Teopемы представления и единственности по. кратной системе Уолша тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

•с Г Ъ Ч а "и 1) П 5 й и 1) 2, и и и Т, и и Р и "и

УЖ 517.51 ■иичииипоиъ 1!Ц(г-'и игсищпзиь

"иЬрJUí^Jlíи tfliaii.ni.iu¿¡ЬпрЬьГЪЬр дип fli.ni.2b

Ц'щиЬи^члги.^ 01.01.01 - ¿ш^Мшкф^иН^шЪ

чфс^^ш- 1Ги!УЬиГип^^ш^иЪ q[1иnt.[JJnt'uVlbp{l [ЗЬ^ЬщЬщф

и и Ч и и Ч Ь г 13 Г И И II 1396[2.

ЕРЕВАНСКИЙ ГЮДО СТБЖчЫП УНИВЕРСИТЕТ

' На правах рукопксз • УДК 517.51 НАВАСАРД® КАРЕН АРШ/УУЙСОВИЧ

í

Теорош представления и единственности по . краткой системе Уодша

Специальность - 01.01.01 - математический анализ "

АВТОРЕФЕРАТ диссортащи на соискание ученой степени кандидата физико-математических 1,аук

I

I . ■

I

1' Е ? 3 В А Н -1595 г. I

Работа выполнена на кафедре теории функций Ереванского государственного университета,

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических

наук, профессор Скворцов В.А.

- кандидат физико-математических наук, доцент Бахшецян A.B.

-Ведущая организация - Институт математики HAH Республики

Армения

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Геворкян Г.Г.

Защита диссертации состоится " " LU-OirU%. jggg в " /5~ " -часов на заседании специализированного совета 0050 цри Ереванском государственном университете по адресу: г.Ереван-49, ул.Ал.Манукяна, I.

С диссертацией можно ознакомиться в Библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан " " 1995 г,

Ученый секретарь споцишгазировтшого сойота кандидат физико-матаматичосюи наук, доцент •

. ■ У^\7~ттмт т.н." '

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАВДШ

Актуальность тот. В теории ортогональных рядов вопросам продстаплоипя и одинстгюипосги пгосвяпюпо много работ. Эта тематика, начатая классическими исследованиями Г.Кантора, Ш.Е. Волло-Пуссоип, Ii.II.Лунина, Д.Е.Моишогл и других, п настоящее время активно разрабатывается во многих иаучних центрах.

Rum устанопдони пошго ватшио теореми единственности как .для тригонометрической системы, так и для систем Хаара и Уолиа (А.Зигмунд, II.К.Бара, А.Ра!!;кан, В.Шапиро, В.А.Скворттов, A.A. Талалян, Ф.Г.Арутганян, Ш.Тстунангокли, Г.Г.Геворкян и др.).

С пятидесятых годов изучаются тагам вопросы единственности дет рядов с быстро убьгвашдаи коэфТщиенташ (О.С.11вашев-!<5у-сатов, Т.У.Кернер, Ф.Г.Арутинян, Н.Б.Погосян и др.).

Долью реферируемо!* работа является исследование кратных рядов Уолта с допустимо бистро убывающие коэффициентами.

Научная новизна. Вез результаты диссертации являются новыми.

Установлено, что если последовательность t^ -¿,. у О к е /V, к >-1, монотонно убывает по каждому индексу n- > i^Li к, и JL ¿д- = то существует кратный

нуль ряд „ CL- VV- (хЛ по системе Уоляа, коэффициенты

пС-Лг п '

которого удовлетворяют неравенствам ■

Доказано, что для любой последовательности , с

вышеуказанными свойствами существует функция tfr^Q ^r[0,i)

такая, что ее ряд Фурье по кратной системе Уолза является-уни-версальним относительно знаков, а его коэфТтшентн & удовлетворяют неравенствам J CL- | < .

Доказаны такав теоремы для множеств относительной единственности для кратных рядов Уолиа.

Методика исследования опирается на построение полиномов по системе Уолша с заданным спектром и "хоропо"агтроксимирую-щиэ характеристическую функцию двоичного нуба. При этом применяются также обще методы метрической' теории (функций. •

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты предстазлягот теоретический интерес.-Результаты и методы работы могут найти применение при изучении аналогичных

проблем для других конкретных ортогональных рядов.

Апробация работа. Результаты диссертации докладывались на семинарах А.А.Талаляна, Н.У.Аракеляна и Г.Г.Геворкяна.'

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работу

Объем работы. Диссертационная работа изложена на 90 страницах, состоит из пята параграфов и библиографии. Библиография содержит 49 наименований.

Содержание работы

Работа состоит из пяти параграфов. В первом параграфе дается 1фаткий обзор ранее подученных результатов и приводятся формулировки доказанных автором теорем.

Во втором параграфе приводятся некоторые известные свойства системы Уолша в нумерации Пели и доказываются основные леммы, необходимые для доказательства результатов автора.

Пусть } ортонормированная система. Напомним, что

множество.Е называется множеством единственности или I/ -множеством, если всякий ряд

. ' .¿аДСО ш

и = 0

сходящийся к нулю, всюду вне Е, имеет все коэффициенты,равные нулю.

Если множество £ не является (./ -множеством, то мы будем его называть -множеством. Существование ■М -множества моры нуль для тригонометрической системы доказано Д.Е. Меньшовым в 1916 г. (см. [I] ).

Напомним, что ряд (I) называется нуль-рядом по системе

{Ч.аН- если П.в. и X ¡а„1>0.

■ ^^Z С п-о

В работах разных авторов был рассмотрен вопрос о том, с какой скоростью могут стремиться к нулю коэффициенты тригонометрических нуль-рядов. В связи с этим П.Л.Ульянов поставил следующую проблему (см. [2~\):

Осхэ ^

И Г. 6 ^^ Тогда существует >1-0 ' и

лй нуль-ряд по тригонометрической системе, коэффициенты которого не превосходят ?

• Эта проблема получила положительный ответ в работах [з],-[б] , Доказана слэдувдая

Теорема 3.1."Пусть СЛ 0- и 21 ¿„--^^ . Тог- •

<-=» . ^ Ь-С

да существует ряд 21 Л., в'" - , который поста всюду схо- .

♦л - -

датся к нулю, jf |«J>0 и |ü„já¿ n-Q ±[ ±Л,....

ini * í *

Подобные вопросы для систем -Хаара и Уолша были рассмотрены в работах [ б].- [8 ] .

В связи с выпесказанными результатами Г.Г.Геворкян рассматривал следующую задачу (см.[9~1 ).

Для заданной последовательности 0, с условием

21 - * с>о. построить множество

П=0

удовлетворяющее следующим условиям:

1. Существует ряд JÉ1 Q.„6.Lhi » который сходится

к нулю всюду вне Е. , а коэффициенты ряда удовлетворяют условиям: zjaj>0, laj<¿lnl} .

2, Если 2. О вспду-вно множества Е , то все равны нулю.

В том случае, когда последовательность {é-n} удовлетворяет условию Луул W (í-n/¿¿n) <í£ в [9] дается решение

И"»

этой задачи для тригонометрической системы. В общем случае задача до сих пор остается нерешенным. Для си с теш Уолша дока за-. на следующая

Теорема 3.2. (Г.Г.Геворкян [9*] ). Пусть О и

¿ - v ^ . Тогда существует множество Е о С 0,11,

п = 0 '

/1Е = О, такоо, что

/ v

1. Существует ряд с коэффициента*® •

«г о

<£„( который всюду вне Е- сходится к нулю и

L-O

2. Если = И ряд 22 сходит-

у н -- О

ся к нулю всюду вне £ , за исключением, бить мояет, некоторого счетного множества, то {Зл~ 0 .для всех п.

В § 3 рассматривается тот же вопрос для кратной системы УоЛиа. Доказывается полный аналог теоремы 3.1. Верна следующая Теорема 3.3; Пусть кратная последовательность |

монотонно убывает по каядому индексу ж ¿I ~ * ^ ■

ñ-6

Тогда существует кратный ряд ¿г (-х4) , ют то-

рий п.в. сходится к нулю, Д: | С1° | > О И (^П $ .

Здесь под сходимостью ш понимаем сходимость по Прингсхей-му, т.е. скажем, что кратная последовательность функций ' (¿с.) |

(последовательность \_Cl- \ ) сходится то Пршгсхейму к фикции (к числу А ), если ^_(5с.У— (а^А4) при

. При неюторых дополнительных условиях на последовательность {£.-] , можно доказать аналог теоремы 3.2. А именно верна следующая

Теорема 3.4. Пусть последовательность (¿^[¿^ ^ 1 монотонно убывает по каддому индексу ^ О, 22 /1 = +

* ^ ^ ' ¡.«и,..., »С, и -о.

Тогда существует множество ЕсСо.ГГ, уи£ =0, такое, что

1. Существует кратный ряд ¿1 ,„ (Х-\Х/~ гзгЛ .который

пе/С и '

всюду вне множества Е сходится к нулю, | 1 > О, •

. , — л/к

пед;.

2. Если Й-- о (<1,^ и существуют последовательности из натуральных чисел ^с!^] , с -1, ^...} к , стремящихся к бесконечности, такие, что суммы

з(0 ч«« а"'

Л"1 2-1 Г-1

£ X. ШМ

сходятся к нулю всюду вне Е. » за исключением, быть может, некоторого счетного множества точек, то для всох Иё /Л£к Числа равны нулю.

В § 4 рассматриваются уиппороальныо ряди по кратной системе Уолша.

В 1915 г. Н.Н.Лузиным (см.[ю] с.235) била поставлена задача: мо.кно ли представить п.в. сходящимся тригонометрическим ряцом произвольную измеримую (дяйотвитольную) функцию, конэчнуа п.в. или прлнимащую значения ч- или - ■=><> на мноке-' ствах полжительнс^ меры?

Перше результаты, связанные с этой задачей, бцди получены им же в работу |;?0] . Фундаментальные результадщ в этом нал-

рашгоиии били полушки Д, Р., Меньшовым в работах [п] и [к| . В рцбото [ II | доказала 1

Теорема 4.1. (Д.Е.Меньшов). Для любой п.в. коночной на ' [о,2'Л.| измеримой функции [(■-'') существует тригонометрический ряд, который сходится к ней п.в.

С.В.Коиягином (см. [13 ] ) бил доказан, что тригонометрически!! рдц но мо&от сходится к бесконечности на множестве ноЛо-житолъноИ моры. Том самым в одномерном случао проблема представления измеримой функции сходящимся п.в. тригонометрически рядом била полностью ротона.

Вопросы представления функций общими ортогональным рядами начал рассматривать в сородино тридцатых годов Мпрлпнкович ' Сем. [14] с.312). Подробно об этой тематике можно узнать и^ обзорных статей А.А.Талаляна-[151 , [24] и П.Л.Ульянова [к] . Для достаточно широкого класса ортогональных систем (мажоранта частичных сули которых имеет тип (2,2)) Ф.Г.Арутюняном И Н.Б. . Погосяном получен аналог теоремы Д.Е.Меньшова (см.напр. [17] : стр.417).

А.А.Талалян и Ф.Г.Арутюнян [18] доказали, что ряда .по системам Хаара и Уолта не мог/т сходиться к + ■>« на множестве положительной меры.

Пусть «Б -некоторое множество измеримых функций. Напомним, что ряд

' ' (з)

1=0

+

называется универсальным относительно знаков в классе <5 .'если для любой функции существует последовательность знаков ^= + 1, для которой ряд £

сходится к п.в.

Ряд (2) называется универсальныгл относительно подрядов в классе S . если для любой функции р £Ь существует последовательность - О или К, = 1 , дум которой

РОД сходится к п.в.

Ряд 12) называется универсальным относительно перестановок в классе ^ , если для любой функции Я(яс)&£> члены рдда К2) можно переставить так, чтобы вновь получений ряд сходился к ' Р(рс) п.в. | '

. Первые примеры (,в разных смыслах) универсальных трйгоно-

метрических рядов были построены в работах [l9] - [2з] . Отметим некоторые из них,.

Теорема 4.2. (А.А.Талалян [21] }. Существует тригонометрический ряд

П П ч

•Tr+JLÍaMnx + hiU inx)

<J- n

обладающий.следующем свойством: для любой измеримой функции £(сс) , определенной на [о,25Т],( может равняться -+ со

или -«о на множествах положительной меры), и для любого натурального числа /V найдется подряд этого ряда

(йП Ctó >\Х t in ¿Ü1 ПКЭС\ N < И, < Пг < - • ;

сходящийся к | (oz) п.в. на том множестве, где ? (ос) конечна, и сходящийся к £ (Ьс) по мере на [о,27Г].

В работа [22] ГЛ.Мушегяном отмечено некоторый класс ортогональных систем (в которой, в частности, входят системы Хаара, Уолша и тригонометрическая система) для которых существуют универсальные ряды относительно перестановок в классе всех измеримых функций.

Теорема 4.4. (Н.Б.Погосян [23]). Пусть • произ-

вольная последовательность чисел, удовлетворяющая условиям

0 при' и (а » тогда существует функ-

ция

UUiTl с коэффициентами Фурье <Хп~

2Г ■*■ 2Т i

-т~{ i tocesnatc/ac, -¿„-ir1 í пЗСсЬс, |a„Mg„U P

o o J n>

для которой тригонометрический ряд

Т + язе)

^ км

является универсальным одновременно относительно знаков, попз-становок и подрядов в классе п.в. конечных измеримых функций.

Об исследованиях ушшорсашшх ортогональных рядов подробно можно узнать из работ [24] и [25] .

В § 4 доказывается следующая теорема, которая является непольным аналогом теоремы 4.4. для кратных рядов по системе Уолша. <

Теорема 4.é. Пусть последовательность {<Lñ] удовлетворяй i ол едущим уоловляки 0< í r если гтг м к

у сг ^ ■ - ,

сй ~ для любого М . Тогда существует функ- 1

ция (ас)6 Л СО, 1]* с коэффициентами Фурье • | \ (»0 | ^

■й ¿я ряд Фурье которой является универсальным относительно знаков, в классе п.в. конечных измеримых функций, а для некоторого набора знаков }, - ± 1, ряд йй (5с) '

является универсальным относительно подрядов в классе п.в. ко- • нечных изморю,шх функций. :

В § 5 рассматриваются вопросы о множествах относительной единственности.

Цусть -последовательность положите,таша чисел Со, |

¿г ••• , монотонно стремящихся к нулю, а <£>=. - 1

ортонормированная система функций на [Д. £] . Множество £-с называется множеством единственности для системы •,

относительно последовательности С-'ъ4), или, кратко, С1(-5)-множествам, если всякий ряд 22, С1„ Ф ГА , с коэффици-

ентами | 6 } п-0,1,1, ) и сходящийся к нули вне / множества Е- , тлеет все коэффициенты равным нулю.

A.Зигмундом-была доказана (см. [2б] , стр.847) Теорема 5.1.'(А.Зигмунд). Для любой.последовательности

и любого ¿.">0 существует множество Ес-[-Х,1Г], /<Еч23Г- £., которое является СК&) -множеством для тригонометрической системы. ;

К.-П.Каханом и И.Кацнельсоном (см. [27];) эта теорема была усилена. Ими было доказано, что в формулировке теоремы 5.'1.- . можно добиться того, чтобы соответствующее множество имело меру равную 21Г.

B.Л.Шапиро распространил теорему Б.1. на ряды по система Уолша (см. [28] ). А в работах [29] и [зо] получен аналог теоремы Кахана и Кацнельсона для системы Уолша. ■ '

Г.Г.Геворкяном была исследовала следующая задача: пусть ;

~ \ и ~ } некоторые последова- '

толыюсти шлояитольных чисел, монотонно стремящиеся к нулю, для которых ¿.'^ /<£(^ = V . Тогда для любого <£>0 ■ I

сущоствует ли множество I, у"£ ь -(I - <£. , 1{ото- , ■

рое является. Ы множеством, но не является

мнонес!гвом для системы ф = { ^ ((:) } ?

В случав, когда последовательности . &

0) к удов-

- ю -

9 с'^ / с'^) о

лотпоряот ТПКЧО условие 1(111 I

в работах [31| и [9 ¡'этот вопрос получил положительный ответ длясистом» Уолта и тригоиомотричоской о истом» соотпотстношю. В общем случае проблема до сих пор открыта.

В связи с этим вопросом в § Б доказшштся слодующая Теорема 5.3. Пусть двойные последовательности {¿'2Л

и ] удовлетворяют следующим условиям: 0< ^

1-1.4 ^ С11) сМ\ о ' I

•-ч и ^„/¿^ + ^. тогда для

любого £>0 существует множество Е с |_0, 1 ] , уи 11 > 1 - , которое является и (¿><п) -множеством и не является II (¿¡п)У множеством для дпо'ШоК системы Уолта,

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Доказано, что для любой последовательности [^ , где п = (и,гО£Кк> о условиями > £^) когда

т^п, Г , к,

и - 0) существует множество Е<^[оД]* =

которое обладает следующими свойствами:

а) существует ряд 21 (ЯК\Х/- /'•¿сЛ по кратной системе

Уолша 1 \Х/- (=£-)[- >/к , с коэффициентами 1(2-1 < ,ко-торый сходится к нулю всюду вне Е и 2 1&т;1>0.

у р ._ ч ЛйК"-

б) если ряд ък \Х/- ) всюду вне Е. сходится

к нулю и коэффициенты ь-, то все ~ равны нулю.

2. Доказано, что для любой последовательности | £,_] , л/К 'с условиями ё , когда тп, и 21 <Я-

_ п «г

существует такая функция ? е Е, С0,1Д ^ , . что ее ряд Фурье-Уолша 21 (I- \ХЛ (о!4) является универсальным от-

ноептельно знаков, а коэффициента Фурье этой функции удовлетворяют неравенствам | ^ <£.н , £ Л/Д

. 3. Доказано, "что .для любых двух двойных последовательно-

стей <Ь m«

] И

[с ( ; ,с условиями

¿2 ¿П и /d"'= ~ • существу-

ет мнохоство околь-утодно большой меры, которая является ШЯ> ) множеством и не является И (¿^-множеством для двойной системы Уолша.

ЛИТЕРАТУРА

I. ttwWf 2)- Е-, ^ ^

Ï-ïL$omwJL'u.cIu*-> С. й- /fcool- Set. PtxnLi,

' 2. Ульянов П.Л., Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов, УЩ, 19(19в4), 3-69.

3. Арутюнян Ф.Г., Представлеоте функций из Le, О < ? < 4-, тригонометрическими рядами с бнетроубнвавдими коэффициен-. тами, Изв.АН Арм.ССР, сэр.мат., т.19(1984), 448-455.

4. Погосян II.Б., О коэффициентах тригонометрических нуль-рядов, АмЛ. , 11(1985), 139-177.

5. кь-иил Т ЧХ/, Ып^и^-и-ем ï'ù^oAow^iixi.t. J^xc-ел, . (W^ of VhlL; US(iH^), 1-34

6. Скворцов В.А., Об одном примере нуль-ряда по системо Уолша, Мат.замотки, 19(1975), 179-186.

7. Скворцов В.А., О ^ -мере И -множеств для системы Уолша, Мат.замотки,' 21(1977), 335-340.

8. Скворцов В.А., 0 скорости стремления к нулю' коэффициентов нуль-рядов по системам Хаара и Уолша, Изв. АН СССР, сор.

мат., 41(1977), 703-7IS. tu' >

9. £Г«О-ОЧС£АИ Сг. Ô, On coeffiûms C-f ilu-U -i^tLM CUttf

oh ^(s o-f of Uifloito»>иЫе. OJ4>{ WajjJ,

- Arxat nufck. 5Î9-J151.

10. Лузин II.II., Кнтогрпл и тригонометрический ряд. М.-Л., Гос-тохиздат, 1951. .

II. )Huiclu>(f 1). 5»иг & лерлс^ма-иоп -ам {именем .

fia'L ' с/сл itr'iXS tliUonon^txLluM;. MxT.

Çà, Ш, т. 7-6.12.

12. Меньшов Д.Е., 0 сходимости то мере тригонометрических ря-

13р. ШАН, т.32, 1950. •

13. ^эдпган C.B., О пределах неопределенности тригонометричес-

ких рядов, Мат.заметки, 1988, т.44, & 6, 770-7S4.

14. Illaxti-n 2. J-, ColCccbeJ ^»-¡ьгл^ь -

■ PWS/, ■

15. Талалян A.A., Вопросы представления и единственности в теории ортогональных рядов, Итоги науки, математический анализ. 1970, M., (1971), 5-S4.

15. Ульянов ПЛ., Представление Функций рядами и массы L?(,L)} ТГЯ, 1872, т.27, Jê 2, 3-52.

17. Кашин Б.С., Саакян A.A., Ортогональные ряды, Наука (Москва, 1984).

18. Талалян A.A., Арутюнян Ф.Г., 0 сходимости рядов по системе Хаара 4.00 . Мат.сб., 1935, т.65, J& 2, 240-247.

19. Ыенылоз Д.Е., Об универсальных тригонометрических рядах, Доклады АН СССР, г.49, 1945, 79-82..

20. л'оньпов Д.Е., О частных суммах тригонометрические рядов, мат.сб., т.20(62), 1947, 197-237.

21. Талалян A.A., Тригонометрические ряды универсальные.относительно подрядов, Изв. All СССР, сер.мат., т.27, JS 3,1963, 621-360.

22. Мупегян Г.'.!., Об универсальных рядах относительно перестановок, Изв.АН Арм.ССР, сер.мат., т.12, ib 4, 1977, 273-302.

23. Погосян Н.Б., Об универсальных рядах Фурье. У'ЛИ, т.38,вып. 1(229), 1983, 185-183.

24. Талалян A.A., Представление измерзших функций рядами, УМН, т.15, вып. 5(95), 1930, 77-141.

25. Талалян A.A., Овсепящ. Р.И., Теоремы Д.Е.Меньшова о пред-стпплетш и их влшнпо на развитие метрической теории функций. УШ, т.47, вкп.5(287), 1992, 15-44.

23. Бари II.К., Тригошмотричоскпо ряды, Наука, M., I9SI.

27. Palian«. J. Р., katiitcCion У., Ъих енытЫ'ел c/Vuu.-aíc И (О í'c Z^nunJ, С. ß. Aaxcf. Sei. дti(ms), 4**..

28; .Sa/icto V. L.t Cl(¿) Se I) fox IVaCJt ¡íroc. 4,n¿i

■ Soc. иозбъ), id-НО.

29. Бахшзцян A.B., Об U({)-множествах полной меры для системы Уоший; Изв.AK AüVi.CCPj fcsp.MûX.t ISSIi т.IG, G, 431.443.30; Геворкян Г.Г.; О множествах единственности для системы Хаара и Уолша, Доклады ÀH ApM;CCP¿ t.23¿ £ 2, 1981, 91-98;

31. Геворкян Г.Г., О классификации - U(&)-множеств системы Уолша. Межвуз.сб.Арм.ССР, матем. 5(1986), 42-49.

Основные результаты диссертации опубликованы в работав:

I. Навасардян К.Л., О коэффициентах нуль-рядов и множествах единственности для двойных рядов Уолша, Доклады НАН Армении, т.94, № 4, 1993, 205-209.

П. Навасардян К.А., О нуль-рядах по двойной системе Уолпа, Изв. 1ГЛН Армении, т.29, Я I, 1994, 50-68.

Ш. Навасардян К.А., О классификации U(S)~шожеств для двойной системы Уолша. Деп. в АрмШШНЭД, 20.09.95 г., Уе 140 -Ар.95.

1У. Навасардян К.А., Об универсальных рядах по кратной системе Уолша с быстроубывающими коэффициентами. Деп. в АрмНШНТИ, 20.09.95, ii 141-Ар.95,

U 1Г ф П в» U"

Uinb\iuitununi[ijnLUnid ишшяЦЬЬЪ Sbmlijmi, «pqjnLlipMpp 1. UKjuignt.gij'i'b t, r»p liu/Jtujuliw\i [¿^j 5ui£npquiliui\jni.p jui\j Wmp, ^ = , npQ puiifuipiupnuJ t ¿я > ¿-m , bpp mifT,

11 qitjiiiPjitLli nt>h!' «tpn

puiqtfmP jnth SbwkjiuL <aiinliru[* jntMbprnJ.

ш/ qnjntPjiuTj nuViJ» Ch Wp; 2«ipp дии П|.П12Ь puiqifumiealitt

^"ЦирчЬ» "PO чтящими/ t ipnjb £ ~ba qmpu luiTbViriLpbg U 2«P0b qnpbuiliba^bpo puii{uipiupiiiiJ ЬЪ ¡£?-| < | Як I 0 4uijJinli\ibptili,

р/ ьрь JUIIDQ tin tquiJtinntJ t apnjb E. -bfl

li. , Uiujiu гшррЬ PnLnP qnpbultbgbbpp qpri Ыл

2, lli|iujnLgi|iub t, rip >, , bpp FvT >. п » b.

= ujwjiriablibpttii g«n|uipu(pn/i ЦииГuijшЦшЪ (¿й^

£rt(iquitiiubru|)l JUAI Wwp qnjnijJjnLh шЛф Q Lp CO, i}*

int^liabw» npf» »nipjb-rttniib

jaippo ni^b4bP««L t лбЛ/, 1 i с

pun \j2iuVi\jbpb » 2"«PBb qnpbtulibflVibpo pwi|t»p*piuii b\j Cfi

«(wjJmlilibpb^i

С<0 с*') сM P ~ ГпЧ О

3. Uu)uijBigi|«ib t, np 0<Cn^-ÍC«n¿L„lñ4> „J < >

•у^ч 'h.

£•«> ( ein , 1>1-г) ¿

ЦифГшМЬ[)[И| pUll|«l[4U|IHfl l|Ullf Ul Jülich =icm„| u. lL™J

lip^uiliV Stu£npqmliuj\ini[ijnu\i\jbpli Wuip qn jnLp jnilj п»Дф ¿ршЪ шипи iFbb puiqJnißjnLh , npQ L|(¿Srt) рикцГпирjntlj t, pujg

U(¿¿í]) pwq.Jntí'íjntb ¿t Ilmi2h lipli^wllb \«iJ»t¿iupql) Wiupj

iliuimlbp 70

50

ЪркшЪ^ щЬшш'^шЪ laiilui nui fini , ,0пшши|р [i^m, , upmuirjpuJuiu: ЪркшЪ, U^ ,1Гш1тt-t|jia\j lin.. It