Некоторые вопросы единственности разложения фунуций в ряды по мультипликативным системам и системам типа Хаара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

I1ABA I. Дифференцирование относительно сетей и единственность рядов по периодическим мультипликативным системам и системам типа Хаара

§1. Определения и некоторые свойства периодических мультипликативных ортонормированиях систем vpjp^ и систем типа Хаара

§2. Понятие дифференцирования относительно сетей Qh. Признак монотонности функции в терминах Q -производной,

§3. Восстановление коэффициентов рядов по системам типа Хаара, сходящихся к функциям, интегрируемым в смысле Перрона.

§4. Восстановление коэффициентов сходящихся рядов по мультипликативным системам ^{р^.

1ЛАВА II. Некоторые теоремы единственности для рядов по мультипликативным системам ^{рД.

§1. О формальном произведении для рядов по системам Ч^РлУ

§2. Достаточные условия для II-множеств. Пример континуального замкнутого И множества для системы

§3 ill-множества нулевой ft-меры для системы ^{р^

§4. О сумме замкнутых -множеств для системы

§5. Аналог одной теоремы Привалова для систем ^

§6. Теорема единственности для некоторого метода суммирования

ГЛАВА III. О множествах относительной единственности для рядов го по мультипликативным системам pj.

§1. Ц,({,\множества для систем vf^p^

§2. Об К-мере дополнения ЦДОчшкжества.

§3. (Х^р) -множества для системы ^{р^.

Вопросы единственности разложения функций в ряды по ортого-[альным системам представляют собой важную часть теории ортогональна рядов. Возникновение этой проблематики связано с классической 'еорией единственности тригонометрических рядов, развитой в работах Г.Кантора, А.Лебега, Ш.Валле-Пуссена, А.Данжуа, Д.Е.Меньшова, I.К.Бари, А.Райхмана и др. (см.® , [14] )

В последние десятилетия активно разрабатывается теория единственности для рядов по системам Хаара и Уолша.(В.А.Скворцов, 1.А.Талалян, Ф.Г.Арутюнян, А.А.Шапиро, В.Вейд, Г.М.Мушегян, Г.1Ьворкян и др.)

Интенсивное изучение рядов по системам Хаара и Уолша обусяов-юно возросшим использованием этих систем в прикладных вопросах (в теории кодирования, в цифровой обработке сигналов, в распозно-зании образов) (см. ) и в решении зёздан общей теории ортогональ-гшх рядов (см. [32] , [ЗЗ]). Обзор основных результатов по системам Каара и Уолша можно найти в [ш] и [4] .

В последнее время в том же круге прикладных вопросов наряду с системой Уолша стали использоваться более общие мультипликативные системы ( такие как система Крестенсона-Леви, системы Прайса, системы Виленкина-Дкафарли) (см.\j\ , [Г7]) Эти системы представляют большой интерес с точки зрения гармонического анализа, являясь системами характеров соответствующих компактных групп.Много основополагающих результатов по мультипликативным системам (в частности по вопросам приближения функций полиномами по этим системам ) получею в работах A.B.Ефимова,С.Ватари, А.И.Хубинштейна.С.Л.Впашша и др.

Представляет также интерес впервые рассмотренный Н.Я.Виленки-ннм (см. \Г7~]) класс ортогональных систем типа Хаара, содержащий в себе классическую систему Хаара40 и связанный с соответствуюим классом мультипликативных систем (см.так же [п], ¡12], [бЦ ).

Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов едине-•венности разложения функций в ряды по мультипликативным ортонор-мированным системам Прайса и системам типа Хаара. Также рассматриваются вопросы восстановления коэффициентов сходящихся рядов по указанным системам.

Первые результаты по теории единственности разложения функций по системе Уолша были получены в 1947 году Н.Я.Виленкиннм ЙЗ, в 1949 году А.А.Шнейдером [35], Н.Файном [38] а по системе Хаара -в 1964 году В.А.Скворцовш[24] , Ф.Г.Арутюняном и А.А.Талаляном И, М.Б.Петровской£21] .

Вопросы единственности разложения функций по мультипликативным системам рассматривались Н.Я.ВиленкинымЙ, А.М.Зубакиным и И.И.Тузиковой [15] , В. А. Скворцовым ^25^ а по системам типа Хаара -Н.Я.Виленкинымр] , Г.М.Мушегяном [19] .

Настоящая работа состоит из трех глав. Нумерация теорем и формул трехзначная: первое число означает номер главы, второе-номер параграфа, третье - собственный номер теорем и формул внутри параграфа.

Первая глава диссертации посвящена вопросу восстановления коэффициентов рядов по мультипликативным системам Прайса и системам типа Хаара, сходящихся к конечной, интегрируемой в смысле Перрона функции. Для систем Уолша и Хаара в этом направлении ранее были получены следующие результаты.

Ф.Г.Арутюнян и А. А. Тал ал ян [3] в 1964 году доказали, что если подпоследовательность частичных суш с номерами 1 ^ ряда по системе Уолша с коэффициентами, стремящимися к нулю, сходится всюду, щюме счетного множества, к суммируемой функции, то этот ряд есть ряд Фурье-Лебега своей суммы. В [3] ими же было установлено, оо что, если у ряда у п0 системе Хаара некоторая подпосле

11 довательность частных сумм сходится к функции | ЩеЦоД] всюду, кроме, быть мсжет, счетного множества точек, и = о{ для любой точки 4:вб[0;1] , где {и^} - последовательность всех натуральных чисел, для которых ^(-Ьо)^ » то этот ряд является рядом Зурье-Лебега функции Щ) .

Эта теорема в 1970 году была перенесена Г.М.Мушегяном [$] на системы типа Хаара. Вышеуказанный результат для случая систем Уолша в несколько ином варианте независимо бью получен Р.Криттен-деном и В.Шапиро ¡Зб]. Затем В.А.Скворцовым было показано, для систем Хаара и Уолша эти утверждения сохраняет силу в случае функции, интегрируемых по Перрону (см.[29] ,¡2б])

В главе I аналогичные вопросы рассмотрены для мультипликативных систем Прайда и систем типа Хаара. В §1 главы I приводятся определения и некоторые свойства мультипликативных систем Прайса и систем типа Хаара, которые в дальнейшем обозначаются соотвеоь ственно через ^Чр^ и ЗДр^ , где (?п}2± ,[Рк/1) ~ последо~ вательность натуральных чисел с помощью которых определяются системы Ч {р^ и ^{Ра] • ПРИ этом есяи то Ука~ занные системы представляют соответственно систему Уолша в нумерации Пэли и классическую систему Хаара.

В связи с теорией единственности рядов по системам Уолша и Хаара В. А. Скворцовым \2б\ - [30] был разработан метод дифференициро-вания относительно бинарных сетей. С помощью этого метода, в частности, была установлена следующая

Теорема А ( В. А.Скворцов\2б] ) Пусть ^(зс) - частичные суммы рада по системе Уолша 21 (ЬЧ> (ос) с условием йпгО^О и пусть для некоторой конечной, интегрируемой в смысле Перрона ( Г-интедра-ла) функции выполняется равенство ^Ст (х) ^ для всех Хб£01] » кроме, быть может, некоторого счетного множества. Тогда данный ряд является рядом Фурье-Перрона функции по системе Уолша, т. е. (V

Р) ^(х^^сЬс. о

В §2 главы I по аналогии с тем случаем [27] j[28] , когда вводятся понятие непрерывности (GL -непрерывность) и производной (Q -производной ) относительно сетей Q^ , соответствующей произвольной последовательности затем доказывается следующая теорема. (Ниже через Q обозначено множество -рациональных чисел из ^0(±] , а через 3 -множество jр^ -иррациональных чисел (см. §1. гл.1))

Теорема 1.2.1. Пусть функция у (ос) определена для всех X 6 Q. г\ £а, $ » [аД] С [ О, ±] » Q -непрерывна для всех ас е [Cl; Й и для всех зс€ Зо[С1,£] , кроме, быть мажет, некоторого счетного множества Е , выполняется неравенство Тогда функция у (х) не убывает на

Теорема 1.2.1 в случае n=l,2v. была доказана

В. А. Скворцовым [27] .

В §3 результат предыдущего параграфа используется для доказательства теоремы о восстановлении коэффициентов сходящихся рядов по системам типа Хаара 0С{рц}* ^ именно, основным результатом этого параграфа является следующая

ОО

Теорема I.3.I. Пусть ряд 2 (V/Jctf по системе типа Хаара у.{ъЛ удовлетворяет условиям а) для любой точки а^еГОД] где H^rig/. суть все те номера h- , для которых б) некоторая подпоследовательность частичных сумм вида

Х. &.кХДх\ сходится на отрезке [о l] .всюду, rTLnj К-^Х 7 кроме, быть может, некоторого счетного множества точек, к некоторой конечной, интегрируемой в смысле Перрона функции 4(ее). Тогда данный ряд является рядом Фурье-Перрона функции

IW по

-km. =0,

К. 1 ' ' системе типа Хаара ^ р^} .

Теорема I.3.I в случае сумм!фуемой функции другим методом была установлена Г.М.%шегяном[19^, а для системы Хаара, как уже отмечалось выше, в случае суммируемой функции она доказана ФгГ. Арутюняном и А. А. Талаляном [з], которые впервые сформулирова ли аналог условия а) для системы Хаара, а в случае интегрируемой по Перрону функции - В.А.Скворцовым[29]

В качестве следствия теоремы I.3.I можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 1.3.2. Пусть ряд по системе типа Хаара сходится всюду на отрезке [од! к некоторой конечной, интегрируемой в смысле Перрона функции -f(x). Тогда этот ряд является рядом Фурье-Перрона функции ^(х) по системе типа Хаара Т^рп}*

В §4 главы I устанавливается аналог теоремы А для произвольных мультипликативных систем ^Чр^ , А именно доказывается Теорема 1,4.1. Пусть у ряда по мультипликативной системе о

X iMoc) с условием itm§fc-6 некоторая подпоследо

К-О ' вательность частичных сумм вида

J к=о сходится на отрезке всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества точек, к некоторой конечной функции -flac) , интегрируемой в смысле Перрона. Тогда этот ряд является рядом Фурье-Перрона функции -f[x] по системе \j>{ р^.

В качестве следствия теоремы I.4.I можно сформулировать аналог теоремы 1.3.2 для мультипликативных систем ЦЧрД*

Еяава II посвящена изучению множеств единственности (li-мног жеств) и множеств неединственности (^--множеств) для рядов по мультипликативны«! системам

Напомним, что множество Е » принадлежащее области опреде

8 оо I ления системы называется множеством единственности или Ц. -множеством для этой системы, если всякий ряд по системе » сходящийся к нулю всюду вне Е , имеет все коэффициенты, равные нулю. Множества, не являющиеся Ц-множествами, называются XI -множествами.

Для рядов по мультипликативным системам аналог теоремы Каноо тора в 1947 году была доказана Н.Я.Виленкиным^сли ряд X Л^Ф) всюду сходится к нулю, то а^ = О при всех К-0/1Д,. Затем в 1949 году одновременно А.А.Щнейдер \35] и Н.Фаин \38] показали, что для рядов Уолша счетное множество является И -множеством. Кроме того А.А.Шнейдер ¡35] построил 11- множество меры нуль для системы Уолша, а так же класс совершенных Ц. -множеств для этой системы. Эти результаты А.А.Шнейдер получил с помощью формального произведения, введенного им для системы Уолша по аналогии с рассмотренный Раихманом формальным произведением для тригонометрической системы.

В §1 главы II следуя А.А.Шнейдеру [Зб] вводится понятие формального произведения для рядов по мультипликативным системам и доказываются некоторые вспомогательные леммы о свойствах формального произведения. Эти результаты о формальном произведении являются основным рабочим аппаратом главы II.

В §2 устанавливается, что как и в случае системы Уолша [35] любое множество положительной меры является ЛЛ- -множеством для мультипликативных систем ^{р^ • В следующей теореме этого параграфа дается достаточное условие для того чтобы множество было \Х -множеством для системы 44Рп}* А именно, справедлива

Теорема 2.2.2. Множество Е будет Ц -множеством для мультипликативной системы ^{рц}» если для него найдется последовательность функций (Б-АХ.)» опадающая свойствами : х)- 2 причем

Vs а) Г UfU^^ б) [¿f М>0 при S-9 00 (£=1, п.

2. Fs(x)-0 на Е , кроме, быть может, точек множества $сЕ Щ?0 которое заранее известно, что оно является U -мно-кеством для системы •

Эта теорема для системы Уолша ( случай п) была доказана А.А.Щейдером[35], а в случае р^-p = coaS-t3 lx=i,2 В.Вей-дом (48]. В конце параграфа 2 на основании теоремы 2.2.2 строится континуальное замкнутое Ц- множество для мультипликативной системы fip^ » ЧРИ условии, когда соответствующая последовательность (р^ имеет подпоследовательность {f^^} . ограниченную в совокупности.

В § 3 главыП строится пример JU. -множества нулевой К- -меры для произвольной мультипликативной системы Ч4р|г}' Этот результат аналогичен результату В.А.Скворцова для системы Уолша \3l]. Доя случая тригонометрической системы такой результат был установлен O.G. Ивашевым-Мусатовым \\ Ö

Цусть Кft)-определенная на Г0, + о°) неотрицателЬая неубывающая функция, для которой b.(o-A-h(o)=0. Тогда будем говорить, что 1г-мера некоторого множества Е равна нулю, если для любого 6?0 найдется система отрезков ; шо

При указанных предположениях относительно функции ^Д-к) доказывается следующая

Теорема 2.3.1. Для любой функции k(-t) и для каждой систе мы ^Чр^} существует множество Е С"[о, ±] , к. -мера которого равна нулю и которое является XL -множеством для системы р^. Отсюда, в частности, следует существование Jll -множества меры нуль для произвольной мультипликативной системы ^{pj. Как уже отмечалощ» выше существование М, -множества нулевой меры для системы Уолша впервые было установлено А.А.Шнейдером C3ÉJ. Хорошо известно, что существование JU.-множества нулевой меры для тригонометрической впервые было доказано Д.Е.Меньшовым в 1916г. (см1б]) В.А. Скворцовым [25] было построено JU-множество меры нуль для мультипликативной системы ЧЧр^ при условии, когда соответствующая тоследовательность ^р^ ограничена в совокупности.

В §4 главы II сначала доказывается одна вспомогательная теорема (теорема 2.4.1), представляющая и самостоятельный интерес, затем устанавливается, что счетная сумма замкнутых Ll-множеств идя мультипликативной системы ^{р^}, так же является Ц. -множеством для этой системы. Этот результат, являющийся аналогом из-зестной теоремы Н.К.Бари для тригонометрической системы, в случае зистемы Уолша был установлен В.Вейдом [47] .

В §5 для мультипликативной системы ЧЧрп} доказывается ана-юг одной теоремы И.И.Привалова[22], доказанной им для тригонометрической системы: ряд сходящийся к конечной суммируемой функции зне замкнутого IL -множества, является рядом Фурье своей суммы. 3 случае системы Уолша подобный результат был установлен В. А. Сквер-зрвш\2б].

В заключении главы II ( §6) приводится результат, касающийся зосстановления коэффициентов рядов по мультипликативным системам , суммирующихся некоторым регулярным методом к конечной зуммируемой функции. Этот результат аналогичен соответствующему результату М.И.Лифшица]18], доказанному для тригонометрической систв -га.

Еяава III посвящена исследованию множеств относительной единственности (ЩЙ- и Ü(pV множеств ) для мультипликативных систем ^^ . Приведем соответствующее определение. oo

Пусть {¿h} последовательность положительных чисел, монотонно стремящихся к нулю. Множество Б сГСЦб] называется множеством единственности относительно последовательности fi^ (или №(£)-множеством) для ортонормированной на системы еали лобой ряд 2 по системе (*]}. сходящийся к нулю всюду вне ~ и удовлетворяющий условию » имеет всё коэффициенты, равные нулю. Понятие U(б) -множества было введено А.Зишундом (см [б] или ¡14]) для тригонометрической системы и им была доказана следующая Теорема Б (А.Зишунд ) Какова бы ни была последовательность » м°®но найти соответствующее ей -множество для тригонометрической системы, меры сколь угодно близкой к .

Вопрос о существовании -множества полной меры для тригонометрической системы, поставленный А.Зитаундом (см. [14]), был решен К.П.Каханом и И.Кацнельсоном ¡4l]. А именно, ими была доказана следующая

Теорема С . ( й.П.Кахан, И. Капнельсон 41 ) Для любой последовательности существует соответствующее ей Ll(£)-множество для тригонометрической системы, мера которого равна 251.

Для системы Уолша аналог теоремы А.Зишунда был установлен В.Шапиро [4б], а аналог теоремы Ж.П.Кахана и И.Кацнельсона -Т. Г. Геворкяном [в] и A.B. Бахшецяном [б] . Кроме того, Г. Г. Геворкяном в {в] была доказана следующая

Теорема Д. (Г.Г.Геворкян 8 ) Пусть 4 0 система

Хаара. Существует множество Ec[ö;i], mdE=l такое, что если n-0}ir>. и для некоторой подпоследовательности {пЛ Kj ' J~d ferrt адсЛх)-0 при ocelo l]\E , то все коэффициенты CLK равны нулю.

В §1 главы III результат Г.Геворкяна[8] и А.В.Бахшецянай распространяется на мультипликативные системы vf>{p^ с условием: соответствующая последовательность {имеет не ко трута подпослв -довательность {рц^ » ограниченную в совокупности. А именно, устанавливается

Теорема 3.1.1 Пусть и мультипликативная система такова, что для некоторой подпоследовательности ОъЛГ к I 1 ак

Тогда существует множество ЕС[0}1], такое, что если О у ряда по указанной системе vf{ pj коэффициенты удовлетворяют условию Ct^ = О С^к^ и некоторая подпоследрвательlrw-1 частичных сумм вида £>т Д^-^Гс^М^ сходится к цулю всюду вне Е , то все коэффициенты Q,K равны нулю.

Теорема 3.1.1 в случае системы Уолша была установлена Г.Г.Геворкяном и А.В.Бахшецяном[б|. При доказательстве теоремы 3.1.1 мы пользуемся методом Г. Г. Лзворкяна \ё\.

Из теоремы 3.1.1 непосредственно следует существование множества полной меры для вышеуказанных мультипликативных систем ЧЧр^ . В конце параграфа I главы III из теоремы 3.1.1 выводится аналог теоремы Д для систем типа Хаара X^Prv} с условием

Из теоремы 3.1.1 следует, что какова бы ни была последовательность существует соответствующее ни ll[&) -множество полной меры для мультипликативной системы ^{рп,} с Условием

Sapp^^to0. В §2 главы III показывается , что этот результат может не иметь места в терминах К -меры Хаусдорфа. Доказывается

Теорема 3.2.1. Пусть последовательность и функция

Н(х1 > задающая К -меру Хаусдорфа, удовлетворяют условиям iu hi^oo . Тогда не существует 1([<*}множества для системы ^{р^ (Sapp^i-««) дополнение которого имело бы конечную к -меру. кативных систем

В §3 главы III рассматриваются Щр) -множества для мультипли

ЧЧРаЬ

Пусть ^Yn(х^^ортонормированння на система. Множество Е: CtCL Й называется [Др] -множеством для системы

-оо 1 1

- ' еСХЛИ И3 сходимости РЯД3- Z- (эс") к нулю всюду

К-0 вне Е при условии 2 для некоторого , сле1 дует, что все коэффициенты Ctfo равны нулю.

Существование Ц[р) -множества полной меры для тригонометрической системы было установлено Мичелом и Сорди [42], для системы Уолша Г. Г. 1ёворкяном [9]. Нами этот результат переносится на случай произвольных мультипликативных систем ^Р {р^} •

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность своим научным руководителям чяен-корр.АН СССР, профессору Д.Е.Меньшову и доктору физ.-матем. наук В.А.Скворцову за постановку задач и постоянное внимание к работе. ь 14

1. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Дкафарли Г.М., Губинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку, "Илм", 1981г.

2. Арутюнян Ф.Г. Восстановление коэффициентов рядов по системам Хаара и Уолша, сходящихся к функциям, интегрируемым по Дашуа. Изв. АН СССР, серия матем., 30, №2, 1966 г., стр. 325 344.

3. Арутюнян Ф.Г., Талалян А.А. 0 единственности рядов по системам Хаара и Уолша. Изв. АН СССР, серия матем., 28, №6, 1964 г., стр. 1391 1408.

4. Балашов Л.А., Рубинштейн А.И. Ряды по системе Уолша и их обобщения. В сборнике " Итоги науки. Матем. анализ, 1970", М., 1971 г., стр. 147 202.

5. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М., Физматгиз, 1961 г.

6. Бахшецян А.В. Об tM -множествах полной меры для системы Уолша. Изв. АН Арм. ССР, матем. 16, №6, 1981 г., стр. 431 443.

7. Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем. Изв. АН СССР, серия матем., II, вып.4, 1947 г. стр. 363 400.

8. Геворкян Г. Г. 0 множествах единственности для систем Хаара и Уолша. ДАН Арм. ССР, IJOCIII, 1£2, стр. 91 96.

9. Ефимов A.B. О некоторых аппроксимативных свойствах периодических мультипликативных ортонормированных систем. Матем. сб., 69, J&3, 1966 г., стр.354 ЗТО.

10. Зигмунд А. Тригонометрические рады, т.1, 2 . М., "Мир", 1965г.

11. Зубакин А.М., Тузикова И.И. О мнсжествах единственности рядов по мультипликативным периодическим системам. Труды зон. обьед. матем. кафедр пед. ин-ов Сибщш. вып.1, 1972 г.,стр. 62 63.

12. Ивашев-Мусатов О.С. М-множества и fv-меры. Матем. заметки. 3:4 , 1968 г.,0441 447.

13. Качмаж С., Штейвгауз Г. Теория ортогональных рядов. М., Физ-матгиз, 1958 г.

14. Лифшиц М.й. О единственности разложения функций в тригонометрический ряд для методов суммирования . Вестник МГУ, $ 3, серия матем. 1964 г., стр. 15 24.

15. Мушегян Г.М. О единственности рядов для одного класса ортогональных систем. Изв. АН Арм. ССР, матем., 5, вып. 2 , г.2Q стр. 138 153.Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.,"Наука" 1974 г.

16. Петровская И.Б.Некоторые теоремы единственности для рядов по системе Хаара. Вестник М1У, серия мат. мех., 5, 1964 г.,с.15-28.

17. Цривалов И.И. Обобщение теоремы йам* cta ßoCs Reymon/ da Матем. сб., 31:2, 1923 г., стр. 229 231.

18. СакасС. Теория интеграла. ИЛ, 1949 г.

19. Скворцов В.А. Теорема типа Ханрара для системы Хаара. Вестник МГУ, серия матем., 5, 1964 г., стр. 3-6.

20. Скворцов В.А. О нуль-рядах по некоторой мультипликативной системе. Вестник М1У, серия матем., 6, 1979 г., стр.

21. Скворцов В.А. Некоторые обобщения теоремы единственности длярядов по системе Уолша. Матем. заметки, 13, вып.З, 1973 г.,стр. 367-372.

22. Скворцов В.А. Некоторое обобщение интеграла Перрона. Вестник МГУ, серия матем., 4, 1969 г., стр. 48-51.

23. Скворцов В.А. Дифференцирование относительно сетей и ряды Хаара. Матем. заметки, 4, JéI, 1968 г., стр. 33-40.

24. Скворцов В.А. О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательностям частичных сумм. ДАН СССР, 183, в.4, 1968 г.

25. Скворцов В.А. Теоремы единственности рядов Хаара для методов суммирования. Матем. заметки. 9,М, 1971 г., 449-458.

26. Скворцов В.А. Об lv -мере М-множества для системы Уолша Матем. заметки, 21, в.2, 1977 г., стр. 335-340.

27. Ульянов П.Л. Расходящиеся ряды Фурье. УМН, 16:3, 1961 г., стр. 61-142.

28. Ульянов П.Л. Расходящиеся ряды по системе Хаара и по базисам. ДАН СССР, 138, в.З, 1961 г., стр. 556-559.

29. Хармут X. Теория секвентного анализа ( основы и црименения)М., "Мир", 1980 г.

30. Шнейдер А. А. 0 единственности раложений по системе функций Уолша. Матем. сб., 24:2, 1949 г., 279-300.

31. Wacte W. i, UtUoiieMSS Uemem fo<z haxu and Wsk^eues, Tzdns. flmn. Mciik. Soc, SU, 1969,Waécvü C\ fi gwiaHita-ÍCotL of Hcul-l funckms. TohoK* Jliabk, J, g> 1*53, p. 2*€-3S3,

32. Бокаев H.A. О множествах единственности для некоторых ортонормировании систем. Деп. в ВИНИТИ АН СССР 3 августа1983 г., №4288 83 Деп. 21 стр.

33. Бокаев H.A. Дифференвдгрование относительно сетей и ряды по некоторым ортонормированным системам. Известия АН Каз. ССР, серия физ.-мат., №3, 1984 г., стр. 13-17.

34. Бокаев H.A. О множествах относительной единственности для одного класса мультипликативных ортонормированных систем. В. сб. Тезисы докладов УШ республиканской научной конференции по математике и механике. Алма-Ата, 4-6 сентября1984 г., стр. 13.

35. Бокаев H.A. О множествах единственности для одного класса ортогональных систем. В сб. Современные вопросы теории функций и функционального анализа. Караганда, 1984 г., Кар1У, стрД9-26.