О кратных тригонометрических и ортогональных рядах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ФУНКЦИИ ЛЕБЕГА КРАТНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОРТОНОРМИРОВАН

НЫХ СИСТЕМ.

§ I. Числовые неравенства

§ 2. Функции Лебега кратных ограниченных ортонормированных систем

ГЛАВА П. АБСОЛЮТНАЯ И БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ КРАТНЫХ РЯДОВ

ХААРА.

§ I. О множителях Вейля для безусловной сходимости кратных рядов Хаара.

§ 2. Абсолютная сходимость кратных рядов Хаара

ГЛАВА Ш. БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ КРАТНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ И

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ.

§ I. Безусловная сходимость кратных функциональных рядов.

§ 2. О безусловной сходимости кратных тригонометрических рядов.

0. В настоящее время в теории ортогональных рядов ведутся интенсивные и плодотворные исследования. Это вызвано как чисто теоретическими интересами, так и важностью приложений в физике, вычислительной математике, теории вероятностей, теории информации. Все большее внимание уделяется и изучению кратных ортогональных рядов. Они обнаруживают ряд интересных свойств, которые не всегда наблюдаются в одномерном случае. Тематика, связанная с изучением кратных ортогональных рядов, актуальна.

Диссертация состоит из трех глав, которые, в свою очередь, подразделяются на параграфы. Нумерация теорем производится внутри параграфов: номер главы, номер параграфа, номер теоремы. Это же касается следствий, лемм, замечаний. Каждый из последующих пунктов введения относится к определенной главе настоящей работы и содержит, в частности, краткий обзор основных утверждений соответствующей главы. Определения всех тех понятий и те обозначения, которые встречаются в формулировках теорем,-содержатся в основном тексте диссертации (см. стр. 21,29,35,46,78 ) и во избежание повторений и перегрузки введения мы не будем приводить их здесь.

1. Оценка снизу функций Лебега (см. [9], стр. 180; [l9] , стр. 4) ограниченных в совокупности орт©нормированных систем была впервые получена А.М.Олевским [l2] в 1966 году. В 1975 году С.В.Бочкарев [б] доказал, что для функций Лебега Lyi^ произвольной ограниченной в совокупности ортонормированной системы функций, определенных на СРД1 , справедлива оценка

В работе [ю] 1978 года Б.С.Кашину удалось существенно упростить известные до того доказательства этого результата. Им замечено, что оценка (I) есть следствие следующего числового неравенства: для любых действительных чисел Л

П.-1 1ги

И1А0О I й„|

-К к ^ к. Ууь

Уп- 1 й, с о. fc.~i.-H

С-О

ЧН \

1-1

В первом параграфе первой главы настоящей работы доказывается, в частности, справедливость следующего предложения.

Теорема 1.1.1. Для любого набора действительных чисел и любого I £ (Л)00) справедливо неравенство адхДоЛ М

УУ\~ 1

VI-! К

С-0 ^-¿>1 О

-I г

2) где С£>0 зависит только от £ . Далее показано, что полученная для С& оценка С^ ~ ц ^ не может быть улучшена по порядку при £ —^ 1 + и рассмотрено предельное неравенство с г-4.

Теорема 1.2.1 второго параграфа распространяет, в некотором смысле, неравенство (2) на случай кратных последовательностей. Из нее выводится оценка снизу для функций Лебега кратных ограниченных в совокупности ортонормированных систем. Именно, имеет место

Теорема 1.2.2. Пусть ~ (¡[-кратная ортонормированная система на [0,11^ , ограниченная в совокупноети. Тогда при К е N справедливо неравенство ^ (-Ь) > Ж Еь^ » , а С и с' - положительные действительные числа.

2. Пусть ~ ортонормированная система Хаара на

10,1] (см. [1], стр. 54; [9], стр. 57). Вопрос о множителях Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по системе исслеД°ван П.Л.Ульяновым [15].

В первом параграфе второй главы настоящей работы изучается аналогичный вопрос для кратных рядов Хаара. Именно, доказана следующая

Теорема 2.1.1. Для того, чтобы возрастающая неотрицательная последовательность СОО^) ) была множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по с1--кратной системе Хаара, необходимо и достаточно выполнение условия

1 .

С оо • А

Пусть АА обозначает множество всех монотонно убывающих неотрицательных последовательностей, а Д - множество всех последовательностей » Для каздой из которых найдется такое С >/1 , что им !ск1 ^ е-тлл1с,( т,0,1,.

В работе [16] П.Л.Ульянов изучал, в частности, условия абсолютной и безусловной сходимости рядов Хаара с последовательностями коэффициентов из классов А и А.

Понятие монотонности, а также аналоги классов А и А для кратных последовательностей можно определить по-разному. Во втором параграфе рассматриваются классы Д^Д^Д^и Д^ (см. стр. 35,46 ) ¿-кратных последовательностей, а вместе с ¿-кратной последовательностью (X ^ (^к)^(^ и класс Р((Х) некоторых из ее перестановок (см. стр. 35 ). Для кратных рядов Хаара с последовательностями коэффициентов из этих классов исследуются, в частности, условия абсолютной сходимости почти всюду. Приведем наиболее характерные из утверждений этого параграфа^

Теорема 2.2.1. Пусть £ А^ и ^(Д00).

Для того, чтобы ¿-кратный ряд а оС

3)

Юе сходился почти всюду на [ОД] необходимо и достаточно условие

1 сил Л К

ОС оо ■

О)

Теорема 2.2.2. Пусть (ак)ке1/ € А^ , <*€(0,оо).

Тогда для сходимости почти всюду на [ОД] ряда (3) необходимо и достаточно, чтобы для любого ^ £(0Д) выполнялось условие

1а/ оо

Т е о р е м а 2.2.3. Пусть последовательность > (А 05) * т°гда для того, чтобы ряд (3) сходился почти всюду на рц]^для любой последовательности (Дк)^^ из необходимо и достаточно существование такой последовательности £ ^ »'ЧТО 0 < < I } к ^ и 00 • о п^сг^бк-а^н"] Пс»о

Теоремы 2.2.2-2.2.5 этого параграфа, как нам представляется, являются новыми и в случае однократных рядов .

3. Известны различные ряды сходимости кратных рядов (см. [1в], стр. 455; [в], стр. 451). Соответственно по-разному можно определять понятие безусловной сходимости п.в. кратных функциональных рядов (например, безусловная сходимость п.в. по Прингсхейму, безусловная -сходимость п.в. и др.). В § I главы Ш исследуется связь между некоторыми из таких видов безусловной сходимости. Справедлива следующая

Теорема 3.1.1. Пусть Л=1 . ({-кратный ((!>£) РЗД измеримых на ^ функций р>е

-8) безусловно Д-сходится почти всюду (по мере) на измеримом множестве Е^К^ в том и только в том случае, когда на Е сходится почти всюду (по мере) всякий (однократный) ряд, получающийся из него в результате нумерации членов в однократную последовательность.

Теорема 3.1.1 позволяет убедиться в справедливости для кратных рядов теоремы Орлича [20] о безусловной сходимости. Именно, имеет место

Теорема 3.1.2. Если ¿-кратный (({>£,) ряд Р безсуловно сК-сходится (ЛМ) по мере на измеримом множестве Е с. » то р 1 2 х) < 00 Р для почти всех X £ Е •

Из приведенного утверждения, в частности, вытекает (см. следствие 3.1.1), что для безусловной сходимости почти всюду

Л-кратного тригонометрического ряда Фурье функции ^ ^ необходимо, чтобы она принадлежала классу |Д-0 йлД^ • Достаточные для безусловной сходимости почти всюду однократных тригонометрических рядов Фурье получены П.Л.Ульяновым [14]. Теорема 3.2.2 третьего параграфа содержит один такой признак для кратных тригонометрических рядов Фурье. Приведем ее (по поводу обозначений см. стр.78-80 ). См. стр.80

Теорема 3.2.2. Если 6 Ь [¡о^згЗ^ и некотоРом £>0 для всех выполнено соотношение

Р I и* Чсо , сод/ то (1-кратный тригонометрический ряд Фурье функции .р безусловно сходится почти всюду на С0,йл3^ по Прингсхейму.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2-4], Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, члену-корреспонденту Академии наук Грузинской ССР, профессору Л.В.Жижиашвили за постоянное внимание на протяжении всего времени работы над диссертацией.

1. Алексич Г., Проблемы сходимости ортогональных рядов, ИЛ, M., 1963.

2. Бареладзе Г.П., О неравенстве Б.С.Кашина, Сообщения АН ГССР, 101, tè 2, 1981, 301-303.

3. Бареладзе Г.П., Об абсолютной и безусловной сходимости кратных рядов по системе Хаара, Сообщения АН ГССР, III, № I, 1983, 21-24.

4. Бареладзе Г.П., О безусловной сходимости кратных рядов, Сообщения АН ГССР, 112, № 3, 1983, 497-499.

5. Бочкарев C.B., Логарифмический рост средних арифметических от функций Лебега ограниченных ортонормированных систем, Докл. АН СССР, 223, № I, 1975, 16-19.

6. Гецадзе Р.Д., 0 расходимости ортогональных рядов Фурье, Некоторые вопросы теории функции, Изд-во Тбилисск. гос. ун-та, Тбилиси, 1979, I2I-I69.

7. Жижиашвили Л.В., Сопряженные функции и тригонометрические ряды, Изд-во Тбилисск. гос. ун-та, Тбилиси, 1969.

8. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 2, "№р", М., 1965.

9. Качмак С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, Физмат-шз, M., 1958.

10. Кашин Б.С., Замечания об оценке функций Лебега ортонормированных систем, Матем. сб., 106 (148), № 3 (7), 1978, 380-385.

11. Никишин Е.М., Ульянов П.Л., Об абсолютной и безусловной сходимости, Успехи матем. наук, 22, £ 3, 1967, 240-242.

12. Олевский A.M., Ряды Фурье непрерывных функций по полным ор-тоноршльным системам, Известия АН СССР, Сер. матем., 30, 1966, 387-432.

13. Панджакидзе Ш.П., 0 безусловной сходимости двойных ортогональных рядов, Сообщения АН ГССР, 38, të 3, 1965, 521-522.

14. Ульянов П.Л., О рядах по переставленной тригонометрической системе, Известия АН СССР, Сер. матем., 22, № 4, 1958, 515542.

15. Ульянов П.Л., 0 множителях Вейля для безусловной сходимости, Матем. сб., 60, & I, 1963 , 39-62.

16. Ульянов П.Л., 0 рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами, Известия АН СССР, Сер. матем., 1964, 28, № 4, 925950.

17. Ульянов П.Л., 0 некоторых эквивалентных условиях сходимости рядов и интегралов, Успехи матем. наук, 8, № 6, 1953, I33-I4I.

18. Челидзе В.Г., Некоторые вопросы теории двойных рядов, Изд. Уханьского ун-та (Китай), 1958.

19. Olevskii A.M., Fourier sériés with Respect to General orthogonal systems, Berlin, Springer-Verlag, 1975.

20. Orlicz W., Über die Divergenz von allgemeine Orthogonalreihen, Studia Math., 4, 1933, 27-32.