяет класс м.-ф.допускающих: явное построение факторизации, ,

а также класс интегральных уравнений, разрешимых в замкнутой форма.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Одесском городском научном семинаре по краевым задачам /руководитель - профессор Литвинчук Г.С./, на семинара кафедры высшей математики Одесского института инженеров морского флота /руководитель - профессор Черский Ю.Д./, на республиканской конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" /Одесса, 1987 г./, на метаузовской научно-практической конференций молодых ученых /Одесса, 1987 г./, на Минском городском научном семинаре по краевым задачам им. '1.Д. Гахова /руководатель -- профессор Зверович Э.И./, на семинаре кафедры методов математической физики Одесского государственного университета /руководитель - профессор Попов Г.Я./.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены всеми опубликованых работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит*из введения, трех глав и списка использованной литературы, содержащего•60 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Работа изложена на 125 стр. мааинописного текста.

■ С0Д2РШШ ЩССЕРГАЩI • -

Во введении показана актуальность проводимых исследований,

определен»* цели и м&тода исследований, дается краткий обзор работ,

связанных с темой диссертации, сформулированы основные результаты,

полученные автором.

Первая главд посвящена установлению структурных свойств почти • подстановочных м.-ф. второго-и третьего порядка, а также фжгорлза-

ция кусочно почти подстановочной матрицы, второго порядка и вычислению ее частных индексов.

Определение 1. М.-ф. т постоянно подобна м.-ф. если существует невырожденная постоянная матрица 5 такая, что

Если при этом

ВЦ)

- подстановочная матрица, то А® будем называть почти подстановочной.

Определение 2. Под классом почти подстановочных м.-ф. второго порядка понимается такое множество м.-ф,, каздая пз которого постоянно подобна одной из матриц вида:

т-

0 а>&) №) о

•ЧТИ

Факторизация матриц вида /1/ строится конструктивно, вел еде т. вив чего конструктивно может быть построена факторизация для м.-ф из указанного класса.

В § 1 сформулированы теоремы, с помощью которых полностью описывается класо почти подстановочных м.-ф. второго порядка.

В § 2 рассматривается задача Римана с кусочно почти подстановочной матрицей второго порядка & ("к) в качество коэффициента Задача. Найти все вокторы-функшн ф(^г)- ]

аналитические вне контура Н -непрерывно продолкашыо на ¿-гГ и ограниченные на его кониах, по краевому условию

_ 7 -

Матрица &(£) имеет вид

1 ГШ, иГ

Здесь качсдыЙ из контуров

, Г-Е гк ипг-0) -

состоит из совокупности глацких, разомкнутых, попарно непересекающихся кривых ¿1 к Гк соответственно, матрицы Сг(Ь) , Г&) определяются формулами:

У М

¿4 К'1

ГШ^^шГ + ^шг,, иг,',.

^а), шег„

щ. /£ - постоянные/, где

Г) - [0 \ >

I - единичная матрица, = - коммутатор матриц

Р-1 , . Предполагается также, что выполнено равенство

^¿^¿А-О (¡=1,1),

О - нулевая матрица.

Для матрицы построена каноническая факторизация и

вычислены ее частные индексы.

В § 3 предлагается способ построения канонической факторизации кусочно постоянной матрицы второго порядка с нулевым следом

к

и, 'С,

иг,

где контур Г^- состоит из ПК гладких, разомкнутых, непересекающихся кривых Г^^ I ; ^ - '/.

Определение 3. Под классом почти подстановочных м.-ф, третьего порядка понимается такое множество м.-фл, каждая из которого постоянно подобна одной из матриц вида:.

Л

0 0 р,Ш р{Ь1 о о

рх1Ы 0 0 0 /Ш о

о ЫУ о о о рзШ

о о ¡>,0) ^(И о О

О РлШ О > рчаь о 0 №

№ о о О рзМ о

О Р<(Ь) о О № О

Рг(ь) о О о О ЦЩ

О 0 р3(Ь) ръИ) о о

/2/

В § 4 сформулированы теоремы, с помощью которых полностью описывается класс почти подстановочных м.-ф. третьего порядка. В силу того, что факторизация любой матрица из /2/ строится конструктивно, конструктивно можно построить и факторизацию для любой матрицу из выделенного класса.

Вторая глава посвящена методу неполной матричной факторизации.

В § 5 дана формальная схема метода неполной матричной факто- • зпзавди.

В § б предлагаемая схема метода неполной матричной факторизации реализуется на примере матрица Чеботарева-Храпкова, заданной на системе разомкнутых контуров / ¿ - 1] Ь/ /и определяемой

формулой

А/

шш мь, ¿¿) = ^(ь: 1+ ш аш, /з/

■

м

где

гЦг)

Н ; - полиномы.

В § 7 методом .неполной матричной с&кторизаши впервые построена факторизация на системе разомкнутых контуров 11 = А/ / для м.-ф. вида Ы

>Г®= X еюМ

ы

с=<

где

ес(±), {¿(ЧеН; ¿¡М, ^(г) - полиномы.

Третья глава посвящена приложениям результатов второй главы к решении интегральных уравнений. 3 & 8 рассмотрено обобщенное интегральное уравнение типа Бюкнера

■ /5/

¿

на системе разомкнутых контуров / I /, образующих

¡сонтур такой, что - <р , где j ;

- полином. Такоо название уравнения /5/ обусловлено историческими мотивами. При р(1}вС=СОщ£ , Гун. С и из /5/ получается так иазшзаскоо уравнение Бюкнера.

Уравнение /5/ сводится к задача факторизации м,~ф. вида /4/ при некоторых дополнительних условиях. Реализация этих условий приводит к системе линейных алгебраических уравнений".

Сформулирована теорема о разреиимости уравнения /5/ и выписана формула для его общего рошачял.

В § 9 рассмотрело ингегральноо уравнение "двойственного" типа, ссгречштюэся. в теория волноводов

т уш J к а,г) ^(т)с(л = -т, г < /6/ й

гдо .

п,

L = HL> Ll= (d£, У; r(t), pit), f(t) - полиномы.

Уравнение /6/, вообще говоря, является сингулярным. Однако, когда p(t) + (i)=0 сингулярность уравнения /6/ "исчезает". В этом случае уравнение не имеет особых точек нигде на контуре

l , за исключением ого концов, где оно имеет неподвижные особенности. Указанная двойственность отражена в самом названии уравнения /6/, как уравнения "двойственного" типа.

Уравнение /6/ исследуется п>_.ем сведения к задаче факторизации матрицы вида /3/. Сформулирована теорема о его разрешимости к приведена формула для общего решения.

Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях:

1. Крутий ,0.С. О класса матриц-функиий третьего порядка, допускающих эффективное построение факторизации.- В сб.: Республиканская научная конференция "Дифференциальные и интегральные 5фав-

- нения и их приложения". Тезисы докладов, Одесса, 198?, часть 1, с. 144-145.

2. Крутий O.G. Построение фундаментальной матрицы решений

. для одной матричной задачи Римана.- В сб.: Тезисы докладов межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, Одесса, 1987, часть 3, с. 12. \

3. Крутий D.C. Факторизация почти подстановочных матриц-функций второго порядка.- Дап. в УкрНИШИ, 1988, К 1154-Ук88, 16 с. • •

4. Крутий О.С., Моисеев Н.Г. О решении одного сингулярного интегрального уравнения,- Дот. в УкрНИЭДРИ, 1989, > 3037-Ук89, 26 с.

5. Крутий Ю.С. Факторизация кусочно постоянной матрицы второго порядка специального вида,- В сб.: Краевые задачи и их

6. Крутий Ю.С. 'Латод неполной факторизации решения некоторых матричных задач Римана.- В сб.: Современный анализ и его приложения.- Киев: Яаукова думка, 1989, с. 85-89.

. 7. Крутий Ю.С. О решении двух интегральных уравнений, сводящихся к матричной задаче Римана.- Докл. АН УССР, 1989,,Л 10, с. 18-21.

приложения, Изд-во Чувашек, ун-та,' 1939, с. 54-59.