Коэффициенты Фурье и мажоранта частичных сумм рядов по системам типа Хаара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ-АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

на правах рукописи УДК 517.51

Аубакиров Тойбек Уатаевич

КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ И МАЖОРАНТА ЧАСТИЧНЫХ СУММ РЯДОВ ПО СИСТЕМАМ ТИПА ХААРА

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы - 1998

Работа выполнена на кафедре математики н методов моделирования Карагандинского государственного университета имени Е.А.Букетова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Н.А.Бокаев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Н.Т.Темиргалнев кандидат физико-математических наук, доцент Д.Б.Базарханов

Ведущая организация: Казахский государственный национальный университет имени Аль-Фарпбн

Зашита диссертации состоится /6' & С • У (У_в /О

часов на заседании специализированного Совета Д.53.04.01 в Институте теоретической и прикладной математики МН-АН Республики Казахстан по адресу: 480021, г.Алматы, ул.Пушкина, 125.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной математики МН-АН Республики Казахстан.

Автореферат разослан _ 1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических

наук • А.Т.Кулахметова

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию свойств коэффициентов Фурье и мажоранты частичных сумм рядов Фурье по системам типа Хаара. В ней рассматриваются вопросы мультипликативного преобразования рядов Фурье, сходимость рядов, составленных из коэффициентов Фурье, интегральные свойства мажоранты частичных сумм рядов Фурье, а также системы функций типа Фабера-Шаудера, связанные с системами типа Хаара.

Классическая система Хаара, построенная Хааром в 1909 году, играет важную роль в теории ортогональных рядов и ее приложениях в'вычислительной технике в теории вероятностей и др. Основополагающие результаты по теории рядов Хаара получены А.Хааром, И.Шаудером, Г.Алекснчем, Д.Марцинкевичем, С.Качмажем, П.Л.Ульяновым, А.А.Талаляном, А.М.Олевским, Б.И.Голубовым, В.А.Скворцовым, С.В.Бочкаревым и др.

В последние десятилетия активно изучается класс ортонормиро-олнных систем, содержащий в себе систему Хаара, впервые рассмотренный Н.Я.Виленкиным1. Каждая система \{рп} этого класса определяется последовательностью целых чисел {рп}, р„ > 2, п = 1,2,... и при р„ = 2,п = 1,2.... совпадает с системой Хаара. Ряды по системам класса \ изучались в работах Б.И.Голубова, А.Е.Рубинштейна. Е.А.Власовой, К.Тухлиева, Е.С.Смаилова, Е.А. Кочетковой, СЛГазабекова, Н.А.Бокаева. Г.А.Акишева, Е.Ж.Айдосова и др. При этом обнаружилось, что многие результаты, известные для системы Хаара, сохраняются и для систем типа Хаара .\{р„}. но в случае неограниченности образующей последовательности {р„} могут иметь место и другие результаты.

В настоящей работе рассматриваются ряды по системам класса \ как с ограниченными так и с произвольными образующими последова-

'Ни.кнкпн II.Я. Дополнение к книге Качмаж С., Штейнгау! Г. Теорна ортогональных радое.

М.:Фи1м«тпи. I

тельностями {рп}.

Цель работы. Исследование мультипликаторных преобразований рядов Фурье по системам типа Хаара для различных классов функций; установление необходимых и достаточных условий сходимости и расходимости рядов из коэффициентов Фурье по системам типа Хаара; исследование интегральных свойств мажоранты частичных сумм рядов Фурье и функцнц Пэли; построение нового класса систем функций типа Фабера-Шаудера, связанного с системами типа Хаара. и изучение его свойств.

Методика исследования. В диссертации применяются общие методы метрической теории функций и теории ортогональных рядов, а также методы теории мартингалов, связанные с построенном моментов остановки применительно к рядов по системам типа Хаара.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Получено необходимое и достаточное условие существования функции из класса Я"1'1*', обладающей особенностью Карлемсна относительно системы типа Хаара; установлены необходимые п достаточные условия принадлежности последовательности {А„} классам мультипликаторов (¿^(а). ¿,) и (Ер(а),Еч(0))\ определено необходимое и достаточное условие на порядок роста образующей последовательности }?=1 системы типа Хаара для сохранения Теоремы типа рсрнштойна-Саса об абсолютной сходимости рядоБтЧ-йставлсшшх из коэффициентов Фурье; доказала эквивалентность норм мажоранты частичных сумм и функции Пэли рядов Фурье по системам типа Хаара в пространстве ¿1(0,1]; построены примеры функций из класса ¿<¿>(¿1. для которых мажоранта частичных сумм не суммируема, а также, пример функции из класса ¿,,[0.1]2 с оператором Пэли, не принадлежащим ¿,,[0,1]2; доказано. что атомическое пространство Харди содержит все функции из ¿,[0.1] с суммируемой мажорантой частичных сумм ряда Фурье по системе типа Хаара: введен новый класс систем функций, содержащий систему Фабера-Шаудера, и установлены некоторые свойства этого класса.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационного исследования расширяют II углубляют теорию рядов по системам типа Хаара. Полученные результаты могут найти применения при решении родственных вопросов для других ортогональных систем функций.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на республиканских научных конференциях ( Алматы 1993г, 1995г., Шымкент 1996г.). в ИТПМ на семинаре член-корр. АН РК Н.К.Блиева и проф. Л.П. Фалалеева, в КазГУ им. Аль-Фараби на семинаре член-корр. АН РК А. А.Женсыкбаева. в А ГУ на семинаре член-корр. АН РК М.О.Отелбаева, в ЕАУ им.Л:Н.Гумилева на семинаре проф. Н.Т.Темиргалнсва, в КарГУ им. Е.А.Букетова на семинаре проф. Е.С'.Сманлова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения. трех глав н списка литературы. Объем диссертаций составляет 104 страницы машинописного текста, библиография содержит 67 наименований.

Краткое содержание работы.

Прежде чем перейти к изложению результатов работы приведем краткое определение интерес ующего нас класса ортогональных систем типа Хаара.

Каждая система } определяется последовательностью целых чисел {/»„}, рп > 2, п = 1,2,... Положим 7»о = 1, тп = р\рг—рп~ " — ... Тогда, для любой точки .с 6 [0,1}/(}, где С} = п > 0, 0 < / < ш», / € 2 имеет место единственное разложение э® а'

.1- = £ —■ 0 < -''л < Рп - 1. € 2.

„=1

Любое целое число /,• > 2 единственным образом представляется в виде А- = тп + г(рп+1 - 1) +

/1=0.1.2,...: г = 0,1...., т„- 1; в =1.2,..., р„+1-1. (0.1) Определим систему функций \{р„} = {

Х1(х)=1, х € [0,1], _ I ^«Ф2!^. при х € (£,£)/<?

\0, при^,^]

где к > 2, п,г,я, нз (0.1). В остальных точках интервала (0.1) функции полагаются равными полусумме своих предельных значений справа и слева по множеству [0,1)/ф а на концах отрезка [0,1] - предельным значениям изнутри отрезка. Если все рп = 2, п = 1,2,..., то введенная система функций совпадает с классической системой Хаара. поэтому систему функций {называют системой типа Хаара ( пли. иногда, обобщенной системой Хаара).

В первом параграфе приводятся определение и свойства систем типа Хаара.

Во втором параграфе рассматривается особенность Карлсмана для систем типа Хаара. В 1918 г. Карлеман обнаружил, что существует непрерывная функция }{х) такая, что

£ |в„|2"' + 1М2_< = при всех £ > О,

п=|

где а„ н ¿„-коэффициенты Фурье функции /(х) по тригонометрической системе. В связи с этим говорят, что функция /о(х) обладает свойством Карлсманаотносительно ортонормированной системы {(¿„(.г)}^|,е'лп

эо

Е Ы/о)Г' = 00 ПР" ВССХ £ >

я=1

где

ОпШ = / /о(х)^„(г №.

а

Результат Карлемана обобщался различными авторами (Банахом. Пэлн, Орлнчем, Стечкиным, Ульяновым и др.) Так, например.

А.М.Олевским2 установлено, что для любой полной ортонормирован-ной системы {^„(х)}^-, существует функция /о(х) 6 С(0,1), обладающая свойством Карлемана.

Для случая системы Хаара, П.Л.Ульяновым найдено необходимое и достаточное условие существования функции из класса Н(и>) С С(0,1), обладающей свойством Карлемана. Пусть

AS.f)= sup |/(х,)-/Ы|

|j'i - ы < &

хьг2 е [0.1]

модуль непрерывности функции /(х) € С(0,1). Всякую непрерывную неубывающую функцию ui(5) удовлетворяющую условиям: w(0) = О, + ')) < + ^('j) при 0 < ó < 6+ч < I называют модулем непрерывности. Положим

H"w = {/:/£ С(0,1), uj(5.f) = 0(w(í)) при 5 0}

Справедлива следующая

Теорема 2.1 Для того, чтобы в классе нашлась функция /(х), обладающая свойством Карлемана относительно системы типа Хаара с образующей последовательностью {;;„}, supp„ — N < оо, необходимо

п

и достаточно выполнения условия * е 1

= оо при любом р 6 (1,2).

П— 1 п

Для системы Хаара (в случае р„ = 2. п = 1,2,...) аналогичная теорема доказана П.Л.Ульяновым3. При доказательстве достаточности условия из теоремы 2.1 рассматривается функция

/(-г) = .4 Е (-!)*(£»» - ехр{2*»пцг}

которая принадлежит классу Я"1''1 и обладает свойством Карлемана относительно системы типа Хаара.

2Олевскнй A.M. О расходимости ортогональных рядоо и о коэффициентах Фурье непрерывных функций по полный системам. //Сиб. мат. ж.. 1963, Т4, N3, С.647-656

зулынов П Л. О коэффициентах Фурье. //Мат. сборник, 1979, Т. 110(152) N1(9), С.13-34

В параграфе 3 ^сследуются мультипликативные преобразования рядов Фурье по системам типа Хаара для классов функций, определенных через наилучшие приближения полиномами по этим системам.

Пусть - произвольная ортонормированная система функ-

ций и пусть .4 и В некоторые функциональные пространства. Говорят, что последовательность чисел А = {А„ является мультипликатором класса (.4. В), если для любой функции / 6 А с рядом Фурье

П=1

найдется функция /А из В. ряд Фурье которой совпадает с рядом

ос

Е -М/, ç«)<pn-

п=1

В таком случае обозначают А € (А, В).

Пусть {¡А,}- монотонная последовательность. Обозначим

1Ы = {{К}: К = _

Рассмотрим класс функций Ер(о) :

: ВД = {/€1,10,1]: Я£(Л = 0(пС)},

где 1 < /> < DC. 0 < а < 1, £,'/,'(/)-наилучшсе приближение функции / G L(,[0.1] полнномамн по системе типа Xîwpa порядка не выше чем п.

Для рядов по системе Хаара известны результаты В.И.Голубова'1 для мультипликаторов классу (Н°,Н°), где

H°p={f-.f€L„[0.1]: ^(/i,/)=0(/,°)}

и В.Г.Кротова5 для классов (С,С), (Я°,Я,Й), (ЩЛ,,)

Мы рассматриваем мультипликаторы для рядов Фурье по обобщенным системам Хаара с ограниченными образующими последовательностями 0',,},*), suppn = N <,оо.

П

4Голубой В И. Наилучшие приближения функции t> метрике ¿г полиномами Naapa и Уолша //Млтд-борник. 1972. Т,87, N 2. С.254-274

5Kroiov V.Cî. Ои the multipliers of Fourier ¡»eries with respect lo the Haar system. //Anal.Math., I077.V3. IM87-198

В следующих теоремах устанавливаются необходимые н достаточные условия для вложений С (Е,,(а),

Ч~„} С (Е».ВД). (Ер{а).Ь,) С 1{ы„}, (Ер(а),Еч{3)) С !{*„}

Теорема 3.1. Пусть 1 < р < д < оо, 0 < а < 1. Тогда для того чтобы имело м^сто вложение /{и>„} С (Ер(о), £,) необходимо и

СО ^ А

достаточно, чтобы Е и'п^-' < оо.

п=1

Теорема 3.2. В условиях теоремы 3.1 для вложения (£р(й), Ьч) С /{и;„} необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 3.3. Пусть р < д и /Зд < 1. Тогда

Теорема 3.4. Пусть р > д и ¿у < Тогда для вложения

необходимо и достаточно, чтобы А„ = 0(па~^.

Теорема 3.5. В условиях теоремы 3.4. для вложения (Е,,(а). Еч{3)) С /{*•„} необходимо и достаточно, чтобы '

Необходимость приведенных условий в вышеуказанных теоремах подтверждаются конкретными примерами. При построении соответствующих примеров функций используются специфические свойства систем типа Хаара, связанные с наличием нескольких функций системы типа Хаара с одним и тем же носителем.

Вышеприведенные теоремы 3.1 - 3.5 являются новыми и для системы Хаара. 1

В четвертом параграфе рассматривается сходимость рядов составленных из коэффициентов Фурье по системам типа Хаара. Пусть 0 < а < 1, 1 < р <ло. Положим

£"»(о.Р) = {/ € ¿,[0.1]: £&>(/) = 0(тп~а)},

£,2>(а.р) = {/ € ¿„[0,1]: £•£>(/) = 0(пС,)}-При условии ограниченности образующей последовательности указанные классы совпадают, при неограниченности образующей последовательности они различаются.

К.А.Бокаевым® доказано, что если J (г) 6 £*2>(а, 2), то

' Е М/)|'<» при ■

n=i 2а +1

Нами доказывается, что подобное утверждение для класса функций £(1,{а.2) имеет место только при некоторых ограничениях на образующую последовательность {р„}-

Теорема 4.1. Для того чтобы для любой функции f(x) £ £(1)(а. 2), 0 < о < 1 сходился ряд

ЕМ/^при^^з)

необходимо и достаточно, чтобы последовательность {/>„} удовлетворяла условию: для любого D > 1 существует натуральное число Л'(б) такое, что iti„+\ < ж® при п > Щв).

В пятом параграфе приводится разложение в ряд по системам типа Хаара функции /(х) = х.

Во второй главе рассматриваются интегральные свойства мажоранты частичных сумм рядов Фурье по системам типа Хаара. Пусть функция f(x) £ 1], 1 < р < оо и ряд

£«.(/) \нИ

является рядом Фурье функшш /(г) по системе \{;>н}. И пусть

■V

SnU,*) = Е "»(/)\»к)

n=i

частичные суммы указанного ряда.

Мажорантой частичных сумм ряда Фурье называется оператор вида

S*(f) — х) = sup |5л(/.х)|.

1 <Л'<>:

"Бокаев Н.А. Коэффициенты Фурье и теоремы едннстьонпсхти для рллои по обобщенным cm ie-мам Уолша и Хаара. //Локт. дисс.. Алмлты, 1ГГПМ. ШИ>г.

Функцией Пэли называется оператор вила

P(f) = />(/,*) = {Е М/)\„(*)|8}*-

п=1

Для рядов по системе Хаара Марцинкевичем показано, что при 1 < р < ос имеют место соотношения

РЧ/)11Р*||/||р, IIW)II„~II/IIP.

При р = 1 оба соотношения теряют силу. А именно, П.Л.Ульяновым доказано, что существует функция для которой мажоранта частичных сумм ряда Фурье по системе Хаара несуммируема.Такое утверждение распространено А.М.Олевским на произвольные полные ортонормиро-ванные системы. Нами доказывается следующая ;

Теорема 6.1. Пусть /(*) € ¿i[0,l], a S'(f) и Р(/)- мажоранта частичных сумм и функция Пэли ряда Фурье по системе типа Хаара с образующей последовательностью {р„}. Тогда

а) существует постоянная С\ > 0 такая, что имеет место неравенство ,

РЧЛН^С.НЖЛЩ,, Г>) если sup р„ = N < оо, то существует постоянная Сг > 0 такая, что

л

1И/)1к < Cviis-miu,.

Подобное утверждение для мартннгалов доказано Бурхольдером и Ганди'. При доказательстве теоремы 6.1 используются мартингаль-ныс методы применительно к рядам по системе типа Хаара.

В следующей теореме рассматриваются функции из класса Орлича

WIL).

Теорема 6.2 Пусть последовательность {р„} и функция у(и) таковы. что ¿(а) > 0 возрастает на (0, ее) и удовлетворяет условию

П-+00 п

'Hurkholder Т"» ■ : ,•!, R. Extrapolation and interpolation of quasilinear operators on martingales. //Asia. Mai li I'hO, \\2\.p. 249-304

И

Тогда существует функция /(j-) из класса Ly(L){0,1) такая, что

s-(/.x)e¿,[ o.ij:

Следствие. Пусть supp„ = N < оо, функция <р(и) > 0 возрастает на

п

[0, ос) и <p(u) = o{log(u + 1)) при и оо. Тогда существует функция /(х) из класса L<p(L) такая, что 5"(/,i)€¿i[0.1].

Утверждение следствия для системы Хаара ( случай р„ = 2, п = 1,2....) доказано О.Ковачиком.

В параграфе 7 теорема 6.2 распространяется на случай двойных рядов Фурье по системам типа Хаара, кроме того, доказывается следующая •

Теорема 7.2 Пусть supр„ = оо, supq¡ = оо. Тогда существует ч i

функция /о(х, у) € Lp[0.1]2, для которой

P(fo;x,y)£Lp[Oyl}2, 1<р<2.

В восьмом параграфе доказывается, что атомическое пространство Харли Я(Д) содержит все функции, для которых мажоранта частичных сумм ряда Фурье по системе типа Хаара суммируема. А именно, справедлива,

Теорема 8.1 Если функция / € ¿i[0,1] такова, что S'(f) 6 Ii[0,1], тогда / € Н(Д) и имеет место неравенство

№(ü)<c||s-(/)IL,.

В 1910 году Г.Фабером и позднее, 1927 году Ю.Шаудсром была построена система функций, которая явилась одним из простейших базисов о пространстве непрерывных функций С(0,1). Различные вопросы, связанные со свойствами разложении функций в ряд по системе Фабера - Шаудера, исследовались рядом авторов. В частности, З.Чисельсьим. П.Л.Ульяновым, В.А.Матвеевым, С.В.Бочкаревым, Т.Н.Сабуровой, А.П.Горячевым.

В третьей главе мы вводим новый класс систем функций, содержащий в себе классическую систему Фабера - Шаудера.

Пусть задана последовательность }?=1 натуральных чисел, такая. что р„ > 2. п — 1.2.....Определим систему функций

"ИМ = {y*( l )}f=0- х £ И- В которой

PoW = l, У1(*) = *. 1^(0,1],

(шя+)х-Pn+ir -In+i(i))x

х «ф ^^ + 'TUgtt • . "Plf 1 6 (£,£)/Q

2«i»í,

±l!*¿

0- при *€[£,>£]

Здесь к > 2. /I. с.« те же. что и в определени|1 системы типа Хаара. В случае р„ = 2. п = 1,2,... построенная система Ф{рп} соэдадает с классической системой Фабера-Шаудера.

Непосредственно из определения следует связь системы Ф{рп| с системой типа Хаара \{р„ } :

X *

о о

В теореме 9.1. приводится следующая оценка коэффициентов разложения непрерывной функции в ряд по системе Ф{рп}

(sin—С"+'~г

В десятом параграфе доказывается, что система функций Ф{р„} с

условием supp,, = .V < оо является базисом в пространстве С(0,1), а »i

также доказываются следующие теоремы.

Теорема 10.2. Пусть /(.г) 6 С[0.1], /(0) = /(1) = 0 и 1 < п0 < n¡ < ... последовательность натуральных чисел. Тогда существуют целые числа г4., О <rk < т„к — 1, к = 0,1,2,... и непрерывная на (0,1] функция г(.г) с условием

0 = г(0) < г(х) < т(у) < т(1) = 1 при 0 < I < у < 1 такие, что разложение суперпозиции F(г) — /(r(.í')j по системе Ф{р„} имеет вид

FH = f " 1 aMrkV„k,ri(x).

к= 0 s=l

Аналогичное утверждение для рядов по системе Фабера- Шаудера установлено А.Л.Сяяияном.

Теорема 10.3. Пусть функция /(i) 6 C[0.l). Тогда имеет место оценка

1с=0 ™»

при

У = тп +г(рп+1 - 1), п = 0.1,2,...; г = 0.1, ...,m„ - 1.

Заключение.

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:

- получено необходимое и достаточное условие существования функции из класса обладающей свойством Карлемана для последовательности ее коэффициентов Фурье по системе типа Хаара;

- установлены необходимые и достаточные условия принадлежности класса последовательностей ¡{ш„} классам мультипликаторов {E,j{(t).L4) и (Е?(а). Еч{:3)). а также условия обратного вложения для коэффициентов Фурье по системе типа Хаара;

- определено необходимое и достаточное условие на порядок роста образующей последовательности системы типа Хаара для сохранения теоремы типа Бернштейна - Caca об абсолютной сходимости рядов, составленных из коэффициентов Фурье;

- доказана эквивалентность норм мажоранты частичных сумм и функции Пэли рядов Фурье в пространстве Li[0,1];

- строятся примеры функций из класса Ly(I), для которых мажоранта частичных сумм не суммируема, а также пример функции из класса с оператором Пэли. не принадлежащим '¿,,[0,1]', 1<р<2,

- введен новый класс систем функций, обобщающий классическую систему Фабера-Шаудера и установлены некоторые свойства этого класса.

В заключении выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук Н.А.Боиаеву за всестороннюю помощь и постоянное внимание к моей работе.

Работы автора по теме диссертации:

1. Аубакиров Т.У. О связи между некоторыми операторами в теории рядов по системе типа Хаара.//Тез. докл. конф. посвященной 70-летию Т.И.Аманова.-Алматы. 1993.-С.27.

2. Аубакиров Т.У.. Бокаев H.A. О мажоранте частичных сумм ряда Фурье по системам типа Хаара. // Сб. ¡Теория приближения и вложення функциональных пространств. -Караганда, 1994.-С.24-29.

3. Аубакиров Т.У. Ряды Фурье по системам типа Хаара и «""которые классы функций. //Тез. докл. конф. к 50-летию развития математики в АН PK.- Алматы, 1995.-С.39.

4. Аубакиров Т.У. Об особенности Карлемана относительно системы типа Хаара. //Тез. докл. 1- съезда математиков Казахстана.-Шымкент, 199G.-C.15-16.

5. Аубакиров Т.У. Об особенности Карлемана относительно системы типа Хаара. // Сборник: Современные вопросы теории функций н функционального анализа.-Караганда, 1996.-С.25-32.

6. Аубакиров Т.У. О мультипликаторах рядов Фурье по обобщенным системам Хаара. // "Вестник КарГУ", 1997.-N3.-C.31-36.

7. Аубакиров Т.У. Об одном обобщении системы функций Фабера-Шаудера. // Сборник научных трудов аспирантов. (Естеств. науки.). -Караганда, 1997. -С.20-26.

Эубэк1ров Тойбек Уатайулы

Хаар типтес жуйелер бойьшша курылган к,атарлардьщ Фурье коэффициенттер1 жэне дербес косындыларыныц мажорантасы.

Диссертациялщ жумыста Хаар типтес функииялар жуйес1 бойынша курылган Фурье катарларыныЧ мультипликаторлык турленд1ру1. Фурье коэффициенттер1нен курвд^ан катарлардын жинакталуы, дербес к,о-сындыларынын мажорантасынык интегралдык к,асиеттер1. жэне Фабер-Шаудер типтес функциялар жуйес1не байланысты сурактар карасты-рылган.

Диссертавдянын нег1зг! натижелер1 темендеПдей:

-узд!кс1зд1к Мвлшерл1г1 аркылы анык,талатын Н"*61 класында Хаар типтес жуйе бойынша Фурье коэффициенттерШн Карлеман ерекшел!г1 болатындай функцияныч табылуынын кажетт1 жэне кетк1л1кт! шарты келт1р1лген;

-сандык т1збектерд1ц класынын Хаар типтес жуйе бойынша

мультипликаторлык (Ер<°о, ) кэне (ер(^,Е,^у)кластарда жатуынык кажетт1 жане жетк1л1кт1 шарттары табылган;

-Фурье коэффициенттер1нен курылган катардын абсолютт1 жинак-.талуы жайында Бернштейн-Сас теоремасы сакталуы уш1н Хаар типтес жуйен1 аныктайтын т1збег1н1к есу рет!не койылатын кажетт!

жэне жетк1л1кт1 шарт аныкталган;

-Хаар типтес жуйе бойынша Фурье катарынын дербес косындылары-нын мажорантасынык жэне Пэли функциясынын нормаларынын кен1ст1Пнде эквивалентт1г1 дэлелденген;

-Фурье катарынын дербес косындыларынын мажорантасы косынды-ланбайтын класынын функцияларынын мысалдары курылган;

-жалпыланган Фабер-Шаудер жуйелер1н1н жана классы усынылган жэне бул класстын кейб!р касиеттер! аныкталган.

Aubakirov Toibek Uataevich

Coeflicients of Fourier and inajor^nt of partial sums of series by systems of Hfiar type.

In this dissertation characteristics of series t|y systems of Haar type are investigated. Multiplied transformations of Fourief series, of series from coefficients of Fourier, characteristics of majorarjt of partial sums of Fourier scries are researched in it, and also some results by generalized systems of Faher-Scliauder are received.

The main results, obtained in this dissertation, are the following ones: -necessary and sufficient condition of existing of a function from class possesing the property of Carleman for the sequency of its coefficients of Fourier by systems of Haar type;

-necessary and sufficient conditions of belonging of a class of sequencies I {J,J to classes of multipliers (£,,(q), L,,) and (E,,(a)y £<¡(¡3)) are established as nell as the conditions of inverse enclosure fof coefficients of Fourier by systems of Haar type;

-necessary and sufficient condition on an order qf increase of a forming sequency of a .system of Haar type for preserving of a theorem of the type of Derusliteiii-Siis about an absolute convergence of series, constituted from c oeflicients of Fourier, is defined:

-equivalence, of norms og inajoraiitof partial sums and a function of Paley of Fourier series ¡11 space Li[0.1];

-examples of functions from class for which niajorant of partial

sums is not summarized, are built, and the example of a function from class ¿,,[0.1]V which operator Paley, not belonging to ¿^[0, l]2, 1 < p < 2 as well;

-a new c lass of systems of functions.generalizing the classic al system of Fabcr-Schaiider is introduced, and same characteristics of this class are established.