Квазимеры, обобщенные интегралы и хаусдорфовы меры в теории рядов Хаара и Уолша тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

005001662

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КВАЗИМЕРЫ, ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ХАУСДОРФОВЫ МЕРЫ В ТЕОРИИ РЯДОВ ХААРА

И УОЛША

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

На правах рукописи УДК 517.518+517.52

Плотников Михаил Геннадьевич

1 о НОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2011

005001662

Работа выполнена на кафедре высшей математики и физики Вологодской государственной молочнохозяйственной академии им. Н. В. Верещагина

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Дьяченко Михаил Иванович, доктор физико-математических наук, профессор Лукомский Сергей Федорович, доктор физико-математических наук, профессор Холщевникова Наталья Николаевна.

Ведущая организация:

Московский физико-технический институт (государственный университет).

Защита диссертации состоится 25 ноября 2011 года в 16 ч. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 24 октября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических

наук, профессор

В.Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований

Представленная работа стоит на стыке теории единственности ортогональных рядов, теории обобщенных интегралов, а также некоторых разделов теории меры и теории дифференцирования.

Теория единственности, один из классических разделов теории ортогональных рядов, берет свое начало с известной теоремы Кантора, доказанной еще в конце XIX века и утверждавшей, что если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду на [-7Г, 7г), кроме, быть может, конечного множества точек, то этот ряд является тождественно нулевым, то есть все коэффициенты этого ряда равны нулю. С тех пор теория единственности превратилась в весьма разветвленную теорию, тесно связанную не только с вещественным анализом, но и с другими разделами математики, например, с теорией вероятностей, теорией чисел и теорией множеств.

Теория единственности естественным образом началась с изучения тригонометрической системы. В. Юнг усилил теорему Кантора, показав, что в этой теореме достаточно требовать сходимости к нулю вне счетного множества. Теоремы Кантора и Юнга привели в начале XX века к обширным исследованиям с целью поиска исключительных множеств (множеств единственности или и -множеств), которые не нарушают эти теоремы. Множества, не являющиеся [/-множествами, называются множествами множественности или М -множествами. Эти понятия можно перенести с тригонометрической на любую другую систему функций.

Теорема Юнга означает, что любое счетное множество является {/-множеством для тригонометрических рядов. Важнейшим шагом в построении теории единственности явился пример совершенного М-множества нулевой меры, построенный в 1916 году Д. Е. Меньшовым. Дальнейшие исследования Н. К. Бари, А. Райхмана, Р. Салема, А. Зигмунда, И. И. Пятецкого-Шапиро, Й. Марцинкевича и других авторов показали, что вопрос о принадлежности конкретного множества классу V- или М-множеств для тригонометрических рядов является очень тонким вопросом, связанным не только с метрической и топологической, но и с арифметической структурой множеств.

Этот факт подтверждает то обстоятельство, что обычные способы классификации множеств нулевой меры по степени их «густоты», такие как емкости и хаусдорфовы размерности, не позволяют различить U- и M-множества. Представление о глубине проблемы дает тот факт, что даже в простейшем случае, когда рассматриваются симметричные замкнутые множества Fç с постоянным отношением Ç (множества канторовского типа), решение этого вопроса требует привлечения алгебраической теории чисел. Например, знаменитый результат, достигнутый усилиями Р. Салема, И. И. Пятецкого-Шапиро и А. Зигмунда, утверждает, что множество Fç является [/-множеством тогда и только тогда, когда — число Пизо. Ранее этот результат был получен Н. К. Бари для рациональных Ç • В общем же случае вопрос об U - и M-множествах чрезвычайно труден и не решен даже для совершенных множеств. Более того, А. Кехрис показал1, что не существует конструктивного критерия принадлежности заданного множества классу множеств единственности.

Вторым важным направлением теории единственности является проблема восстановления коэффициентов сходящихся вне U-множеств функциональных рядов по их сумме. Еще в конце XIX века П. дю Буа-Реймон доказал, что что тригонометрический ряд, всюду сходящийся к интегрируемой по Риману функции, является рядом Фурье своей суммы. Позже А. Лебег обобщил эту теорему на случай ограниченных суммируемых функций, а Ч. Валле-Пусссн — на случай суммируемых функций. При изучении задачи о восстановлении коэффициентов сходящихся рядов обычно приходится иметь дело с сильно осциллирующими функциями, не всегда являющимися суммируемыми. В связи с этим дальнейшие обобщения теорем дю Буа-Реймона, Лебега и Валле-Пуссена связаны с изучением интегралов, более общих, чем интеграл Лебега. В каком-то смысле завершением этого направления для тригонометрических рядов явилось построение таких интегралов, что всякий всюду сходящийся к конечной функции тригонометрический ряд является рядом Фурье в смысле данного интеграла. Впервые такой интеграл построил А. Данжуа2.

'A.S. Kechris, A. Louveau, Descriptive set theory and the structure of sets of uniqueness, Loudon Math. Soc., Lecture Note Series, 128, Cambridge University Press, 1989.

2A. Deiijoy, Lésons sur le calcul des coefficients d'une série trigvnométrique, Paris, 1941-1949.

В 60-е годы ХХ-ого века стали систематически изучаться вопросы единственности для рядов по системам функций, отличным от тригонометрической (системам Радемахера, Хаара, Уолша, Виленкина- Прайса, Фабера -Шаудера, Франклина и ряду других). На развитие данной теории, в особенности на постановку задач, оказала сильное влияние ставшая классической теория единственности тригонометрических рядов. Однако, многие результаты в теории единственности рядов по различным системам функций оказались отличными от тех, что имеют место для тригонометрической системы, не говоря о том, что развитие этой теории потребовало в подавляющем большинстве случаев разработки совершенно новых методов.

Системы Хаара и Уолша играют важную роль в теории ортогональных рядов и тесно связаны между собой. Любая функция одной из этих систем является линейной комбинацией конечного числа функций другой системы. Несмотря на такую тесную связь, теория единственности рядов Хаара сильно отличается от теории единственности рядов Уолша.

Интерес к системе Уолша связан с двумя обстоятельствами. С одной стороны, эта система играет важную роль в приложениях, связанных с теорией передачи сигнала и сжатия информации. С другой стороны, система Уолша является простым примером системы характеров на некоторой компактной абелевой группе, на котором можно проверить многие вопросы общей теории. Теория единственности рядов по системе Уолша развивалась под влиянием аналогичной теории для тригонометрической системы, и результаты этих теорий зачастую похожи. Как и для тригонометрической системы, для системы Уолша принадлежность данного множества классу [/-множеств или классу М-множеств в значительной степени зависит не от метрической, а от арифметической природы множества.

Система Хаара, введенная А. Хааром еще в 1910 году, является первым и наиболее простым примером системы всплесков (вейвлетов), теория которых сейчас интенсивно развивается. Кроме того, эта система, как показано в работах П. Л. Ульянова (см., напр.,3), являющегося инициатором глубоко-

3П. Л. Ульянов, «Расходящиеся ряды Фурье», УМН, 16:3 (1961), 61-142; П. Л. Ульянов, «О рядах но системе Хаара», Матем. сб., 63:3 (1964), 356-391.

го изучения системы Хаара, а также A.M. Олевского (см., напр.,4), играет важную роль в общей теории ортогональных рядов, где с ее помощью были решены многие задачи.

Тот факт, что пустое множество является U-множеством для рядов Хаара, был доказан самим А. Хааром, однако доказательство содержало ошибку. Верное доказательство вытекает из появившихся одновременно в 1964 году работ Ф. Г. Арутюняна, Ф. Г. Арутюняна и А. А. Талаляна, М. Б. Петровской, В. А. Скворцова. Однако, любое одноточечное множество уже является M-множеством для таких рядов (результат Г. Фабера, Дж. Мак-Лафлина и Дж. Прайса). Таким образом, в отличие от рядов Уолша или тригонометрических только пустое множество является U -множеством для рядов Хаара. В связи с этим для получения теорем единственности для рядов Хаара возникает необходимость рассматривать подклассы таких рядов. Естественными примерами таких классов явились классы Арутюняна-Талаляна и Вэйда.

Важный шаг в другом направлении был сделан В. А. Скворцовым, который построил ряд интегралов (см., напр.,6), решающих проблему восстановления коэффициентов одновременно рядов Хаара и Уолша.

Гораздо сложней оказалась ситуация с вопросами единственности кратных ортогональных рядов. Например, до сих пор не дан ответ, причем для любого из основных типов сходимости, на следующий фундаментальный вопрос: всякое ли множество положительной меры является M-множеством для кратных рядов Уолша или тригонометрических? Еще в 1918 году в работе X. Гейрингер появилось ошибочное доказательство теоремы типа Кантора для тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам. И только в начале 90-х годов Ш. Т. Тетунашвили нашел6 верное доказательство. Им был разработан замечательный метод сведения прямоугольной сходимости кратных тригонометрических рядов к повторной, позволивший, в част-

4 А. М. Olevskii, Fourier series with respect to general orthonormal systems, Springer-Verlag, Berlin, 1975.

5B.A. Скворцов, «Вычисление коэффициентов всюду сходящегося ряда Хаара», Матем. сб., 75:3 (1968), 349-360, V. A. Skvortsov, «Henstock-Kurzweil type integrals in P-adic harmonic analysis», Acta Math. Acad. Paedagog. NyMzi. {N. S.), 20:2 (2004), 207-224.

6Ш.Т. Тетунашвили, «О некоторых кратных функциональных рядах и решение проблемы единственности кратных тригонометрических рядов для сходимости по Прингсхейму», Матем. сб., 182:8 (1991), 1158-1176.

ности, доказать, что любое счетное множество является U-множеством для кратных тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам, а также построить широкий класс континуальных [/-множеств (более слабый результат, состоящий в том, что пустое множество является {/-множеством для двойных тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам, был доказан в 1972 г. Дж. М. Эшем и Г. Вэлландом7). Чуть ранее для кратных рядов Уолша близкие результаты получил С. Ф. Лукомский8. Более широкие, чем у Ш. Т. Тетунашвили и С. Ф. Лукомского, классы континуальных [/-множеств были построены в недавних работах Л. Д. Гоголадзе9 и Т. А. Жеребьевой10. Проблема восстановления коэффициентов повторно сходящихся (а значит, согласно результатам Ш. Т. Тетунашвили, и сходящихся по прямоугольникам) кратных тригонометрических рядов решена в 2000 году В. А. Скворцовым.

Вопросам единственности кратных рядов Хаара посвящено не так много работ. Наиболее общие результаты в этом направлении для сходимости по прямоугольникам содержатся в работах В. А. Скворцова, а также В. А. Скворцова и A.A. Талаляна (см., напр.,11).

Если же вместо сходимости по прямоугольникам рассматривать сходимость по кубам или р -сходимость, то о единственности кратных рядов для таких сходимостей было известно крайне мало. Это касается и тригонометрических рядов, и рядов Уолша, и рядов Хаара. В появившемся в последнее время ряде работ известных математиков (см., напр., работы Дж. М. Эша и

7J.M. Ash, G.V. Weiland, «Convergence, uniqueness, and summability of multiple trigonometric series», Trans. Amer. Math. Soc., 163:2 (1972), 401-436.

8C. Ф. Лукомский, «О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша», Матем. сб., 180:7 (1989), 937-945.

ЭЛ. Д. Гоголадзе, «К вопросу о восстановлении коэффициентов сходящихся кратных функциональных рядов», Изв. РАН. Сер. матем., 72:2 (2008), 83 90.

10Т. А. Жеребьева, «Об одном классе множеств единственности для двойных тригонометрических рядов», Матем. заметки, 87:6 (2010), 830-839.

1113. А. Скворцов, «Об одной теореме единственности для многомерного ряда Хаара», Изв. АН Армян. ССР, Сер. матем., 23:3 (1988), 293-296; V.A. Skvortsov, «A Perron type integrals in an abstract, space», Real Anal. Exchange, 13:1 (1987/88), 76-79; В. А. Скворцов, А. А. Талалян, «Некоторые вопросы единственности кратных рядов по системе Хаара и тригонометрической системе», Матем. заметки, 13:3 (1973), 104-113.

Ш.Т. Тетунашвили12 или A.A. Талаляна13) получены некоторые результаты о единственности кратных рядов Уолша и тригонометрических при сходимости по кубам или даже при более слабых предположениях, однако, в этих работах накладываются ограничения, пусть и достаточно мягкие, на поведение коэффициентов или частичных сумм рядов.

Если же не рассматривать никаких ограничений, то до сих пор неизвестно, является ли хотя бы пустое множество U -множеством для кратных рядов Уолша на единичном кубе [0,1]"! или для кратных тригонометрических рядов при сходимости по кубам или р-сходимости. Гипотеза Дж. М. Эша состоит в том, что последнее не является верным для кратных тригонометрических рядов. Аналогичный вопрос оставался открытым до последнего времени и для кратных рядов Хаара.

Если же рассматривать одномерные функции Уолша на двоичной группе G, являющейся естественной областью определения таких функций, то о множествах единственности для сходящихся по кубам или р-сходящихся кратных рядов Уолша на группе Gm до недавнего времени было известно лишь (результаты С. Ф. Лукомского14), что пустое множество является U-множеством, и что классы [/-множеств для сходящихся по прямоугольникам и по кубам кратных рядов Уолша не совпадают.

Содержание работ по теории единственности можно найти в ряде обзоров15. Ранние, ставшие классическими, результаты, относящиеся к одномерным тригонометрическим рядам, подробно описаны в монографии Н. К. Ба-

12J. М. Asli, Sh.T. Tetunaslivili, «New uniqueness theorems for trigonometric series», Proc. Amer. Math. Soc., 128:9 (2000), 2627-2636.

13A. А. ТЪлалян, <0 единственности и интегрируемости кратных тригонометрических рядов», Матем. заметки, 86:5 (2009), 701-775.

14S.F. Lukomskii, «On a U-set for multiple Walsh series», Anal. Math., 18:2 (1992), 127-138.

15Б.И. Голубов, «Ряды по системе Хаара», Итоги науки. Сер. матем. Матем. акал. 1970, 1971, 109146; Л. А. Балашов, А. И. Рубинштейн, «Ряды по системе Уолша и их обобщения», Итоги науки. Сер. Математика. Матем. анал. 1970, 1971, 147-202; W.R. Wade, «Recent developments in the theory of Walsh series», Internal J. Math., 5:4 (1982), 625-673; W. R. Wade, «Recent, developments in the theory of Haar series», Colloquium Mathematicum, 62:2 (1986), 213-238; А. А. Талалян, P. И. Овсепян, «Теоремы Д. Е. Меньшова о представлении и их влияние на развитие метрической теории функций», УМН, 47:5 (287) (1992), 15-44; J. М. Ash, G. Wang, «А survey of uniqueness questions in multiple trigonometric series». Contemporary Math., 208 (1997) 35-7]; ряд других работ.

Проблемы единственности рядов по ортогональным системам часто тесно связаны с поведением коэффициентов сходящихся общих рядов, то есть рядов, не являющихся рядами Фурье, по этим системам. Известная теорема Кантора-Лебега, утверждает, что коэффициенты одномерного тригонометрического ряда, сходящегося (к конечной функции) на множестве положительной меры, стремятся к нулю. Для одномерных рядов Уолша на группе С дело обстоит даже проще: для стремления коэффициентов к нулю достаточно сходимости в одной лишь точке.

Дж. М. Эш и Г. Вэлланд доказали, что если т -кратный тригонометрический ряд

сходится по прямоугольникам на множестве положительной меры, то коэффициенты с„ этого ряда ограничены и стремятся к нулю при гшп;=1.....„ |п;|

оо. При сходимости по кубам или р-сходимости последнее утверждение перестает быть верным. Тем не менее, коэффициенты рядов (1), сходящихся таким образом, не могут расти очень быстро. В 1958 году П. Коэн показал, что если ряд (Т) вида (1) сходится по кубам на множестве полной меры, то коэффициенты этого ряда имеют рост слабее экспоненциального. В 1997 году Дж. М. Эш и Г. Вонг доказали17 в двумерном случае, что результат Коэна точен в том смысле, что для любой последовательности <р(п) положительных чисел такой, что Пт8ирп._>00(уз(п))1''п < 1, найдутся всюду сходящийся по кубам ряд (1) и С > 0 такие, что если |||п||| = тах{|п1|,..., |пт|}, то

для некоторой подпоследовательности коэффициентов cn¡. Теоремы Коэна, Эша и Вонга с естественными изменениями справедливы и для р-сходимости. Аналоги теорем Кантора-Лебега для сходящихся но прямоугольникам

1еН.К. Бари, Тригонометрические ряды, ГИФМЛ, М., 1961.

17J. M. Ash, G. Wang, «One and two dimensional Cantor-Lebesgue type theorems», Trans. Amer. Math. Soc., 349:4 (1997), 1663-1674.

(1)

7li = -0G nw = -00

C"V(ll|n;|||) < |cnJ < C^(llklU)

кратных рядов Хаара и Уолша были получены в 1973 году В. А. Скворцовым.

В главе 7 диссертации изучалось поведение коэффициентов сходящихся по кубам почти всюду кратных рядов Хаара и Уолша. Ситуация оказалась отличной как от тригонометрического случая (при сходимости по кубам), так и от случая сходящихся по прямоугольникам кратных рядов Хаара и Уолша. Так, стоящие не очень близко от «главной диагонали» коэффициенты даже всюду сходящихся по кубам кратных рядов Уолша могут расти в некотором смысле сколь угодно быстро. Похожим образом обстоят дела и для кратных рядов Хаара.

Помимо изучения вопросов единственности рядов Хаара и Уолша, значительная часть работы посвящена вопросам, связанным с мерами и обобщенными интегралами. Обоснованием такого подхода служат два обстоятельства. Во-первых, одной из главных целей развития теории обобщенных интегралов всегда было ее приложение к теории ортогональных рядов, особенно к теории единственности. Во-вторых, важным инструментом получения результатов, относящихся к теории ортогональных рядов, является техника формального интегрирования рядов, фактически позволяющая свести изучение ортогональных рядов к изучению некоторых объектов (в некоторых случаях их называют квазимерами), обладающих рядом свойств мер. В частности, важную роль играет изучение дифференциальных свойств и гладкости таких объектов. В связи с этим одной из задач диссертации является изучение теории обобщенных интегралов и некоторых специальных вопросов теории меры с целью их применения к теории единственности рядов Хаара и Уолша.

Особенностью диссертации является систематическое использование метода формального интегрирования (метода квазимер) рядов. Этот метод в некотором смысле подобен римановской теории для тригонометрических рядов, изучающей дифференциальные свойства функций Римана и связь этих свойств со свойствами самих рядов. Одно из преимуществ (по сравнению с тригонометрическими рядами) применения этого метода к рядам Хаара и Уолша состоит в том, что нередко не существует заметной разницы, с точки зрения техники, между изучением квазимер, порожденных одномерными

рядами, и квазимер, порождённых кратными рядами. В ситуации с тригонометрическими рядами попытки применить аналоги функций Римана для изучения кратных рядов часто приводят к значительным по сравнению с изучением одномерных рядов техническим трудностям. Для рядов Уолша метод квазимер впервые рассмотрел Н. Файн18, а для рядов Хаара — В. А. Скворцов19.

Метод формального интегрирования использовался ранее и для других рядов. Так, например, этот метод применялся в хорошо известной работе C.B. Конягина20, где была решена проблема сходимости тригонометрических рядов к оо определенного знака. Но использование этого метода для рядов по системам Хаара, Уолша и некоторым их обобщениям в определенном смысле более продуктивно, чем для многих других рядов. Дело в том, что существует изоморфизм между множеством всех (!) рядов Хаара или Уолша (не обязательно сходящихся), с одной стороны, и множеством квазимер, с другой. Такая тесная связь между рядами и функциями множества не имеет места для ряда других систем, в частности, для тригонометрической системы. Для тригонометрического ряда, даже всюду сходящегося к конечной сумме, формально проинтегрированный ряд сходится, вообще говоря, лишь почти всюду.

Метод квазимер оказывается особенно эффективным при изучении рядов Хаара. Еще в работе В. А. Скворцова19 было установлено, что сходимость ряда Хаара в точке эквивалентна существованию у порожденной этим рядом квазимеры производной относительно последовательности двоичных сетей. Это обстоятельство наводило на мысль, что теорию рядов Хаара можно рассматривать как теорию квазимер. Данная мысль получила развитие в ряде работ грузинских математиков (см., напр.,21), где изучались вопросы схо-

18N. J. Fine, «On the Walsh functions», Trans. Amer. Math. Soc. 65:3 (1949), 372-414.

10B. А. Скворцов, «Дифференцирование относительно сетей и ряды Хаара», Машем, заметки, 4:1 (1DG8), 33-40.

20С. В. Конягин, «О пределах неопределенностей тригонометрических рядов», Mam-ем. заметки, 44:6 (1988), 770-784.

21G.E. Tkebuchava, «On the divergence of spherical sums of double Fourier-Haar series», Anal. Math., 20:2 (1994), 147-153; R.D. Getsadze, «On divergence of the general terms of the double Fourier-Haar series», Arch. Math, 86:4 (2Ü06), 331-339; Г. Г. Ониани, «О расходимости кратных рядов Фурье-Хаара», Докл. РАН, 419:2 (2Ü08), 169-170.

димости и расходимости кратных рядов Фурье-Хаара, и были установлены в некотором смысле окончательные в этом направлении результаты, В диссертации указанная идеология рассматривалась уже при изучении общих кратных рядов Хаара. В главах 4, 5 и 6 получен ряд дуальных теорем для одномерных или кратных рядов Хаара, с одной стороны, и для квазимер или обобщенных интегралов, с другой. При этом нарушение общности теорем для рядов Хаара происходит ровно тогда, когда нарушается общность теорем для квазимер или обобщенных интегралов. Что интересно, такой тесной связи с квазимерами нет и не может быть для рядов Уолша, несмотря на то, что множества рядов Хаара и рядов Уолша изоморфны. Это связано с тем, что сходимость рядов Уолша устроена несколько сложней по сравнению с рядами Хаара, и существование производной относительно последовательности двоичных сетей у порожденной рядом Уолша квазимеры не является достаточным условием сходимости данного ряда.

Цели и основные задачи работы.

Одной из основных целей диссертации является построение теории единственности сходящихся по кубам или р-сходящихся кратных рядов Уолша и Хаара. В части кратных рядов Хаара построение теории в работе начинается с самого начала (теорема типа Кантора) и заканчивается достаточно общими и в некотором смысле окончательными результатами, относящимися к проблеме восстановления коэффициентов. Кроме того, большое внимание в работе уделено связи теории единственности рядов Хаара и Уолша со смежными вопросами теории функций, таких как специальные вопросы теории меры и теории обобщенных интегралов. Подробно изучаются свойства конечно-аддитивных функций множества (квазимер) с целью их дальнейшего применения к теории единственности рядов Хаара и Уолша. В частности, введены и изучены новые условия типа непрерывности и гладкости квазимер. Важную роль в работе играет демонстрация того факта, что теорию общих рядов Хаара можно рассматривать как теорию квазимер. Наконец, одной из задач работы является изучение поведения коэффициентов сходящихся по кубам или р-сходящихся почти всюду кратных рядов Хаара и Уолша.

Основные методы исследований.

В работе используются методы теории ортогональных рядов (в частности, метод формального интегрирования), методы теории обобщенных интегралов и теории дифференцирования, ряд комбинаторных и теоретико-числовых идей.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Введены и изучены понятия локальной и нелокальной Е-непрерывности, а также Е-липшицевости для конечно-аддитивных функций двоичного интервала (квазимер). Найдена связь между этими условиями и поведением коэффициентов и частичных сумм кратных рядов Хаара и Уолша.

2. Построен класс и-множеств кратных рядов Уолша на группе Ст при сходимости по кубам. Этот класс содержит, в частности, все не более чем счетные множества, а также некоторые континульные множества определенной арифметической структуры (множества типа Дирихле). Среди последних имеются множества максимальной размерности Хау-сдорфа. Решена проблема восстановления коэффициентов кратных рядов Уолша, сходящихся вне построенных II-множеств.

3. Построен интеграл, решающий проблему восстановления коэффициентов кратных рядов Хаара из широкого, существенно нерасширяемого класса. Одним из следствий этого факта является аналог теоремы Кантора для сходящихся по 1 /2 -ограниченным прямоугольникам кратных рядов Хаара.

4. Доказана неединственность кратных рядов Хаара при сходимости по кубам. В двумерном случае найдена граница существования единственности для сходящихся по р -ограниченным прямоугольникам кратных рядов Хаара.

5. Доказана непротиворечивость некоторых построенных автором интегралов и известных обобщенных интегралов типа Хенстока -Курцвайля. В качестве следствия получены неусиляемые теоремы типа дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара.

6. В терминах хаусдорфовых мер найдено достаточное условие (для кратных рядов Уолша) и критерий (для кратных рядов Хаара) принадлежности данного множества классу и -множеств при не более чем степенном росте прямоугольных частичных сумм. В качестве следствия установлен критерий принадлежности множеств канторовского типа классу множеств относительной единственности одномерных рядов Хаара из класса Вэйда. Тем самым продемонстрировано, что при естественном выборе класса рядов факт принадлежности множества классу {7-множеств рядов Хаара связан лишь с метрической, но не арифметической структурой этого множества.

7. Построен всюду сходящийся по кубам кратный ряд Уолша, достаточно массивная подпоследовательность коэффициентов которого растет быстрее любой наперед заданной последовательности. Для кратных тригонометрических рядов подобное невозможно в силу теоремы Коэна. Указаны стремящиеся к нулю подпоследовательности коэффициентов сходящихся по кубам на множестве определенной меры кратных рядов Уолша.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут применяться в теории единственности рядов по конкретным системам функций, в других разделах теории ортогональных рядов (особенно рядов по системам Хаара, Уолша, Радемахера, рядов по мультипликативным системам), в теории обобщенных интегралов.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством академика РАН, проф. П. Л. Ульянова и чл.-корр. РАН, проф. Б. С. Кашина, а затем под руководством чл.-корр. РАН, проф. Б. С. Кашина, проф. Б. И. Голубова, проф. С. В. Конягина и проф. М. И. Дьяченко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, межкафедральный семинар, 2004-2011 гг., неоднократно);

на семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством проф. М. К. Потапова, проф. В. А. Скворцова, проф. Т. П. Лукашенко и проф. М. И. Дьяченко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, межкафедральный семинар, 1999-2010 гг., неоднократно);

на международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (Новороссийск, 2006);

на Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2004, 2006, 2008);

на Воронежских зимних математических школах «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (2005, 2011);

на Казанских летних школах-конференциях «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2001, 2007);

на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию ректора МГУ, академика В. А. Садовничего (Москва, 2009);

на международной конференции «Современные проблемы анализа и преподавания математики», посвященной 105-летию академика С. М. Никольского (Москва, 2010);

на международной конференции «Dyadic and Walsh Analysis» (Ниш, Сербия, 2007);

• на международных конференциях «Summer Conference on Real Function Theory» (Стара Лесна, Словакия, 2008, 2010).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Тезисы докладов не включены в этот список. Работы [1]-[11] и [14]—[16] содержатся в журналах из Перечня ВАК.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения и 7 глав, разбитых на пункты. В работе также содержится предметный указатель и список основных обозначений. Общий объем диссертации -- 221 страница, список литературы содержит 272 наименования.

В предметном указателе имеются ссылки на номера страниц, на которых приведены определения и понятия, не относящиеся к общим математическим. В списке основных обозначений даются ссылки на номера страниц, на которых введены эти обозначения.

Нумерация формул, теорем, лемм и т.д. в диссертации — своя для каждой главы. Кроме того, используется единая нумерация всех объектов, кроме формул. Теоремы, леммы, предложения, следствия и т.д., утверждения которых принадлежат другим авторам, помечены буквой А перед номером.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 даны основные определения и доказан ряд вспомогательных утверждений.

Глава 2 посвящена изучению квазимер на единичном кубе [0,1]т и группе Gm. Конечной целью этого изучения является дальнейшее применение свойств квазимер к вопросам единственности одномерных и кратных рядов Хаара и Уолша.

Отметим два обстоятельства, оправдывающих актуальность результатов данной главы. Во-первых, наряду с тем, что изучению квазимер в одномерном случае посвящено некоторое количество работ, имеется крайне мало работ, где квазимеры рассматриваются в многомерном случае. Во-вторых, в многочисленной литературе, где систематически изучаются функции интервала (см., напр., монографии А. Сакса, Б. Томсона, К. Роджерса22 и многие другие работы), а также в работах, где изучаются собственно квазимеры, рассматриваются условия типа непрерывности и гладкости «классического» типа, когда берутся значения функции множества на интервалах и оцениваются при стремлении к нулю диаметра или объема интервала. Как оказалось, такие условия часто не позволяют описать свойства кратных рядов Хаара и Уолша, сходящихся по кубам или ограниченным прямоугольникам.

В связи с вышесказанным нами были введены более тонкие типы непрерывности и гладкости квазимер. Основное отличие от условий «классического» типа состоит в том, что вместо значения квазимеры па двоичном интервале рассматривается сумма значений квазимеры на нескольких двоичных интервалах, причем значения берутся с определенным образом подобранными знаками ±. В одномерном случае такой подход использовался, правда, совсем незначительно. Идея рассмотреть вместо значения квазимеры на одномерном двоичном интервале разность значений на двух смежных интервалах, по-видимому, впервые появилась в работе В. А. Скворцова23, где условия, подобные £т-непрерывности (см. определение 1 ниже), использовались для изучения (одномерных) рядов Хаара. Отметим также работы К. Йоне-ды24, где также изучались разности значений (одномерных) квазимер на двух смежных двоичных интервалах. Заметим, однако, что, как показано в диссертации, в одномерном случае в чистом виде Е,?1-непрерывность эквивалентна

22С. Сакс, Теория интеграла, <Факторпал Пресс>, М., 2004; B.S. Thomson, «Derivates of interval functions», Mem. Amer. Math. Soc., 93:452 (1991), 1-88; C. A. Rogers, Hausdorff Measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

23B. А. Скворцов, «О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательности частичных сумм», Докл. АН СССР, 183:4 (1968), 784-786.

24К. Yoneda, «Positive definite generalized measures on the dyadic field», Acta Math. Acad. Sei. Hungar., 40:(l-2) (1982), 147-151; K. Yoneda, «Sets of multiplicity on the dyadic group», Acta Math. Hung., 41:(3-4) (1983), 195-200.

«классической» непрерывности квазимер, то есть ее применение не является актуальным. В многомерном случае такого рода непрерывности (а также условия типа липшицевости) не использовались. Применение же новых условий типа непрерывности и гладкости для квазимер позволяет описывать многие (в том числе хорошо известные) свойства сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша, порождающих эти квазимеры. Приведем лишь один пример. £„, -непрерывность квазимеры в точности означает, что для ряда Хаара, порождающего эту квазимеру, выполнено условие Арутюняна-Талаляна или один из его многомерных аналогов (см. теорему 2 ниже).

Отметим еще один мотив в пользу того, чтобы использовать новые, более тонкие, типы непрерывности и гладкости квазимер. Рассмотрим, например, кратные ряды Уолша. Для того, чтобы квазимеры, порожденные этими рядами, были Ет -непрерывны или (Ет, До)-непрерывны (см. определения 1 и 4 ниже), нет необходимости, чтобы коэффициенты рядов, порождающих эти квазимеры, стремились к нулю «по краям». Достаточно стремления к нулю (или близких условий) лишь для коэффициентов, находящихся в определенных областях, близких к «диагонали». А для такого поведения коэффициентов, как показано в диссертации, оказывается вполне достаточно обычных, связанных со сходимостью и не содержащих никаких дополнительных ограничений, предположений.

Приведем основные определения и результаты главы 2. Пусть на единичном кубе [0,1]т задана т-мерная вложенная последовательность

{Дк = Аки...,кт = Ак1 х ... х Д^} (2)

т-мерных двоичных интервалов, стягивающаяся к точке хо и такая, что ранг интервала Дк равен к. Положим

Д? = Д*„ Д^Д^-АД*;

если сг = К..., О е {0,1}т, то Д^ = Д^ х ... х Д^', ( } |сг| = £71 + ... + ат.

Определение 1. Скажем, что функция множества г, определенная, по крайней мере, на каждом двоичном интервале Д с [0,1]т, является £„, -

непрерывной в точке хо, если для любой последовательности {Д^}, определяемой формулами (2) и (3), выполнено условие

Оказывается, £,„-непрерывность квазимеры связана со сходимостью и поведением коэффициентов порождающих ее т -кратных рядов Хаара и Уо-лша, особенно точно при этом описывая поведение первых. Ниже (¿л и означают множества двоично-рациональных и, соответственно, двоично-иррациональных точек отрезка [0,1].

Теорема 2. Пусть заданы х0 € [О, I]"1 и т-кратный ряд Хаара (3). Тогда:

1) квазимера т, порожденная рядом (5), является £т -непрерывной в точке Хо в том и только том случае, когда для общего члена ряда (5) в точке хо выполнен следующий многомерный аналог условия Арутюняна-Талаляна:

аП1,...,птХп(х0) = о (п! ■... • пт) при ^

2к~1 < щ < 2к - 1 для всех г = 1,..., ш и коо;

2) если для прямоугольных частичных сумм = .....цт Ря^а (¿О

выполнено условие

.....лг,„(х0) = 5 (Л^ •... • ЛГт) при

2к-1 + \< щ<2к для всех г = 1,..., т и к оо,

то квазимера, порожденная рядом (5), является Ет -непрерывной в точке Хо-

Теорема 3. Пусть задан т-кратный ряд Уолша (Б). Тогда:

1) если для коэффициентов ЬП1,...,пт Р^да (5) выполнено условие

Ьщ.....п„, 0, если 2к~1 < щ < 2к - 1

<?ля есео; г = 1,..., т и к —> оо,

то квазимера т, порожденная рядом (5), является Ет -непрерывной всюду на [0,1]т;

2) если ряд (5) 1/2 -сходится к конечной сумме хотя бы в одной точке хо 6 (/(¡)т, то квазимера т, порожденная этим рядом, является Е„, -непрерывной всюду на [0,1]т.

В некоторых вопросах использовался следующий нелокальный аналог Еш -непрерывности.

Определение 4. Пусть Д0 С [0,1]т - двоичный куб. Скажем, что квазимера. т является (Ет, Д0) -непрерывной, если

Пт£±т(Д) = 0,

где суммирование распространяется на все двоичные кубы Д С До ранга к, а знаки ± берутся в «шахматном» порядке. □

Связь между (Е„„ Д0)-непрерывностью и сходимостью тп-кратных рядов Уолша выражает

Теорема 5. Пусть задан т-кратный ряд Уолша (5). Тогда:

1) если для коэффициентов ряда (Б) выполнено условие (5), то квазимера т, порожденная рядом {в), является (Ет, Д0)-непрерывной для любого двоичного куба До;

2) если ряд (5) 1/2 -сходится к конечной сумме хотя бы в одной точке Хо е Ш)т, то квазимера т, порожденная этим рядом, является (Ет, До) -непрерывной для любого двоичного куба До;

3) если ряд (5) сходится по кубам к конечной сумме на борел,евском множестве Е С [0,1]т, то квазимера г, порожденная этим рядом, яв- ' ляется (Ет, Д0) -непрерывной для любого двоичного куба Д0 такого, что

|£ПД0| >0.

В главе 3 рассматриваются вопросы единственности для кратных рядов Уолша на группе С?ш, сходящихся по кубам или р-сходящихся. По сравнению с текущим положением дел для кратных тригонометрических рядов для

кратных рядов Уолша получены достаточно общие результаты, касающиеся как изучения множеств единственности, так и проблемы восстановления коэффициентов.

Определение 6. Назовем множество F С Gm RDm-множеством, если существует возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что если ип — многомерные функции Уолша, то

2ij(t) = l для всех teí1, j = 1,2,________(6)

□

Арифметическая структура таких множеств F может быть описана следующим образом: точка t = (t1,..., ím) б F только тогда, когда для всех j = 1,2,... у четного числа координат этой точки в двоичной записи на kj -ом месте стоит единица. Геометрически же такие множества можно представить так: если множество Gm разбить на ' непересекающихся двоичных

кубов ранга kj + 1 и закрасить эти кубы в «шахматном» порядке, то условию (6) могут удовлетворять только те точки t € Gm, которые лежат в кубах, одинаково закрашенных с кубом, в котором лежит точка (0 + 0,..., 0 + 0). RD\ -множества являются частным случаем множеств Дирихле для системы Уолша. Отметим, что существуют непустые совершенные (как следствие, мощности континуума) RDm-множества. Более того, существуют совершенные RDm-множества хаусдорфовой размерности т.

Теорема 7. 1) Любое множество вида FUE, где F — RDm -множество, а множество Е С Gm не более чем счетно, является U-множеством для кратных рядов Уолша на группе Gm при сходимости по кубам; 2) существуют совершенные U -множества для кратных рядов Уолша на группе Gm при сходимости по кубам, имеющие хаусдорфову размерность т.

В главе 3 также построен многомерный двоичный интеграл, решающий проблему восстановления коэффициентов кратных рядов Уолша, сходящихся по кубам вне множеств единственности из достаточно широкого класса. Приведем определение этого интеграла в несколько упрощенной формулировке, сохраняющей, впрочем, его основные свойства.

Определение 8. Пусть конечная функция / определена всюду на Gm, за исключением, быть может, точек некоторого множества вида FUE, где F — RDm -множество, а Е — не более чем счетное множество. Назовем функцию / (PWRD) -интегрируемой, если для любого е > 0 найдутся квазимеры F\ и F2 такие, что:

(A) для всех t е Gm \ (F U Е) имеет место следующая формула (у, — мера Хаара на Gm):

— ^¡¡Е) ~ ^ А - Двоичный куб, Д Э t;

(B) квазимеры Fx и F2 являются (Ет, До)-непрерывными для всех двоичных кубов Д0 С Gm;

(C) Fx(Gm) - F2(Gm) <s.

Значение (PWRD )-интеграла (интеграла. Перрона-Уолша-Радемахера-Ди-рихле) от функции / по любому двоичному интервалу Д определяется так:

(PWRD) [ /(t) d^t) = infFi(A) = sup F2(A). (7)

J F¡ F¡

A

□

Теорема 9. Пусть кратный ряд Уолша (S) на группе Gm сходится по кубам к конечной сумме /(t) во всех точках t б Gm \ (F U Е), где F -некоторое RDm -множество, а Е с Gm - некоторое не более чем счетное множество. Тогда функция f является (PWRD) -интегрируемой и (S) является (PWRD) -рядом Фурье-Уолша этой функции.

Ситуация интересна еще тем, что большинство известных интегралов, которые решают проблему восстановления коэффициентов рядов по различным системам функций, делают это лишь для рядов, сходящихся вне не более чем счетных множеств (если не накладывать никаких ограничений на поведение коэффициентов ряда). По-видимому, первый обобщенный интеграл, решающий проблему восстановления коэффициентов рядов, сходящихся вне измеримых несчетных U-множеств из некоторого достаточно широкого класса, был построен в 2001 году для одномерной тригонометрической

системы H.H. Холщевниковой25, см. также26. (PWRD)-интеграл решает задачу восстановления коэффициентов кратных рядов Уолша, сходящихся вне множеств вида FUE (множество Е не более чем счетно, F - RDm -множество). Класс этих множеств не слишком широк, но при этом рассматривается случай кратных рядов, причем при сходимости по кубам. Напомним, что для кратных тригонометрических рядов для сходимости по кубам до сих пор не доказана (и не опровергнута) теорема типа Кантора даже в ее простейшей форме. Теоремы 7 и 9, а также ряд других теорем из диссертации решают для кратных рядов Уолша на группе Gm намного более общие задачи.

Оказывается, что (PWRD) -интеграл покрывает интеграл Лебега, из чего сразу вытекает

Теорема 10. Любое множество вида FUE, где F — RDm-множество, а Е С Gm — не более чем счетное множество, является V -множеством для кратных рядов Уолша на группе Gm при сходимости по кубам. Это означает, что если кратный ряд Уолша на группе Gm сходится по кубам вне множества FUE указанного типа к конечной суммируемой функции /, то этот ряд является рядом Фурье-Уолша функции }.

В главах 4 и 5 изучаются вопросы единственности m-кратных рядов Хаара

оо оо со т

Х>пХ„(х) = £)•■■£ Ощ.....(8)

n=0 ni=0 п,„=0 9=1

на единичном кубе [0,1)т, а также смежные вопросы теории обобщенных интегралов. До последнего времени не было известно даже, является ли пустое множество {/-множеством для рядов (8) при сходимости по кубам или р-сходимости. Нами изучена не только эта, но и гораздо более общие проблемы, и получены окончательные или очень близкие к ним результаты, относящиеся к проблеме единственности и проблеме восстановления коэффициентов. Неожиданным оказался результат о неединственности кратных рядов Хаара

25Н. Н. Холщевникова, «Обобщенный тригонометрический интеграл», Изв. HAH Армении. Сер. Машем., 36:4 (2001), 82-89.

26В. А. Скворцов, Н. Н. Холщевникова, «Сравнение двух обобщенных тригонометрических интегралов», Матем. заметки, 79:2 (2006), 278-287.

на кубе [О, I]"1 при сходимости по кубам и некоторых близких к ней сходи-мостях.

В главе 4 рассматриваются вопросы единственности рядов (8) при сходимости по кубам и р -сходимости. Сначала сформулируем теорему единственности для квазимер, для простоты приводя теорему не в самой общей форме и ограничиваясь случаем т = 2.

Теорема 11. Пусть на единичном квадрате [О, I]2 заданы не более чем счетное множество А и квазимера т. Предположим, что выполнены следующие условия:

(I) если х е (Id)2 \А, то

lim^ = 0, |Д|-> О, Д — двоичный квадрат, Д Э х;

(II) если х б (Qd х Id) \А (х е (Id х Qd) \А),то для любой последовательности {Д^}, определяемой формулами (2) и (3), выполнено условие

= Ыоо (9)

( r(Aff) - r(Aff) = Б , k oo ); (10)

(III) квазимера т является Ег -непрерывной в каждой точке х 6

[од]"1.

Тогда т(Д) = 0 для любого двоичного интервала Д .

Теперь сформулируем теорему единственности для рядов (8), также ограничиваясь для простоты случаем т = 2 и приводя теорему не в самой общей форме. Теорема 12 является следствием теоремы 14, приведенной ниже.

Теорема 12. Пусть на единичном квадрате [О, I]2 заданы не более чем счетное множество А и двойной ряд Хаара (S), причем:

(Г) если х 6 (Id)2\A, то ряд (S) сходится по двоичным кубам к нулю в точке х;

(II*) если тонка х Е [0,1]2\Л имеет ровно одну двоично-рациональную координату, то для прямоугольных частичных сумм ряда (3) вы-

полнено условие

5а'.Л(х) = Ъх(у/Ъ N2), гшп{^,N2} оо, тш^/^, N2/^} > 1/2;

(III*) всюду на [0,1]т ряд (5) удовлетворяет при т = 2 условию (4). Тогда ряд (5) является тождественно нулевым.

Теоремы 11 и 12 являются дуальными в том смысле, что каждое условие в предположении теоремы 11 является переформулировкой соответствующего условия в предположении теоремы 12. Тесную связь между кратными рядами Хаара и квазимерами демонстрируют также следующие факты. Теорема 12 перестает быть верной, если в условии (11) во всех точках, имеющих ровно одну двоично-рациональную координату, заменить 'б' на 'О'. Двойственный факт состоит в том, что нельзя во всех точках, имеющих ровно одну двоично-рациональную координату, заменить 'о' на 'О' в условиях (9) и (10) без того, чтобы теорема 11 перестала быть верной. Далее, теорема 12 перестает быть верной, если в условии (4) заменить 'Ъ' на 'О' даже в одной точке. Двойственный факт состоит в том, что нельзя даже в одной точке заменить £2 -непрерывность на Бг -ограниченность без того, чтобы теорема 11 перестала быть верной.

Еще одним важным моментом явилось построение интеграла, решающего проблему восстановления коэффициентов р-сходящихся кратных рядов Хаара. Этот интеграл был назван (Р/) -интегралом. Конструкция этого интеграла достаточно сложна, поэтому приведем ее в несколько упрощенной формулировке и лишь для случая т = 2.

Определение 13. Пусть конечная функция / определена, по меньшей мере, на множестве (/¿)2 \ А, где А — некоторое не более чем счетное множество. Назовем функцию / (Рй*) -интегрируемой, если для любого г > О найдутся квазимеры ^ и Р2, обладающие следующими свойствами:

(A) для всех х е (/¿)2 \ А

Иш^у^ > /(х) |Д| -4 О, Д - двоичный куб, Д Э х;

(B) если хе(<2<1х 1а) \ А (х € х С}^ \ А), то для любой последовательности {Д^}, определяемой формулами (2) и (3), а также для каждого (г = 1,2), выполнено условие (9) (соответственно, (10));

(C) квазимеры ^ и являются Е2 -непрерывными всюду на [0,1]2;

(Б) ^([0,1]2) - /г([0,1]2) < е.

Значение (Р^) -интеграла от функции / по любому двоичному интервалу Д определяется формулой, аналогичной (7). □

Теорема 14. Пусть задано не более чем счетное множество А С [0,1]т, а кратный ряд Хаара (5) на кубе [0,1]"1 с прямоугольными частичными суммами .....лгт обладает следующими свойствами:

1) если х е (/¿)пг \А, то существует величина Сх> 0 такая, что

|^,...,2*(х)| < Сх, к = 0,1,...;

2) если точка х б [0,1]т \ А имеет ровно й € {1,..., т - 1} двоично-рациональных координат, то выполнено условие

= 5Х((ЛГ! ■... • ^т)5/т), шт{Дг;} оо, > 1/2;

3) всюду на [0,1]т для ряда (5) имеет место условие (4).

Тогда ряд (5) почти всюду на (1Л)т \ А сходится по двоичным кубам к конечной функции /, являющейся (Р/) -интегрируемой, и ряд (5) является (РЛ -Рядом Фурье-Хаара функции / (подразумевается, что в точках множества (1Л)т\А, в которых она не определена, она доопределяется любыми конечными значениями).

Следствие 15. Если р € (0,1/2], то пустое множество является V -множеством для кратных рядов Хаара при р -сходимости.

24

Насколько условие р е (0,1/2] необходимо в следствии 15, подробно изучено в двумерном случае. Оказывается, при значениях р, близких к единице, то есть при сходимостях, близких к сходимости по кубам, аналоги следствия 15 не верны, что означает в таких случаях отсутствие единственности. Следующая теорема указывает границу существования единственности двойных рядов Хаара на единичном квадрате [О, I]2 при р-сходимостях.

Теорема 16. 1) Для любого р £ (\/2/2,1] существует нетривиальный двойной ряд Хаара на единичном квадрате [О, I]2, всюду р -сходящийся к нулю; 2) если р £ (0, т/2/2), то пустое множество является и-множеством для двойных рядов Хаара при р -сходимости.

Следствие 17. Существует нетривиальный двойной ряд Хаара на единичном квадрате [О, I]2, всюду сходящийся к нулю по кубам.

При этом утверждение 1 теоремы 16 и следствие 17 не переносятся на кратные ряды Хаара на группе С1.

Кроме (Р£) -интеграла, в главе 4 в двумерном случае построено семейство (Р^)-интегралов (р б (0, %/2/2)), каждый из которых при соответствующем р восстанавливает коэффициенты р-сходящихся всюду двойных рядов Хаара. При р £ (0,1/2] (Р^)-интеграл является сужением (Р/)-интеграла. Конструкции этих интегралов достоточно схожи. (РЦ) -интеграл привлекает интерес тем, что он не покрывает интеграл Лебега. Этот факт является нехарактерным для интегралов, решающих проблему восстановления коэффициентов ортогональных рядов. Структура (РЦ) -интеграла в значительной мере увязана со структурой рядов Хаара и этот интеграл «не берет» некоторые «лишние», функции, которые нельзя изменить на множество нулевой меры так, чтобы получившиеся функции были представимы в виде суммы всюду сходящегося двойного ряда Хаара.

В главе 5 изучаются свойства многомерных обобщенных интегралов. В случае т = 2 (Р^)-интеграл, построенный в главе 4 для решения проблемы восстановления коэффициентов т-кратных рядов Хаара, сравнивается с достаточно общими интегралами хенстоковского типа на плоскости, заведомо покрывающими не только интеграл Лебега, но и нерегулярный интеграл Перрона.

Теорема 18. 1) В случае т = 2 (Р/) -интеграл не противоречит двоичному 1/2 -регулярному интегралу Хенстока па плоскости ((#1/2,<г)-интегралу)\ 2) в случае т = 2 (Р^) -интеграл противоречит двоичному 1-регулярному (квадратному) интегралу Хенстока на плоскости ((Щ^)-интегралу).

Следствием первой части теоремы 18 служит следующий результат, являющийся теоремой типа дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара. Этот результат является далеко идущим обобщением, правда, только для двумерного случая, известных теорем В. А. Скворцова.

Теорема 19. Пусть задано не более чем счетное множество А С [О, I]2 и двойной ряд Хаара (5). Предположим, что ряд (5) всюду на [О, I]2 удовлетворяет (при т = 2) условию (4), во всех точках множества (/¿)2\Л данный ряд сходится по кубам к конечной функции }, интегрируемой в смысле (#1/2,<г) -интеграла, а во всех точках х е [О, I]2 \ А, имеющих ровно одну двоично-рациональную координату, для прямоугольных частичных сумм ЗлГьЛЪ ряда (Б) выполняется условие (11). Тогда (Б) является рядом Фуръе-Хаара функции / относительно (#1/2.<г) -интеграла.

Теорема 19 неусиляема ни в одном из следующих направлений. Во-первых, эта теорема перестает быть верной, если одновременно во всех точках х € [0,1]т \ А, имеющих ровно одну двоично-рациональную координату, заменить в формуле (11) 5 на О . Во-вторых, даже в одной точке х е [О, I]2 нельзя заменить в условии (4) 5 на О . В-третьих, теорема 19 перестает быть верной, если в условии (11) заменить 1/2 на 1. Наконец, (#1/2,^-интеграл в теореме 19 нельзя заменить на (Щ ¿) -интеграл, даже если ряд (5) 1/2 -сходится всюду. Последний факт следует из теоремы 20, являющейся двойственной ко второй части теоремы 18.

Теорема 20. Существует двойной ряд Хаара на единичном квадрате [0,1]2, всюду [>-сходящийся к конечной (Н^) -интегрируемой функции, но не являющийся рядом Фуръе-Хаара этой функции относительно (Ям) -интеграла.

В главе 6 изучаются множества относительной единственности для одномерных и кратных рядов Хаара и Уолша. Рассматриваются классы таких рядов, прямоугольные частичные суммы которых имеют не более чем степенной рост. Для кратных рядов Хаара находится полное описание таких множеств. В качестве следствия получено почти полное, а для некоторых классов множеств полное, описание класса множеств единственности одномерных рядов Хаара, удовлетворяющих условию Вэйда.. Помимо этого рассматривается более общая задача восстановления коэффициентов кратных рядов Хаара и Уолша, сходящихся вне множеств относительной единственности. Приведем основные результаты.

Пусть 0Q,P означает множество кратных рядов Уолша (Хаара) на группе Gm, р- регулярные прямоугольные частичные суммы Sjvb...,jvm которых имеют не более чем (1 - а)-степенной рост, то есть удовлетворяют условию

\SNu...,N„M < ОД • • • • • Хт)1"*, ПХт{ВД} > Р. величина С не зависит от N\,..., Nm € Z+ и t е Gm

Символом Uw.m,,>{oi) (UH,m.p{a)) обозначим класс U-множеств для рядов из класса при р-сходимости. В случае 0 < а < 1 (а именно этот случай представляется наиболее сложным и интересным) найдено достаточное условие (для кратных рядов Уолша) и критерий (для кратных рядов Хаара) принадлежности заданного множества классу Uw,m,/>{a) или • И снова оказалось, что вопросы единственности для кратных рядов Хаара увязаны с некоторыми свойствами квазимер. А именно, нахождение необходимого условия принадлежности заданного множества классу С/я.т.До-') свелось к существованию нетривиальной квазимеры, сосредоточенной на некотором замкнутом подмножестве заданного множества и имеющей необходимый порядок гладкости. Обнаружена связь между поведением частичных сумм кратных рядов Хаара и аналогами для квазимер известных в теории размерности прямого и обратного принципов распределения масс (см., напр.,27). Найденные закономерности позволили получить, в частности, следующие ре-

"К. Falconer, Pmctal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Ohichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore, 1990.

(12)

зультаты.

Теорема 21. Пусть заданы а е (0,1) upe (0,1]. Тогда:

1) если множество Е с Gm не содержит совершенных подмножеств, хаусдорфова ат-мера которых положительна, то Е е 17щт./>(а);

2) Ее UH ,т^(а>) тогда и только тогда, когда множество Е не содержит совершенных подмножеств, хаусдорфова ат -мера которых положительна;

3) замкнутое множество X е U¡i.m,p{се) в том и только том случае, когда хаусдорфова ат -мера множества X равна нулю.

Отметим, что, в силу теоремы 7, теорема 21 в ее части, касающейся кратных рядов Уолша, не может быть обратимой. Интерес представляют также следующие результаты.

Теорема 22. Пусть выбраны а € (0,1) и р € (0,1]. Тогда объединение не более чем счетного числа замкнутых множеств из класса 11н,т.р{а) также есть множество из этого класса.

Теорема 23. Выберем произвольные а е (0,1), ре (0,1] и множество Е i i/я,m,Да) ■ Если (S) — нетривиальный т -кратный ряд Хаара, реализующий М -множество Е, то есть (S) р -сходится к нулю на множестве Gm\E и удовлетворяет условию (12), то его можно выбрать таким, что все его частичные суммы будут неотрицательными.

Теорема 24 .Для любых аь а2 е (0,1) (ai ^ а2) и р е (0,1]

Теорема 22 является теоремой типа Бари для кратных рядов Хаара. Теорема 23 является аналогом для кратных рядов Хаара теоремы Шиппа, а теорема 24 выдержана в духе работ Р. И. Овсепяна, А. В. Бахшедяна и Г. Г. Геворкяна.

Получены также некоторые новые результаты о множествах относительной единственности для одномерных рядов Хаара. Пусть 9Р — класс рядов

Хаара, коэффициенты ап которых удовлетворяют следующему условию Вэй-да:

ап = о (пр~1/2), п -4 оо.

Отметим, что при р = 1 условие Вэйда превращается в равномерный аналог условия Арутюняна-Талаляна. Символом 1/(©р) обозначим семейство 17-множеств для рядов из класса 0Р. Из теоремы 21 можно легко вывести близкое к критерию условие принадлежности семейству 17(0Р). Мы не будем этого делать, а укажем класс множеств, для которых можно точно сказать, при каких р они принадлежат семейству и(Эр).

Теорема 25. Пусть выбрано замкнутое множество X С [0,1]. Предположим, что для некоторого р € (0,1) хаусдорфова а-мера множества X бесконечна при а < 1 — р и конечна при а > 1 — р. Тогда X е 17(&ч) для всех ц<р и X £ 17(®д) для всех д > р.

Следствие 26. Если ^ — симметрическое совершенное множество с постоянным отношением £, то ^ € 17(©,) тогда и только тогда, когда

, Ы2 9 1пС'

В частности, канторовское троичное множество Рф £ и(Эч) тогда и только тогда, когда

1п2

о < 1--.

4 ~ 1пЗ

Сравнив результаты для одномерных и кратных рядов Хаара (например, теорему 21 в ее части, касающейся кратных рядов Хаара) с результатами для одномерных и кратных рядов Уолша, получим следующую интересную картину. Для рядов Хаара в терминах хаусдорфовых мер получен критерий принадлежности заданного множества классу множеств единственности рядов, удовлетворяющих условию (12). В аналогичном случае для рядов Уолша найдено лишь достаточное условие подобной принадлежности. При этом, необходимое условие и не может быть получено в терминах хаусдорфовых мер в силу теоремы 7. Кроме того, отметим следующий очень важный, с нашей точки зрения, факт. Принадлежность множества рассмотренным выше

классам [/(0) для рядов Хаара (и одномерным, и кратным) не зависит (!) от арифметической структуры этих множеств, чего нет в случае рядов Уол-ша или тригонометрических. Подобное поведение рядов Хаара объясняется, по-видимому, некоторой «локальностью» системы Хаара, в частности, тем свойством, что диаметр носителя функций Хаара Хп стремится к нулю при п -> оо. Подобная «локальность» приводит к тому, что поведение частичных сумм ряда Хаара в одной точке не слишком сильно зависит от такого поведения в другой точке. В случае же рядов Уолша или тригонометрических носители соответствующих функций заполняют всю область определения. В связи с этим зависимость между поведением частичных сумм ряда в двух разных точках должна быть более сильной. Это, по всей видимости, и приводит к тому, что описание [/-множеств для таких рядов требует привлечения не только метрических, но и арифметических характеристик множеств.

Была также рассмотрена более общая задача восстановления коэффициентов кратных рядов Хаара и Уолша, сходящихся вне множеств относительной единственности. Для каждого а 6 (0,1) и семейства

К = {{^.(1)} : 1 б С?"1} (13)

возрастающих последовательностей {к^)} натуральных чисел построен интеграл двоичного перроновского типа, названный (РН\¥а(К)) -интегралом, относительно которого верна

Теорема 27. Пусть выбраны а € (О,1), р е (0,1], кратный ряд Хаара или Уолша (5) на группе С1, а также семейство К возрастающих последовательностей натуральных чисел, определяемое формулой (13). Предположим, что выполнены следующие условия:

1) для всех t 6 С1, кроме, быть может, точек из некоторого множества нулевой хаусдорфовой ат-меры, подпоследовательность ¿^«(^ кубических частичных сумм ряда (5) стремится при ] -» оо к конечному значению /(<;);

2) всюду на прямоугольные частичные суммы Б^Ц) ряда (5) в точке t удовлетворяют условию (12).

Тогда функция / является (РН\¥а(К)) -интегрируемой и ряд (й1) является (РН\¥а(К)) -рядом Фурье-Хаара или, соответственно, Фуръе-Уолша функции /.

В главе 7 мы несколько отступаем от основной линии для того, чтобы еще раз указать на значительные различия между поведением кратных рядов, сходящихся по кубам или по ограниченным прямоугольникам, от рядов, сходящихся по (неограниченным) прямоугольникам. В этой главе представлены некоторые результаты, касающиеся поведения коэффициентов сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша. Показано, что поведение коэффициентов сходящихся по кубам кратных рядов Уолша может сильно отличаться от поведения коэффициентов сходящихся по прямоугольникам таких рядов. С другой стороны, если рассматривать сходимость по кубам, то поведение коэффициентов кратных рядов Уолша сильно отличается и от поведения коэффициентов кратных тригонометрических рядов. Сходимость кратных рядов Уолша по кубам к конечной функции даже всюду в определенном смысле не гарантирует никаких ограничений на поведение их коэффициентов с номерами, взятыми из достаточно массивного множества. В частности, показано, что двойной ряд Уолша может всюду сходиться по квадратам, а его коэффициенты с номерами из некоторого множества при этом могут расти быстрее любой наперед заданной последовательности. Для кратных тригонометрических рядов подобное невозможно в силу теоремы Коэна. Но некоторые подпоследовательности коэффициентов сходящихся по кубам к конечной функции на множестве определенной меры кратных рядов Уолша, как доказано в главе 7, все-таки обязаны стремиться к нулю.

Также мы рассмотрим случай сходящихся по кубам или по ограниченным прямоугольникам кратных рядов Хаара. И здесь ситуация будет отличаться как от той, что имеет место для сходящихся по (неограниченным) прямоугольникам кратных рядов Хаара, так и от той, что имеет место для сходящихся по кубам кратных тригонометрических рядов. Более того, такое различие может быть уже тогда, когда кратный ряд Хаара сходится по прямоугольникам всюду, кроме всего одной точки ^ е Сп, в которой он сходится по кубам или в смысле р-сходимости.

Приведем некоторые результаты главы 7. Теорема 28. Рассмотрим множества

00

Тк = {{nhn2) е N2: 2к < т, щ < 2м - 1}, А; = 0,1,...; Т = (J Тк.

fc=0

Пусть заданы двойная последовательность {ВПьпЛ ме равных нулю действительных чисел, стремящаяся к оо последовательность {С^} положительных чисел, а также числа ß\ и ß2 такие, что 0 < ß\ < ß2 < 1. Тогда существует двойной ряд Уолша, всюду на G2 сходящийся по квадратам к конечной сумме, для коэффициентов Ь„иП2 которого выполнены следующие равенства:

Hm = оо; ПЫ ЬЦ = +оо;

|||(п1,П2)|||-»00, -£>«1,712 2"<ПиП2<21'+Ск, РпьПз |

(m,n2)iT к-* оо

ш 1Щ = +00.

2к(1+/31)<П1,П2<2ь(1+/92), Р„1)Па| к-¥ оо

Теорема 29. Пусть заданы s е Z+, борелевское множество Е С Gm, для которого выполнено неравенство

ц{Е) > 1 - „ * ,

а также кратный ряд Уолша (S), всюду сходящийся по кубам на множестве Е. Тогда для коэффициентов Ьщ.....„га ряда (S) справедливо равенство

lim max \bn, „ I = 0.

Теорема 30. Пусть заданы произвольные ре (0,1], те {2,3,...}, т-мерная последовательность {АП1.....Пщ} не равных нулю действительных чисел и точка 10 е Gm. Тогда существует т -кратный ряд Хаара, р-сходящийся к конечной сумме в точке t0, сходящийся по прямоугольникам, повторно и по сферам к конечной сумме во всех точках множества Ст\{Ы, для общего члена ащ.....^„Хщ,...,^, которого выполнены условия

Ш }алП1.....= оо и iiS ....."-Х"'......_ _

IK"'.....|Аг„...,п,,,| ||(nb,..,nm)||-+oo \A„u...tnJ

Возвращаясь к теореме 28, обратим внимание на еще одно различие между сходящимися по квадратам и по прямоугольникам двойными рядами Уо-лша. В работе Ш.Т. Тетунашвили6 для кратных тригонометрических рядов доказан следующий результат. Приведем его в сильно упрощенной формулировке и в двумерном случае. Пусть Ы означает класс и-множеств для двойных тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам, построенный в работе6 (см. теорему 2 из этой работы), и включающий, в частности, некоторые континуальные (7 -множества меры нуль, а также неизмеримые ?7-множества. Тогда, если конечная функция /(¿1,<2), определенная на множестве [—7г,7г] \ А, где А € Ы, измерима по переменной Ь1 при любом фиксированном £2 £ [—ж, 7г], то из сходимости по прямоугольникам к функции / на множестве [—7Г, 7г] \ А двойного тригонометрического ряда вытекает его повторная сходимость к функции / на том же множестве. Для двойных рядов Уолша аналогичный результат вытекает из результатов работы Л. Д. Гоголадзе9.

Что касается сходимости по квадратам, то из теоремы 28 вытекает, что даже всюду сходящийся таким образом двойной ряд Уолша может не сходиться повторно ни в одной точке. Действительно, если последовательность {5Пь,,2}, фигурирующая в формулировке теоремы 28, отделена от нуля, то ряд (£) из утверждения этой теоремы не может сходиться повторно, так как его общий член не стремится к нулю по одной переменной при любом фиксированном значении другой.

БЛАГОДАРНОСТИ

Выражаю глубокую благодарность своему Учителю, профессору кафедры теории функций и функционального анализа МГУ имени М. В. Ломоносова Валентину Анатольевичу Скворцову за внимание к работе и многолетнее плодотворное сотрудничество. Хочу выразить признательность руководителям семинаров по теории функций на Механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова член-корр. РАН Б. С. Кашину, профессорам М. И. Дьяченко, Б. И. Голубову, С. В. Конягину, М. К. Потапову, Т. П. Лукашенко, а также всем участникам этих семинаров за творческую атмосферу и

обсуждение тем, затронутых в диссертации. Считаю своим долгом вспомнить об академике П. Л. Ульянове (1928-2006), чье внимание и поддержка сыграли важную роль в творческой судьбе автора. Выражаю признательность Татьяне Своровска за ряд замечаний и советов, значительно улучшивших текст работы. Благодарю свою семью за понимание и поддержку.

Работы автора по теме диссертации

[1] М.Г. Плотников, «Об интеграле Моэна и его применении к рядам Ха-ара», Вестник Московского Университета. Математика. Механика, 2000, № 4, 63-66.

[2] М. Г. Плотников, «О единственности всюду сходящихся кратных рядов Хаара», Вестник Московского Университета. Математика. Механика, 2001, № 1, 23-28.

[3] М. Г. Плотников, «О нарушении единственности для двумерных рядов Хаара», Вестник Московского Университета. Математика. Механика, 2003, № 4, 20-24.

[4] М. Г. Плотников, «Об одном интеграле перроновского типа», Вестник Московского Университета. Математика. Механика, 2004, № 2,12-15.

[5] М.Г. Плотников, «Вопросы единственности для некоторых классов рядов Хаара», Математические заметки, 75:3 (2004), 392-404.

[6] М.Г. Плотников, «Вопросы единственности для кратных рядов Хаара», Математический сборник, 196:2 (2005), 97-116.

[7] М. Г. Плотников, «О восстановлении коэффициентов двумерных рядов Хаара», Известия вузов. Математика, 2005, № 2, 45-53.

[8] М. Г. Плотников, «О границе существования единственности для двумерных рядов Хаара», Известия вузов. Математика, 2006, № 7, 57-64.

[9] М.Г. Плотников, «О кратных рядах Уолша, сходящихся по кубам», Известия РАН. Серия математическая, 71:1 (2007), 61-78.

[10] М.Г. Плотников, «О множествах единственности для кратных рядов Уолша», Математические заметки, 81:2 (2007), 265-279.

[11] M. Г. Плотников, «Некоторые свойства многомерных обобщенных интегралов и теоремы типа дю БуагРеймона для двойных рядов Хаара», Математический сборник, 198:7 (2007), 63 -90.

[12] M. G. Plotnikov, «Recovery of the coefficients of multiple Haar and Walsh sériés», Real Analysis Exchange, 33:2 (2008), 291-308.

[13] M. G. Plotnikov, «Quasi-measures and Walsh Sériés», Facta Universitatis. Sériés Electronics k Energetics, 21:3 (2008), 267-273.

[14] M. Г. Плотников, «Об интегралах обобщенного римановского типа на плоскости и об одном примере двойного ряда Хаара», Математические заметки, 86:4 (2009), 601-611.

[15] М.Г. Плотников, «Квазимеры, хаусдорфовы р-меры и ряды Уолша и Хаара», Известия РАН. Серия математическая, 74:4 (2010), 157 -188.

[16] М.Г. Плотников, «Квазимеры на группе Gm, множества Дирихле и проблемы единственности для кратных рядов Уолша», Математический сборник, 201:12 (2010), 131-156.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж Ц 0 экз. Заказ № 4/

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

1.1. Некоторые определения и обозначения

1.2. Кратные ряды и их сходимость

1.3. Функции Хаара и Уолша на отрезке [0,1]

1.4. Двоичная группа и функции Хаара и Уолша

1.5. Кратные ряды Хаара и Уолша на единичном кубе [О, I]

1.6. Кратные ряды Хаара и Уолша на группе Gm

1.7. Хаусдорфовы р-меры и размерность Хаусдорфа множеств из Gm и [0,1]т

1.8. Некоторые утверждения о коэффициентах и частичных суммах кратных рядов Уолша

1.9. Некоторые замечания об определениях функций Хаара

2. КВАЗИМЕРЫ И ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ХААРА И УОЛША

2.1. Функции множества на кубе [0,1]т и на группе Gm

2.2. Непрерывность £>-функций

2.3. О дихотомии для /^-функций

2.4. Условия типа Липшица для ^-функций

2.5. Условия типа Липшица и принципы распределения масс для квазимер 682.6. Формальное интегрирование кратных рядов Хаара и Уолша <

2.7. Непрерывность квазимер и коэффициенты кратных рядов Хаара и Уолша

2.8. Частичные суммы кратных рядов Хаара и Уолша и условия типа Липшица для квазимер

2.9. Некоторые замечания о множествах единственности для рядов Хаара и

Уолша

2.10. Несколько слов о тесноте связи между рядами Хаара и квазимерами

3. ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ УОЛША НА ГРУППЕ Gm

3.1. Множества типа Дирихле для системы Уолша

3.2. Теоремы о монотонности ^-функций

3.3. Обобщенные интегралы двоичного перроновского типа на группе Gm

3.4. К вопросу о восстановлении коэффициентов сходящихся по кубам и рсходящихся кратных рядов Уолша

3.5. Множества единственности для кратных рядов Уолша при сходимости по кубам и р-сходимости

3.6. Теоремы типа Валле-Пуссена для кратных рядов Уолша

4. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ ХААРА

4.1. Некоторые свойства квазимер на единичном кубе [0,1]т

4.2. Теорема о монотонности для Б-функций на единичном кубе [0,1]т

4.3. Вопросы единственности кратных рядов Хаара на единичном кубе [0,1]т

4.4. Утверждения о единственности и неединственности для квазимер и кратных рядов Хаара

4.5. О границе существования единственности для двойных рядов Хаара

4.6. Сравнение (Р£)-интеграла и интеграла Лебега

5. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МНОГОМЕРНЫХ ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ТЕОРЕМЫ ТИПА ДЮ БУА-РЕЙМОНА ДЛЯ ДВОЙНЫХ РЯДОВ ХААРА

5.1. Некоторые определения и вспомогательные утверждения из теории обобщенных интегралов

5.2. Об одном семействе обобщенных интегралов

5.3. О непротиворечивости (#1/21(г)-интеграла и (Р^)-интеграла

5.4. Теоремы типа дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара

5.5. О противоречивости (#1^)-интеграла и (Р^2)-интеграла и об одном примере двойного ряда Хаара

6. ХАУСДОРФОВЫ МЕРЫ И МНОЖЕСТВА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ РЯДОВ ХААРА И УОЛША

6.1. Условия типа Арутюняна-Талаляна и множества относительной единственности для кратных рядов Хаара

6.2. Одна теорема о монотонности для Б-функций

6.3. Множества относительной единственности для кратных рядов Уолша и

Хаара

6.4. Условия Вэйда и множества относительной единственности для одномерных рядов Хаара

6.5. Множества относительной единственности и восстановление коэффициентов кратных рядов Уолша и Хаара

7. КОЭФФИЦИЕНТЫ СХОДЯЩИХСЯ КРАТНЫХ РЯДОВ ХААРА И УОЛША

7.1. О всюду сходящихся по квадратам двойных рядах Уолша с быстро возрастающими коэффициентами

7.2. О стремящихся к нулю подпоследовательностях коэффициентов сходящихся по кубам кратных рядов Уолша

7.3. О всюду сходящихся по кубам или р-сходящихся кратных рядах Хаара с быстро возрастающими коэффициентами

Благодарности

Предметный указатель

Список основных обозначений

Представленная работа стоит на стыке теории единственности ортогональных рядов, теории обобщенных интегралов, а также некоторых разделов теории меры и теории дифференцирования.

Теория единственности является одним из классических разделов теории ортогональных рядов. Свое начало она берет с известной теоремы Кантора ([9, гл. 1], [44, т. 1, гл. 9], [173]), доказанной еще в конце XIX века.

Теорема А1 (теорема Кантора). Если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду на [—7Г,7г); кроме, быть может, конечного множества точек, то этот ряд является тождественно нулевым, то есть все коэффициенты этого ряда равны нулю.

С тех пор теория единственности превратилась в весьма разветвленную теорию, тесно связанную не только с вещественным анализом, но и с другими разделами математики, например, с теорией вероятностей, теорией чисел и теорией множеств:

К сожалению, невозможно сделать обзор всех направлений теории единственности. В связи с этим мы вынуждены останавливаться подробно только на тех разделах этой теории, которые непосредственно связаны с данной работой, тем самым не уделяя должного внимания многим весьма интересным работам. Стараясь, по возможности, дать ссылки на наиболее значимые результаты о единственности для рядов Хаара или. Уолша, мы, из-за недостатка места не всегда сможем делать подобное для тригонометрических рядов.

Теория единственности естественным образом началась с изучения тригонометрической системы. Поэтому, хотя наша работа посвящена изучению рядов Хаара и Уолша, будет постоянно проводиться обзор результатов и для тригонометрических рядов, а также их сравнение с теми, что имеют место для рядов Хаара и Уолша.

Теорему Кантора усилил В. Юнг ([9, гл. 1], [44, т. 1, гл. 9], [254]), который показал, что в теореме А1 достаточно требовать сходимости к нулю вне счетного множества. Теоремы Кантора и Юнга привели в начале XX века к обширным исследованиям с целью поиска исключительных множеств, которые не нарушают эти теоремы. Такие множества называются множествами единственности или II-множествами. Более точно, множество А, лежащее в области определения системы функций {фп}, называется множеством единственности или II-множеством для рядов по этой системе, если сходящийся к нулю вне множества А ряд ^2папФп(х) является тождественно нулевым. Задача о нахождении {/-множеств является одной из важнейших в теории единственности. Множество, не являющееся ¿/-множеством, называется множеством множественности (иначе, М-множеством) для соответствующей системы функций. Другими словами, множество А, лежащее в области определения системы функций {фп}, называется М-множеством для рядов по этой системе, если существует нетривиальный ряд (то есть ряд, не все коэффициенты которого равны нулю) апфп{х)) сходящийся к нулю вне множества Л.

Задачу о нахождении ¿/-множеств и М-множеств можно расширить, если в соответствующих определениях рассматривать не все ряды по системе {фп}, а лишь ряды из некоторого класса ©. Тем самым получим определения ¿/(©)-множеств и М(0)-множеств. ¿/(@)-множества иначе называются множествами относительной единственности. Классы ¿/ -множеств обладают свойством наследственности: если А\ С Л2 и А2 является II-множеством, то А\ также является ¿/-множеством. Подобным свойством обладают и классы и{0)-множеств.

Рассмотрим случай тригонометрических рядов. Теорема Юнга означает, что любое счетное множество является ¿/-множеством. Несложно показать, что любое измеримое множество положительной меры уже не является и~ множеством. Важнейшим шагом в построении теории единственности явился пример совершенного М-множества нулевой меры, построенный в 1916 году Д. Е. Меньшовым ([9, гл. 14], [197]). Д. Е. Меньшов первым построил нетривиальный тригонометрический ряд, почти всюду сходящийся к нулю. Такие ряды называются нуль-рядами, аналогичная терминология имеет место и для рядов по другим системам функций.

Пример Д. Е. Меньшова, с которого по сути началась современная теория единственности, показал, что в этой теории нельзя пренебрегать множествами меры нуль, и этот факт изменил общепринятую в то время точку зрения о роли множеств нулевой меры в различных областях анализа.

Пример Д. Е. Меньшова породил естественный вопрос о существовании несчетных ¿/-множеств. Вскоре Н. К. Бари и А. Райхман построили примеры континуальных ¿/-множеств ([9, гл. 14], [167], [206]). Дальнейшие исследования многих авторов (см., например, работы Н. К. Бари [166], А. Райхма-на [205], Р. Салема [211, 212], Р. Салема и А. Зигмунда [213], И. И. Пятецкого-Шапиро [84, 85, 86], А. Зигмунда и Й. Марцинкевича [195]) показали, что вопрос о принадлежности конкретного множества классу II- или М-множеств для тригонометрических рядов является очень тонким вопросом, связанным не только с метрической и топологической, но и с арифметической структурой множеств. Этот факт подтверждает то обстоятельство, что обычные способы классификации множеств нулевой меры по степени их "густоты", такие как емкости и хаусдорфовы размерности, не позволяют различить II-и М-множества [9, гл. 14], [45]. Представление о глубине проблемы дает тот факт, что даже в простейшем случае, когда рассматриваются симметричные замкнутые множества ^ с постоянным отношением £ (множества канторовского типа), решение этого вопроса требует привлечения алгебраической теории чисел. Например, знаменитый результат, достигнутый усилиями Р. Салема, И. И. Пятецкого-Шапиро и А. Зигмунда [85, 211, 212, 213], утверждает, что множество ^ является [/-множеством тогда и только тогда, когда 1/С — число Пизо. Ранее этот результат был получен Н. К. Бари [166] для рациональных С (в этом случае множество ^ является {/-множеством тогда и только тогда, когда 1/С ~ целое число). В частности, канторовское троичное множество является [/-множеством. В общем же случае вопрос об II- и М-множествах чрезвычайно труден и не решен даже для совершенных множеств. Более того, в работе [193] показано, что не существует конструктивного критерия принадлежности заданного множества классу множеств единственности.

Важным фундаментальным результатом о структуре множеств единственности явилась следующая теорема Н. К. Бари ([9, гл. 14], [8]).

Теорема А2 (теорема Бари). Объединение счетного числа замкнутых II-множеств также является 17-множеством.

Теорему Бари позже обобщили Н. Н. Холщевникова [148], а также К. Кар-лет и Г. Дебс (см. [193, с. 44]).

Еще одним важным направлением теории единственности является проблема восстановления коэффициентов сходящихся вне [/-множеств функциональных рядов по их сумме. Из теоремы Кантора вытекает, что не существует двух тригонометрических рядов, сходящихся к одной и той же конечной сумме всюду на [0,2-7г), кроме, быть может, конечного множества точек. Естественно, возникает вопрос: обязан ли сходящийся к конечной суммируемой функции вне некоторого множества (такие множества принято в последнее время называть V-множествами) тригонометрический ряд являться рядом Фурье своей суммы, то есть можно ли восстановить коэффициенты этого ряда по его сумме с помощь формул Фурье? Еще в конце XIX века П. дю Буа-Реймон доказал ([9, гл. 1], [169]) следующий результат.

Теорема АЗ (теорема дю Буа-Реймона). Тригонометрический ряд, всюду сходящийся к интегрируемой по Риману функции, является рядом Фурье своей суммы.

Позже А. Лебег обобщил эту теорему на случай ограниченных суммируемых функций [9, гл. 1], а Ч. Балле-Пуссен доказал ([9, гл. 1], [229]) следующий результат, обобщающий теоремы дю Буа-Реймона и Лебега. 6

Теорема A4 (теорема Валле-Пуссена). Тригонометрический ряд, сходящийся всюду, кроме, быть может, счетного множества точек, к конечной суммируемой функции, является рядом Фурье своей суммы.

И. И. Привалов доказал [83], что в теореме Валле-Пуссена можно вместо счетного множества взять произвольное замкнутое [/-множество. Наиболее общий результат, обобщающий теорему A4 для суммируемых функций, получен H.H. Холщевниковой [141].

Отметим, что при изучении задачи о восстановлении коэффициентов сходящихся рядов обычно приходится иметь дело с сильно осциллирующими функциями, не всегда являющимися суммируемыми. Хорошо известно (см., напр., [44]), например, что тригонометрический ряд оо Е

71=2 sin rix In п

0.1) всюду сходится к конечной функции, но его сумма не является интегрируемой по Лебегу, а сам ряд (0.1) не является рядом Фурье никакой суммируемой функции. В связи с этим дальнейшие обобщения теорем дю Буа-Реймона, Лебега и Валле-Пуссена связаны с изучением интегралов, более общих, чем интеграл Лебега. Теорема типа дю Буа-Реймона оказывается справедливой для узкого интеграла Данжуа [44], но не имеет места для широкого интеграла Данжуа [111]. В каком-то смысле завершением этого направления для тригонометрических рядов явилось построение интегралов таких, что всякий всюду сходящийся к конечной функции ряд является рядом Фурье в смысле данного интеграла. Первым таким интегралом явилась так называемая тотализация Т^ Данжуа [179], являющаяся интегралом второго порядка. Интеграл первого порядка, решающий аналогичную проблему, был построен в 1989 г. Д. Прейссом и Б. Томсоном [204].

Возможность построения содержательной теории единственности для других ортогональных систем в первую очередь зависит от справедливости аналога теоремы Кантора в ее простейшем виде: если ряд^ апфп(х) по системе {Фп{х)} сходится к нулю во всех точках отрезка ортогональности, то этот ряд является тождественно нулевым. Г. М. Мушегян и Р. И. Овсепян показали [68, 72, 74], что это утверждение может оказаться неверным даже для некоторых полных в Ь2[0,1] ортонормированных систем {фп(%)}, состоящих из ограниченных в совокупности непрерывных функций. Естественным образом построение теории единственности для ортогональных систем, отличных от тригонометрической, началось с изучения конкретных систем, для которых удалось установить теорему типа Кантора. 7

В 60-е годы ХХ-ого века стали систематически изучаться вопросы единственности для рядов по системам функций, отличным от тригонометрической (системам Радемахера, Хаара, Уолша, Виленкина-Прайса, Фабера-Шаудера, Франклина и ряду других). На развитие данной теории, в особенности на постановку задач, оказала сильное влияние ставшая классической теория единственности тригонометрических рядов. Однако, многие результаты в теории единственности рядов по различным системам оказались отличными от тех, что имеют место для тригонометрической системы, не говоря о том, что развитие этой теории потребовало в подавляющем большинстве случаев разработки совершенно новых методов.

Система Уолша, введенная Дж. Уолшем [240] еще в 1923 году, является простейшим представителем мультипликативных систем, часто называемых системами Виленкина-Прайса, По сути, под системой Уолша подразумевают несколько разных систем (система самого Уолша [240], система Уолша-Качмажа [191], система Уолша-Пэли [201], система Уолша в нумерациях Шиппа [215]), отличающихся, впрочем, лишь перестановками функций внутри двоичных пачек. Интерес к таким системам обусловлен не в последнюю очередь их использованием в прикладных вопросах, таких, как цифровая обработка сигналов, кодирование, распознавание образов. С другой стороны, изучение мультипликативных систем имеет теоретический интерес, так как эти системы служат в гармоническом анализе моделью системы характеров на компактных абелевых группах.

Теория единственности рядов по системе Уолша развивалась под влиянием аналогичной теории для тригонометрической системы. Результаты этих теорий зачастую похожи, но случаются и различия. Тот факт, что пустое множество является [/-множеством для одномерных рядов Уолша, был доказан в 1923 году самим Дж. Уолшем [240]. В 1947 году Н. Я. Виленкин [17] распространил этот результат на некоторый класс мультипликативных систем. В 1949 году А. А. Шнейдер [152] и, независимо от него, Н. Файн [184] показали, что любое не более чем счетное множество является ^-множеством для рядов Уолша. Среди множеств нулевой меры есть как U-множества [152], так и М-множества (этот факт был независимо установлен A.A. Шнейдером [152] и Дж. Кури [177]). Первый пример совершенного М-множества меры нуль фактически содержится в работе В. А. Скворцо-ва [104]. В [93] В. А. Скворцов установил существование совершенного М-множества, хаусдорфова р-мера которого равна нулю при всех р > 0. Тем самым "жидкое11 в определенном смысле множество оказывается М-множе-ством. В другом примере, построенном В. А. Скворцовым [89], [/-множество оказывается в некотором смысле "густым". Отметим, что если рассматривать задачу, является ли симметричное совершенное множество с постоянным отношением С U- или М-множеством для рядов Уолша, то известен лишь результат A.A. Шнейдера [152], утверждающий, что при ( = 2-s1, s 6 N, такое множество является [/-множеством. В частности, неизвестно, является ли канторовское троичное множество [/-множеством для рядов Уолша.

К. Йонеда изучал [244, 245, 247] множества Дирихле для системы Уолша. Напомним [215, глава 7], что множество Е С G называется множеством Дирихле для системы Уолша {wn(a;)}, если liminf^oo sup^^g |1— и>п(х)\ = 0. К. Йонеда доказал [247], что любое множество Дирихле является (7-множе-ством для-одномерных рядов Уолша. В [244] К. Йонеда показал, что среди множеств Дирихле для системы Уолша присутствуют множества хаусдор-фовой размерности Г, поэтому существуют [/-множеством для рядов Уолша хаусдорфовой размерности 1. При изучении одномерных рядов Уолша было показано, что принадлежность данного множества классу ¿/-множеств или классу М-множеств в значительной степени зависит не от "густоты" множества, а от его арифметической природы. В этом смысле результаты об U-множествах для рядов Уолша похожи на аналогичные результаты для тригонометрической системы. Связь вопросов единственности для рядов Уолша и для рядов по мультипликативным системам с аналитической теорией чисел изучена также Б. Обертином [165].

Теорему типа Бари для рядов Уолша доказал В. Вэйд [236]. В работе [214] Ф. Шипп построил пример нуль-ряда по системе Уолша с неотрицательными частичными суммами. Р. И. Овсепян распространил [73] этот результат на произвольные системы по переставленным функциям Уолша.

В одномерном случае имеется достаточно много результатов, касающихся проблемы восстановления коэффициентов рядов Уолша. Первый результат в этом направлении принадлежит Н. Файну [184]: если ряд Уолша c„wn(i) сходится к конечной функции / G L(G) всюду вне счетного множества, где, тем не менее, сходится ряд

ОО i

U)n(z)dz, (0.2) п=0 { то исходный ряд является рядом Фурье-Уолша функции /. Следующий, достаточно общий результат был получен в 1964 году Ф. Г. Арутюняном и А. А. Талаляном [6]. Если коэффициенты ряда Уолша стремятся к нулю, а подпоследовательность частичных сумм S2k3 (t) сходится к конечной суммируемой функции /, то данный ряд является рядом Фурье-Уолша функции 9 Теорема Арутюняна-Талаляна для рядов Уолша показывает, что условие сходимости ряда (0.2) в работе Н. Файла, а также требование сходимости всей последовательности частичных сумм ряда Уолша являются избыточными. С последним, более жестким, чем у Ф.Г. Арутюняна и A.A. Та-лаляна, требованием, теорема была доказана Р. Криттенденом и В. Шапиро [178]. Ф.Г. Арутюнян показал [3], что теорема Арутюняна-Талаляна остается в силе, если функция / интегрируема в смысле широкого интеграла Данжуа, но при этом сходится вся последовательность частичных сумм, а не подпоследовательность. Ряд обобщений некоторых результатов, описанных выше, был получен В. А. Скворцовым [97]. Важным шагом в данном направлении явилось построение интеграла, относительно которого всякий сходящийся всюду к конечной функции ряд Уолша является рядом Фурье-Уолша своей суммы. В. А. Скворцов первым построил [90] такой интеграл, который был назван интегралоль Хаара-Даноюуа или НD-интегралом.

Многие из представленных выше результатов позже были обобщены на случай систем Виленкина-Прайса, а также на ряды по системам характеров нуль-мерных групп (см., напр., работы В. Вэйда [235, 238], В. А. Скворцо-ва [100, 225], И.И. Тузиковой [135], H.A. Бокаева и В.А. Скворцова [16], Д. Харриса [190], В. А. Скворцова и М. П. Королевой [106], В. В. Костина [52, 54], В. А. Скворцова и Ф. Тулоне [108, 109], Н. С. Поляковой [82]). Вопросам единственности для рядов Уолша посвящены также работы К. Ионе-ды [251], В. Вэйда [230, 233], К. Йонеды и В. Вэйда [239], Г. М. Мушегяна [65], В.А. Скворцова [88, 92, 95, 96, 101], H.H. Холщевниковой [142, 145, 147], Ш.Т. Тетунашвили [130, 132], Г. Г. Геворкяна [24, 29, 187], Н.Б. Погося-на [81], H.A. Бокаева [13], H.A. Бокаева и М. А. Нурханова [15] и ряд других.

Для множеств относительной единственности рядов Уолша известен следующий важный результат, принадлежащий В. Шапиро [223]. Пусть е = {еп} — монотонно убывающая к нулю последовательность, 0(e) — класс одномерных рядов Уолша с коэффициентами Ьп такими, что |6П| < еп для всех п. Тогда для всякого S > 0 существуют U(0(е))-множества, мера которых больше, чем 1 — 5. Теорему Шапиро усилили, доказав наличие £/(©(е))-мно-жеств полной меры, A.B. Бахшецян [10] и Г. Г. Геворкян [29]. Теорема Шапиро является аналогом известной теоремы Зигмунда ([256], см. также [9, гл. 14], [44, гл. 9]) для тригонометрических рядов. Теоремы А. В. Бахшецяна и Г. Г. Геворкяна являются аналогами теорем Кахана-Кацнельсона [192] (в одномерном случае) и Ш. Т. Тетунашвили [127] (в многомерном случае при сходимости по прямоугольникам), установленных для тригонометрических рядов.

Множества относительной единственности для рядов Уолша изучались также в работах Р. Криттендена и В. Шапиро [178], В. Вэйда [237], К. Йо-неды [242, 249, 250, 252, 253], В. Вэйда и К. Йонеды [239]. В этих работах использовалась несколько другая терминология. Пусть © — некоторый класс рядов Уолша. Скажем, что множество Е С G является М(©)-множеством, если существует ряд X^JJLo bnbjn{t) G 0 такой, что lim*;^ bnUn(t) = О на G \ Е. Если множество Е с G не является М(в)-множеством, то оно называется U(О)-множеством.

Пусть Q — класс рядов Уолша, частичные суммы Sn которых всюду на G удовлетворяют условию

S2k(t) = bt(2k), fc — оо условие Криттендена-Шапиро [178]). Р. Криттенден и В. Шапиро доказали [178], что борелевское множество А С G принадлежит классу U(Q) тогда и только тогда, когда оно не более чем счетно. В. Вэйд [237] и К. Йо-неда [250] рассмотрели класс Fa (a G К) рядов Уолша, для коэффициентов Ъп которых выполнено условие оо 71=0

Из результатов работ [237] и [250] вытекает, что если 0 < а < 1, то замкнутое множество Е С G принадлежит классу U(Fa) тогда и только тогда, когда его а-ем кость равна нулю, а-емкость множества является характеристикой, близкой к хаусдорфовой а-мере, поэтому интересно сопоставить данные результаты с установленными в главе б для рядов Хаара теоремами 6.10, 6.15 и 6.21.

Результаты другого типа получены в работе Р. И. Овсепяна [74], где на языке единственности изучалась возможность различать классы коэффициентов рядов. Пусть ир (Мр) означает семейство ¿/-множеств (М-множеств) для класса рядов с коэффициентами из 1Р. В [74] были приведены примеры ортонормированных систем, для которых пустое множество является Мр-множеством для одногор и i/g-множеством для всех q < р или М(0(е))-множеством при фиксированном £ = {еп} с £п \ 0, ^ £п = 00 и iZ-множеством для класса рядов с коэффициентами порядка о(еп). Подобные теоремы были получены для системы Радемахера A.B. Бахшецяном [11], а для систем Хаара, Уолша и тригонометрической — Г. Г. Геворкяном [21, 27,187]. В частности, в работе [187] Г. Г. Геворкян установил окончательный результат для системы Уолша: для любой монотонно убывающей к нулю последовательности е = {еп} существует М(е)-множество, являющееся одновременно U-множеством для класса рядов с коэффициентами порядка о(еп).

Ii

Важным случаем множеств относительной единственности для рядов Уол-ша являются множества единственности для системы Радемахера. Фундаментальные результаты о таких множествах получены в 1962 году С. Б. Стеч-киным и П.Л. Ульяновым [113]. Позже эти результаты были обобщены и уточнены в работах A.B. Бахшецяна [11] и H.H. Холщевниковой [146].

Множества относительной единственности для рядов Уолша также изучались в работах В. Вэйда [231], Ш.Т. Тетунашвили [128], Г. Г. Геворкяна [26], С. Ф. Лукомского [57] и ряде других. Подробное описание части результатов о единственности рядов Уолша можно найти в обзорах Л. А. Балашова и А. И. Рубинштейна [7], И. А. Виноградовой и В. А. Скворцова [18], В. Вэйда [233], A.A. Талаляна и Р.И. Овсепяна [126].

Еще одной хорошо известной системой функций, которая начала активно изучаться в 60-е года ХХ-ого века, является система Хаара, впервые рассмотренная А. Хааром [189] еще в 1910 году. Система Хаара является первым и наиболее простым примером системы всплесков (вейвлетов), теория которых сейчас интенсивно развивается. Кроме того, эта система, как показано в работах П. Л. Ульянова (см., напр., [136, 137]), являющегося инициатором глубокого изучения системы Хаара, а также А. М. Олевского (см., напр., [198]), играет важную роль в общей теории ортогональных рядов, где с ее помощью были решены многие задачи.

Системы Хаара и Уолша тесно связаны между собой. Любая функция одной из этих систем является линейной комбинацией конечного числа функций другой системы. Несмотря на такую тесную связь, теория единственности рядов Хаара сильно отличается от теории единственности рядов Уолша.

То, что пустое множество является [/-множеством для рядов Хаара, было доказано самим А. Хааром [189] еще в 1910 году, однако доказательство содержало ошибку. Верное доказательство вытекает из появившихся одновременно в 1964 году работ Ф. Г. Арутюняна [4], Ф. Г. Арутюняна и A.A. Талаляна [6], М.Б. Петровской [79], В.А. Скворцова [105]. Однако, любое одноточечное множество уже является М-множеством для таких рядов (для множества А = {1/2} — результат Г. Фабера [181], в общем случае — результат Дж. Мак-Лафлина и Дж. Прайса [196]). Таким образом, в отличие от рядов Уолша или тригонометрических только пустое множество является [/-множеством для рядов Хаара. В связи с этим для получения теорем единственности для рядов Хаара необходимо налагать ограничения на поведение коэффициентов или частичных сумм таких рядов. Актуальной задачей для таких рядов становится изучение множеств относительной единственности.

В теории рядов Хаара Хт^о апХп(х) очень важную роль играет следующее условие на поведение общего члена ряда: апХп{х) = о* (га), п оо. (0.3)

Условие (0.3), введенное в работе [6], называется условием Арутюняна-Та-лаляна. Пусть Qat обозначает класс одномерных рядов Хаара, всюду на [0,1] удовлетворяющих условию (0.3). Г. М. Мушегян дал [66] полное описание U(Qat)- и М(влг)-множеств, доказав, что множество А с [0,1] является М(ЭАТумножеством тогда и только тогда, когда А содержит непустое совершенное подмножество. Отсюда вытекает, что борелевское множество А С [0,1] является С/(©лг)-множеством тогда и только тогда, когда оно не более чем счетно. Результат Г. М. Мушегяна был перенесен В. А. Скворцовым на многомерный случай при сходимости по прямоугольникам [99].

Естественным расширением условия Арутюняна-Талаляна является следующее условие на поведение коэффициентов рядов Хаара, которое рассмотрел В. Вэйд [234]: ап = Ъ(пр~1/2), га-> оо. (0.4)

Прир = 1 условие (0.4) превращается в равномерный аналог условия Арутюняна-Талаляна.

Пусть ©р означает класс рядов Хаара, удовлетворяющих условию (0.4). Из результатов работ [4, 6, 66, 79, 105, 181, 196] вытекает, что при р > 1 пустое множество и только оно является U(Qp)~множеством, а при р — 1 борелевское множество является U(Эр)-множеством тогда и только тогда, когда оно не более чем счетно. Г. М. Мушегян показал [62,' 66] наличие совершенных £/(©р)-множеств при р < 1. Следующие результаты доказал В. Вэйд [234]. При всехр < 0 существуют С/(0р)-множества, лебегова мера которых сколь угодно близка к единице. Для 0 < р < 1 верна теорема типа Бари: объединение не более чем счетного семейства замкнутых U(Qp)~ множеств является U(©^-множеством (при р = 0 нужно дополнительно предполагать, что исходные U(0р)-множества имеют лебегову меру нуль). При этом не было явного описания класса таких множеств.

Ряд работ был посвящен проблеме восстановления коэффициентов рядов Хаара. В. А. Скворцов доказал [105], что если ряд по системе Хаара сходится всюду на [0,1] к ограниченной функции, то он есть ее ряд Фурье-Хаара. М. Б. Петровская обобщила [80] этот результат, показав, что в нем достаточно требовать сходимости вне счетного множества, добавив при этом требование стремления к нулю общего члена ряда. В другой работе [79] она доказала справедливость результата В. А. Скворцова при замене ограниченной функции на суммируемую. Следующий достаточно общий результат был получен в 1964 году Ф.Г. Арутюняном и A.A. Талаляном [6]. Если

13 ряд Хаара всюду на [0,1] удовлетворяет условию Арутюняна-Талаляна, а подпоследовательность частичных сумм (х) сходится к конечной суммируемой функции /, то данный ряд является рядом Фурье-Хаара функции /. Нарушение условия Арутюняна-Талаляна хотя бы в одной точке приводит к тому, что утверждение теоремы перестает быть верным. Ф. Г. Арутюнян показал [3], что теорема Арутюняна-Талаляна остается в силе, если функция / интегрируема в смысле широкого интеграла Данжуа, но при этом сходится вся последовательность частичных сумм. Г. М. Мушегян рассматривал [63, 64, 65] ряды по переставленным системам Хаара. В частности, в [63] было доказано, что если переставленный ряд Хаара всюду на [0,1] удовлетворяет условию типа Арутюняна-Талаляна и некоторая подпоследовательность частичных сумм всюду вне некоторого счетного множества сходится к конечной функции / € ¿2[0,1], то данный ряд является рядом Фурье-Хаара функции /. При этом данный результат может не иметь место, если предположить, что / £ Lp[0,1] для всех р < 2.

Построенный В. А. Скворцовым интеграл Хаара-Данжуа (ЯР-интеграл) полностью решает проблему восстановления коэффициентов рядов Хаара. В. А. Скворцовым также было построено семейство интегралов, восстанавливающих коэффициенты рядов Хаара, сходящихся по подпоследовательностям частичных сумм [102].

Вопросы единственности для рядов Хаара, в том числе возможность обобщения описанных выше результатов, изучались также в работах А. А. Та-лаляна [122, 124], Г. М. Мушегяна [67], В. А. Скворцова [91], В. Вэйда [230], Г. Г. Геворкяна [21, 24, 25, 28, 29], Г. Г. Кемхадзе [49], Р. Ганди [188], Ш. Т. Те-тунашвили [130, 131, 132], В. В. Костина [53, 54] и ряде других. Подробное описание части результатов о единственности рядов Хаара можно найти в обзорах П.Л. Ульянова [138], Б. И. Голубова [33], И. А. Виноградовой и В. А. Скворцова [18], В. Вэйда [232].

Большой интерес представляет изучение вопросов единственности кратных ортогональных рядов для разных типов сходимости. Однако, переход от одномерного случая к многомерному сильно усложняет задачу. Как отмечено в работе Л. В. Жижиашвили [41], многие утверждения, известные для одномерных числовых или функциональных рядов, без труда переносятся на случай т-кратных (m > 2) рядов. Тем не менее получить в указанном направлении аналоги многих известных результатов очень трудно (и не всегда возможно). Тот факт, что сходящаяся по прямоугольникам последовательность не обязана быть ограниченной, дает простейшее представление о возможных трудностях, характерных для m-кратных последовательностей, а, значит, и для m-кратных рядов. Но сходимость по прямоугольникам имеет некоторые особенности, позволяющие иногда сводить ее к повторной сходимости. Известен следующий результат [149]. Если дана последовательность иПи.,пт, причем , lim , Uni. = и, min{ni,.,nm}—+оо и для каждого пт существует предел lim иПл п , min{ni,.,nmi}—+оо то lim иш Пт = lim ( lim ип, п ) = и. min{ni,.,nm}—>оо пт—+оо утт^!,.,^-!}-»» J

Сходимость по кубам (сходимость по квадратам в случае т — 2) и сходимость по /^-ограниченным прямоугольникам (иначе, р-сходимость), являющаяся промежуточной между сходимостью по прямоугольникам и сходимостью по кубам, устроены гораздо сложней. Нетрудно показать, что для таких типов сходимости утверждение выше не является верным. Например, уже в двумерном случае для любых щ, U2 G R U {оо} существует двойная последовательность иПиП2 такая, что lim ищп = щ, но lim ( lim unuJl2 ) = и2. n—>00 Щ—»OO V П2—*оо J

Тем самым уже для числовых последовательностей обнаруживается большое различие между сходимостью по прямоугольникам и сходимостью по кубам. Подобная ситуация наблюдается часто и при сравнении сходимости по прямоугольникам и у9-сходимости.

Вопросы единственности для кратных тригонометрических рядов изучались в работах X. Гейрингер [185], В. Шапиро [216, 217, 218, 219, 220, 221, 222], В.Ф. Гапошкина [20], Р. Кука [176], Дж.М. Эша и Г. Вэлланда [163, 164], Дж.М. Эша [155], Б. Конна [175], Ж. Бургейна [171], М.Х. Насибова [69, 70], A.A. Талаляна [115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 123], В.А. Сквор-цова и A.A. Талаляна [107], Чэн Минь-Дэ и Чэнь Юнь-Хэ [150], Г. Г. Геворкяна [22, 23], Ш.Т. Тетунашвили [127, 129, 133, 134], H.H. Холщевнико-вой [140, 144], Дж.М. Эша, К. Фрейлина и Д. Ринна [156], В.А. Скворцо-ва [226], Л.Д. Гоголадзе [30, 31], С. Ш. Галстяна [19], Дж. М. Эша и Г. Вон-га [159, 161, 162], Дж.М. Эша и Ш.Т. Тетунашвили [157, 158], Т.А. Жеребьевой [38] и ряде других. Еще в 1918 году в работе X. Гейрингер [185] появилось ошибочное доказательство теоремы типа Кантора для таких рядов при сходимости по прямоугольникам. И только в начале 90-х годов ХХ-ого века в работах Ш. Т. Тетунашвили [129, 133] было найдено верное доказательство. В работе [129] был разработан замечательный метод сведения прямоугольной сходимости кратных тригонометрических рядов к

15 повторной, позволивший, в частности, доказать, что любое счетное множество является ¿/-множеством для кратных тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам, а также построить широкий класс континуальных ¿/-множеств (более слабый результат, состоящий в том, что пустое множество является и-множеством для двойных тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам, был доказан в 1972 г. Дж. М. Эшем и Г. Вэлландом [164]). Еще более широкие классы континуальных ¿/-множеств были построены в недавних работах Л. Д. Гоголадзе [30, 31] и Т. А. Жеребьевой [38]. Аналог теоремы Кантора установлен для сферической сходимости (в двумерном случае этот факт — следствие результатов В. Шапиро [222] и Р. Кука [176], в общем случае — результат Ж. Бургейна [171]), но до сих пор неизвестно, является ли хотя бы пустое множество ¿/-множеством при сходимости по кубам или р-сходимости. Открытым остается, причем для любого из основных типов сходимости, и следующий фундаментальный вопрос: всякое ли множество положительной меры является М-множеством? Проблема восстановления коэффициентов повторно сходящихся (а значит, согласно результатам Ш. Т. Тетунашвили, и сходящихся по прямоугольникам) вне счетного множества кратных тригонометрических рядов решена В. А. Скворцовым [226]. Теорема типа Бари для кратных тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам была доказана Н. Н. Хол-щевниковой [144]. Результаты работ, описанных в этом абзаце, частично освещены в обзорах Б. И. Голубова [32], М.И. Дьяченко [37], Дж. М. Эша и Г. Вонга [159].

Рассмотрим случай кратных рядов- Уолша. Пусть ¿/геа,т, ир, ,гт ¿/сиЬе.тп И ¿/¿1сиЬе,т обозначают классы ¿/-множеств для га-кратных рядов Уолша на группе Сгт при сходимости по прямоугольникам, /^-сходимости (р е (0,1]), сходимости по кубам и сходимости по двоичным кубам, соответственно.

X. О. Мовсисян [61] и, независимо, В. А. Скворцов [98] доказали, что любое не более чем счетное множество является игеа ш-множеством. Более того, из результатов данных работ вытекает, что любое объединение счетного числа гиперплоскостей, является и1еа,т-множеством. Более широкие классы несчетных измеримых ¿/гес(;)т-множеств построены С. Ф. Лукомским [58], Л. Д. Гоголадзе [30, 31] и Т. А. Жеребьевой [39, 40]. С.Ф. Лукомский доказал [194], что ¿/гесцт Ф ¿/¿>,т для всех р € (0,1]. Из работ С.Ф. Луком-ского [59] и Н. С. Моревой [60] ВЫТекаеТ, что класс ¿/¿сиЬе.т состоит лишь из пустого множества. Ф. Вэйс доказал [241], что если частичные суммы $2™1,.,2пт га-кратного ряда Уолша удовлетворяют условию

НтБир |52П1,.,2»т(£\ • • • ,£т)| < оо гг1,.,пт—»оо всюду на Gm вне счетного множества точек и при этом lim 5,2ni,.,2"'n =0 по мере, ni,.,nm-+oo то все коэффициенты этого ряда равны нулю. Теорему типа Бари для?7rect,m-множеств доказала H.H. Холщевникова [144]. Отметим также следующую важную теорему С. Ф. Лукомского [58] о структуре СЛ-ес^т-мпожеств: множество А С [0, I]771-1 является Е/ГесЬ,т-1-МНОЖеСТВОМ тогда и только тогда, когда множество Ах [0,1] С [0,1]т является [/гесь,т-множеством.

Для кратных рядов Уолша первые результаты, касающиеся проблемы восстановления коэффициентов, были получены X. О. Мовсисяном [61] и В. А. Скворцовым [98]. В частности, хорошо известны следующие теоремы В. А. Скворцова. Если кратный ряд Уолша сходится по прямоугольникам всюду, кроме, быть может, счетного множества, к конечной функции /, интегрируемой в смысле нерегулярного интеграла Перрона, то этот ряд является рядом Фурье-Перрона-Уолша функции /. Можно предполагать, что ряд сходится лишь по подпоследовательности прямоугольных частичных сумм, но тогда надо дополнительно требовать выполнения некоторых естественных условий на поведение коэффициентов ряда. В1 работах В. А. Скворцова [224, 225] анонсирован интеграл, относительно которого всякий сходящийся по прямоугольникам всюду к конечной функции кратный ряд Уолша является рядом Фурье-Уолша своей суммы. В работах Т. А. Жеребьевой [39, 40] и J1. Д. Гоголадзе [30] теоремы типа Валле-Пуссена были доказаны для кратных рядов Уолша, сходящихся по прямоугольникам к конечной суммируемой функции вне U-множеств из достаточно широкого класса.

Вопросам единственности кратных рядов Хаара посвящено не так много работ. Несложно показать, что любое одноточечное множество является М-множеством и для кратных рядов Хаара при сходимости по прямоугольникам или кубам. Что касается пустого множества, то оно является [/-множеством для кратных рядов Хаара при сходимости по прямоугольникам (этот факт следует из работ X. О. Мовсисяна [61] и В. А. Скворцова [99]).

Для кратных рядов Хаара первые результаты, касающиеся проблемы восстановления коэффициентов, были получены X. О. Мовсисяном [61], А. Д. Эбралидзе [153] и В. А. Скворцовым [98, 99]. Некоторые обобщения этих результатов можно найти в работах [94, 107]. В частности, хорошо известны следующие теоремы В. А. Скворцова. Если кратный ряд Хаара сходится по прямоугольникам всюду к конечной функции /, интегрируемой в смысле нерегулярного интеграла Перрона, то этот ряд является рядом Фурье-Перрона-Хаара функции /. Можно предполагать [98], что ряд сходится лишь по подпоследовательности прямоугольных частичных сумм и

17 лишь вне счетного множества, но тогда надо дополнительно требовать выполнения некоторых многомерных аналогов условия Арутюняна-Талаляна. Часть результатов распространена на кратные ряды по обобщенным системам Хаара H.A. Бокаевым [14]. В работах В.А. Скворцова [224, 225] был анонсирован интеграл, восстанавливающий по обобщенным формулам Фурье коэффициенты сходящихся по прямоугольникам кратных рядов Хаара.

Для сходимости по кубам или /э-сходимости имеется крайне мало результатов о множествах единственности и о проблеме восстановления коэффициентов. Это касается и кратных тригонометрических рядов, и кратных рядов Уолша, и кратных рядов Хаара. В работах Дж. М. Эша и Ш. Т. Те-тунашвили [158] и A.A. Талаляна [118] получены некоторые результаты о единственности кратных рядов Уолша и тригонометрических при сходимости по кубам или даже при более слабых предположениях, однако, в этих работах накладываются ограничения, пусть и достаточно мягкие, на поведение коэффициентов или частичных сумм рядов.

Если же не рассматривать никаких ограничений, то, как уже упоминалось, для кратных тригонометрических рядов до сих пор неизвестно, является ли хотя бы пустое множество [/-множеством при сходимости по кубам или сходимости. Аналогичный вопрос остается открытым и для кратных рядов Уолша на единичном кубе [0,1]т. Если же рассматривать одномерные функции Уолша на двоичной группе G, являющейся естественной областью определения таких функций, то для кратных рядов Уолша на группе Gm до недавнего времени были получены, по-видимому,.лишь следующие два результата о множествах единственности при сходимости по кубам или р-сходимости, принадлежащие С. Ф. Лукомскому [59, 194]. Пустое множество является [/-множеством для кратных рядов Уолша на группе Gm при сходимости по кубам или /9-сходимости (на самом деле рассуждения С. Ф. Jly-комского доказывают аналогичный факт и для кратных рядов Хаара на группе Gm). Кроме того, при любом р G (0,1] класс /7Р;ТО-множеств не совпадает с классом C/rect,m"MH0^ecTB. Для кратных рядов Хаара на единичном кубе [0,1]т до последнего времени не было известно даже, является ли пустое множество {/-множеством для таких рядов при сходимости по кубам или р-сходимости.

При изучении вопросов единственности для ортогональных рядов часто оказывается важным оценивать коэффициенты сходящихся рядов. Известная теорема Кантора-Лебега утверждает, что коэффициенты одномерного тригонометрического ряда, сходящегося (к конечной функции) на множестве положительной меры, стремятся к нулю. Для одномерных рядов Уолша на группе G дело обстоит даже проще: для стремления коэффициентов к нулю достаточно сходимости в одной лишь точке.

18

Для кратных рядов известны следующие результаты. Пусть оо +оо

Т)= Е ••• Е (0.5)

П1=—оо пт=—оо тп-кратный тригонометрический ряд на [—7г,тг)771, п = (щ,. ,пт) £ Ът, ||п|| = тт{|7г1|,., |тгт|}, |||п||| = та^М,., |пт|}. В 1972 году Дж. М. Эш и Г. Вэлланд доказали [164], что если ряд вида (0.5) сходится по

ПрЯМОуГОЛЬНИКаМ На МНОЖеСТВе ПОЛОЖИТеЛЬНОЙ Меры, ТО Коэффициенты Сд этого ряда ограничены и стремятся к нулю при ||п|| —> оо. В случае т — 2 этот результат получили ранее Г. Ревеш и О. Шаш [207].

При сходимости по кубам или /^-сходимости последнее утверждение перестает быть верным. Тем не менее, коэффициенты рядов (0.5), сходящихся таким образом, не могут расти очень быстро. В 1958 году П. Коэн показал [174] (см. также [164]), что если ряд (Т) вида (0.5) сходится по кубам на, множестве полной меры, то коэффициенты этого ряда имеют рост слабее экспоненциального. Последнее означает, что для всякого 7 > 1 найдется Ь — Ь((Т),7) такое, что

Ы < &71||п|н для всех п € 27™. В 1997 году Дж. М. Эш и Г. Вонг доказали [160] в двумерном случае, что результат Коэна точен в том смысле, что для любой .последовательности ц>(п) положительных чисел такой, чтоНтзирп^00((^(п))1/п < 1, найдутся всюду сходящийся по кубам ряд (0.5) и С > 0 такие, что с-^ШМП) < К1 < смпып) для некоторой подпоследовательности коэффициентов Сп,- Теоремы Коэна, Эша и Вонга с естественными изменениями справедливы и для р-сходимо-сти.

В 1973 году в работе [98] В. А. Скворцов доказал, что если т-кратный ряд Уолша сходится по прямоугольникам к конечной сумме во всех точках "креста" х [0,1Г"1) и ([0,1] х {а;2} х [0,1]™"2) и . и ([0,1]™"1 х {Жт}) ж1,.,жт — двоично-иррациональные точки), за исключением, быть может, точек из некоторого не более чем счетного множества, то коэффициенты Ьп этого ряда стремятся к нулю, когда |||п||| —> оо. Это означает, в частности, что коэффициенты ряда ограничены. В 1973 году в другой работе [99] В. А. Скворцовым было показано, что если т-кратный ряд Хаара сходится к конечной сумме всюду на [0,1]т, то общий член этого ряда Оп1,.,птХп1,.,пт(х) есть ох(те1 • . • пт) при |||(пь ., пго)||| оо всюду на [0,1]т, то есть для этого ряда выполнен сильный многомерный аналог условия Арутюняна-Талаляна.

Изучению возможности распространения теоремы Кантора-Лебега на случай кратных рядов по различным ортогональным системам для разных типов сходимости посвящены также работы А. Зигмунда [255], С. Б. Стечки-на [112], Р. Кука [176], В. С. Панферова [76, 77], Ю. А. Зайцева [42], а также много других работ.

Помимо изучения вопросов единственности рядов Хаара и Уолша, значительная часть работы посвящена вопросам, которые можно отнести к теории меры и теории обобщенных интегралов. Обоснованием такого подхода служат два обстоятельства. Во-первых, одной из главных целей развития теории обобщенных интегралов всегда было ее приложение к теории ортогональных рядов, особенно к теории единственности. Во-вторых, важным инструментом получения результатов, относящихся к теории ортогональных рядов, является техника формального интегрирования рядов, фактически позволяющая свести изучение ортогональных рядов к изучению некоторых объектов (в некоторых случаях их называют квазимерами), обладающих рядом свойств мер. В частности, важную роль играет изучение дифференциальных свойств и гладкости таких объектов.

В связи с этим одной из главных задач работы является изучение некоторых вопросов теории меры и теории обобщенных интегралов с целью их применения к теории единственности рядов Хаара и Уолша. Причем при изучении одномерных и кратных рядов Хаара (но не Уолша!) обнаружилось очень интересное обстоятельство. Связь между рядами Хаара и квазимерами оказалась настолько тесной, что теорию единственности рядов Хаара (а иногда, как показывает проведенный в пункте 2.10 обзор некоторых результатов, и другие разделы теории рядов Хаара) в определенном смысле можно рассматривать как теорию квазимер. В частности, в главах 4, 5 и 6 получен ряд дуальных теорем для одномерных или кратных рядов Хаара, с одной стороны, и для квазимер или обобщенных интегралов, с другой. При этом нарушение общности теорем для рядов Хаара происходит ровно тогда, когда нарушается общность теорем для квазимер или обобщенных интегралов. Что интересно, такой тесной связи с квазимерами нет и не может быть для рядов Уолша, несмотря на то, что множества рядов Хаара и рядов Уолша изоморфны.

Метод формального интегрирования — основной метод исследования вопросов единственности рядов Хаара и Уолша в нашей работе. Этот метод, на наш взгляд, особенно эффективен при изучении общих рядов Хаара или Уолша (как одномерных, так и кратных), то есть рядов, не являющихся рядами Фурье-Хаара или Фурье-Уолша. Теория единственности имеет дело, как правило, именно с такими рядами. Для рядов Уолша метод квазимер впервые рассмотрел Н. Файн [184], а для рядов Хаара — В. А. Скворцов [91].

20

Среди работ, где метод квазимер для рядов Хаара и Уолша являлся основным, отметим также работы В. А. Скворцова [90, 102, 224, 225], В. А. Сквор-цова и A.A. Талаляна [107], К. Йонеды [242, 243, 246, 250, 252, 253], В. Вэй-да [234], К. Йонеды и В. Вэйда [239].

Метод квазимер для изучения рядов Хаара и Уолша в некотором смысле подобен римановской теории для тригонометрических рядов. Напомним, римановская теория тригонометрических рядов изучает дифференциальные свойства функций Римана и связь этих свойств со свойствами самих рядов. Функция Римана получается из тригонометрического ряда путем его двукратного формального интегрирования. Квазимеры можно рассматривать как естественный аналог функций Римана, но при этом для их получения достаточно всего лишь однократного формального интегрирования ряда Хаара и Уолша. Последнее делает квазимеры удобным механизмом изучения рядов Хаара и Уолша. Причем с точки зрения техники зачастую не существует заметной разницы между изучением квазимер, порожденных одномерными рядами Хаара и Уолша, и квазимер, порождённых кратными рядами. В ситуации с тригонометрическими рядами попытки применить аналоги функций Римана для изучения кратных рядов часто приводят к значительным по сравнению с изучением одномерных рядов техническим трудностям. Отметим, однако, что в теории тригонометрических рядов вместо функций Римана иногда используются их аналоги, полученные в результате однократного, а не двукратного формального интегрирования ряда. Для рядов Хаара и Уолша метод квазимер часто упрощает вычисления и делает их наглядными и более прозрачными. Важно и то, что при построении интегралов, решающих проблему восстановления коэффициентов рядов Хаара и Уолша по их сумме, квазимеры снова играют ключевую роль.

Разумеется, метод формального интегрирования используется не только для рядов по системам Хаара и Уолша, и не только в теории единственности. Так, например, этот метод применялся в хорошо известной работе С. В. Конягина [51], где была решена проблема сходимости тригонометрических рядов к оо определенного знака. При этом отметим, что использование этого метода для рядов по системам Хаара, Уолша и некоторым их обобщениям в определенном смысле более продуктивно, чем для многих других рядов. Дело в том, что существует изоморфизм между множеством всех (!) рядов Хаара или Уолша (не обязательно сходящихся), с одной стороны, и множеством квазимер, с другой. Такая тесная связь между рядами и функциями множества не имеет места для ряда других систем, в частности, для тригонометрической системы. Для тригонометрического ряда, даже всюду сходящегося к конечной сумме, формально проинтегрированный ряд сходится, вообще говоря, лишь почти всюду.

21

Перейдем к описанию результатов работы. Работа посвящена изучению свойств квазимер и обобщенных интегралов двоичного типа, а также их использованию в. теории единственности рядов Хаара и Уолша. Почти все основные теоремы, относящиеся к теории единственности, доказаны для кратных рядов, сходящихся по кубам или /э-сходящихся. Для кратных рядов Хаара на группе С?т и на единичном кубе [О, I]771 получена достаточно полная картина. Изучены множества относительной единственности для кратных рядов Хаара и Уолша. Получены результаты для кратных рядов Уолша на группе С?т. Найдены некоторые новые факты, касающиеся вопросов единственности для одномерных рядов Хаара. Помимо вопросов единственности изучено поведение коэффициентов кратных рядов, Хаара и Уолша, сходящихся по кубам или р-сходящихся.

Работа состоит из 7 глав, предметного указателя, списка обозначений и списка литературы. В главе 1 даны основные определения и доказан ряд вспомогательных утверждений.

Глава 2 посвящена изучению квазимер на единичном кубе [0,1]т и группе С?771. Конечной целью этого изучения является дальнейшее применение свойств квазимер к вопросам единственности одномерных и кратных рядов Хаара и Уолша.

Отметим два обстоятельства, оправдывающих актуальность результатов данной главы. Во-первых, наряду с тем, что изучению квазимер в одномерном случае посвящено достаточно много работ, имеется крайне мало работ, где квазимеры рассматриваются в многомерном случае. Во-вторых, в многочисленной литературе, где систематически изучаются функции интервала (см., напр., монографии А. Сакса [87], К. Роджерса [208], Б. Томсона [227] и многие другие работы), а также в работах, где изучаются собственно квазимеры (ряд таких работ процитирован выше), рассматриваются условия типа непрерывности и гладкости "классического" типа, когда берутся значения функции множества на интервалах и оцениваются при стремлении к нулю диаметра или объема интервала. Как оказалось, такие условия часто не позволяют описать свойства кратных рядов Хаара и Уолша, сходящихся по кубам или ограниченным прямоугольникам. Дело в том, что для получения условий "классического" типа обычно необходимо, чтобы коэффициенты рядов, порождающих квазимеры, вели себя достаточно хорошо, например стремились к нулю. Причем, если речь идет о кратных рядах, необходимо стремление к нулю не только коэффициентов с номерами, близкими к "диагонали", то есть с номерами, компоненты которых не очень сильно отличаются, но и коэффициентов "по краям", то есть таких, номер которых имеет одну или несколько малых компонент. В одномерном случае и в случае сходящихся по прямоугольникам кратных рядов Хаара и Уолша такое стремление к нулю имеет место (см., напр., [98, 99]). Теоремы 28 (для кратных рядов Уолша) и 30 (для кратных рядов Хаара) ниже показывают, что при сходимости по кубам или р-сходимости таких рядов произвол в поведении коэффициентов настолько велик, что ни о каком более менее разумном стремлении к нулю таких коэффициентов речи не идет. Речи не идет и о сохранении "хороших" свойств квазимер, порожденных кратными рядами Хаара и Уолша, сходящимися по кубам или р- сходя щи м и ся (см., напр., теорему 7.3 из главы 7 и конструкцию 1 из главы 5).

В связи с вышесказанным нами были введены более тонкие типы непрерывности и гладкости квазимер. Основное отличие от условий "классического" типа состоит в том, что вместо значения квазимеры на двоичном интервале рассматривается сумма значений квазимеры на нескольких двоичных интервалах, причем значения берутся с определенным образом подобранными знаками ±. В одномерном случае такой подход использовался, правда, совсем незначительно. Идея рассмотреть вместо значения квазимеры на одномерном двоичном интервале разность значений на двух смежных интервалах, по-видимому, впервые появилась в работе В. А. Скворцова [102], где условия, подобные £т-непрерывности (см. определение 1 ниже), использовались для изучения (одномерных) рядов Хаара. Отметим также работы К. Йонеды [248, 249], где также изучались разности значений (одномерных) квазимер на двух смежных двоичных интервалах. Заметим, однако, что в одномерном случае в чистом виде Sm-непрерывность эквивалентна "классической" непрерывности квазимер (см. теорему 2.10), то есть ее применение не является актуальным. В многомерном случае такого рода непрерывности (а также условия типа липшицевости) не использовались. Применение же новых условий типа непрерывности и гладкости для квазимер позволяет описывать многие (в том числе хорошо известные) свойства сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша, порождающих эти квазимеры. Приведем лишь один пример. Еш-непрерывность квазимеры в точности означает, что для ряда Хаара, порождающего эту квазимеру, выполнено условие Арутюняна-Талаляна или один из его многомерных аналогов (см. теорему 2 ниже).

Отметим еще один мотив в пользу того, чтобы использовать новые, более тонкие, типы непрерывности и гладкости квазимер. Рассмотрим, например, кратные ряды Уолша. Для того, чтобы квазимеры, порожденные этими рядами, были Ет-непрерывны или (Ет, До)-непрерывны (см. определения 1 и 4 ниже), нет необходимости, чтобы коэффициенты рядов, порождающих эти квазимеры, стремились к нулю "по краям". Достаточно стремления к

23 нулю (или близких условий) лишь для коэффициентов, находящихся в определенных областях, близких к "диагонали". А для такого поведения коэффициентов оказывается вполне достаточно (см. теорему 29 или лемму 1.13) обычных, не содержащих никаких дополнительных ограничений, предположений, состоящих либо в том, чтобы данный ряд 1/2-сходился всего в одной точке или по кубам на множестве некоторой положительной меры, либо даже более слабых, нежели сходимость, предположениях (см., напр., теорему 7.6 из главы 7).

Приведем основные определения и результаты главы 2. Пусть на единичном кубе [0,1]т задана т-мерная вложенная последовательность

Ак = Дь, .л» = А* х • • • х Акт} (0.6) т-мерных двоичных интервалов, стягивающаяся к точке хо и такая, что ранг интервала Дк равен к. Положим

0)л. д(1) Afc, = Afc,-i\Afc,; если о- = (сп,., o-m) е {0,1}т, то Д^ - Ах . х

0.7) а\ = ох + . + а-, m•

Определение 1. Скажем, что функция множества т, определенная, по крайней мере, на каждом двоичном интервале А С [0,1]т, является Ет-непрерывной в точке хо, если для любой последовательности определяемой формулами (0.6) и (0.7), выполнено условие lim £ (-1)Иг(А^) = 0.

Оказывается, Ет-непрерывность квазимеры связана со сходимостью и поведением коэффициентов порождающих ее га-кратных рядов Хаара и Уол-ша, особенно точно при этом описывая поведение первых. Ниже и 1а означают множества двоично-рациональных и, соответственно, двоично-иррациональных точек отрезка [0,1].

Теорема 2. Пусть заданы хо 6 [0,1]т и т-кратный ряд Хаара (£). Тогда:

1) квазимера т, порожденная рядом {Б), является Ит-непрерывной в точке хо в том и только том случае, когда для общего члена ряда (Б) в точке Хо выполнен следующий многомерный аналог условия Арутюняна-Талаляна: а.

Хщ,.,пт(хо) = о (щ •. • пт) при fr-1 k (°-8) Г <пг< 2—1 для всех г = 1,., т и к —> оо;

2) если для прямоугольных частичных сумм S^ = SN1}.,Nm ряда (S) выполнено условие

SNlt.,Nm(xо) = 5 (iVi ■ . . Nm) при 2fc-1 -f. і < jVi < 2fc для всех і = 1,. ,m и к —> оо, то квазимера, порожденная рядом (S), является *Ет-непрерывной в точке х0.

Теорема 3. Пусть задан т-кратный ряд Уолша (S). Тогда:

1) если для коэффициентов ряда (S) выполнено условие

Щ.П™о, если 2й-1 < тг,-< 2fc - 1

Л всех г = 1, . . . , 771 « /с —оо, то квазимера т, порожденная рядом (S), является Ит-непрерывной всюду на [0,1]т;

2) если ряд (S) 1/2-сходится к конечной сумме хотя бы в одной точке хо Є (/(¿)т, то квазимера т, порожденная этим рядом, является Tim-непрерывной всюду на [0,1]т.

В некоторых вопросах использовался следующий нелокальный аналогSm-непрерывности.

Определение 4. Пусть До С [0,1]т — двоичный куб. Скажем, что квазимера т является (£т, До)-непрерывной, если lim ]Г ±т(Д) - О,

К—»00 А—' где суммирование распространяется на все двоичные кубы Д С До ранга к, а знаки ± берутся в "шахматном" порядке. И

Связь между (£т, До)-непрерывностыо и сходимостью m-кратных рядов Уолша выражает

Теорема 5. Пусть задан т-кратный ряд Уолша (S). Тогда:

1) если для коэффициентов ряда (S) выполнено условие (0.9), то квазимера т, порожденная рядом (S), является (Ет, До)-непрерывной для любого двоичного куба До;

2) если ряд (iS) 1/2-сходится к конечной сумме хотя бы в одной точке Хо Є (Id)m, то квазимера т, порожденная этим рядом, является (Sm, До)-непрерывной для любого двоичного куба До;

3) если ряд (S) сходится по кубам к конечной сумме на борелевском множестве Е С [0,1]т, то квазимера г, порожденная этим рядом, является (Sm, До)-непрерывной для любого двоичного куба До такого, что

ЕП Д0| > 0.

В главе 3 рассматриваются вопросы единственности для кратных рядов Уолша на группе Gm, сходящихся по кубам или р-сходящихся. По сравнению с текущим положением дел для кратных тригонометрических рядов для кратных рядов Уолша получены достаточно общие результаты, касающиеся как изучения множеств единственности, так и проблемы восстановления коэффициентов.

Определение 6. Назовем множество F С Gm RDm-MH00icecme0M, если существует возрастающая последовательность натуральных чисел К = {kjтакая, что если шп — многомерные функции Уолша, то u>2kj 2fc¿(t) = 1 для всех t G F, j = 1, 2, — (0.10) И

Арифметическая структура таких множеств F может быть, описана следующим образом: точка t = (i1,. ,¿m) G F только тогда, когда для всех j = 1,2,. у четного числа координат этой точки- в двоичной записи на kj-ом месте стоит единица. Геометрически же такие множества можно представить так: если множество Gm разбить на 171 непересекающихся двоичных кубов ранга kj + 1 и закрасить эти- кубы "в шахматном порядке", то условию (0.10) могут удовлетворять только те точки t е Gm, которые лежат в кубах, одинаково закрашенных с кубом, в котором лежит точка (0 + 0,., 0 + 0). Л2?1-множества являются частным случаем множеств Дирихле для системы Уолша. Отметим, что существуют непустые совершенные (как следствие, мощности континуума) .пОт-множества. Более того, существуют совершенные /Шш-множества, хаусдорфовой' размерности т.

Теорема 7. 1) Любое множество вида FUE, zde F — RDm-множество, а множество Е С Gm не более чем счетно, является U-множеством для кратных рядов Уолша на группе Gm при сходимости по кубам; 2) существуют совершенные U-множества для кратных рядов Уолша на группе Gm при сходимости по кубам, имеющие хаусдорфову размерность т.

В главе 3 также построен многомерный двоичный интеграл, решающий проблему восстановления коэффициентов кратных рядов Уолша, сходящихся по кубам вне множеств единственности из достаточно широкого класса. Приведем определение этого интеграла в несколько упрощенной формулировке, сохраняющей, впрочем, его основные свойства.

Определение 8. Пусть конечная функция / определена всюду на Gm, за исключением, быть может, точек некоторого множества вида-Ри-Е", где F —

Щ}т-множество, а Е — не более чем счетное множество. Назовем функцию

26 (PWRD)-интегрируемой, если для любого е > 0 найдутся квазимеры F\ и F2 такие, что:

A) для всех t G Gm \ (F U Е) имеет место следующая формула (ß — мера Хаара на Gm):

Рл(А) Foi А) lim Д / > /(t) > lim у ц( А) -»О, А — двоичный куб, А Э t;

MA)

B) квазимеры Fi и F2 являются (Sm, Ао)-непрерывными для всех двоичных кубов Д0 Ç Gm]

C) Fi(Gm) - F2(Gm) < е.

Значение (PWШ))-интеграла (интеграла Перрона-Уолша-Радемахера-Ди-рихле) от функции / по любому двоичному интервалу А определяется так:

PWRD) [ /(t) ф(t) = inf Fi (А) = sup F2(A). (0.11)

J Fi Fi

Теорема 9. Пусть кратный ряд Уолша (S) на группе Gm сходится по кубам к конечной сумме /(t) во всех точках t € Gm \ (FUE), где F — некоторое RDm-множество, а Е С Gm — некоторое не более чем счетное множество. Тогда функция f является (PWRD)-интегрируемой и (S) является (PWRD) -рядом Фуръе-Уолша этой функции.

Ситуация интересна еще тем, что большинство известных интегралов, которые решают проблему восстановления коэффициентов рядов по различным системам функций, делают это лишь для рядов, сходящихся вне не более чем счетных множеств (если не накладывать никаких ограничений на поведение коэффициентов ряда). По-видимому, первый обобщенный интеграл, решающий проблему восстановления коэффициентов рядов, сходящихся вне измеримых несчетных ¿/-множеств из некоторого достаточно широкого класса, был построен в 2001 году для одномерной тригонометрической системы H.H. Холщевниковой [143], см. также [110]. (PWRD)-интеграл решает задачу восстановления коэффициентов кратных рядов Уолша, сходящихся вне множеств вида FUE (множество Е не более чем счетно, F — Ш2т-множество). Класс этих множеств, возможно, не слишком широк, но при этом рассматривается случай кратных рядов, причем при сходимости по кубам. Напомним, что для кратных тригонометрических рядов для сходимости по кубам до сих пор не доказана (и не опровергнута) теорема типа Кантора даже в ее простейшей форме. Теоремы 7 и 9, а также ряд других теорем (см. теоремы 3.14-3.20 из главы 3) решают для кратных рядов Уолша на группе Gm намного более общие задачи.

27

Оказывается, что (Р\¥П.П)-интеграл покрывает интеграл Лебега, из чего сразу вытекает

Теорема 10. Любое множество вида ЕиЕ, где Р — ЯОт-множество, а Е С С?т — не более чем счетное множество, является V-множеством для кратных рядов Уолша на группе при сходимости по кубам.

В главах 4 и 5 изучаются вопросы единственности т-кратных рядов Хаара оо оо оо тп пХп(х) = X) • • ■ X) а»ь~.»». П (°-12) п=0 711=0 пт=0 9=1 на единичном кубе [0,1]т, а также смежные вопросы теории обобщенных интегралов. До последнего времени не было известно даже, является ли пустое множество [/-множеством для рядов (0.12) при сходимости по кубам или р-сходимости. Нами изучена не только эта, но и гораздо более общие проблемы, и получены окончательные или очень близкие к ним результаты, относящиеся к проблеме единственности и проблеме восстановления коэффициентов. Неожиданным оказался результат о неединственности кратных рядов Хаара на кубе [0,1]т при сходимости по кубам и некоторых близких к ней сходимостях.

В главе 4 рассматриваются вопросы единственности рядов (0.12) при сходимости по кубам и р-сходимости. Сначала сформулируем теорему единственности для квазимер, для простоты приводя теорему не в самой общей форме и ограничиваясь случаем т — 2.

Теорема 1Г. Пусть на единичном квадрате [0,1]2 заданы не более чем счетное множество А и квазимера т. Предположим, что выполнены следующие условия:

I) если х € (/й)2 \ А, то

Ит Г|~ 1^1 * 0, Д — двоичный квадрат, Д Э х;

II) если х 6 ((¿л х 1<]) \ А (х е (1(1 х Ясд \ Л), то для любой последовательности {Д^}, определяемой формулами (0.6) и (0.7), выполнено условие т(А($>) - т(Д^) = ъ (У^) , * - °о (0-13) т(Д^0)) - т(Д^) = 5 (^¡ДЫ) > * - оо ); (0.14)

III) квазимера т является £2-непрерывной в каждой точке х е [0,1]771.

Тогда т(Д) = 0 для любого двоичного интервала Д.

28

Теперь сформулируем теорему единственности для рядов (0.12), также ограничиваясь для простоты случаем т — 2 и приводя теорему не в самой общей форме. Теорема 12 является следствием теоремы 14, приведенной ниже.

Теорема 12. Пусть на единичном квадрате [0,1]2 заданы не более чем счетное множество А и двойной ряд Хаара (¿>), причем:

I*) если х Є (/¿)2 \ А, то ряд {Б) сходится по двоичным кубам к нулю в точке х;

II*) если точка х Є [0,1]2 \ А' иліеет ровно одну двоично-рациональную координату, то для прямоугольных частичных сумм в^,N2 ряда (в) выполнено условие

ЗздСх) - ыУмЖ), (015ч тіп{ІУі, і\ґ2} —> оо, тт^/^Л^/ад > 1/2; ;

III*) всюду на [0,1]т ряд (¿?) удовлетворяет при т = 2 условию (0.8). Тогда ряд (Б) является тождественно нулевым.

Теоремы 11 и 12 являются дуальными в том смысле, что каждое условие в предположении теоремы 11 является переформулировкой соответствующего условия в предположении теоремы 12. Тесную связь между кратными рядами Хаара и квазимерами демонстрируют также следующие факты. Теорема 12 перестает быть верной, если в условии (0.15) во всех точках, имеющих ровно одну двоично-рациональную координату, заменить;/о' на 'О'. Двойственный факт состоит в том, что нельзя во всех точках, имеющих ровно одну двоично-рациональную координату, заменить 'Ъ' на 'О/ в условиях (0.13) и (0.14) без того, чтобы теорема 11 перестала быть верной. Далее, теорема 12 перестает быть верной, если в условии (0.8) заменить 'о' на 'О' даже в одной точке. Двойственный факт состоит в том, что нельзя даже в одной точке заменить Ег-непрерывность на Ег-ограниченность без того, чтобы теорема 11 перестала быть верной.

Еще одним важным моментом явилось построение интеграла, решающего проблему восстановления коэффициентов /^-сходящихся рядов (0.12). Этот интеграл был назван (Рсг*)-интегралом. Конструкция этого интеграла достаточно сложна, поэтому приведем ее в несколько упрощенной формулировке и лишь для случая т = 2.

Определение 13. Пусть конечная функция / определена, по меньшей мере, на множестве (/¿)2 \ А, где А — некоторое не более чем счетное множество. Назовем функцию / (Р£)-интегрируемой, если для любого є > 0 найдутся квазимеры і<і и і<2, обладающие следующими свойствами:

29

A) для всех х 6 (1с1) \ А

М-^>/(х)>1ш1-^, |А| —»• О, А - двоичный куб, А Э х;

B) если х € I х^)\А(х6 (1(1 х Я(¡)\А), то для любой последовательности {Д^}, определяемой формулами (0.6) и (0.7), а также для каждого (г = 1,2), выполнено условие (0.13) (соответственно, (0.14));

C) квазимеры .Р1! и являются Ег-непрерывными всюду на [0,1]2;

ДОЗД1]2)-^2([0,1]2)<£.

Значение (Р<£*)-интеграла от функции / по любому двоичному интервалу А определяется формулой, аналогичной (0.11). 1Е1

Теорема 14. Пусть задано не более чем счетное множество А С [0,1]т, а кратный ряд Хаара (5") на кубе [0,1]т с прямоугольными частичными суммами обладает следующими свойствами:

1) если х € (1й)т \ А, то существует величина Сх > 0 такая, что Сх, £ = 0,1,.;

2) если точка х 6 [0,1]то \ А имеет ровно в е {1,. ,т — 1} двоично-рациональных координат, то выполнено условие я*,= ъх((т. А оо, тЭД/ЯЛ > 1/2; г г,3

3) всюду на [0,1]т для ряда (Б) имеет место условие (0.8). Г Тогда ряд (5) почти всюду на (/^)771 \ А сходится по двоичным кубам к конечной функции /, являющейся (Р£)-интегрируемой, и ряд (<$") является (Р^)-рядом Фурье-Хаара функции / (подразумевается, что в точках множества (1а)т \ А, в которых она не определена, она доопределяется любыми конечными значениями).

Следствие 15. Если р € (0,1/2], то пустое множество является II-множеством для кратных рядов Хаара при р-сходимости.

Насколько условие р Е (0,1/2] необходимо в следствии 15, подробно изучено в двумерном случае. Оказывается, при значениях р, близких к единице, то есть при сходимостях, близких к сходимости по кубам, аналоги следствия 15 не верны, что означает в таких случаях отсутствие единственности. Следующая теорема указывает границу существования единственности двойных рядов Хаара на единичном квадрате [0,1]2 при р-сходимостях.

Теорема 16. 1) Для любого р £ (\/2/2,1] существует нетривиальный двойной ряд Хаара на единичном квадрате [0,1]2, всюду р-сходящийся к

30 нулю; 2) если р £ (0, л/2/2), то пустое множество является V-множеством для двойных рядов Хаара при р-сходимости.

Следствие 17. Существует нетривиальный двойной ряд Хаара на единичном квадрате [О, I]2, всюду сходящийся к нулю по кубам.

При этом утверждение 1 теоремы 16 и следствие 17 не переносятся на кратные ряды Хаара на группе С™.

Кроме (Р^*)-интеграла, в главе 4 в двумерном случае построено семейство (Р^)-интегралов (р е (0, \/2/2)), каждый из которых при соответствующем р восстанавливает коэффициенты /^-сходящихся всюду двойных рядов Хаара. При р Е (0,1/2] (Р^)-интеграл является сужением (Р^*)-интеграла. Конструкции этих интегралов достоточно схожи. (Р^)-интеграл привлекает интерес тем, что он не покрывает интеграл Лебега. Этот факт является нехарактерным для интегралов, решающих проблему восстановления коэффициентов ортогональных рядов. Структура (Р^)-интеграла в значительной мере увязана со структурой рядов Хаара и этот интеграл "не берет" некоторые "лишние" функции, которые нельзя изменить на множестве нулевой меры так, чтобы получившиеся функции были представимы в виде суммы всюду сходящегося двойного ряда Хаара.

В главе 5 изучаются свойства многомерных обобщенных интегралов. В случае т — 2 (Р/)-интеграл, построенный в главе 4 для решения проблемы восстановления коэффициентов т-кратных рядов Хаара, сравнивается с достаточно общими интегралами хенстоковского типа на плоскости, заведомо покрывающими не только интеграл Лебега, но и нерегулярный интеграл Перрона.

Теорема 18. 1) В случае т = 2 (Р/)-интеграл не противоречит двоичному 1/2-регулярному интегралу Хенстока на плоскости ((#1/2^)-интегралу); 2) в случае т — 2 (Р/)-интеграл противоречит двоичному 1-регулярному (квадратному) интегралу Хенстока на плоскости интегралу).

Следствием первой части теоремы 18 служит следующий результат, являющийся теоремой типа дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара. Этот результат является далеко идущим обобщением, правда, только для двумерного случая, известных теорем В. А. Скворцова [94, 98, 99, 107].

Теорема 19. Пусть задано не более чем счетное множество А С [0; I]2 и двойной ряд Хаара (¿?). Предположим, что ряд (Б) всюду на [0,1]2 удовлетворяет (при т = 2) условию (0.8), во всех точках множества (/¿)2 \ А данный ряд сходится по кубам к конечной функции интегрируемой в

31 смысле {Н\12,а)-интег'рала, а во всех точках х 6 [О, I]2 \ А, имеющих ровно одну двоично-рациональную координату, для прямоугольных частичных сумм Зл/^лгз ряда (Б) выполняется условие (0.15). Тогда (Б) является рядом Фурье-Хаара функции / относительно {Н\/2,а)-интеграла.

Теорема 19 неусиляема ни в одном из следующих направлений. Во-первых, эта теорема перестает быть верной, если одновременно во всех точках х е [0,1}т \ А, имеющих ровно одну двоично-рациональную координату, заменить в формуле (0.15) б на О. Во-вторых, даже в одной точке х € [0,1]2 нельзя заменить в условии (0.8) 5 наО. В-третьих, теорема 19 перестает быть верной, если в условии (0.15) заменить 1/2 на 1. Наконец, (-#1/2,й)-интеграл в теореме 19 нельзя заменить на (Дх^-интеграл, даже если ряд (5) 1/2-сходится всюду. Последний факт следует из теоремы 20, являющейся двойственной ко второй части теоремы 18.

Теорема 20. Существует двойной ряд Хаара на единичном квадрате [0,1]23 всюду р-сходящийся к конечной (Нх^)-интегрируемой функции, но не являющийся рядом Фурье-Хаара этой функции относительно (Нх^)-интеграла.

В главе б изучаются множества относительной единственности для одномерных и кратных рядов Хаара и Уолша. Рассматриваются классы таких рядов, прямоугольные частичные суммы которых имеют не более чем степенной рост. Для кратных рядов Хаара находится полное описание таких множеств. В качестве следствия получено почти полное, а для некоторых классов множеств полное, описание класса множеств единственности одномерных рядов Хаара, удовлетворяющих условию Вэйда (0.4). Помимо этого рассматривается более общая задача восстановления коэффициентов кратных рядов Хаара и Уолша, сходящихся вне множеств относительной единственности. Приведем основные результаты.

Пусть &а,р означает множество кратных рядов Уолша (Хаара) на группе С7™, р- регулярные прямоугольные частичные суммы Бн!,.,лгт которых имеют не более чем (1 — а)-степенной рост, то есть удовлетворяют условию

0.17) величина С не зависит от N1,., Nтn € и t 6 С"1.

Символом и\у,т,р(&) (ин,т,р(о;)) обозначим класс ¿7(©а>р)-множеств при р-сходимости. В случае 0 < а < 1 (а именно этот случай представляется наиболее сложным и интересным) найдено достаточное условие (для кратных рядов Уолша) и критерий (для кратных рядов Хаара) принадлежности заданного множества классу и\у,т,р{а) или И снова оказалось, что вопросы единственности для кратных рядов Хаара увязаны с некоторыми

32 свойствами квазимер. А именно, нахождение необходимого условия принадлежности заданного множества классу ин>тп>р(а) свелось к существованию нетривиальной квазимеры, сосредоточенной на некотором замкнутом подмножестве заданного множества и имеющей необходимый порядок гладкости. Обнаружена связь между поведением частичных сумм кратных рядов Хаара и аналогами для квазимер известных в теории размерности принципов распределения масс (см., напр., [78, 182]). Найденные закономерности позволили получить, в частности, следующие результаты.

Теорема 21. Пусть заданы а Е (0,1) и р € (0,1]. Тогда:

1) если множество Е с Сто не содержит совершенных подмножеств, хаусдорфова ат-мера которых положительна, то Е е и\у,т,р(^)\

2) Е е ип!1П;р(а) тогда и только тогда, когда множество Е не содержит совершенных подмножеств, хаусдорфова ат-мера которых положительна:;

3) замкнутое множество X 6 и'н,т,р{о1) в том и только том случае, когда хаусдорфова ат-мера множества X равна нулю.

Отметим, что, в силу теоремы 7, теорема 21 в ее части, касающейся кратных рядов Уолша, не может быть обратимой. Интерес представляют также следующие результаты.

Теорема 22. Пусть выбраны а £ (0,1) и р € (0,1]. Тогда объединение не более чем счетного числа замкнутых множеств из класса ин,т,р{<у) также есть множество из этого класса.

Теорема 23. Выберем произвольные а е (0,1), р Е (0,1] и множество Е ф ин,т.,р(°д- Если {Б) — нетривиальный т-кратный ряд Хаара, реализующий М-множество Е, то есть (5) р-сходится к нулю на множестве (7т \ Е и удовлетворяет условию (0.17), то его можно выбрать таким, что все его частичные суммы будут неотрицательными.

Теорема 24. Для любых а\, а-х € (0,1) («х ф а2) и р € (0,1] ид,т,р(а 1) ф

Теорема 22 является теоремой типа Бари для кратных рядов Хаара. Теорема 23 является аналогом для кратных рядов Хаара теоремы Шиппа [214], а теорема 24 выдержана в духе работ Р. И. Овсепяна, А. В. Бахшецяна и Г. Г. Геворкяна [11, 21, 27, 74, 187].

Получены также некоторые новые результаты о множествах относительной единственности для одномерных рядов Хаара. Из теоремы 21 можно легко вывести близкое к критерию условие принадлежности семейству II (Эр) - множеств (напомним, что Ор — класс рядов Хаара, коэффициенты

33 ап которых удовлетворяют условию (0.4)). Мы не будем этого делать, а укажем класс множеств, для которых можно точно сказать, при каких р они являются С/(@р)-множествами.

Теорема 25. Пусть выбрано замкнутое множество X С [0,1]. Предположим, что для некоторого р Е (0,1) хаусдорфова а-мера множества X бесконечна при а < 1 — р и конечна при а > 1 — р. Тогда:

• множество X является V (О ^-множеством при всех д < р;

• множество X является М(@^-множеством при всех д > р.

Следствие 26. Если Р^ — симметрическое совершенное множество с постоянным отношением С,, то Р^ является и(Оя)-мноэ!сеством тогда и только тогда, когда ч 1п2 <7<1 + —.

1пС

В частности, канторовское троичное множество ^/з является £/(©д)-множеством тогда и только тогда, когда

1п2 а < 1--.

4 ~ 1пЗ

Сравнив результаты для одномерных и кратных рядов Хаара (например, теорему 21 в ее части, касающейся кратных рядов Хаара) с результатами для одномерных и кратных рядов Уолша, получим следующую интересную картину. Для рядов Хаара в терминах хаусдорфовых мер получен критерий принадлежности заданного множества классу множеств единственности рядов, удовлетворяющих условию (0.17). В аналогичном случае для рядов Уолша найдено лишь достаточное условие подобной принадлежности. При этом, необходимое условие и не может быть получено в терминах хаусдорфовых мер в силу теоремы 7. Кроме того, отметим следующий очень важный, с нашей точки зрения, факт. Принадлежность множества рассмотренным выше классам II(0)-множеств для рядов Хаара (и одномерным, и кратным) не зависит (!) от арифметической структуры этих множеств, чего нет в случае рядов Уолша или тригонометрических. Подобное поведение рядов Хаара объясняется, по-видимому, некоторой "локальностью" системы Хаара, в частности, тем свойством, что диаметр носителя функций Хаара Хп стремится к нулю при п —>• оо. Подобная "локальность" приводит к тому, что поведение частичных сумм ряда Хаара в одной точке не слишком сильно зависит от такого поведения в другой точке. В случае же рядов Уолша или тригонометрических носители соответствующих функций заполняют всю область определения. В связи с этим зависимость между поведением частичных сумм ряда в двух разных точках должна быть более сильной. Это, по всей видимости, и приводит к тому, что описание ¿/-множеств для таких

34 рядов требует привлечения не только метрических, но и арифметических характеристик множеств.

Была также рассмотрена более общая задача восстановления коэффициентов кратных рядов Хаара и Уолша, сходящихся вне множеств относительной единственности. Для каждого а Е (0,1) и семейства

К = {{%(<;)}: Ь бС?т} (0.18) возрастающих последовательностей натуральных чисел построен интеграл двоичного перроновского типа, названный (Р^ТУ* (К)^интегралом, относительно которого верна

Теорема 27. Пусть выбраны а € (0,1), р £ (0,1]; кратный ряд Хаара или Уолша (в) на группе С11, а также семейство К возрастающих последовательностей натуральных чисел, определяемое формулой (0.18). Предположим, что выполнены следующие условия.

1) для всех t £ От, кроме, быть может, точек из некоторого множества нулевой хаусдорфовой ост-меры, подпоследовательность в2к¿ад (1) кубических частичных сумм ряда (Б) стремится при ] —> оо к конечному-значению /("Ь);

2) всюду на С71 прямоугольные частичные суммы ряда (5) в точке t удовлетворяют условию (0.17).

Тогда функция / является (РН\¥а(К))-интегрируемой и ряд (5) является (РНУ/а(К))-рядол1 Фурье-Хаара или, соответственно, Фурье-Уолша функции /. ;

В главе 7 мы несколько отступаем от основной линии для того, чтобы еще раз указать на значительные различия между поведением кратных рядов, сходящихся по кубам или по ограниченным прямоугольникам, от рядов, сходящихся по (неограниченным) прямоугольникам. В этой главе представлены некоторые результаты, касающиеся поведения коэффициентов сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша. Показано, что поведение коэффициентов сходящихся по кубам кратных рядов Уолша может сильно отличаться от поведения коэффициентов сходящихся по прямоугольникам таких рядов. С другой стороны, если рассматривать сходимость по кубам, то поведение коэффициентов кратных рядов Уолша сильно отличается и от поведения коэффициентов кратных тригонометрических рядов. Сходимость кратных рядов Уолша по кубам к конечной функции даже всюду в определенном смысле не гарантирует никаких ограничений на,поведение их коэффициентов с номерами, взятыми из достаточно массивного множества. В частности, показано, что двойной ряд Уолша может всюду сходиться по квадратам, а его коэффициенты с номерами из некоторого множества при этом могут

35 расти быстрее любой наперед заданной последовательности. Для кратных тригонометрических рядов подобное невозможно в силу теоремы Коэна. Но некоторые подпоследовательности коэффициентов сходящихся по кубам к конечной функции на множестве определенной меры кратных рядов Уолша, как доказано в главе 7, все-таки обязаны стремиться к нулю.

Также мы рассмотрим случай сходящихся по кубам или по ограниченным прямоугольникам кратных рядов Хаара. И здесь ситуация будет отличаться как от той, что имеет место для сходящихся по (неограниченным) прямоугольникам кратных рядов Хаара, так и от той, что имеет место для сходящихся по кубам кратных тригонометрических рядов. Более того, такое различие может быть уже тогда, когда кратный ряд Хаара сходится по прямоугольникам всюду, кроме всего одной точки 1;о € С171, в которой он сходится по кубам или в смысле р-сходимости.

Приведем некоторые результаты главы .7.

Теорема 28. Рассмотрим множества оо

Тк = {{пъп2) 2к< щ, п2 < 2к+1 - 1}, к = 0,1,.; Т = ^ Тк. к=О

Пусть заданы двойная последовательность {Вп 1)П2} не равных нулю действительных чисел, стремящаяся к оо последовательность {С&} положительных чисел, а также числа (3\ и (32 такие, что 0 < ¡3\ < ¡32 < 1. Тогда существует двойной ряд Уолша, всюду на С?2 сходящийся по квадратам к конечной сумме, для коэффициентов ЪПиП2 которого выполнены следующие равенства'.

Цт ^ = оо; Йт ЬЦ = +оо;

П1,П2)|||-+Оо, &т,П2 2к<гц,п2<2к+Ск, |-°тц,п2| п\,пг)$Т А;—кэо

Ът,г lim j^L = +оо.

2fc(l+/3i)<n1,n2<2fc(l+/?2), \Впі,п2 I к—>оо

Теорема 29. Пусть заданы s Є Z+; борелевское множество Е С Gm, для которого выполнено неравенство ц{Е) > 1 - 2m}1+ms, а также кратный ряд Уолша (S), всюду сходящийся по кубам на множестве Е. Тогда для коэффициентов &щ,.,пт ряда (S) справедливо равенство lim max .ит| = 0. fc—+оо 2fc<ni,.,nm<2fc+2s—1

36

Теорема 30. Пусть заданы произвольные р € (0,1], т £ {2, 3,.}, ш-мерная последовательность {Ац,.,пт} не равных нулю действительных чисел и точка 1;о € (?т. Тогда существует т-кратный ряд Хаара, р-сходя-щийся к конечной сумме в точке 1;о, сходящийся по прямоугольникам, повторно и по сферам к конечной сумме во всех точках множества От\{\ьо}, для общего члена 0'щ,.,пт'Х.п\,.,пт которого выполнены условия

Е 1^Ц = оо „ к 1апь.п Хпь.,пт^о)| = ^

00 \-™-П1,.,Пт \

Возвращаясь к теореме 28, обратим внимание на еще одно различие между сходящимися по квадратам и по прямоугольникам двойными рядами Уол-ша. В работе Ш.Т. Тетунашвили [129] для кратных тригонометрических рядов доказан следующий результат. Приведем его в сильно упрощенной формулировке и в двумерном случае. Пусть Ы> означает класс и-множеств для двойных тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам, построенный в работе [129] (см. теорему 2 из этой работы), и включающий, в частности, некоторые континуальные [/-множества меры нуль, а также неизмеримые [/-множества. Тогда, если конечная функция определенная на множестве [—7Г, тт] \ А, где А ЕЫ, измерима по переменной при любом фиксированном £2 <Е [—7г,7г], то из сходимости по прямоугольникам к функции / на множестве [—7Г, 7г] \ А двойного тригонометрического ряда вытекает его повторная сходимость к функции / на том же множестве. Для двойных рядов Уолша аналогичный результат вытекает из результатов работы [30].

Что касается сходимости по квадратам, то из теоремы 28 вытекает, что даже всюду сходящийся таким образом двойной ряд Уолша может не сходиться повторно ни в одной точке. Действительно, если последовательность {Вп 1,п2}) фигурирующая в-формулировке теоремы 28, отделена от нуля, то ряд (Б) из утверждения этой теоремы не может сходиться повторно, так как его общий член не стремится к нулю по одной переменной при любом фиксированном значении другой.

В предметном указателе имеются ссылки на номера страниц, на которых приведены определения и понятия, не относящиеся к общим математическим. В списке основных обозначений даются ссылки на номера страниц, на которых введены эти обозначения.

Нумерация формул, теорем, лемм и т.д. в работе — своя для каждой главы. Кроме того, используется единая нумерация всех объектов, кроме формул. Теоремы, леммы, предложения, следствия и т.д., утверждения которых принадлежат другим авторам, помечены буквой А перед номером.

1. Г. Н. Агаев, Н. Я. Виленкин, Г. М. Джафарли, А. И. Рубинштейн, Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах, ЭЛМ, Баку, 1981.

2. Г. Алексин, Проблемы сходимости ортогональных рядов, ИЛ, М., 1963.

3. Ф.Г. Арутюнян, "О рядах по системе Хаара", Докл. АН Армян. ССР, 42:3 (1968), 134-140.

4. Ф.Г. Арутюнян, A.A. Талалян, "О единственности рядов по системам Хаара и Уолша", Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:6 (1964), 1391-1408.

5. Л. А. Балашов, А. И. Рубинштейн, "Ряды но системе Уолша и их обобщения", Итоги науки. Сер. Математика. Матем. анал. 1970, 1971, 147-202.

6. Н. К. Бари, "Проблема единственности изображения функции тригонометрическим рядом", УМН, 4:3 (31) (1949), 3-68.

7. Н.К. Бари, Тригонометрические ряды, ГИФМЛ, М., 1961.

8. A.B. Бахшецян, "Об U(е)-множествах полной меры для системы Уолша", Изв. АН Армян. ССР. Сер. матем., 16 (1981), 431-443.

9. A.B. Бахшецян, "О нулях рядов по системе Радемахера", Матем. заметки, 33:2 (1983), 169-178.

10. В. И. Богачев, Основы теории меры, Т. 1, НИЦ Регулярная и хаошческая динамика; Инсгитут компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2006.

11. H.A. Бокаев, "Об U-множествах для мультипликативных систем", Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1. Матем. Механ., 1995, № 1, 84-86.

12. Н. А. Бокаев, "О единственности представления функций кратными рядами по обобщенным системам Хаара", Матем. заметки, 60:1 (1996), 127-130.

13. Н. А. Бокаев, М. А. Нурханов, "Об одном примере нуль-ряда по периодическим мультипликативным сисгемам", Матем. заметки, 54:6 (1993), 3-9.

14. H.A. Бокаев, В. А. Скворцов, "Обобщение одной теоремы единственносіи для рядов по мультипликативным системам", Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 1987, № 3, 11-15.

15. Н. Я. Виленкин, "Об одном классе полных ортонормированных систем", Изв. АН СССР. Сер. матем., 11:4 (1947), 363-400.

16. И. А. Виноградова, В. А. Скворцов, "Обобщенные интегралы и ряды Фурье", Итоги науки. Сер. Математика. Матем. анал. 1970, 1971, 65-107.

17. С. III. Галстян, "О единственности аддитивных функций сегмента и тригонометрических рядов", Матем. заметки, 56:4 (1994), 38-47.

18. В. Ф. Гапошкин, "Теорема единственности для кратных лакунарных тригонометрических рядов", Матем. заметки, 16:6 (1974), 865-870.

19. Г. Г. Геворкян, "Об £/р-множествах для систем Хаара, Уолша и тршчшомеарических", Изв. АН Армян. ССР. Сер. матем., 20:5 (1985), 325-348.

20. Г. Г. Геворкян, "О единственности кратных тригонометрических рядов", Матем. заметки, 52:2 (1992), 148-150.

21. Г. Г. Геворкян, "О единственности кратных тригонометрических рядов", Матем. сб., 184:11 (1993), 93-130.

22. Г. Г. Геворкян, "О единственности рядов по системе Франклина", Матем. заметки, 46:2 (1989), 51-58.

23. Г.Г. Геворкян, "О единственности рядов по центрированным Я-системам", Acta Math. Acad. Sei. Hungar., 40:(l-2) (1982), 1-10.

24. Г.Г. Геворкян, "О классификации С/(5)-множеств для системы Уолша", Мат. Ереванский Гос. Унт, 1986, № 5, 42-49.

25. Г. Г. Геворкян, "О множествах единственности для некоторых ортогональных рядов", Изв. АН Армян. ССР. Сер. матем., 18:6 (1983), 448-475.

26. Г. Г. Геворкян, "О множествах единственности для под си сі ем системы Хаара", Уч. зап. Ереванского Гос. Ун-та, 1983, № 3, 15-19.

27. Г. Г. Геворкян, "О множествах единственности для систем Хаара и Уолша", Докл. АН Армян. ССР, 73:2 (1981), 91-96.

28. JT. Д. Гоголадзе, "К вопросу о восстановлении коэффициентов сходящихся кратных функциональных рядов", Изв. РАН. Сер. матем., 72:2 (2008), 83-90.

29. JI. Д. Гоголадзе, "О восстановлении коэффициентов сходящихся кратных функциональных рядов", Reports of enlarged session of the seminar of I.N. Vekua Institute of Applied Mathematics, 7:2, Tbilisi University Press, Tbilisi, 1992, 20-22.

30. Б.И. Голубов, "Кратные ряды и интегралы Фурье", Итоги науки и техн. Сер. Матем. анал., 19 (1982), 3-54.

31. Б.И. Голубов, "Ряды по системе Хаара", Итоги науки. Сер. матем. Матем. анал. 1970, 1971, 109-146.

32. Б.И. Голубов, А.В. Ефимов, В. А. Скворцов, Ряды и преобразования Уолша: теория и применение, Наука, М., 1987.

33. М. де Гузман, Дифференцирование интегралов в R", Мир, М., 1978.

34. О. П. Дзагнидзе, "Представление измеримых функций двух переменных двойными рядами", Сообщ. АН Груз. ССР, 34:2 (1964), 277-282.

35. М. И. Дьяченко, "Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов", УМН, 47:5 (287) (1992), 97-162.

36. Т. А. Жеребьева, "Об одном классе множеств единственности для двойных тригонометрических рядов", Матем. заметки, 87:6 (2010), 830-839.

37. Т. А. Жеребьева, "Об одном классе множеств единственности для двойных рядов Уолша", Вестн. Моск. Ун-та. Матем. Механ., 2007, № 5, 13-18.

38. Т. А. Жеребьева, "Об одном классе множеств единственности для кратных рядов Уолша", Вестн. Моск. Ун-та. Матем. Механ., 2009, № 2, 14-21.

39. JI. В. Жижиашвили, "О некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических и ортогональных рядов", УМН, 28:2 (170) (1973), 65-119.

40. Ю. А: Зайцев, "Теоремы Кантора-Лебега и Фату-Данжуа-Лузина для кратных тригонометрических рядов", Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем., 1985, № 3, 3-8.

41. Т. С. Зерекидзе, "Сходимость кратных рядов Фурье-Хаара и сильная дифференцируемость интегралов", Тр. Тбилис. Матем. Ин-та, 76 (1985), 80-99.

42. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, Мир, М., 1965.

43. О. С. Ивашев-Мусатов, "М-множества и Л-меры", Матем. заметки, 3:4 (1968), 441-447.

44. С. Качмаж, Г. Штейнгауз, Теория ортогональных рядов, Физматгиз, М., 1958.

45. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, Изд. 2, Изд-во АФЦ, М., 1999.

46. Г. Г. Кемхадзе, "О расходимости шаровых частичных сумм кратных рядов Фурье-Хаара",- Сообщ. АН Груз. ССР, 85:3 (1977), 537-539.

47. Г. Г. Кемхадзе, "О сходимости рядов Хаара и Уолша", Сообщ. АН Груз. ССР, 56:1 (1969), 37-40.

48. А. Н. Колмогоров, А. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 7-ое изд., Физматлит, М., 2004.

49. С. В. Конягин, "О пределах неопределенностей тригонометрических рядов", Матем. заметки, 44:6 (1988), 770-784.

50. В. В. Костин, "К задаче восстановления коэффициентов всюду сходящегося ряда но мультипликативной системе с помощью /1-интеграла", Вести. Моск. Ун-та. Матем. Механ., 2002, JV51, 15-21.

51. В. В. Костин, "Обобщение теоремы Л.А. Балашова о подрядах ряда Фурье-Хаара", Матем.' заметки, 76:5 (2004), 740-747.

52. В.'В: Костин, "О восстановлении коэффициентов рядов по некоторым ортогональным системам", Матем. заметки, 73:5 (2003), 704-723.

53. Л. В. Линьков, "Эквивалентность различных определений двоичного регулярного интеграла на плоскости", Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем., Механ., 2000, № 5, 50-53.

54. Н. II. Лузин, Интеграл и тргонометрический ряд, ГИТТЛ, М.-Л., 1951.

55. С. Ф. Лукомский, "Необходимые условия для множеств единственности рядов Уолша с лакунами", Матем. сб., 133(175):4(8) (1987), 469-480.

56. С. Ф. Лукомский, "О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша", Матем. сб., 180:7 (1989), 937-945.

57. С. Ф. Лукомский, Представление функций рядами Уолша и коэффициенты сходящихся рядов Уолша, Дисс. . д.ф.-м.н., СГУ, Саратов, 1996.

58. Н. С. Морева, "О единственности крашых рядов Уолша при сходимости но двоичным кубам", Матем. заметки, 81:4 (2007), 586-598.

59. X. О. Мовсисян, "О единственности двойных рядов по системам Хаара и Уолта", Изв. АН Армян. СОР. Сер. матем., 9:1 (1974), 40-61. /

60. Г. М. Мушегян, "Единственность рядов по некоторому классу ортонормированных систем", Изв. АН Армян. ССР. Сер. матем., 5 (1970), 138-153. '

61. Г.М. Мушегян, "О восстановлении коэффициентов переставленною ряда Хаара", Матем. сб., 130(172):1(5) (1986), 35-61.

62. Г.М. Мушегян, "О единственности рядов по переставленным системам Хаара", Изв. АН Армян. ССР. Сер. матем., 6 (1971), 21-34.

63. Г.М. Мушегян, "О коэффициентах всюду сходящихся рядов но некоторым переставленным орто-нормированным системам", Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:4 (1978), 807-832.

64. Г.М. Мушегян, "О множествах единственности для системы Хаара", Изо. АН Армян. ССР. Сер матем., 2:6 (1967), 350-361.

65. Г.М. Мушегян, "О множествах единственности для системы Хаара", Изв. АН Армян. ССР. Сер. матем., 4:1 (1969), 55-65.

66. Г.М. Мушегян, Р.И. Овсепян, "О единственности ортогональных рядов", Изо. АН Армян. ССР. Сер. матем., 4:4 (1969), 259-266.

67. M. X. Насибов, "Единственносхь кратных тригонометрических рядов", Докл. АН СССР, 215:3 (1974), 547-549.

68. М.Х. Насибов, "Обобщение теоремы Кантора на случай двойных тригонометрических рядов", Со-общ. АН Груз. ССР, 82:1 (1976), 29-31.

69. И.П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, Изд. 3, <Лань>, СПб., 1999.

70. Р. И. Овсепян, "О некоторых теоремах единственности для системы Хаара и центрированных систем непрерывных функций", Изв. АН Армян. ССР. Сер. матем., 25:5 (1990), 421-431.

71. Р. И. Овсепян, "О представлении функций ортогональными рядами", Докл. АН Армян. ССР, 57:1 (1973), 3-8.

72. Р. И. Овсепян, "О пустом множестве как М-множестве в классе общих ортонормированных систем", Изв. АН Армян. ССР. Сер. матем., 13:4 (1978), 261-274.

73. Г. Г. Ониани, "О расходимости кратных рядов Фурье-Хаара", Докл. РАН, 419:2 (2008), 169-170.

74. В. С. Панферов, "Аналог теорем Данжуа-Лузина и Кантора-Лебега для двойных тригонометрических рядов", Матем. заметки, 18:5 (1975), 659-674.

75. B.C. Панферов, "Теорема Кантора-Лебега для двойных триюномеарических рядов", Матем. заметки, 14:5 (1973), 655-666.

76. Я. Б. Песин, Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и приложения, Институт компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2002.

77. М. Б. Петровская, "Некоторые теоремы единственности для рядов по системе Хаара", Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем., 1964, № 5, 15-28.

78. М. Б. Петровская, "О нуль-рядах по системе Хаара и множествах единственности", Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:4 (1964), 773-798.

79. Н. Б. Поюсян, "Об одной теореме единственности для мартингалов", УМН, 40:4(244) (1985), 223224.

80. Н.С.Полякова, "О единственности рядов по системе характеров диадической группы", Изв Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Матем. Механ. Информ., 9:2 (2009), 38-44.

81. И. И. Привалов, "Обобщение теоремы Paul-du-Bois-Reymond'a", Матем. сб., 31:2 (1923), 229-231.

82. И. И. Пятецкий-Шапиро, "Дополнение к работе "К проблеме единственности разложения функций в тригонометрический ряд", Уч. зап. Моск. Ун-та, 165, Матем., Т. 7 (1954), 79-97.

83. И. И. Пятецкий-Шапиро, "К вопросу о единственносги разложения функций в тригонометрический ряд", Докл. АН СССР, 85 (1952), 497-500.

84. И. И. Пятецкий-Шапиро, "К проблеме единственности разложения функций в тригонометрический ряд", Уч. зап. Моск. Ун-та, 155, Матем., Т. 5 (1952), 54-72.

85. С. Сакс, Теория интеграла, <Факториал Пресс>, М., 2004.

86. В. А. Скворцов, "Л-интегрируемые мартингальные последовательности и ряды Уолша", Изо. РАН. Сер. матем., 65:3 (2001), 193-200.

87. В. А. Скворцов, Вопросы единственности разложения функций в ряды по системам Хаара и Уолша и обобщенные интегралы. Дисс. . д ф.-м.н., МГУ, М., 1982.

88. В. А. Скворцов, "Вычисление коэффициентов всюду сходящегося ряда Хаара", Матем. сб., 75:3 (1968), 349-360.

89. В. А. Скворцов, "Дифференцирование относительно сетей и ряды Хаара", Матем. заметки, 4:1 (1968), 33-40.

90. В. А. Скворцов, "Некоторые обобщения теоремы единственности для рядов по системе Уолша", Матем. заметки, 13:3 (1973), 367-372.

91. В. А. Скворцов, "Об h-мере М-множеств для системы Уолша", Матем. заметки, 21:3 (1977), 335340.

92. В. А. Скворцов, "Об одной теореме единственности для многомерного ряда Хаара", Изв. АН Армян. ССР, Сер. матем., 23:3 (1988), 293-296.

93. В. А. Скворцов, "Об одном примере нуль-ряда по системе Уолша", Матем. заметки, 19:2 (1976), 179-186.

94. В. А. Скворцов, "Об условии единственности представления функций рядами Уолша", Матем. заметки, 21:2 (1977), 187-197.

95. В. А. Скворцов, "О единственности рядов Уолша, сходящихся по подпоследовательностям частичных сумм", Матем. заметки, 16:1 (1974), 27-32.

96. В. А. Скворцов, "О коэффициентах сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша", Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем., 1973, № 6, 77-79.

97. В. А. Скворцов, "О множествах единственности для многомерных рядов Хаара", Матем. заметки, 14:6 (1973), 789-798.

98. В. А. Скворцов, "О нуль-рядах по некоторой мультипликативной системе", Вести. Моск. Ун-та. Матем. Механ., 1979, JV® 6, 63-67.

99. В. А. Скворцов, "О рядах Уолша, сходящихся по подпоследовательностям частичных сумм", Матем. заметки, 28:1 (1980), 45-52.

100. В. А. Скворцов, "О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательности частичных сумм", Докл. АН СССР, 183:4 (1968), 784-786.

101. В. А. Скворцов, "О теореме Марцинкевича для двоичного интеграла Перрона", Матем. заметки, 59:2 (1996), 267-277.

102. В. А. Скворцов, "Пример ряда Уолша со всюду сходящейся к нулю подпоследовательностью частичных сумм", Матем. сб., 97:4 (1975), 517-539.

103. В. А. Скворцов, "Теорема типа Кантора для системы Хаара", Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем., 1964, № 5, 3-6.

104. В. А. Скворцов, М.П. Королева, "О рядах по мультипликативным системам, сходящихся к функциям, интегрируемых по Данжуа", Матем. сб., 186:12 (1995), 129-150:

105. В.А. Скворцов, A.A. Талалян, "Некоторые вопросы единсгвенности кратных рядов но системе Хаара и тригонометрической системе", Матем. заметки, 13:3 (1973), 104-113.

106. В. А. Скворцов, Ф. Тулоне, "Обобщенные интегралы Хенстока в теории рядов но мультипликативным системам", Вестн. Моск. Ун-та. Матем. Механ., 2004, № 2, 7-11.

107. В. А. Скворцов, Ф. Тулоне, "Р-ичный интеграл Хенстока в теории рядов но системам харатеров нуль-мерных групп", Вестн. Моск. Ун-та. Матем. Механ., 2006, № 1, 25-29.

108. В. А. Скворцов, H.H. Холщевникова, "Сравнение двух обобщенных тригонометрических интегралов", Матем. заметки, 79:2 (2006), 278-287.

109. В. А. Склярепко, "Об интегрируемых по Данжуа суммах всюду сходящихся тригономегричсских рядов", Докл. АН СССР, 210:3 (1973), 533-536.

110. С.Б. Стечкин, "К теореме Кантора-Лебега для двойных тригонометрических рядов", Матем. заметки, 12:1 (1972), 13-18.

111. С. Б. Стечкин, П. JI. Ульянов, "О множествах единственности", Из а. АН СССР. Сер. матем., 26:2 (1962), 211-222.

112. А. А. Талалян, "Вопросы представления и единственности в теории ортогональных рядов", Итоги науки. Сер. Математика. Матем. (тал. 1970, 1971, 5-64.

113. A.A. Талалян, "Дифференцирование но случайным двоичным сетям и единственноеib кратных тригонометрических рядов", Матем. заметки, 88:1 (2010), 78-96.

114. A.A. Талалян, "О единственности двойных тригонометрических рядов", Изо. АН Армян. ССР. Сер. матем., 20:6 (1985), 426-462.

115. A.A. Талалян, "О единственности и интегрируемости кратных тригонометрических рядов", Тр. МИАН, 190 (1989), 234-254.

116. A.A. Талалян, "О единственности и интегрируемости кратных тригонометрических рядов", Матем. заметки, 86:5 (2009), 761-775.

117. A.A. Талалян, "О единственности кратных тригонометрических рядов", Матем. сб., 132:1 (1987), 104-130.

118. A.A. Талалян, "О единственности кратных тригонометрических рядов", Тр. МИАН, 180 (1987), 210-211.

119. А. А. Талалян, "О единственности кратных тригонометрических рядов и гармонических функций", Докл. АН СССР, 294:4 (1987), 796-799.

120. A.A. Талалян, "О единственности рядов Хаара, сходящихся в метриках Lv\0,1], 0 < р < 1, и по мере", Матем. сб., 126(168):1 (1985), 101-114.

121. A.A. Талалян, "О некоторых свойствах единственности кратных тригонометрических рядов и гармонических функций", Изв. АН СССР. Сер. матем., 52:3 (1988), 621-650.

122. A.A. Талалян, "Скорость сходимости к нулю нуль-рядов по системе Хаара", Докл. АН Армян. ССР, 77:1 (1983), 16-19.

123. A.A. Талалян, Ф.Г. Аруионян, "О сходимости рядов но системе Хаара к +оо", Матем. сб., 66:2 (1965), 240-247.

124. А. А. Талалян, Р. И. Овсепян, "Теоремы Д. Е. Меньшова о представлении и их влияние на развитие метрической теории функций", УМН, 47:5(287) (1992), 15-44.

125. Ш.Т. Тетунашвили, "О единственности кратных тригонометрических рядов", Матем. заметки, 58:4 (1995), 596-603.

126. ИГ. Т. Тетунашвили, "О единственности лакунарных рядов Уолша", Зап. расширенной сесс. сем. Ин-та прикл. матем. им. И.Н. Веща, 3:2 (1988), 102-104.

127. Ш.Т. Тетунашвили, "О некоторых кратных функциональных рядах и решение проблемы единственности кратных тригонометрических рядов для сходимости по Прингсхейму", Матем. сб., 182:8 (1991), 1158-1176.

128. Ш.Т. Тетунашвили, "О нуль-рядах по системам Хаара и Уолша", Сообщ. АН Грузии, 150:1 (1994), 27-28.

129. Ш.Т. Тетунашвили, "О нуль-рядах но системе Хаара", Сообщ. АН Грузии, 142-2 (1991), 245-247

130. Ш. Т. Тетунашвили, "О нуль-рядах по тригонометрической системе и по системам Уолша и Хаара", Матем. сб., 187:3 (1996), 103-142.

131. Ш.Т. Тетунашвили, "О решении проблемы единственности для кратных тригонометрических рядов", Сообщ. АН Груз. ССР, 139:1 (1990), 21-24.

132. Ш.Т. Тетунашвили, "Теоремы единственности для кратных тригонометрических рядов", Сообщ. АН Грузии, 149:3 (1994), 390-391.

133. И. И. Тузикова, "Об одном примере нуль-ряда по ортогональной мультипликативной системе функций", Изв. вузов. Математика, 1985, № 5, 52-59.

134. П. JI. Ульянов, "О рядах по системе Хаара", Матем. сб., 63:3 (1964), 356-391.

135. П.Л. Ульянов, "Расходящиеся ряды Фурье", УМН, 16:3 (1961), 61-142;

136. П. JI. Ульянов, "Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов", УМН, 19:1 (115) (1964), 3-69.

137. Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ОНТИ, М, 1937.

138. H.H. Холщевникова, "Единственность для тригонометрических рядов по возрасхающему числу переменных", Тр. ИММ, 11:2 (2005), 175-181.

139. H.H. Холщевникова, "К теореме типа Валле-Пуссена о единственности представления функций тригонометрическим рядом", Матем. сб., 187:5 (1996), 143-160.

140. H.H. Холщевникова, "Обобщенная теорема Бари для системы Уолша", Матем. сб., 183:9 (1992), 3-12.

141. Н. Н. Холщевникова, "Обобщенный тригонометрический интеграл", Изв. HAH Армении. Сер. Матем., 36:4 (2001), 82-89.

142. H.H. Холщевникова, "Объединение множеств единственности кратных рядов — Уолша и тригонометрических", Матем. сб., 193:4 (2002), 135-160.

143. H.H. Холщевникова, "О категории ¿/-множеств для рядов по системе Уолша", Матем. заметки, 53:5 (1993), 129-151.

144. Н. Н. Холщевникова, "О множествах единственности для рядов по различным системам функций", Изв. РАН. Сер. матем., 57:1 (1993), 167-182.

145. Н. Н. Холщевникова, "О структуре замкнутых множеств единственности для системы Уолша", Тр. МИАН, 219 (1997), 400-409.

146. Н. Н. Холщевникова, "О сумме меньше континуума замкнухых ¿/-.множеств", Вестпн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 1981, № 1, 51-55.

147. В. Г. Челидзе, Некоторые методы суммирования двойных рядов и двойных интегралов, Изд-во Тбилисского ун-та, Тбилиси, 1977.

148. Чэн Минь-дэ, Чэнь Юнь-хэ, "Единственность кратных тригонометрических рядов", Acta sci. natur. Univ. pekinensis, 1956, № 1, 5-14.

149. Ф. Шипп, "О некоторых перестановках рядов по системе Уолша", Мотели заметки, 18:2 (1975), 193-201.

150. А.А. Шнейдер, "О единственности разложений функций по системе Уолша", Матем. сб., 24:2 (1949), 279-300.

151. А. Д. Эбралидзе, "О единственности кратных рядов по системе Хаара", Сообщ. АН Груз. ССР, 70:3 (1973), 537-539.

152. J.M. Ash, "Uniqueness for higher dimensional trigonometric series", Cubo, 4 (2002), 97-125.

153. J.M. Ash, "Uniqueness of representation by trigonometric series", Amer. Math. Mon., 96:10 (1989), 873-885.

154. J.M. Ash, C. Freiling, D. Rinne, "Uniqueness of rectangularly convergent trigonometric series", Ann. Math., 137:1 (1993), 145-166.

155. J.M. Ash, Sh.T. Tetunashvili, "New uniqueness theorems for trigonometric series", Proc. Amer. Math. Soc., 128:9 (2000), 2627-2636.

156. J.M. Ash, Sh.T. Tetunashvili, "Uniqueness for multiple trigonometric and Walsh series with convergent rearranged square partial sums", Proc. Amer. Math. Soc., 134 (2006), 1681-1686.

157. J. M. Ash, G. Wang, "A survey of uniqueness questions in multiple trigonometric series", Contemporary Math., 208 (1997), 35-71.

158. J.M. Ash, G. Wang, "One and two dimensional Cantor-Lebesgue type theorems", Trans. Amer. Math. Soc., 349:4 (1997), 1663-1674.

159. J. M. Ash, G. Wang, "Sets of uniqueness for spherically convergent multiple trigonometric series",, Trans. Amer. Math. Soc., 354:12 (2002), 4769-4788.

160. J.M. Ash, G. Wang, "Some spherical uniqueness theorems for multiple trigonometric series", Ann. Math., 151:1 (2000), 1-33.

161. J. M. Ash, G. V. Welland, "Convergence, summability, and uniqueness of multiple trigonometric series", Bull. Amer. Math. Soc., 77:1 (1971), 123-127.

162. J.M. Ash, G. V. Welland, "Convergence, uniqueness, and summability of multiple trigonometric series", Trans. Amer. Math. Soc., 163:2 (1972), 401-436.

163. B. Aubertin, "Algebraic elements and sets of uniqueness in the group integers of a p-series field", Canad. Math. Bull., 29:2 (1986), 177-184.

164. N. K. Bari, "Sur le rôle des lois diophantiques dans le problème d'unicité du développement trigonométrique", Матем. сб., 44:2 (1937), 699-722.

165. N. К. Bari, "Sur l'unicité du développement trigonométrique", Fund. Math., 9 (1927), 62-118.

166. A. S. Bezicovitch, "On linear sets of points of fractional dimension", Math. Annalen, 101:(2-3) (1929), 161-193.

167. P.' du Bois-Reymond, "Beweis das die koeffizienten der trigonometrishen reihen", Abh. Acad. Wiss., Munchen, 12 (1876), 117-166.

168. B. Bongiorno, L. Di Piazza, V. A. Skvortsov, "A new full descriptive characterization of Denjoy-Perron integral", Real Anal. Exchange, 21:2 (1995/96), 656-663.

169. J. Bourgain, "Spherical summation and uniqueness of multiple trigonometric series", Internat. Math. Res. Notices, 1996, № 3, 93-107.

170. Z. Buczolich, W.F. Pfeffer, "Variations of additive functions", Czech. Math. J., 47:3 (1997), 525-555.

171. G. Cantor, "Uber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen", Math. Annalen, 5 (1872), 123-132.

172. P. J. Cohen, Topics in the theory of uniqueness of trigonometrical series, Thesis, University of Chicago, Chicago, II, 1958.

173. B. Connes, "Sur les coefficients des séries trigonométriques convergentes sphériquement", C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A., 283 (1976), 159-161.

174. R. Cooke, "A Cantor-Lebesgue theorem in two dimensions", Proc. Amer. Math. Soc., 30:3 (1971), 547-550.

175. J.E. Coury, "A class of Walsh M-sets of measure zero", J. Math. Anal. Appl, 31:2 (1970), 318-320.

176. R.B. Crittenden, V.L. Shapiro, "Sets of uniqueness in the group 2""', Ann. Math., 81:3 (1965), 550-564.

177. A. Denjoy, Lésons sur le calcul des coefficients d'une série trigonométrique, Paris, 1941-1949.

178. L. Di Piazza, "Variational measures in the theory of the integration in Rm", Czech. Math. J., 51:126 (2001), 95-110.

179. G. Faber, "Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", Jahresber. Deutsch. Math. Ver., 19 (1910), 104-112.

180. K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley&Sons, Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore, 1990.

181. C.-A. Faure, J. Mawhin, "The Hake's property for some integrals over multidymensional intervals", Real Anal. Exchange, 20:2 (1994/95), 622-630.

182. N.J. Fine, "On the Walsh functions", Trans. Amer. Math. Soc. 65:3 (1949), 372-414.

183. H. Geiringer, "Trigonometrische Doppelreihen", Monat, für Math., 29 (1918), 65-144.

184. R. D. Getsadze, "On divergence of the general terms of the double Fourier-Haar series", Arch. Math, 86:4 (2006), 331-339.

185. G. G. Gevorkian, "On coefficients of null-series and on sets of uniqueness of trigonometric and Walsh series", Anal. Math., 14:3 (1988), 219-251.

186. R. F. Gundy, "Martingal theory and pointwise convergence of certain orthogonal series", Trans. Amer. Math. Soc. 124:2 (1966), 228-248.

187. A. Haar, "Zur theorie der orthogonalen Funktionsysteme", Math. Annalen, 69 (1910), 331-371.

188. D.C. Harris, "Sets of uniqueness and closed subgroups in Vilenkin groups", Anal. Math., 16:2 (1990), 115-122.

189. S. Kaczmarz, "Über ein orthogonalsystem", G. R. lu I Congr. Math, des pays slaves, Warszawa, 1929, 189-192.

190. J.-P. Kahane, Y. Katsnelson, "Sur les ensembles d'unicité U(e) de Zygmund", C. R. Acad. Set. Paris, Sér. A., 277 (1973), 893-895.

191. A. S. Kechris, A. Louveau, Descriptive set theory and the structure of sets of uniqueness, London Math. Soc., Lecture Note Series, 128, Cambridge University Press, 1989.

192. S.F. Lukomskii, "On a U-set for multiple Walsh series", Anal Math., 18:2 (1992), 127-138.

193. J. Marcinkiewicz, A. Zygmund, "Two theorems on trigonometric series", MameM. c6., 2 (44):4, (1937), 733-738.

194. J. McLaughlin, J. Price, "Comparison of Haar series with gaps with trigonometric series", Pastf. J. Math., 28:3 (1969), 333-371.

195. D.E. Men'shov, "Sur l'unicité du développement trigonométrique", C. R. Acad. Sei. Paris, 163 (1916), 433-436.

196. A. M. Olevskii, Fourier series with respect to general orthonormal systems, Springer-Verlag, Berlin, 1975.

197. G. G. Oniani, "On the Fourier-Haar series convergence with respect to sets which are homothetic to the given set", Proc. A. Ramzadze Math. Inst., 126 (2001), 126-128.

198. K.M. Ostaszewski, "Henstock integration in the plane", Mem. Amer. Math. Soc., 63:353 (1986), 1-106.

199. R.E.A. C. Paley, "A remarkable series of orthogonal functions", Proc. London Math. Soc., 34:4 (1932), 241-279.

200. W. F. Pfeffer, "A descriptive definition of a variational integral and applications", Indiana Univ. Math. J., 40:1 (1991), 259-270.

201. W.F. Pfeffer, "Comparing variations of charges", Indiana Univ. Math. J., 45:3 (1996), 643-654.

202. D. Preiss, B.S. Thomson, "The approximate symmetric integral", Ganad. J. Math., 41:3 (1989), 508555.

203. A. Rajchman, "Sur la multiplication des séries trigonométriques et sur une classe d'ensembles fermés", Math. Annalen, 95 (1926), 388-408.

204. A. Rajchman, "Sur l'unicité du développement trigonométrique", Fund. Math., 3 (1922), 287-301.

205. G.E. Reves, O. Szasz, "Some theorems on double trigonometric series", Duke Math. J., 9:4 (1942), 693-705.

206. C. A. Rogers, Hausdorff Measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

207. C.A. Rogers, S. J. Taylor, "Functions continuous and singular with respect to Hausdorff measure", Mathematika (Lond.), 8:1 (1961), 1-31.

208. S. Saks, "On the strong derivatives of functions of intervals", Fund. Math., 25 (1935), 235-252.

209. R. Salem, "Sets of uniqueness and sets of multiplicity", Trans. Amer. Math. Soc. 54:2 (1943), 218-228.

210. R. Salem, "Sets of uniqueness and sets of multiplicity", Trans. Amer. Math. Soc. 56 (1944), 32-49.

211. R. Salem, A. Zygmund, "Sur un théoreme de Piatetcki-Shapiro", C. R. Acad. Sei. Paris, 240 (1955), 2040-2042.

212. F. Schipp, "Ùber Waksh-Fourierreihen mit nichtnegativen partialsummen", Arm. Univ. Sci. Budapest, Sec. Math., 1969, № 2, 43-48.

213. F. Schipp, W. R. Wade, P. Simon, Walsh Series. An Introduction to Dyadic Harmonie Analysis, Academiai Kiado, Budapest, 1990.

214. V.L. Shapiro, "An extension of results in the uniqueness theory of double trigonometric series", Duke Math. J., 20:3 (1953), 359-365.

215. V.L. Shapiro, "A note on the uniqueness of double trigonometric series", Proc. Amer. Math. Soc., 4:5 (1953), 692-695.

216. V.L. Shapiro, "Fourier series in severail variables", Bull. Amer. Math. Soc., 70:1 (1964), 48-93.

217. V.L. Shapiro, "Sets of uniqueness for the vibrating string problem", Trans. Amer. Math. Soc., 141 (1969), 127-146.

218. V.L. Shapiro, "Sets of uniqueness on the 2-torus", Trans. Amer. Math. Soc., 165 (1972), 127-147.

219. V.L. Shapiro, "The uniqueness of double trigonometric series under circular convergence", Proc. Nat. Acàd. Sci. USA, 42:11 (1956), 885-887.

220. V.L. Shapiro, "Uniqueness of multiple trigonometric series", Ann. Math., 66:3 (1957), 467-480.

221. V.L. Shapiro, "/(e)-sets for Walsh series", Proc. Amer. Math. Soc., 16:5 (1965), 867-870.

222. V. A. Skvortsov, "On the problem of recovering the coefficients of convergent multiple trigonometric series", Atti Sem.Mat. Fis. Univ. Modena, 48 (2000), 105-109.

223. B.S. Thomson, "Derivates of interval functions", Mem. Amer. Math. Soc., 93:452 (1991), 1-88.

224. G.E. Tkebuchava, "On the divergence of spherical sums of double Fourier-Haar series", Anal'.Math., 20:2 (1994), 147-153.

225. Ch. J. Vallée-Poussin, "Sur-l'unicité du développement trigonométrique", Bull. Acad. Roy. de.Belg., 1912, 702-718.

226. W. R. Wade, "A uniqueness theorem for Haar and Walsh series", Trans. Amer. Math. Soc., 141,(1969), 187-194.

227. W.R. Wade, "Growth condition and uniqueness of Walsh series", Michigan Math. J., 24:2 (1977), 153-155.

228. W. R. Wade, "Recent developments in the theory of Haar series", Colloquium Mathematicum, 52:2 (1986), 213-238.

229. W.R: Wade, "Recent developments in the theory of Walsh series", Internat. J. Math., 5:4 (1982), 625-673.

230. W.R. Wade, "Sets of uniqueness for Haar series", Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 30:(3-4) (1977), 265-281.

231. W. R. Wade, "Sets of uniqueness for martingale subsequences of Vilenkin series", Colloq. Math. Soc. J. Bolyai, 2002, 433-441.

232. W.R. Wade, "Summing closed U-set for Walsh series", Proc. Amer. Math. Soc., 2:1 (1971), 123-125.

233. W.R. Wade, "Uniqueness and a-capacity on the group 2"", Trans. Amer. Math. Soc., 208 (1975), 309-315.

234. W.R. Wade, "Uniqueness of almost everywhere convergent Vilenkin series", Canad. Math. Bull., 47 (2004), 475-480. '

235. W. R. Wade, K. Yoneda, "Uniqueness and quasi-measure on the group of integers of p-series field", Proc. Amer. Math. Soc., 84:2 (1982), 202-206.

236. J.L. Walsh, "A closed set of normal orthogonal functions", Amer. J. Math., 45:1 (1923), 5-24.

237. F. Weisz, "Uniqueness of two-parameter martingales and Walsh-Fourier series", Mathematica Pannonica, 9:1 (1998), 131-140.

238. K. Yoneda, "A generalized capacity and a uniqueness theorems on the dyadic group", Proc. Amer. Math. Soc., 102:1 (1988), 52-56.

239. K. Yoneda, "A generalized measure concentrated on a closed set of measure zero", Acta Math. Hungar., 83:4 (1999), 327-338.

240. K. Yoneda, "A sufficient condition for a set to be a Dirichlet set on the dyadic group", Math. Japonica, 29:1 (1984), 45-50.

241. K. Yoneda, "Dirichlet set and some uniqueness theorems for Walsh series", Tohoku Math. J., 38:1 (1986), 1-14.

242. К. Yoneda, "On generalized uniqueness theorems for Walsh series", Acta Math. Hung., 43:(3 4) (1984), 209-217.

243. K. Yoneda, "Perfect sets of uniqueness on the group 2Ш", Cañad. J. Math., 34:3 (1982), 759-764.

244. K. Yoneda, "Positive definite generalized measures on the dyadic field", Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 40:(l-2) (1982), 147-151.

245. K. Yoneda, "Sets of multiplicity on the dyadic group", Acta Math. Hung., 41:(3M) (1983), 195-200.

246. K. Yoneda, "Sets of uniqueness for a certain class TZ£ on the dyadic group", Proc. Amer. Math. Soc., 89:2 (1983), 279-284.

247. K. Yoneda, "Summing generalized closed /-sets for Walsh series", Proc. Amer. Math. Soc., 94:1 (1985), 110-114.

248. K. Yoneda, "Uniqueness theorems for a certain small class of Walsh series", Math. Japónica, 30:3 (1985), 321-326.

249. К. Yoneda, "Uniqueness theorems for Walsh series under a strong condition", Acta Math. Hung., 61:(1-2) (1993), 1-15.

250. W.H. Young, "A note on trigonometric series", Mess, of Math., 38 (1909), 44-48.

251. A. Zygmund, "Cantor-Lebesgue theorem for double trigonometric series", Stud. Math., 43:2 (1972), 173-178.

252. A. Zygmund, "Contribution á l'unicité du développement trigonométrique", Math. Zeit., 24 (1926), 40-46.Работы автора по теме диссертации

253. M. Г. Плотников, "Об интеграле Моэна и его применении к рядам Хаара", Вести. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2000, № 4, 63-66.

254. М.Г. Плотников, "О единственности всюду сходящихся кратных рядов Хаара", Вестн. Моск. Унта. Сер. 1. Матем. Механ., 2001, № 1, 23-28.

255. М. Г. Плотников, "О нарушении единственности для двумерных рядов Хаара", Вестн. Моск. Унта, Сер. 1, Матем., Механ., 2003, № 4, 20-24.

256. М.Г. Плотников, "Об одном шиеграле перроновского типа", Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2004, № 2, 12-15.

257. М. Г. Плотников, "Вопросы единственности для некоторых классов рядов Хаара", Матем. заметки, 75:3 (2004), 392-404.

258. М.Г. Плотников, "Вопросыединственности для кратных рядов Хаара", Матем. сб., 196:2 (2005), 97-116.

259. М.Г. Плотников, "О восстановлении коэффициентов двумерных рядов Хаара", Изв. вузов. Матем., 2005, № 2, 45-53.

260. М.Г. Плотников, "О границе существования единственности для двумерных рядов Хаара", Изв. вузов. Матем., 2006, № 7, 57-64.

261. М.Г. Плотников, "О кратных рядах Уолша, сходящихся по кубам", Изв. РАН. Сер. матем., 71:1 (2007), 61-78.

262. М.Г. Плотников, "О множествах единственности для кратных рядов Уолша", Матем. заметки, 81:2 (2007), 265-279.

263. М.Г. Плотников, "Некоторые свойства многомерных обобщенных инхегралов и теоремы типа дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара", Матпе.ч. сб., 198:7 (2007), 63-90.

264. M. G. Plotnikov, "Recovery of the coefficients of multiple Haar and Walsh series", Real Anal. Exchange, 33:2 (2008), 291-308.

265. M. G. Plotnikov, "Quasi-ineasures and Walsh Series", Facta Universitatis. Ser. Elec. Energ., 21:3 (2008), 267-273.

266. M. Г. Плотников, "Об интегралах обобщенного римановского типа на плоскости и об одном примере двойного ряда Хаара", Матем. заметки, 86:4 (2009), 601-611.

267. М.Г. Плотников, "Квазимеры, хаусдорфовы р-меры и ряды Уолша и Хаара", Изв. РАН. Сер. матем., 74:4 (2010), 157-188.

268. М.Г. Плотников, "Квазимеры на группе Gm, множества Дирихле и проблемы единственности для кратных рядов Уолша", Матем. сб., 201:12 (2010), 131-156.