Обобщенные интегралы и задача восстановления коэффициентов некоторых всюду сходящихся ортогональных рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Г- г .

МОСКОВСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ' ИМ. М.Б.ДОМОНОСОВА

механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.51 '

БАЙГОЖН Ерлан Серикович

ОБОБЩЕННЫЙ ИНГЕГРАЛЫ.И ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ КОсКйИЦИЕНТОВ НЕКОТОРЫХ ВСЮДУ СХОДЯЩИХСЯ

• ' ортогональных радов

ч

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -1992

\

и

Работа выполнена на кафедре теорий функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор В.А.Скворцов,

Официальный ппппнйнтм - ппитпр /Ъипикп-мятдштгайг.киу

наук, профессор Б.И.Голубов. - кандидат физико-математических наук, доцент А-.И.Рубинштейн Ведущая организация - Московский институт стали и

сплавов.

____ Защита диссертации состоится " [Ч " (ргАН'1/)/\Л 1993 г. в 16 час. 05 мин. на заседании Специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете км. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический Лакультет, аудитория 16-24.

С диссертацией похаю ^знакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 отаж).

Автореферат разослан " С^ММХЦцР 1193 г.

Ученый секретарь -Специализированного совета Д.053.05.04;при МГУ,

профессор _ • Т.П.Лукашенко-

иЩАЛ ХЛРАКТШчСГ 1 i 1СЛ РАБОТЫ Актуальность темы. Диссертация посвящена теории единственности представления функций ортогональными рядами по системам Хаара и Уолша и примыкающим к отой теории вопросам обобщенного интегрирования.

Истоком с/топ проблематики явлйется классическая теория единственности тригонометрических рядов, развитая d работах Г.Кантора, А.Лебега, Ш.Валле-Пуссена, А.Дащуа, Д.Е.Меньшова, Н.К.Бари и др-1-.

Ряды по системам Хаара и Уолша начали интенсивно изучаться в последние'три десятилетия, ¡нтереслс 'утим системам вызван, главным образом, двумя обстоятельствами. С одной стороны, он связан с возросшим использование!/ этих систем в прикладных вопросах, прежде всего - в теории кодирования,.в цифровой обработке сигналов, в распознавании, образов^. С другой стороны,- ати системы, пре^це всего - система Хаара, оказались

полезными в решении многих ва:шнх вопросов общей теории орто-q

гоналыгах рядов0.

1. БАРИ U.K. Тригонометрические ряды. ¡.1.: Физматгиз, 1961;

■ 3/|ШУ1Щ А.'Тригонометрические ряды. Ы.: Мир, 1965, т.1,2..

2. ХАРМУТ X. Теория секвентного анализа. М.: Мир.. 1980.

3."УЛЬЯНОВ П.Л. Расходящиеся ряды ¿урье// MI, IS6I, т.16, 053,. с.61-142; Расходящиеся ряды.'по системе Хаара й по базисам// ДАН СССР,' 1961, т Л30,■ К'-З, с.556-559; 0 множителях Вейля для безусловной'сходимости// Мат.сб., 1968,т.60, №1, с.39-62; ОЛЕВСНИЙ A.M.'Расходящиеся ряды из по полным системам// ДА1ГСССР, т.133, 1961,'КЗ, с.545-548;Scatter ¿МйЯо wiUv teifaect to <jiUnJinai. (ydito^onat Atb-

tтл H feenSln,, -¿fnin^yi 'Ijmao, -1915.

'Гаки/, образом, как усиливающееся применение систем Хаара и Уолша в различных, прикладных вопросах, так и их роль в общей теории ортогональных рядов делает актуальным детальное теоретическое исследование вопросов разложения функций по ьтим систекш.

Первые результаты по теории единственности разложения по системе Хаара были получены в 1964 г. ¡>.Г.Арутюняном и A.A. Талаляном, М.Б.Петровской и В.А.Скворцовым^. Вопрос о ьосста-новлении коэффициентов всюду сходящегося рада Хаара по его сумме с помощью формул Фурье полностью был решен в I'68. году В.А.Скворцовым^. Им был построен интеграл, названии! HD-интегралом, для которого любой всюду сходящийся ряд Хаара является рядом [>урье своей, суммы. В том же году В.А.Скворцовым^ построен двоичный перроновский интеграл по производным относительно бинарных сетей, который тагсхе решает указанную выше задачу восстановления коэффициентов. Позднее им же било показано, что LTот интеграл может противоречить широкому интег-

4. .АРУТЮНЯН 'Ф.Г., TAJIAJIÍilI A.A. 0 единственности рядов по системам Хаара и Уолша// Известия АН СССР, серия мат., 1964, т.28, №,' C.I39I-I403; ПЕГРОВСКАЯ М.Б. Некоторые теоремы . единственности по системе Хаара// Вестник МГУ, мат., мех., 1У64, !i-5, с.15-28; СКВОРЦОВ В.А. Теоремы типа Кантора для системы Хаара// там же, с.3-6.

5. С1С30РЦ0В В.А. Вычисление коэффициентов леюду сходящегося ряда Хаара// Мат.сб., I&68, т.75, с.349-360. .

6. СКВОРЦОВ В.А. О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательности частичных сумм//ДАН СССР, 1968, т.ЮЗ, с.784-7-6.

7. SKVORTSOV V.A. ¿orne. prtoj»eatU4 ofr jzrdmltUíiu II

dvdvnx, TlottA ^Watk., W9 0988), p

ралу и НБ-интегралу, причем неопределенный двоичный

перроновский интеграл может не обладать N -свойством Лузина. • ■ Цель работы. Построить такое сужение двоичного перронов-ского интеграла, который, решая ту не задачу о вычислении коэффициентов, одновременно являлся бы сужением и НВ-интеграла, тем самым не противореча ему, и обладал бы рядом хороших свойств, которыми не обладает двоичный перроновский интеграл, но обладает классический интеграл Перрона.

Методы исследования.

1) Применение обобщенного дииференшгрования к теории ортогональных рядов по центрированным системам. Впервые'Связь ыезду такого рода дифференцированием и центрированными системами использовалась В.А.Скворцовым®.'

2) Испольсзвание мартпнгальных свойств частичных сумм рассматриваемых ортогональных рядов.

3) Применение различних подходов (дескриптивного, конструктивного и да.) к определению обобщенных интегралов.

4) Общие методы метрической теории функций и теории интеграла. ' •

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1) Построен новый интеграл перроновского типа, позволяющий вычислять коэффициенты-всюду сходящихся рядов по системе Хаара или.Уолша как.коэффициенты ¿урьв их суш и обладающий

N-свойством Лузина. . '

2) Док;гзано, что для введенного интеграла справедлив аналог теоремы Марцинкевича о достаточном условии интегрируе-

8. СКВОРЦОВ В.А. Дифференцирование относительно сетей и ряды Хаара// Мат.заметки, 1968, т.4, №1, с.33-40.

мости по Перрону.

3) Найдены дескриптивное, конструктивное и др. определения построенного интеграла.

4) доказано, что введенный интеграл является минимальным на некотором классе интегралов.

5) Решена задача восстановления членов всюду сходящегося ортогонального ряда относительно некоторой центрированной системы, являющейся обобщением таких известных систем как системы Хаара и Уолша, мультипликативные и Н-систеш, по его сумме.

Приложения. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут представлять научный интерес с точки зрения применения обобщенных интегралов к теории ортогональных рядов. ;

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория ортогональных и тригонометрических рядов" под руководством член-корреспондента РАН ПЛ.Ульянова, профессора М.К.Потапова, доцента М.И.Дьяченко; "Теория функций действительного переменного" под руководством профессора В.А.Скворцова, профессора Т.П.Лукашенко, доцента Л.А.Балашова, на конференции молодых ученых МГУ (1992 г.),

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в трех работах автора, список которых помещен в конце автореферата.

Структура работ! 1. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объем диссертации 126 страниц.

СОда'ЖАШЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность теш, проводится обзор

ранее полученных результатов по теме диссертации, дается их краткий анализ и формулируются основные результаты.

В первой главе диссертации построен интеграл перроновс-кого типа, позволяющий вычислять коэффициенты всюду сходящихся радов по системе Хаара или Уолша как коэффициенты Зурье их сумм. Исследуются различные эквивалентные определения (дескриптивное, конструктивное и др.) построенного интеграла и некоторые его свойства. Интеграл и ряд Хаара рассматриваются на

Г 1*

"модифицированном отрезке" 10,-1] .

"Модифицированным отрезком" [0,13* принято называть группу, элементами которой являются последовательности коэффициентов всевозможных двоичных разложений 00 -К

, зс.=о "-мл.*-, ' (I)

чисел отрезка [0,0 , в которой групповая операция, обозначаемая символом © , определена как покоординатное сложение по модулю 2.

Обозначим через Л отображение, ставящее в соответствие каждому ряду вида (I) число из СО,О, двоичным-разложением которого он является. Оно однозначно, но не взаимно однозначно, поскольку каждое внутреннее двоично-рациональное число из[ОИ] может быть записано двумя способами рядом вида (I): один ряд будет бесконечным, другой - конечным. Роль расстояния в

[ОД?

может играть величина ХО*©^).

Шея вышеуказанное соответствие между обычным отрезком ■ ~ ЮИЗ и модифицированным отрезком

юиг , последний можно представлять в виде обычного отрезка 10.13, в котором каждая-внутренняя двоично-рациональная точка ОС "раздвоена", образуя левую точку ОС-0 , соответствующую бесконечному разложению числа ОС, и правую точку ^с+О , соответствующую конечному раз-

о -

ложегшю.- При этом эти точки не только "раздваиваются", но к тому же в результате развоения оказываются довольно далекими друг от друга в смысле расстояния р . Впредь такую пару раздвоенных точек мы будем называть Л-эквивалентными, так как они являются прообразами одной и той же точки из [0,0 при отображении А . ■

к-

При такой геометрической интерпретации СО,'13 его можнр считать упорядоченным и ввести в нем понятия отрезка и

интервала . Эти понятия нам необходимы в том смысле, что как и в случае обычного отрезка, можно показать, что любое открытое в смысле метрики р множество, лежащее строго внутри. [0,4^, есть не более чем счетное объединение непересекающихся интервалов и, соответственно, любое замкнутое множество, содержащее концы [0,13*, есть дополнение к сч етному. объединению непересекающихся интервалов. Причем достаточно рассмотреть интервалы, концы которых не являются Л -эквивалентными.

. В определении интеграла используются следующие понятия непрерывности и производной. Пусть ¿V- замыкание прообраза

А<л) /К-Н К \ Л».

обычного двоичного интервала при отобра-

* . лении Л . Тогда к каждой точке ХбЦО/З стягивается единственная последовательность вложенных отрезков Обозначим через Й и К* множества всех ^¿[ОИЗ , являющихся,

?СП)

соответственно, левым и правым концом некоторого

Функцию В.»), определенную на [ОИЗ* , назовем ^непрерывной в точке

если

-{¿ли

Л-*0О п-чоо

И К-диАхЬеренцируемой в точке хо£С0ИЗ , если существуют и равны пределы •

причем в точках множества R+ будем требовать существование только первого предела в (2), а в точках R - второго. R -производную R.x) в точке обозначим через "DrR°0.

Пределы по подпоследовательностям натуральных чисел в выражениях (2) назовем R-производными числами Fo*) в точке э^. Тем самым, в частности будут определены нижнее - BrFQXq) и верхнее - P^Ffo-o*) R-производные числа FW в точке х0.

R-непрерывную на СОИЗ функцию

UCx) (V(x))

назовем

^-Шажорантой ((^-минорантой) для функции fo*-) , заданной на [O.-l]* I если:

(I) U(0)=V(0) = 0,

(2)ÜRliW>-°° (,I>RVcx)<+oo} 9ла бссос эсеСоиЗ*

(3) D-Uw^lCoc) ßtecc aceto/Q*

Функция f называется f^-интегрируемой на Со,-*! , если

=SupV[-l) f Где грани берутся по множеству всех {^-мажорант и PR-минорант на [О* "Л* . Их общее значение возьмем в качестве определенного ^-интеграла от f(x) по [0,1] и обоз-■ начим

Корректность зтого определения показывает

(1.9)ЛЕММА. Пусть функция F(pc) , заданная на

ШТ ,

удовлетворяет условию ßRF(Ä)>0 при любых осбСОИЗ . Тогда Ftx)

не убывает на Соиз?

Далее, в §1 отой главы доказываются основные свойства ^-интеграла. В частности, доказаны, что- f^-интеграл не зависит от значений, интегрируемой функции на множестве меры нуль и неопределенный (^-интеграл R-непрерывен и почти всюду . R-дифференцируем на [Ои1.

В отом же параграфе приводятся определение системы Хаара на 10ИЗ* , доказательства свойств рядов Хаара, касающиеся непрерывности и Я-дифференцируемости, и показана применимость (^-интеграла для восстановления коэффициентов всюду сходящегося ряда Хаара по его сумме, А именно, доказана следующая теорема. ^

(1.21)ТЕ0РЕМА. Пусть ряд по системе Хаара 1(и-/гЧ(.:с) на

* тпО

t0.l1 почти всюду сходится к конечной функции и всюду имеет частичные суммы, ограниченные постоянной (вообще говоря, зависящей от точки). Тогда ^С») {^-интегрируема на 1.0,-0 и

' В частности, утверждение справедливо для всюду сходящегося ряда по системе Хаара.

Справедливость теоремы 1.21 и для рядов Уолша следует из того, что используемые при ее доказательстве свойства рядов

о

Хаара верны и для рядов по системе Уолша .

В §1.2 доказан следующий аналог теоремы Марцинкевича об интегрируемости по Перрону:

г *

(2.3)ТЕ0РЕМА. Измеримая функция, обладающая на [0.1] хотя бы одной ^-мажорантой и хотя бы одной ^-минорантой, (^-интегрируема на [0,1].

§1.3 посвящен дескриптивному определению ^-интеграла, т.е. описанию класса [¿-примитивных. А именно, вводятся следующие новые классы функций, определенных на [0,1]* ^ Пусть конечная функция Р(рс) определена на [0,1] и

Ее

Назовем ("<рО функцией класса ВДЕ), если для любого £.>0 су-

9. ГОЛУБОВ Б.И.,ЕФИМОВ A.B., СКВОРЦОВ В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987, с.78.

ществует число о>0 такое, что для любой конечной системы неперекрывающихся отрезков {[<^„,^„1 с 'концами из Е из неравенства следуют

¿г, 1

Будем говорить, что

, если она- й-непре-

* к

рывна на [0И1 и представим в виде счетного объединения

множеств , на каждом из которых Р(?с) есть функция класса ЙС^.

Далее, лемма 3.4, дающая некоторый признак монотонности на классе ЛСв 10,11 , позволяет дескриптивно определить некоторый интеграл, названный 13^-интегралом. И наконец, доказана (см. теоремы 3.6 и ЗЛО)' эквивалентность Т)к- и ^-интегралов. Из последнего утверждения, в частности, следует, что неопределенный (^-интеграл обладает N-свойством Лузина.

Заметим, что в лемме 1.9, дающей корректность определения ^-интеграла, от функции не требуется ^непрерывность. Следовательно, мы можем определить перроновский интеграл, используя только понятие К-производных чисел. Полученный при этом интеграл оказывается эквивалентным {^-интегралу (см.. стр. 77). Отметим, что такая же ситуация наблюдается и в случае классического интеграла Перрона.

В §1.4 показано, что по аналогии со случаем конструктивного определения интегралов Данжуа^®, молено получить и конструктивное определение Р-интеграла на [0,1].

# И

Функцию , заданную на с [О, А] . назовем ^-интегрируемой на , если на [Д-П* ^-интегрируема функция ^ /ос), равная на ^ и нулю вне , причем

(Ра) с=Ых - СРр) ЦКрз»С;Ыгс..

10. САКС С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949, с.370.

ПустьТ - некоторый R-непрерывный интеграл на Со,-П* , включающий интеграл Лебега. Будем говорить, что он обладает свойствами Коши (С) и Гарнака (Н), если удовлетворяет следующим свойствам:

(С) Путь функция ^(х) Т-иИтегрируема на каждом отрезке,

It V*

содержащемся на некотором интервале с [0/Q и существует

конечный шэедел. . ММ

WT С*).

ч—• г щ

Тогда Т-интегрируема на всем , причем

T^Cf).

C,'j-»oo )

(H) Пусть Q - замкнутое подмножество tOHl и 1=

Пусть функция ft*) суммируема на Q и Т-интегрируема на каждом 1К (кНД,—), где J - последовательность замыканий смежных интервалов Q на! . А также выполнены неравенства то $

i-^xfl *« 7 1 ' км J Г«'

Тогда Т-интегрируема на всем I » причем

Tlf Л)« W J iwdn i- I-TCi ЛкУ

Ql

Теоремы-2.1 и 2.2 утверждают, что -интеграл обладает свойствами Коши и Гарнака.

В §1.5 доказано, что f^-интеграл - наименьший из всех R-непрерывных интегралов на lO/G*, включающих интеграл Лебега и'обладающих свойствами Коши и Гарнака.

В §1.6 рассматриваются еще два эквивалентных определения, (¿-интеграла. В первом он определяется как предел обобщенных римановских сумм По некоторому базису фильтра. Это определение дается по схеме Хенстока^, примененной к обычному интег-

il. HENSTOCK R. ЗЗшпу ofr Lntepfcoh.. г&ыЬи.,-1963.

- 10 -

ралу Перрона. Второе определение - дескриптивного типа. Этот подход к определению обобщенных интегралов впервые применил ' Р.Гордон12.

В главе П рассматривается такая последовательность разбиений произвольного вероятностного пространства, когда П.-ое разбиение всегда мельче h.-i -го.'.Такая последовательность естественным образом поровдает последовательность попарно ортогональных пространств кусочно постоянных функций. Цель главы-- построение некоторого интеграла перроновского типа, позволяющего восстановить члены соответствующих ортогональных рядов, всюду сходящихся к конечной функции, исходя из его суммы. Краткое содержание главы: пусть (X.j.f-O - произвольное

' I _ | оо

вероятностное пространство, а 1Рп]п,0- строго возрастающая последовательность натуральных чисел с . Рассмотрим последовательность .6"-алгебр таких, что (I) Т0оТлс .. .сТ,

для каждого ия 6Г_алгебра порождена до> .С«)л лс«> - , . '

ровно R,, атомами Ар такими, что AtllAj=p при L* J

Х=бХ "мои,-о.

|м J

Введем следугацую модификацию понятия, точки пространства (X,y,ju). Назовем последовательность точкой простран-

ства (Х,?,м.) или просто X , если $„. - атом и .

Через Aj ( ^О,f обозначим множество точек

таких» что и в дальнейшем их также бу-

дем называть атомами 7«.. В качестве 1и.(Д1,') возьмем меру со-

лсм J

ответствующего атома ¡Лу

Цусть всюду конечная функция fty определена на X . Бу-

12. GORDON R. il cltojbûycAeni/ialtovu

•uâuuA. îknm

дем говорить, что интегрируема по Хенстоку относительно Ш". или просто ^'^-интегрируема на X , если найдется число I такое, что для любого существует натуральнозначная

V*

функция И(^) , определенная на А , что для каадого набора"Дм такого,

при и X»6 8™. . Число I назовем определенным

" 100 Н^-интегралом от по X* относительно и«]»,=о и обозначим

Корректность этого определения следует из леммы.2.1. В §2.3 осуществлено построение на X интеграла перронов-ского типа, использующего следующее понятие производной: пусть

Л

- аддитивная функция множества, определенная хотя бы на

* См Р

всех атомах А^ . Будем говорить, что К А) дифференцируема в точке относительно , если существует

Интеграл назван ^ -интегралом. Эквивалентность этого интеграла с Н^ -интегралом показывает теорема 3.3.

В §2.4 вводятся следующие функциональные пространства:

пусть

и для кавдого п=0,-1,...

Нетрудно убедиться, что пространства X»., , взаимно ортогональны.

Ортогональной проекцией функции на назовем

функцию ^КТп. такую, что дня любой ^(.^бТ*, выполнено

и обозначим ее 0.р.(^,ТпУ. Существование и единственность O.p.Cfсле,цует из леммы 4.1.

Р^У ^ -радом (т.е. радом :урье в смысле P^j-^-интеграла) функции {(ty назовем рад ZL O.P. Of Л*.)-

Основными результатами главы являются следующие теоремы, (4.4)ТЮРНЖ. Пусть дан ряд , где

f л ■

Тогда последовательность Wn(.V>)n_0 частичных сумм ьтого ряда сходится в точке тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируема относительно l^V ..аддитивная функция множества г(£0 , полученная почленным интегрированием TJrJX) по атому Л , причем „ _

Л->0° оо

(4.6)ТЕСРША. Пусть для частичных сумм ряда , где

^ USO

i ,Yi=OH,..., г Для каждого выполнено неравенство

---K-toa

где |Xï,) - некоторая всюду конечная r^-интегрируемая функция. Тогда данный ряд является I^^F-рядом на X , т.е.

fw^bO.p.CfJO, vi.ои,... .

Из двух последних теорем следует, что любой всюду сходнОЕ

щийся к конечной функции ряд с f^jÉ^^CU,... ) будет

f?T .Р -рядом своей суммы.

IV1 оо

Аналогия рассматриваемого ортогонального ряда с

известными ортогональными радами показана на стр.118. 1

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему.научному руководителю профессору В.А.Скворцову за'поста-новку задачи и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации.

1. Об одном обобщен;«! интеграла Перрона. - В сб.: Современные вопросы теории функций и функционального анализа. -Караганда, 1992, с.19-30.

2. Восстановление ч ленов всюду сходящегося ортогонального ряда кусочно постоянных функций по его сумме. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 01.07.92. К? 2133 - Ю2. 20 с.

3. Обобщенные интегралы и вычисление коэффициентов всюду сходящегося ряда Хаара. - Рукопись деп. в ВЖТИ 23.12.92, 8! 3628 - В92, 57 с. .