Коэффициенты Фурье и теоремы единственности для рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ - АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

РГо од

На правах рукописи УДК б«. 51

Бокасв Нуржан Адилханович

КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬБ И ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ РЯДОВ ПО ОБОБЩЕННЫМ СИСТЕМАМ УОЛША И ХААРА

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Алиаты - 1996 г.

Работа выполнена на кш^едре математического анализа Карагандинского государственного университета, им, Е.А.Пукетова

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Б.А.Скворцов.

Ведущая организация: Московский физико-технический институт.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Ефимов, доктор физико-математических тук, профессор Н.Н.Холщевникова, доктор физико-математических наук Л.П.Фалалеев.

<г . — //

Защита состоится июН-Я_ 1996г. в 'О час.

на заседании специализированного совета Д 53.04.01 в Институте теоретической и прикладной математики Щ-АН Республики Казахстан : 480021, Алматн, 21, ул. Пушкина, 125

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладкой математики МН-ЛН Республики . Казахстан.

Автореферат разослан " 2-5 " лгаЯ. 1996 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, - /-(!' г

ЛлГ^^се Кк

кандидат физико-математических на^к Л.Т.Кулахметова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертационная работа посвящена исследованию свойств рядов по ортогональным системам, обобщающим кчасснческие системы Уолша и Хаара. В ней рассматриваются свойства коэффициентов Фурье различных классов функций по рассматриваемым обобщенным системам Уолша и Хаара и вопросы единственности представления функций рядами по этим системам.

Широко известна роль ортогональных систем в решении многих теоретических и прикладных задач гармонического анализа. В теории ортогональных рядов важную роль играют классическая тригонометрическая система и системы Уолша, Хаара. Развитие теории тригонометрических рядов определялось работами Л.Эйлера, Ж.Фурье, П.Дирихле, Л.Фейера, Б.Римана, Г.Кантора, А. Лебега, Ш.Ж.Валле-Пуссена, Н.Н.Лузина, Д.Е.Меньшова, А.Н.Колмогорова, Г.Харди, Д.Литлвуда, А.Зигмунда, Н.К.Бари и др. Классическая теория тригонометрических рядов оказала сильное влияние на развитие теории рядов по системам Уолша и Хаара. При этом во многих вопросах обнаружился параллелизм, но и выявилось и существенное отличие. Интерес к системам Уолша и Хаара был обусловлен использованием этих систем в прикладных вопросах ( в теории кодирования; в цифровой обработке сигналов, в распозновании образов и др.) и в решении многих важных вопросов общей теории ортогональных рядов. На развитие теории рядов по системам Хаара и Уолша существенное влияние оказали работы А.Хаара, Д.Уолша, Г.Алексича, Б.Надя,' И.Шаудера, П.Л.Ульянова, А.А.Талаляна, А.М.Олевского, С.В.Бочкарева, А.В.Ефимова, В.А.Скворнова, Б.Н.Голубоза,Ф.Г.Арутюняна, Р.Пэли, Н.Файна, С.Качмажа, Н.Я.Виленхина, К.Йагари,А.А.Шнейдера, А.И.Рубинштейна п др.

В последние десятилетия начали интенсивно развиваться общие муль типлихативные системы и системы типа Хаара, обобщающие соответственно классические системы Уолша и Хаара. Рассмотрение рядов по общим мультипликативным системам, как системам характеров нуль-мерных компактных абелевых групп, впервые было предложено Н.Я.Виленкиным (Изв.АН СССР, серия матем. 1947, т.11, с.363-400).

Мультипликативные системы, обобщающие систему Уолша, рассматривались так же Н.Прайсом, А.В.Ефимоиым, более частные случаи - П.Левл и Х.Е.Крестенсоном. Система Уолша и общие мультипликативные системы представляют большой интерес в абстрактном гармоническом анализе, как системы характеров компактных абелевых групп. Кроме того, они находят широкое применение в цифровой обработке информации, в построении специализированных вычислительных устройств, цифровых фильтров и цифровых голограмм. Теория рядов по системе Уолша и по общим мультипликативным системам и их применения в различных прикладных задачах изложены в монографиях Г.Н.Агаепа, Н.Я.Виленкина, Г.М.Джафарли, А.И.Рубинштейна; Б.И.Голубоаа, А.В.Ефимова, В.А.Скворцова; Ф.Шиппа, П.Симона, В.Вейда; Х.Хармута.

Каждая система класса г/» ортогональных систем Виленкина-

Прайса, определяется последовательностью целых чисел {;>„},р„ > 2, при р„ — 2, п = 1,2,... совпадает с системой Уолша-Пэли. Большинство известных результатов теории рядов по этим системам относятся к случаю вирр,, = N < оо. В этом случае многие результаты аналогичны с результатами теории рядов Уолша. Оказывается, в случае вируд = оо могут иметь место и другие ситуации. В этом случае

п

возникают задачи выяснения природы образующей последовательности {рп}) при которых могут иметь место те или иные результаты для соответствующей системы ф{р„}.

Н.Я.Виленкиным впервые был рассмотрен класс х полных ортогональных систем, содержащий в себе классическую систему Хаара и тесно связанный с мультипликативными системами. Так' же как и в случае мультипликативных систем, каждая система х{|'п} этого класса определяется последовательностью целых, чисел {р„},р,п > 2,п = 1,2,... и При р„ = 2,п = 1,2,... представляет собой систему Хаара. Ряды по системам класса х рассматривались Б.И.Голубовым н А.И.Рубинштейном. Впоследствии обнаружилось, что результаты теории рядов по системам класса х существенно зависят от ограниченности или неограниченности образующей последовательности {р„}.

В настоящей работе нами рассматриваются ряды по системам клас-

сов ортогональных систем ф а х» содержащим в себе соответственно систему Уолша и систему Хаара. При этом большинство результатов относятся к системам ф{рп} и х{Рп} с произвольными образующими последовательностями {р„}. Системы 1/>{рп} и х{Рп} назовем соответственно обобщенными системами Уолша а Хаара.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью настоящей работы является решение следующих задач:

1. Исследование возможной скорости стремления к нулю коэффициентов Фурье непрерывных, отличных от тождественных постоянных, функций по обобщенным системам Уолша, и Хаара.

2. В терминах группового модуля непрерывности получить условия абсолютной сходимости рядов, составленных пз коэффициентов Фурье по обобщенным системам Уолша и Хаара.

3.Нахождение коэффициентных условий интегрируемости и Ь1 -сходимости рядов по обобщенным системам Уолша.

4. Решение задачи восстановления коэффициентов поточечно сходящихся рядов по обобщенным системам Уолша, и Хаара.

5. Построения континуальных множеств единственности и нуль рядов для обобщенных систем Уолша.

6. Применения обобщенных систем Хаара к некоторым квадратурным формулам.

Приведенные задачи в большинстве случаев рассматриваются как для одномерных, так и для двойных и кратных рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. При исследовании свойств коэффициентов Фурье и решении вопросов единственное!1!! рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара применяются общие методы метрической теории функций и методы теории рядов Хаара и Уолша. Существенно используются поведение частичных сумм с номерами т„ рядов по рассматриваемым системам. В вопросах восстановления коэффициентов поточечно сходящихся рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара систематически используется метод сведения задач о поведении сумм ряда к вопросу дифференцируемостй по р-ичным сетям некоторой функции. Приведены конструкции построения множеств единственно-

сти нуль-рядов для обобщенных систем Уолша.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми. Установлены ограничения на скорость стремления к нулю коэффициентов Фурье непрерывных функций по обобщенным системам Уолша л Хаарч. Получены условия абсолютной сходимости рядов нз коэффициентов Фурье по рассматриваемым системам. При этом, в случае кратных рядов по обобщенным системам Уолша показана неулучшаемость полученных условий для некоторых классов функций.

Получены условия на коэффициенты рядов по обобщенным системам Уолша, при которых сумма рядов по этим системам является интегрируемой функцией и имеет место ¿¡-сходимость. Доказаны весьма общие теоремы единственности и восстановления коэффициентов рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара в случае сходимости по некоторым подпоследовательностям частичных сумм. В связи с этим рассмотрены вопросы днфференцировання по соответствующим сетям. Построены примеры континуальных 11-множеств и М-множсств меры нуль для обобщенных систем Уолша. При этом образующие последовательности {;>„} обобщенных систем Уолша и Хаара произвольны, в частности они могут быть неограниченными в совокупности. Приведены применения обобщенных систем Хаара к оценке погрешности некоторых квадратурных формул. Полученные результаты по рассматриваемым задачам, в большинстве случаев, относятся к одномерным, двойным также и кратным рядам по обобщенным системам Уолша и Хаара.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты диссертации в основном носяг теоретический характер. Результаты и методы работы могут найти применения при изучении родственных вопросов для систем характерен произвольных компактных абелевых групп. Использованные мартннгальные свойства некоторой подпоследовательности частичных сумм рядов по обобщенным системам Уолша и Хаара могут применяться в теории мартингалов. Практическую ценность имеют результаты, касающиеся дифференцирования функции по р-ичным сетям и оценки погрешности некоторых квадратурных формул.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на всесоюзных конференциях по теории функций (Черноголовка 1987 г., Ашхабад 1989 г.), по конструктивной теории функций (Санкт-Петербург 1992 г.), Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (Саратов 1992 г., 199G г.), Международной конференции пс теории функциональных пространств и теории приближений ( Москва 1995 г.), межвузовских научных конференциях (Алматы 1989г., 1993г., 1994г., 1995г.), (Караганда 1991г., 1994г.), в школе-семинаре Международной ассоциации "INTAS" в университете Ерланген-Нюрн-берг (Германия, 199Сг). Автор выступал с докладами в Москоском го-сударственномушгаерситете на семинаре член-корр. РАН П.Л.Ульянова и проф.М.К.Потапова (1994 г.), на семинаре проф. В. А. Скворцо-ва и проф. Т. П. Лукашенко (1993 г., 1994 г.), академика НАН РК У .М.Султангазина,член-корр. НАН РК Н.К.Блиева, член-корр. HAII РК М.Отелбаева, член-корр.НАН РК А.А.Женсыкбаепа, член-корр. HAII РК Д.У.Умбетжанова.член-корр.НАН РК С.Н.Харина, член-корр. НАН РК Ш.С.Смагулова, проф. Н.Т.Темиргалиева и проф. К.Ж.Наурызбаева, доктора ф.-м.н. Р.О.Ойнарова,доктора ф.-м.н. Л.П.Фалалеева.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [ 1 ]-[ 25 ]. lio теме диссертации опубликовано 36 работ. В работах, выполненных с соавторами, вклад соавторов был равным.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Нумерация теорем и формул трехзначная: первое число означает номер

ч

главы, второе - номер параграфа, третье - собственный номер теорем и формул внутри параграфа. Объем работы -• 238 стр. машинописи. Библиография содержит 151 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Приведем определение рассматриваемых нами обобщенных систем Уолша {ф„(х)} и обобщенных систем Хаара (подробные све-

дения приведены в параграфах 1.1 и 3.1).

Пусть задана последовательность целых чисел {í>n}£LiiPn > 2. С по-

мощью этой последовательности определим множество целочисленных последовательностей вида и; = {х„}^_1,г„ - целые, 0 < х„ < рп — 1.

Это множество становится группой, которую обозначим через в, если в ней ввести операцию сложения +, как по-координатное сложение по модулю рк,к = 1,2,... Топология в группе в определяется подгруппами

= {* = {*.}£, еС,х4 = 0,* = 1,2,..,п},п = 1,2,...

Группа в является одним из примеров коммутативной локально-компактной нуль-мерной группы, на которых существует мера Хаара. Положим то = 1, т„ = рхрг—Рп, « = 1,2,...

Обобщенная система Уолша {^(^Ио0 на группе С определяется равенствами

«А> = 1,*Рт.(х) = ехр^^—= 0,1,...,а; е <7.

Рш

I

Любое целое число п > 1 представив в виде п = ^ п*тЬ пк — Целые,

*=о

I

о < т < - 1, ПОЛОЖИМ 1рп(х) = П [^го/.(а;)Г*-

¿=0

Система функций фп(х) является полной ортонормированной относительно меры Хаара на в системой, при рп = 2,п = 1,2,... совпадает с системой Уолша в нумерации Нэли.

Обобщенная система Хаара определяется следующим образом. Пусть последовательности {р,,}, {т„} те же, что и выше. Любое целое число к >2 единственным образом представляется в виде к = т„ + г(р„+\ — 1) + «,« = 0,1,..,т„.-1;в = 1,2,..,рп+1 - 1.

Любая точка х 6 [0,1]—<Э, где С} - р-ично рациональные точки, имеет

оо д ;

единственное разложение х = £ —, 0 < хп < р„ — 1, х„— целые.

Положим X' 1 () = 1, я 6 [0,1]. Для х 6 [0,1] —<5 и к, представленных вышеуказанными равенствами, положим:

| .о.

Воспользовавшись тем, что множество Q всюду плотно на [0,1], продолжим функцию xl't(^) по непрерывности на интерпал • После этого в точках разрыва функцию пол о жим рапной полусумме ее предельных значений справа и слева, а на концах отрезка [0,1] -ее предельным значениям изнутри отрезка. Таким образом, определенная на [0,1] система функций хь(х) полна в L[0,1] и ортонормирована, при р„ = 2,п = 1,2,... совпадает с системой Хаара.

Теперь перейдем к изложению результатов настоящей работы по главам.

В первой главе рассматриваются свойства юэффициентов' Фурье различных классов функций по обобщенным системам ф{рп}-

В 1.2 доказываются теоремы, подтверждающие, что коэффициенты Фурье по обобщенным системам Уолша от непрерывных функций, отличных от тождественной постоянной, не могут стремиться к нулю слишком быстро. Известно, что для тригонометрической системы скорость убывания коэффициентов Фурье возрастает с увеличением гладкости функций. Оказывается, что для систем Уолша {w„(a;)} и Хаара {Л„(л;)}, состоящих из разрывных функций, гладкость функция накладывает ограничения не только сверху, но и снизу. Для системы Уолша такое явление впервые было обнаружено в 1949 г. Н.И.Файном, доказавшим, что, если f(t) - абсолютно непрерывная на [0,1] функция и /(n) = o(¿), где /(п) = (/,ип), то f(t) = const на [0,1]. Для коэффициентов Фурье-Уолша от непрерывных функций С.В.Бочкарев (Изв. АН СССР серия матем. 1970, т. 34, N 1, с. 203-208) доказал следующую теорему.

Теорема 1.2.Б. Пусть функция f(t) непрерывна на [0,1], и /(и) =

ОО ч

0(aa),f(n) = (f,u„), где or„ | 0 и £ а„ < ро. Тогда f(t) .= const на

г>=1

[0Д1-

Он же показал и окончательность условия в приведенной теореме. В.А.Гончароз распространил на обобщенные системы Уолша {^(я)} указанные результаты Файна и Бочкарева. При этом он показал, что аналог теоремы 1.2.Б имеет место только для систем {^(х)}, образующие последовательности {р„} которых ограничены в совокупности. В

1.2 нами даются другие достаточные условия тождественности постоянной непрерывных функций. При этом на образующие последовательности {р„} системы никаких ограничений не накладываются. А именно, справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.2.1. Пусть функция f(t) непрерывна на [0,1] и

m"+i_" ■ „ R*= £ l/(*) - Я*+!)!,/(*) = . (o.i)

к=т„

и пусть

оо

Ищт»£Д,, = 0. (0.2)

Тогда f(t) = const на [0,1].

Теорема 1.2.2. Пусть f(t) - непрерывная функция на [0,1] и ее коэффициенты Фурье удовлетворяют условию:/(т*) > /(т* + 1) > ... >

/("Ji+i — 1) Для достаточно больших номеров к и

00

«Яш,™, £ I/<"»*) - Ктш - 1)1 = 0. (0.3)

t=I/

Тогда f(t) = const на [0,1].

Из этих утверждений выводится ряд следствий. В частности, имеет место

Следствие 3. Пусть f(t) - непрерывная функция на [0,1] и }{к) 4- О при к -4 оо и lim mkf(rrn) = 0. Тогда f(t) = const на [0,1].

к—too

Все эти утверждения являются обобщениями на системы {V'itM} соответствующих теорем Кури (Pacif. J. Math. 1974, v. 54, N 2, p. 1-16), известных для систем Уолша. Следствие 3 для системы Уолша другим методом установлено В.А.Скворцовым и У.Р.Вэйдом. В конце 1.2 нами строятся примеры функций, для которых условие следствия 3 выполняется, а условие аналога теоремы 1.2.Б для системы {^(ж)} не выполняется.

В 1.3 рассматривается интегральный оператор Гильберта-Шмидта: А : L2(G) L2(G): (Л^Н*) = /^(t/)A(x,y)d/i(y). (0.4)

» д

Говорят, что оператор А входит в идеал aß(ß > 0), если 51 < оо, где

j=i

Sj - сингулярные числа оператора А (т.е. собственные числа оператора (АА*]$); при /3 = 1 оператор А называется ядерным.

Здесь в терминах группового интегрального модуля непрерывности ядра А(х,у) приводятся достаточные условия принадлежности оператора А идеалу (T/f и из них выводятся теоремы о сходимости рядов из коэффициентов Фурье по обобщенным системам Уолша {^(х)}. Пусть

w(/;fc)= sup |/(x-f h) — f(x)\,k = 0,1,2,...

модуль непрерывности функций J(x) 6 C(G):

up(J;k) = sup ||/(»-i-A)-/(®)||p,* =0,1,2,...

лес*

интегральный модуль непрерывности функций f{x) € Lp(G),l < р <■ 00.

Определим классы функций (0 < а < 1) :

LipM(a,p,G) = {/ € L,(G) : u,(f;k) = OK"«)}, LipW(a,p,G) = {/ e LP(G) : up{f-,k) = O«,)}.

При условии < 00 эти классы совпадают между собой, а при'

условии Т1^р„ = оо - отличаются. Положим

и>р(А{х,,),к) = sup \\A{x,y + h)-А{х,у)\\р. ЛбС*

Скажем, что ядро А(х,у) удовлетворяет по переменной у условию LipW(a,p,G) (соответственно Lip^(a,p,G), еслчшр(А(х, .),к) < Ст|"°' (соответственно wf(A(x,.),fc) < Сш^"'), где константа С не зависит от х. В таком случае будем обозначать А[х,у) 6 Lip^(a,p,G,y) (соответственно А(х,у) £ LipW(a,p,G,y). ^ *

Теорема 1.3.1. Пусть А(х,у) £L2(GxG),fl >0,1 <р< 2,1 + ^ = 1

и

00 1-4 я sup £ mn+1 VufJAix, .),«)< оо

ieGn=i

Тогда оператор А, определенный формулой (0.4), входит в идеал о р.

Следствие 1. Пусть А(х, у) е LipM(a,p, G, у), (0 < а < 1,1 < р < 2). Тогда А £ ар при /3 >

Из этих утверждений выводятся следующие результаты о сходимости рядов из коэффициентов Фурье по обобщенной системе Уолша

Ш*)Ь

Теорема 1.3.1'. Пусть 1 < р + j = 1,0 < Р < р', f{x) 6 LP(G)

и

£ mt+Л*i4U,k) < оо t=i

°° ~ я

Тогда £ |/(*)| < оо. где /(*) = (/, фк). к=1

Следствие Г. Пусть f(x) 6 LipW(a,p,G),0 < а < 1,1 < р < 2. и ПУС?Ь j» > rrrfe- Тогда £ |/>)f < оо.

Аналогичные утверждения для системы Уолша доказаны Блюмн-ном и Котляром; теорема 1.3.1'и следствие 1.3.1' в случае jfijrTp^ < оо доказаны Онневиром, Мак-Лафлином, Виленкиным и Рубинштейном; в случае произвольных систем - Куик и Джап;

Следствие 1' является аналогом теоремы Caca из теории тригонометрических рядов.

Оказывается, что утверждения следствий 1 и 1' для класса LipM(a,p,G) имеют место только при некоторых условиях, накладываемых на последовательность {р„}. А именно справедлива

Теорема 1.3.2. Пусть А(х,у) € Lip^(a,p,G,y),0 < а < 1,1 < р < 2, где группа G такова, что для любого 7 > 1 найдется число N(7) такое, что

тт i < mj для всех г» > N{7). (0.5)

Тогда А € «г,? при /3 > j^j^pj- При этом условие (0.5) неулучшаемо в классе операторов вида (0.4).

Кроме того, в 3.1 приводятся условия для ядерности оператора А и из них выводится аналог теоремы Зигмунда об абсолютной сходимости рядов Фурье из теории тригонометрических рядов.

В 1.4 исследуются вопросы сходимости кратных рядов из коэффициентов Фурье по обобщенным системам Уолша 4>Цг) — Фк1:..,кп(х1> ->хп)-Пусть

))И р.

tó) •

полный модуль непрерывности функций ¡(х1,х2,.-,хп) € £р(С),( 1 < р < оо).

Справедливо следующее утверждение, являющееся кратным анало-' гом вышеприведенной теоремы 1.3.1'.

Теорема 1.4.1. Пусть 1 <р< 2,}+±=1,0 <Р<р',1(хихг,-,хп) € и

Е Е - Е

*!=0*,=о *„=о

¿=1

V(/;fcb..,*n)<<» (0-6)

ufp(f-,klt..,kn)<°o. (0.8)

Тогда

Ё Е - Е \Hkuh,..K)f <oo. (0.7)

i,=0 ia=0 *„=0

В этой теореме образующие последовательности = 1,2,.., п

систем= 1>2,..,п произвольны. При условии, когда , sup =Cj < oo,j = 1,2,.., п из теоремы 1.4.1 вытекает

KtyCOO '

Следствие 1. Пусть 1<р<2,^ + £ = 1,0</? <j/,f(x i,xj,..,xn) 6 sup рР =Cj<oo,j = l,2,..,n

l<hj«x> '

Г MS

ОО ОО ОО fl /\Г

Е Е-Е ПЧ'

*i=oi,=o *„=о L)=i Тогда сходится ряд (0.7).

Доказывается, что утверждение следствия 1 имеет место только при условия sup = Cj < оо, j = 1,2,.., n, т.е. справедлийа

l<ki«x> '

Теорема 1.4.2. Пусть 1 < р < 2,£+ £ =4,0 < (3 < ц/ и sup р['}, =

р F . <■' l<ty<oo '

оо, где 1 < f < п и sup рь} = С> < оо, при всех j : 1 < j < n,j ^ j'.

1<к)<0О '

Тогда существует функция f(xi,x3,..,xn) € LP(Gn), такая, что ряд (0.8) сходится, а ряд (0.7) расходится.

Далее, показано, что условие теоремы 1.4.1 неулучшаемо на классах функций Hf"*-"-, (1<р<оо):

д«,= {/ e.Lp{Gn): uip(/; fc,, .. А) < C^(fci)...w(fcn)},

где 1 0 при к) —> ос. А именно справедлива

Теорема 1.4.3. Пусть 1 < р < 2, * + £ - 1,0 < 0 < р'. Для того, чтобы для любой функции /(х1,Х2, ..,х„) € //р(С), сходился ряд (0.7) необходимо и достаточно, чтобы

££•••£

*1=0„*а=0 ¿„=0 У=1

ц «а. 1

< оо.

Для одномерного случая аналогичный результат установлен Ж. X. Жантлесовым.

В 1.5 доказываются утверждения об интегрируемости и - сходимости рядов по обобщенным системам Уолша. Здесь основной результат заключается в следующей теореме.

Теорема 1.5.1. Пусть последовательность удовлетворяет усло-

£ |Д«*1"

виям: Нгп а* = 0 и Е £ гп" ' Р*+1

к-* оо

г=0 »/=0

< оо для некоторого

р > 1, где Да* = в* — = 0,1,... Тогда ряд по обобщенной систе-

оо

ме Уолша: я^С1) сходится к некоторой функции /(ж) 6 Ь\(С) и к=0

является рядом Фурье функции ((х) по системе {^(г)}. • Следствие 2. При условиях теоремы соотношение

выполняется тогда «1 только тогда, когда ^¡¡т^ап\\Вп\\^ = 0.

п-1

(Д,(г)"= Е " ЯДРО Дирихле системы {Фк{х)})-

к=о

Следствие 3. Пусть вирр/ь = С < оо, и последовательность {а*} к

удовлетворяет условию: Пт а/ь = 0 и

£ тг

г=0

ш,

£ |Да*|'

. к=тг

< ОО

для некоторого р > 1. Тогда ряд ак1Рк{х) является рядом Фурье

*=о

функции /(г) 6 ¿[0,1]. При этом, соотношение ||5„ - /(ж)^, = О выполняется тогда и только тогда, когда Нт,,.^ а„ 1п п = 0. Утверждение следствия 2 для системы Уолща ранее было установлено Ф.Морицем

и Ф.Щиппом (Jour, off math. anal, and appl. 1990, v. 146, p. 99109) и является аналогом известного результата Г.А.Фомина из теории тригонометрических рядов. Следствие 2 ранее было анонсировано Г.А.Акишевым. Истоком вопросов, рассматриваемых в 1.5, является известный результат А.Н.Колмогорова о тригонометрических рядах с квазивыпуклыми коэффициентами.

В 1.6 результаты предыдущего параграфа распространяются на случай двойных рядов по обобщенным системам Уолша {Фк(х}}.

В 1.7 рассматриваются свойства коэффициентов Фурье по обобщенным системам Уолша функции из пространства Харди H\(G) и H{G):

Я,(G) = {/ б Li(G) : Г(х) = «up \SmJ f; *)| e L,(G)}.

l<n<oo

Говорят, что функция f(x) принадлежит атомическому пространству

00

Харди H(G), если она представима в виде f(x) — A*ai(x), где а*(х)

t=o

00 оо

-атомы в G, и £ IM .< Шн„ — inf £ |Ац|, где inf берется по всем

к=О »=0

вышеуказанным представлениям.

Пусть Я] (G[p) xG(q)), H(G(p)xG(q)) - соответствующие двумерные пространства Харди, где G(p) - группа, построенная по последователь-

п

ности р = {р„}~=1, a G(q)- по q = {ç«}^. Положим Мп = П Pk,Qn =

*=i

п

П qi¡. Справедливы следующие утверждения. fc=i

Теорема 1.7.1. Пусть р„ = 0(1), q„ = O(l) и последовательность положительных чисел G N] такова, что

/ 00 » J 1

Тогда имеет место оценка .

оо оо

£ 12 hi,h < C\\f\ |я(С(р)хС(й)-*i=l *,=1

Теорема 1.7.2. Пусть /(х, у) 6 H(G(p) х G(g)). Тогда выполняется оценка

g g ^ < C||/||ff(G(p)xG(j))-

Аналог теоремы 1.7.1 для системы Уолша доказан Ф.Вепсом, для одномерных рядов утверждение, подобное теореме 1.7.2., в случае ограниченности последовательности {?„} доказано Л.А.Чао, а в случае произвольных систем {V'tfc)} - С.Фридли и П.Симоном (Acta math. Hung. 1985, v. 41, N.l, p. 223-234). Последние авторы показали, что в случае sup„рп = оо для пространства Hi(G(p)) утверждение не имеет места. Этот результат нами распространяется на двумерный случай, т.е. справедлива

Теорема 1.7.3. Пусть supр„ = oo,supg„ = оо. Тогда существует

п п

функция /(х,у) е Hi(G(p) X G(q)), такая, что

' ^ f IM,**)! _ ^

Ъ L, —ГТ-=

ii=l*j=l

В 1.8 доказывается, что существует такая неотрицательная функция

00 f(n)

f(x) € Li(G) : f(x) I в G, j(n) i 0 при n оо, однако £ =

n=l "

В случае системы Уолша аналогичный результат получен Симоня-ном.

Глава И посвящена исследованию вопросов единственности разложения функций в ряды по обобщенным системам Уолша (t/>*(z)}. Истоком этой проблематики является классическая теория единственности тригонометрических рядов, развитая в работах Г.Кантора, А.Лебега, Ш.Валле-Пуссена, Д.Е.Меньшова, Н.К.Бари, А.Райхмана, А.Зигмунда, Р.Садема и др. Вопросы единственности разложения функций в ряды по системам Уолша исследованы в работах Н.И.Файна; Ф.Г.Арутюняна и К.А.Талаляна; Р.Б.Криттендена и В.Л.Шапиро; В.А.Скворцова; В.Р.Вэйда; А.А.Шнейдера и др.

Классическая постановка проблемы в теории единственности тригонометрических рядов заключается в решении следующих двух важных вопросов: 1) Могут ли существовать два различных тригонометрических ряда, сходящихся к одной и той же функции f(x)? 2) Зная, что тригонометрический ряд сходится к некоторой функции, установить, должен ли он быть се рядом Фурье?

В 1872 г. Г.Кантор доказал, что если тригонометрический ряд сходится к нулю в каждой точке х 6 [0,2ir], то все его коэффициенты

равны нулю. Он сразу же обобщил этот результат, доказав, что если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду, кроме, быть может, конечного числа точек, то все его коэффициенты'равны нулю. Из этого вытекает, что не существует двух различных тригонометрических рядов, каждый из которых сходится к всюду конечной функции f(x).

В теории ортогональных рядов принято

Определение. Множество Е, принадлежащей области определения некоторой системы {у*(г)}, называется множеством единственности, или U-множеством для этой системы, если всякий ряд по системе {у>*(г)}, сходящийся к нулю всюду вне Е, имеет все коэффициенты равными нулю. Если же по системе {уз*(:г)} существует ряд, у которого нб все коэффициенты равны нулю и который сходится к нулю всюду вне множества Е, то Е называется М-множеством (или множеством неединственности) для системы {^*(х)}.

Согласно этому определению теорему Кантора можно сформулировать так: если Е есть пустое или конечное множество, то оно является U- множеством для тригонометрической системы. Теорема Кантора была обобщена В.Юнгом в 1909 г., показавшим, что любое счетное множество есть U-множество для тригонометрической системы. В связи с этим в течении Долгого времени существовала гипотеза, что любое множество меры нуль (и не только конечные и счетные) должно быть U-множеством. Эта гипотеза основывалась на привычке пренебрежения множествами меры нуль, вызванной целым рядом результатов, возникших после создания интеграла Лебега. Однако эта гипотеза была опровергнута Д.Е.Меньшовым в 1916 г., построившим первый пример М-множества Меры нуль. В 1921 г. независимо Друг от друга Н.К.Бари и А.Райхман построили некоторые классы совершенных U-множеств. В частности, канторово совершенное множество оказалось U-множеством. Вопрос о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы множество меры нуль было U- множеством до сих пор не решен.

По вопросу о восстановлении коэффициентов ряда по его сумме известна следующая

Теорема (П.Дюбуа-Реймонд, Ш.Ж.Валде-Пуссен). Если тригономе-

трический ряд сходится к суммируемой функции f(x) и она конечна всюду, кроме, быть может, счетного множества точек, то этот ряд есть ее ряд Фурье- Лебега.

Ф.Г.Арутюнян и А.А.Талалян (Изв. АН СССР, серия матем., 1964, т. 28, N 6, с. 1391-1408) доказали, что, если подпоследовательность частичных сумм с номерами 2Пк ряда по системе Уолша с коэффициентами, стремящимися к нулю, сходится всюду, кроме счетного множества, к суммируемой функции, то этот ряд есть ряд Фурье-Лебега своей суммы.

В связи с теорией единственности рядов по системе Уолша и Хаара В.А.Скворцовым (Матем. зам. 1968, т. 4, N. 1, с. 33-40) был разработан метод дифференцирования относительно бинарных (двоичных) сетей.

В 2.1 второй главы нами разрабатывается дифференцирование по сетям, соответствующим группе G(p).

В 2.2 метод дифференцирования по сетям применяется для доказательства следующей теоремы единственности для рядов по системам

Теорема 2.2.1. Пусть для действительной и мнимой частей частнч-

п-1

ных сумм S„(x) = a.jTpj(x) ряда по обобщенной системе Уолша

00

2>ЛЫ*) (0-9)

>=о

выполнены соотношения

, Ji¡s.fíeSmt(a;) < v?(x) < lim fíeSm„(x),

ib—>oo к—too

lim ImSm„(x) <гр(х) < Tírn7m5m„(x). fc—+00 «-» 00

при всех x € Gy кроме, быть может, точек некоторого счетного множества Е, где f(x) = <р(х) + 1ф{х) конечная интегрируемая по Перрону (в частности суммируемая) на G функция и

lim ReSm„(x)~ < 0 < lim ReSmAx)—, Jb—>оо tri/, A-too. mj¡

■ i ' ___ i

lim ImSm.(x\.— < 0 < lim/m'Sm (x)— при x € E.

i-+oo ■ ТПк ~ - *-»00 MTjfc

Тогда данный ряд является рядом Фурье-Перрона (в частности Фурье-Лебега) функции f(x) по системе {Фк{х)}, т.е.

<ч = (Р) = 0,1,2,...

Из этой теоремы следует

Теорема 2.2.2. Пусть ряд (0.9), кроме, быть может, точек некоторого счетного множества Е, сходится к конечной интегрируемой по Перрону на G функции f(x). Тогда этот ряд является рядом Фурье-Перрона функции f(x).

Подобная теорема для системы {фь(х)У в случае, когда множество особых точек Е пусто и f(x)=0 всюду, доказана Н.Я.Внленкиным (аналог теоремы Кантора), когда Е счетное множество, f(x)=0 всюду -А.М.Зубакиным и И.И.Тузиковой (аналог теоремы Юнга). Для системы Уолша при J(x) Е ¿[0,1], и ~Е=Я такое утверждение установлено А.А.Шнейдером; Н.Фаином; а в случае счетного множества -Ф.Г.Арутюняном и А.А.Талаляном - как следствие из аналогичной теоремы для рядов Хаара и другим способом Р.Криттенденом и В.Шапиро.

В 2.3 изучается метод формального произведения для рядов по обобщенным системам Уолша. Для тригонометрических рядов такое понятие было введено Райхманои, а в случае системы Уолша Шнейдером (Мат. сб., 1949, т.24, с. 279-300). На основе метода формального произведения доказывается следующий вариант теоремы локализации. Теорема 2.3.1. Для всякого ряда по обобщенным системам Уолша

оо .

J2 <1кФк(х) с условием lim а* = 0 и для интервала (а,Ь) - с р-ично раци-

00

ональнымн концами существует ряд У" а1фь(х), у которого lim al = 0

и равномерно равносходяшийся с данным рядом на (а,Ь) (т.е. их разность равномерно сходится к нулю на (а,Ь)) и равномерно сходящийся к нулю вне (а,Ь).

В 2.4 на основе метода формального произведения даются достаточные условия для того, чтобы данное множество было U-множеством для системы {i/'i(r)}- Для системы Уолша такие условия приведены Шнейдером, а для тригонометрической системы Райхманом.

В 2.5, используя результаты предыдущего параграфа, строятся при-

меры совершенных U-множеств для обобщенных систем Уолша при некоторых условиях на образующую последовательность {р„}. А именно, справедлива

Теорема 2.5.1. Пусть образующая последовательность {PnJifLi обобщенной системы Уолша такова, что некоторая последовательность ipnj} i=i ограничена в совокупности sup р„. = С < оо. Тогда

1<J<00

для такой системы {^(я)} существует совершенное U-множество.

Теорема 2.5.2. Для обобщенной системы Уолша {V't(x)} с образующей последовательностью р„ = п + 2, п •= 1,2,... существует совершенное U-множество.

Совершенное U-множество для системы Уолша ранее было построено А.А.Шнейдером. В.А.Скворцовым исследованы различные конструирования таких U-множеств для системы Уолша. Структура U-множеств для системы Уолша исследована H.H. Холщевниковой. Примеры совершенных U-множеств для системы Крестенсона-Леви были построены Вэйдом. Он показал, что канторово совершенное множество является U-множеством для системы Крестенсона-Леви при р* = 3, к = 1,2,... До сих пор неизвестно, является ли оно U-множеством для других обобщенных систем Уолша, в частности и для системы Уолша.

В 2.6 для любой обобщенной системы Уолша {ipt{x)} доказывается существования нуль-ряда, т.е. ряда сходящегося к нулю почти всюду на G, и при этом не все его коэффициенты равны нулю. Тем самым строится пример М-множества меры нуль для любой обобщенной системы Уолша. Для систем {^(г)} с условием sup рп — С <

1<П<00

оо пример нуль-ряда ранее был построен В.А.Скворцовым. Пример нуль-ряда для системы {0t(®)}, при условии когда sup р„ = С <

KjCOu

оо построен И.И.Тузнковой. Как выше отмечено, первый пример М-множества меры нуль для тригонометрической системы был построен Д.Е.Меньшовым, для системы Уолша А.А.Шнейдером, И.Е.Кури. Глубокие результаты по раскрытию природы М-множеств для системы Уолша получены В.А.Скворцовым (Мат. сб., 1975, т. 97, N 4, с. 517-539), построившим первый пример совершенного М-множества меры нуль для системы Уолша.

В 2.7 доказывается одна теорема единственности для рядов по обобщенным системам Уолша, которая затем применяется для доказательства утверждения: сумма замкнутых U-множестй для обобщенной системы Уолша {^¿(х)} также является U-множеством. Это аналог теоремы Н.К.Бари из теории тригонометрических рядов. Для системы Уолша этот результат ранее был перенесен Вэйдом.

Главы III и IV посвящены исследованию свойств коэффициентов Фурье по обобщенным системам Хаара {xtfa)} и вопросам единственности для рядов по этим системам.

В 3.1 приводятся определение обобщенных систем Хаара {х*(х)} и некоторые их свойства.

В 3.2 рассматривается вопрос о возможной скорости стремления к нулю коэффчцнентов Фурье непрерывных функций по системе {х*(ж)Ь Известно, что, как и в случае системы Уолша, ряд по системе Хаара {/ц(х)} с быстро убывающими коэффициентами не может сходиться к непрерывной функции, отличной от тождественной постоянной.

Это явление было обнаружено Б.И.Голубовым (Изв. АН СССР, серия матем., 1964, т. 28, с. 1271-1296), доказавшим, что если f(l) непрерывная функция на [0,1] и /(п) = о(пт^), где /(п) = (/, Л„), то f(t)=const на [0,1].

Это утверждение затем было распространено Б.И.Голубовым и А.И. Рубинштейном на обобщенные системы Хаара {х>(Е)} с условием sup р„ = С < оо. С.В.Бочкарев (Матем. сб., 1969, т.80, N 1) уста-

1<Н<00

00 А "

новнл, что если f(t) непрерывная функция на [0,1] и £ |/(n)|v/n < оо,

П=1

где /(n) = (/,/in), то f(t)=const на [0,1]. .

В 3.2 для произвольных обобщенных систем Хаара {х*(х)} нами

доказывается

Теорема 3.2.1. Если f(t) непрерывная функция на [0,1] и '

оо ™»+1 „ „

к=1 j=mk + l

то f(t)=const на [0,1].

Следствие. Если f(t) непрерывная функция на [0,1] и sup р„ = С < •

1<п<со .

оо и £ l/(")lv" < где /(n) = (f,Xn), ТО f(t)=const на [0,1].

П = 1

Это утверждение является аналогом вышеуказанной теоремы С.В.Бочкарева для обобщенных систем Хаара. Теорема 3.2.1 независимо установлена В.А. Гончаровым. В 3.3 из теоремы 3.2.1 выводится

Теорема 3.3.1. Если при некотором а 6 (0,1] функция j{t) G

оо 1 . 7а

Lipa и £ P*+i £ \fU)\^ < оо. то f(t)=const на [0,1].

Jt=l j'=m4+l

В случае sup у„ = С < оо отсюда следует, что если /(<) £ Lipa, (0 <

1<п<оо

« < 1) " £ I < оо, то f(t)=const.

*=i

Для системы Хаара подобный результат был установлен С.В.Бочкаревым.

В 3.4 главы III вводятся классы функций Sp(x), связанные с обобщенными системами Хаара {xtí1)}-

Пусть 1 < р < оо. Будем говорить, что функция f(t) принадлежит классу 5р(Л,х), если она представима в виде ряда по обобщенной системе Хаара {xtfa)} '•

/(0=£Cm(0, (о-ю)

к=1

где

ОО / fn+1 \ р

^(/) = EÄ Е КМ" <

n=0 U=m„+1 /

J.

А < оо.

Объединение всех классов 5Р(А, х) при всевозможных А будем обозначать через Зр(х)-

Указанные классы для случая системы Хаара введены И.М.Соболем (Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М. Наука, 1968, 288 е.). Нами соответствующие результаты И.М.Соболя переносятся на классы функций Бр(х)-

' 'Теорема 3.4.1. Для любой функций £(1) из Зр(х)(вирр„ = С < оо),

п

ряд (О.Ю) сходится абсолютно и равномерно на [0,1].

Согласно теореме 3.2.1, если £(1) непрерывна на [0,1], /(<) 6 ^(х), то Г(1)=сог^ на [0,1]. В этом смысле класс ЗДх) беднее, чем все классы $р{х)>Р > !• Нижеследующая теорема показывает, что классы 5р(х)

при р > 1 содержат достаточно много непрерывных функций.

Теорема 3.4.2. Пусть 0 < а < l,supf„ = С < оо. Если ар > 1, то

п

Lipa С 5р(л).

В 3.5 рассматривается квадратурная формула:

С fm^ECjHb),- . (о.п)

° j=i .

где {íyJjLj - узлы формулы, произвольные числа из [0,1], ве-

N

са, удовлетворяющие условиям C¡ > 0,£С,- = 1. В теореме 3.5.1.

устанавливается оценка погрешности квадратурной формулы (0.11) на классах функций 5р(Л,х).

В 3.G рассматриваются классы функций Sp(Ajljbjn,x) -кратные аналоги классов функций SP(A, х)- На эти классы распространяется теорема 3.4.1.

оо ..

В 3.7 исследуется сходимость рядоз |/(п)| ) составленных из ко-

п=1 •

эффициентов Фурье по обобщенным системам Хаара функций f(x) £ £р[0,1], 1 <р< оо.

п

Пусть E„(f)p = inf ||/(е) - ¿2 a*Xi(x)llp " наилучшие приближе-ta*í i=i

ния функций /(г) S Lp[0,1] полиномами по обобщенной системе Хаара Определим классы функций. Пусть 0<а<1,1<р<оо

= {/ 6 ¿„[0,1] : Emn(f)p = 0¿)},

Е(2\а,р) = {/ 6 L„[0,1] : Е1Пп(/)р = O(-J-)}.

mn+l

Имеет место

Теорема 3.7.1. Пусть f(x) € L2[0,1],0 <13 <2. Если

Í>Ü<(/)2 <оо, (0.12)

i=l

то

Е I/W < оо, (0.13)

к= 1

Из этой теоремы вытекает

Следствие 1. Если f(t) 6 2), то ряд (0.13) сходится при ß >

2а+1'

Далее доказывается, что утверждение следствия 1 для классов функций U'1^«*^) имеет место только при некоторых условиях, накладываемых на образующую последовательность {р»}.

Глава IV посвящена исследованию вопросов восстановления коэффициентов рядов по обобщенным системам Хаара, сходящихся поточечно к интегрируемый по Перрону функциям.

Вопросам единственности рядов по системе Хаара посвящены работы Ф.Г.Арутюняна и А.А.Талаляна, В.А.Скворцова, М.П.Петровской, В.Вэйда, Г.Г.Геворкяна и др.

Ф.Г.Арутюняном и А.А.Талаляном (1964 Г.') доказана следующая

оо

Теорема 4.I.A. Пусть ряд £ anhn(x) по системе Хаара обладает

П=1

свойствами:

а) для любой точки zo € [0,1]: anhn(xo) = о(п)

б) некоторая подпоследовательность {5nt(x)} частичных сумм данного ряда Хаара сходится к суммируемой функции f(x) всюду на отрезке [0,1], кроме, быть может, счетного множества. Тогда данный ряд является рядом Фурье функции f(x).

Теорема 4.I.A. на обобщенные системы Хаара {х*(х)} была перенесена М. Мушегяном.

В 4.1. главы IV на основе метода дифференцирования по сетям доказывается

.' оо

Теорема 4.1.1. Пусть дан ряд по обобщенной системе Хаара а„х„(х)

П=1

с условием : для любой точки Яп <= [0,1] lim , — 0, где п, <

п2 < ... < Пк < ... веете номера п, для которых Хп(хо) = 0 и пусть

для действительной и мнимой частей частичных сумм вида ¿^(х) = m«

£ <ЧХк(х) при всех х 6 [0,1], кроме, быть может, некоторого счетного *=1

множества Е, выполняются соотношения

lim ReSmk{x) < <р(х) < ТшГЯе5га4(х),

• к—ъоо

lim TmSmt(x) <ip(z) < lim ImSmM(x),

Jt-Mo k-too

где j(x) = ip{x) + гф{х) - конечна«, интегрируемая по Перрону на [ОД] функция. Тогда данный ряд,является радой Фурье-Перрона функций f(x) по системе {х*(х)}-

В 4.2. теорема 4.1.1. распространяется на кратные ряды по обобщенным системам Хаара. Теорема 4.2.2. является аналогом соответствующего результата В.А. Скворцова и А.А.Талаляна (Мат. заметки, 1989, т. 46, N 2, с. 104-113).

В последнем параграфе 4.3. главы IV результат П.Л.Ульянова (Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1983, N. 6, с. 63-73) о рядах Хаара с монотонными коэффициентами распространяется на обобщенные системы Хаара с образующей последовательностьюр„ = р > 2 для всех п=1,2,..., т. е. доказывается

00

Теорема 4.3.1. Пусть an J. О п ряд £ аг>Хп(г) по системе {х*(®>р)}

П=1

сходится к нулю на множестве Е, цЕ > 0. Тогда существует такой номер N, что а„ = 0 для всех п > N, т.е. данный ряд является полиномом по системе {xt(x,p)}.

В заключении приношу глубокую благодарность моему научному консультанту профессору Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, доктору физико-математических наук В. А.Скворцову за всестороннюю помощь и постоянное внимание к моей работе.

Также выражаю благодарность коллективу кафедры математического анализа Карагандинского университета им. Е.А.Букетова за предоставленную возможность для завершения данной работы.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах.

1. Бокаев H.A. Некоторые теоремы единственности для рядов по мультипликативным системам // Изв. АН Каз.ССР. сер.физ.-мат.Алма Ата.1985. N 3. С. 19-24.

2. Бокаев H.A. О сумме замкнутых U-множеств для мультипликативных ортонормированных систем. // Вестник МГУ, сер. мат. и мех. 1985. N б. С. 93-96.

3. Бокаев H.A., Скворцов В. Обобщение одной теоремы единствен-

ности для рядов по мультипликативным системам // Вестник МГУ. 1987. N 3. С. 4-9.

4. Бокаев H.A. О коэффициентах Фурье по мультипликативным системам // В сб. "Современные вопросы теории функций и функционального анализа. Караганда. КарГУ. 1988. С. 11-15.

5. Бокаев H.A. О коэффициентах Фурье по обобщенным системам Хаара. // Изв. АН Каз.ССР. 1990. N 3. С. G-11.

6. Бокаев H.A. О коэффициентах Фурье по некоторым классам ортогональных систем. // В сб. " Теория функций и приближений. " Труды зимней Саратовской школы. Саратов. 1992. С. 15-19.

7. Бокаев H.A. О рядах по обобщенным системам Хаара с монотонными коэффициентами.// В сб. "Современные вопросы теории функции и функционального анализа." Караганда. КарГУ. 1992. С. 38-43.

8. Бокаев H.A., Жусупов Ж.У. О некоторых классах функции, связанных с системами тип? Хаара. //В сб. " Современные вопросы теории функции и функционального анализа." Караганда; КарГУ. 1992. С. 43-47.

9. Бокаев H.A. О некоторых классах функций,связанных с мультипликативными системами. // Тезисы докладов конференции "Конструктивная теория функции." Санкт-Петербург. 1992. С. 13-14.

10. Бокаев H.A., Нурханов М. Обобщение одной теоремы единственности для кратных рядов по системам характеров нульмерных компактных групп. // Дел. КазНИИНТИ. 1992. N З966-Ка92. 15с.

11. Бокаев H.A., Нурханов М. Об одном примере нуль-ряда по периодическим мультипликатиьным системам. // Матем. заметки. 1993. N2. С. 3-9.12. Бокаев H.A., СмаиловЕ.С. Ряды Фурье по мультипликативным

системам. // КарГУ. 1993. 84с.

13. Бокаев H.A. Об единственности представления функций кратными рядами по обобщенным системам Хаара. // В сб. " Теория приближения и вложения функциональных пространств. " Караганда. 1994. КарПИ.

14. Бокаев H.A., Аубакиров Т. О мажоранте частичных сумм ряда Фурье по системам типа Хаара. /■/ В сб. "Теория приближения и

вложения функциональных пространств. " Караганда. 1994. КарПИ.

15. Бокаев H.A. Операторы Гильберта-Шмидта и абсолютная сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам. // В сб. " Актуальные вопросы математики н методики преподавания математики." межвузовской научно-методической конференции, посвященной 60-летню К. Ж. Наурызбаева. Алматы. 1994. С. 21-26.

1С. Бокаев H.A., Аубакиров Т. Пространства Харди и коэффициенты двойных рядов Фурье по мультипликативным системам. // В сб. "Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики." межвузовской научно-методнческой конференции, посвященной 60-летшо К. Ж. Наурызбаева. Алматы. 1994. С. 7-13.

.17. Бокаев H.A. Об U-множествах для мультипликативных систем // Вестник МГУ. сер. матем. и мех. 1995. N 1. С. 84-86.

18. Бокаев H.A., Жусупов Ж.У. О погрешности квадратурной формулы для одного класса функцнй. // Изв. HAH PK. 1995. 1^:3.

19. Бокаев H.A., Нурханов М.А. Теоремы единственности для кратных рядов по системам характеров нульмерных компактных групп. // Изв. HAH PK. 1995, W 5

20. Бокаев H.A. О погрешности многомерной квадратурной формулы для одного класса функций. // Тезисы международной конф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ." Москва. МИРАН. 1995. С. 57-58 .

21. Бокаев H.A. Об абсолютной сходимости кратных рядов Фурье по системам характеров групп Виленкина. // Тезисы науч. конфе-ренц. посвященная 50-летию развития математики в Академии наук Казахста-на. Алматы. 1995. С.69.

22. Бокаев H.A. Об единственности представления функции крат ными рядами по мультипликативным системам. В сб. Современные во- просы теории функцнй и функц. анализа. Караганда. КарПИ. 1995.

23. Бокаев H.A., Акишев Г.А., Сыздыкова Н.К. Об интегрируемости и Li -сходимости по мультипликативным системам. Караганда. КарПИ. 1995. С.12-18.

24. Бокаев H.A. Формальное произведение для рядов по обобщенным системам Уолша и теоремы локализации. // Вестник КарГУ, 1996. N

3. с.

25. Бокаев H.A. О единственности представления функций кратными рядами по обобщенным системам Хаара. //Матем. заметки. 1996, т. 60, N1.

Бокаев Нурхан Эдшханулы

Жалпыланган Уолш хсэнс Хаар жуйелер! бойыншакртарлар .ушш Фурье коэффициентгер1 жене калгыздык; теоремалары.

Диссертациялык,ясумыс Фурье кртарлары ушш классикалнк,

сурякртрды карастыруга арналтан. Эртурл1 фуикциялар класстарында

жсалшлланган Уолш жонс куйедер! бойыиша Фурье к^тарларшшц

коэффицнентгершщ к^снеттер1 жене аталган жуйелер бойыиша кдтарлар

ушш галгыздык,теоремалгры зертгелед!. Долелденген тужырымдардын, '

копшшп жай жене ссел! кртарларга кртысты. Квптеген жагдайларда

теоремалардыц тужырымы жуйелерда анык^айтын {р^} пзбепшц крсиеттерше

тиуелд1 болатындыгы корсетмген.

Диссертацняныц непзп Н9писелер1 томендегщей •. -жалпыланган Уолш жене Хаар жуйелер бойыиша кртарлар ушш жалпн

турде жалгыздык теоремалары двледенген ;

- зсалпыланган Уолш жуйелер бойыиша кемелденген и-жиындары жене М-жиындары курылган ;

-аталган жуйелер бойыиша Фурье коэффициеитгершен курьшган кртарлардыц жина^талуыныц жеткиикп шарты алынган. Кейб1р фунхциялар класстары ушш алынган шартгардыд кржеги де болатындыгы долелденген ;

- жалпылаотан Уолш жуйелер бойынша кртарлардын илтегралдануыныц жене Ъ -жилакталуынын, коэффициентах шартгары алынган.

Bokaev Nuijan Adilchanovich

Coefficients of Fourier and theorems of uniqueness for series on tempered systems of Walsh and Haar.

Scientific research work is deducated to studying of classic tasks of theory of Fourier series ; researching of properties of coefficients of Fourier on tempered systems of Walsh and Haar on different classes of functions and questions of uniqueness of decomposition of functions into series on these systems.Received results, in majority , refer to one-dimensional and multiple series on tempered systems of Walsh and Haar.

In many questions dependence of results on the type of sequence^ defining the system. The main results of the research work are following :

- general theorems of uniqueness for series on tempered systems of Walsh and Haar are proved;

- concrete examples of perfect U-sets and M-scts for tempered systems of Walsh are builted;

- sufficient conditions for convergence of series from coefficients of Fourier on tempered systems of Walsh and Haar are received.Best possibility of received conditions for several classes of functions are proved. Coefficient's conditions of L,-convergence of series integrability on tempered systems of Walsh.