Мультипликаторы и наилучшие приближения по системам Виленкина тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Агафонова Нина Юрьевна

Мультипликаторы и наилучшие приближения по системам

Виленкина

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

Саратов 2011

005001736

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Волосивец Сергей Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Рубинштейн Александр Иосифович

кандидат физико-математических наук, доцент

Сахно Людмила Владимировна

Ведущая организация: Институт математики и механики Уральского отделения РАН

Защита состоится 1 декабря 2011 в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ '212.243.15 при Саратовском государственном университете им. Н. Г. Чернышевского но адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская 83, IX корн.

С диссертацией можно ознакомиться в Зоначьной научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан » октября 2011 г.

Ж

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

В. В. Корпев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена преобразованиям рядов Фурье но мультипликативным системам с диагональной матрицей, а также односторонним и двусторонним оценкам наилучших приближений по этим системам. В качестве приложения теории мультипликаторов получаются результаты о Л суммируемости рядов Фурье.

Первым примером мультипликативной системы, отличной от комплексной тригонометрической системы, является система Дж. Уолша, введенная им в 1923 году. В 1947 году Н.Я. Виленкин изучил системы характеров коммутативных компактных нульмерных групп со второй аксиомой счетности. При отображении группы на промежуток [0,1) эти системы переходят в мультипликативные системы ортонормированных функций, называемых системами Впленкина или Виленкнна-Прайса. Свойства рядов по этим системам напоминают свойства тригонометрических рядов, хотя есть и важные отличия.

Ряд вопросов теории рядов по мультипликативным системам, такие как абсолютная и равномерная сходимость, теория приближений и теоремы вложения, единственность разложений, изучены достаточно подробно. Среди авторов, внесших значительный вклад в их разработку, можно отметить C.B. Бочкарева, П. Бутцера, Д. Ватермана, Н.Я. Впленкина, Б.И. Го-лубова, A.B. Ефимова, Т. Квека, С.Ф. Лукомс.кого, К. Оневира, А.И. Рубинштейна, М.Ф. Тимана, Н. Файна, Л. Япа.

Вместе с тем отметим, что теория мультипликаторов рядов Фурье (т.е. преобразований из одного пространства в другое, имеющих диагональный вид в пространстве коэффициентов Фурье) и задача оценки сверху пли снизу наилучших приближений и модулей непрерывности в терминах коэффициентов Фурье для мультипликативных систем были изучены в малой степени. Для мультипликаторов можно отметить работу Дж. Моргентале-ра 1, в которой ряд классических результатов из монографин А. Зигмунда2 перенесен на случай рядов Фурье Уолша, и цикл работ Т. Квека и Л. Япа, связанных с мультипликаторами обощенных классов Липшица.

Теория мультипликаторов тригонометрических рядов Фурье началась с работы М. Фекете3. Ряд фундаментальных результатов получен С. Верблюнским, Г. Гезом, А. Зигмундом, С. Качмажем, Ю. Марцпнке-

ЧТи'. МшуЫШсг Ou Walsh Fourier scries // Trims. Amer. Math. Soi-, 1957. •• Vol.87. №2. Pp.452 507.

M. Зммуш) Тригонометрические ряды // Мир. 1005. Т.1.

:,М. Fckt.lr. Übel' die Faklorfolscu wklio (Ив "kUissc" einer Fouricrsclicii Reihen unverändert lassen,/,-

Ac la Sei. Mnlh. 1923. Vo1.1, №1. Pp. 148 160.

вичем, И. Стейном. Задача о мультипликаторах, переводящих ряд Фурье функции из пространства X в равномерно сходящийся ряд Фурье, изучалась для разных видов пространств X Р. Бояничем, Г. Гёзом, Р. ДеВором, Й. Караматоп, С.А. Теляковским, М. Томичем, Ф. Харшиладзе.

Оценки наилучших приближений и модулей непрерывности 27г-периодическнх функций в терминах коэффициентов Фурье получали С. Алянчич, Н.К. Бари, В.М. Кокилашвили, A.A. Кошошков, Л. Лейндлер, Г. Лоренц, М. Томич.

Очень важной оказалась идея Р. ДеВора С.А. Теляковского о сужении класса последовательностей, определяющих мультипликатор до более удобного множества, например, класса коэффициентов Фурье Стилтьеса.

Результаты; полученные для мультипликаторов, можно применять к проблеме А-суммируемости рядов Фурье с помощью прямоугольной матрицы общего вида. Здесь можно отметить работы И. Караматы, М. Ката-ямы, М. Томича.

Предметом исследования являются мультипликаторы рядов Фурье по системам Виленкина и их наилучшие приближения.

Цель работы построить критерии {А}*=() € (А', У) для некоторых функциональных пространств X и У, а также односторонние и двусторонние оценки наилучших приближений по системам Виленкина, а именно:

• Описать подпространства, в которых ряд Фурье по мультипликативной системе сходится но норме большего пространства и дать приложения общей теории к конкретным пространствам мультппликато-ров;

• Охарактеризовать поведение рядов Фурье Виленкина борелевских мер и получить аналоги результатов С.А. Теляковского и В.Р. Почу-ева для мультипликативных систем;

• Получить описание классов мультипликаторов из пространств Ор-лича и Лоренца в пространства обобщенно непрерывных функций и функций ограниченной вариации;

• Найти условия равномерной сходимости средних рядов Фурье Виленкина, полученных с помощью общих матричных преобразований;

• Найти условия принадлежности классам с заданной последовательностью наилучших приближений по системам Виленкина в терминах коэффициентов Фурье по этим системам. Получить аналоги теорем A.A. Кошошкова и Л. Лейндлера об эквивалентности О и >< соотношений.

Методы исследования. При решении поставленных задач применяются общие методы функционального и действительного анализа, теории приближений и методы теории ортогональных рядов.

Научная новизна результатов. В работе доказаны критерии для мультипликаторов равномерной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам для некоторых пространств. Получены необходимые и достаточные условия принадлежности последовательностей {А,,}^, классу (X, У), где в качестве X берутся пространства Ьф, Ьт, В, Ь1, а в качестве У пространства #£, В, МС, а также пространства V и АС функций ограниченной вариации и абсолютно непрерывных функций на [0,1); получены необходимые и достаточные условия равномерной Л суммируемости рядов Фурье функций из пространств Орлпча и Ь1, а также критерии равномерной Л суммируемости и Л суммируемости на группе С. Получены также некоторые следствия для матриц с обобщенно-монотонными коэффициентами. Доказаны аналоги критериев Теляковского и Почуева о мультипликаторах равномерной сходимости и сходимости в интегральной метрике для мультипликативных систем с ограниченной образующей последовательностью.

Все результаты, полученные соискателем и вошедшие в диссертационную работу, являются новыми и строго доказанными.

Практическая значимость полученных результатов. Основные результаты работы носят теоретический характер и могут найти применения в теории ортогональных рядов, теории приближений, гармоническом анализе. Они могут быть также использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистрантов и аспирантов.

Личный вклад. Все научные результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены ее автором лично и самостоятельно. В совместных публикациях [8] научному руководителю принадлежит постановка задачи, в работе [1] руководителю принадлежит постановка задачи и теоремы 3 и 4, не вошедшие в диссертацию.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на:

• научных семинарах кафедры теории функций и приближений;

• научно-практических конференциях сотрудников Саратовского государственного университета "Актуальные проблемы математики, механики и их приложения "(Саратов, 2006-2011);

• 13-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"(Саратов, 2006);

G

• 15-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций н, их приложения посвященной 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ (Саратов, 2010).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах, из которых четыре [1 4) в научных изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных научных результатов диссертации на соискание учёной степени кандидата наук. 1 Результаты, выносимые аа защиту.

• критерий мультипликаторов равномерной сходимости функции из равномерного пространства Гёльдера н интегрального пространства Гёльдера;

• критерий мультипликаторов из пространств Орличаи Лореш(а в равномерное пространство Гёльдера;

• оценки сверху наилучших приближений и модулей пеирервности через коэффициенты Фурье но мультипликативным системам;

• эквивалентность О их соотношении для рядов по мультипликативным системам с обобщенно-монотонными коэффициентами;

• критерии равномерной Л—суммируемости интегрируемых, непрерывных функций из пространств Орлича.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав и библиографии, включающей 67 наименовании. Каждая глава разбита на разделы, всего в диссертации 10 разделов. Общий объем работы 115 страниц.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определена ее цель, описана структура диссертации, при этом введены основные определения.

Пусть задана последовательность натуральных чисел Р =■- {р» },*=]) такая что 2 ^ рп < Я, при всех п £ N. С помощью этой последовательности построим новую последовательность {т„}^=0, определяя ее элементы следующим образом: гщ = 1 ,тп = р\...р.п при п € N. Тогда каждое х £ [0,1) может быть представлено.в виде

: • 11=1

Рассмотрим группу G(P), состоящую из элементов х — {xi,xo,-..), где х, G Z(pi) = {0,1,2,... ,р/ - 1}, i <5 N, и снабженную операцией хфу-

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ОС

г, где г (zi,z2,...) € G(P) и z-, = ж,- + ш (mod pi), i G N. Операция x Qy вводится аналогично. Для х 6 G(P) и к £ Ъ+, записанного в виде

ос

к = kjinj-i, определим

Функции \к{х),к G Z+, составляют систему характеров группы G(Р), т.е. являются непрерывными в топологии группы G(P) и обладают свойствами

для всех х, у е [0,1) И п G Z+. Для k,l E.Z+ можно определить

ос

к® I : = г = 1,

/=1

где ?■; = Л,- -I- /,: (шос! А.'/ € Z(p,-). Аналогично определяется fc©i. Для системы {xi(i)}^=() справедливы равенства

= Xti /(?), XkfflXlffl = Ь

где £ Z+, I £ С(Р)- Другими словами, система {£*(£) }*=•() является мультипликативной, т.е. произведение двух функций системы снова принадлежит системе.

С помощью отображения группы G(P) на полуинтервал [0,1) 4 свойства системы {5a(S)}ito переносятся на систему {хк(х)}^а, которую и называют системой Вилеикина-Прайса.

Пространство M(G) есть пространство борелевскпх мер на G, пространство C(G) непрерывных функций на G н пространство B(G) ограниченных измеримых функций на G с нормой \\f\\oc = sup |/(х)|, а также

7с ее

пространства D'{G) интегрируемых вр й степени на G функций с нормой ||/|1р=(/ \f(x)\pdx)1/P, 1^р<оо.

G

Для / е Ll(G) или /t е M(G) можно определить коэффициенты Фурье формулами

/(») = J ffflxMd*-' Д(") = J xMdn{x), n G Z+.

G О

1Б. II. Голубон. А. В. Ефимаa, D. А. Скаорцоа Ряды и преобрачошшия Ушит: Теория it применения М. Пауки. 1987.

Введем в рассмотрение

Vn = {/ е ^[0,1) : }{к) = 0, к > п}, п е N, Е„(Лр = infill/ -tnWp-.tn^-P,,}, nGN,

"«(/)„ = sup ||/(:r © h) - f{x)¡1,,, n e Z+.

()</Kl/m„

При p = oo рассматриваем / б МС(0,1)). Пространства Гёльдера определяются следующим образом

1) = {/ € Ь!'[0,1) : wfc(/)„ < Сад fc € Z+},

Щ,[0,1) - {/ 6 и>[0,1) : Wfc(/)j, — fc 6 Z+},

где последовательность w = {wfc}jtL(i положительна и убывает к нулю, а С зависит от /, но не от к.

Для функции /, определенных на группе С, указанные определения аналогичны.

Пространство В[0,1) с нормой \\f\\x = sup \f{x)\ есть множество

.'■£[0.1)

измеримых и ограниченных на [0,1) функций. Его подпространством с той же нормой является множество МС[0,1) Р непрерывных функций /, удовлетворяющих соотношению lim \\f{x(Bh) - f{z)\\-x = 0. Будем рассматри-

Л.-+0

вать также пространство UC\0,1) пространство функций, ряды Фурье которых по системе (х»^)}^) сходятся равномерно. Класс борелевскнх мер на [0,1) обозначим М[0,1)

Определим пространства Орлича и Лоренца.

Определение 1. JV-функцией называется возрастающая, непрерывная на [О, оо):выпуклая функция Ф(и), такая что

ф(о) = о, нт*м = +00 и итад = 0.

«->зс U "-»1> и

а

Функция Ф(м) может быть представлена в виде Ф(и) --- f p(t)dt,

о

где p(t) правосторонняя производная Ф(и), неубывающая и непрерывная справа на [0, оо).

Рассмотрим обобщенную обратную к неубывающей функции p(t) функцию q(s) = sup{i : p(t) < ,s}, s £ K+.

Определение 2. Функцией, сопряженной по Юнгу к Ф(и), называется функ-

(I ■ < .

ция Ф(г>) = fq(s)ds, V € R+. о

1

: I МШ.)

dx) < 1

При этом Ф выпукла и обладает темп же свойствами, что н Ф. Определение 3. Пусть Ф(х) N функция. Тогда пространство Орлпча /"/ф(0,1) состоит из измеримых на [0,1) функций /, для которых конечна норма

«чр J f{x)g(x)dx

о

где Ф(х') сопряженная но Юнгу функция к Ф(.г). Относительно этой нормы L.[j[0, 1) является банаховым пространством.

Говорят, что Ф удовлетворяет Дг-условию, если Ф(2и) < СФ(и). а £ ¡0, со).

Определение 4. Пусть 1 ^ p,q ^ оо. Пространство Лоренца IJ"'[0,1) состоит из измеримых функции / на [0, 1), для которых ||/||(ч < оо, где

1 \ J/^'/WT , l<p<oo, 1 < g < ос;

,1« =: S V /

Slip t.Vl'f'(t), 1 < P < ОО, Q = OC.

f>()

Здесь Af(y) = |{x G [0,1) : |/(.т)| > y}|, a f (t) = inf{y > 0 : \}(y) < /■}, t > 0, j Z?! обозначает меру множества E.

Пусть Л' и У некоторые функциональные пространства на [0,1) (группе G), непрерывно вложенные в L'[0,1) (Ll(G)). Определение 5. Последовательность {Л„}*0 такая, что для любой функции или меры из X ряд

X / X \

Х> ,,f(n)Xu(x) (^A„/(7i)xv,Cx) .

является рядом Фурье (по системе {x».}if=o ({хЛи^и)) функции;нли меры пз Y, называется мультипликатором класса (X, Y), {A/JjJLo £ (A', Y).

Первая глава содержит результаты относительно мультипликаторов, связанных с пространствами Ер для Е = L1 [0,1) и Е — МС[0,1) (в последнем случае Ер = UC[0,1)), где Е банахово пространство функций па [0,1), Е С Ü[0,1), а ЕР = {/ 6 Е : lim ||/ - 5„(/)||е = 0}.

H-+DC-

ЭС

Здесь дается критерий принадлежности ряда' J2 акХк множеству ря-

к~{)

дои Фурье борелевских мер на G в терминах Б1П , ■ —. akXk 11 аиалогич-

к=0

ныП результат для пространства М(0,1) борелевских мер на [0,1). изучаются мультипликаторы классов (Ь$,Е) и (LP^^E), где пространство Орлпча, IJ1''1 пространство Лоренца, а в роли Е выступают пространства обобщенно-непрерывных, ограниченных функций, функций ограниченной вариации, абсолютно-непрерывных функций и пространства Гёльдера для равномерной метрики. Важным средством для описания таких классов яв-

■х

ляются критерии принадлежности ряда Y1 акХк классу рядов Фурье функ-

цнй из Ьф, IJ'4, Н% или Нщ. Основными результатами раздела 1.2 являются

"-i

Теорема 1.2.1. Пусть l„{f) — ^¡>Ни) (^ля / е !)• Для того,

и=0

чтобы последовательность {А„}*=0 принадлежала (Ef,UC), необходимо

и достаточно, чтобы нормы функционалов ln(f ) в Ер были ограничены.

Теорема 1.2.4. Пусть Е = L,j,[0,1), где Ф удовлетворяет А2

условию. Е = Ll[0,1) или Е = МС[0,1). Тогда {Aí:}£(1 6 (L, Ер), в том

»-i

и только в том случае, когда нормы ||Л7,||/г := £ Аа-хДж) ограничены.

А:=0

Теорема 1.2.5. Пусть пространства Е те же, что в теореме 1.2.4- Включение {Afc}¡¡!L0 € (E,UC) справедливо тогда и только тогда, когда нормы ЦАнЦг* ограничены.

Здесь Е* сопряженное к Е пространство при Е ф МС[0.1) и Е* — L[0.1) при Е = МС[0,1).

Результаты данного параграфа опубликованы в [8].

-х

В разделе 1.3 дается критерий принадлежности ряда £ (ц-Xk ыно-жеству рядов Фурье борелевских мер на G в терминах S,„fi — 11

к-О

ана.'югичный результат для пространства M[0,1) борелевских мер на [0,1). Основным результатом является

Теорема 1.3.2. Пусть 1 < р < оо, последовательность убывает к нулю. Для того, чтобы последовательность {А^} £ (А/, Щ) необходимо и достаточно, чтобы ряд

ее

1>Ы*>

к=1

был рядом Фурье функции д(х) 6 Щ.

Аналогичное утверждение верно для (M(G), H^(G)). Результаты данного параграфа опубликованы в [7].

В разделе 1.4 изучаются мультипликаторы классов Е) и (LM. Е). где ¿ф иространегво Орлича, Lpq пространство Лоренца, а в роли Е выступают пространства обобщенно-непрерывных, ограниченных функции, функции ограниченной вариации, абсолютно-непрерывных функций и пространства Гёльдера для равномерной метрики. Важным средством для

X

описания таких классов являются критерии принадлежности ряда £ ПкХк

А--=11

классу рядов Фурье функций из Ьф, L1"', Щ или Я£(/. Типичным результатом данного раздела является Теорема 1.4.4. Пусть {w„}*=„ убывающая к нулю последовательность.

Последовательность принадлелсит классу (Е.Нтогда и

только тогда, когда

1)'при Е — ¿(0,1) существует g(f) С Я£, такая- что Ö(k) ~ Аь k е ZH;

2) при Е -- В[0,1) существует g £ Щ, такая, что у(k) ; А».. к G.Z+;

3) при Е = /уф[0,1), гс?еФ jV функция, существует g £ Я$. такая, что g(к) Аа:, /с £ Z|.;

при £ - £,м[0,1), 1 < р < оо, 1 < q < оо, существует g £ Нрч>. такая, что g(k) ~ А*, А: £ Z+. .:.•;

Результаты раздела 1.4 опубликованы в [6).

В разделе 1.5 содержатся основные результаты главы, относящиеся к мультипликаторам классов Гёльдера.

Теорема 1.5.1. Пусть {А„},^п последовательность коэффициентов Фурье-С'тилтьес.а борелевской меры р по системе Тогда {А„}*=„ € (Я", UС) в том и только в том случае, когда lim ^.ЦЛд-Щ 0. Здесь tpk = wi,- при т„ < к < m„+i. Теорема 1.5.3. Пу

сть {А„}*=(1 последовательность коэффициентов Фурье функции Л(f) £ Я[0,1). Тогда {А,,}^(| £ (ЩМС) тогда и толг>ко тогда, когда lim Аа:||х О-

fc-> эс

Теорема 1.5.5. Пусть "1 р < оо, 1 /р + 1 fq 1. и и 6

иололсительные, убывающие к нулю последовательности, такие что ~ тоже убывает к пулю и удовлетворяет условию

лъ = 0{ъ).

Тогда последовательность {Ад:}£(1 принадлежит классу (Н*. Я£)

ас ■■.

тогда и только тогда, когда ряд А¿Хк является рядом Фурье функции

¿Ы)

/ е Щ(С).

Теоремы 1.5.1 1.5.4 опубликованы в [1], а теоремы 1.5.5 и 1.5.6 в ¡4]. Вторая глава диссертации содержит оценки наилучших приближении функции из ¿,,[0,1) в терминах коэффициентов Фурье этих функции, а также описание классов функций, наилучшие приближения которых удовлетворяют одностороннему или двустороннему неравенству.

ос

Рассматриваются ряды йцХп(х)> коэффициенты которых удовлетворяют некоторым специальным условиям.

Будем писать G Ат,т > 0, если {ai.fc~T}g=1 убывает, и

lim я* = 0, соответственно, {an-}j*L0 € Ат,т < 0, если возраста-

fr-» х

ет и lim a д. = 0.

fr-> x

Будем говорить, что последовательность {«&}£,„ € RBVS если 1)

х

ад- >0, к G N; 2) lim «fr = 0; 3) Yh laK- ~ afr+i| Ca,„, для любого

fr->oc к=ш

m G N.

Будем говорить, что убывающая к нулю последовательность {у?,,}*^ удовлетворяет условию (В), если выполняется — 0(<р„).

Последовательность {Vijjf^i удовлетворяет Дг—условию, если ¡ри < Cç2,„ п € N.

Основными результатами являются следующие теоремы. Теорема 2.2.2. Пусть {a,,} G АТ,т G К, или {a,,} G RBVS, 1 < р <

ос . и

]Га;;п"-2 < оо.

Тогда сумма ряда J2 аиХп{х) принадлежит L''[0,1) и 1

E„(f)P < Cft-^'a,, + (jt <кР"2)1") ' " е

к=п

Теорема 2.2.3. Пусть а„ G АТ,т G R, или а„ G RBVS, 1 < р < оо

и

X

^< 00. И = 1

ос

Тогда сумма, ряда £ о»Х«(ж) прииадлео/сит ¿''[0,1 ) и

тс

E„(f)P<c(Kni~1/"a„-\

Теорема 2.3.1. Пусть удовлетворяет условиям (Д.») и (В). 1 <

q < р < оо, а„ 6 Лг, г £ й, или а„ € НВУБ. Пусть существует / € //[0,1) . такая что /(п) = ап, п 6 N. Тогда следующие 6 условий попарно жвгшалситиы

ЕЛПР=оы,

к=п

= 1/р + 1/р'=1,

х

к=п

В теореме '2.Л.'2 аналогичные утверждения устанавливаются для ж соотношений.

Результаты этой главы опубликованы в [2].

Третья глава диссертации посвящена изучению проблемы Л суммируемости рядов Фурье функций из некоторых пространств.

Пусть '{Аь}*„=0 бесконечная матрица. Определение 6. Если для каждого п 6 2+ ряд

X

А ьМЫх)

к=о

сходится равномерно к функции ди(/)(х), я {<7»(/)(£)},м)> в свою °'1РР('.;'Ь-сходится равномерно к функции д(/)(х), то будем говорить; что ряд Фурье функции /(.?) равномерно Л суммируем к д(/)(х) (аналогично на [0,1)). Если же для каждого п 6 ряд; .

X

$> к1(к)Ых)

кЫ) •

сходится равномерно к функции дп

(/•)(х), а последовательность {.'/»(/)сходится в Ь\С) к функции (/(/)(.т), то: ряд Фурье функции f(x) Л суммируем в Ь1{С) к функции д(/)(х) (аналогично на

|П,1)).

В разделе 3.1 даются условия равномерной Л суммируемости функций из пространств L<i>[0,1), L][ 0,1). Основными результатами данного раздела являются критерии равномерной Л суммируемости для таких пространств.

Теорема 3.1.1. Пусть Ф(х) N функция, удовлетворяющая Д; условию вместе с дополнительной по Юнгу функцией Я'(х). Для тою чтобы ряды Фурье всех функций / G L$[0,1) были равномерно Л суммируемы, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) lim At-,, существует для всех k G Z+;

2) для всех п € Z+ существует Kn{t) £ L$[0,1), такое что K„(i) ~ Л,„. г е Z+, и ||Л'„||ф = 0(1).

Теорема 3.1.2. Для того чтобы ряды Фурье всех функций / £ Z.1[0,1) были равномерно К—суммируемы, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) Предел lim Ад„ существует для всех k G N;

2) |А',„(*)| := < М„ для всех t £ [0,1) и г £ П;

3) Существуют ограниченные функции K„{t),n £ ЪЛ, такие что Л'„(/) = Л,„. / eZ+, и ||А„||х = 0(1).

В разделе 3.2 доказан аналог теорем 3.1.1 и 3.1/2 для пространства C(G) п приведен критерий Л суммируемости в Ll(G).

Теорема 3.3.2. Для того, чтобы ряды Фурье всех функций / € L^G) были А суммируемы в Ll{G) к /, необходимо и достаточно выполнение условий:

1) для всех k £ Z+ верно lim А/,„ = 1;

П—>Эс

/-1

2) при каждом п € Z+ нормы ЦЛ/пЦ* :=

о

М„ не -зависит от г;

3) существуют К„ £ В(С), п £ такие что К„(г) - Л,„ для всех I 6 Ъл. и нормы ||Л',|||1 ограничены.

Результаты главы опубликованы в [4|.

В заключение автор выражает глубокую благодарность кандидату физико-математических наук Волосивцу Сергею Сергеевичу за научное руководство, постановку задачи и постоянную помощь и поддержку при выполнении данной работы.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Агафонова, Н. Ю. Мультипликаторы сходимости но норме рядов по мультипликативным системам / Н. Ю. Агафонова, С. С. Волосивец / Матш. заметки. 2007. Т. 82, № 4. С. 483 494.

[2] Агафонова, II. Ю. О наилучших приближениях функции по мультипликативным системам и свойствах их коэффициентов Фурье Н. 10. Агафонова /7 Analysts Math. 2007. Т. 33, № 4. С. 247- 262.

[3] Агафонова, II. Ю. О равномерной сходимости преобразованных рядов Фурье по мультипликативным системам / Н. Ю. Агафонова / / Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Выи. 9, № 1. С. 3 8.

[4] Агафонова, Н. К). О равномерной сходимости преобразованных рядов Фурье но мультипликативным системам / П. Ю. Агафонова / Известия. Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 11, № 2. С. 3 8.

[5] Агафонова, II. 10. А -суммируемость рядов Фурье но системам характеров / П. Ю. Агафонова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 15-ой Сарат. зимней школы, иосвящ. 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летшо СГУ. Саратов: Из/1,-во Сарат. ун-та, 2010. С. 4 5.

|6] Агафонова, II. Ю. Мультипликаторы рядов Фурье из пространств Ор-лпча п Лоренца но мультипликативным системам / Н. Ю. Агафонова // Исследования но алгебре, теории чисел, функциональному анализу а смежным вопросам: Меж вуз. Сб. иаучн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 6. С. 3 24.

(7] Агафонова, Н. 10. О мультипликаторах рядов борелевскпх .мер . Н. Ю. Агафонова // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 4. С. 3 10.

|8] Волосивец, С. С. О мультипликаторах равномерной сходимости рядов по мультипликативным системам / С. С. Волосивец, Н. Ю. Агафонова /У Исследования но алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3. С. 3 23.

Работы [1 4] опубликованы в журналах, включённых в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Подписано в печать '20.10.11. Формат 60х 84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Компьютер Модерн. Усл. неч. л. 1,0. Тираж 100. Заказ № 221-Т

Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.

Введение

Глава 1. Мультипликаторы пространств сходимости по норме и других классов рядов по мультипликативным системам

1.1. Вспомогательные утверждения и теоремы

1.2. Мультипликаторы, связанные с пространствами сходимости по норме

1.3. Ряды Фурье ограниченных функций и борелевских мер и их приложения к теории мультипликаторов

1.4. Мультипликаторы рядов Фурье функций из пространств Ор-лича и Лоренца по мультипликативным системам.

1.5. Мультипликаторы классов Гёльдера

Глава 2. Наилучшие приближения функций по мультипликативным системам и свойства их коэффициентов Фурье

2.1. Вспомогательные утверждения

2.2. Оценки наилучших приближений через коэффициенты Фурье

2.3. Описание классов, задаваемых наилучшими приближениями, через коэффициенты Фурье

Актуальность темы.

Данная работа посвящена преобразованиям рядов по мультипликативным системам с диагональной матрицей (такие преобразования называют мультипликаторами), а также односторонним и двусторонним оценкам наилучших приближений по этим системам. В качестве приложения теории мультипликаторов получаются результаты о Л —суммируемости рядов Фурье.

Первым примером мультипликативных ортонормированных систем явилась система Уолша, введенная американским математиком Дж. Уолшем [63] в 1923 году. В 1947 году Н.Я. Виленкин [11] изучил системы характеров коммутативных компактных нульмерных групп со второй аксиомой счетности. При отображении на отрезок эти системы характеров переходят в мультипликативные системы ортонормированных функций, которые часто называют по имени Н.Я. Виленкина. Иногда их называют системами Дж. Прайса, который в работе [54] определил их в более общей ситуации. Теория рядов по системе Уолша и по мультипликативным системам активно развивалась в СССР, Венгрии, США, Японии, КНР и в других странах. Помимо того, что эти системы представляют большой теоретический интерес, с конца 60-х годов они активно используются в сжатии информации. В СССР такие разработки велись школой A.B. Ефимова в Зеленограде. Вклад советских математиков в данную теорию достаточно полно отображен в монографии Б.И. Голубова, A.B. Ефимова и В.А. Скворцова [14], в то время как многие работы венгерских и американских математиков изложены в монографии Ф. Шиппа, У. Уэйда и П. Шимона [59].

Ряд вопросов теории рядов по мультипликативным системам разработан достаточно подробно. К ним относятся равномерная сходимость (К. Оневир, Д. Ватерман), абсолютная сходимость (К. Оневир, Н.Я. Виленкин и А.И. Рубинштейн, C.B. Бочкарев, Т. Квек и J1. Яп, С.С. Волосивец), теоремы единственности и близкие вопросы (В.А. Скворцов, У. Уэйд, H.H. Холщевникова, С.Ф. Лукомский), теоремы вложения (Б.И. Голубов, М.Ф. Тиман, А.И. Рубинштейн, Е.С. Смаилов). В теории приближения полиномами по мультипликативным системам имеется ряд результатов, связывающих наилучшее приближение с модулем непрерывности (в том числе обобщенной производной) (A.B. Ефимов, П.Л. Бутцер и X. Вагнер, Хе Зелин). Большое количество работ имеется по вопросу оценки приближений различными средними. Однако практически нет работ, посвященных оценкам наилучших приближений или модулей непрерывности в терминах коэффициентов Фурье (по той же системе, по которой рассматриваются наилучшие приближения). Глава 2 данной работы в определенной степени восполняет этот пробел.

Что касается теории мультипликаторов, т.е. преобразований одного пространства в другое, которые сводятся к диагональному оператору в пространстве коэффициентов Фурье, то здесь можно отметить работу Дж. Моргента-лера [53], в которой перенесен ряд классических утверждений о мультипликаторах рядов Фурье из ([16], глава 4, §11) на случай рядов Фурье-Уолша, и ряд работ Т. Квека и Л. Япа [55],[56],[57], в основном связанных с мультипликаторами обобщенных классов Липшица. В нашей работе рассматривается ряд других постановок задач о мультипликаторах, например, задачи о мультипликаторах равномерной сходимости.

Приведем краткий обзор предшествующих результатов, в основном относящихся к тригонометрическим рядам Фурье.

Теория мультипликаторов рядов Фурье берет начало с работы М. Фе-кете [42], хотя исторически первой работой в этом направлении была работа У. Юнга [65], в которой обсуждались множители коэффициентов Фурье, преобразующие ряд Фурье функции ограниченной вариации в ряд Фурье неопределенного интеграла Лебега.

Будем говорить, что последовательность {А^^д является мультипликатором класса (Х2?г, У2-к), где Х2п, У2к— некоторые классы 27Г—периодических измеримых функций, если для любой / Е Х2ж с рядом Фурье

00 + ^^ (а„ cos пх + Ьп sin пх)

2 71=1 ряд

Л Й 00 h ^ Лп (ап cos пх + Ьп sin пх) л п=\ является рядом Фурье некоторой функции д Е У2-к

М. Фекете [42] установил критерии принадлежности {Ап}^0 классам (¿27Г,^2тг), (-В27г, В27г), (C2lT, C2it), (V^.Vfcr) и (^С2тг, гД6 v^td-a^tt есть пространства 27г—периодических функций, интегрируемых по Лебегу, ограниченных, непрерывных, ограниченной вариации и абсолютно непрерывных соответственно.

А. Зигмунд [67] рассматривал класс {В^^С^) и ряд подобных задач.

С. Верблюнский [62] установил критерии {А™}^^ Е (Х2ж,У2п) для всех пар (Х2п,У2п), где Хгтг^тг- одно из пяти перечисленных выше пространств или класс функций, интегрируемых по Риману. При этом в [62] были введены важные классы функций ограниченной вариации в среднем и функций, абсолютно непрерывных в среднем, аналоги которых используются и в данной работе.

С. Качмаж [47] обобщил ряд результатов С. Верблюнского на случай 1/2тг> V > 1) вместо ¿4, изучавшегося в [62]. Следует отметить, что С. Верблюнский вместо использования понятия меры или ряда Фурье-Стилтьеса предпочитал записывать свои результаты в терминах проинтегрированных рядов оо ,

ЕЛп ■ sm пх. п

М.Г. Скворцова [28] изучала мультипликаторы вида (5, У^тг) > где S— класс рядов Фурье-Стилтьеса, а Угтг- либо одно из указанных выше пространств, либо некоторый класс Липшица. Позже она в [30] перенесла ряд результатов С. Качмажа [47] на случай пространств Орлича Lf^. Кроме того, был получен ряд обобщений, связанных с изучением вариации второго порядка и классов Липшица-Зигмунда 2-го порядка, а также с результатами из [28]. Эта тематика была развита М.Г. Скворцовой также в [29]. Важную роль в её исследованиях играют критерии принадлежности функции определенному классу через средние Фейера её ряда Фурье.

В качестве пространства Y2п можно рассматривать пространство UC2n непрерывных функций с равномерно сходящимися рядами Фурье. Первая работа такого рода принадлежит М. Томичу [60], который доказал, что для квазивыпуклой последовательности {Ап}^0 условие {An}^L0 Е [C2-K)UC2тг) равносильно соотношению lim \п In п = 0. п—»00

Й. Карамата [48] дал критерий {An}n=0 Е (С27Т, UC2-n) через ограниченность

2тг

А0 ^^ Afc cos kt к=1 dt.

Его результат был обобщен Гёзом [45] в различных направлениях. Во-первых, были установлены критерии {Ап}^=0 е {Ь27Г,иС27Г) при 1 ^ р < оо п=о и {Ап}^°=0 Е (Lt,UC27r) при выполнении А2—условия на функцию Ф. Вовторых, для Х2п = ¿2тг> 1 ^ V < 00 > ^2тг = с2тг или Х2ж = Ь27П где Ф удовлетворяет А2—условию, было получено равенство (Х27Т,иС27Т) = (Ь1, (Х|7Г)П) где (Х2п^)п—подпространство сопряженного пространствах^, для элементов которого ряды Фурье сходятся по норме Х2ж. Наконец, при 1 < р < оо, Г. Гёз получил равенство (ЬР27Т,1/С27Т) = (Ьр2п,Ь

Р. Воянич [40] дал достаточное условие для {Ап}^=0 е (Н2ж,11С2тг), где Н& = {/ е С21Х : и>(/, 5) ^ Си(д), 6 е [0, 2тг]}.

Ф. Харшиладзе [34] перенес теорему Р. Боянича на случай класса непрерывных функций, таких, что En(f)оо = О (uj где

En(f)оо = inf{||/ - tn\\C[0,2K} ■ tn Е Тп}, а Тп — пространство тригонометрических полиномов порядка не выше п.

В работе [35] он же изучил общие свойства пространств (Х^.)п (полнота, равномерная непрерывность нормы) и получил критерий для {А^}^ Е (№*)»> UCto) = ({Х2п)п, {С2п)п)) • В частности, был найден критерий для {An}^L0 Е (UC2тг, ис2тг)) и доказано, что S С (UC2lT, UCW)). Наконец, в [36] им были установлены критерии для {An}^0 Е (Lip(l), UC27V)) и {An}^0 Е (V, C/CW))

В работе [60] М. Томич дал достаточное условие для принадлежности квазивыпуклой последовательности {Ап}^ пространству (Н^МС^)). Р. Де-вор [41] также для квазивыпуклой последовательности {Ап}^10 установил критерий {Ап}^°=0 Е (h27r, иС2ж)), где = {/ Е С2ж : u(f,ö) = о(а;(<5))}.

С.А. Теляковскому [32] удалось распространить этот результат на пространство (H^,UC2n)) : квазивыпуклая последовательность {Ап}^10 принадлежит (#27,., UC2л-)) тогда и только тогда, когда lim Anu;(l/n) Inn = 0. п—>оо

Идея использования {Ап}^ из достаточно широкого класса оказалась весьма плодотворной. Так, С.А. Теляковский [33] доказал:

Пусть является последовательностью косинус—коэффициентов

Фурье—Стилтьеса, т.е. справедлива оценка

2?Г 4 (А к У

Y^ ( у + ^2\iCosit ] dt — 0(п). fc=1 \ г=1 J

Тогда для {An}n=0 G (Щ^, UC2л-)) необходимо и достаточно, чтобы

2тг

Игл íü(l/п) п—>00

Лг ^ Аг eos it г=1 dt = 0.

Далее эта идея развивалась учеником С.А. Теляковского В.Р. Почуевым [27]. Для изучения мультипликаторов класса [Щ ,иС2тт)), где Щ = {/ Е 2>2тг : ^ С^!^))}) он рассматривал {Ап}^, являющиеся коэффициентами Фурье функций из В^п. Помимо иСч-п в [27] рассматривалось пространство рядов Фурье с равномерно ограниченными частными суммами.

Близкой к проблеме мультипликаторов типа (Х2П, (Угтг)«) является проблема определения классов матриц {Апг}^°г=0 (чаще всего треугольных), таких, что соответствующие средние

•\гОаО оо ^ Ато (аг eos гх + Ьг sin гх)

0.1) г=\ сходятся по норме У^, если ряд оо а0 {аг cos ix + Ьг sin гх) г=1 является рядом Фурье функции /(х) Е Х2-п

Общий критерий равномерной сходимости нижнетреугольных сумм к непрерывной функции был доказан С.М. Никольским [26] и состоял из двух условий:

2тг lim Хкп = 1 и п

- + Afcn cos kt к=i dt С М,

0.2) где (Ano = 1). Если первое из этих условий легко проверяемо, то про второе этого сказать нельзя. Поэтому некоторое количество работ было посвящено уточнениям и обобщениям данного результата. Так, сам С.М. Никольский [26] упростил условие (0.2) для случая выпуклости конечной последовательности п0> • • • ? ^пп •

В работе [49] Й. Карамата и М. Томич для так называемого перманентного прямоугольного метода, суммирующего ряд Фурье непрерывной функции в каждой точке, дали критерий равномерной сходимости сумм (0.1) к соответствующей функции /. М. Томич [61] установил ряд достаточных условий для сходимости сумм (0.1) при условии / е

Наконец, М. Катаяма [50] обобщил результат Й. Карамата—М. Томича на случай / е Ц,п, причем случай р — 1 оказался отличным от случая р е (1,00).

Кроме классов Щ27Г вызывают интерес классы и их аналоги, задаваемые модулями непрерывности более высоких порядков. Для их связь с последовательностями наилучших приближений достаточно полно описана в статье Н.К. Бари и С.Б. Стечкина [10]. Там же были введены классы функций типа модуля непрерывности ВиВ^и даны их эквивалентные описания.

Интересным вопросом является также нахождение условий на коэффициенты Фурье, позволяющие оценить сверху или снизу модули непрерывности или наилучшие приближения в равномерной или одной из интегральных метрик. В равномерной метрике оценка сверху равномерного наилучшего приближения синус—рядов

00 ,

Е0п . БШ ПХ, п п=1 где Ьп [ 0 была получена Н.К. Бари [9]. Там же была получена оценка снизу 00 для

00 х) = ап сов пх,

71=1 где ап > 0.

A.A. Конюшков [21] получил оценку сверху наилучшего приближения в 1/2тг> 1 < р < оо, суммы косинус— или синус—ряда при условии, что их коэффициенты ап удовлетворяют свойствам апп~т т ^ 0, и lim ап = 0. Будем п—>00 писать в таком случае {^п}^ £ А-, т ^ 0. Если аппт f при некотором г > О и lim ап = 0, то будем писать {аЛ00 Е А-т. Это условие в других целях

П—>00 L J было введено Г.К. Лебедем [24]. Наконец, если lim а„ = Ои п—>оо

00 cik+i\ ^ Сап к=п для всех п Е N, то последовательность {ап}™=1 удовлетворяет условию RBVS, введенному Л. Лейндлером [51].

С. Алянчич [38] получил оценку сверху для u>(f, ö)p, 1 < р < оо, в случае убывающих косинус— или синус—коэффициентов Фурье. Большое количество оценок такого рода можно найти в работе В.М. Кокилашвили [20].

A.A. Конюшков [21] получил ряд результатов об эквивалентности О— и х— соотношений для коэффициентов Фурье, их весовых сумм и наилучших приближений в случае {ап

Ci G An т ^ 0. Л. Лейндлер [52] дополнил их и доказал для случая {ап}^11 € RBVS. Цель работы.

Целью данной диссертационной работы является решение следующих за= дач:

1. Описать подпространства, в которых ряд Фурье по мультипликативной системе сходится по норме большего пространства и дать приложения общей теории к конкретным пространствам мультипликаторов;

2. Охарактеризовать поведение поведение рядов Фурье—Виленкина бо-релевских мер и получить аналоги результатов С.А. Теляковского и В.Р. Почуева для мультипликативных систем;

3. Получить описание классов мультипликаторов из пространств Орлича и Лоренца в пространства обобщенно непрерывных функций и функций ограниченной вариации;

4. Найти условия принадлежности классам с заданной последовательностью наилучших приближений по системам Виленкина в терминах коэффициентов Фурье по этим системам. Получить аналоги теорем A.A. Ко-нюшкова и JI. Лейндлера об эквивалентности О— и х—соотношений;

5. Найти условия равномерной сходимости средних рядов Фурье—Виленкина, полученных с помощью общих матричных преобразований;

6. Найти условия равномерной А— суммируемости рядов Фурье функций некоторых классов и условия А— суммируемости в L1 для функций класса L1.

Методы исследования.

При решении поставленных задач применяются общие методы функционального и действительного анализа, теории приближений и методы теории ортогональных рядов.

Научная новизна.

Все основные результаты являются новыми. В работе доказаны критерии для мультипликаторов равномерной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам для некоторых пространств. Получены необходимые и достаточные условия принадлежности последовательностей {Ап}^0 классу (X, У), где в качестве X берутся пространства L359, В, L1, а в качестве У— пространства НВ, MC, а также пространства V и АС функций ограниченной вариации и абсолютно непрерывных функций на [0,1); получены необходимые и достаточные условия равномерной А—суммируемости рядов

Фурье функций из пространств Орлича и Ь1, а также критерии равномерной А—суммируемости и А—суммируемости на группе С. Получены также некоторые следствия для матриц с обобщенно-монотонными коэффициентами. В работе доказаны аналоги критериев Теляковского и Почуева о мультипликаторах равномерной сходимости и сходимости в интегральной метрике для мультипликативных систем с ограниченной образующей последовательностью.

Практическая ценность.

Основные результаты работы носят теоретический характер и могут найти применения в теории ортогональных рядов, теории приближений, гармоническом анализе. Они могут быть также использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистрантов и аспирантов.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры теории функций и приближений и научно-практических конференциях сотрудников Саратовского государственного университета "Актуальные проблемы математики, механики и их приложения" (Саратов, 2007, 2009, 2010), на 13-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"(Саратов, 2006), на 15-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения посвящённой 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ (Саратов, 2010).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах [2-8, 13]. В работе [13] научному руководителю принадлежит постановка задачи, в работе [8] руководителю принадлежит постановка задачи и теоремы 3 и 4, не вошедшие в данную диссертацию.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содер

1. Агаев, Г. Н. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах / Г. Н. Агаев, Н. Я. Виленкин, Г. М. Джафарли, А. И. Рубинштейн, — Баку: Элм, 1981.

2. Агафонова, Н. Ю. О мультипликаторах рядов борелевских мер / Н. Ю. Агафонова // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. Сб. научн. тр. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 4. - С. 3-10.

3. Агафонова, Н. Ю. О наилучших приближениях функций по мультипликативным системам и свойствах их коэффициентов фурье / Н. Ю. Агафонова // Analysis Math. 2007. - Т. 33, № 4. - С. 247-262.

4. Агафонова, Н. Ю. О равномерной сходимости преобразованных рядов фурье по мультипликативным системам /Н.Ю. Агафонова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика, Механика, Информатика. — 2009. — Т. № 9. Вып. 1. — С. 3-8.

5. Агафонова, Н. Ю. Л—суммируемость и мультипликаторы классов гёльдера рядов фурье по системам характеров / Н. Ю. Агафонова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика, Механика, Информатика.— 2011. — Т. № 11. Вып. 2. — С. 3-8.

6. Агафонова, Н. Ю. Мультипликаторы сходимости по норме рядов по мультипликативным системам / Н. Ю. Агафонова, С. С. Волосивец // Математические заметки. — 2007. — Т. 82, № 4. — С. 483-494.

7. Бари, Н. К. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряженных функций / Н. К. Бари // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. - Т. 19. - С. 285-302.

8. Волосивец, С. С. О некоторых условиях в теории рядов по мультипликативным системам / С. С. Волосивец // Analysis Math. — 2007. — Т. 33, № 3. С. 227-246.

9. Голубое, Б. И. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения / Б. И. Голубов, А. В. Ефимов, В. А. Скворцов. — М.: Наука, 1987.

10. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, — М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

11. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. — М.: Мир, 1965. — Т. 1.

12. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов.— М.: Наука, 1977.

13. Качмаж, С. Теория ортогональных рядов / С. Качмаж, Г. Штейнгауз. — М.: Физматгиз, 1958.

14. Кашин, Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А.А. Саакян. — М.: Наука, 1984.

15. Кокилашвили, В. М. О приближении периодических функций / В. М. Кокилашвили // Труды Тбилисского матем. института.— 1968. — Т. 34.-С. 51-81.

16. Конюшков, А. А. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами и коэффициенты фурье / А. А. Конюшков // Мат. сборник. — 1958. Т. 44, № 1. - С. 53-84.

17. Красносельский, М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий. — М.: Физматгиз, 1958.

18. Крейн, С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов. — М.: Наука, 1974.

19. Лебедь, Г. К. О тригонометрических рядах с коэффициентами, удовлетворяющими некоторым условиям / Г. К. Лебедь // Мат. сборник. — 1967. Т. 74, № 1. - С. 100-118.

20. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. — М.: Наука, 1974.

21. Никольский, С. М. О линейных методах суммирования рядов фурье / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1948. - Т. 12, № 3. -С. 259-278.

22. Почуев, В. Р. О множителях равномерной сходимости и множителях равномерной ограниченности частных сумм рядов фурье / В. Р. Почуев // Изв. вузов. Сер. Математика. — 1977. — № 1. — С. 74-81.

23. Скворцова, М. Г. Некоторые новые теоремы о преобразованиях рядов фурье при помощи множителей / М. Г. Скворцова // Уч. записки Ленинградского педагог, института им. А.И. Герцена — 1956. — Т. 125. — С. 197-205.

24. Скворцова, М. Г. Мультипликаторы.рядов фурье / М. Г. Скворцова // Сиб. матем. журнал. 1969. - Т. 10, № 1. - С. 135-143.

25. Скворцова, М. Г. Мультипликаторы рядов фурье классов орлича / М. Г. Скворцова // Изв. вузов. Математика. — 1969. — № 1. — С. 78-88.

26. Стейн, И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространств / И. Стейн, Г. Вейс. — М.: Мир, 1974.

27. Теляковский, С. А. Квазивыпуклые множители равномерной сходимости рядов фурье с заданным модулем непрерывности / С. А. Теляковский // Матем. заметки. 1970. - Т. 8, № 5. - С. 619-623.

28. Теляковский, С. А. О множителях равномерной сходимости рядов фурье функций с заданным модулем непрерывности / С. А. Теляковский // Матем. заметки. 1971. - Т. 10, № 1. - С. 33-40.

29. Харшиладзе, Ф. И. Множители равномерной сходимости и равномерная суммируемость / Ф. И. Харшиладзе // Труды Тбилисского матем. инта. 1959. - Т. 26. - С. 121-130.

30. Харшиладзе, Ф. И. Множители равномерной сходимости / Ф. И. Харшиладзе // Труды Тбилисского матем. ин-та. — 1960. — Т. 27. — С. 195— 208.

31. Харшиладзе, Ф. И. О множителях равномерной сходимости и прямоугольных матрицах суммирования рядов фурье / Ф. И. Харшиладзе // Труды Тбилисского матем. ин-та. — 1961. — Т. 84. — С. 127-141.

32. Эдварде, Р. Ряды Фурье в современном изложении / Р. Эдварде, — М.: Мир, 1985.- Т. 2.

33. Aljancic, S. On the integral moduli of continuity in Lp of Fourier series with monotone coefficients / S. Aljancic // Proc. Amer. Math. Soc.— 1966.— Vol. 17, no. 2. Pp. 287-294.

34. Aljancic, S. Uber die Stetigkeitsmodul von Fourier—Reihen mit monotonen Koeffizienten / S. Aljancic, M. Tomic // Math. Zeitschr.- 1965.-Vol. 88, no. 3. Pp. 274-284.

35. Bojanic, R. On uniform convergence of Fourier series / R. Bojanic // Acad. Serbe Sei. Publ. Inst. Math. 1956.-Vol. 10.- Pp. 153-158.

36. DeVore, R. Multipliers of uniform convergence / R. DeVore // L'Enseign. Math. 1968. - Vol. 14. - Pp. 175-188.

37. Fekete, M. Uber die Faktorfolgen welche die "klasse" einer Fourierschen Reihen unverändert lassen / M. Fekete // Acta Sei. Math. — 1923. — Vol. 1, no. 1.- Pp. 148-166.

38. Fine, N. J. Fourier—Stielties series of Walsh functions / N. J. Fine // Trans. Amer. Math. Soc1957. Vol. 86, no. 1.- Pp. 246-245.

39. Finet, C. Fourier series and their generalizations in Orlicz spaces / C. Finet, G. E. Tkebuchava // J. Math. Anal. Appl- 1998.- Vol. 221, no. 2,-Pp. 405-418.

40. Goes, G. Multiplikatoren für starke Konvergenz von Fourierreihen.I. / G. Goes // Studia Math. 1958. - Vol. 17, no. 3. - Pp. 299-308.

41. Hunt, R. A. On L(p,q) spases / R. A. Hunt // L'Enseignement Math.— 1966. Vol. 12, no. 4. - Pp. 249-276.

42. Kaczmarz, S. On some classes of Fourier series / S. Kaczmarz //J. London Math. Soc. 1933. - Vol. 8. - Pp. 39-46.

43. Karamata, J. Suite de fonctionelles linèares et facteurs dé convergence des séries de Fourier / J. Karamata // J. Math. Pure Appl. — 1956. — Vol. 35. — Pp. 87-95.

44. Karamata, J. Sur la summation des séries de Fourier des fonctions continues / J. Karamata, M. Tomic // Acad. Serbe Sei. Puhl. Inst. Math.— 1955. — Vol. 8.- Pp. 123-138.

45. Katayama, M. Fourier series. XIII. Transformation of Fourier series / M. Katayama // Proc. Japan. Acad.— 1957.— Vol. 33, no. 2.— Pp. 7578.

46. Leindler, L. On the uniform convergence and boundedness of a certain class of sine series / L. Leindler // Analysis Math.— 2001.— Vol. 27, no. 4.— Pp. 279-285.

47. Leindler, L. Best approximation and Fourier coefficients / L. Leindler // Analysis Math. 2005. - Vol. 31, no. 2,- Pp. 117-129.

48. Morgenthaler, G. W. On Walsh—Fourier series / G. W. Morgenthaler // Trans. Amer. Math. Soc.- 1957. Vol. 87, no. 2,- Pp. 452-507.

49. Price, J. J. Certain group of orthonormal step functions / J. J. Price // Canad. J. Math. 1957. - Vol. 9, no. 3. - Pp. 413-425.

50. Quek, T. S. Multipliers from L\{G) to a Lipschitz space / T. S. Quek, L. Y. H. Yap // J. Math. Anal. Appl- 1979. Vol. 69, no. 2. - Pp. 531-539.

51. Quek, T. S. Multipliers from Lr(G) to a Lipschitz—Zygmund class / T. S. Quek, L. Y. H. Yap // J. Math. Anal. Appl- 1981.- Vol. 81, no. 1,-Pp. 278-289.

52. Quek, T. S. Multipliers from one Lipschitz space to another / T. S. Quek, L. Y. H. Yap // J. Math. Anal. Appl- 1982. Vol. 86, no. 1. - Pp. 69-73.

53. Rudin, W. Fourier analysis on groups / W. Rudin. — N. Y.: John Wiley and Sons, 1967.

54. Schipp, F. Walsh series. An introduction to dyadyc analysis / F. Schipp, W. R. Wade, P. Simon. — Budapest: Akademia Kiado, 1990.

55. Tomic, M. Sur les facteurs de convergence des séries de Fourier des fonctions continues / M. Tomic // Acad. Serbe Sei. Puhl Inst. Math. — 1955. — Vol. 8. Pp. 23-32.

56. Tomic, M. Sur la sommation de la série de Fourier d'une fonction continue avec le module de continuité donné / M. Tomic // Acad. Serbe Sei. Publ. Inst. Math. 1956. - Vol. 10. - Pp. 19-36.

57. Verblunsky, S. On some classes of Fourier series / S. Verblunsky // Proc. London Math. Soc.- 1932. Vol. 33. - Pp. 287-327.

58. Walsh, J. L. A closed set of normal orthogonal functions / J. L. Walsh // Amer. J. Math. 1923. - Vol. 45. - Pp. 5-24.

59. Watari, C. On generalized Walsh—Fourier series / C. Watari // Tohoku Math. J. 1958. - Vol. 10, no. 3. - Pp. 211-241.

60. Young, W. H. On the Fourier series of bounded functions / W. H. Young // Proc. London Math. Soc. 1913.-Vol. 12,- Pp. 41-70.

61. Young, W. S. Mean convergence of generalized Walsh—Fourier series / W. S. Young 11 Trans. Amer. Math. Soc.- 1976. Vol. 218, no. 2. - Pp. 311-320.

62. Zygmund, A. Sur un théorème de M. Fekete / A. Zygmund // Bulletin de l Académie Polonaise. 1927. - Pp. 343-347.