Обобщенные интегралы типа Чезаро-Перрона и некоторые их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.518

С—у

Дергачев Артем Владимирович

ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ЧЕЗАРО^ПЕРРОНА И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 01.01.01 — «вещественный, комплексный и функциональный анализ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

4 Д1К 2014

Москва - 2014 005556267

005556267

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Скворцов Валентин Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Холщевникова Наталья Николаевна, профессор кафедры прикладной математики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет «Станкин» (ФГБОУ ВПО «МГТУ «Станкин»)

кандидат физико-математических наук, доцент Нараленков Кирилл Михайлович, доцент кафедры математических методов и информационных технологий Московского государственного института международных отношений (университета) (МГИМО(У))

Московский физико-технический институт (Государственный университет)

Защита состоится 26 декабря 2014 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова (Ломоносовский пр-т, 27, сектор А, 8 этаж) и на сайте механико-математического факультета http://mech.math.msu.su

Автореферат разослан ^ноября 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, д.ф.-м.н.

Сорокин В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена исследованию свойств одного из обобщений интеграла Перрона, а именно "шкалы интегрирования" Чезаро-Перрона, построенной Беркилем — последовательности определений обобщенных понятий предела, непрерывности, производной и интеграла, занумерованной целым неотрицательным параметром — "порядком усреднения". Каждое следующее определение в этой шкале является более общим, чем предыдущее, то есть охватывет все более широкие классы функций.

Действительная функция / называется интегрируемой по Перрону на отрезке [а, Ь], если существуют сколь угодно равномерно близкие друг к другу функции Ф и ф такие, что нижняя производная функции Ф больше /, а верхняя производная функции ф меньше /; при этом общая нижняя грань приращений таких "мажорантных функций" Ф и верхняя грань приращений "минорантных функций" ф называется определенным интегралом Перрона функции / на [о, Ь].

Это определение легко поддается модификации за счет подмены используемого в нем понятия производной.

Первоначальное определение интеграла Чезаро-Перрона, или СР-интеграла, соответствующее первому порядку усреднения, было введено Беркилем1 посредством использования в определении интеграла Перрона "производной Чезаро"

1 rx+h

-/ F(t) dt — F(x)

CDF(x) = Um ^--(1)

w л-ю h w

2

вместо обыкновенной производной, где интеграл понимается как классический интеграл Перрона. Лишь затем2 был введен СкР-интеграл Беркиля любого целого порядка к > 1 индукцей по к при помощи чезаровской производной соответствующего порядка, определяемой формулой

к rx+h

-гт ! (x + h- tf^Fit) dt - F(x)

CkDF{x) = lim ^---, (2)

h-»o h

k +1

1 J.C. Burkiii. The Cesàro-Perron Integral // Proc. London Math. Soc. 1932. T. 34, № 4. C. 314-322.

2 J.C. Burkiii. The Cesàro-Perron scale of integration // Proc. London Math. Soc. 1935. T. 39, № 7.

C. 541-552.

где интеграл понимается как Cfc-iP-интеграл; при этом CiP-интеграл совпадает с CP-интегралом, введенным ранее, а правая часть формулы (2) при к — 1 превращается в правую часть формулы (1).

Можно дать эквивалентное определение CjtP-интеграла при помощи производных Пеано. Получающийся при этом процесс интегрирования, называемый несимметричным ^-интегралом, сразу восстанавливает функцию по ее пеановской производной порядка п. В таком виде 73"-интеграл был впервые введен Джеймсом3,5®. Впоследствии4 было продемонстрировано построение теории ^-интеграла напрямую, без отсылок к свойствам CfcP-интеграла Беркиля.

CfcP-интеграл Беркиля относится к классу определений интеграла, введенных с целью решения задачи восстановления коэффициентов всюду сходящихся или суммируемых различными методами тригонометрических рядов по их сумме. Классическим результатом в этом вопросе является теорема дю Буа-Реймона-Лебега-Валле-Пуссена°.

Теорема 1 (Валле-Пуссен, 1912г.). Пусть ряд

00

^ + ап cos пх + bn sin пх (3)

2 П=1

сходится при всех х € [—7г, 7г] (кроме, быть может, не более чем счетного множества исключительных точек) к некоторой функции f(x), а сама функция f интегрируема по Лебегу на [—тг, х], то ряд (3) является рядом Фурье функции f, то есть имеют место формулы

1 Г 1 Г

On = — I f(x) cos nxdx, bn = — I f(x) sin nxdx, (4)

7Г ж

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Однако только лишь из сходимости ряда (3) еще не следует интегрируемость функции / в смысле Лебега, что видно на классическом примере ряда

00

Esmnx

сходящегося всюду, но расходящегося после почленного интегрирования, что невозможно для рядов Фурье суммируемых по Лебегу функций.

3 R.D. James. Generalized nth primitives // Trans. Amer. Math. Soc. 1954. T. 76, № 1. С. 149-176.

4 P.S. Bullen. The Я"-integral // Bull. Austral. Math. Soc. 1972. T. 14. C. 219-236.

6 Ch.J. Vallée-Poussin. Sur l'unicité du développement trigonométrique // Bull. Acad. Roy. de Belg. 1912 С. 702-718.

Первым исчерпывающим решением проблемы восстановления был результат Данжуа, который показал6, что сумма всякого всюду сходящегося ряда вида (3) интегрируема в смысле определенного им процесса интегрирования (Г2,)0, и для такой функции имеют место формулы (4), где интеграл понимается в смысле (Т2я)о- В дальнейшем аналогичное утверждение было доказано для симметричного Р2-интеграла Джеймса7,8, симметричного интеграла Чезаро-Перрона Беркиля ("ЗСР-интеграла")9, симметричного аппроксимативного интеграла Хенстока ("АЗЯ-интеграла")10, те°Рема 964.

Подобные теоремы доказывались и для рядов, суммируемых различными обобщенными методами. Так, имеет место7 следующая теорема.

Теорема 2 (Джеймс, 1955г.). Если к > О, ряд (3) суммируем методом Чезаро (С, к) к некоторой функции }(х) для всех х е [—тг, 7г], а члены ряда

сопряженного к (3), стремятся к нулю в смысле (С, к) всюду на [-7Г, 7г], то функция f{x) интегрируема в смысле симметричного Рк+2-интеграла вместе с функциями f(x)cosnx и f(x)&ianx, и коэффициенты а„, Ьп выражаются через функцию f по формулам Фурье в смысле этого интеграла.

При этом в формулы (4) вносится поправка, учитывающая, что Рк+2-интеграл восстанавливает сразу (к + 2)-ю первообразную. Дополнительное условие на ряд (6) не может быть отброшено без нарушения единственности восстановления коэффициентов: так, например, ряд J^nsinna; всюду суммируем методом (С, 2) к нулю. В то же время оно является достаточно слабым — например, в случае сходящихся рядов (к — 0) оно выполняется автоматически.

С*Р-интеграл Беркиля не является достаточно общим для решения задачи восстановления коэффициентов сходящихся или суммируемых рядов в самом общем случае; тем не менее, он справляется с этой задачей при весьма слабых дополнительных условиях. Возможности СкР-интеграла раскрывает следующая теорема11.

6 A. Denjoy. Leçons sur le calcul des coefficients d'une série trigonométrique. Paris, 1941-1949.

7 R.D. James. Integrals and summable trigonometric series // Bull. Amer. Math. Soc. 1955. T. 76, № 1. С. 1-15.

8 R.D. James. Summable trigonometric series // Pacif. J. Math. 1956. T. 6, Ml 1. C. 99-UO.

9 J.C. Burkffl. Integrals and trigonometrical series // Proc. London Math. Soc. 1951. T. 1. С. 46-57.

10 B.S. Thomson. Symmetric properties of real function // Monographs and Textbooks In Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker. 1994. T. 183.

11 Q. Cross. The expression of trigonometrical series In Fourier form // Canad. J. Math. 1960. T. 12. C. 694-698.

oo

(6)

71—1

Теорема 3 (Кросс, 1960г.). Если к > 0 и как сам ряд (3), так и сопряженный ряд (6), ограничены в смысле Чезаро (С, к), то функция f(x), определяемая как (к + 2)-я производная в смысле Пеано от (к + 2) раз почленно проинтегрированного ряда (3), существует почти всюду и интегрируема в смысле Ск+гР-интеграла, и коэффициенты ап, Ь„ выражаются через функцию f по формулам Фурье в смысле этого интеграла.

В частности, если ряды (3) и (6) всюду суммируемы по Чезаро к некоторой функции д(х), то f(x) = д(х) почти всюду, и имеют место формулы (4), где интеграл понимается как С^+хР-интеграл.

В то же время из известных12,13 теорем о связи симметричного варианта CjtP-интеграла — SCkP-интеграла с С*Р-интегралом и Р*+1-интегралом Джеймса в частности следует, что если в условиях теоремы 2 функция / является Ci+iP-интегрируемой, то формулы Фурье (4) заведомо имеют место.

Как отмечает Беркиль9, более сильное условие на сопряженный ряд в теореме 3 является необходимым, поскольку в терминах интеграла оно в известном смысле соответствует существованию всюду и чезаровской непрерывности неопределенного интеграла, что по-прежнему неверно, например, для ряда (5).

Теоремы 2 и 3 позволяют также получать обобщения теоремы 1 на всевозможные обобщения интеграла Лебега, которые включаются или, во всяком случае, не противоречат симметричному Р*-интегралу или С*Р-интегралу соответственно. Так, если ряд Фурье сходится всюду к интегрируемой по Перрону функции, то его коэффициенты есть коэффициенты Фурье в смысле интеграла Перрона. Однако Скляренко показал14, что для широкого интеграла Данжуа подобная теорема неверна: существует тригонометрический ряд, всюду сходящийся к интегрируемой широким интегралом Данжуа функции, у которого коэффициент ао не совпадает с числом, даваемым формулой Фурье, если интеграл в ней понимать как широкий интеграл Данжуа. В то же время нз теоремы 3 следует, что такое невозможно в случае, когда ряд сходится вместе с сопряженным, поскольку CP-интеграл не противоречит широкому интегралу Данжуа15.

Отметим также, что в отличие от естественного доказательства теоремы 3 при помощи интегрирования по частям, теорема 2 доказывается при помощи формального перемножения тригонометрических рядов. Для SCP-интеграла первая теорема об интегрировании по частям была впо-

12 P.S. Bullen, С.М. Lee. The SC„P-integral and the -integral // Canad. J. Math. 1973. T. 25. C. 1274-1284.

13 G. Cross. The SCu-i-P-integral and trigonometric series // Proc. Amer. Math. Soc. 1978. T. 69, № 2. 9 J.C. Burkill. Integrals and trigonometrical series // Proc. London Math. Soc. 1951. Т. 1. C. 46-57.

14 B.A. Скляренко. Об интегрируемых по Данжуа суммах всюду сходящихся тригонометрических рядов // Докл. АН СССР. 1973. Т. 210, № 3. С. 533-536.

15 B.A. Скворцов. Некоторые свойства CP-интеграла // Матем. сб. 1963. Т. 60, № 3. С. 304-324.

следствии получена Скляренко16 (SCP-интеграл эквивалентен симметричному Р2-интегралу с точностью до некоторых деталей определения17).

Помимо элегантной формулировки теоремы об интегрировании по частям, установленной еще в оригинальной работе Беркиля2, одним из замечательных результатов теории С*Р-интеграла является дескриптивное определение С^Р-интеграла18. А именно, вводится класс Cjt-ACG*-функцией и доказывается, что неопределенные CjtP-интегралы и только они являются Cfc-ACGt-функциями. В частности, это означает возможность введения интеграла Чезаро-Данжуа — "С^Х^-интеграла", эквивалентного CfcP-интегралу Беркиля. Из этого также следует, что неопределенный СкР принадлежит классу VBG и обладает jV-свойством Лузина. В этой работе18 были в дальнейшем обнаружены неточности, не повлиявшие, тем не менее, на истинность результатов. Одна из них была исправлена19. В настоящей диссертации указана и исправлена еще одна неточность. Впоследствии также было дано определение С*£>«-интеграла при помощи производных Пеано20.

В то же время многие результаты, известные для С-производных и CP-интеграла, до сих пор не удавалось перенести на С^Р-интеграл при к > 1. Так, известно, что С-производная не противоречит аппроксимативной производной21, откуда в сочетании с дескриптивным описанием СР-интеграла легко вывести, что CP-интеграл не противоречит широкому интегралу Данжуа15, в отличие от SCP-интеграла Беркиля, симметричного Рк-интеграла Джеймса и (Т^)о-интеграла Данжуа22.

Другим важным результатом, также полученным лишь при к = 1, является доказательство теоремы типа Марцинкевича для CP-интеграла15, позволяющей устанавливать интегрируемость функции, не вычисляя значение интеграла. Следующая классическая теорема была опубликована и припи-

16 В.А. Скляренко. Об интегрировании по частям в SCP-интеграле Беркилля // Матем. сб. 1980. Т. 112(154). С. 630-646.

17 В.А. Скляренко. Некоторые свойства Ра-примитивной // Матем. заметки. 1972. Т. 12. С. 693-700.

2 J.C. Burkiii. The Cesàro-Perron scale of Integration // Proc. London Math. Soc. 1935. T. 39, Xi 7. C. 541-552.

18 W.L.C. Sargent. A descriptive definition of Cesàro-Perron integrals // Proc. London Math. Soc. 1941. T. 47. C. 212-247.

19 S. Verblunsky. On a descriptive definition of Cesàro-Perron integrals // J. London Math. Soc. 1971. T. 3. C. 326-333.

20 W.L.C. Sargent. On generalized derivatives and Cesäro-Denjoy integrals // Proc. London Math. Soc. 1951. T. 52. C. 365-376.

21 W.L.C. Sargent. On the Cesàro derivates of a function // Proc. London Math. Soc. 1935. T. 40, Ni> 3.4. C. 235-254.

ls B.A. Скворцов. Некоторые свойства CP-интеграла // Матем. сб. 1963. Т. 60, № 3. С. 304-324.

22 В.А. Скворцов. Взаимоотношение между общим интегралом Данжуа и тотализацией (7й*)о // Матем. сб. 1960. Т. 52(94). С. 551-578.

сана Марцинкевичу в монографии Сакса "Теория интеграла"23, глЛГП1,53 и была передоказана независимо Толстовым24.

Теорема 4 (Марцинкевич). Для интегрируемости по Перрону некоторой измеримой функции необходимо и достаточно, чтобы у этой функции существовала хотя бы одна непрерывная перроновская мажоранта и хотя бы одна непрерывная перроновская миноранта.

При этом, как видно на примере функций

являющихся на [—1,1] перроновскими мажорантой и минорантой соответственно для их общей левой производной, условие непрерывности отбросить нельзя, хотя можно существенно ослабить25. Теорема Марцинкевича может быть применена для установления весьма общей теоремы о существовании решения дифференциальных уравнений26.

В дальнейшем было замечено, что некоторые обобщения интеграла Перрона обладают "свойством Марцинкевича", то есть утверждение, аналогичное теореме 4, имеет место для них в той или иной форме, а некоторые другие — не обладают. В частности, CP-интеграл обладает свойством Марцинкевича15:

Теорема 5 (Скворцов). Для CP-интегрируемости некоторой измеримой функции необходимо и достаточно, чтобы у этой функции существовала хотя бы одна CP-мажоранта и хотя бы одна СР-миноранта.

В этой теореме в понятие CP-мажоранты уже заложено требование С-непрерывности, более слабое, чем требование непрерывности. Но для симметричных интегралов типа Перрона даже непрерывности в обычном смысле оказывается недостаточно:

- Существует измеримая на отрезке функция, не интегрируемая ни симметричным, ни аппроксимативным симметричным интегралом Перрона, но имеющая непрерывную мажоранту и миноранту в обоих смыслах27.

23 С. Сакс. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

24 Г.П. Толстоз. Об интеграле Perron's // Матем. сб. 1939. Т. 5, Ns 47. С. 647-660.

25 D.N. Sarkhel. A criterion for Perron lntegrability 11 Proc. Amer. Math. Soc. 1978. T. 70. C. 109-112.

26 P.S. Bullen. R. Vyborny. Some applications of a theorem of Marcinkiewicz // Canad. Math. Bull. 1991. T. 34, № 2. C. 165-174.

1S B.A. Скворцов. Некоторые свойства CP-интеграла // Матем. сб. 1963. T. 60, № 3. С. 304-324.

27 V.A. Skvortsov, В .S. Thomson. Symmetric integrals do not have the Marcinkiewicz property // Real Analysis Exchange. 1995-1996. T. 21(2). C. 510-520.

X ^ 0, X > 0,

- Существует измеримая на отрезке функция, не являющаяся БСР-интегрируемой, но имеющая непрерывную 5СР-мажоранту и БСР-миноранту28.

Не обладает свойством Марцинкевича и двоичный интеграл Перрона29, применяемый для восстановления коэффициентов всюду сходящихся рядов Уолша по их сумме.

Цель работы

Целью настоящей работы является развитие теории (^-производных и СкР-интеграла Беркиля при к ^ 2, в частности, получение дескриптивных характеристик перроновских мажорант и минорант для этих интегралов, исследование взаимосвязи С^Р-интеграла с другими обобщениями интеграла Лебега, доказательство свойства Марцинкевича для СкР-интеграла.

Методы исследований

В работе использованы методы метрической теории функций, теории меры и интеграла. При изучении обобщенных интегралов используется перро-новский и дескриптивный методы определения интегралов.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана теорема типа Марцинкевича для С^Р-интеграла для всех порядков чезаровского усреднения к ^ 1: для С*Р-интегрируемости измеримой функции необходимо и достаточно наличия у этой функции хотя бы одной С*Р-мажоранты и хотя бы одной С*Р-миноранты.

2. Показано, что С^Р-интеграл, находясь в общем положении с широким интегралом Данжуа ("•О-интегралом"), не противоречит ему. В качестве следствия получена усиленная теорема типа дю Буа-Реймона £)-интеграла, показывающая, что О-интеграл правильно восстанавливает коэффициенты тригонометрического ряда, всюду суммируемого по Чезаро вместе с сопряженным, как только сумма самого ряда £>-интегрируема.

28 В.А. Скляренко. Об одном свойстве 5СР-интеграла Беркилля // Матем. заметки. 1999. Т. 65. С. 599606.

29 В.А. Скворцов. О теореме Марцинкевича для двоичного интеграла Перрона // Матем. заметки. 1996.

Т. 59. С. 267-277.

3. Приведены примеры, показывающие, что некоторые свойства С-производной не имеют места для С^-производных с к ^ 2. В частности, при к > 2 С*-производные начинают противоречить аппроксимативной производной на множестве положительной меры и теряют свойство Варда.

4. Рассмотрены обобщенные производные Чезаро, определяемые произвольным ядром усреднения, и выявлены свойства ядер усреднения, отвечающие некоторые особенности поведения определений производных. Продемонстрирована возможность применения обобщенных производных Чезаро к исследованию классической конструкции С*Р-интеграла.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер и является вкладом в теорию неабсолютных интегралов типа Перрона. Полученные результаты также могут найти применение в теории ортогональных рядов и теории дифференциальных уравнений.

Аппробация работы

1. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры Теории функций и функционального анализа по теории ортогональных рядов под руководством профессора М.К. Потапова, профессора М.И. Дьяченко, профессора Т.П. Лукашенко и профессора В.А. Скворцова (неоднократно, 2010-2013)

2. На 16-й зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов (2012)

3. На международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения IV", Ростов-на-Дону (2014)

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах автора [1, 2, 3, 4, 5], из которых две — в журналах из перечня ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 41 наименование. Общий объем диссертации составляет 85 страниц.

Краткое содержание диссерации

В главе 1, помимо изложения общих вспомогательных фактов из теории СкР-интеграла, построены два примера функций, вскрывающих ряд отличий между чезаровскими производными старших порядков усреднения (начиная с Сг-производной) и ^-производной.

Теорема А. Для всякого к ^ 2 существует функция Р : [0,1] —К такая, что

1) Р непрерывна на [0,1];

2) С>РР(х) > -оо для всех х е (0,1);

3) Р не принадлежит классу \ТЮ на [0,1].

При к = 1 даже всякая С-непрерывная функция, удовлетворяющая пункту 2, является УВС-функцией15.

Из пунктов 1 и 2 этой теоремы следует, что функция Р является С2Р-мажорантой для хотя бы одной действительной функции — например, для

дх\ = \С2П.Р{х) при СгДР(х) < +оо, 1 0 для остальных х.

Однако, поскольку всякий неопределенный С*Р-интеграл является УВС-функцией, а всякая С^Р-мажоранта интегрируемой функции отличается от неопределенного интеграла на монотонную функцию, функция }{х) не может быть СкР-интегрируемой. Таким образом, дескриптивные характеристики мажорант произвольных функций и мажорант интегрируемых функций при к > 2 различаются гораздо существеннее, чем при к = 1.

Отметим также, что сам факт несовпадения классов мажорант произвольных функций и мажорант интегрируемых функций не является удивительным и имеет место в том числе и для классического интеграла Перрона, даже если ограничиться только непрерывными мажорантами и минорантами. Действительно, пусть К(х) есть классическая канторова лестница на отрезке [0,1]. Определим функцию <р(х) = К(х) — х. Пусть есть монотонно убывающая к нулю последовательность точек,

15 В.А. Скворцов. Некоторые свойства СР-интеграла // Матек. сб. 1963. Т. 60, № 3. С. 304-324.

■ф{х) = (1/п)у?((х - Оп)/(ап-\ - Оп)) при х е [Оп.а,,-!], х(х) = тах|^(*)1 по 4 6 [0,х]. Тогда функция Ф(х) = ф(х) + х{х) является непрерывной перроновской мажорантой для своей нижней производной. Функция х{х) монотонна, и потому ее производная интегрируема по Лебегу, а производная функции ф{х) равна -(п(ап_1 - а„))-1 почти всюду на [ап,а„_1], и потому ее интеграл на [0,01] равен —оо. Таким образом, не существует интегрируемой функции, для которой Ф была бы мажорантой.

Теорема В. Для любого а е (0,1) и любого натурального к ^ 2 существует функция Р : [0,1] -> М, такая, что

1) .Г принадлежит классу 1лра на [0,1];

2) С/ь£^(х) = +оо почти всюду на [0,1];

3) существует и конечна почти всюду на [0,1].

С-производная С-непрерывной функции не может противоречить аппроксимативной производной на множестве положительной меры21. Это свойство, как и принадлежность мажорант классу УВС, оказывается удобным для доказательства теорем типа Марцинкевича, но при к ^ 2 теряется.

С другой стороны, пункт 2 теоремы В интересен сам по себе: он показывает, что для С*-производной при неверны теоремы типа Варда и не имеют места соотношения Данжуа. Так, не существует функции, обыкновенная или даже аппроксимативная производная которой была бы равна +оо на множестве положительной меры23, гл-1Х; С-производная также не может быть равна +оо на множестве положительной меры21.

В главе 2 вводится обобщенное понятие чезаровской производной. С его помощью совершается попытка в весьма общем виде ответить на вопрос: какими именно особенностями определения С^-производной обусловлено наличие или отсутствие тех или иных свойств?

Конечную разность, определяющая С^-производную в формуле (2), можно представить в виде

у) = ЧаУ-х)-' <7>

ГТ- Г^Стг^) /(')<**-/(*)

'~х Jx \У-Х/ а(у - х)

f1 1 где <p[s) = ifik(s) = fc(l - s)k \ a = ak = / stpk(s) ds = r——.

Jo К + X

Однако формула (7) имеет смысл при любых функциях <р, обладающих достаточной гладкостью, а именно, принадлежат классу так называемых

21 W.L.C. Sargent. On the Cesiro derlvates of a function // Proc. London Math. Soc. 1935. T. 40, № 3,4.

C. 235-254.

23 С. Сакс. Теория интеграла. M.: ИЛ, 1949.

VBfc-функций — (Л — 1)-кратных неопределенных интегралов от функций ограниченной вариации. Разумеется, также требуется выполнение условия а ф 0, и желательно, чтобы интеграл от на отрезке [0,1] был равен 1.

Таким образом, на каждом шаге построения шкалы интегрирования Чезаро-Перрона Беркиля мы можем подменить функцию щ на другую функцию весьма общего вида, и получить новое определение понятий предела, непрерывности, производной и, быть может, интеграла Перрона (если удастся обосновать корректность, предъявив соответствующую лемму о монотонности).

Результаты главы 2 состоят в исследовании зависимости свойств определений обобщенных производных Чезаро — "С^-производных" — от свойств "ядра усреднения" — функции ц>. Так, например, имеет место

Теорема С. Пусть к ^ 1, и функция <р : [0,1] —>■ R такова, что

1) <р е VBjt[0,1];

2) St<p{s)ds = 1;

3) а = fg s<p(s) ds Ф 0;

4) ^(1) = ^'(1) = --- = ^(1) = 0.

Тогда всякая Ck-непрерывная функция является С^-непрерывной.

Свойства 1) - 3), как уже отмечалось выше, достаточно естественны для обеспечения корректности определения С^-производной и согласованности этого определения с обыкновенной производной на простейших функциях.

Таким образом, общность получаемого определения С^-предела и Cv-непрерывности во многом зависит от скорости убывания функции <p(s) при приближении к точке s = 1.

Некоторые результаты главы 2 относятся только к неотрицательным функциям ip:

5) (p(s) > 0 для всех s е [0,1].

Однако особенно интересными с точки зрения настоящего исследования оказываются свойства производных Чезаро, построенных по функциям <р, обладающих свойством симметрии:

6) ip(s) = <^(1 — s) для всех s 6 [0,1].

Видно, что Cjfc-производная является в этом смысле симметричной при к = 1 и несимметричной при к < 1. Следующие результаты показывают, что все симметричные С^-производные обладают интересующими нас свойствами, которые, как мы видели в главе 1, имеются у Ci-производной, но теряются у С^-производных при к > 1:

Теорема Б. Пусть функция Р имеет аппроксимативную производную всюду на ограниченном множестве Е с М и является Ск~\Р-интегрируемой на отрезке [о, 6], содержащем множество Е, а <р удовлетворяет условиям 1) - 4) и 6). Тогда для почти всех х € Е имеют место соотношения

С*Ш(х) < ^р(х) ^ СуШ(х).

Теорема Е. Пусть к > 1, <р удовлетворяет условиям 1) - 4) и 6), и Ск-непрерывная функция Р такова, что С^Р(х) > —оо для всех х € (а, Ь). Тогда существует такое счетное семейство замкнутых множеств {#,}, объединение которых совпадает с (а,Ь), что функция Р имеет ограниченную вариацию на каждом из Щ, и для каждого г существует число К{ е К такое, что для любого конечного набора непересекающихся интервалов {(а,, с концами на Щ имеют место оценки

р

£ ь (С^а^х) - РЦ)) ^ -Ки

7=1

- > -К,.

7=1

Таким образом, в случае симметричной ¡р Су-производные не противоречат аппроксимативной производной, а С^Р-мажоранты всегда являются УВв-функциями. Дескриптивная характеристика мажорант, даваемая теоремой Б, в некотором смысле оказывается достаточно общей для доказательства теорем типа Марцинкевича.

В главе 3 рассматривается частный случай конструкции, построенной в главе 2: вводится понятие С£Р-интеграла — интеграла типа Чезаро-Перрона, основанного на производной, определяемой по формуле (7) ядром усреднения

^ (5)--В(т,к) '

где В(т, к) есть бета-функция Эйлера. Это семейство функций удовлетворяет условиям 1) - 5) и содержит в качестве частного случая (при гп = 1) классическое чезаровское ядро усреднения щ =

С другой стороны, при т = к функция удовлетворяет также и условию 6), то есть является симметричным ядром усреднения, что дает нам возможность применять к С^Р-мажорантам и минорантам теоремы БиЕ.

Однако для того, чтобы вывести из этих теорем свойства классического интеграла Беркиля, требуется исследовать взаимосвязь между С£*Р-интегралами с различными т. С этой целью доказываются следующие утверждения:

Теорема Б. Если к ^ 1, т ^ 1 и функция Р является Ск-непрерывной в окрестности точки х, то имеют место соотношения

Теорема в. Пусть и функции Ф,^> на отрезке [а,Ь]

таковы, что С^ДФ(х) > С^Бф(х). Тогда существуют такие функции Ф.,^* на [а, Ь], что

< С?Щ(х) < С£ЦЩх) ^ С^т^х),

и при этом

(ф.(Ь) - Ф.(а)) - (МЬ) ~ Ф,(°-)) ^

* (§+0 (ф(6) -Ф(а)) - - ■

Из теоремы Р следует, что С^-производная оказывается все менее и менее общей при увеличении т. Таким образом, класс С^Р-мажорант является подклассом класса С^Р-мажорант, и всякая С]?Р-интегрируемая функция является С^Р-интегрируемой с тем же значением интеграла.

Из теоремы С, напротив, следует, что как только у нас имеется пара из СкР-мажоранты и С^Р-миноранты — то всегда можно построить достаточно близкие С£*Р-мажоранту и С™Р-миноранту. Таким образом, С^Р-интеграл эквивалентен С^Р-интегралу при всех т > 1.

Более того, из теоремы й также видно, что теорема Марцинкевича для Сд?Р-интеграла эквивалентна теореме Марцинкевича для СкР-интеграла, несмотря на то, что классы мажорант и минорант в определениях этих интегралов, вообще говоря, не совпадают.

В главе 4 получены основные положительные результаты диссертации. Первым из них является непротиворечие С^Р-интеграла и широкого интеграла Данжуа:

Теорема Н. Если к > 1 и функция / является одновременно СкР-интегрируемой на отрезке [а, Ь] с неопределенным СкР-интегралом Р\ и Ю-интегрируемой на [а, Ь] с неопределенным Б-интегралом то функция Н(х) = Рг(х) — является постоянной на всем [а, 6].

Из этой теоремы выводится теорема типа Валле-Пуссена для широкого интеграла Данжуа:

Теорема I. Пусть к > 0 и некоторый тригонометрический ряд ограничен в смысле Чезаро {С, к) всюду на [—тг, тг] вместе с сопряженным рядом и суммируется методом Чезаро (С, к) почти всюду к некоторой Б-интегрируемой на [—7Г, тг] функции /. Тогда коэффициенты этого тригонометрического ряда вычисляются по функции / по формулам Фурье, в которых интеграл понимается как И-интеграл.

Вторым основным результатом является теорема типа Марцинкевича для СкР-интеграла.

Теорема К. Пусть к ^ 1, и у функции /, измеримой по Лебегу на отрезке [а, Ь], есть хотя бы одна СкР-мажоранта Ф и хотя бы одна СкР-миноранта гр на [а, Ь]. Тогда / является СкР-интегрируемой на [а, Ь].

Доказательство всех трех теорем этой главы опирается на теоремы О и Е; несмотря на то, что в силу примеров из главы 1 они не применимы непосредственно к С*Р-интегралу, мы можем применить их к С™Р-интегралу, во всяком случае, при т = к, а затем, пользуясь теоремами Е и перенести полученные результаты на СкР-интеграл.

Автор выражает огромную благодарность научному руководителю профессору Валентину Анатольевичу Скворцову за постановку задачи, многочисленные плодотворные обсуждения и моральную поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

1. A.B. Дергачев. Некоторые свойства чезаровских производных высших порядков // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. Т. 67, № 3. С. 3-10.

2. A.B. Дергачев. Обобщенные производные и интегралы типа Чезаро-Перрона. I // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. Т. 69, № 2. С. 14-25.

3. A.B. Дергачев. Обобщенные производные и интегралы типа Чезаро-Перрона. // Деп. в ВИНИТИ, №276-В2014.

4. A.B. Дергачев. Чезаровские и обобщенные чезаровские производные высших порядков // Материалы 16-ой Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". 2012. С. 64-65.

5. A.B. Дергачев. Интеграл Чезаро-Перрона и свойство Марцинкевича // Международная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения IV", Тезисы докладов. Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, 2014. С. 54-55.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ

Подписано в печать «¿0_» х_2014 г.

Тираж ЮОэкз. Заказ №