Обратимость операторов линейного сопряжения и задача факторизации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ПАСЕНЧУК АЛЕКСАНДР ЭДУА1ДОЗШ

УДК 517.968.32,

ОБРАТИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ И ЗАДАЧА ФАКТОРИЗАЦИИ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1991'

/ / /

Работа выполнена в Новочеркасском ордена "Знак Почета5 ишенерио-мельоративном кнституте им. А.К.Кортудоза

Сфзцианыше оппоненты: доктор йизико-штаьштических наук,

нрофзосор Г.РМУШШТЕЙН,

доктор физико-математичегхнх наук, црофэссор В.А.КАКИЧЕВ,

доктор фпзико-ьатематичвсюга наук, доцент А.Д.МВДЫХ

Ведаов п* здариягие: МОСКОВСКИЙ Г0С7ДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Защита состоится " "___ 1992 г.

в " " иа еесздании .специализированного совета £002.23.02 по физико-математическим наукам в №1 00 АН СССР.

Автореферат разослан " " ___ 1932 г.

Ученый сегфетарь специализированного совета, доктор фазико-глатеггатичаских

наук, профессор ЯС^ В.С.БЕЛОНОСОВ

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акту?пъность теш. Пусть и - гильбертово пространство, У" - проектор в этом пространстве, дополнительный проектор, а I , - ляне:'.ше огра-

ниченные операторы, действувдие в . Оператором линейного сопряжения называют следующий оператор

п = — к. -(I)

Впервые оператор вида (I) как средство описания решений задач математической <*изпкк Скл, по-видимому, использован Е.Риманом /см. [I], стр. 177/. Этим автором : лдача об отыскании ди'Тйе/еышалыюго уравнения с заданной группой монодромпи сводится к задаче об описании ядра оператора П частного вида. Хотя Б.Рк/аном не было сделано каких-либо попыток решить уравнение Г} Ч' = О , тем не менее уравнение

в случае когда к , % есть операторы умножения на матриш-Яуншиа, стали позднее назггвать задачей Ржана. Вскоре выяснилось, что в терминах задачи Римака. могут Сыть описаны ьтногие процессы в математической физике, аэро- и гидродинамике, теории вероятностей и других отраслях науки и техники /см., например, [2 - 4], а такяе цитируемые' там работы /. Б связи с огим попытки решения задачи .Римана были предприняты кно-Г5Ш1 математиками и в том числе такали известными как Пуанкаре, Карле ¡дан, Гильберт, Плекели и друга®!.

В I931 г. Н.Винером и Е.Хопфом была опубликована работа [5^, в которой интегральное уравнение тип свертки на полуоси решалось оригинальным методом, названным в впоследствии методом Винера-Хопфа. Оператор, исследовавшийся Винером к Хопфом при соответствующем в.:боре

несутцествещю отличается от оператора (I) прк ^ X . Это обстоятельство стимулировало многочисленные исследования направленные на перенесение метода Винера-Хоп'Ты на другие классы операторов вида (il. В частности, на этом пути решение задачи Римана било сведено к вопросу о существовании и конструктивном описании специального мультипликативного представления /факторизации/ коэффициентов

Л . Й

. Решение.этой задачи связано с именалм таких математиков как Н.Юусхедшшилк, е.Л.Гахов, Н.Й.Векуа-, ВД/Гохберг, И.Е.Скмоненко, РЛ.^у-дучава « Ээдуийс-.

Ф Mpytife 'стУрб'Кк-, 'в :ра<5отах американских катеыятиков feithoiaa, 'йугяЙсЬ, ¥едёра, '-ЙеЛлегршш и других интенсивно ^¡зуЧЙюн -ШёрЙтЪр

известный под названием теплицева оператора. Отметим, что

Tpitt)® 0. - U$> + QUI-&ЛФ),

причем оператор I ~ Q & обратим и обратный к нему оператор имеет вид

В связи с этим оператор Ту (/fc) есть почти оператор ли-

нейяого сопряжения при . Указанными авторами

для оператора (2^ получен критерий обратимости, состоящий в том, что для обратимости оператора

Тер

необходимо и достаточно, чтоОн оператор А допускал факторизации /бнл векторизуем/. Кроме того, в. случае существования факторизации была указана конструкция оператора (Тр (¿П) . :

Отметим, что в виде (I), (2) могут быть представлены к оператору типа свертки, попадающие в г_\_хсс операторов локального типа / см. [б], /. Для таких операторов трудами К.Б.Сжоненко, В.С.Пллвди, В.С.Рабиновича, Р.В.Ху-дучавы и друг;:х,с злана теория нетеровости, которую сейчас принято называть локальной теорией. Применение этой теории к конкретнш операторам вида (1) ,(2/ приводит к получь- ' нка критериев нетеровости. -.

Супестзеннш. недостатком большинства из списанных результатов ягляется отсутствие ■ конструкции. обратных операторов в случае их существования, готя :.'.ног:'.е прпг-яаднге ?адачн требуют ресения уравнений вида П Ч* ~ ^ . Исключение составляют некоторые результаты относящиеся К задаче Римаиа /особенно одномерной/, а таксе отдельные результаты об обрати,7,ости двукерккх тешпщевых операторов', . полученное • С. Одером, В .А .Ь'алютевкм,Л.И .Сазоновым,. А .Вет-тхером к автором.

Отметим, что иеобходклум. условием обрати; зсти ш. рс ;о-.го класса операторов линейного сопряжения в широком классе

банаховых пространств /мы лишь для простоты изложения предполагаем, что - гильбертово пространство/ является обратимость коэффициентов А , & . Поэ-тому-три изучении операторов (I), (2) только в рамках гильбертовых пространств мы упускаем из виду такие случаи, когда , вообще говоря, необратимы.

Потребности же практики таковы, что уравнение нужно умгть решать и в таких случаях /см. [з"], \.81 /. В.Б.Лнбиным. Т.Н.Чеботаревым, М.И.Уайкинытл, З.Пресдор-Фом, Р.Зильбеманном, А.А.Семенцулом, В.Г.Кравченко к другими была создана неэллиптлческая теория для некоторых простейшие операторов ада (1), (.2). Этими авторами было предлокено два подхода к изучению таких операторов. Один из них, названный методом нормализации /неограниченной регуляризации/, состоит в такой деформации на- • чального и /или/ финального пространств, что индуцированный оператор подчиняется теории Нетера. Второй подход состоит в эм, что исходный оператор изучается не в рамках банаховых, а в рамках других локально выпуклых пространств. Оказалось, что иногда удается так подобрать локально выпуклое пространство, что оператор (1), (2), рассматриваемый в этом пространстве как эндоморфизм, является . обратимым, несмотря на то, что коэффициенты

Л , я

вообще говоря, необратимы. В частности, для зг шчн Рмлака 1аКИКП локал! .о выпуклыми пространствами ягляются сч"тнд-

4

7

нормированное пространство гладких вектор-^гункций / см., например, [91/.

В связи с изложенным выше актуальными являются следущие задачи, решаемые в реферируемой диссертации:

- выделение классов операторов вида (I), (.2), для которых возможно построение аналога метода Винера-Хопфа

в гильбертовых и других локально выпуклых пространствах;

- конструктивная реализации этого метод? обращения операторов (II, ( 2 V,

- получение критериев обратимости /нетеровости/ операторов (I), (2);

- исследование частных случаев операторов (I), (2) часто встречашг/.хся г. практических затах, в рамкзт гильбертовых и счетно-гильбертовых пространств специального вида.

Об-уект и цель исследования. Пусть И - гильбертово пространство, УЬ - целое нс-о^идательное ч,.ело, а

Г« и С : Ш = 1

Через ЬД п.» Н,г1 обозначим гильбертово пространство Н -3:!а4!гах ^ункпий

Ь, <1 П , н , г \в { Ч - ^ У *.6нлег}

с поточечны:."! линейными операциями нормой

Через Р ~ обозначим следующие операторы проектирования, действующие в

Пологчм { ~ > и, Г) - П ЬД П.Н.г] .

и будем рассматривать это пространство как счетно-гильбертово с топологией, порождаемой набором норм II'(¡«.""^А-

Через В (И) обозначим банахову алгебру линейных . ограниченных операторов, действующих в Н . Пусть

01 $ В>(н.)

- подалгебра, а П. - целое кеотрща-• тельное число. Положим

V Л ос, г)=\ ^ К-

У* С«.,Г)- { £-\лГ*(<й, Г): аго, 1 - ,

В диссертации изучаются следующие операторы

ги аф Р* + , (3 )

Т«. - р+а.(ъ)1 СО

в пространствах ^^ { ъ., Н» г}- } Р+ иД^, Н, Г ^ , соответственно. Относительно функций 0.(1) ,

предполагается, что Си ,

¿(1) (<И,Г) в случае конечного

п и С^"(ОС,г) в случае а= <=о .

о

9'

Относительно алгебру в большинстве устанавливаемых в диссертации результатов предполагается, что она является коммутативной банаховой алгеброй / иногда удовлетворяющей некоторым дополнительным оговариваемым в тексте диссертации условиям /. Рассматриваются также некоторые некоммутативные банаховы алгебры в определенном смысле близкие к коммутативным.

Отметим," что операторы (з\ (4) есть соответственно операторы (I), (2), где следует положить

Хотя оператор}' (.?), (4 ) и являются частными ~~о отнолению к'Ъпсрг.торам а), (.2) однако они в то не время и достаточно обх:, т.к., по-супзеству, все используете на практике операторы линейного сопряжения или тегишевн операторы ихеют на си,юм деле еид (3*) или соответственно (4 ^ /см. [2-41/.

Пе.ил г.сслоцованпл операторов (3), С4) является получение критериов-обратимости операторов в иростраст-вах Р*Ма,Н,г], а^од^иН

соответстве:шо, построеше в случае обратимости конструкций обратных операторов, приложение этих результатов к конкретным г-ласса:/. операторов вида (3\ (4), имегаим практическую ценность.

?.'с-тод псс.-ето-Д:л ;:сслаюгсппя операторов (3), (.4)

е дисеертящш выра^отокк понятия Факторизуекюсти в коммутативной баиахогоГ. ¿.-у^сре VI ( ОС, Г) , вгтоаден-ной фавторияуепос?:: г. алгебре С*" (06, Г) . Эти понятия изучеш' гл о:п;саны в терминах поведения преобразования а'-литоризуемой Функции. Устанавливаются связи цзад7 виденными понятиями факторизуемости к обратимость.: изучаемых операторов. Например, обратимость оператора (О , для которого порождающая Функция есть элемент 1л7п, (Г/ , рассматриваемого в пространстве IV поМ) Г1} , эквивалентна наличию, так называемой канонической Факторизации функции а-СО в коммутативной банаховой алгебре V (ОС, Г) . Поскольку канонически ^акшрщуамость в ЛЛк (Л, Г) может быть описана ■независимо 0Т оператора (4), то это приводит к критерию обратишеищ задано оператора. В связи с тем, нто Факторизация строится в явной £орме, удается указать при этом и кдашгвуши® -обратного оператора. Аналогичной результат ус?анав.тивае$ся и для оператора (.3а такке к случае пространств Ила.!*», , Р4 Н> Г ^ для обша ®щраа?.ор2В ((3(4). Полученные критерии обратимости ти ксякмгдзукшш обратных операторов затем применяются для вщучэния этих результатов для конкретных классов Ъператор тв <('3), (.4) •

В связи с тем что нетеровость оператора эквивалентна обратимости по идеалу компактных операторов получен-.

шв результата применятся для исследования на нетеро-вость а для построения рагуляризаторов. В частности» в диссертации исследуется на нетеровосгь полннЗ бисЕЛгу-лярыай оператор.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации, по-видимому, впервне изучен опэратор линейного сопряжения в форме ( 3). Для исследования этого оператора выработаны и изучены новые понятия вырожденной ^акторизуемос-ти /девой и правой/ в счетио-норяированной алгебре с~(ос, г) . Установлены критерии 'Такторизуемости в алгебрах VI ^ (<к> г) , С°°(бС, Г) и указаны гТорму-лы для подсчета частных индексов факторизации. Факторизации рассматриваемые в диссертации построены в явном виде, что позволяет дать конструкции исследуемых операторов. В диссертации предложена новая концепция исследования операторов линейного сопряжения в таких локально выпуклых пространствах, в которых обратимость оператора линейного сопряжения не влечет, вообще говоря, обратимости коэффициентов. Эта концепция состоят в следующем: для любого локально выпуклого пространства существует ■ ' "правильное" понятие Факторизация, описыващей обратимость оператора линейного сопряжения-. В диссертации эта концепция реализована для пространства и», ^х. 00' Н , Г5 , в качестве приложения уг.омлнутых результатов указаны новые классы многомерных операторов сопряжения, допускающих ре-

дукцию в : опросах обратимости. Оказалось, что известный результат С.Ошера об эквивалентности н^теровости и обратимости для одного класса двумерных теплицевых операторов является частным случаем этого результата. Кроме того , на атом пути получен ряд новых результатов такого сорта. Б диссертации исследован на нетеровость полный бисингулярный оператор в одном специальном счетно-гиль-берто! л; пространстве. В качестве следствия этого результата получены аналоги теорем С.Ошера, В.А.Малышева, JI.11. Сазонова для этого счетно-гильбертова пространства.

Публикации и апробация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах |_Ю - 221 • По материалам диссертации сделаны доклады на следующих конференциях:

- по комплексному анализу /1977, 1988, г.Сухуми/.

- по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям / 1987, 1989, г.Черноголовка /,

- по (^нкциокалъно-дифферещпслгсным уравнения:.: и их г.рц-лоненням /1986., г.Махачкала/,

Кроме того, сделаны доклады в семинарах

- Московского государственного университета /рук. академик Садовничий В.А./,

- Ленинградского отделения математического института им. В.Л.Стеклова /рук. профессор Никольский Н.К./,

- математического института Сибирского отделения АН СССР /рук. профессор Кутагел дзе С.С./,

- Грузинского математического института им. Размадэе /рук. член-корр. АН ГССР Хведелидзе Б.В./,

- Молдавского математического института /рук. Маркус A.C./,

- Ростивского государственного университета /"ук. профессор Симоненко И.Б./.

Структура и объем работа. Диссертационная работа изло- ' жена на 253 страницах машинописи, состоит из введения, семи глав и заключения. Библиография нас.итт.вает 120 наименован::".

со,т.?:хж работы

Введешь:

Во iвелении дается об'аал характеристика работы и обзор диссертации по главам.

Глава 1

Глага 1 посвлпена вопросам акторизусмостн в алгебре Wr„ (ОС, Г) .

Пусть ОС - коммутативная банахова алгебра /КЕА/ с единшея I , а { ^ ж t набор идемпотентов алгебры ОС , у довле творящих условиям Рь Pj ~ £4; Vi ,

р- -I

1-' Ст I г о J- •

руде:.: говорить, что а- (Ч ) С \Jn. С ^ ) факторг.зуега в ITA W«. f") с частными индексам..

t^K-i . если

ato = a. CùTU Pi a, (S), с s )

где at(V)e

В главе 1 дается критерий существования представления (5) и в случае выполнения условий критерия приводятся конструкции факторизационншс множителей CL -¿(^ и формулы для подсчета частных индексов ^^Vt«^ • Приведем этот результат.

Пусть пространство максимальных идеалов

КЕЛ ôt , тогда ШОС = Ui'i V+li , где

УИс А ~ ф , И

4(?л il ,

3-V.n.J -S с-1,2,..., Г-

[о, i

Функции CL = ^ £ (X")

поставим-в соответствие следующую функцию

определенную на компакте Г * YM, (31, • Теорема 1. Лля того чтобы Функция Ct (V) £ "Wn. (Ot, Г) допускала представление (5) необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ей функция CL(b}$~) удовлетворяла следующим условиям

I/ œ(%,i)-ho, Съ.ЛеГхШос,

И/ LkcL ol&S) - > зСе Vtt:,

' Отметим, что формулу О/ из теоремы I .„окно рассматривать как средство вычисление частных индексов Фг иори-

залип в случае ее существования.

Теорема I применяется затем для построения факто-ризатши функцвонально-коглмутативннх матриц-функций.

В ятой же главе выясняется вопрос о поведении факторизапионннх множителей Функции, зависящее от параметра, при условии что эти функции имеют своим пределом Яункцию, неФакторизуемую в К ЕЛ Я«/«. (бС^Г). Сказывается, что иногда можно так ослабить топологии \\Jw- (<5^1 , что в новой топологии семейства фактори-запионных множителей имеют пределы. Указываются достаточные условия сходимости семейств Факторязаниокинх множителей в новкх топологиях.

Рассматриваются таклсе случаи, когда банахова алгебра не является коммутативной, но им^ет вид ОС * (Ко® \Я- , где ОС, - КЕА, а К - нильпо-тентнкй радикал Якобсона. В этом случае выясняются взаимосвязи между Яакторизуемостья 'унгд/и из \"Тл0??,г) и ^акто^'.зусмостья её проешии: нч КЕА , Г) .

Гл^а II

\ ,-

? этой главе ^водится и изучается понятие вырожденной Яакторкзуемостк в алгебре С°°0И-1Г) , снабженной счетно-нормпрованной топологией с порождающей системой норм \ • и, И'ОД,... .

Пусть ОС - КГЛ с е.т/пкней, обладавшая набором

идешютентов { Рс 1 со свойствами, описании!,ж выше.

Будем говорить, что С00 Р)

допускает в алгебре вырозденную Фактори-

зацию типа минус с частными индексам,: { ^^ ¡^ ^ если имеет место представление ( 5), в котором

а+ 60 & СС7 Сбс,г) , е с? (к,г),

при л?.1ом (^йксировлнном Ъ : О..Съ)о,СбС

и если О.'} (я) ¡То ^ ЗГ** Е окрестности точ-

ки — ^ , то найдутся такие С >• О и целое неотрицательное число Б , что II ^ || < С + ¿) S: Будем говорить, ч-. ; функция &.(%) е С^ГсХ.)Г) допускает вырожденную Факторизацию типа плюс с частными индексами { 22с \ с „а. , если функция СЬ(ъ') допускает вырожденную Факторизацию типа минус с частными ин-

дексами

Основным результатам главы II является c-.Kii.ior теоре-_ /

мы I, пс ученный для КЕЛ ОС , удовлетворяющих следующему дополнительному условию

У1. Найдется С 0 > О , не зависящее от элементов (Н-такое, что

11 а/| < Со т,ах I :£бх) 1 для любого о. е ОС . . Обозначим через П.о. (£) количество нулей с уче-

том хратностей функции при фиксированном

Булем говорить, что функция СЬ(?>) го/еет на Г не более чем конечное число нулей конечтге порядков, если функция & ) либо имеет липь нули указанного типа, либо вообще в куль не обращается.

Пусть функция О^Съ^) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Назовем сингулярна, индексом этой функции следую'.у.й функционал

Услогнмсл в тот случаях, когдя функция О, зависит от нескольких пер1-:, синих мл уточнения к словам "сингуляр-т:й кнзег.с" до'являть слово "по нерешенной ....".

Справедлива следузэтая Теорема 2. Фушшил С1(0 £ С%<Х-> Г) , где КГА ОС удовлетворяет условию УI, допускает вырожденную Факторизация тпга минус /плюс/ тогда и тотько тогда, когда соотст-вуяпая ей функция удовлетворяет условиям-

I / функция (Л>, £) при любом Фиксированном

£ У^С СК. имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков, величина 11а. С^) (^с(л)-

постоянна на кайлой компоненте- , С-1,2,... .

При выполнении ?тпх условий частные индексы ирокде:.яс 1 ?ак-

торизашш могут быть найдены по формулам

£ е т1 ,

*ак и б главе I теорема 2 используется для факторизации функционально-коммутативных матриц-Функций, рассматривается и случай некоммутативной банаховой алгебры £%} для которой ОС - © "Я .где ОС о - а - нильпотентный радикал Джекобсона.

Глава С

В главе 2! устанавливаются связи между введенными ь главах 1,П понятиями факторизуемости и обратимостью операторов (3), (.4). ч

В случае пространства \->г{ Н,'Г(] имеет место следующий результат:

Теорема 3. Пусть ОС - КГА с ед::ш:це&, нг.полнснная в алгебре Ь (Ю , а

о. XV) , & VI"

н. С@с> Г) .

Для того чтобы оператор П & схС^ОФ1^ + <>(%) Р был обратим в пространстве

ид п-ЖгТ

необходимо и

достаточно, чтобы выполнялись условия С / ПгЛУ+О, &ЛеГ*Ж<!С,

ъ ъ

Г.щ выполнении -этих условий а} @ £ Р)

Функция а.6 1 допускает факторизацию (5) п*ри I =1,1,..., г и если аё'1 = С, С + есть эта Факторизация, то

п-1 = (г -га^рКс;1 р+с;аг «р-^Г1!

Теорема 3 доказывается по следующей схема. Сначала устанавливается, что обратимость оператора (3 ) в прост- . ранстве Ь^Л ^ > Н,г} яквивалентна обратимости Функций &, 6 в алгебре и Фак-торизуемости Функции СХ, & /ть-л что то же самое, Функции

а Ь/ з алгебре V п. Г) с нулевыми частнк.'Д! у.нп'чсами. После ->?ого прижмется критерий Факторизуемост:: 2 КГА V/ п. ^ ) .

Теоре:..а 3 распространяется на опера', эры линейного сопряжения с более о5л;:мн ко->¿ф.ициентаг.м чем коэффициенты из Г1) . Конечно, теорема 3 может быть переформулирована цля оператора (4). Лля этого слелует положить $ (и учесть, что в -»том "тучае

1п<1 ёСъЛ) = 0 * ^ € ■

\

Аналог теоремы 3 для пространства и ^ { 00 > Н , Г ] получен для алгебр (К. , удовлетворяющих условию У1 и описываемому нияе условию У2.

Пусть аЫ е С^С^С, г) , полоаим

ЛеЖОС. -

Будем говорить, что алгебра ОС £ &(м) удовлетворяет условию У2, если для любых Функций &■(%), é (ъ) 6 C°°(6Í> Г ) подчинявшихся условию

найдутся линейные ограниченные оператор« А , Ь , действующие в пространст- J вв 00 i Hj f1] , такие что имеет место равенство

(а№) Л.+ С^ГОГ^В-Х .

Теорема 4. Пусть (? L - КЕг\, удовлетворяющая условию У2. а а,С\), *(ъ) € Cw(OL>r). Для того чтобы оператор П ~ (Х-(_Ъ) Р+ i- á(V) Р был обрат;:м в пространстве Ь^Я00»^»^? необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия

i/ )лг<Uviol,

i С / функция - &(Ъ) допускает вырожденную Факторизацию

с . т

тина минус с частными индексами i'¿^^ в ал-

гебре с°°( oí J р) , гче ОС - К И'. : ОС Q6Í £В(н)) ¿Ц/ пункш;я б Сь) допускает вырожденную Факторизацию типа плюс с частными индекса!«! \ 2* L в алгебре СТО(СС»Г) , где OÍ - m: £76 c0¿ &В(н), ¿V/ ser « э ¿ .

С целью переформулировки теоремы 4 в терминах функций Q,0>J} J-) , $ в этой главе веодится понятие слабо наполненной подалгебры в алгебре В Сн )

Обозначим через следующий оператор проекти-

рования, действующий в пространстве ««>,

по формуле ОС к (Ъ %1) " V , Кб?..

Пусть оператор П обратил в пространстве ЬДоо.^Г] .положим П"1^- .

• Ы ч <1

Назовем алгебру ОС слабо наполненной з В (н) 5 если из обратимости в пространстве Ь, Н,Г1

любого оператора с ::озффшиентами из алгебры ■ следует, что построенное по этому оператору плементц

, (¿>,П & являются рлемон-

тами ачгзбр; (К. . .

Отметим, что из слабой наполненности в Е>(и) вытекает наполненность в &С.Н).

Можно, например, показать, что коммутативная _ алгебра является слабо наполненной. Теорема 5 Пусть ОС - слабо наполненная в В (н) коммутативная банахова апгебра с условиями VI, У2." Для того чтоб'! оператор

П = а (ъ) Р+ й (ь) Р~ , а Сь) Л(ъ) е с°°(ас>г)

был обратим в пространстве Н, Г 1 необходимо

и достаточно, чтобы

с / каждая функций Л- (л,/-) , при любом

фиксированно!.; X £ "/тГ£- 6С имеет на Г нз более чем конечное число нулей конечшх порядков,

¿1/ функции и £ (Ъ, не имеют общих ну-

лей на компакте Ш/ величин« ХсС&-) + Ъа.(£) .

постоянны на каждой компоненте УИс> ¿.--1,2,...,» , сVI для любого Л & У^СОС имеет место равенство se.cCа-) - - - пь (Л), /бУМс. Отметим, что в том случае, когда функции 0-(%,1) , & (Ъ, -не обращаются в нуль на компакте Г* * УК-Обусловив ¿V/ теоремы 5 эквивалентно условию С С/ теоремы 3. Для теплицева оператора (4) с произвольной порождающей Функцией /принимающей значения не,в коммутативной подалгебре, а произвольные значения в В (в)' / имеет место следующий результат:

Теорема Оператор Та, € И), Г)

обратшл в пространстве **>> Н, Г} тогда и только тогда, когда функция &(ъ) - чопускает каноническую правую вырожденную ^-¿к?оризаш:я типа минус, т.е.'когда

а.(ъ)а, (ь). , где .а+ф е £С?(ь(«),г),

61_(Я.")€ (В(н),г) и удовлетворяет условиям на рост . коэффициентов функции <Х-

(О г окрестности точки описанных при спределе;.ли Факторизации (.5) •

К сожалению, теорема 6 не монет элективно прьмектгься, поскольку нет эффективного языка, описывающего понят"е канонической правой вырожденной факторизации в независимых ^т

оператора T'a. терл;.. Глава 1У

В главе 1У исследуются ка обратимость некоторые 1

классы многомерных операторов линейного сопряжения в

стандартных гильбертовых пространствах F"1).

Рассматривается также многомерный теплпцев оператор.

Пусть "2.1*1 - целочисленная решетка т, -мерного

евклидова пространства , а 2 + - : i\o}, —, пг

Представим в виде следующего дизъюнктного объеди-

Zm il й-"1 -у m

" U ^ ; I -£_ ■ , где каядое из trt Х"! . к

множеств Ък имеет вид -¿^ - « Ъ

с фиксированном набором + и - . Условимся считать, что

эти множества перенумерованы так, что îL^1"

а в остальных подмножествах.последовательность и

nm-i

- такова, что в группе первых Л множеств

"2. ^ последний сомножитель есть "2 ^ , а во второй группе Ъ™' последних множеств - последний сомножитель есть _ , а остальные сомножители, определя-

-7 ш — • ' 0 mrt-l

ющио £к и "с , к = %,... , j.

- одинаковы.

пусть е

Тогда ' f (V) е Ьз,С r,nrt) монет быть представлена в ви-

Пологим ( Рк 4>)(ъ) -Х^г? , ^-1,1,....г^,

В этой Главе изучается следующий оператор линейного сопряжения

- ИГ* ак(ъ) р* , •

где - непрерывные на Гга сЕ-ункции.

■ Представ;::.: 1 Г"41 в виде Ч = (1* , •

где ^--^.-Ч^иГ""-' Мы предполагаем, что кз-»1<1кииенти <•«1,2,..., %"х

допускают следующее представление

где ^(ич&,ЫсС(г)1 С(Г""*).

Поставим в соответствие оператору-(6), С?) пару следующих оператор-Функпг.й

^ (гт) = ¿Л* -п) П ,

& (г- «А*(О П ,

принимающих значения в алгебре Ё> (Ь^СГ'"1"1]) . Теорема 7. Оператор (о). 17) обрати.', в пространстве тогда и только тогда, когда С / при лобых Фиксированных I™ € Г* каждый из огергто-ров т / обратим в пространстве

¡-iя. ( ^171 4) , что, в частности, печет з'а сг'ой

условие О, Г"11, ц « 1,2,..., ;

йп-сС а«(ъ) ~in.cC а^глч

Теорема 7 позволяет сводить вопросы об обратимости га -мерных операторов вида (б) к вопросам об обрапшости аналогичных операторов на единицу меньшей размерности. На этом пути в работе получен упоминавшийся выше результат С.Одера, а также ряд иоеых результатов.

Для доказательства теоремы ? в диссертации строится одна специальная коммутативная атгебра, исследование которой монет представлять интерес. Затем к зтой алгебре применяется техника главы Ш.

Е этой же главе рассматриваются различ.ше приложения теорем; 7, в тем числе к к многомерным оператора;,! Теплица. Здесь же излагаются известные результаты об обратимости двумерных теплшевых операторов, полученные автором и А. Веттхером, М'лы'.зевым, Сазоновым. - Отметим, что в дпссерта- . ш'л: для оперятпра 3.А.Малышева построен левый равносильный регулярнзатор, не известный ранее. Для оператора Л.И.Сазонова предложена в случае его обратимости новая конструкция обратного оператора.

ГЛАВА У

Хлава У посвящена исследованию задачи Рикана с гладкими 1гункционалыю-коммутатиз1шми коэффициентами в счетно-

нормированном пространстве гладких вектор-Функций. В этой главе приводятся конструкции обратных Мура-Пэнроуза к оператору, порождаемому указанной задачей Римана, .описываются ядро, коядро и образ этого оператора в предположении, что детерминанты коэффициентов згдачп имеют на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков.

Глава У1

В этой главе исследуется на нетеровость полный бнсингулярннй опесатор в пространствах Ь2.(Г''г) ¡;

Функогя , определенных на торе ГХ.

Пусть Б - стандартный оператор сингулярного интегрирования вдоль Г /см., например. /,

ПОЛОЖ'.М

Из иньолютивности оператора 3 следует, что Р~~ являются операторам проектирования и и пространстве и в про тракстве В главеУ1 рассматривался следующий оператор

в пространствах $

Относительно коэффициентов ol, i , с ,d предполагается, что они непрерывны в случае пространства L., и являются гладкими по первой перемен-

ной в слгчае пространства L»*^ э О, V*-} . Теорема 8. /ля того, чтобы оператор бил ьзте-

ров в пространстве Lt необходимо и достаточно,

чтобы

И/ ind о. - LkcL с , ¿neta = ítid,/,

u К

in-d é a inci & , ind с = ind cL. í4 it h

Отметим, что теорема 8 хорошо известна и получена и работах И.Б.Спмоненко, В.С.Пилили, Р.Г.Лугласа и Р.Хоута; Г.Стрзнга. Голее того, Р.В.ДуяучавоЙ исследованы операторы П б с разрывными симвотамк. Здесь № приводам •эту теорему с целью сравнить ее с аналогичной теоремой для пространства U,z ,0, Г1} . Отметим такие, что в диссертации теорема 8 получена методом, ovличным от методов упомянутых авторов.

Пусть О. С(Рг) , условимся обозначать

через П.а. (Зг) количество нулей функции (З-О^Да.) с учетом кратностей при фяксирова:ном 6 Г.

Будем обозначать через С1 (а) . сингулярный

индекс Функции O-tlí при Фиксированном Г

и называть эту величину сингулярным индексом функции <х по первой переменной.

Теорема 9. Если оператор П б- является нетеровым ^ пространстве L¡Ji. > О, Гг} , то выполнены следувдие условия

i / при любом фиксированном €. Г каждая из яунк-цкй а

шеет на Г1 не более чем конечное число нулег ко-, нечшх порядков, LÍ •/ *ушлш: О- V. С не имеют на торе Г*" обяих нулей,

Щ/ >?ункц;!y. é и d- не имеют на торе Г1 оСтлу. ну' лрй,

¿v/ сингулярные индексы коэффициентов оператора П 5 по порто'.! переменно'.'! связаны с числом нуле" ->тпх коэ'Ипг/снгов соэтно'дони.-с.п;

-ОЙС! Со-) - (С) С»»)- МО. %xfe г. эеС1 (О - a?CJ(cO — а<(0-

Необходимые условия теоремы 9 не являются достаточными /ср. " теоре;..ой 8/. Однако, они близки к достаточным в том смысле, что к этим слов., дм следуе™ еше добавить условия, явля-одаеся аналогами для аннулкруюдихся "упгги.п группы ¿i/ условий теоремы 8 по второму переменно-у _

Отметим, что условия ¿И/ теоремы 9 мояно рассматривать как' аналоги группы Ы/ условия теоремы 8 по первому переметшему.

Опиишгше выше условия удается ввести лишь для -специальных алгебр. Опишем эти понятия.

Пусть - некоторая банахова алгебра, являю-

щаяся подалгеброй алгебры . Будем говорить,

что алгебра С Г) является алгеброй с рациокать-

'ннм аннулированием, если иь того, что С°Сс£г,Г)

тлеет при. .тюбом Фиксированном С Г конечное число кулей конечных порядков, следует, что найдутся рациональная Функция Ч-а. и не обращающаяся на Г функция 0.я(ъ1 €. С™СХг>г) такие, что

Пусть (ГТД.Г) - алгебра с рационализм аннулирование:.!, а, & С~С£Г,Г) и яункпия.

Ха, такова, что при всех 1Гб (Ч,!*?.), £ > О имеем Тсс(Ч ЪЛ*)* О , Сг^ЛО в Г1, Назовем внешни!,! предельны!.! индексом по переменной функции следующую величину

<Хг~(а) - ln.cC

¡-Л

Аналогичным образе определяется и обозначается через

г Vй-/ понятие внутреннего предельного индекса по перь^енной 1> в алгебре с рационе шшм аннулирова-

uiieM.

Отметим, что для рациональных функций функционалы

£

аС ¿л ( &) определены всегда /когда имеет смысл их определять/, независимо от того в какой алгебре рассматриваются рациональные функции.

Теорема 10, Uyci* С'^(УУ, Г) _ алгебра с рациональную аннулированием. Для того чтобы оператор Пе с коэффициентами из 0е* о6-, Г) был нетерог"м в пространстве Lit{ О, Гх] необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия I/ - tV/ теорем 9 и следующее услбвие

V / для йункяий С1 , С определены внешние предельные индексы по второй переменной, а для 'Тункгкй ? , d - внутренние предельные индексы по второй переменной переменной и имеют место следующие равенства

Яёг в жег • = (•

В связи со сделанными выше замечаниями относительно определения предельных частных индексов по второй переменной для рациональных функций для оператора II б с рациональными коэффициентгми теорма 10 имеет место без предполох?-Ш1я относительно алгебра С Г').

В этой, яе главе устанавливается аналог результата Б.А.Малышева для двумерного теплицева оператора, рассмотри-

ваеыог.о в простпаастЕЭ

Глава УП

Глаьа УЛ восит вспомогательный характер, в ней.по-..кесеи! доказательства двух тешпчегкнх результатов, использованных в главах I - У1. Впрочем, по-видалому, некоторые из этих результатов могут представлять и самостоятельный интерес.

Глава разбита на две -^асти, в первой из которых рассматривается Еопрос об ограниченности операторов, порождаемых операторными матрицами б счетно-кормированном пространстве последовательностей ^ ^ • И > "2. 1 , являэдихся коэффициентами Фурье дующий из !-»*.{ 00 > N Во второй части главы изучается вопрос о равномерной ограниченности обратных к семействам тешпшэвых операторов.

Сформулируем основные результаты главк.

Пусть ^ с СД«>НД} и'

^ (Х.ОО 0,04 0-ох ■■■ \ а40 о,к. сь..-

о-'» о а*1 О-а

гае сц, е В(н), (¿,р в 1}. Полозаил ДЧ"- \ .

Теорема II. Оператор Л ограничен в пространстве ¿л { 00 > Н. Г \ тогда и только тогда, когда по лг-бому найдутся Сп^О и

такие, что ||а^|| £ С. ((¿1+1)"^ (|Д п)*4,

Из этой теоремы вытекают следствия, которые собственно к используются в основном тексте диссертации. Следствие I. Пусть О, (г) = ^ I* , £ 6 (н) .

Оператор &(т,) I ограничен г пространстве Ь1{»>Н,Г] тогда и только тогда, когда С*~(Б(н), Г).

Следствие 2. Ьусть ач (%) = Х- , О,- е В (И)..

Оператор О. + (%)! ^^.р* • ограничен в пространстве - Ь-Д , Н , гЗ тогда и только тогда, когда

а+ (V) £ С Ь(н),гУ

Следствие 3. Пусть а _ (V) а'л^ >

Оператор Р+ О.-^^ р«- ограничен в пространстве Р+ Н,Г] тогда и только тогда, когда найдутся

О и пг. такие, что II Од || с С (7+4.)^ .

Перейдем к содерзашю второй части -лавы. Пусть { С1 (Д, М 1 Х^А ~ семейство «"функция из С ( С, Г) , а - ¡.тожество па;амет-

ров. Рассмотри!/ семейство соответствующих тешшцевых операторов, рассматриваемых в пространстве Р '.

ад. .

Предположим, что при любом фиксированном X <~ Д.' оператор То, £х) обрати?/, в пространстве Р*1»а {. 00 • Н » Г } , Будем говорить, что оператора (Та. (к')') равномерно ограничены, если по любому найдутся не зависящие от X £ А. числа С Он гггп с-Ч:^ такие, что ([ (Та бЛУ^.Ц ¿Г

< С* Л 441т* Для любых Ч><5. Теорема 12. Если непрерывна по \ £ А з

топологии пространства С.М(С/Г) , при каждом Фиксированно;,'. X £ А. оператор . Т*а О- ") обрати;.-, и А - компакт, то операторы ("Т^ (х))-1 разномерно ограничена в пространстве Р'5" »=>. С, Г1.

ЗАХЖЕНКЗ

В заключении указываются возможности .обо^гения результатов диссертации.

ЦИТИРОВАННАЯ И5ТЕРШРА .

1.Ришн Б., Сочинения, Гостехиздат, 1948.

2.БелоцеркоБСлИЙ С.и., Ливанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их приложения в- агродинамике., М., Наука, 198ч.

3. Малышев В.А. Уравнения Винера-Хопфа и и применения в теории вероятностей., М., ВИНИТИ, Итоги науки и техники, сер. мат. статистика, теор. кибернетика, 12Ъ, т. 13, с. 5 - 35.

4. Лаврентьев М.А., Сабат Б.В. Методы теори.. функций" комплексного переменного., !,!., Наука, 1973.

5. 1>~и.!иг- Ж-, в. и^и- СоГИ. Чгыг^ц,-

с^йл. сА. игь^их.., 'Ы'Ь-гипфЖ^-, Ве^есмг УКи., ¿931, ± .696 -706.

6. Симонекко '/..Б. Новый общий метод исследования линей-,Нс-х операторных интегральных уравнений I иП., Изв. АН СССР, сер. матем.', 29, вып.З, 1965, с. £67,- с86 и ьып .4, 1965, с. 7^ - 782.

7. -ГохЗерг И Л., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных спнгуллржх интегралышх операторов., Киллшев, Гтиишг, 1973.

8. Очки- в.У. Оп. си-'Ьси.п Тоср-йЫ о сп Í1uo Шгса-Оа. . -

34, р. ИЪ - 119.

9. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений., М., Наукг, 1979.

СПИСОК РАБС™ ШОРА

10. Пасенчук А.Э. Об одном оперохорб в четверти плоскао—

тн о аннулщвщитася сшэолом___Матем. заметки,

1976 , 2, э./, с. 559 - 570.

11. Пасенчук А.Э. Об одной задаче' случайного блуждания ь четверти плоскости. - Успехи матем. наук, • 1978, т.33, в.6, с. 229 - 230. „

12. Powen.bh.Lth. А. В. On. CeAain. Осиш of-"ifivtbtiéU Тиъ-Ябтм^сопаЛ Con.boàcUovt optra-ton - Ы. Mai к. $о>г.,Ш2,2,а/£, p.î-V.

'13. Пасенчук А.З. Об одном классе двумерных интегральных операторов в свертках с вырождающимся символом. -Б сб. "Матем. анализ и его прилоа.", Ростов-на-Локу, 1У81, с. 1СБ - 112.

14. Пасенчук А.Э. Об обратимости абстрактного аналога дискретного оператора Бинера-ХопФа в топологических пространствах специального вида. - В сб. "Лщф. и интегр. уравнения и их прилоя.", Элиста, 1985,

с. 124 - 128.

15. Пасенчук А.Э. Об обратимости некоторых классов операторов тша свертки. - Докл. АН СССР, 1985, т. 220,

№ 5, с. 1066 - 1069.

16. Пасенчук А.Э. О нетероЕОСти некоторых уравнений типа свертки в счетно-гильбертовых пространствах. -Тезисы докладог I Северо-Кавказской региональной ко;.$ерэвд1ш По функ.-дифф. уравнениям и их приложениям, Махачкала, 1986, с. 162 - 163

IV. Пасенчук А.Э. О не еровости оператора линейного сопряжения на т^ре в одном счетно-гильбертовом • пространстве. - Докл. АН СССР, 19В8, т. 298, »1, с. 3? г- 40. 16. Пасенчук Л.?. Обратимость одного нового класса двумерных теплицевых операторов, в пространстве Б "Дк!£.,' кнтегр. уразнеиия и комплексный анализ", а-истг, 1988, с. 82 - 89.

19. Пасенчук А.я. О Факторизации -"^нкний в некоторых коммутативных топологических алгебрах. - Известия

БУоов, Математика, 1989, И2, с. 34 - 43. * » ■

20. Гь'Спн В.Г., Пасенчук Д.я. Дискретные с;-ертки в четверти плоскости с а^цу.ц'.руюдамися.ситаила'л!, 1., Известия СКНИ ВЕ, Ростоз-на-Дону, 197?, ЛЗ, с. .7 - 10.

21. Дыбин В.~., Г.асенчук А.Э. Дискретные свертки в четверти плоскости с ашулнрувзишея сгизоламп, 7!., . Известия СКШ ВО,. Ростов-на-Дону, 1979. е.. II - 14.

22. Беттхер А., Пасенчук А.Э. Об обратимости теплпцевнх операторов на квадранте, носители ядер котогах лежат

в полуплоскости. - В сб. и интегр. уравнения и 1

их прилокения", Элиста, 1982, с. 9 -