Чебышевские монослайны и оптимальные квадратурные формулы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

•;•] 1 0 Я1

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

ДРЕБАТИ МОХОМАД

ЧЕБЫШЕВСКИЕ МОНОСПЛАЙНЫ И ОПТИМАЛЬНЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

01.01.01 — Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Казахского государственного университета имени Аль-Фараби.

Научные руководители ■ - доктор физико-математических

наук, профессор А.А.НЕНСЫКБАЕВ

кандидат физико-математических наук, доцент К.С.ЕЕНСИКЕАЕВ

Официальные оппонент - доктор физико-математических

наук, профессор В.Ф.БАБЕ1Ж0

кандидат физико-математических наук, с.н.с. II. Т. АМАНОВ

Ведущая организация - Саратовский государственный

университет

Защита состоится " Z " о£т-я¿ря 1992 г. в ос часов на заседании регионального специализированного совета К 058.01.17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном университете имени Аль-Фараби по адресу: 480012, г.Алма-Ата, ул.Масанчи 39/47, КазГУ, математический факультет (учебный корпус )Ь 4).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ имени Аль-Фараби.

Автореферат разослан "_"_1992 г.

Ученый секретарь реги онального сп еци ализировшшого совета, кандидат физико-математических наук, доцент А.А.БШШ>БАЕВ

РОССИЙСКАЯ

) С У Д А р С "Г К й ИНАЯ ~ 3 ~ _5И&ПИОТЕКЛ 0Б1Ш ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

'^"^Актуальность темы. В современных математических исследованиях и особенно в их прикладных направлениях широко используют результаты и методы теории приближений. Важным и интенсивно развивающимся разделом теории приближений является теория сплайнов. В теории сплайнов имеется два подхода к понятию сплайна.

В первом подходе сплайн понимается как кусочная функция (результат склейки): пусть на отрезке6]задано множество функций р и разбиение ~ <=ц<'«.< Функция £ , определенная на , называется сплайном, если сужение с, на каждый промежуток [,х|;_1 ] есть элемент £ « из р ,

3 о втором подходе сплайн понимается как решение

соответствующей экстремальной задачи (см.теорему Холлидея в^Ъ.

£

Например, задача минимизации функционала 'Jíf) г:] (L£,$(^)f¿Ь на множестве УКЦ- {Я & С 1"+1 Г « , 2> ] I тде точки а. £ л,о- и. числа л $ фик-

сированы, а ^ — линейный дифференциальный оператор (ЛД оператор) порядка у+1 , удовлетворяющий некоторым ограннчешям, имеет единственное решение, которое есть натуральный ^^ -сплайн, т.е. сплайн, построенный из решений уравнения (1^,*- оператор, формально сопряженный с ^ ).

Варьируя множество р , на базе которого строятся сплайны, мы получим различные множества сплайнов: полиномиальных, экспоненциальных, рациональных, тригонометрических, - сплайнов и др. Так, полагая, что р есть обобщенное полное чебышезское пространство (ЕСТ - пространство) мы придем к важному пень.ига

I) Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. Г.!.: Мир, 1972.

- 4 -

чебышевского сплайна.

о)

Чебышевские сплайны изучались в работах Карлина'', Карлина и Циглера, Шчелли, Иумейкера и др. С чебышевскими сплайнами, тесно связаны ^ - сплайны, - их изучали Шенберг, Гревиль, Ал-берг, Нильсон и Уолш , де Бур и Линч и др., - при естественных ограничениях на оператор они являются чебышевскими сплайнами.

Бажным частным случаем чебшевских сплайнов являются полиномиальные сплайны, систематическое исследование которых началось с известных работ Шенберга. Они получили широкое распространение в теории приближений и их свойства к настоящему времени изучены наиболее полно. Им посвящены монографии Алберга, Нильсона и Уолша, С.Б.Стечкина и Ю.Н.Субботина, Шумейкера, Н.П.Корнейчука и др.

Так, весьма обширный цикл исследований, посвященный полиномиальным моносплайнам, позволил решить задачу о наилучшем методе восстановления интеграла на классах Соболева ( Г- о,|».,

• ^оо). (Подробную библиографию см.например, в^).

есть класс, задаваемый ДЕ оператором о специального вида: » 0 = ^ . Естественно, рассматривать классы к^ ) , аналогичные , определяемые посредством ДЕ оператора £ - а; (.)«¿ИСС^М^о ,хер» ( - аналогичный оператор с постоянными вещественными коэффициентами). Некоторые экстремальные задачи теории приближений на классах К^ (1_ 1 периодических функций рассматривались Н.И.Ахие-зером и Ы.Г.Крейноы. Оптимальность квадратурной формулы (КФ) пря-

2) Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе к статистике. М.: Наука, 1976.

3) Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.

моугольников на классах К^Ц) начал исследовать К.И.Осколков4^. В работах М.А.Чахкиева, В.Ф.Бабенко и Т.А.Гранкиной, Т.Х. Нгуен Тхи, Г.Р.Грозева эта тема получила дальнейшее развитие.

Цель работы заключается в исследовании свойств чебышевских моносплайнов с кратными узлами и приложении изученных результатов к задачам оптимального восстановления интеграла на классах функций, определяемых посредством ДЦ оператора ^ .

Научная новизна. В настоящей работе решен ряд задач теории приближения функций, удовлетворяющих граничным условиям. Именно, установлена единственность чебышевского моносплайна минимальной нормы с кратными узлами и доказана теорема о нулях для чебышевских моносплайнов с кратными узлами.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Полученное результаты могут применяться в вопросах приближенного интегрирования гладких функций по дискретной информации о них. Возможно приложение в ряде вопросов классического анализа, теории обыкновенных дифферент!альных уравнений, вычислительной математики. Работа носит теоретический характер.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 6-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (Саратов, январь-февраль 1992); на конференции молодых ученых математического факультета (Алма-Ата, 1992); на заседании кафедры математического анализа (Алма-Ата, 1992); на семинаре профессора Н.Т.Темиргалиева (Алма-Ата, 1992).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы 1-3 .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы из 48 наименований и

4) Осколков К.И. Об оптимальности квадратурной формулы с равноотстоящими узлами на классах периодических функций //Докл. АН СССР. - 1979. - Т.249, № I. - С.49-52.

- 6 -

занимает 73 страница машинописного текста.

СОДЕРКАНИЕ РАБОТЫ Пусть С и - множество функций £ , имеющих К не-

прерывных и, соответственно, кусочно непрерывных производных на [0,1] , а кС - множество абсолютно непрерывных функций на

Год].

Пусть функции ТЛ-^б С (I ■= о;г) строго положительны на [о,1] , а - заданная интегрируемая на [ОД] функция, у которой

ЦП- 0 (1)

Для ^ £ Со,| ] положим

и., )) \гц ((2)

¡7 ? (1

ик I — Ц^ 0*,о) (КФункции и.„ 1. - -) образуют ЕСТ -

систему на [ОД 3, на базе которых построим множества и

чебышевских сплайнов и моносплайнов и 1С'

V t

« и b г '"-<

Мы? U^.ioo- Z .fcc.at^.^c

— О 1 K = û

-о

соответсгвенно, вде (.-*.,y ^

я узлы Xt'efо»О и коэффициенты аtv , CkGR произвольны.

1А.£ Л • свяжем дифференциальные опера-

^ — Q

'горы

£,f=f • U = (з)

Пусть TTC С* и А с Qj.tr:{0,1,-.., г ] . Обозначим через множество функций f б f-f , удовлетворяющих .ге.ювюо

¿¿ffobo (с б А ). ^'fctl =ro'(i еВ) (4)

Для краткости положим - (К- <>1|-+1)

Пусть ДЦ оператор :

IГХ1 = «-».„С*» +аг <ъо + авЦ) ^ с*-]

I

с коэффициентами а.ц-)£С С1=о »"зсвГм} обла-

дает - свойством Полиа на Со,17 ( и - аналогичный оператор с постоянными вещественными коэффициентами). Это означает, что

все определители Вронского Щ ( Ц0.....Ц.^) положительны на

[0,1] (К = о;г ). где [а0,..., и^ - фундаментальная система решений уравнения ^^ - о • Тогда ядро есть ЕСТ -

пространство и существуют г+1 строго положительные на £0,1} функции £ Сг+' ( ¿ = такие, что г <£г+, может быть представлен в виде (3).

Зададим посредства) оператора класс

Центральное место в настоящей диссертации занимает задача о наилучшем восстановлении интеграла

У'и/Ы) [М (5)

(Здесь Ю~(%) - ("ХЛ удовлетворяет (I)) на классе по семейству )1(Г) операторов информации

МГ) ^ и* )=[ = ; Ьо^)} (6)

определяемых произвольными точками о < < I с фикси-

рованными крагностями 1^+1, I соответственно.

Для класса также используется информация А(Г>Ь1)=

*= Л-(Г ) V Л ГА, В) . где

Эта задача в общей постановке состмт в следующем Пусть "р семейство операторов инфорлащш где р^ - линейные функционалы, заданные на множестве функций , €>(Р) - некоторый метод восстано1У.ешщ интеграла

)) - функционал погрешности метода 9 . Требуется найти величину

6 (я • V) - «у 1(№) I <в)

метод и оператор , для которых реализуется (8)

(если они существуют). Формула (7) при = Ь* и Р = Р* называется наилучшей формулой восстановления Хц^ по семейству ? •

Если выпуклое, центрально симметричное с центром в нуле множество, то, как показал С.А.Смоляк6\ для любого Р^Р существуют линейные функционалы = ( Р ) такие,

что к

ь Ня. Г£€I ^

/

В этом случае £ .'р) = . Еде величина

«-ив

дает погрешность наилучшего линейного метода восстановления

(С

Л<чРКИ + Кт О)

5) Кенсыкбаев A.A. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные ^о^мулы //Успехи матем.наук. - 1981. - Т.36. -

6) Смоляк С.А. Кацд.дисс., М1У, 1965.

- 9 -

В § 1.2 установлены двойственные соотношепя

*,{«£) .Л(ГП;А,В)) = A/p(«i*M(i;«Ä.f )

где //pfmj- Щ llf Wp Im] . а множество vjfyl (ftiftjj

- моносплайнов есть множество чебышевских моносплайнов М по ЕСТ - системе fU-i^ (tf,...,^ - ФСР уравнения i^^rO ). удовлетворяющих условию

Н^М - Ö (!,' 6 Ä ) , MV И - о (з в В ) (10) A={i—t ¿ 6 . В = { r-j ! 1 € 0Л&}

В первой главе изучаются свойства чебышевских сплайнов и моносплаинов, удовлетворяющих граничным условиям (4).. §1.1 носит вспомогательный характер: здесь приводятся известные факты из теории чебышевских систем и доказываются вспомогательные утверадения. § 1.2 посвящен теореме двойственности, а в

уо

§ 1.3 описано замыкание множества (А»В) чебышевских моносплайнов минимального дефекта, что обосновчвает необходимость исследований свойств чебышевских моносплайнов о кратными узлами. А именно, доказана

ТЕОРЕМА 1.3.I. Если последовательность f\ моносплай-ное из M^fA . ß ) ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность [ (Ц,^. | . При этом ее предел»

Г*бМСГп>АК(,, Ву/)} r^fio'-'M До >

равны количествам последовательностей узлов моносплайнов И(<-(э<1 •

)

сходящихся к х = , "X = о и -эс. = I соответственно.

Обратно, если заданы целые положительные числа ^ , л' и набор rjv = { '' ■ ■' ][ • 0 ^ it' <Г +1 , то для любого

Мб МГГП,А.

в множестве (А » В ) существует последовательность моносплайнов, сходящаяся.к ^ .

- 10 -

Замыкания множеств полиномиальных сплайнов и моносплайнов минимальных дефектов били описаны В.М.Тихоыировым и А.А.Женсык-баевым5\ Замыкания множеств экспоненциальных периодических моносплайнов и чебышевских-сплайнов минимальных дефектов были описаны М.А.Чахкиевьм и К.С.Кенсикбаевш.

Во второй главе рассматривается основная теорема алгебры (теорема о нулях) для чебышевских моносплайнов с кратными узлами.

Впервые эта теорема была сформулирована Шенбергом и доказана им для случая простых нулей и простых узлов. Мичелли доказал эту теорему для моносплайнов с кратными узлами и простыми нулями. Затем Баррар и 1оэб обобщили этот результат на случай, когда сумма кратностей нулей и узлов не превосходит степени моносплайна. И наконец, в общем случае, для произвольных кратностей нулей и узлов теорема была доказана Л.А.Кенсыкбаевым*^. Мы обобщаем этот ревультат на случай чебышевских моносилайнов. Именно, доказана

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть даны точки o<ti<'.<< < I. и натуральные числа f(4 fK , fs< fj <; , .Д p. _ Для того, чтобы в множестве М f Гп > А » В } нашелся моноснлайн

И , имеющий точки нулями кратности fj (l )

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Полна

lm|+IA Л fyl +1В OOfl ь i (4 = нг)

где (ml -Л, = t+i +д/ - (AI - |ß I ;//,.£U.+l)

t = i L >

и нашлись числа о такие, что

.¿(<j + D-l $ $ Г-Н

1-1 п 1=i

Такой моносплайн И в множестве М(Гп>' А > 8 J единствен.

7) A.A.-LberHakUivT&t fundaMeniat ibeorem »f o-t^t Lta. for mcnobpPcnes iuiU?, mo|£cj>£e nodes// T' Appf-.TP,eo|-^. - - V. - A/52.-P.UI -133 .

- II -

Третья глава полностью посвящена исследованию вопроса о единственности наилучшей КФ С.Н.Никольского на классе задаваемого посредством ЛД оператора с постоянными вещественными коэффициентами. Уместно отметить, что вопрос о единственности наилучших КФ является одним из основных в теории оптимальных квадратур. Основной результат этой главы составляет

ТЕОРЕМА 3.3.4. Пусть даны г>о »К? <оо и фиксированный набор { » " '»} нечетных неотрицательных чисел ' Среди всех КФ вида

Л, , Д ли

0 ' I! 1 '1=0

на классе [ ) наилучшая в смысле А.Н.Колмогорова КФ единственна.

Единственность наилучшей КФ с простыми узлами на классе (1-) установлена К.С.Женсикбаевыы, а в случае

кратных узлов при дополнительном ограничении, что концы промежутка интегрирования, являются узлами КФ, причем максимально возможной кратности, аналогичный результат получен Г.Р.Грозевш.

Периодическому случаю посвящены работы К.И.Осколкова, и.А.Чахкиева, В.Ф.Бабенко и Т.А.Гранкиной, Т.Х.Нгуен Тхи, Г.Р. Грозева.

ОСНОШЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ 3 РАБОТА! :

1. Ы.Дребати. Единственность наилучшей квадратурной формулы на обобщенных классах Соболева //Тезисы докладов республиканской научной конференции по теории приближения и вложению функциональных пространств (20-22 шоня 1991), Караганда, 1991. Р.20.

2. Ы.Дребати. Единственность наилучшей квадратурной формулы н-классе Ко (/_) (\ ¿1 ? с-о ) /Каз. гос.ун-т. - Алма-Ата,

1991. - 31 с. - Деп. в КазНИИНТИ 2.9. | с < 9 I ЗБ ^Ъ - К« 3. М.Дребати. Теорема о нулях для чебышевских ыоносплайнов с кратными узлами /Каз.гос.ун-т. - Алма-Ата, 1992. - I? с. -Деп. в КазНИШТИ с2 , • О г * */ Ь Ь - к'" 2 '

МА31ШЩАМА. Диссертация льв^ жумыста есел! туй1ндер1 Оар Чебьшев моносплайндарыкыц кдсиеттер1 жене олардын, интегралды оптималды кдйта кдлпына келг1ру eceGiHe к,олданылуы аерттелген Lp ("I < Р ^ °о ).

KeniCTiK нормасында мюшмал дефектл! Чебьшев моносплайн жиындарынын, туйыкзгалуы кдрастырьшган. Есел1 туй1н-дер1 бар Чебьшев моносплайндарыкыц нелдер1 туралы теорема дзлелденген.

Сызык^ы дифференциал операторлармен бер!лген клас-стардагы ен, жакды квадратуралы формулакыц «алгывдш'ы туралы теорема алынган.

Подписано в печать 30.СБ.92. Формат 60x84 1/16. Бум. тип. $2. Печать офсетная. Усл.печ.л.0,81. Усл.кр.-отт.0,98. Уч.-изд.л.О,56. Заказ 902. Тирая 100.

Типография КазНИИНКИ, 480120,г.Алма-Ата,Богенбай батыра,221.