Обобщенные интегралы и вопросы единственности для двумерных рядов Хаара и Уолша тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

/-7 Ь СО'С;

Ъ

московский государственны!^Университет

Плотников Михаил Гениадьспнт1

■I

О г. о б щ еiш ы е и н'т е г р а л ы и вопросы единственности для двумерных рядов

Хаара и Уолша Специальность 01.01.01 математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

имени М.В. ЛОМОНОСОВ^ Механико-математический факуЛ!

На правах рукописи УДК 517.518.43 и 517.518.126

Москва -- 2001

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского Государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — Официальные оппоненты —

Ведущая организация —

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Скворцов доктор физико-математических наук, профессор H.H. Холщевникова

кандидат физико-математических наук, доцент A.M. Дьячков

Московский Государственный институт электронной техники (технический университет)

Защита диссертации состоится Ьо КОЗЙрЗ 2001 г. в /(у на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском i'oey-

Москва, Воробьевы горы, МГУ, мсхапико-матсматический факультет, аудитория 16-24.

м университете им. iVi.-ts. Ломоносова но адресу! irJB'J'J, i 'vJii

С диссертаций можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан ЗО (Ж| ^SjJQi 2001 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Диссертация посвящена вопросам единственности для двумерных рядов Хаара и Уолта, а также приложениям к решению этих вопросов некоторых новых, полученных в диссертации, результатов из теории многомерных обобщенных интегралов. Все это относится к той области анализа, которую принято называть действительным анализом.

Отметим, что постановка многих вопросов о единственности представления функций рядами является общей для различных ортогональных систем функций. Особенно важными являются понятия [/-множеств и Ai-множеств для рядов но некоторой системе функций. Напомним, что если {/„(а;)} есть система функций, определенных на некотором подмножестве S числовой прямой, плоскости, либо, в общем случае, евклидова пространства R", то множество А С S называется Л/-множестйЬм для рядов J2anfn(x), сети существует ряд J2anfn(x), сходящийся к пулю

п п

вне А и имеющий хотя бы один ненулевой коэффициент ап. Если А С S не является М-множеством для рядов У^ omfn(x), то в этом случае А

п

называется [/-множеством для подобных рядов.

Задача нахождения [/-множеств и Л/-множеств для рядов Хаара оказалась не слишком сложной. То, что пустое множество является U-миожеством для (одномерных) рядов Хаара, независимо друг от друга показали в своих работах М.Б. Петровская1 и В.А. Скворцов2, Ф.Г. Арутюнян и A.A. Талалян3, а для двумерных рядов Хаара для сходимости по прямоугольникам аналогичный результат следует из работ В.А. Скворцова4 и Х.О. Мовсисяна5. В то же время несложные примеры0 показывают, что в указанных выше случаях любое одноточечное множество уже является М-множеством для рядов Хаара. Тем самым

1 Петровская М. В. О нуль рядах по системе Хаара и множествах единственности // Изв. АН СССР. Сер. математика. 1964. Т. 28. С. 773-798.

2 Скворцов Л. Л. Теорема типа Кантора для системы Хаара // Вестн. Моск. Унта. Сер. 1, математика. 1964. №5. С. 15-28.

3Арутюнян Ф.Г., Талалян A.A. О единствености рядов но системам Хаара и Уолша // Известия ЛИ СССР, сер. математика. 19G4. Т. 28 С. 1391-1408.

4 Скворцов В. А. О множествах единственности для многомерных рядов Хаара // Матем. заметки. 1973. Т. 14. Л"» 6. С. 789-798.

ъ Мовсисяп X. О. О единственности двойных рядоп по системам Хаара и Уолта // Изв. АН Армянской ССР. Сер. математика. 1974. Т. 9. Лг»1. С.-10-01.

(l Faber L. Über die Orthiginal Funktionen das Herrn Haar Ii Jahresber. Dtsch. Math. Ver., 19 (1910), 101-112

лишь пустое множество является U-множеством для рядов Хаара (в одномерном случае и в двумерном случае для сходимости по прямоугольникам).

В связи с тем, что лишь пустое множество является [/-множеством для рядов Хаара, естественно сузить класс рядов Хаара и использовать следующую терминологию. Рассматривая класс рядов Хаара, удовлетворяющих условию (а), скажем, что множество А является М-множеством для рядов Хаара с условием (а), если существует ряд Хаара, удовлетворяющий условию (а), который сходится к нулю вне А и не все коэффициенты которого нулевые. Если такого ряда не существует, то есть из сходимости к нулю ряда Хаара с условием (а) вне А следует, что все коэффициенты ряда нулевые, то множество А назовем [/-множеством для рядов Хаара с условием (а). Иначе такие [/-множества называют множествами относительной единственности.

В 1967 г. Г.М. Мушегян7 показал, что множество А С [0,1] является М-множеством для рядов Хаара с условием ——> 0 тогда и

Xnfe(a;)

только тогда, когда А содержит совершенное подмножество (где Пк — последовательность всех таких номеров, что Хпк (х) Ф 0). В этой же работе показано, что для некоторого более сильного условия (а) существует совершенное [/-множество для (одномерных) рядов Хаара. В 1973 г. В.А. Скворцов показал4, что множество А с [О, I]2 является М-множеством для рядов Хаара с условием -V±Ip—- —> 0 при к,1 —> оо

Хпкт,(х,У)

для сходимости по прямоугольникам тогда и только тогда, когда А содержит совершенное подмножество.

Изучению множеств относительной единственности для различных систем посвящены работы Г.Г. Геворкяна, H.H. Холщевниковой и других авторов.

Часто оказывается, что ряд, сходящийся вне некоторого [/-множества к конечной функции f(x), является рядом Фурье функции f(x) относительно некоторого обобщенного интеграла, то есть коэффициенты ряда находятся по формулам Фурье ап = f f(x)fn(x)dx (если система {/„(ж)} — ортонормированная). Известно, например8, что если тригонометрический ряд сходится к функции /(х) вне счетного множества (которое является [/-множеством для тригонометрических рядов), то данный ряд есть ряд Фурье относительно так называемого (Мг)-интеграла,

7Мушегян Г.М. О множествах единственности для системы Хаара // Изв. АН Армянской ССР. Сер. математика. 1967. Т. 2. К'6. С. 350-361.

8 Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: Мир, 1965. Т. 1, 2.

обобщающего интеграл Лебега. Аналогично, если ряд Хаара всюду на [0,1] сходится к конечной функции f(x) (то есть сходится к f(x) вне пустого множества, которое является [/-множеством для рядов Хаара), то данный ряд является рядом Фурье относительно (7JD)-интеграл а, определенного В.А. Скворцовым9. Таким образом, в этих ситуациях функция f(x), определенная вне [/-множества может быть лишь единственным образом представляться как сумма соответствующего ряда.

Стоит отметить известные теоремы для одномерного случая, установленные И.И. Приваловым10 (для тригонометрической системы) и В.А. Скворцовым11 (для системы Уолша). Они говорят о том, что если ряд по соответствующей системе сходится вне замкнутого U-множества к суммируемой и конечной функции f(x), то данный ряд есть ряд Фурье функции f(x). При том, что [/-множество в этих теоремах предполагается любым, лишь замкнутым, что является достоинством этих теорем, небольшой недостаток состоит в предположении о суммируемости f(x).

Часто имеет место следующая постановка задач о единственности. Пусть ряд по некоторой системе сходится всюду на своей области определения к некоторой функции, интегрируемой по Лебегу или в каком-то обобщенном смысле (иногда сходимость заменяется каким-либо другим условием). Следует ли отсюда, что данный ряд есть ряд Фурье своей суммы относительно соответствующего интеграла? Решением подобных задач для рядов Хаара (как одномерных, так и кратных) занимались в разное время М.Б. Петровская, Ф.Г. Арутюнян, A.A. Тала-лян, В.А. Скворцов, Х.О. Мовсисян, а для рядов по другим системам — П. Дюбуа-Реймон, Ш. Валле-Пуссеп, Г. Штейгауз, К. Йонеда, H.A. Бо-каев и многие другие.

Что касается вопросов единственности для рядов Уолша, то основные исследования проводились для одномерных рядов. В 1949 г. A.A. Шней-дер12 установил, что счетное множество есть [/-множество для рядов Уолша. В уже упомянутой работе Шнейдера построен пример несчетного [/-множества. Примеры несчетных [/-множеств для рядов Уолша с различными характеристиками позже были получены многими автора-

9 Скворцов В. А. Вычисление коэффициентов всюду сходящегося ряда Хаара // Матем. сб. 19G8. Т. 75. Вып. 3. С. 349-360.

10Привалов И. И. Обобщенные теоремы Paul du Bois Reymond'a // Матем. сб. 1923. T. 31. №2. С. 229-231.

11 Скворцов В. А. Некоторые обобщенные теоремы единственности для рядов по системе Уолша // Матем. заметки. 1973. Т. 13. №3. С.367-372.

12Шнейдер А. А. О единственности разложения по системе функций Уолша // Матем. сб. 1949. Т. 24. Выи. 2. С. 279-300.

ми, в том числе Д. Кури, В.А. Скворцовым и другими. Однако, до сих пор не установлены условия, которые бы являлись одновременно необходимыми и достаточными для того, чтобы данное множество являлось [/-множеством (или М-множеством).

Еще больше открытых вопросов в изучении множеств единственности для кратных рядов Уолша. Если рассматривать сходимость по прямоугольникам, то известно, что счетное множество есть [/-множество для двумерных рядов Уолша. Это следует из работ Х.О. Мовсисяна5 и В.А. Скворцова13. Широкий класс совершенных [/-множеств для кратных рядов Уолша был построен в 1989 г. Ю.Ф. Лукомскиим14. Но все равно в этой области вопросов больше, чем ответов.

Что же касается теории обобщенных интегралов, то эта область действительного анализа интенсивно развивалась в течение всего XX века, но нам в связи с изучением рядов Хаара интересна лишь небольшая часть этой теории. О ней мы поговорим чуть позже.

В нашей работе изучаются вопросы единственности для двумерных рядов Хаара и Уолша в различных постановках, которые представлены выше. При этом рассматривается достаточно общая р-регулярная сходимость но прямоугольникам. Для получения необходимых фактов используется, кроме всего прочего, теория многомерных обобщенных интегралов, причем в диссертации попутно получено достаточно много новых результатов, относящихся к этой теории.

Цель работы. Изучить множества относительной единственности для двумерных рядов Хаара при различных условиях. Получить результаты о единственности разложения функции в двумерные ряды Хаара. Доказать теорему о представлении всюду сходящихся двумерных рядов Хаара как рядов Фурье-Перрона, своих сумм, если последние интегрируемы по Перрону в р-регулярном смысле. Построить широкий класс совершенных ¿/-множеств для двумерных рядов Уолша при р-регулярной сходимости.

Методы исследования. В работе используются методы теории функций вещественной переменной, в частности теории многомерных обобщенных интегралов; сведение задач для рядов Хаара и Уолша к

13 Скворцов В. А. О коэффициентах сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша // Всстн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 1973. №6. С. 77-79.

14Лукомский С. Ф. О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша // Матем. сб. 1989. Т. 180. №7. С. 937-945.

G

изучению аддитивных функций двоичного интервала, в том чисел к изучению их дифференциальных свойств.

Научная новизна.

1. Получен критерий принадлежности данного множества классу множеств относительной единственности для двумерных рядов Хаара при р-регулярнои сходимости II при условии --.-г —> и при к, с —»

2. Получено необходимое, а также достаточное условие того, что множество есть М-множество для двумерных рядов Хаара при р-регуляриой сходимости и при условии 5к,м(х,у) = о((Л'М)! при

3. Построен пример двумерного ряда Хаара, не равного нулю тождественно, но всюду на единичном квадрате сходящегося к нулю по квадратам.

4. Получен ряд теорем о единственности представления функций двумерными рядами Хаара.

5. Показано, что если двумерный ряд Хаара всюду на [О, I]2 сходится к конечной функции f(x.y), интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле, то данный ряд есть ряд Фурье-Перрона функции f(x,y).

6. Построен широкий класс совершенных [/-множеств для двумерных рядов Уолттта при р-регулярной сходимости.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории ортогональных рядов, теории многомерных обобщенных интегралов, теории мартингалов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории функций действительного переменного иод руководством проф. В.А. Скворцова и проф. Т.П. Лукашенко (неоднократно), на семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством член-корр. РАН, проф. II.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова и проф. М.И. Дьяченко, на V Казанской летней школе-конференции но теории функций (Казань, 2001).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах ашора, список которых приведен в копне автореферата.

Xnkmt (х, У)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 38 наименований. Общий объем диссертации — 102 стр.

Содержание работы.

Во введении дается обзор работ, связанных с темой диссертации, и сформулированы основные результаты диссертации.

Диссертация посвящена двумерных рядам Хаара и Уолша. В двумерном случае (как и в случае размерности п ^ 2) очень важно определить, что мы понимаем под сходимостью соответствующих рядов. В нашей работе рассматривается р-регулярная сходимость по прямо-

+ оо Ч-оо

угольникам. Ряд Хаара ^ ^ ап,тХп,т (х,у) р-регулярно сходится к

71= 1 771 = 1

сумме S(x,y) в точке если последовательность частичных сумм

+ ОС +ОС

SjvtAf(x,y) ^ Е Е ап,тХп,т{х,у) сходится к S{x,y) при min(M,Ar)

n = l т=1

. (N М\

—> оо и min I -; - I ^ р. Обозначать такую сходимость будем как Sn,m{x,1J) S(x,y). Аналогично определяется р-регулярная сходи-

+оо -(-оо

мость и для ряда Уолта Y1 При этом для рядов

п=0 т=0

Хаара рассматриваются р, равные 1/27, где у - натуральное число (почему выбор сделан именно среди таких р, становится ясным в самой работе), а для рядов Уолша рассматриваются р из интервала (0, 1/2).

В связи с тем, что у разных авторов используется разнос определение функций Хаара, отмстим, что мы используем «классическое» определение, данное самим Хааром. При определении функций Уолша используется не отрезок [0,1], а двоичная группа D или, что то же самое, «модифицированный отрезок» J*. Система Уолша рассматривается в нумерации Пэли.

В первой главе устанавливается взаимно-однозначное соответствие между рядами Хаара и аддитивными функциями двоичного интервала. Наличие и сам вид этого соответствия позволяют переформулировать задачи для рядов Хаара на язык аддитивных функций двоичного интервала. Аналогичная ситуация имеет место и для рядов Уолша. Практически все результаты данной работы получены в терминах аддитивных функций двоичного интервала. Каждая глава настоящей работы поделена на параграфы.

В § 1.2 рассматривается условие

•ит т^г0' • (1)

*,/-* + оо Хпкпч\-С,У)

и показывается, что множество А является М-множеством для рядов Хаара с условием (1) тогда и только тогда, когда А содержит совершенное подмножество В (при этом уточняется структура множества В), где Пк, шх — последовательности номеров таких, что носитель Хпкт,

р р+ 1

содержит точку (х, у) и имеет вид

' 2' —1

. Анало-

гичные теоремы были получены Г.М. Мушсгяном7 (в одномерном случае) и В.А. Скворцовым4 и Х.О. Мовсисяном5 (в двумерном случае для сходимости но прямоугольникам). При этом, описанный выше результат является следствием более общего результата, установленного в этом параграфе.

В работе В.А. Скворцова4 показывается, что если двумерный ряд Хаара сходится к конечной сумме по прямоугольникам на всем единичном квадрате, то всюду на [О, I]2 выполняется не только условие

Hm anf = 0, (2)

являющееся следствием того, что общий член сходящегося ряда стремится к нулю, но н более сильное условие

Ига ч = 0, (3)

k+1-^ro Хпкт1{х,у)

В § 1.3 показывается, насколько общей является регулярная сходимость рядов Хаара. А именно, приводится пример всюду р-регулярно сходящегося ряда Хаара, для которого в отдельной точке не только не выполняются условия (2) и (3), но и достаточно слабое условие

lim а"к"" = 0, (4)

fc,Z-H-ОО Хпктп,{х, у)

апктк.. .

При этом последовательность ---- (где у такое, что р — 1/2 J

Хпктк+ ^ У)

можно сделать сколь угодно быстро растущей.

В § 1.4 мы ставим задачу нахождения Л/-множеств (или [/-множеств) с условием

(Дт ду \

м; 77) ^ р'

(5)

где 0 $ а < 1. Для этого вводятся новые числовые характеристики совершенных множеств, называемые нижним и верхним индексами множества, которые мы обозначаем пкЫ и тс1/1. Пусть А С [0,1] — непустое совершенное множество. Построим функцию /?л(Д), определенную на всех двоичных квадратах Д. Назовем двоичный квадрат Д правильным, если либо существует точка множества А, лежащая внутри Д, либо существует совершенное подмножество В С А, лежащее на границе Д. Положим /3д([0,1]2) = 1. Условимся, что ¡За (Д) = 0 в том и только том случае, если Д не является правильным двоичным квадратом. Пусть Дд построена на двоичных квадратах ранга п (рангом двоичного квадрата

р_ р + i 2"' 2»

i q q+1

назовем число п). Определим ¡3л на двоичных

л

квадратах ранга п + 1. Пусть Д имеет ранг п, Д — IJ Д1, где Д\ по-

¿=i

парно не перекрываясь, имеют ранг п + 1. Если /Зл(Д) — 0, то положим /Зл(Д1) = 0 для всех i — 1,..., 4. Если же /Зд(Д) 0, то Д — правильный квадрат, ири этом хотя бы при одном i квадрат А' — также правильный. Пусть к — число правильных квадратов Д\ i — 1,..., 4. Очевидно,

1 í к ^ 4. Положим /Зд(Д!) = —/?д(Д), если Д! — правильный квадрат,

К

и /Зд(Д') = 0 в противном случае.

Следующие определения являются основными для § 1.4 и некоторых других параграфов.

Определение 1. Пусть А с [0,1] — непустое совершенное множество. Назовем индексом точки (х,у) £ А относительно множества А число ind^ (х,у), равное sup{a ^ 0:/Зд(ДП]П) = = о(|Д,цП|™), {Дп,п} —вложенная последовательность правильных двоичных квадратов, стягивающаяся к (х,у)}. Отметим, что в некоторых ситуациях для точки (х,у) существует более одного (но не более четырех) индексов.

Определение 2. Назовем верхним индексом совершенного мпоэ/с.сства А число iiidA sup пкЦ (х,у), а ниэюшш индекс.оль лто-

(т,у)СЛ

жества А — число indA = inf ¡пс1д (х,у). Отметим, что 0 ^ incM ^

(х,у)еА

^ indA 1 для любого непустого совершенного множества А.

Основными результатами ' этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 1. Если А — М-множество для рядов Хаара с условием (5), то А содержит совершенное множество с indß ^ а, где а берется из условия (5).

Теорема 2. Если А с [0,1]2 содержит только совершенные подмножества В с indß < а, то А — U-множество для рядов Хаара с условием (5). В частности, утверждение верно, если А совершенно и indA < а.

Теорема 3. Если А с [0,1]2 содержит совершенное подмножество В с incLB > а, то А — М -множество для рядов Хаара с условием (5).

Теорема 4. Для любых 0 ^ а ^ ß ^ 1 существует совершенное множество В с пкШ = а, indJ? = ß.

Теорема 2 является прямым следствием теоремы 1, и вкупе с теоремой 4, показывает существование совершенных [/-множеств для рядов Хаара с условием (5) при 0 < а < 1. Более того, в доказательстве теоремы 4 указывается способ построения достаточно большого класса таких [/-множеств. Подобные теоремы могут быть доказаны и для одномерного случая. Хотя в одномерном случае условие (5) (в несколько иной форме) было сформулировано (для одномерных рядов) в работе В. Уэйда15, но задача описания хотя бы какого-то класса совершенных U-множеств для (одномерных) рядов Хаара с условием, подобным условию (5) (для О < а < 1), не была решена. Методы диссертации позволяют получить совершенные [/-множества и в этом случае.

Следует отметить, что, путем модификации понятия верхнего и нижнего индексов совершенных множеств, были получены определения обобщенных верхнего и нижнего индекса, с помощью которых основные результаты § 1.4 (в частности, теоремы 1-4) уточнены.

Результаты § 1.2 и § 1.4 дают очевидное следствие, которое, не будь оно верным, делало бы бессмысленным рассмотрение [/-множеств для рядов Хаара. А именно, пустое множество является [/-множеством для двумерных рядов Хаара при р-регулярной сходимости (р = 1/27). Это

15 Wade W.R. Sets of uniqueness for Haar series // Acta Mathcm. Academiae Scientiarum Hungaricae. 1977. V. 30(3-4). P. 265-281.

обобщает тот факт, что пустое множество есть [/-множество для двумерных рядов Хаара при сходимости по прямоугольникам.

Тем не менее, основные теоремы единственности, установленные при р-регулярной сходимости при р = 1/27, где 7 — натурально, не переносятся на случай р — 1. А именно, в § 1.5 построен пример двумерного ряда Хаара, не все коэффициенты которого нулевые, сходящегося к нулю по квадратам всюду на [О, I]2, то есть для которого всюду на единичном квадрате выполняется равенство lim Sn п(х, у) = 0.

п—► оо '

Во второй главе рассматриваются вопросы восстановления коэффициентов двумерного ряда Хаара по его сумме. Целью ставится построение обобщенных интегралов, относительно которых ряды Хаара, удовлетворяющие условиям (1) или (5), сходящиеся вне некоторых U-множеств для рядов Хаара с соответствующими условиями, являются рядами Фурье своих сумм. Более общо, сходимость вне [/-множеств иногда может быть заменена более слабыми условиями. Для условия (1) построен интеграл перроновского типа, называемый в работе (Р д*)-интегралом, и доказан следующий достаточно общий результат.

Теорема 5. Пусть двумерный ряд Хаара с частичными суммами SivtM{xiy) и не более чем счетное множество А удовлетворяет следующим условиям: если точка (х,у) имеет две двоично-иррациональных координаты и (х,у) £ А, то {х,у) ограничена

в точке (х,у) при min ^ Р\ если (х,у) имеет ровно одну

двоично-рациональную координату и (х,у) ф А, то Sn^m —

(N М\

при N,M —у оо и min I —, — I ^ р; всюду на единичном квадрате

I' N г

ряд Хаара удовлетворяет условию (1). Тогда ряд р-регулярно сходится к конечной сумме /(х,у) почти всюду на [ОД]2 и является рядом Фурье относительно (Р д*)-интеграла функции /(х,у), то есть ап,т = — / 1{х1У)Хп,т{х,у) йх йу, где под интегралом понимается (Рд*)-

[ОДР интеграл.

Во второй главе построен также еще один интеграл перроновского типа, названный (Р дС7а)-интегралом, который определяется совершенным множеством иа с тсШа < а. С его помощью доказан следующий результат.

Теорема 6. Пусть двумерный ряд Хаара всюду на [0,1]2 удовлетворяет условию (5) с 0 < а < 1 и сходится к конечной сумме /(х,у) вне совершенного мпооюеетоа иа с тс1[/а < а. Тогда данный ряд

есть ряд Фурье функции f(x,y) относительно {Р^")-интеграла, то есть а„:ГП = {Pfc"") f f(x,y)xn,m(x,y)dxdy. [0,1P

' Основной для третьей главы является следующая теорема.

Теорема 7. Пусть всюду на единичном квадрате ряд Хаара сходится р-регулярно к конечной сумме f(x,y), интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле. Тогда данный ряд является рядом Фурье-Перрона своей суммы.

Аналог теоремы 7 для сходимости по прямоугольникам и для функции f{x,y), интегрируемой по Перрону в нерегулярном смысле, был установлен В.А. Скворцовым13, который фактически и обобщается теоремой 7. Здесь следует отметить, что, во-первых, упомянутый последний результат В.А. Скворцова существенно опирается на то, что из сходимости но прямоугольникам двумерного ряда Хаара следует условие (3), которое, как отмечалось в § 1.3, не выполняется для р-регулярной сходимости. Поэтому, для доказательства теоремы 7 приходится применять качественно другие методы доказательства, чем в упомянутой работе. Кроме того, теорема 7 является следствием более общего результата, который мы сейчас приведем.

В главе третьей был построен (Р ^)-интеграл, относительно которого всюду сходящийся двумерный ряд Хаара есть ряд Фурье своей суммы. Тогда теорема 7 получается из следующей теоремы.

Теорема 8. Если функция f(x,y) является одновременно (Р д) -интегрируемой и интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле, то соответствующие интегралы совпадают.

Доказательство теоремы 8 достаточно сложно. При этом строится обобщенный интеграл, называемый (Рц(пк(х,у)))-интегралом, который покрывает и (Рд)-иптеграл, и р-регулярный интеграл Перрона. В качестве вспомогательного средства доказывается результат, относящийся к теории обобщенных интегралов, имеющий самостоятельный интерес. Для аддитивной функции двоичного интервала F строится вариационная мера Vp , подобно тому, как это делается в классической монографии К. Остатевского16. Установлены две теоремы, называемые обычно теоремами о характеризации (вторая из них также называется теоремой о полной характеризации).

16 Ostaszewski K.M. Henstock integration in the plane // Memoirs of Amer. Mathem. Society. 1986. V.63. №353. P. 1-106.

Теорема 9. Пусть аддитивная функция двоичного интервала Р(А) имеет р-регулярную двоичную производную ОркР почти всюду на [ОД]2. Тогда Р является неопределенным двоичным р-регулярным интегралом Хенстока от некоторой функции /(х.у) тогда и только тогда, когда абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.

Теорема 10. Аддитивная функция двоичного интервала F(Д) есть неопределенный р-регулярный двоичный интеграл Хенстока от некоторой функции /(х,у) тогда и только тогда, когда Ур' абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.

Теорема 10 следует из теоремы 9, если доказать, что из абсолютной непрерывности Ур следует существование производной Р>РцР почти всюду. Аналоги теоремы 9 для обычного (одномерного) интеграла Хснстока-Курцвейля установлены Ярником и Курдвейлем17, П. Ли и Р. Выборны18, а также В. Пфеффсром19, а для р-регулярного (но не двоичного) интеграла Хенстока теми же Ярником и Курцвейлем20. Аналоги теоремы 10 для различных интегралов были установлены Б. Бон-жорно, Л.Ди Пиаццей и В.А. Скворцовым21 (для интеграла Хепстока-Курцвейля), и 3. Бучоличем и В. Пфеффером22 для некоторых многомерных обобщенных интегралов. Но все эти интегралы не покрывают двоичный р-регулярный интеграл Хенстока, поэтому мы не имеем возможности применить многочисленные уже известные результаты.

В четвертой главе на 3* х .7* (где «7* — «модифицированный» отрезок) переносятся понятия обобщенных верхнего и нижнего индексов совершенных множеств. Основным результатом этой главы является то, что для любой пары обобщенных верхнего и нижнего индексов (если первый из них не меньше второго) существует совершенное [/-множество

17 Jarnik J., Kurzweil J. A general form of the product integral and linear ordinary differential equations // Czechoslovak Mathem. J. 1987. V. 37(112). P. 642-659.

18Lee P. Y., Vyborny R. Kurzweil-Henstock integration and strong Lusin condition // Boll. Univ. M.I. 1993. V.7-B. P. 761-773.

19Pfeffer W. F. The Riemann approach to integration. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993.

20 Jarnik J., Kurzweil J. Equiintegrability and controlled convergence of Perron-type integrable functions // Real Analysis Exchange. 1991. V. 17(1). P. 76-81.

21 Bongiorno B., L. Di Piazza., Skvortsov V. A. A new full descriptive characterization of Denjoy-Perron integral // Real Analysis Exchange. 1995/96. V.21(2). P. 656-663.

22 Buczolich Z., Pfeffer W. F. Variations of additive functions // Czechoslovak Mathem. J. 1997. V. 47. №3. P. 525-555; Pfeffer W.F. A descriptive definition of a variational integral and applications // Indiana Univ. Mathem. J. 1991. V.40. №1. P.259-270; Pfeffer W.F. Comparing variations of charges /'/ Indiana Univ. Mathem. J. 1996. V.45. №3. P.643-654.

для двумерных рядов Уолта с р £ ^0, . Множествам единственности для кратных рядов Уолпта посвящено немного работ, из которых следует выделить результаты С.Ф. Лукомского14, но они доказаны для сходимости по прямоугольникам (которая менее общая, чем /^-регулярная сходимость). Важность результатов четвертой главы состоит не только в том, что для двумерных рядов Уолша используется р-регулярная сходимость, а еще и в том, что совершенные [/-множества строятся для всевозможных значений новых числовых характеристик, введенных для совершенных [/-множеств.

Благодарности. Я выражаю благодарность своему научному руководителю профессору В.А. Скворцову за постоянное внимание и многочисленные обсуждения, а также профессору Т.П. Лукашенко за ценные советы. Я благодарен всем друзьям за дружбу и поддержку.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Плотников М. Г. Об интеграле Моэпа и его приложении к рядам Хаара // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 2000. лМ. С. 63-66.

2. Плотников М.Г. О едикственностм всюду сходящихся кратных рядов Хаара // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 2000. Я81. С. 23 28.

3. Плотников М.Г. Вопросы единственности для некоторого класса рядов Хаара // Труды Математического центра им. К.И. Лобачевского, Т. й: теория функций, се приложения и смежные вопросы (тезисы V Казанской летней школы-конференции по теории функций). — Казань: ДАС, 2001. С. 181-182.

1 Некоторые вопросы единственности для двумерных рядов

Хаара

§ 1.1 Определения и вспомогательные утверждения.

§ 1.2 О множествах единственности для рядов Хаара с условием о орн м - 00 и шш (14) ^ 2Р.

§ 1.3 Одно замечание о уо-регулярной сходимости.

§ 1.4 О множествах единственности для рядов Хаара с условием

Sn,m(x> у) = o((NM)l~a).

§ 1.5 О множествах единственности для двумерных рядов Хаара при сходимости по квадратам.

2 О единственности представления функций двумерными рядами Хаара

§ 2.1 Определения и вспомогательные утверждения.

§ 2.2 Представление сходящихся двумерных рядов Хаара, как рядов

Фурье.;.

3 Некоторые свойства многомерных обобщенных интегралов и их применение к двумерным рядам Хаара

§ 3.1 Определения и вспомогательные утверждения.

§ 3.2 О характеризации (Я/9д)-интеграла.

§ 3.3 Об одном двоичном интеграле перроновского типа.

§ 3.4 О двумерных рядах Хаара, всюду сходящихся /9-регулярно к функции, интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле

4 О множествах единственности для рядов Уолша

§ 4.1 Определения и вспомогательные утверждения.

§ 4.2 О соответствии между двумерными рядами Уолша и аддитивными функциями двоичного интервала.

§ 4.3 О множествах единственности для двумерных рядов Уолша

Диссертация посвящена вопросам единственности для двумерных рядов Хаара и Уолша, а также приложениям к решению этих вопросов некоторых сведений из теории многомерных обобщенных интегралов. Все это относится к той области анализа, которую принято называть действительным анализом.

Изучение вопросов единственности для рядов Хаара получило активное развитие в 60-70-х годах XX века в работах М.Б. Петровской, В.А. Сквор-цова, Г.М. Мушегяна, Х.О. Мовсисяна, Ф.Г. Арутюняна, A.A. Талаляна и других. При этом рассматривались как одномерные, так и многомерные (чаще всего двумерные) ряды Хаара. В этот период времени были получены наиболее интересные результаты в данной области. Позже были получены результаты в работах тех же В.А. Скворцова, A.A. Талаляна, а также H.A. Бакаева, В. Уэйда и других. Вопросы единственности для (одномерных) рядов Уолша изучались во второй половине XX века A.A. Шнейдером, Д. Кури, В.А. Скворцовым, Н.Д. Файном, В. Уэйдом и другими. Вопросам же единственности для многомерных рядов Уолша посвящено не так много работ, среди которых можно выделить результаты С.Ф. Лукомского, полученные им в 80-е годы.

Что же касается теории обобщенных интегралов, то эта область действительного анализа интенсивно развивалась в течение всего XX века, но нам в связи с изучением рядов Хаара интересна лишь небольшая часть этой теории, и об этом мы поговорим чуть позже.

Отметим, что постановка многих вопросов о единственности представления функций рядами является общей для различных ортогональных систем функций. Особенно важными являются понятия U-множеств и М-множеств для рядов по некоторой системе функций. Напомним, что если {fn(%)} есть система функций, определенных на некотором подмножестве S числовой прямой, плоскости, либо, в общем случае, евклидова пространства ®Ln, то множество А Е S называется М-множеством для рядов Ylanfn{x), если суга ществует ряд ап/„ (ж), сходящийся к нулю вне А и имеющий хотя бы один ненулевой коэффициент ап. Если А Е S не является М-множеством для рядов Yjanfn(x)i то в этом случае А называется [/-множеством для подобных рядов.

Часто оказывается, что ряд, сходящийся вне некоторого ¿/-множества к конечной функции f(x), является рядом Фурье функции f{x) относительного некоторого обобщенного интеграла, то есть коэффициенты ряда находятся по формулам Фурье ап = //(#)/„(ж) (Их (если система {/п(^)} ~ ортонорми-рована). Известно, например, (см. [3, том 2, стр. 138]), что если тригонометрический ряд сходится к функции f(x) вне некоторого счетного множества (которое, как известно, является V-множеством для тригонометрических рядов), то данный ряд есть ряд Фурье относительного некоторого интеграла, обобщающего интеграл Лебега, и называемого (М2)-интегралом. Аналогично, если ряд Хаара всюду на [0,1] сходится к конечной функции /(х) (то есть сходится к f(x) вне пустого множества, которое является [/-множеством для рядов Хаара), то данный ряд Фурье является рядом Фурье относительно (#.0)-интеграла, определенного в работе [15]. Таким образом, в таких ситуациях функция /(х), определенная вне [/-множества,может лишь единственным образом представляться как сумма соответствующего ряда.

Стоит отметить известные теоремы для одномерного случая, установленные И.И. Приваловым (для для тригонометрической системы, см. [12]) и В.А. Скворцовым (для системы Уолша, см. [17]). Они гласят, что если ряд по соответствующей системе сходится вне замкнутого [/-множества к измеримой и конечной функции /(ж), то данный ряд есть ряд Фурье функции /(ж). При том, что [/-множество в этих теоремах предполагается любым, лишь замкнутым, что является достоинством этих теорем, небольшим недостатком является то, что / (ж) предполагается измеримой. В нашей работе мы не накладываем никаких ограничений на /(ж, у), когда представляем ее рядом Фурье вне [/-множеств, но при этом рассматриваем не все [/-множества. Оговоримся, что раз f(x) не является суммируемой, то под рядом Фурье мы подразумеваем ряд Фурье относительного какого-то обобщенного интеграла, который заведомо не покрывается интегралом Лебега и даже основными известными обобщенными интегралами.

Диссертация посвящена двумерным рядам Хаара и Уолша, а в двумерном случае (как и в случае размерности п ^ 2) очень важно определить, что мы понимаем под сходимостью соответствующих рядов. В нашей работе рассматривается ^-регулярная сходимость по прямоугольникам. Ряд Хаара 00 +00

Е Е ап,тХп,т(х, у) р-регулярно сходится к сумме Я{х, у) в точке (ж, у), ееп=1 т=1 n м

ЛИ последовательность частичных сумм Як^м{х,у) = Е Е ап,тХп,т{х, у) п=1т=1

N М\ сходится к S(x, у) при min(М, N) —>• оо и min [j^i^J ^ Р- Обозначать такую сходимость будем как sn,m{x,v) s(x, у)- Аналогично определяется оо +оо р-регулярная сходимость и для ряда Уолша Yh Y1 Сп>тип^т(х, у). При этом п—0 т=О для рядов Хаара рассматриваются р, равные 1/27, где 7 — натуральное число (почему выбор сделан среди именно таких /9, становится ясным в самой работе), а для рядов Уолша рассматриваются р из интервала 1/2^.

В связи с тем, что у разных авторов используется разное определение функций Хаара (см., например, [4] и [24]), отметим,что мы используем «классическое» определение, данное самим Хааром (см. [31]), то есть полагаем, что

Xi{x) = 1 на [0,1]; если же п = 2к + г, к ^ 0, 1 ^ г ^ 2fc, то Хп(х) равна,

9 /2г — 2 2г — l\ f 2г - 1 2г\

2^ при ж е ^-gjfeir; ^ТГJ ' -2 7 ПРИ ж € (^^г; ^ТТJ' й Равна НУЛЮ В точках 0 и 1 функция Хп(х) полагается пределу справне

2^+1 ' 2к+1 ва (слева соответственно), а в остальных точках отрезка [0,1] Хп(%) равна, среднему арифметическому правого и левого пределов.

При определении функций Уолша мы будем использовать не отрезок [0,1], а «модифицированный» отрезок <7* (см. [2]). Кроме того, мы рассматриваем функции Уолша в нумерации Пэли (см. [34]).

Перейдем к описанию основных результатов работы. В первой главе устанавливается взаимно-однозначное соответствие между рядами Хаара и аддитивными функциями двоичного интервала. Наличие и сам вид этого соответствия позволяют переформулировать задачи для рядов Хаара на язык аддитивных функций двоичного интервала. Аналогичная ситуация имеет место и для рядов Уолша. Практически все результаты данной работы получены в терминах аддитивных функций двоичного интервала.

Кроме введения работа содержит четыре главы, каждая из которых поделена на параграфы. Глава 1 посвящена множествам единственности для двумерных рядов Хаара. В связи с тем, что лишь пустое множество является [/-множеством для рядов Хаара, мы пользуемся следующей терминологией. Рассматривая класс рядов Хаара, удовлетворяющих условию (а), скажем, что множество А является М-множеством для рядов Хаара с условием (а), если существует ряд Хаара, удовлетворяющий условию (а), который сходится к нулю вне А и не все его коэффициенты нулевые. Если такого ряда не существует, то есть из сходимости к нулю ряда Хаара с условием (а) вне множества А следует, что ащт = 0 для всех п, т = 1,2,.то множество А назовем [/-множеством для рядов Хаара с условием (а). Такие [/-множества называются множествами относительной единственности. Изучению множеств относительной единственности для различных систем посвящены работы Г.Г. Геворкяна, H.H. Холщевниковой и др. В § 1.2 в качестве условия (а) рассматривается условие lim = о, (1) min(f;24)^2 р и показывается, что множество А является М-множеством для рядов Хаара с условием (1) тогда и только тогда, когда А содержит совершенное подмножество В (при этом уточняется структура множества В), где щ, mi — последовательность номеров таких, что носитель Xnkmi содержит точку (ж, у)

Q q и имеет вид

Р .Р+1 х 2^-i' ' Аналогичные теоремы были получены Г.М. Мушегяном (в одномерном случае, см. [8]) и В.А. Скворцовым и Х.О. Мовсисяном (в двумерном случае для сходимости по прямоугольникам, см. [7] и [21]). При этом, описанный выше результат является следствием более общего результата, установленного в этом параграфе.

В работе [21] показывается, что если двумерный ряд Хаара сходится к конечной сумме по прямоугольникам на всем единичном квадрате, то всюду на [О, I]2 выполняется не только условие lim апт= о, (2)

М-*» Xnkmt(x:y) являющееся следствием того, что общий член сходящегося ряда стремится к нулю, но и более сильное условие lim апк;п> = О, (3) к+1->ооХпктЛХ,У)

В § 1.3 показывается, насколько общей является /^регулярная сходимость рядов Хаара. А именно, приводится пример всюду /»-регулярно сходящегося ряда Хаара, для которого в отдельной точке не только не выполняются условия (2) и (3), но и достаточно слабое условие lim апкр = 0, (4) к,l^+оо ХпктАХ,у) mm

При этом последовательность-—г1—- (где 7 такое, что р = 1/27) можно

Хпктк±1 [Х1 У) сделать сколь угодно быстро растущей.

В § 1.4 мы ставим задачу нахождения М-множеств (или [/"-множеств), с условием

N М\

8нм(х,у) = о{(ИМ)1~а) при оо и >9,

5) где 0 ^ а < 1. Для этого вводятся новые числовые характеристики совершенных множеств, называемые нижним и верхним индексами множества, которые мы обозначаем тЛА и тс1А Не приводя определения новых понятий, отметим лишь, что 0 ^ шЛА ^ ш&4 < 1 для любого непустого совершенного множества А. Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 1. Если А — М-множество для рядов Хаара с условием (5), то А содержит совершенное множество с тс\В ^ а, где а берется из условия (5).

Теорема 2. Если А С [0,1]2 содержит только совершенные подмножества В с тсШ < а, то А — II-множество для рядов Хаара с условием (5). В частности, утверждение верно, если А совершенно и тсЬ4 < а.

Теорема 3. Если А С [ОД]2 содержит совершенное подмножество В с тсШ > а, то А — М-множество для рядов Хаара с условием, (5).

Теорема 4. Для любых О а ^ ¡3 ^ 1 существует совершенное множество В с нкШ = а, тсШ = (3.

Теорема 2 является прямым следствием теоремы 1, и вкупе с теоремой 4, показывает существование совершенных II-множеств для рядов Хаара с условием (5) при 0 < а < 1. Более того, в доказательстве теоремы 4 указывается способ построения достаточно большого числа таких [/-множеств. Подобные теоремы могут быть доказаны и для одномерного случая. Хотя в одномерном случае условие (5) (в несколько иной форме) было поставлено (для одномерных рядов) в работе В. Уэйда (см. [38]), но задача описания хотя бы какого-то класса совершенных II-множеств для (одномерных) рядов Хаара с условием, подобным условию (5), (для 0 < а < 1) не была решена. Методы данной диссертации позволяют получить совершенные II-множества и в этом случае.

Следует отметить, что, несколько модифицировав понятия верхнего и нижнего индексов совершенных множеств, были получены определения обобщенных верхнего и нижнего индекса, с помощью которых основные результаты § 1.4 (в частности, теоремы 1-4) уточнены.

Результаты § 1.2 и § 1.4 дают очевидное следствие, которое, не будь оно верным, делало бессмысленным рассмотрение U-множеств для рядов Хаара. А именно, пустое множество является [/-множеством для двумерных рядов Хаара при р-регулярной сходимости (р = 1/21). Это обобщает тот факт, что пустое множество есть [/-множество для двумерных рядов Хаара при сходимости по прямоугольникам. Последний факт следует из уже упомянутых работ В.А. Скворцова (см. [21]) и Х.О. Мовсисяна (см. [7]), а для одномерного случая подобный результат установлен независимо в работах М.Б. Петровской (см. [11]) и В.А. Скворцова (см. [23]).

Тем не менее, основные теоремы единственности, установленные при р-регулярной сходимости при р = 1/27, где 7 — натурально, не переносятся на случай р — 1. А именно, в § 1.5 построен пример двумерного ряда Хаара, не все коэффициенты которого нулевые, сходящегося к нулю по квадратам всюду на [О, I]2, то есть для которого всюду на единичном квадрате lim Sn)n(x,y) = 0. n-> 00

Во второй главе рассматриваются вопросы единственности представления функций двумерными рядами Хаара. Целью ставится построение обобщенных интегралов, относительно которых ряды Хаара, удовлетворяющие условиям (1) или (5), сходящиеся вне некоторых [/-множеств для рядов Хаара с соответствующими условиями, являются рядами Фурье своих сумм. Более общо, сходимость вне [/-множеств иногда может быть заменена более слабыми условиями. Для условия (1) построен интеграл перроновского типа, называемый в работе (Р д*)-интегралом, и доказан следующий достаточно общий результат.

Теорема 5. Пусть двумерный ряд Хаара с частичными суммами и не более чем счетное множество А удовлетворяет следующим, условиям: если точка (х,у) имеет две двоично-иррациональных координаты . , , , , , . . [n м\ и \Х:У) т А то ограничена в точке (х,у) при mm I —, — I ^ р\ если (х,у) имеет ровно одну двоично-рациональную координату и х,у) £ А, то SNM = o(\/NM) при N,M ->00 и min ^ рвсюду на единичном квадрате ряд Хаара удовлетворяет условию (1). Тогда ряд р-регулярно сходится к конечной сумме f{x,y) почти всюду на [ОД]2 и является рядом Фурье относительно (Р %*)-интеграла функции f(x,y), то есть ап,т — f f(x,y)xn,m(x}y)dxdy, где под интегралом понимается [ОД]2

Р %*)-интеграл.

Во второй главе построен также еще один интеграл перроновского типа, названный (Pj^01)-интегралом, который определяется совершенным множеством Ua с indUa < а. С его помощью доказан следующий результат.

Теорема 6. Пусть двумерный ряд Хаара всюду на [0,1]2 удовлетворяет условию (5) с 0 < ос < 1, сходится к конечной сумме f(x,y) вне совершенного множества Ua с indUa < а. Тогда данный ряд есть ряд Фурье функции f(x,y) относительно (Р^*)-интеграла, то есть ап,т = {pPRa) i /(*,:у)хп,т(х,у) dxdy.

О,!]2

Основной для третьей главы является следующая теорема.

Теорема 7. Пусть всюду на единичном квадрате ряд Хаара сходится р-регулярно к конечной сумме f(x,y), интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле. Тогда данный ряд является рядом Фурье-Перрона своей суммы.

Теоремы подобного рода для других функций устанавливались и ранее. М.Б. Петровской (см. [10]) было доказано, что если (одномерный) ряд Хаара сходится всюду на [0,1] к конечной суммируемой функции f(x), то данный ряд есть ряд Фурье функции f{x). В двумерном случае аналогичный результат установлен Ф.Г. Арутюняном и A.A. Талаляном (см. [1]). Если же f(x) интегрируема по Перрону, то одномерный аналог теоремы 7 был доказан В.А. Скворцовым (см. [16]). Аналог теоремы 7 для сходимости по прямоугольникам и для функции /(ж, у), интегрируемой по Перрону в нерегулярном смысле был установлен тем же В.А. Скворцовым (см. [20]), который фактически и обобщается теоремой 7. Здесь следует отметить, что, во-первых, упомянутый последний результат В.А. Скворцова существенно опирается на то, что из сходимости по прямоугольникам двумерного ряда Хаара следует условие (3), которое, как отмечалось в § 1.3, не выполняется для р-регулярной сходимости. Поэтому, для доказательства теоремы 7 приходится применять качественно другие методы доказательства, чем в работе [20]. Кроме того, теорема 7 является следствием более общего результата, который мы сейчас приведем.

В главе третьей был построен (Р ^)-интеграл, относительно которого всюду сходящийся двумерный ряд Хаара есть ряд Фурье своей суммы. Тогда теорема 7 получается из следующей теоремы.

Теорема 8. Если функция f(x,y) является одновременно (PPR)-интегрируемой и интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле, то соответствующие интегралы совпадают.

Доказательство теоремы 8 достаточно сложно. При этом строится некий обобщенный интеграл, называемый (Ря(щ(х, г/)))-интегралом, который покрывает и {Р д)-интеграл, и /9-регулярный интеграл Перрона. В качестве вспомогательного средства доказывается результат, относящийся к теории обобщенных интегралов, имеющий самостоятельный интерес. Для аддитивной функции двоичного интервала F строится вариационная мера VpR, подобно тому, как это делается в классической монографии Осташевского (см. [33]). Установлены две теоремы, называемые обычно теоремами о ха-рактеризации (вторая из них также называется теоремой о полной характе-ризации).

Теорема 9. Пусть аддитивная функция двоичного интервала F(A) имеет р-регулярную двоичную производную DPRF почти всюду на [ОД]2. Тогда F является неопределенным двоичным р-регулярным интегралом Хенстока от некоторой функции f(x,y) тогда и только тогда, когда VpR абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.

Теорема 10. Аддитивная функция двоичного интервала F(A) есть неопределенный р-регулярный двоичный интеграл Хенстока от некоторой функции f(x,y) тогда и только тогда, когда VpR абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.

Теорема 10 следует из теоремы 9, если доказать, что из абсолютной непрерывности VpR следует существование производной D^F почти всюду. Аналоги теоремы 9 для обычного (одномерного) интеграла Хенстока-Курцвейля установлены Ярником и Курцвейлем, П. Ли и Р. Выборны, а также В. Пфеф-фером (см. [29], [32], [37]), а для р-регулярного (но не двоичного) интеграла Хенстока теми же Ярником и Курцвейлем (см. [30]). Аналоги теоремы 10 для различных интегралов были установлены Б. Бонжорно, Л.Ди Пиаццей и В.А. Скворцовым (для интеграла Хенстока-Курцвейля, см. [6]), и 3. Бу-чоличем и В. Пфеффером для некоторых многомерных обобщенных интегралов (см. [27], [35], [36]). Но все эти интегралы не покрывают двоичный р-регулярный интеграл Хенстока, поэтому мы не имеем возможности применить многочисленные уже известные результаты.

В четвертой главе на J* х J* (где J* — «модифицированный» отрезок) переносятся понятия обобщенных верхнего и нижнего индексов совершенных множеств. Основным результатом этой главы является то, что для любой пары обобщенных верхнего и нижнего индексов (если первый из них не меньше второго) существует совершенное [/-множество для двумерных рядов Уолша с р Е (^>2)' Множествам единственности для кратных рядов Уолша посвящено достаточно немного работ, из которых следует выделить результаты С.Ф. Лукомского (см. [6]), но они доказаны для сходимости по прямоугольникам (которая менее общая, чем р-регулярная сходимость). Примеры совершенных [/-множеств для одномерных рядов Уолша приведены во многих работах (см., например, [19], [25], [28]). Важность результатов четвертой главы состоит не только в том, что для двумерных рядов Уолша используется ^-регулярная сходимость, а еще и в том, что совершенные [/-множества строятся для всевозможных значений новых числовых характеристик совершенных [/-множеств.

Что касается технических моментов, то первая цифра в номере теоремы в самой диссертации совпадает с номером главы, вторая цифра — с порядковым номером теоремы внутри главы; нумерация формул — своя для каждой главы.

В конце приведен список литературы, состоящий из 38 наименований, и список работ автора по теме диссертации (2 наименования).

1. Арутюнян Ф.Г., Талалян A.A. О единствености рядов по системам Хаа-ра и Уолша // Известия АН СССР, сер. математика. 1964. Т. 28 С. 13911408.

2. Голубое Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применение. — М.: Наука, 1987.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: Мир, 1965. Т. 1, 2.

4. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. — М.: Физ-матгиз, 1958.

5. Колмогоров A.B., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. Изд. 6-е.

6. Лукомский С. Ф. О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша // Матем. сб. 1989. Т. 180. №7. С. 937-945.

7. Мовсисян X. О. О единственности двойных рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН Армянской ССР. Сер. математика. 1974. Т. 9. №1. С. 40-61.

8. Мушегян Г.М. О множествах единственности для системы Хаара // Изв. АН Армянской ССР. Сер. математика. 1967. Т. 2. №6. С. 350-361.

9. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. С.-П., 1999. Изд. 3-е.

10. Петровская М.Б. Некоторые теоремы единственности для рядов по системе Хаара // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 1964. №5. С. 1528.

11. Петровская М.Б. О нуль рядах по системе Хаара и множествах единственности // Изв. АН СССР. Сер. математика. 1964. Т. 28. С. 773-798.

12. Привалов И. И. Обобщенные теоремы Paul du Bois Reymond'a // Матем. сб. 1923. T. 31. №2. С. 229-231.

13. Рудин У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. Изд. 2-е.

14. Сакс А. Теория интеграла. М., 1949.

15. Скворцов В. А. Вычисление коэффициентов всюду сходящегося ряда Хаара // Матем. сб. 1968. Т. 75. Вып. 3. С. 349-360.

16. Скворцов В. А. Дифференцирование относительно сетей и ряды Хаара // Матем. сб. 1968. Т. 4. Вып. 1. С. 33-40.

17. Скворцов В. А. Некоторые обобщенные теоремы единственности для рядов по системе Уолша // Матем. заметки. 1973. Т. 13. №3. С. 367-372.

18. Скворцов В. А. Об одном примере двойного ряда Хаара // Матем. заметки. 1980. Т. 28. №3. С. 343-353.

19. Скворцов В. А. Об одном примере нуль-ряда по системе Уолша // Матем. заметки. 1976. Т. 19. № 2. С. 179-188.

20. Скворцов В.А. О коэффициентах сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 1973. №6. С. 77-79.

21. Скворцов В. А. О множествах единственности для многомерных рядов Хаара // Матем. заметки. 1973. Т. 14. №6. С. 789-798.

22. Скворцов В.А. О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательности частичных сумм // Доклады АН СССР. 1968. Т. 183. №4. С. 784-786.

23. Скворцов В. А. Теорема типа Кантора для системы Хаара // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 1964. №5. С. 15-28.

24. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // Матем. сб. 1964. Т. 63. Вып. 3. С.356-391.

25. Шнейдер А. А. О единственности разложения по системе функций Уолша // Матем. сб. 1949. Т. 24. Вып. 2. С. 279-300.

26. Bongiorno ВL. Di PiazzaSkvortsov V.A. A new full descriptive characterization of Denjoy-Perron integral // Real Analysis Exchange. 1995/96. V.21(2). P. 656-663.

27. Buczolich Z., Pfeffer W.F. Variations of additive functions // Czechoslovak Mathem. J. 1997. V.47. № 3. P. 525-555.

28. Coury J.E. A class of Walsh M-sets of measure zero //J. Mathem. Analysis Applications. 1970. V. 31. № 2. P. 318-320.

29. Jarnik J., Kurzweil J. A general form of the product integral and linear ordinary differential equations // Czechoslovak Mathem. J. 1987. V. 37(112). P. 642-659.

30. Jarnik </., Kurzweil J. Equiintegrability and controlled convergence of Perron-type integrable functions // Real Analysis Exchange. 1991. V. 17(1). P. 76-81.

31. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionensysteme // Mathem. Ann. 1910. V. 69. P. 333-371.

32. Lee P.Y., Vyborny R. Kurzweil-Henstock integration and strong Lusin condition 11 Boll. Univ. M.I. 1993. V. 7-B. P. 761-773.

33. Ostaszewski K.M. Henstock integration in the plane // Memoirs of Amer. Mathem. Society. 1986. V.63. №353. P. 1-106.

34. Paley R.E. A. C. A remarkable series of orthogonal functions / Proc. London Mathem. Society. 1932. V. 34. P. 241-279.

35. Pfeffer W.F. A descriptive definition of a variational integral and applications // Indiana Univ. Mathem. J. 1991. V.40. №1. P.259-270.

36. Pfeffer W.F. Comparing variations of charges // Indiana Univ. Mathem. J. 1996. V. 45. №3. P.643-654.

37. Pfeffer W.F. The Riemann approach to integration. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993.

38. Wade W.R. Sets of uniqueness for Haar series // Acta Mathem. Academiae Scientiarum Hungaricae. 1977. V. 30(3-4). P. 265-281.Работы автора по теме диссертации

39. Плотников М.Г. Об интеграле Моэна и его приложении к рядам Хаара / / Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 2000. №4. С. 63-66.

40. Плотников М. Г. О единственности всюду сходящихся кратных рядов Хаара // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 2000. №1. С. 23-28.