Приближения дифференцируемых функций и мультипликаторы в Lp тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГБ ОД

МаС&(ЖкЙ?Р^ОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.5

РОЖДЕСТВЕНСКИЙ Алексей Валерьевич

ПРИБЛИЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ II МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ В Ьр

(01.01.01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1996

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация —-

доктор физико-математических наук, доцент C.B. Конягин доктор физико-математических наук, профессор В.А. Юдин кандидат физико-математических наук, ассистент Н.Г. Мощевитин Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится " < " х/ц 1996 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, Гл. здание, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан ^ ог^ад-^Л 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук,

профессор Т.П. Лукашенко

г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Прямые теоремы занимают одно из важнейших мест в теории приближений функций действительного переменного. К ним относят утверждения, в которых величина приближения функции / посредством некоторого заданного множества функций оценивается сверху заданной характеристикой гладкости функции /.

Одним из первых результатов такого типа стало неравенство Джексона [1], в котором характеристикой гладкости непрерывной периодической функции выступает модуль непрерывности, а аппаратом приближения служит пространство тригонометрических полиномов заданного порядка. С.Н. Бернштейн предложил аппарат приближения непериодических функций, заданных на всей числовой оси, — целые функции экспоненциального типа и получил аналог неравенства Джексона для ограниченных равномерно непрерывных функций [2].

С.Б. Стечкпн [3] распространил неравенство Джексона с первого модуля непрерывности на модули непрерывности высших порядков — введенные С.Н. Бернштейном характеристики гладкости дифференцируемых функций. В дальнейшем были доказаны аналоги неравенства Джексона-Стечкина для пространств £р(т) и Ьр(ш.).

В. А. Юдин [4,5] обнаружил, что в случае, когда производная периодической функции принадлежит пространству ^(т), в неравенстве Джексона-Стечкина оказывается возможным заменить модуль непре-

[1] Jackson D., Über Genauigkeit der Annäherung statiger Functionen durch ganze rationale Functionen gegebenen grades und trigonometrische Summengegebener Ordnung. Diss.// Göttingen, 1911.

[2] Бернштейн C.H., О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при помощи целых функций данной степени Г// Сочинения, 1946, Т. 2, С. 371-375.

[3] Стечкпн С.Б., О порядке наилучших приближений непрерывных функций// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1951, Т. 15, №3, С. 219-242.

[4] Юдин В.А., Диофантовы приближения в экстремальных задачах Ь2Ц Докл. АН СССР, 1980, Т. 251, №1, С. 54г57.

[5] Юдин В.А., К теоремам Джексона в ¿2// Матем. заметки, 1987, Т. 41, №1, С. 43-47.

рывности ?7г-го порядка на максимум ¿з-нормы тп-ой разности функции, взятый по конечному набору точек, обладающих определенным арифметическим свойством, — новую и в некоторых отношениях более простую характеристику гладкости функции. A.A. Лигун [6] использовал неравенства подобного вида для вычисления точной константы в неравенстве Джексона-Стечкина в Li.

Вопрос о том, возможно ли распространение неравенств Джексона-Юдина на случай Lv{т), 1 < р < со, оказывается непосредственным образом связан с проблемой ограниченности в Lv фурье-мультипликаторов. невозрастающая перестановка которых на двоичных блоках имеет заданный степенной порядок убывания. Эта проблема в частных случаях была решена в работах А. Зигмунда [7], Л. Хёрмандера [8] и O.A. Васильевой [9].

Задача об ограниченности фурье-мультипликаторах такого типа возникает также при исследовании разрешимости в измеримых функциях так называемого гомологического уравнения теории динамических систем:

fix) = д(х + а) - д{х) (x mod 1).

Проблема разрешимости этого уравнения рассматривалась в работах Д. Гильберта, Д.В. Аносова, В. Готтшалка и Г. Хедлунда, Е.А. Сидорова, Л. Баггетта и К. Меррилл.

Цель работы Для функций, г-я производная которых принадлежит пространству Lp(т) или пространству Lp(к), доказать прямые теоремы Джексоновского типа, в которых в качестве характеристики гладкости взят максимум по конечному набору чисел Lp-нормы т-ой разности r-ой производной функции.

[G] Лигун A.A., Точные неравенства типа Джексона для периодических функций в пространстве ¿2// Матем. заметки, 1988, Т. 43, №6, С. 757-7С9.

[7] Зигмунд А., Тригонометрические ряды// М.: Мир, 1965, Т. 2.

[8] Хермандер Л., Оценки для операторов инвариантных относительно сдвига// М.: Изд. Ин. лит., 19G2.

[9] Васильева O.A., Метод интерполяции линейных операторов в задаче о множителях// Дисо. на ооиск, ум. степени к. ф,-м. п., 197Л, Хабнроиск.

Наутая новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят б следующем:

1. Доказаны необходимые условия и достаточные условия ограниченности фурье-мультпшшкаторов в пространствах ¿р(т'г) и Хр(к<').

2. Получены необходимые условия и достаточные условия существования неравенств Джексона—Юднна в пространствах суммируемых функций.

3. Найдены критерии разрешимости гомологического уравнения теории динамических систем и даны приложения полученных результатов к эргодической теории.

Методы исследования. В работе используются методы гармонического анализа, теории интерполирования операторов, теории диофан-товых приближений.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в различных вопросах теории приближений функций действительного переменного, теории функций, теории чисел, при оптимизации практических вычислений.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на школах-семинарах по теории приближений по рук. С.Б. Стечкина в 1993-1995 гг, на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений в 1992 и 1994 годах, на международных конференциях по теории функций в г. Воронеже в 1993 и 1995 гг., на 1-ой международной конференции по теории чисел в г. Туле в 1994 г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 научные работы (список публикации приведен в конце автореферата). Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав, разбитых на 9 параграфов, изложена на 95 машинописных листах. Библиографический список состоит из 62 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении приведен обзор работ, связанных с темой диссертации, и сформулированы основные результаты диссертации.

В первой главе диссертации исследуются мультипликаторы типа

(р,ч)-

Функция 93: z J с называется (фурье-)мультиплнкатором типа (p,q), ip € ая J ("О. если линейный оператор Т[<р], определенный на пространстве тригонометрических полиномов по формуле Т[<р]е,кх = у>(к)егкх, продолжаем до линейного непрерывного оператора из Lv{rd) в Lq(jd) (который также обозначается через Т^]). Глава состоит из двух параграфов.

В § 1.1 устанавливаются условия на ограниченную функцию, при которых она является мультипликатором типа (р, <?)■ Положим

Ри> = {(х, у) € к 2 : 0<х<1;0<т/<1;о; — у< }, если 0 < ш < 2, и Рш = {(х,у) € н2 : 0 < х < 1/2 +w"x; 1/2 - w-1 < у < 1; х - у < w"1}, если ш > 2,

Qj = {к € : 2^.1-1 < S\gnjs. ks < 2^}.

Основные результаты параграфа:

Теорема 1.1.2. Пусть 1 < ш < оо.

i) Если (l/p,l/q) е Ри, то А. е Td) для любой ограниченной функции А : zd с, удовлетворяющей условию

sup crw sup € Qj : \A{k)\ > a} < тщ < со. (1)

ff>0 j'gi d

При этом

ii) Если (1/p, 1/g) $ Ры, то существует ограниченная функция A : zd с, для которой выполнено условие (1), но при этом А £ m g (тd).

Обозначим A'j|Aj| = supk_l/2<x<k+l/7 |Л(ж)|, ве/(х) = f(ex).

Следствие 1.1.1. Пусть Л — ограниченная функция на а., имеющая голъко разрывы первого рода, причем ее значение о точке разрыва завно полусумме пределов справа и слева, А(х) — 0 если |ж| < 1/2. Предположим, что 1 < ш'< со, и выполнены следующие условия:

sup (j^ sup *{k E Qj : fc!|A|| > cr} < mx < oo,

cr> 0

fk+ 1/2

~ik 6 z \ {0} / \dAI < m2 • *||A||.

Л—1/2

Тогда если 2/(1 +.иг-1) < р <q < 2/(1 - и/"1), то € от |(т) для - > 0 и

зире^-^ЦТ^Л]^ < C(mum2,p,q) < со. £>0

В § 1.2 доказывается необходимое условие того, чтобы ограниченная функция была мультипликатором типа (1,0):

Георема 1.2.1. Пусть функция A: z —t с обладает свойством:

limsup |A(fc)| > 0.

fc—юо

Тогда для того, чтобы А была мультипликатором типа (1,0), Л 6 и °(т), необходимо, чтобы

3 <т, сг > 0 sup *{k<=Qj : |A(fc)| > cr} = oo.

Во второй главе диссертации доказываются неравенства типа Джексон,-О дина в пространствах Ьр (1 < р < оо).

Глава состоит из пяти параграфов.

Пусть с!(/,Ь,Х) — ш1Г{||/ -¿¡| : Ь & Ь} — величина наилучшего фиблшкения элемента / нормированного пространства X посредством щементов подмножества Ь.

В § 2.1 устанавливаются свойства матриц А 6 обладающих

следующим арифметическим свойством: 1п£¡ж;>х/з |х!7(-^х) > 0» гДе

6.

(х) = max (a;,-), (xj) = min/ei ¡а-£ — Ij — расстояние от числа .£,■ до бли-i

жайшего целого числа.

В § 2.2 устанавливаются оценки Li -норм специальных тригонометрических полнномов.

В § 2.3 исследуется поведение величин

,ЦРГ<К/, {const},Zq(T)) _ -I

SUPlmaxQ€0||A-/WilP ' /^¿„(т),/^ const),

где Q — конечны!! набор чисел.

Теорема 2.3.1. Пусть m,N G и, 7 > О и выполнена какая-либо из двух групп условий:

a) т > max(l, m~f), 1 <p,q< оо;

b) г > Ш7, (1/р, l/q) € Pi/(m7)-

Тогда если а 6 i", inf k^'ika) > 0, то & 6»

rd(/, {const}, L?(x)) гг, 1

SUP1 /€ ВД,const} < со.

Следующий результат носит отрицательный характер:

Следствие 2.3.1. Пусть р — 1, 1 < g < оо идя 1 < р < со, q — оо; m 6 N. Тогда

fd(/,{const},¿„(т)) ._гта,_х

для любого числа а 0.

В § 2.4 докал^гчаются неравенства Джексона-Юдина для функций из пространств L'\Td).

Обозначим через 77, пространство тригонометрических полиномов, порядка не выше п.

Основной результат параграфа:

ледствие 2.4.1. Пусть у > 0, г > 1, m,N , N > I/7. Если г > ту, 1 < р < оо, 1 < q < 00 или если г > ту + 7, < р, q < со,

> выполнено неравенство ЗУ >0 Vn 6 и , V/ G ¿р (чг) :

di/.Tn.b^iTf)) < F ■ п~7'+(1/'р-1/''г)+ • max Д?„Qj/nf(r) , (2)

j 3 p

>u условии, что набор 'inсел а- = (а-ц,..., cv/v) облпдпст свойством

inf хЦха} > 0. (3)

«>1/2

Если 0 < г < ту, 1 < р, q < 00 или если г — ту, N — 1, р = 1 ллп :ли г — ту, N — 1, q — со, то существует вектор а = (с*о,..., ar/v), (овлетворяющип условию (3) я такой, что неравенство (2) не имеет

2CTO.

В § 2.5 устанавливаются неравенства типа Джексона-Юдина для ункций из пространств е ). Пусть

ßatV = {g € Lp($i),g — целая аналитическая функция :

Ve > О Э,1£ > 0 |5(г)| < Л£схр((а + е)М)}.

сновной результат параграфа:

ледствие 2.5.1. Пусть г > 1, m, iV € N, а £ к N, 1 < р < оо. Тогда

вир

max IIA™ , /('О IL

Ki<iV IIP

о > 0, / € £р(к), / Т6 ccmst } <

•лп я только если

Ы хг/т(ха}>0.

л: >1/2

В третьей главе диссертации исследуется разрешимость гомологи-:ского уравнения теории динамических систем и даются приложения »лученных результатов к зргоднческой теории.

Глава состоит из двух параграфов.

В § 3.1 доказываются утверждения о разрешимости уравнения

/(ж) - д(х 4- 2ка) - д(х) (ж тос1 2тг). (4)

Основной результат параграфа — следующий:

Следствие 3.1.1. Если число а имеет ограниченные неполные частные, абсолютно непрерывная 2 тг - п ер по д и тсскал функция / имеет нулевое среднее и |/'(а;)1р < при некого];ом р > 1, то уравнение (4) имеет решение д 6 П^-соо ¿ч-

Для любого числа а существует такая абсолютно непрерывная 2тг-перподическая функция / с нулевым средним, что уравнение (4) неразрешимо в измеримых функциях.

В § 3.2 даются приложения результатов, полученных в § 3.1, к исследованию эргодических свойств цилиндрического каскада, специального потока и косого сдвига на торе т2 — преобразованию вида

Т{х,у) = (г + 27Га {той!к),у + f{x) {той2тг)).

Основной результат —

Теорема 3.2.1. Для любого иррационального числа а существует такая абсолютно непрерывная 2л -периодическая функция f с нулевым средним, что соответствующий косой сдвиг эргодичеп.

Автор выражает благодарность C.B. Конягину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

список работ автора по теме диссертации

L Рождественский А. В. О неограниченности функций на торе // У1атем. заметки. 1994. Т. 55. № б. С. 103-110.

I. Рождественский А. В. О неравенствах Джексона н мультипликаторах в Lp // Матем. заметки. 1995. Т. 57. № 4. С. 551-579. 5. Рождественский А. В. К неравенству Джексона в Lp(Td) // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. № 3. С. 753-766. L Rozhdestvensky А. V. Oil Jackson-Youdin inequalities for approximation jy function of exponential type // East journal on Approximations. 1995. V. 1. N. 1. P. 99-109.