Сходимость почти всюду рядов Фурье и смежные вопросы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Л

Антонов Николай Юрьевич

СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ РЯДОВ ФУРЬЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 4 2003

Екатеринбург - 2009

003469132

Работа выполнена в отделе аппроксимации и приложений Института

математики и механики Уральского отделения РАН.

Научный консультант: доктор физико-математических наук

профессор Черных Николай Иванович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Бадкон Владимир Михайлович, доктор физико-математических наук профессор Дьяченко Михаил Иванович, доктор физико-математических наук профессор Карагулян Григорий Арташесович.

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стеклова РАН.

Защита состоится 21 мая 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН

(620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН.

Автореферат разослан " 2.С " апреля 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 004.006.02 доктор физико-математических наук

в.Т.Шевалдин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Проблема сходимости тригонометрических рядов Фурье стоит в математике с середины 19-го века и, несмотря на уже полученные глубокие результаты, до сих пор не имеет окончательного решения. Поэтому исследования по этой проблеме, как видно из дальнейшего изложения, все еще остаются актуальными.

Пусть : [0, +оо) —> [0, +оо) — неубывающая функция. Обозначим через ф{Ь) = <р(£,)([0,27г)) множество всех'измеримых по Лебегу 2п -периодических функций / таких, что

2тг

I р(|/(*)|)А <оо. о

Пусть

оо

—- + ^(а*; созкх + Ьквткх) (1)

2 к=1

— тригонометрический ряд Фурье функции / 6 //([0, 2тг)), а 5„(/, х) — его частичная сумма порядка п . Определим также

00

^2(0,1; ъ'т кх — Ьк сов кх) (2)

Ь= 1

— сопряженный ряд ряда (1) и §п(/,х) — его п-ю частичную сумму. Во второй половине позапрошлого века П.Дюбуа Реймон [21] установил, что даже из непрерывности периодической функции не следует, что тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке. В связи с этим возник вопрос о том, какие условия на функцию / 6 ¿([0,2п)) являются достаточными для того, чтобы ряд (1) сходился почти всюду.

Естественность использования при исследовании рядов Фурье класса £2([0,27г)) сделала в 1900-х годах популярной следующую задачу об условиях сходимости рядов Фурье функций из Ь2 : найти как можно

более медленно растушую неубывающую последовательность положительных чисел {wk}kLi такую, чтобы из сходимости ряда

сю к= 1

следовала сходимость ряда (1). Числа wk получили название множителей Вейля. Результаты в этой задаче последовательно получали П.Фату ( [22], в качестве множителей Вейля можно взять u>k. = к), Г.Вейль ( [45], wk = кз ), Е.Гобсон ( [27], гик = кЕ, е > 0), М.Планшерель ( [38], wk = log3к), Г.Харди ( [26], wk = log2к).

Г.Харди также принадлежит следующий результат о поведении на множестве полной меры частичных сумм тригонометрических рядов Фурье (сумм Фурье) произвольных интегрируемых по Лебегу функций [26]: если / G L([0, 27г)) , то для почти всех х € [0,27г)

Sn{f,x)=o(\nn). (3)

Заметим, что оценка (3), полученная в 1913 году, до сих пор не улучшена, и не доказана ее неулучшаемость (о современных результатах, связанных с (3) будет упомянуто ниже). >

В 1915 году Н.Н.Лузин (см. [10]) выдвинул гипотезу о том, что ряд Фурье любой функции из Ь2([0,2тг)) сходится почти всюду. То есть, согласно этой гипотезе, в задаче о множителях Вейля. можно взять wk = 1.

В 1922 году А.Н.Колмогоров [30], исследуя проблему Лузина, построил пример суммируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду (о дальнейших результатах в этом направлении см. далее). Как отмечено в [30], построенная функция не принадлежит классу L2([0,2ir)). Результатом положительного характера в этой тематике в 20-е годы прошлого столетия явилась оценка, полученная А.Н.Колмогоровым и Г.А.Селиверстовым [33] и А.И.Плеснером [39]: если / е L2([0,2тг)), то

5„(/,z) = o((lnn)l) п.в. (4)

Дж.Литтлвуд и Р.Пэли [37] обобщили оценку (4) на функции из классов ¿*([0,2тг)), 1 <р< 2 : если / € ¿Р([0,27г)), то

5„(/,х) = о((1пп)г) п.в. (5)

Оценка (5) вплоть до середины 60-х годов прошлого века оставалась наиболее сильным и общим результатом в "положительном" направлении в изучении проблемы Лузина; не было даже известно, у всякой ли непрерывной функции ряд Фурье сходится почти всюду.

Справедливость гипотезы Лузина была установлена Л.Карлесоном в 1966 году. В работе [19] с помощью нового метода, были получены следующие результаты:

a) если / е Ь{ 1п+ ¿)1+,5([0,2тг)), 6 > 0 , то

5,„(/, х) = о(Ыпп) п.в.

(здесь и далее для и > 0 будем полагать 1п+ и = 1п(и + е) );

b) если / € 0,2п)) при р > 1, то

5П(/, ж) = о(1пЬ1пп) п.в. ;

c) если / е £2([0,2тг)), то ряд Фурье функции / сходится почти всюду.

Доказательство утверждения а) с подробным изложением первой части метода Карлесона имеется в работе Н.И.Черных [16]. Ч.Фефферманом [24] было предложено другое доказательство утверждения с). Подробное изложение этого доказательства дано в [9]. Недавно М.Лэйси и К.Тиле опубликовали [36] еще одно доказательство теоремы Карлесона (утверждения с)). Тем не менее, имеющиеся доказательства все-таки достаточно сложны как в техническом, так и в идейном плане, поэтому задача поиска более простого доказательства теоремы Карлесона и ее обобщений (о которых речь ниже) остается, на наш взгляд, по-прежнему актуальной.

П.Биллард [18], используя идеи Карлесона, перенес его метод на ряды Фурье по системе Уолша и доказал сходимость почти всюду ряда Фурье-Уолша произвольной функции из Ь2([0,1]). Доказательство теоремы Билларда, принадлежащее Р.Ханту [29], можно найти в книге [3, гл. 9, §9.2].

В 1968 году Р.Хант [28], развивая метод Карлесона, распространил утверждение о сходимости почти всюду тригонометрических рядов Фурье на функции из классов 27т)), р > 1, и даже, более того, на функции из класса ¿(1п+ £)2([0,2тт)), содержащего все эти классы V.

Пусть

M{f,x) = mp\Sn{f,x)\, ¡в 6 10,27т),

п>1

— мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции / € L([û, 27г)) . Обозначим через xf характеристическую функцию произвольного измеримого 2-к -периодического множества F , через mes F — лебегову меру множества F П [0,2л). Основным результатом работы [28] является следующая оценка

mes {х £ [0,2тг) : M{xf, ®) > у} < (Вр)ру~р ■ mes F, (6)

где у > 0 , 1 < р < оо , Вр < const • р2/{р - 1). Используя (6), Хант доказал, что

1) \\M(f,-)\\P<Cp\\f\\p, .1 <р<оо, /€¿»>([0,270);

2) \\M(fr)\\i<C J \ f(x)\(ln+\f(x)\)4x+C, /ei(ln+I)2([0,27r));

-7Г

3) mes {х G [0,2тг) : М(/, х) > у} < Сехр (-ц^) , У > 0, / еь°°([о,27г)).

Из утверждений 2) и 1) следует сходимость почти всюду <?„(/, х) к f(x) для функций из классов L(ln+i)2([0,2тг)) и 1/([0,2тт)), р > 1, соответственно.

В 1969 году П.Шёлин [40] перенес оценку (6) на случай мажоранты Mw(f,x) частичных сумм ряда Фурье по системе Уолша. Далее в [40] Шёлин показал, что путем оптимального выбора числа р для каждого у в оценке (6) и аналогичной оценке для случая рядов Фурье-Уолша получается оценка

mes {х € А : M(xf,x) > у} < С-In ( -) • mesF, 0<у<1/е, (7)

У \yj

где С — абсолютная константа, в качестве M могут быть взяты как М(/, х) — определенная выше мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, так и Mwf(x) — мажоранта частичных сумм ряда Уолша, а Д — период [0, 2ту) либо отрезок [0,1] соответственно. Приближая произвольные функции / линейными комбинациями характеристических функций и используя (7), Шёлин установил, что если /

принадлежит классу 1/(1п+ Ь)(\п+ 1п+ Ь) на периоде [0, 27т) либо на отрезке [0,1], то тригонометрический ряд Фурье либо соответственно ряд Фурье-Уолша функции / сходится почти всюду.

В 1996 году автором [17] с использованием оценки (7) для тригонометрического случая было доказано, что более общее, чем в работе [40], условие / е Ь(\п+ Ь)(\п+ 1п+ 1п+ £)([0,2я-)) также является достаточным для сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье функции /. Отметим, что при доказательстве в [17] применена конструкция, позволяющая приближать, в частности, частичные суммы тригонометрического ряда Фурье функции / частичными суммами ряда Фурье линейных комбинаций характеристических функций Х^хрь но при этом функция /, вообще говоря, функциями ^ &кХРк не приближается. Именно за счет достигнутой с помощью этого большей свободы и удалось получить усиление результата Шёлина [40].

В настоящей диссертации метод, использованный в [17], переносится с частичных сумм тригонометрических рядов Фурье 5„(/, х) на случай последовательностей операторов более общего вида. Из полученной в главе 1 диссертации основной теоремы в качестве следствий вытекают утверждения о том, что если / 6 £(1п+ Ь)(\п+ 1п+ 1п+ Ь) на [0,27т) или на [0,1], то тригонометрический ряд Фурье либо, соответственно, ряд Фурье - Уолша функции / сходятся почти всюду; как следствие основной теоремы получена также оценка скорости роста частичных сумм тригонометрических рядов Фурье функций из классов, промежуточных между £([0,2тг)) и 1(1п+ £)(1п+ 1п+ 1п+ ¿)([0,2тг)).

Отметим, что опубликованный нами в работе [46] результат о сходимости почти всюду рядов Фурье - Уолша функций из 1(1п+ £)(1п+1п+ 1п+ £)([0,1]) позднее был также получен П.Шелиным и Ф.Сориа [42].

Как уже отмечалось, А.Н.Колмогоровым [30] в 1922 году был построен пример функции из класса Ь([0,27г)), тригонометрический ряд Фурье которой неограниченно расходится почти всюду. Чуть позднее им же [32] была показана возможность построения суммируемой функции с рядом Фурье, расходящимся в каждой точке. Эти примеры Колмогорова послужили идейной основой для получения в дальнейшем многими авторами различных примеров интегрируемых функций с наложенными

на них дополнительными условиями и "нехорошим" поведением последовательностей частичных сумм их тригонометрических рядов Фурье, а также рядов Фурье по другим ортогональным системам. Полученные во второй половине 60-х годов прошлого столетия Карлесоном и его последователями результаты в задаче о нахождении как .можно более широкого класса tp(L) такого, что ряд Фурье каждой функции из этого класса сходится почти всюду, пробудили интерес исследователей к получению на основе колмогоровских примеров отрицательных результатов в этой задаче. В.И.Прохоренко [12] и, независимо, Й.Чень [20] построили функции из классов L(ln+ ln+ L)£([0,2ir)), 0 < е < 1, с рядами Фурье, расходящимися почти всюду. (Заметим, что в работе [12] сформулированный результат получен как следствие другого результата — о расходимости ряда Фурье функции с ограничением на интегральный модуль непрерывности; этот результат будет сформулирован позднее.) К.Тандори [43] доказал, что для любого 0 < е < 1 и любой последовательности положительных чисел Ап = o((lnlnn)1_£:) существует функция / из класса L(ln+ln+ L)e([0,2тг)), такая что всюду на [0,2тг)

sup ' Y' л = +oo, sup 1 "Y' л = +oo.

n A„ n An

Отсюда, в частности, следует, что результат Прохоренко-Ченя можно усилить, заменив расходимость почти всюду на расходимость всюду. Позднее В.Тотиком [44, теорема 3] было доказано, что если в некотором классе <^(L)([0,2п)) существует функция с тригонометрическим рядом Фурье, расходящимся на множестве положительной меры, то в этом же классе найдется функция, ряд Фурье которой неограниченно расходится всюду. Кёрнер [35] несколько усилил результат работы Тандори;[43] в части расходимости: если функция ф : [0, +оо) —>■ [0,+оо) удовлетворяет условию ф(и) — o(loglogu) при и -> оо , то существует функция из класса Ьф(Ь)([0,2тг)) с расходящимся всюду рядом Фурье. Другое доказательство этого результата Кернера имеется в [15].

Наилучший на сегодняшний день результат, касающийся расходимости на множестве положительной меры тригонометрических рядов Фурье функций из классов 0,27г)) принадлежит С.В.Конягину

[7]: если неубывающая функция ф : [0,+оо) ->■ [0,+оо) и после-

довательность {An} , А„ > 1, n = 1,2,..., удовлетворяют условию 1ф(п)\п — о п/ In lnnj при п оо , то существует функция ¡£Ьф(Ь){[0,2тг)) такая, что

, \S„V,x)\ limsup-г-= оо

П—>00 Лп

для всех х € [0,27т). Отсюда, в частности, вытекает следующее утверждение: для любой неубывающей функции <р : [0, +оо) -> [0, +оо), удовлетворяющей условию <р(и) = о {и^/Ьхи/lnlnu^ при и —t оо , найдется функция из класса (p(L)([0,2тг)) такая, что ее ряд Фурье неограниченно расходится всюду на [0,2п). Для любого класса ip(L)([0, 27г)) , "промежуточного" между L(ln+L)i(ln+ln+L)~2 ([0,27г)) и L(ln+ L)(ln+ ln+ ln+ L)([0, 27г)) , ответ на вопрос, существует ли в таком классе функция с расходящимся на множестве положительной меры (а значит и всюду) рядом Фурье или для каждой функции из этого класса ее ряд Фурье сходится почти всюду, к настоящему времени неизвестен.

Наиболее сильный в настоящий момент результат, касающийся расходимости рядов Фурье-Уолша, принадлежит С.В.Бочкареву: если ф : [0,+оо) [0, +оо) — неубывающая функция, удовлетворяющая условию ф(и) = о (Vln uj при и —> оо , то существует функция

/ G Ьф(Ь)([0,1]), ряд Фурье-Уолша которой расходится почти всюду [1] (всюду [2]) на [0,1]. Таким образом, "зазор" между наилучшими положительным и отрицательным результатами в случае рядов Уолша несколько меньше, чем в тригонометрическом случае.

Пусть / € L([0,27r)). Обозначим через и>(/, ¿)i модуль непрерывности функции / в метрике Ь([0,2тт)) :

2тг

w(f,5) 1 = sup / \f(x + h) - f(x)\dx.

(h\<SJ 0

Пусть ш : [0, +oo) [0, +oo) — произвольный модуль непрерывности, то есть непрерывная, неубывающая, полуаддитивная, равная в нуле нулю функция. Определим множество Щ следующим образом:

Щ = {/ 6 L([0,27т))-: Ц/,<5)! - 0И<5))}.

Заметим, что если их и и>2 ~ два модуля непрерывности, и в некоторой окрестности нуля = 0(шг(<^)), то Щ1 С Щ2 .

А.Зигмунд [5, т.2, гл. XIII, теорема (3.10)] доказал, что если модуль непрерывности и удовлетворяет условию

(это условие эквивалентно сходимости ряда 1и{к~1)/к ), то тригонометрический ряд Фурье функции / 6 Щ сходится почти всюду. Несмотря на простоту доказательства, этот результат Зигмунда до сих пор не улучшен (в том смысле, что не распространен на более широкие классы Щ ), и не доказана его неулучшаемость.

Из результата Зигмунда, в частности, следует, что если модуль непрерывности ш удовлетворяет условию = 0((1п(1/6))-1_е) , е > 0 , то ряд Фурье любой функции / 6 Щ сходится почти всюду. В связи с последним утверждением в [5, т.2, гл. XIII, с.258] была сформулирована проблема: останется ли утверждение верным при е = 0 ? Исследуя эту проблему Зигмунда, В.И.Прохоренко [12] построил пример функции ^ 6 ¿([0,271-)) такой, что и(Р,д)1 = 0((1п1п(1/5))-1), и ее ряд Фурье расходится почти всюду. Отсюда с помощью одной теоремы вложения П.Л.Ульянова [14, теорема 2 (следствие 4)] Прохоренко получил уже упоминавшийся выше результат о существовании функции из класса Ь(1п+ 1п+ 1/)е([0, 27г)), 0 < е < 1, с расходящимся почти всюду рядом Фурье.

В настоящей диссертации в главе 2 получено усиление первого из только что сформулированных результатов Прохоренко [12]. А именно, построен пример функции Р с расходящимся почти всюду рядом Фурье и интегральным модулем непрерывности, удовлетворяющим условию и(Р,6)х = О ^а/1п1п(1/5)/ 1п(1/<5)^ . При этом наше доказательство существенно опирается на основную лемму работы [7].

Пусть А = {Ап}^! — последовательность положительных чисел, / € £([0, 27г)) . Положим

о

В случае Хп = 1, если ряд Фурье функции / сходится почти всюду, в частности, если / g Я" , где w удовлетворяет условию < > то мажоранта М(/, (1},х) почти всюду конечна. Для произвольной функции / € £([0,2тг)) конечные значения почти во всех точках принимает мажоранта М(/, {Inn}, х). Это следует из оценки Г.Харди (3). Однако, функция M(f, {In n}, х) при этом может быть не интегрируемой: в [5, т.2, гл.ХШ, п.2] построен пример функции F е ¿([0,2тг)), у которой M{F, {Inn}, ■) g L.

В настоящей диссертации (в главе 2) рассматривается задача о наиболее общих условиях на модуль непрерывности ш, достаточных для того, чтобы для всех / g Щ мажоранта M(f, Л, •) была интегрируемой. Установлено (теорема 2.2), что при некоторых разумных условиях на последовательность Л = {An}£Lj условие

является достаточным для того, чтобы для каждой функции / € Щ мажоранта M(f, Л, •) была интегрируема. Показано, что условие (8) при соответствующих условиях на Л является неулучшаемым (теорема 2.3): если ряд в левой части (8) расходится, то существует функция F € Я" такая, что мажоранта M(F, А, •) не интегрируема.

Хорошо известно [31], что для произвольной функции / €Е £([0,27г)) и для 0 < е < 1

2тг 2тг

J\Sn(f,x)~ f(x)\edx -4 0, J\Sn(f,x)-f(x)\edx-4 0 прип->оо.

о о

Отсюда следует, что тригонометрический ряд Фурье произвольной функции / € L([Q, 27г)) сходится по мере. Значит, последовательность частичных сумм ряда Фурье любой интегрируемой функции имеет сходящуюся почти всюду подпоследовательность.

Однако, не существует такой возрастающей последовательности натуральных чисел , чтобы для любой / 6 £([0, 2п)) подпоследовательность Snk(f,x) сходилась бы почти всюду: для любой возрастающей

последовательности С N найдется функция / € Ь([0,27г)) та-

кая, что 5п<.(/,'а;) расходится почти всюду [25] (всюду [44]). Недавно С.В.Конягин [8] усилил результат В.Тотика [44], показав, что для любой возрастающей последовательности {па}*^ с n и любой неубывающей функции ¡р : [0,оо) [0,оо), удовлетворяющей условию <р(и) — о(и1п1пи), и —> оо, найдется функция ^ £ <р(Ь) такая, что подпоследовательность 3Пк{Р,х) неограниченно расходится всюду.

Поведение подпоследовательностей сумм Фурье, в частности, условия сходимости почти всюду подпоследовательностей сумм Фурье интегрируемых функций в терминах величин наилучших приближений этих функций тригонометрическими полиномами в пространстве ¿([0,27т)), изучались К.И.Осколковым [11]. Пусть Еп(/) — величина наилучшего приближения функции / тригонометрическими полиномами порядка не выше п в пространстве ¿([0,2тг)) , — возрастающая последова-

тельность натуральных чисел, тр(и) — положительная невозрастающая на (0,1] функция такая, что

1

/Ли

< оо. (9)

игр (и)

о

Тогда [11. теорема 2] для любой / 6 ¿([0,27т)) при почти всех х € [0,2тг)

5пД/,х) - Дх) = о(ЕПки)ф{ЕПкУ))\пк). В частности, если

к=1

то подпоследовательность 5„ь(/, х) сходится почти всюду, а если / — произвольная функция из ¿([0,27т)), то

5п,(/,а:) = о(1пА:) и.в. (10)

Из сформулированных результатов работы [11] с помощью неравенства Джексона Еп(/) < Си(/, 1/п)\ непосредственно вытекают следующие утверждения.

А) Пусть — возрастающая последовательность натуральных чи-

сел, 1р(и) — положительная функция, невозрастающая на [0,1] и удовлетворяющая условию (9), ш(6) — некоторый модуль непрерывности. Тогда для любой функции / 6 Щ

В) Пусть возрастающая последовательность С N и модуль

непрерывности ш удовлетворяют условию

Тогда для любой функции / 6 Н" подпоследовательность ' 5,„А. (/, х) сходится почти всюду.

Отметим, что утверждение В) и оценка (10) в частном случае щ ~ к превращаются соответственно в приводившийся выше результат Зигмунда [5, гл. XIII, теорема (3.10)] и классическую оценку Харди (3).

В настоящей диссертации (во второй главе) рассматривается задача о границах возможного усиления утверждений А) и В) в случае, когда последовательность растет достаточно быстро, в частности, ко-

гда она лакунарная: существует р > 1 такое, что Пк+\/пк > р , к 6 N. В этой же главе при некоторых условиях на функцию </? : [0, +оо) —> [О, +оо) и модуль непрерывности со построен пример функции с расходящимся почти всюду тригонометрическим рядом Фурье и принадлежащей классам <р(Ь) и Щ одновременно (теорема 2.6). Это утверждение является усилением упоминавшегося выше результата С.В.Конягина [8].

Перейдем теперь к рассмотрению многомерного случая, точнее, к обзору результатов, касающихся поведения на множестве полной меры кратных тригонометрических рядов Фурье. Будем в основном придерживаться обозначений, принятых в [4].

Пусть (1 — натуральное число, II1 -- целочисленная решетка в , к = (къ ..., ка) € И1, х = (яь ..., х,1) е К'7, кх = к\Хг + ... + , / определенная на , 2л"-периодическая по каждой переменной и

Зпк(1>х) ~ /(я) = о

п.в.

интегрируемая по Лебегу на [0,2тт)с1 функция,

£ а*** (И)

кей*

— кратный тригонометрический ряд Фурье функции / .

Для целочисленного вектора п = (щ, щ, • • ■ с неотрицательными координатами , 1 < ] сумму

5„(/,х)= £ ^

будем называть п-ой прямоугольной частичной суммой ряда (11) или п -ой прямоугольной суммой Фурье.

Пусть В — некоторое непустое подмножество множества первых в, натуральных чисел: В = {гг,..., т^} С {1, -.., • Ряд

I

£П(-г318п кг,)ауе** (12)

называется сопряженным к ряду (11) по переменным, номера которых входят во множество В, или В -сопряженным, а п-я прямоугольная частичная сумма 5п,в(/,х) ряда (12) определяется аналогично п-ой прямоугольной частичной сумме ряда (11). При с/ — 1 ряды (11) и (12) совпадают соответственно с обычным одномерным тригонометрическим рядом Фурье (1) 27Г-периодической функции и его сопряженным рядом (2). В случае, когда множество В пустое,.будем считать, что ряд (12) совпадает с рядом (11).

Пусть в, > 2. Ряд (11) (ряд (12)) называется сходящимся по кубам (в случае й = 2 — по квадратам) в точке х € [0,27г)^, если последовательность кубических частичных сумм (то есть последовательность 5„(/, х) = 5„(/, х) (5п,в(/, х) = 5П|в(/, х)), где п = (п, п,..., п)) имеет предел при п —оо .

Пусть (р : [0, +оо) —>■ [0, +оо) — неубывающая функция. Обозначим, как и в одномерном случае, через 2ттУ) множество всех опре-

деленных на множестве [0, 2п)с1 и измеримых по Лебегу функций /,

удовлетворяющих условию

I р(|/(1;)|)Л < оо.

[0,27т)«1

Сходимость почти всюду по квадратам рядов Фурье функций / € Ь2([0, 27г)2) была установлена Н.Р.Тевзадзе [13]. Ч.Фефферман [23] распространил этот результат на функции / е 2тг)^) , р > 1, с? > 2 , а затем П.Шёлин [41] доказал, что если функция / принадлежит классу Ц1п+ 1п+ Ь)([0,2я)сг), то ее ряд Фурье сходится по кубам почти

всюду.

Наилучший на сегодня результат, касающийся расходимости по кубам на множестве положительной меры кратных рядов Фурье функций из (р(Ь)([0,2тгУ) , й > 2 , также, как и в одномерном случае, принадлежит С.В.Конягину [34]: для любой функции ср{и) — о(и(1пи)'/-11п1пи) при и оо существует функция / & 2тг)'1) с расходящимся всюду

по кубам рядом Фурье.

В настоящей диссертации (в главе 3) рассматриваются последовательности частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье (кратных прямоугольных сумм Фурье) несколько более общего вида, чем кубические, а именно, последовательности 5П).(/, х) такие, что векторы Пк = (п[, п|,..., п'1) удовлетворяют условию

п{. = а]тк + 0{ 1), А: е N. 1 < § < с*, (13)

где а — (ах,..., ау) — вектор с положительными координатами, а {тк}ь=1 ~~ бесконечно большая последовательность натуральных чисел. Доказана теорема, позволяющая переносить результаты о сходимости почти всюду одномерных рядов Фурье функций из классов </?(1/)([0,27г)) на случай сходимости последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье вида (13) для функций из классов <р(Ь)( 1п+ Х)£'_1([0,2^)^) . Отсюда и из нашего результата [17] о сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье любой функции из класса Ь(1п+ Ь)(1п+ 1п+ 1п+ 1/)([0, 2тг)) вытекает сходимость почти всюду последовательностей 5п^(/,х) с п^ вида (13) для функций из Ь(1п+ ЬУ( 1п+ 1п+ 1п+ £/) ([0,27ГУ). В частном случае кубических частичных сумм это является усилением результата Шёлина [41].

В третьей главе диссертации также рассматривается задача о скорости роста на множестве полной меры последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье. Г.А.Карагулян [6, следствие 4] получил следующий аналог оценки Осколкова (10) для двумерного случая: для любой последовательности щ = (nhnD и №л каждой функции / Е L ln+ L ([0, 27Г)2)

Sn,(/,x) = o(ln2fc) п.в. (14)

Нами показано, что в случае, когда отношения координат векторов п^ близки к постоянным по к , точнее, когда последовательность щ удовлетворяет (13), оценка (14) может быть улучшена: для любой функции

/ е L(in+ L)d-1([o,2ir)d), den,

Snt(/,x) = o(lnfc) п.в.

Цель работы. Получение новых достаточных условий сходимости почти всюду тригонометрических рядов Фурье и рядов Фурье-Уолша в терминах принадлежности порождающих эти ряды функций к классам <p(L). Изучение поведения последовательностей частичных сумм триго-. нометрических рядов Фурье и подпоследовательностей этих последовательностей для функций из классов Щ . Получение новых результатов о сходимости почти всюду и оценок скорости роста на множестве полной меры последовательностей прямоугольных частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье.

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории функций, в частности, теории тригонометрических рядов Фурье и теории приближений,

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты состоят в следующем.

1. Доказано, что если / б L(ln+ L)(\n+ ln+ ln+ L) на [0,2тт) или на [0,1], то тригонометрический ряд Фурье либо, соответственно, ряд Фурье - Уолша функции / сходится почти всюду.

2. Найдено неулучшаемое условие интегрируемости мажорант частичных сумм тригонометрических рядов Фурье в терминах принадлежности порождающих их функций к классам Щ.

3. При некоторых условиях на функцию ¡р : [0, +оо) —> [0,+оо) , модуль непрерывности и и последовательность {п^} построен пример функции Р £ <р{Ь) п Н" с расходящейся почти всюду подпоследовательностью х).

4. Доказана теорема, позволяющая переносить результаты о сходимости почти всюду одномерных рядов Фурье функций из классов уз(1/)([0,27т)) на случай сходимости последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье с почти постоянным отношением сторон прямоугольников для функций из .

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и предложенные идеи доказательств могут быть использованы для дальнейшего изучения поведения частичных сумм тригонометрических рядов Фурье, а также рядов Фурье по другим ортогональным системам.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы автором в работах [46] - [52] .

Апробация. Результаты диссертации докладывались на совместном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН под. рук. чл.-корр. РАН Ю.Н.Субботина и проф. Н.И.Черных (многократно), на семинаре под. рук. проф. В.В.Арестова в УрГУ (неоднократно), на Научно-исследовательском семинаре по теории функций в МГУ под рук. чл.-корр. РАН Б.С.Кашина, проф. В.И.Голубова, проф. М.И.Дьяченко и проф. С.В.Конягина, на семинаре "Ортогональные ряды" в МГУ (рук.

..... чл.-корр. РАН Б.С.Кашин и проф. С.В.Конягин), на семинаре под

рук. проф. Ван Куньяна и проф. Лю Йонпина в Пекинском нормальном университете, на Международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения С.Б.Стечкина (Екатеринбург, 2000) , на Международной конференции "Гармонический анализ и приближения, II" (Ереван, 2001), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию со дня рождения С.М.Никольского (Москва, 2005), на традиционной Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, ин-

форматики" (Тула, 2005, 2006), на IV Международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Новороссийск, 2006), на Шестой и Восьмой международных Казанских летних научных школах-конференциях (Казань, 2003, 2007), на 11-ой, 13-ой и 14-ой Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2002, 2006, 2008), на 31-ой, па 32-ой, на 34-ой, на 36-ой, на 38-ой Региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2000, 2001, 2003, 2005, 2007), на традиционной ежегодной Международной летней Школе С.Б.Стечкина по теории функций (Миасс, 1999-2006, 2008; Алексин, 2007).

•Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Общий объем работы — 162 страницы. Список литературы содержит 62 наименования.

Основное содержание работы

Глава 1 посвящена изучению условий конечности мажорант последовательностей операторов. Первый параграф является вводным. Здесь кратко повторяется история вопроса, а также формулируются используемые в главе не принадлежащие автору результаты.

В §1.2 доказана нижеследующая основная теорема этой главы. Пусть. Д = [а,/?] — произвольный отрезок на Е , {11п{/,х) :пбК} — последовательность операторов такого вида:

д

где ядра п(х,£) : Д2 -»• К - интегрируемые по Лебегу на Д2 функции. Обозначим

Теорема 1.1. Пусть непрерывная, неубывающая и неограниченная функция ф : [0, +оо) —> (0, +оо) удовлетворяет условию

и*(/,х) = вир |£/„(/, ®)|.

п> 1

ф(и2) < Кф{и)

для некоторой постоянной К > 1 . Предположим, что найдутся константы Со, уо > 0, такие что для характеристической функции xf произвольного измеримого множества F С А выполняется неравенство

mes {х е Д : U*(xf,x) > у} < Сц-ф ( - | mes F, О < у < yQ.

У \У/

Тогда для любой f G Ьф(Ь) ln+ 1п+ ф{Ь) почти всюду выполнено неравенство

U*{f,x)< + оо.

Более того, для функции распределения мажоранты U*(f,x) справедлива следующая оценка:

mes {я <= Д : U*{f,x) > z} < < ± |С| |/(х)|^(|/(х)|) \п+1п+ф(\!(х)\+ ,

Z > ZQ > 0 .

В §3 главы 1 с помощью оценки (7) и теоремы 1.1 получены следующие утверждения.

Теорема 1.2. Если функция f принадлежит классу

L(ln+L)(ln+ ln+ 1п+ £)([0,2тг)),

то тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится почти всюду.

Теорема 1.3. Если функция / принадлежит классу L(ln+L)(ln+ln+ln+L)([0,l]),

то ряд Фурье Уолта отой функции сходится почти всюду.

Отметим, что'теорема 1.2 ранее была опубликована в [17],как самостоятельный результат и была включена в нашу кандидатскую диссертацию.

Доказательство теорем 1.2 и 1.3 проводится одновременно.

19

В §4 главы 1 мы, используя (3), (7) и теорему 1.1, получаем оценки скорости роста частичных сумм тригонометрических рядов Фурье функций из классов, промежуточных между классами Ь([0,27т)) и

Теорема 1.4. Пусть А > 4 , непрерывная функция ф : [Д+оо) -» [0,4-оо) такая, что

1) ф(и) не убывает на [А, +оо);

2) функция (1пи)/(ф(и)) не убывает на [Д+оо);

3) ф(и) = о(1пи) при и +оо .

Тогда для, каоюдой функции / 6 Ьф(Ь) 1п+ 1п+ ф{Ь) почти всюду справедлива оценка.

Вторая глава диссертации посвящена поведению последовательностей частичных сумм тригонометрических рядов Фурье и подпоследовательностей этих последовательностей для функций, принадлежащих классам

В первом параграфе второй главы приведены используемые в этой главе обозначения, а также формулируются применяемые здесь в доказательствах известные утверждения.

В §2.2 получено следующее утверждение.

Теорема 2.1. Существует функция ^ € ¿([0, 27т)) с расходящимся почти всюду тригонометрическим рядом Фурье и интегральным модулем непрерывности, удовлетворяющим условию

Доказательство теоремы 2.1 основано на следующих двух леммах (С.В.Конягина и нашей).

Лемма 2.А. (С.В.Копягин, |7. лемма (3.5)]). Пусть п - достаточно большое натуральное число, N — 2п , М — 2А'п2" . Тогда существует такой неотрицательный тригонометрический полином Тп степени не

1(1п+ £)(1п+ 1п+ 1п+ 1)([0, 271")).

Я!

выше М2 , что

1 Г2*

— j Тп(х)<1х = 1, и для любого х £ [0, 2л) найдется такое т > N71, что

Зт(Тп,х) > 0.0002у/п.

Лемма 2.1. Предположим, что существуют последовательности

а) функций {/„}~ „0 с Ь ,

б) 2п -периодических множеств {Д,}^. ,

в) номеров {дп}п=пи с ^ >

х) положительных чисел {А,,}^ такие, что

1) Ш1х='1,

2) шеэ Еп > 7 > 0 ,

3) последовательности {Ап} , {дп} , {Чп/^п} не убывают,

4) А„ = 0(Аи_1), {Ап} не ограничена,

5) для любого х 6 Еп

тах \Stifn, > сА„. 1<&<<2и

Пусть модуль непрерывности ш удовлетворяет условию

мчз

Тогда существует функция Р из класса. Н" с расходящимся почти всюду рядом Фурье.

В §2.3 рассматривается задача о наиболее общих условиях на модуль непрерывности ш , достаточных для того, чтобы для всех / 6 Щ мажоранта М(/, Л, ■) была интегрируемой. Получены следующие утверждения.

Теорема 2.2. Пусть для модуля непрерывности ш и последовательности положительных чисел А - {А,,}^ выполнены условия

1) последовательности {Ап} и {п/Ап} не убывают;

00

2) ряд е.ходится.

Тогда для любой f 6 Щ мажоранта М(/, Л, ■) интегрируема, и

Il — 1

Теорема 2.3. Пусть модуль непрерывности ш и неубывающая последовательность положительных чисел А = {An}£Li удовлетворяют условию

Е°° и>(1/к) к=1 к

Тогда существует функция F € Щ такая, что мажоранта M(F, Л, ■) не интегрируема.

В §2.4 доказаны леммы, необходимые для получения в последующих двух параграфах результатов о расходимости подпоследовательностей последовательности сумм Фурье. Ключевое место здесь занимает

Лемма 2.6. Пусть последовательность {rifclfcLi С N удовлетворяет условию nk+ijnk > 18, к € N . Тогда для любого натурального числа m > е800 существует функция fm € ¿([0,27т)) такая, что

1) fm непрерывна, имеет ограниченную вариацию на периоде [0,2тг),

и |l/m||i = 1 ;

2) для всех х € [0,2тг) 0 < fm{x) < 182m ;

3) для любого <5 > О

4/m.5)i ^ З6п3т5;

4) для множества

Gm = <х £ [0,2тг) : max \Snk(fm,x)\ > ^ 1 \supp/m,

^ m+l<fc<3m 1UU J

где supp fm = {i£ [0, 27г) : fm(x) ф 0} — носитель функции fm ,

mes Gm > 7г/36.

В §2.5 рассматриваются подпоследовательности сумм Фурье 5П(.(/,ж). у которых последовательности натуральных' чисел возрастают и существуют числа р > 1 и 7 6 N такие, что

Для последовательностей вида (15) рассматривается задача о границах возможного усиления сформулированных выше утверждений А) и В). Получены следующие утверждения.

Теорема 2.4. Пусть последовательность удовлетворяет

условию (15), ш — некоторый модуль непрерывности, и последовательность ш(1/пк)\пк не убывает и неогранинена. Тогда существует функция Р € Щ такая, что для почти всех х £ [0, 2тг)

Теорема 2.5. Пусть для удовлетворяющей условию (15) последовательности {гс/с}^! и модуля непрерывности ш последовательность (и!(1/пк)1пк)~1 ограничена. Тогда существует функция Р 6 Щ такая, что подпоследовательность 3Пк(Р,х) расходится почти всюду.

Обозначим через [х] целую часть числа х. Следующие утверждения как частные случаи непосредственно вытекают из теорем 2.4 и 2.5, а также из утверждений А) и В) (см. с.20).

Следствие 2.1. Пусть а > 1, ¡3 > 0, Пк = [ехр(ехр((1п &)"))], к е М, ш(5) = (Ып(1/£))-^, 0 <5 <е'е. Тогда, если ¡3 > 1/а, то для любой f £ Щ подпоследовательность 3Пк(ф,х) сходится почти всюду, а если [3 < 1/а, то найдется F 6 Щ такая, что 3Пк(Р,х) расходится почти всюду. Далее, если 0 < /3 < 1/а, е > 0 , то для всех

(15)

/еяг

в то же время, существует функция Р € Н" такая, что

Пусть 7 £ N. Определим функции ехр7(ж) и 1п7(ж) следующим образом: ехр^г) = ех , ехру(х) ~ еехрт-»^ , 7 > 2 ; 1п1(х) — 1пх,1п7(х) = ЦЬ^!^)), 7 > 2 .

Следствие 2.2. Пусть 7 е М, /3 > 0 . п^ = [ехр7(&)], А: £ М, = (1п7+1(1/5))^ , 0 < 5 < 1/ ехр7+1(1) . Тогда, если /3 > 1, то для любой / £ Н" подпоследовательность 5П1(/, ж) сходится почти всюду, а если 0 < 1, то найдется F £ Я^ такая, что а:)

расходится почти всюду. Далее, если 0 < /? < 1, е > 0 , то ¿лл всеж

В последнем параграфе второй главы (§2.6) доказана следующая теорема, объединяющая теорему 2.5 и результат работы С.В.Конягина [8].

Теорема 2.6. Пусть для последовательности С N выпол-

няется условие (15), <р : [0, оо) —> [0,оо) — неубывающая функция такая, что 1р(и) = о(и1п1пи) при и -» оо , ш — модуль непрерывности, связанный с последовательностью {псоотношением

Тогда существует функция ^ £ <р(Ь) п Щ , у которой подпоследовательность 3Пк,(Г,х) расходится почти всюду.

Отметим, что в работе [8] доказательство основано на методе Ш.В.Хе-ладзе [15], предусматривающем построение примера с помощью тригонометрических полиномов. В доказательстве теоремы 2.6 конструкция примера базируется на использовании кусочно-линейных функций.

Третья глава посвящена получению утверждений о сходимости и оценках скорости роста последовательностей кратных тригонометрических сумм Фурье.

В §3.1 мы напоминаем определения и обозначения в нужной для данной главы интерпретации. Отметим, что в этой главе мы, в соответствии

/еяг

8пк(1, х) = О ((1п7+1(п/г))1~'б+£) п.в.;

в то же время, существует функция ^ £ Щ такая, что

5'п,(^,2;)^о((1П7+1Ы)1-/3) П.В.

с нашей схемой доказательства, рассматриваем в том числе и функции, определенные на К'* и принадлежащие различным классам <р(Ь)(№!*) .

Второй параграф третьей главы содержит вспомогательные утверждения. Основные леммы сосредоточены в §3.3. В §3.4 и §3.5 получены следующие утверждения.

Теорема 3.1. Пусть непрерывная (функция <р : [0,+оо) —)■ [0,+оо) представима в виде (р{и) = иф(и), где функция ф(и) дифференцируема при и > А > 0, ф(и) и иф'(и) не убывают на [А, +оо), а ф{и)и~» и ф'{и) не возрастают на [А, +оо). Предположим, что тригонометрический ряд Фурье любой функции д 6 <р(Ь)([0,27т)) сходится почти всюду. Тогда для любого й € М, для всех / 6 27г)сг),

каждого В С {1,2,...,с£} и последовательности щ, удовлетворяющей условию (13), последовательность 5Пк1в(/, х) сходится почти всюду.

Из теоремы 3.1 и теоремы 1.2 о сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье любой функции из класса £(1п+ Ь)(1п+ 1п+ 1п+ 1/)([0, 2тг)) вытекает

Теорема 3.2 Пусть с1 £ К, В С {1,2, последова-

тельность щ = ... удовлетворяет условию (13). То-

гда, если / € £(1п+ £)^(1п+ 1п+ 1п+ Ь)([0, 2пУ), то последовательность сходится почти всюду на [0,2л-)'г.

Теорема 3.3. Пусть с? € N , В С {1,2,..., , последовательность щ — {п\,п\,... ,п£) удовлетворяет условию (13). Тогда для любой функции / € ¿(1п+ ¿)^1([0,2ттУ) при почти всех х € [0,2тх)л справедлива оценка

§п ьв(/.х) = о(\пк).

В частности,

5'„Д/,х) = о( 1пк) п. в.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту профессору Николаю Ивановичу Черных за ценные замечания, полезные обсуждения и внимание к работе.

Литература

[1] Вочкарев C.B. О проблеме гладкости функций, ряды Фурье-Уолша которых расходятся почти всюду // Доклады РАН. 2000. Т.371, № 6. С.730-733.

[2] Бочкарев1 C.B. Всюду расходящиеся ряды Фурье по системе Уолша и мультипликативным системам П Успехи мат. наук. 2004. Т.59, M. С.103-124.

[3] Голубое Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. М.: Наука. 1987. 344 с.

[4] Дьяченко ММ. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов // Успехи мат. наук. 1992. Т.47, №5. С.97-162.

[5] Зигмунд А. Тригонометрические ряды; в 2 т. М.: Мир. 1965. Т.1. 616 с. Т.2. 538 с.

[6] Карагулян Г.А. Преобразование Гильберта и экспоненциальные интегральные оценки прямоугольных частичных сумм двойных рядов Фурье // Мат. сборник. 1996. Т.187, № 3. С.55-74.

[7] Конягин C.B. О расходимости всюду тригонометрических рядов Фурье // Мат. сборник. 2000. Т. 191, № 1. С. 103-126.

[8] Конягин C.B. О расходимости всюду подпоследовательностей частных сумм тригонометрических рядов Фурье // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т.11, № 2. С. 112-119.

[9] Лукашенко Т.П. Сходимость почти всюду рядов Фурье функций, суммируемых с квадратом, М.: изд-во МГУ, 1978. 109 с.

[10] Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1951. 550 с.

[11] Осколков К.И. Подпоследовательности сумм Фурье интегрируемых функций // Труды МИАН. Т. 167. 1985. С. 239-260.

26

[12] Прохоренко В.И. О расходящихся рядах Фурье // Мат. сборник. 1968. Т. 75 (117), № 2. С. 185-198.

[13] Тевзадзе Н.Р. О сходимости двойного ряда Фурье функции, суммируемой с квадратом // Сообщ. АН ГССР. 1970. Т. 58, № 2. С. 277279.

[14] Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т. 32, № 3. С. 649-686.

[15| Хслпдзе. Ш.В. О расходимости всюду рядов Фурье функций из класса Lip(L) // Труды Тбилисского математического института. Т. 89. 1988. С.51-59.

[16] Черных Н.И. О поведении частичных сумм тригонометрических рядов Фурье // Успехи мат. наук. 1968. Т.23, №6. С.3-50.

[17] Antonov N. Yu. Convergence of Fourier sériés // East Journal on Approximations. 1996. V.2, № 2. P.187-196.

[18] Billard P. Sur la covergence presque partout des séries de Fourier Walsh des fonctions de l'espace L2(0,1). Studia Math. 1967. V.28. P. 363388.

[19] Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier sériés // Acta math. 1966. V.116, № 1-2. P.135-157.

[20] Chen Y.M. An almost ewerywhere divergent Fourier sériés of class L(log+ log+ L)1^ // J. London Math. Soc. 1969. V. 44. P. 643-654.

[21] Du Bois-Reymond P. Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Fourierschen Darstellungsformen // Abhandl. Akad. Wissensch., München. 1876, V.12. P. 1-103.

[22] Fatou P. Séries trigononiétriques et séries de Taylor ■// Acta. Math. 1906. V.30. P.335-400.

[23] Fefferman C. On the convergence of multiple Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 77, № 5. P. 744-745.

[24] Fefferman C. Pointwise convergence of Fourier series // Ann. Math. 1973. V.98. P.551-571.

[25] Gosselin R.P. On the divergence of Fourier series // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V.9, № 2. P. 278-282.

[26] Hardy G.H. On the summability of Fourier series // Proc. London Math. Soc.. 1913. V.12. P.365-372.

[27] Hobson E.W. On the convergence of series of orthogonal functions // Proc. London Math. Soc. 1913. V.12. P.297-308.

[28] Hunt R.A. On the convergence of Fourier series // Orthogonal expansions and their continuous analogues. SIU Press, Carbondale, Illinois. 1968. P.235-255.

[29] Hunt R.A. Almost everywhere convergence of Walsh-Fourier series of L2 functions // Actes Congr. int. mathématiciens, 2, 1970. Paris. 1971. P.655-661.

[30] Kolrnogoroff A. Une série de Fourier - Lebesgue divergente preque partout // Fund. math. 1923. V. 4. P. 324-328.

[31] Kolrnogoroff A. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier // Fund. math. 1925 V.7. P.24 -29.

[32] Kolrnogoroff A. Une série de Fourier - Lebesgue divergente partout // C. r. Acad. sei. Paris. 1926. V. 183. P. 1327-1329.

[33] Kolrnogoroff A., Seliverstoff G. Sur la convergence des séries de Fourier // Rend. Acad. Naz. Lincei. 1926. V.3. P.307-310.

[34] Konyagin S. V. On divergence of trigonometric Fourier series over cubes // Acta Sei. Math. (Szeged). 1995. V.61. P.305-329.

[35] Körner T.W. Ewerywhere divergent Fourier series // Colloq. Math. 1981. V. 45, № 1. P. 103-118.

[3G] Lacc.y M., Thide C. A proof of boimdedness of the Carleson operator // Mathematical Research Letters. 2000. V.7. P. 361-370.

[37] Lütkwood .J.E., Раку R..E.A.C. Theorems on Fourier series and power series // (1) Journal London Math. Soc.. 1931. V.6. P. 230-233. (11) Proc. London Math. Soc.. 1936. V.42. P.52-89, (111) Proc. London Math. Soc.. 1937. V.43. P.105-126.

[38] Plancherel M. Sur la convergence des séries de fonctions ortogonales // С. r. Acad. sei. Paris. 1913. V.157. P.539-541.

[39] Plessner A. Uber Konvergenz von trigonometrischen Riehen // Journal für reine und angew. Math.. 1926. V.155. P.15-25.

[40] Sjölin P. An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh-Fourier series // Arkiv for mat. 1969. V.7. P.551-570.

[41] Sjölin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv för mat. 1971. V. 9, № 1. P. 65-90.

[42] Sjölin P., Soria F. Remarks on a theorem by N.Yu.Antonov // Studia math. 2003. V.158, № 1. P.79-96.

[43] Tandon К. Ein Divergenzsats für Fourierreihen // Acta Sei. math. 1969. V. 30. P. 43-48.

[44] Totik V. On the divergence of Fourier series// Publ. Math. (Debrecen). 1982. V.29, № 3-4. P. 251-264.

[45] Weyl H. Uber die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunctionen fortschreiten // Math. Ann. 1909. V.67. P.225-245.

[46] Antonov N. Yu. Conditions for the finiteness of majorants for sequences of operators and convergence of Fourier series // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl.'l. 2001. P. S1-S19.

[47j Антонов Н.Ю. О сходимости почти всюду по кубам кратных тригонометрических рядов Фурье // Известия РАН. Серия математическая. 2004. Т. 68, № 2. С. 3-22.

[48] Антонов Д.Ю. Интегрируемость мажорант сумм Фурье и расходимость рядов Фурье функций с ограничениями на интегральный

модуль непрерывности // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С.651-665.

[49] Антонов Н.Ю. О скорости роста последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье // Труды Института математики и механики. Екатеринбург; УрО РАН, 2005. Т. 11, № 2. С. 10-29.

[50] Антонов Н.Ю. О расходимости подпоследовательностей сумм Фурье функций с ограничениями на интегральный модуль непрерывности // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, № 1. С.12-26.

[51] Антонов Н.Ю. О сходимости почти всюду последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье /'/ Труды Института математики и механики. 2008. Т.14, №3. С. 3-18.

[52] Антонов Н.Ю. Расходящиеся почти всюду подпоследовательности сумм Фурье функций из лр{Ь) П Щ /./ Мат. заметки. 2009. Т.85, № 4 . С.502-515.

Подписано в почать 10.04.2009. Формат 00x84/16. Объем 2 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 73 Размножение с готового оригинал-макета в типографии УрО РАН 620219, г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 18.

Введение

§0.1.

§0.2.

§0.3.

Глава 1. Условия конечности мажорант последовательностей операторов и сходимость рядов Фурье

§ 1.1. Введение.

§ 1.2. Основная теорема

§ 1.3. Сходимость тригонометрических рядов Фурье и рядов

Фурье-Уолша.

§ 1.4. Оценки скорости роста сумм Фурье

Глава 2. Поведение сумм Фурье функций с ограничениями на Ь1 -модуль непрерывности

§ 2.1. Обозначения и формулировки используемых известных результатов

§ 2.2. О расходимости рядов Фурье функций из Щ

§2.3. Условия интегрируемости мажорант сумм Фурье.

§2.4. Вспомогательные предложения

§2.5.0 расходимости подпоследовательностей сумм Фурье функций с ограничениями на интегральный модуль непрерывности

§ 2.6. Расходящиеся почти всюду подпоследовательности сумм Фурье функций из <р(Ь) П Щ

Глава 3. Поведение последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье

§3.1. Введение.

§ 3.2. Вспомогательные утверждения.

§3.3. Основные леммы.

§ 3.4. Сходимость почти всюду последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье

§3.5.0 скорости роста последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье.

§0.1.

Пусть / — определенная на действительной оси 2тт -периодическая ве-щественнозначная интегрируемая по Лебегу на периоде функция, fc

7Г

7г

- J f(t) cos kt dt, к = 0,1,2. ж

7г

Ък =

7Г

J f(t) sin ktdt, к = 1,2 ., (0.1.1) 7г ее коэффициенты Фурье и оо

--h cos кх + Ьк sin кх) (0.1.2)

2 jfe=i тригонометрический ряд Фурье функции /. Как известно, п -ая частичная сумма Sn(f,x) ряда (0.1.2) может быть представлена в следующем виде: a If

5П(/, х) = + VVofc cos fea; + sin kx) = - / £>n(¿)/(z + , 2 pí эт./

A~i -7Г где sin(n + 1/2 )f nW 2 sin(í/2) ядро Дирихле. Определим также оо ak sin кх — bk cos кх) (0.1.3) k=1 сопряженный ряд ряда (0.1.2). Тогда n-ая частичная сумма Sn(f,x) ряда (0.1.3) представима в виде п

Sn(f, х) = sin кх — бд; cos kx) =

7Г ~ J Ai(i)/(®+ *)<&, 7Г где j, f , cos(t/2) - cos(n + l/2)t 2sin(i/2) сопряженное ядро Дирихле.

Примеры разложения некоторых элементарных функций в ряды по синусам или косинусам кратных дуг были известны еще в XVIII веке. Так разложение

7Г — X

-— = sin х + sin 2х + sm Зж + . упоминается в работах Л.Эйлера в 1755 году (в этом параграфе результаты, для которых не указана ссылка, цитируются по [15]). Представления функций тригонометрическими рядами получались у Эйлера и других математиков того времени с помощью различных методов, зависящих каждый раз от конкретной функции. Были, в частности, заимствованы методы, использовавшиеся при разложении функций в степенные ряды.

Идея о возможности представить в виде суммы тригонометрического ряда произвольную функцию впервые возникла, по-видимому, в 50-х годах XVIII столетия у Д.Бернулли в связи с исследованиями задачи о колебании струны. Основываясь на результатах экспериментов и руководствуясь физическими соображениями, Вернул ли заключил, что решение волнового уравнения д^у 9 д^у а2 2/(M)=2/(U) = 0, в общем случае может быть представлено в виде

Е°° irkat 7ткх Рк cos —-— sm —j—. fc=l

Отсюда, фактически, следовало, что произвольная 2-тг -периодическая функция f{x) может быть представлена в виде суммы ряда (0.1.2) с иекоторыми коэффициентами а^ , Ьк . Однако, Бернулли не смог указать способа, с помощью которого коэффициенты ряда могли бы быть найдены. За это Бернулли подвергся критике со стороны многих современных ему математиков, которые небезосновательно полагали, что невозможность определить коэффициенты ряда (0.1.2) лишают саму идею такого представления как практической ценности, так и теоретической значимости. Стоит заметить, что Л.Эйлер, являвшийся одним из критиков идеи Бернулли, позднее (в 1777 году) получил интегральное выражение коэффициентов суммы (сходящегося) тригонометрического ряда путем формального почленного интегрирования этого ряда, однако мысли о том, что с помощью такого способа можно получить коэффициенты разложения произвольной функции в ряд (0.1.2), то есть получить формулы (0.1.1), в работах Эйлера нет.

Идея о возможности представления произвольной функции в виде суммы ряда (0.1.2) - (0.1.1) принадлежит Ж.-Б.Фурье и содержится в его работе "Аналитическая теория тепла", представленной в 1807 году. Исследования Фурье в области тригонометрических рядов, как и исследования его предшественников, были продиктованы необходимостью решения конкретных физических, астрономических и других естественнонаучных задач. При этом математическая строгость получаемых результатов этих исследователей мало заботила.

Однако, в начале XIX века в анализе назрела необходимость более точного определения используемых понятий и более строгого обоснования как уже в большом количестве имевшихся старых, так и получаемых новых результатов.

В этой связи возник интерес уже к чисто математической постановке задачи о сходимости рядов Фурье: какие (как можно более общие) условия надо наложить на функцию, чтобы эта функция всюду на периоде представлялась своим рядом Фурье.

По-видимому, первый математически строго обоснованный факт, касающийся сходимости тригонометрических рядов Фурье, был получен в 1829 году Л.Дирихле. Результат Дирихле может быть сформулирован следующим образом: если определенная на отрезке [—7г, 7г] функция /(ж) непрерывна всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, и имеет конечное число точек максимума и минимума, то ее ряд Фурье (0.1.2) -(0.1.1) сходится в каждой точке х £ [—7Г, 7г] к полусумме левого и правого пределов функции в этой точке; в частности, если функция непрерывна в точке х , то З^/, ж) сходится к /(ж) . Дирихле был убежден в том, что это утверждение может быть распространено на произвольные непрерывные функции. Гипотезу о сходимости в каждой точке ряда Фурье произвольной непрерывной функции долгое время пытался подтвердить П.Дюбуа Реймон. В итоге он пришел к противоположному результату: существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в одной точке [28]. Дюбуа Реймон видел, что модернизация его метода позволяет строить функции с рядами Фурье, расходящимися в двух, трех, любом конечном числе точек и даже на всюду плотном множестве.

Появление в самом начале XX века меры и интеграла Лебега привело к появлению новых задач и новых возможностей при изучении рядов Фурье. Поскольку множества расходимости рядов Фурье функций, построенных методом Дюбуа Реймона имели лебегову меру нуль, то задачу о поточечной сходимости рядов Фурье непрерывных и в более общем случае суммируемых (то есть интегрируемых по Лебегу) на [0, 2-7г) функций, стало естественным переформулировать в следующем виде: какие условия нужно наложить на суммируемую функцию, чтобы ее ряд Фурье сходился почти всюду (то есть мера Лебега множества, где он не сходится, равна нулю).

Пусть ц) : [0,+оо) —[0,+оо) — неубывающая функция. Обозначим через ф(Ь) = </?(£) ([0,2тг)) множество всех измеримых по Лебегу 2тгпериодических функций / таких, что

2тг

J ip(\f(t)\)dt<oo. о

Естественность при рассмотрении рядов Фуръе использования класса Х2([0, 2тт)) сделала в 1900-х годах популярной следующую задачу об условиях сходимости рядов Фурье функций из L2 : найти как можно более медленно растущую неубывающую последовательность положительных чисел такую, чтобы из сходимости ряда оо

2wk(a2k + b2k) к=1 следовала сходимость ряда (0.1.2). Числа wk получили название множителей Вейля. Результаты в этой задаче последовательно получали П.Фату ( [29], в качестве множителей Вейля можно взять wk = к), Г.Вейль ( [55], wk = к*), Е.Гобсон ( [34], wk = ке, £ > 0), М.Планшерель ( [46], wk = log3 к ), Г.Харди ( [33], wk = log2 к ).

Г.Харди также принадлежит следующий результат о поведении на множестве полной меры сумм Фурье произвольных интегрируемых по Лебегу функций [33]: если / Е Ь([0, 2тт)) , то для почти всех х Е [0, 2п)

S„(/,s) = o(lnn). (0.1.4)

Заметим, что оценка (0.1.4), полученная в 1913 году, до сих пор не улучшена, и не доказана ее неулучшаемость (о современных результатах, связанных с (0.1.4) будет упомянуто ниже).

Пусть / Е L([0,2ir)) . Определим тригонометрически сопряженную к / функцию /. Положим

7Г = -— J f(x + t) ctg tdt, к где интеграл понимается в смысле главного значения, то есть как Нш^ ^ / + . Как хорошо известно, сопряженная функция / непосредственно связана с сопряженным рядом (0.1.3) функции / : если /(ж) существует для почти всех значений х Е [0, 27г) и / интегрируема по Лебегу, то ряд (0.1.3) является рядом Фурье функции f.

В 1915 году Н.Н.Лузин опубликовал свою диссертацию "Интеграл и тригонометрический ряд" [12] (см. [13]), где, в частности, рассматривал вопрос о существовании сопряженной функции. В [13, с.213-215] установлено, что если / Е Ь2([0, 27г)), то /(&) существует почти всюду и также принадлежит Ь2([0, 27г)). . Отсюда, как нетрудно видеть, следует, что для произвольной д Е £2([0, 27г)) интеграл тс о(х + а) — а(х — а) 7 .

-^-¿</а, (0.1.5)

7г определенный как lirn^ / , существует почти всюду и является функцией из L2([0,27t)) . Одним из основных результатов работы [12] является следующий критерий сходимости почти всюду ряда Фурье суммируемой с квадратом функции: для того, чтобы ряд Фурье функции / Е £2([0,2тг)) сходился почти всюду, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

7г f о(х + а) — а(х — а) , , lim -—^-L • cos тьа da = 0, (0.1.G) п->со J a 0

7г где g[x) = /(ж), а интеграл определен как lim f . Сравнивая (0.1.5) и s^+o е

0.1.6) и заметив, что интегралы в этих формулах отличаются ". лишь множителем cos па , который принимает положительные и отрицательные значения, равномерно распределяющиеся на области [0, 2-к] , когда п стремится к +оо ." [13, с.219], Лузин на основании этого выдвигает гипотезу о том, что ряд Фурье любой функции из £2([0, 2тг)) сходится почти всюду. То есть, согласно этой гипотезе, в задаче о множителях Вейля можно взять wk = 1 •

Возвращаясь к задаче об условиях существования сопряженной функции, напомним, что И.И.Привалов [16] обобщил сформулированный выше результат Лузина, доказав существование почти всюду сопряженной функции произвольной / G L([0,27r)) , а затем А.Н.Колмогоров [39] показал, что сопряженная функция f(x) любой суммируемой функции / удовлетворяет условию

2тг mes{.T G [0, 2тг) : |/»| > у} < - [ \f(i)\dt, у > 0.

У J о

Если же f £ Ьр([0, 27г)), р > 1, то / также принадлежит Lp{[0,27г)) (М.Рисс [48]).

В 1922 году А.Н.Колмогоров [38]. исследуя проблему Лузина, построил пример суммируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду (о дальнейших результатах в этом направлении см. далее). Как отмечено в [38], построенная функция не принадлежит классу L2([0,27t)). Результатом положительного характера в этой тематике в 20-е годы прошлого столетия явилась оценка, полученная А.Н.Колмогоровым и Г.А.Селиверстовым [41] и А.И.Плеснером [47]: если / Е L2([0,27r)), то = о ((lnn)*) п.в. (0.1.7)

Дж.Литтлвуд и Р.Пэли [45] обобщили оценку (0.1.7) на функции из классов £Р([0,2тг)), р > 1 : если / G Lp([0,2tî)), то

Sn(/,s) = o((lnn)p) п.в. (0.1.8)

Оценка (0.1.8) вплоть до сере/щны 60-х годов прошлого века оставалась наиболее сильным и общим результатом в "положительном" направлении

10 в изучении проблемы Лузина; не было даже известно, у всякой ли непрерывной функции ряд Фурье сходится почти всюду.

§0.2.

Справедливость гипотезы Лузина была установлена Л.Карлесоном в 1966 году. В работе [25] с помощью нового метода, были получены следующие результаты: a) если / € Ь( 1п+ £)1+5([0, 2тг)) , 6 > 0 , то о(1п1пп) п.в. здесь и далее для и > 0 будем полагать 1п+ и = + е) ); b) если / 6 2тг)) при р > 1, то

5П(/, х) = о(1п1п1пп) п.в. ; c) если / 6 Ь2([0, 2тг)) , то ряд Фурье функции / сходится почти всюду. Доказательство утверждения а) с подробным изложением первой части метода Карлесона имеется в работе Н.И.Черных [22]. Ч.Фефферманом [31] было предложено другое доказательство утверждения с). Подробное изложение этого доказательства дано в [11]. Недавно М.Лэйси и К.Тиле опубликовали [44] еще одно доказательство теоремы Карлесона (утверждения с)). Тем не менее, имеющиеся доказательства все-таки достаточно сложны как в техническом, так и в идейном плане, поэтому задача поиска более простого доказательства теоремы Карлесона и ее обобщений (о которых речь ниже) остается, на наш взгляд, по-прежнему актуальной.

П.Биллард [24], используя идеи Карлесона, перенес его метод на ряды Фурье по системе Уолша и доказал сходимость почти всюду ряда Фурье-Уолша произвольной функции из Ь2([0,1]) . Доказательство теоремы Бил-ларда, принадлежащее Р.Ханту [36], можно найти в книге [3, гл. 9, §9.2].

В 1968 году Р.Хант [35], развивая метод Карлссона, распространил утверждение о сходимости почти всюду тригонометрических рядов Фурье на функции из классов 27т)), р > 1, и даже для содержащего все эти классы класса L(ln+ L)2([0, 2тг)). Пусть

M(f,x) = 8vp\Sn(f,x)\, х G [0, 27г), п> 1 мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции / G £([0,27г)) . Обозначим через xf характеристическую функцию произвольного измеримого 27г -периодического множества F : il, xeF, xf(x) = <

О, xi F, через mes F — лебегову меру множества F П [0, 27г) . Основным результатом работы [35] является следующая оценка mes {х G [0, 2тг) : M(xf,x) > у} < (Вр)ру~р ■ mes F, (0.2.1) где у > 0 , 1 < р < оо , Вр < const • р2/(р — 1) . Из (0.2.1) Хант доказал, что

1) \\M(fr)\\p<Cp\\f\\p, 1<Р<оо, feLP([0,2тг));

2) ||М(/, -)|| 1 < С f |/(ж)|(1п+ \f(x)\)2dx + С, / G L(\n+ Ь)2([0, 27г));

7Г

3) mes {х G [0, 2тг) : M(f,x) > у} < Сехр (-pfc) , У > 0, / G L°°([0, 27Г)).

Из утверждений 2) и 1) следует сходимость почти всюду Sn(f,x) к f(x) для функций из классов L(ln+L)2([0, 27г)) и Zp([0, 2тт)) , р > 1 , соответственно.

В 1969 году П.Шёлин [49] перенес оценку (0.2.1) на случай мажоранты Mw(f, х) частичных сумм ряда Фурье по системе Уолша. Далее в этой работе Шёлин показал, что путем оптимального выбора числа р для каждого у в оценке (0.2.1) и аналогичной оценке для случая рядов Фурье-Уолша получается оценка mes {х Е А : M(xf,x) > у} < C^ln • mes .F, 0 < y < 1/e, (0.2.2) где С — абсолютная константа, в качестве M могут быть взяты как М(/, ж) — определенная выше мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, так и Ми f(x) — мажоранта частичных сумм ряда Уолша, а А — период [0, 27т) либо отрезок [0,1] соответственно. Приближая произвольные функции / линейными комбинациями характеристических функций и используя (0.2.2), Шёлин установил, что если / принадлежит классу L(ln+ L)(ln+ ln+ L) на периоде [0, 2тт) либо на отрезке [0,1], то тригонометрический ряд Фурье либо соответственно ряд Фурье-Уолша функции / сходится почти всюду.

В 1996 году автором [23] с использованием оценки (0.2.2) для тригонометрического случая было доказано, что более общее, чем в работе [49], условие / G L(ln+L)(ln+ln+ln+L)([0, 2-я-)) также является достаточным для сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье функции /. Отметим, что при доказательстве в [23] применена конструкция, позволяющая приближать, в частности, частичные суммы тригонометрического ряда Фурье функции / частичными суммами ряда Фурье линейных комбинаций характеристических функций YlakXFk> но при этом функция /, вообще говоря, функциями ]Г) a>kXFk не приближается. Именно за счет достигнутой с помощью этого большей свободы и удалось получить усиление результата Шёлина [49].

В настоящей диссертации метод, использованный в [23], переносится с частичных сумм тригонометрических рядов Фурье Sn(f,x) на случай по

13 еледовательноетей операторов более общего вида. Из полученной в главе 1 диссертации основной теоремы в качестве следствий вытекают утверждения о том, что если / Е Ь(Ы+ Ь)(Ы+ 1п+ 1п+ Ь) на [0, 2тт) или на [0,1], то тригонометрический ряд Фурье либо, соответственно, ряд Фурье - Уол-ша функции / сходятся почти всюду; как следствие основной теоремы получена также оценка скорости роста частичных сумм тригонометрических рядов Фурье функций из классов, промежуточных между Ь([0, 27т)) и Ь(1п+£)(1п+1п+1п+£)([0,2тг)).

Отметим, что опубликованный нами в работе [56] результат о сходимости почти всюду рядов Фурье - Уолша функций из 1/(1п+ Ь)(1п+ 1п+ 1п+ £)([0,1]) позднее был также получен П.Шелиным и Ф.Сориа [51].

Как уже отмечалось, А.Н.Колмогоровым [38] в 1922 году был построен пример функции из класса £([0, 2тг)) , тригонометрический ряд Фурье которой неограниченно расходится почти всюду. Чуть позднее им же [40] была показана возможность построения суммируемой функции с рядом Фурье, расходящимся в каждой точке. Эти примеры Колмогорова послужили идейной основой для получения в дальнейшем многими авторами различных примеров интегрируемых функций с наложенными на них дополнительными условиями и "нехорошим" поведением последовательностей частичных сумм их тригонометрических рядов Фурье, а также рядов Фурье по другим ортогональным системам. Полученные во второй половине 60-х годов прошлого столетия Карлесоном и его последователями результаты в задаче о нахождении как можно более широкого класса такого, что ряд Фурье каждой функции из этого класса сходится почти всюду, пробудили интерес исследователей к получению на основе колмогоровских примеров отрицательных результатов в этой задаче. В.И.Прохоренко [17] и, независимо, Й.Чень [27] построили функции из классов Ь(1п+ 1п+ Ь)е([0, 2тг)) ,

О < £ < 1, с рядами Фурье, расходящимися почти всюду. (Заметим, что в работе [17] сформулированный результат получен как следствие другого результата — о расходимости ряда Фурье функции с ограничением на интегральный модуль непрерывности; этот результат будет сформулирован позднее.) К.Тандори [53] доказал, что для любого 0 < е < 1 и любой последовательности положительных чисел An = o((lnlnn)1-e) существует функция / из класса L(ln+ln+L)e([0, 27г)) , такая что всюду на [0, 2и)

Sn(f,x)\ \Sn(f,x)\ м sup---=-boo, sup-г-= -fco. n Лn n

Отсюда, в частности, следует, что результат Прохоренко-Ченя можно усилить, заменив расходимость почти всюду на расходимость всюду. Позднее В.Тотиком [54, теорема 3] было доказано, что если в некотором классе </?(£)([О, 2тг)) существует функция с тригонометрическим рядом Фурье, расходящимся на множестве положительной меры, то в этом же классе найдется функция, ряд Фурье которой неограниченно расходится всюду. Кёрнер [43] несколько усилил результат работы Тандори [53] в части расходимости: если функция ф : [0,+оо) [0,+оо) удовлетворяет условию ф{и) = o(loglogn) при и —оо , то существует функция из класса Ьф(Ь)([0, 2тг)) с расходящимся всюду рядом Фурье. Другое доказательство этого результата Кёрнера имеется в [21].

Наилучший на сегодняшний день результат, касающийся расходимости на множестве положительной меры тригонометрических рядов Фурье функций из классов ц>(Ь)([0,2-к)) принадлежит С.В.Конягину [8]: если неубывающая функция ф : [0, -f оо) —> [0, -f оо) и последовательность {An} , An > 1, п = 1,2,., удовлетворяют условию ф{п)\п — о [^/Ып/ In In nj при п оо , то существует функция / € Ьф{Ь){[0, 27т)) такая, что r \Sn{f,x)\ lim sup -—^-— = оо п-¥ оо лп для всех х 6 [0, 27г) . Отсюда, в частности, вытекает следующее утверждение: для любой неубывающей функции 9? : [0, Н-оо) —»• [0, +оо) , удовлетворяющей условию ф{и) = о (иу/ 1п и/ 1п 1п и^ при и —»• оо , найдется функция из класса ср(Ь){[0,27т)) такая, что ее ряд Фурье неограниченно расходится всюду на [0,2тг) . Для любого класса <р(Ь)([0, 27г)) , "промежуточного" между Ь(1п+ 1п+ ([0, 2-к)) и

Ь(1п+ Ь)(\п+ 1п+ 1п+ Ь)([0, 2тг)) , ответ на вопрос, существует ли в таком классе функция с расходящимся на множестве положительной меры (а значит и всюду) рядом Фурье или для каждой функции из этого класса ее ряд Фурье сходится почти всюду, к настоящему времени неизвестен.

Наиболее сильный в настоящий момент результат, касающийся расходимости на множестве положительной меры рядов Фурье-Уолша, принадлежит С.В.Бочкареву [2]: если ф : [0,+оо) —> [0,+оо) — неубывающая функция, удовлетворяющая условию ф(и) = о и^ при и —ь сю , то существует функция / £ Ьф(Ь)([0,1]) , ряд Фурье-Уолша которой расходится всюду на [0,1] . Таким образом, "зазор" между наилучшими положительным и отрицательным результатами в случае рядов Уолша несколько меньше, чем в тригонометрическом случае.

Пусть / е Ь([0, 27г)) . Обозначим через модуль непрерывности функции / в метрике £([0,27г)):

2тг вир / ^{х + Ъ) - ¡(х)\<1х. h\<5J О

Пусть и : [0,+оо) —у [0,+со) — произвольный модуль непрерывности, то есть непрерывная, неубывающая, полуаддитивная, равная в нуле нулю функция (см., напр., [10, §7.1]). Определим множество Щ следующим образом:

Щ = {/ е Ц[0, 2тг)) : Ц/, 5)г = 0(ш(6))}.

Заметим, что если и из2 — два модуля непрерывности, и в некоторой окрестности нуля = 0(ш, то С Н"2 .

А.Зигмунд [5, т.2, гл. XIII, теорема (3.10)] доказал, что если си удовлетворяет условию & < оо о это условие эквивалентно сходимости ряда Хл^ ш(к~1)/к ), то тригонометрический ряд Фурье функции / б Щ сходится почти всюду. Несмотря на простоту доказательства ( с помощью теоремы Фубини тривиально показывается, что для удовлетворяющей условиям теоремы функции / почти всюду выполняется условие Дини о см. напр. [5, т.1, гл.2, п.2.6])), этот результат Зигмунда до сих пор не улучшен (в том смысле, что не распространен на более широкие классы Щ ), и не доказана его неулучшаемость.

Из результата Зигмунда, в частности, следует, что если модуль непрерывности ш удовлетворяет условию ш{8) = 0((1п(1/£))-1е:) , е > 0 , то ряд Фурье любой функции / € Щ сходится почти всюду. В связи с последним утверждением в [5, т.2, гл. XIII, с.258] была сформулирована проблема: останется ли утверждение верным при е — 0 ? Исследуя эту проблему Зигмунда, В.И.Прохоренко [17] построил пример функции ^ е Д[0,2тг)) такой, что и(Г,5)1 = О^Ып^/Д))"1) , и ее ряд Фурье расходится почти всюду. Отсюда с помощью одной теоремы вложения П.Л.Ульянова [20, теорема 2 (следствие 4)] Прохоренко получил уже упоминавшийся выше результат о существовании функции из класса £(1п+ 1п+ Ь)е([0,2тг)), 0 < е < 1, с расходящимся почти всюду рядом Фурье.

В настоящей диссертации в главе 2 получено значительное усиление первого из только что сформулированных результатов Прохоренко [17]. А именно, построен пример функции F с расходящимся почти всюду рядом Фурье и интегральным модулем непрерывности, удовлетворяющим условию со (F,5)! = О (yinln(l/<5)/ln(l/£)) . При этом наше доказательство существенно опирается на основную лемму работы [8].

Пусть Л = {Ап}^ — последовательность положительных чисел, / 6 L([0,27r)) . Положим

М(/, A>a0 = sup|5n(./>a;)l, *е[0,2тг). neN лп

В случае Лп = 1 , если ряд Фурье функции / сходится почти всюду, в частности, если / (Е Н" , где со удовлетворяет условию < оо , то мажоранта M(f,{l},x) почти всюду конечна. Для произвольной функции / Е L([0,27r)) конечные значения почти во всех точках принимает мажоранта М(/, {Inn}, х) . Это следует из оценки Г.Харди (0.1.4). Однако, функция М(/, (1п?г},ж) при этом может быть не интегрируемой: в [5, гл.ХШ, п.2] построен пример функции F 6 L([0,27r)), у которой M(F, {Inn},-) <£L.

В настоящей диссертации (в главе 2) рассматривается задача о наиболее общих условиях на модуль непрерывности со , достаточных для того, чтобы для всех / 6 Щ мажоранта М(/, А, •) была интегрируемой. Установлено (теорема 2.2), что при некоторых разумных условиях на последовательность Л = {Ап}^ условие

00 к=1 является достаточным для того, чтобы для каждой функции / £ Щ мажоранта М(/, Л, •) была интегрируема. Показано, что условие (0.2.3) при соответствующих условиях на Л является неулучшаемым (теорема 2.3):

18 если ряд в левой части (0.2.3) расходится, то существует функция F £ Н" такая, что мажоранта Л, •) не интегрируема.

Хорошо известно [39], что для произвольной функции / £ £([0, 27т)) и для 0 < £ < 1

2тг 2тг

J |5П(/,х) - ¡(х)\Ых 0, J 1£„(./» - /(х)\Ых 0 при п оо . о о

Отсюда следует, что тригонометрический ряд Фурье произвольной функции / 6 Ь([0, 2тг)) сходится по мере. Значит, последовательность частичных сумм ряда Фурье любой иитегрируемой функции имеет сходящуюся почти всюду подпоследовательность.

Однако, не существует такой возрастающей последовательности натуральных чисел {пк}^-1 , чтобы для любой / 6 Д[0,27г)) подпоследовательность х) сходилась бы почти всюду: для любой возрастающей последовательности {те^}^ С N найдется функция / £ Ь([0,27т)) такая, что 5Па.(/, х) расходится почти всюду [32] (всюду [54]). Недавно С.В.Конягин [9] усилил результат В.Тотика [54], показав, что для любой возрастающей последовательности с N и любой неубывающей функции </? : [0, оо) [0, оо) , удовлетворяющей условию <-р(и) — о(и\та.Ыи) , и оо , найдется функция Р £ <р(Ь) такая, что подпоследовательность 3Пк(Р,х) неограниченно расходится всюду

Поведение подпоследовательностей сумм Фурье, в частности, условия сходимости почти всюду подпоследовательностей сумм Фурье интегрируемых функций в терминах величин наилучших приближений этих функций тригонометрическими полиномами в пространстве £([0,27г)), изучались К.И.Осколковым [14]. Пусть Еп{}) — величина наилучшего приближения функции / тригонометрическими полиномами порядка не выше п в пространстве Ь([0,2тг)), — возрастающая последовательность натуральных чисел, ф(и) — положительная невозрастающая на (0,1] функция

19 такая, что 1 и оо. (0.2.4) иф{и) о

Тогда [14, теорема 2] для любой / £ £([0, 27г)) при почти всех х е [0, 27т) X) - /(х) = о (ЯПк (/^ (Я„4 (/)) 1п к).

В частности, если оо

ЕЕПкЦ) . к=1 к то подпоследовательность (/, х) сходится почти всюду, а если / — произвольная функция из Ь([0, 2тг)) , то

Япк(/,х) = о(\пк) п.в. (0.2.5)

Из сформулированных результатов работы [14] с помощью неравенства Джексона Еп(/) < Са;(/, 1/тг)х непосредственно вытекают следующие утверждения.

A) Пусть {пк}1}?^ — возрастающая последовательность натуральных чисел, ф(и) — положительная функция, невозрастающая на [0,1] и удовлетворяющая условию (0.2.4), — некоторый модуль непрерывности. Тогда для любой функции / £ Щ (/.«)-/(*) = "("(£) *("(£)) ь*) п.в.

B) Пусть возрастающая последовательность с N и модуль непрерывности ш удовлетворяют условию оо ш к к-1 оо.

Тогда для любой функции / £ Щ подпоследовательность 5Пд. (/, х) сходится почти всюду.

Отметим, что утверждение В) и оценка (0.2.5) в частном случае п^ = к превращаются соответственно в приводившийся выше результат Зигмунда [5, гл. XIII, теорема (3.10)] и классическую оценку Харди (0.1.4).

В настоящей диссертации (во второй главе) рассматривается задача о границах возможного усиления утверждений А) и В) в случае, когда последовательность {пд;}^ растет достаточно быстро, в частности, когда она лакунарная: существует р > 1 такое, что щ+i/rik > р , к 6 N . В этой же главе при некоторых условиях на функцию tp : [0, +оо) —)■ [0, +оо) и модуль непрерывности ш построен пример функции с расходящимся почти всюду тригонометрическим рядом Фурье и принадлежащей классам <p(L) и Щ одновременно (теорема 2.6). Это утверждение является усилением упоминавшегося выше результата С.В.Конягина [9].

Перейдем теперь к рассмотрению многомерного случая, точнее, к обзору результатов, касающихся поведения на множестве полной меры кратных тригонометрических рядов Фурье. Будем в основном придерживаться обозначений, принятых в [4].

Пусть d — натуральное число, Zd — целочисленная решетка в M.d, к = (кг, .,kd)eZd, х = (жь .,xd) е Rd , кх = kxxi + . + kdxd, / — определенная на Rd , 2-к -периодическая по каждой переменной и интегрируемая по Лебегу на [0, 2rc)d функция. Ряд

X] akelkx, (0.2.6) kezd где i J f(t)eiktdt,

-Tr,1i)d называется кратным тригонометрическим рядом Фурье функции / .

Для целочисленного вектора n = (ni, п-2, ■., nd) с неотрицательными координатами п^ , 1 < у < (I, сумму

5„(/,х)= ^ аке гкх будем называть п-ой прямоугольной частичной суммой ряда (0.2.6) или п -ой прямоугольной суммой Фурье.

Пусть В — некоторое непустое подмножество множества первых с1 натуральных чисел: В = {г\, . , Г[} с {1,. . ., с1] . Ряд называется сопряженным к ряду (0.2.6) по переменным, номера которых входят во множество В , или В -сопряженным, а п-я прямоугольная частичная сумма 5П),д(/,х) ряда (0.2.7) определяется аналогично п-й прямоугольной частичной сумме ряда (0.2.6). При (I = 1 ряды (0.2.6) и (0.2.7) совпадают соответственно с обычным одномерным тригонометрическим рядом Фурье (0.1.2) 2тт -периодической функции и его сопряженным рядом (0.1.3). В случае, когда множество В пустое, будем считать, что ряд (0.2.7) совпадает с рядом (0.2.6). Вообще, всюду далее произведение П , в котором множество сомножителей пусто, будем по определению считать равным единице.

Пусть с1 > 2 . Ряд (0.2.6) (ряд (0.2.7)) называется сходящимся по кубам (в случае <1 = 2 — по квадратам) в точке х 6 [0, 27г)^, если последовательность кубических частичных сумм (то есть последовательность х) = 5П(/, х) ( х) = 5„;5(/, х)), где п = (п, п,., п)) имеет предел при п со .

Пусть (р : [0, +оо) —> [0, +оо) — неубывающая функция. Обозначим, как и в одномерном случае, через </?(£)([0,2^)^) множество всех определенных на множестве [0, 2тт)с1 и измеримых по Лебегу функций / , удо

0.2.7)

7=1 влетворяющих условию

I <р(\№\)(И <оо.

0,2тг)'г

Сходимость почти всюду по квадратам рядов Фурье функций / £ £2([0, 2тг)2) была установлена Н.Р.Тевзадзе [18]. Ч.Фефферман [30] распространил этот результат на функции / Е Ьр([0, , р > 1 , с? > 2 , а затем П.Шёлин [50] доказал, что если функция / принадлежит классу 1/(1п+ Ь)й( 1п+ 1п+ Ь)([0, , то ее ряд Фурье сходится по кубам почти всюду.

Наилучший на сегодня результат, касающийся расходимости по кубам на множестве положительной меры кратных рядов Фурье функций из </?(£)([0, 2-кУ) , с/ > 2 , также, как и в одномерном случае, принадлежит С.В.Конягину [42]: для любой функции <р(и) = о(гг(1п1п1пи) при и —ь оо существует функция / £ ср(Ь)([0,27г)а) с расходящимся всюду по кубам рядом Фурье.

В настоящей диссертации (в главе 3) рассматриваются последовательности частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье (кратных прямоугольных сумм Фурье) несколько более общего вида, чем кубические, а именно, последовательности 5П;,(/, х) такие, что векторы щ = (п^, ., п^) удовлетворяют условию

•п?к = а5тк + 0{1), /сем, 1<3<(1, (0.2.8) где а = («1,., а^ — вектор с положительными координатами, а {тк}&=1 ~~ бесконечно большая последовательность натуральных чисел. Доказана теорема, позволяющая переносить результаты о сходимости почти всюду одномерных рядов Фурье функций из классов <£>(С)([0, 2ж)) на случай сходимости последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье вида (0.2.8) для функций из классов (/э(£)(1п+ Ь)сг1([0,2тг)(1) . Отсюда

23 и из нашего результата [23] о сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье любой функции из класса Ь(1п+ 1/)(1п+ 1п+ 1п+ 2у)([0, 2тг)) вытекает сходимость почти всюду последовательностей (/, х) с вида (0.2.8) для функций из Ь(Ы+ £)<*(1п+ 1п+ 1п+ £)([0, 2тг)^) . В частном случае кубических частичных сумм это является усилением результата Шёлина [50].

В третьей главе диссертации также рассматривается задача о скорости роста на множестве полной меры последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье. Г.А.Карагулян [6, следствие 4] получил следующий аналог оценки Осколкова (0.2.5) для двумерного случая: для любой последовательности щ = (п\, п|) и для каждой функции / £ Ып+ Ь ([0, 2-к)2) х) = о(1п2 к) п.в. (0.2.9)

Нами показано, что в случае, когда отношения координат векторов щ близки к постоянным по к, точнее, когда щ. удовлетворяет (0.2.8), оценка (0.2.9) может быть улучшена: для любой функции / £ ЦЫ+ ЬУ^ЦО^ттУ) , с/еМ, х) = о(1п к) п.в.

Отметим в заключение, что описанные результаты главы 3 доказаны одновременно и для (кратных) рядов Фурье, и для всех их сопряженных рядов.

§0.3.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации по главам.

1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ. 1961. 936 с.

2. Бочкарев C.B. Всюду расходящиеся ряды Фурье по системе Уолша и мультипликативным системам // Успехи мат. паук. 2004. Т.59, №1. С.103-124.

3. Голубов Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. М.: Наука. 1987. 344 с.4J Дьяченко М.И. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов // Успехи мат. наук. 1992. Т.47, №5. С.97-162.

4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды; в 2 т. М.: Мир. 1965. Т.1. 616 с. Т.2. 538 с.

5. Карагулян Г. А. Преобразование Гильберта и экспоненциальные интегральные оценки прямоугольных частичных сумм двойных рядов Фурье // Мат. сборник. 1996. Т. 187, № 3. С.55-74.7j Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999. 560 с.

6. Конягин C.B. О расходимости всюду тригорюметрических рядов Фурье // Мат. сборник. 2000. Т. 191, № 1. С. 103-126.

7. Конягин С. В. О расходимости всюду подпоследовательностей частных сумм тригонометрических рядов Фурье // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т.11, № 2. С. 112-119.

8. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976. 320 с.

9. Лукашенко Т.П. Сходимость почти всюду рядов Фурье функций, суммируемых с квадратом, М.: изд-во МГУ, 1978. 109 с.

10. Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. М. 1915. 242с.

11. Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. M.-JI.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1951. 550 с.

12. Осколков К.И. Подпоследовательности сумм Фурье интегрируемых функций // Труды МИАН. Т. 167. 1985. С. 239-260.

13. Паплаускас А.Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. М.: Наука, 1966. 276 с.

14. Привалов И.И. Интеграл Коши, Саратов, 1919, 96 с.

15. Прохоренко В.И. О расходящихся рядах Фурье // Мат. сборник. 1968. Т. 75 (117), № 2. С. 185-198.

16. Тевзадзе Н.Р. О сходимости двойного ряда Фурье функции, суммируемой с квадратом // Сообщ. АН ГССР. 1970. Т. 58, № 2. С. 277-279.

17. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // Мат. сборник. 1964. Т. 63 (105), № 3. С. 356-391.

18. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций Н// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т. 32, № 3. С. 649-686.

19. Хеладзе Ш. В. О расходимости всюду рядов Фурье функций из класса Lip(L) // Труды Тбилисского математического института. Т. 89. 1988 . С.51-59.

20. Черных Н.И. О поведении частичных сумм тригонометрических рядов Фурье // Успехи мат. наук. 1968. Т.23, №6. С.3-50.

21. Antonov N.Yu. Convergence of Fourier scries // East Journal on Approximations. 1996. V.2, № 2. P. 187-196.

22. Billard P. Sur la covergence presque partout des séries de Fourier Walsh des fonctions de l'espace L2(0,1) . Studia Math! 1967. V.28. P. 363-388.

23. Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta math. 1966. V.116, № 1-2. P.135-157.

24. Chen Y.M. On Kolmogoroff's divergent Fourier series // Archiv der Mathematik. 1963. V. 14, № 2. P. 116-119.

25. Chen Y.M. An almost ewerywhere divergent Fourier series of class L(log+ log+ L)1e // J. London Math. Soc. 1969. V. 44. P. 643-654.

26. Du Bois-Reymond P. Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Fourierschen Darstellungsformen // Abhandl. Akad. Wissensch., München. 1876, V.12. P. 1-103.

27. Fatou P. Séries trigonométriques et séries de Taylor // Acta. Math. 1906. V.30. P.335-400.

28. Fefferman C. On the convergence of multiple Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 77, № 5. P. 744-745.

29. Fefferman C. Pointwise convergence of Fourier series // Ann. Math. 1973. V.98. P.551-571.

30. Gosselin R. P. On the divergence of Fourier series // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V.9, № 2. P. 278-282.

31. Hardy G.H. On the summability of Fourier series // Proc. London Math. Soc. 1913. V.12. P.365-372.

32. Hobson E.W. On the convergence of series of orthogonal functions // Proc. London Math. Soc. 1913. V.12. P.297-308.

33. Hunt R.A. On the convergence of Fourier series // Orthogonal expansions and their continuous analogues. SIU Press, Carbondale, Illinois. 1968. P.235-255.

34. Hunt R.A. Almost everywhere convergence of Walsh-Fourier series of L2 functions // Actes Congr. int. mathématiciens, 2, 1970. Paris. 1971. P.655-661.

35. Hunt R.A. An estimate of the conjugate function // Stud. Math. 1972. V.44. P.371-376.

36. Kolmogoroff A. Une série de Fourier Lebesgue divergente preque partout // Fund. math. 1923. V. 4. P. 324-328.

37. Kolmogoroff A. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier // Fund. math. 1925 V.7. P.24-29.

38. Kolmogoroff A. Une série de Fourier Lebesgue divergente partout // C. r. Acad. sei. Paris. 1926. V. 183. P. 1327-1329.

39. Kolmogoroff A., Seliverstoff G. Sur la convergence des séries de Fourier // Rend. Acad. Naz. Lincei. 1926. V.3. P.307-310.

40. Konyagin S.V. On divergence of trigonometric Fourier series over cubes // Acta Sei. Math. (Szeged). 1995. V.61. P.305-329.

41. Körner T.W. Ewerywhere divergent Fourier series // Colloq. Math. 1981. V. 45, № 1. P. 103-118.

42. Lacey M., Thiele C. A proof of boundedness of the Carlcson operator // Mathematical Research Letters. 2000. V.7. P. 361-370.

43. Littlewood J.E., Paley R.E.A.C. Theorems on Fourier series and power series // (1) Journal London Math. Soc. 1931. V.6. P. 230-233. (11) Proc. London Math. Soc. 1936. V.42. P.52-89, (111) Proc. London Math. Soc. 1937. V.43. P.105-126.

44. Planclierel M. Sur la convergence des séries de fonctions ortogonales // C. r. Acad. sei. Paris. 1913. V.157. P.539-541.

45. Plessner A. Uber Konvergenz von trigonometrischen Riehen // Journal für reine und angew. Math. 1926. V.155. P.15-25.

46. Riesz M. Sur les fonctions conjuguées // Mathematische Zeitschrift. 1927. V.27. P.218-244.

47. Sjölin P. An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh-Fourier series // Arkiv för mat. 1969. V.7. P.551-570.

48. Sjölin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv för mat. 1971. V. 9,№ 1. P. 65-90.

49. Sjölin P., Soria F. Remarks on a theorem by N.Yu.Antonov // Studia math. 2003. V.158. № 1. P.79-96.

50. Stein E.M. On limits of sequences of operators /'/ Annals of Math. 1961. V.74, № 1. P.140-170.

51. Tandori K. Ein Divergenzsats für Fourierreihen // Acta Sei. math. 1969. V. 30. P. 43-48.

52. Totik V. On the divergence of Fourier series// Publ. Math. (Debrecen). 1982. V.29, № 3-4. P. 251-264.

53. Weyl H. Über die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunctionen fortschreiten // Math. Ann. 1909. V.67. P.225-245.

54. Antonov N.Yu. Conditions for the finiteness of majorants for sequences of operators and convergence of Fourier series // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl.l. 2001. P. S1-S19.

55. Антонов Н.Ю. О сходимости почти всюду по кубам кратных тригонометрических рядов Фурье // Известия РАН. Серия математическая. 2004. Т. 68, № 2. С. 3-22.

56. Антонов Н. Ю. Интегрируемость мажорант сумм Фурье и расходимость рядов Фурье функции с ограничениями на интегральный модуль непрерывности // Матем. заметки. 2004. Т. 76. № 5. С.651-665.

57. Антонов Н.Ю. О скорости роста последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье // Труды Института математики и механики. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. Т. 11, № 2. С. 10-29.

58. Антонов Н. Ю. О расходимости подпоследовательностей сумм Фурье функций с ограничениями на интегральны и модуль непрерывности // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, № 1. С.12-26.

59. Антонов Н.Ю. О сходимости почти всюду последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье // Труды Института математики и механики. 2008. Т.14, №3. С. 3-18.

60. Антонов Н.Ю. Расходящиеся почти всюду подпоследовательности сумм Фурье функций из ip{L) ПЩ // Мат. заметки. 2009. Т.85, №4. С. 502-515.