Сопряженные тригонометрические ряды и обобщенные интегралы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

V 06^77 от . псгЪ М-ЦОЗ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛНМНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛКВДИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВШНЫй УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХА1МКО-МЛТЕ,1АТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.51

ЛУКАШЕНКО ТАРАС ПАВЛОВИЧ

СОПРЯЖЕННЫЕ ТИЯГОНШЕГгаЧЕСКИЕ ряда И ОБОЩШНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1989

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Б.И.Голубов,

доктор физико-математических наук, профессор В.М.Тихомиров,

доктор физико-математических наук, профессор О.Д.Церетели.

Ведущая организация - Математический институт имени В.А.Стеклова АН СССР.

Защита диссертации состоится "_"_ 1990г.

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета по'математике № I (Д.053.05.04) при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, ГСП, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "_"_ 1990г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.Сб. № при МГУ

:соРТЛ/_(!1,"(

ОНДАЯ ХАРАКТЕШСТИКА РАБОТУ

кому ряду (э - -tjt + 2 0/аС£^гъаь + ъиьпхс

Актуальность теш. Рядом, сопряжённым к тригонометричес-

оо

Z

П.«Г

называют ряд С = -б^ес^/ьге + съ^ияъгь-х.

Ряда и (5" являются соответственно действительной и мнимой частью степенного ряда 2Z СП/На, С0= ..........при

Систематическое изучение свойств сопряжённых тригонометрических рядов начинается с опубликованной в I9II году работы У.К&га*\ в которой была установлена связь сопряжённых рядов (к рядам Фурье (^[jp) с выражением

Lb -^t)- f-t)dt> &

а.именно, было показано, что если ^ - SL^-периодическая функция ограниченной вариации, то необходимым и достаточным условием сходимости ряда Ö'^J в точке и является существование написанного предела, который и представляет тогда сум. му ряда 6"[£J-

Впоследствии указанный предел стали называть сопряжённой функцией ^(эе).

В 1913 году Н.Н.Лузин показал, что сопряжённая функция существует почти всюду для любой £$Г-периодической функции с суммируемым квадратом.

I) Xoung W.H. Konvergenzbedingunger für die verwandte Reihe einer Fouriersehen Reihe.- Münch. Sitzungsber., 1911, 41, p.361-371.

В 1916 году И.И.Привалов показал, что сопряжённая функция существует почти вовду для любой 3,$Г-периодической суммируемой функции. При этом им отмечалось, что имеет место суммируемость сопряжённого ряда ©'[•^J методом средних арифметических или методом Абеля-Пуассона к почти всюду.

Б том же 1916 году Ф.Рисс и М.Рисс^ доказали, что если функция у и сопряжённая к ней -р ограниченной вариации, то они абсолютно непрерывны (при отсутствии устранимых разрывов).

В 1925 году А.Н.Колмогоров^ вывел дая сопряжённой функции оценку, которая была первой из известных оценок слабого типа. Используя ее он доказал сходимость рядов Фурье по мере.

Важным результатом, связывающим сопряжённый ряд с сопряжённой функцией, явилась полученная независимо и почти одновременно в 1928 году А.Н.Колмогоровым^, в 1929 году Е.Титч-маршем5^ и В.И.Смирновым6,теорема, которая утверждает, что

2) Riesz F., Rieez Ш. liber due Randwerte einer analytischen Function.- Quart Congrès des Math. Scand., 1916, p.27-44.

3) Колмогоров A.H. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier.- Pund. Math., 1925, 7, p.23-28.

4) Колмогоров A.H. Sur un procédé d'intégration de M.Denjoy.-Fund. Math., 1928, 11, p.27-28.

5) Titchmarsh E.C. On conjugate fonctions.- Proc. London Math. Soc., 1929, 29, p.49-80.

6) Смирнов В.И. Sur les valeurs limites des fonctions analytiques.- Compt. Rend. Acad. sci., Paris, 1929, 188, p.131-133.

7) Смирнов В.И. Sur les valeurs limites des fonctions régulières à l'intérier d'un cercle.- Журнал ленингр. физ.- мат. об-ва, 1929, 2, № 2, с.22-37.

если ^ такая й.9Г-периодическая суммируемая функция, что её сопряжённая функция также суммируема, то ряд Фурье сопряжённой функции равен сопряжённому (к ряду Фурье ^ ) ряду, то

есть б-СЛ^М'

Условие суммируемости ^ существенно, ибо, как показал в 1914 году Н.Н.Лузин, функция ^ может быть несуммируемой на любом интервале.

Теория рядов, сопряжённых к рядам Фурье-Лебега, и функций, сопряжённых к суммируемым, довольно развита в настоящее

о о\

время и включает много глубоких и тонких результатов ' Но существуют более широкие классы сопряжённых рядов и функций.

Б 1912 году А.Даняуа, решая задачу восстановления функции по её производной, ввёл интеграл более общий, чем интеграл Лебега. Этот интеграл известен как узкий интеграл Данжуа или интеграл Данжуа-Перрона. В 1916 году ещё более общий интеграл независимо ввели А.Данжуа и А.Я.Хинчин. Этот интеграл известен как широкий интеграл Данжуа. Неопределённый широкий интеграл Данжуа не обязан (в отличие от неопределённого интеграла Данжуа-Перрона) быть почти всюду дифференцируемым. При каких условиях он почти всюду дифференцируем изучал А.Я.Хинчин. Поэтому сейчас обычно широкий интеграл Данжуа с почти всюду дифференцируемой первообразной называют интегралом Данжуа-Хинчи-на.

В 1923 году А.И.Плесснер доказал, что если ЗЖ-периодическая функция ^ интегрируема в смысле Данжуа-Перрона, то почти всюду существует сопряжённая функция |. А в 1936 году

8) Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГЙФШ1, 1961.

9) Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1,2. М.: Мир, 1965.

К.Марцинкевич доказал такой же результат для ¿2§Г-периодичес-ких функций, интегрируемых в сг.шсле Данжуа-Хинчина. Точнее, К.Марциикевич доказал, что если 2,§Г-периодическая функция ^ интегрируема в смысле широкого интеграла Данжуа, то для того, чтобы сопряжённая функция ^ существовала почти всюду на некотором множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы неопределённый интеграл от ^ был дифференцируем почти всюду на Е..

Естественно встал вопрос об обобщении известных (в теории сопряжённых рядов Фурье-Лебега и функций, сопряжённых к суммируемым) результатов. С этой же темой оказались связаны некоторые проблемы теории обобщённого интегрирования и теории граничных свойств аналитических функций"^.

В 1958 году А.Г.ДнваршеГшшили^ сформулировал теорему: если вместе с <2Апериодической функцией ^ интегрируема в смысле Данжуа-Перрона и сопряжённая к ней функция ^, то ряд Фурье-Данжуа сопряжённой функции ^ равен сопряжённому (к ряду Фурье-Данжуа ) ряду, то есть = Эта теорема сразу начала находить применения, однако впоследствии А.Г.

10) Виноградова И.А., Скворцов В.А. Обобщённые интегралы и ряды Фурье.- Математический анализ, 1970 (Итоги науки), М.: изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1971, с.65-107.

11) Хведелидзе В.В. Метод интегралов типа Коши в разрывных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной.- Современные проблемы математики, том 7 (Итоги науки

и техники), М.: изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1975, с.5-162.

12) Дкваршейавили А.Г. Об аналитических функциях внутри единичного круга.- Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН ГрузССР, 1958, т.25, с.373-410.

Джваршейшвили отметил, что в её доказательстве им допущена ошибка. Как следует из приводимых далее результатов диссертации, эта теорема верна, но применяемые А.Г.Джваршейшвили методы не могли привести к её доказательству, ибо они не отличали интеграл Данжуа-Перрона от интеграла Данжуа-Хинчина, а для последнего аналогичное утверждение неверно. В 1965 году А.Г.Дстаршейшвили13) сформулировал теорему: если интегрируема в смысле Данлуа-Перрона, а интегрируема в смысле широкого интеграла Данкуа, то Как следует кз приводимых далее результатов диссертации, эта теорема неверна. Используемые при её доказательстве методы также не отличали интеграл Данжуа-Перрона от интеграла Данжуа-Хинчина, в конце статьи А.Г.Джваршейшвили отмечал, что приводимые им рассуждения проходят и в том случае, когда ^ интегрируема в смысле широкого интеграла Дашхуа, а сопряжённая функция ф существует почти всюду и также интегрируема в смысле широкого интеграла Данжуа.

Всё возрастающий интерес к изучению тригонометрических рядов Фурье более общих, чем ряда Фурье-Лебега, привел к тому, что актуальным стало детальное теоретическое исследование сопряжённых тригонометрических рядов более общего типа, чем сопряжённые к рядам Фурье-Лебега, а также исследование связанных с этой темой проблем обобщённого интегрирования, некоторых задач теории граничных свойств аналитических функций и отдельных вопросов теории функций обобщённой ограниченной вариации .

13) Джвариейшвили А.Г. О сопряжённых функциях.- Сообщ. АН ГрузССР, 1965, т.40, № I, с.19-24.

Цель работы. Целью данной диссертации является исследование свойств рядов, сопряженных к рядам Фурье-Данкуа, обобщение теореш Колмогорова-Титчмарша-Смирнова и ряда других теорем; исследование свойств и взаимоотношений обобщённых интегралов, особенно интегралов Данжуа, А-интеграла Титчмарша-Колмого-рова и В-интеграла Данжуа-Бокса; использование полученных результатов в теории интегралов типа Коши; распространеше ряда результатов теории сопряжённых тригонометрических рядов с одномерного случая на многомерный; исследование свойств функций обобщённой ограниченной вариации, функций ограниченной вариации на множестве н сопряжённых к шил, обобщение теорем Ф.Рисса и М.Рисса, А.Н.Колмогорова п некоторых других.

Общая методика исследования. При исследовании свойств сопряжённых тригонометрических рядов используется разработанный автором новый метод, частным случаем которого является используемый при изучении сопряжённых родов Фурье-Лебега метод Безиковича-Титчмарша, и полученные автором результаты о предельных переходах под знаком интеграла. Другой разработанный автором метод используется при исследовании функций ограниченной вариации на множестве и функций обобщённой ограниченной вариации.

Важную роль в диссертации играют построенные автором индивидуальные примеры рядов и функций с различными патологическими свойствами. Они показывают границы обобщения доказываемых теорем и дают ответы на ряд других вопросов. Разработан метод, позволяющий из построенных примеров рядов и функций получать примеры с новыми свойства!®.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. В диссертации

решена задача обобщения теореш Колмогорова-Титчиарша-Смирнова и взаимоотношения на классе сопряжённых функций интегралов Дан-жуа с А-интегралом и B-интегралом, решены задачи обобщения теоремы А.Н.Колмогорова, теореш Ф.Рисса и М.Рисса и ряда других теорем, перенесены некоторые результаты теории сопряжённых рядов с одномерного случая на многомерный.

Приложения. Результаты и методы данной диссертации могут п'5;;ти применения при дальнейших исследованиях свойств тригонометрических рядов, обобщенных интегралов и граничных свойств аналитических функций, а также при использовании последних в других разделах математики.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах на механико-математическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ и в математическом институте им. В.А.Стеклова АН СССР. Они рассказывались на семинарах в Саратовском государственном университете, в Тбилисском государственном университете, в математическом институте им. А.М.Раз-мадзе АН ГрузССР. О результатах диссертации делались доклады на конференциях молодых учёных механико-математического факультета МГУ в 1979 и 1981 годах, на конференции молодых учёных факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ в 1981 году, на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1977, 1983, 1987 и 1988 годах, на всесоюзных школах по теории функций в Агве-ране в 1975 году и в Баку в 1977 году, на седьмой казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике в Караганде в 1981 году и на международной конференции по теории приближения функций в Киеве в 1983 году.

За цикл результатов, являющихся составной частью данной

диссертации, автору была присуждена премия Московского комсомола в области науки, техники и производства за 1981 год.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора ^ - [г?]» приведённых в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения и трёх частей, каждая из которых состоит из двух глав и которые делятся в общей сложности на 13 параграфов, а также из списка цитированной литературы и списка работ автора по теме диссертации. Общий объём диссертации 300 страниц. Список литературы содержит 117 названий.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ

Во введении диссертации изложена рассматриваемая в ней проблематика и дан исторический обзор результатов, связанных с темой диссертации.

В части I "Интегралы Данжуа и сопряжённые функции" изучаются сопряжённые тригонометрические ряды ряды Фурье-Дакжуа и функции, сопряжённые к интегрируемым по Данжуа функциям. Решается вопрос, можно ли обобщить теорему Колмогорова-Титчмар-ша-Смирнова, заменив условие суммируемости функции или условием её интегрируемости интегралом Данжуа-Перрона или интегралом Данжуа-Хинчина. Итог исследований по этому вопросу может быть резюмирован в следующей таблице, в которой знак "+" означает верность соответствующего обобщения теоремы Кол-могорова-Титчтларша-Смирнова, а знак "-" означает существование отрицающего обобщение контрпримера.

1 Интеграл Лебега Интеграл Даа-хуа-Перрона Интеграл Данжуа-Хинчина

Интеграл Лебега + + —

Интеграл Дшгуа-Перрона + + —

Интеграл Данжуа-Хинчина — — —

Таблица определяется следующими тремя результатами. Теорема 9. Есл:: -р - такая й^-периодическая интегрируемая в смысле Данжуа-Перрона функция, что её сопряжённая функция такие интегрируема в смысле Данжуа-Перрона, то ряд Фурье-Дашуа сопряжённой функции равен сопряжённому ряду, то есть

Теорема 17. Существует ¿Апериодическая суммируемая функция ^ , у которой сопряжённая функция ^ интегрируема в смысле Данжуа-Хинчина и

& -а-

(укажем, что в диссертации (Тормулировка этой теоремы содержит ещё некоторые дополнительные характеристики ф-ункций ^ и ^ ). Теорема 24. Существуют такие ^Апериодические интегри-

руемыс в смысле Дашуа-Хикчина неэквивалентные нулю функции $ и 'У, что Ф=0 почти всюду, а почти всюду.

Вопрос обобщения теоремы Колмогорова-Титчмарша-Смирнова тесно связан с некоторыми вопроса/ли обобщённого кнтегрирова-Ш1я, на которые даны ответы в данной диссертации. Приведём некоторые из теорем об обобщённых интегралах.

Теореу.а 10. А-интеграл (и все его сужения), а также В-иптеграл не противоречат интегралу Данжуа-Перрона на классе функций, сопряжённых к суикируешм.

Из этой теоремы следует тот факт, что наиболее используемые в теории функций методы интегрирования, обобщающие интеграл Лебега, а именно, интегрирование Данжуа и А-интегриро-вание, не противоречат друг другу на пересечении тех классов функций, для интегрирования которых они были созданы, то есть на функциях, являющихся одновременно точными производными и функциями, сопряжёнными к суммируемым функциям.

Теорема 18. А-интеграл и все его сужения, которые интегрируют функции, сопряжённые к суммируемым (в частности, А-ин-теграл Боцдк, А-интеграл Вахер, V- и 2б"-интегралы Виноградовой) , а также В-интеграл противоречат интегралу Данжуа-Хин-чина на классе функций, сопряжённых к суммируемым.

Для А-интеграла (и А- и Т/-интегралов) новым является факт противоречивости интегралу Данкуа-Хинчина именно на классе функций, сопряжённых к суммируемым. Противоречивость В-ин-теграла (и А-интеграла) интегралу Даннуа-Хинчина впервые установлена автором.

Теорема Колмогорова-Титчмарша-Смирнова также тесно связана с теоремами об интегралах Кош и Пуассона в теории граничных свойств аналитических в круге функций. Эта связь естест-

вешю распространяется и на её обобщения, что позволяет получить следующие утверждения.

Теорема 12. Интеграл типа Коши-Данкуа-Перрона =з5Г

•ъе

о

обращается в интеграл Коии-Данпуа-Перрона (то есть -£/-2,6^®)=

* / ¿XV * 1 + 1-0'

= <р(е /почти всюду) тогда и только тогда, когда а(гс) = 7Г(И)--сотг&^, у(е1/Х) = и,(я.)+1и(х),11&)и тГ&) действительнозначны. Теорема 13. Интеграл типа Коши-Данкуа-Перрона

с/

0 ..

обращается в интеграл Коши-Данжуа-Перрона (то есть иот )=

/¿К. 1-*1-0'

= Ф(е ] почти всюду) тогда и только тогда, когда

<331/

Теорема 14. Интеграл Пуассона-Данх^а-Перрона Ж

4 /О. б^Г.-/^!

о

где

РМ=

1--Ч,

<2,(1-2-г сога+ъ2)

- ядро Пуассона, изображает анали-

тическую функцию внутри единичного круга тогда и только тогда, когда СЦх)=1Г(а;)-сс«*£, 1р(&баг)=¿¿(ж) + ¿-гг(ге), а(сс) и "2Я?с) действительнозначны.

Теорема 15. Интеграл Пуассона-Данкуа-Перрона

ог

Ж О

изображает аналитическую функцию внутри единичного круга тогда и только тогда, когда

с

Длл интеграла Данжуа-Хинчина подобные утверждения неверш. Равенство тесно связано и с равенством Рисса

ш

35 = -

О О

следующее обобщение которого является следствием из теоремы 9.

Теорема 16. Если ^ - такая ¿ЗГ-периодическая интегрируемая в смысле Дашсуа-Перрона функция, что ее сопряжённая функция ^ также интегрируема в смысле Данкуа-Перрона, а -такая 2,0Г-периодаческая уутеция ограниченно": вариации, что её сопряжённая функция ¡р таксе ограниченной вариации, то 3.5Г 25(Г

О о

Для интеграла Данжуа-Хинчина подобная теорема не тлеет места. Верш следующие утверждения.

Теорема 21. Для любой 5§Г-пер;юдической дважды непрерывно дифференцируемой функции (|>, отличной от тождественного нуля, существует такая ¿¿ЗГ-периодическая суммируемая фушеция , что её сопряжённая функция интегрируема в смысле Данжуа-Хинчина и

•23Г Ж

а.

Теорема 25. Для .тобой й ^-периодической дваущ непре-рцвао диХерснг,ируемой фупкщш 1р, отличной от тождественного нуля, существует такая <2$Г-период1Гческая интегрируемая в сьш-сле Дшгуа-Хшгаша фушсцкя , что её сопряжённая функция существенно ограничена и

Л'Зи 2уГ

о 0

Следует еще отметить, что пример функции Ф из теоремы 24 такой, что Ф — 0 почти вс:эду, также показывает, что З.Ж-периодическую интегрируемую в смысле Данжуа-Хинчина функцию нельзя восстановить (с точностью до постоянной) по её сопряжённой функцш ни при каких ограничениях на последнюю (если, как обычно, отождествлять эквивалентные функции).

В целом результаты I части диссертации показывает, что многие утверждения теории сопряжённых тригонометрических рядов, верные для интеграла Лебега, верны и для интеграла Данжуа-Пер-рона, но не верш для интеграла Дакяуа-Хинчина, а значит и для широкого интеграла Данжуа.

В части П "Функцш ограниченной вариации на множестве и функции, сопряжённые к шил" изучаются функции ограниченной вариации на множестве, функции обобщенной ограниченной вариации и сопряжёнше к шел. Известно два понятия вариации функцш на множестве. В них берётся разбиение с точками из данного множества и потом либо сумма колебаний функции на отрезках разбиения, либо сумма модулей приращений. Верхняя грань этих сумм

называется сильной или, соответственно, слабой вариацией функции па данном множестве. Первое из этих определений восходит к Н.Н.Лузину^, второе - к А.Я.Хинчину^. Подробно эти определения и связанные с ними понятия абсолютной непрерывности рассмотрены в монографии С.Сакса*6^.

В части П доказана следующая теорема.

Теорема 28. Если всюду определённая й&Г-периодическая с точностью до лииейгости измеримая функция является функцией ограниченной вариации в узком (сильном) смысле на множестве то для любого

Osï<t

|{эееЕ: sup о<Ы$С

m

л

|{*еЕ: ьир

о«-г<1 п Е

- верхняя мера Лебега множества еГ^х) - средние Абеля-Пуассона формально продифференцированного ряда Фурье

функции а - средние Абеля-

14) Лузин Н.Н. Sur les propriétés de l'integrble de ti.Dengoy.-Compt. Rend. Acad. Sci., Paris, 1912, 155, p.1475-1477.

15) ХИНЧИН A.Я. Sur une extension de l'intégrale de I.l.Dengoy.-Compt. Rend. Acad. Sci., Paris, 1916, 162, p.287-291.

16) Сакс С. Теория интеграла. M.: ИЛ, 1949.

Пуассона сопряжённого ряда).

Если ¿Г ещё и непрерывна в изолированных с одной из сторон точках замыкшшя Е1 и является абсолютно непрерывной в узком смысле функцией па множестве £Г, то левые части написанных неравенств будут при Я-*00-

Следствием этой теоремы в случае, когда ¿Г - абсолютно непрерывная фушзд-ш на является оценка слабого типа

А.Н.Колмогорова длн сопряжённых функций.

Получена также теорема, аналогичная приведённой, для оператора Гильберта. Как частный случай из неё получается оценка слабого типа Л.Лкшса^ для оператора Гильберта.

Для функций с ограниченной вариацией на множестве в широком (слабом) смысле подобные утверждения неверш.

Другим результатом части П является следующая теорема.

Теорема 32. Если всюду определённая £$Г-периодическая измеримая функция ^ является функцией ограниченной вариации в узком смысле на множестве Ес {р,^^} не имеет устранимых разрывов относительно

равняется если

ЕН+&

этот предел существует) и

аЖ

(а.) есаЭй<ffa)clx=0,

о

то ьГ - абсолютно непрерывная в узком смысле на множестве Е функция.

Эту же теорему можно сформулировать иначе.

Теорема 33. Если всюду определённая й,§1-периодическая

17) Looniis L. A note on Hilbert's transform,- Bull. Amer. Math. Зое., 1946, 52, КЗ 12, p.1082-1086.

суммируемая функция Ф и её сопряжённая Ф являются функция-гли ограниченной вариации в узком смысле на множестве Ес[0,Д9Г) и не имеют устранима разрывов относительно (£, то Ф и Ф -абсолютно непрерывные в узком смысле на множестве Е Функции.

Следствием этих теорем в случае £ = является упо-

минавшаяся теорема Ф.Рисса и М.Рисса.

Для функций ограниченной вариации в широком смысле подобные теоремы не имеют места.

В этой же части диссертации решается вопрос, можно ли в теореме Ф.Рисса и М.Рисса заменить условие ограниченности вариации функции Ф или Ф условием, что она является функцией обобщённой ограниченной вариации в узком или широком смысле (определения смотри в книге С.Сакса1®Ь; при этом абсолютная непрерывность также понимается в соответствующем обобщённом смысле. Итог исследований по этому вопросу резюмирован в следующей таблице, в которой знак "+" означает верность соответствующего обобщения теоремы Ф.Рисса и М.Рисса, а знак "-" означает существование отрицающего обобщение контрпримера.

Таблица показывает существенную разницу между функциями и У8 & -функциями в этом вопросе. Она симметрична относительно диагонали (так как ф = -ф) и определяется следующими тремя теоремами.

Теорема 37. Если функция ф и её сопряжённая ф - такие УВб^Функции на [0, <2 ¿¡Г), которые не имеют разрывов П рода и устранимых разрывов (то есть в каждой точке существуют пределы_слева и справа, не совпадающие в точке разрыва), то

ФиФ- ЛС0*-Фуншт на

Теорема 38. Существует такая абсолютно непрерывная функция у на что сопряжённая к ней функция "ф" сущест-

Ч\Ф * \ч УВ- функция У8£-функция без разрывов П рода УВ6- функция непрерывная УВ£- функция

У£-фуНКЦИЯ + + — —

ция без разрывов П рода + + — —

УВ&*- функция — — — —

непрерывная Ш-функция — — — —

вует всюду, ограничена, абсолютно непрерывна на [б;С2Ж] Для 0*8 и имеет в точке 0 разрыв П рода.

Теорема 39. Существует такая абсолютно непрерывная функция на сопряжённая к ней функция "У существует всюду, является непрерывной У8(т-функцией на [(ДО), но не является функцией на [од Ж)

Так как функция ограниченной вариации, УЗ -функция, являющаяся \ЯС&~ и-™ «ЯСО"-функцией, является абсолютно непрерывной функцией, то теорема 37 полностью определяет всю положительную часть приведённой таблицы. Остальные две теоремы определяют её отрицательную часть.

В Ш части диссертации "А- и В-интегралы и сопряжённые функции" изучаются свойства А- и В-интегралов, а также интегрируемость ими сопряжённых функций нескольких переменных.

В начале её рассматривается А-интегрируемость сопряжённых функций одного переменного в случае, когда и сама функция и сопряжённая к ней интегрируемы на несобственным инте-

гралом Лебега с одной особой точкой (точкой несуммируемости) 0. Характерной является следующая теорема.

Теорема 42. Для любой неотрицательной монотонно невозра----ЗЭС

стающей функции ^(э;) на такой, что

и при эз—>+0, существует такая ^^периодическая

интегрируемая на ¡0; в смысле несобственного интеграла Лебега с одной особой точкой 0 функция ^, что её сопряжённая функция ^ также интегрируема на [Ь; ¿Зс] в смысле несобственного интеграла Лебега с одной особой точкой О,

А-, А- и "Ц-инт егрируема на ¡0,5^] и

аЗС аЗс аяи

= ¿Ъ = (1/)||¿а ФО.

ООО

Эта теорема и некоторые другие теоремы части Ш показывают , что в рассматриваемой ситуации, когда и сама функция и сопряжённая к ней интегрируемы на \р,Ц§ь] несобственным интегралом Лебега с одной особой точкой 0, сопряжённая функция может быть неинтегрируемой А-интегралом или даже если она А-интегрируема или интегрируема такими сужениями А-интеграла

* 1 г

как А-интеграл И.Л.Бовди и 17-интеграл И.А.Виноградовой, то

этот интеграл может быть отличен от нуля, то есть ряд Фурье-А сопряжённой функции не обязательно равен сопряжённому ряду и равенство Рисса не обязательно выполняется. Из приводимых в этой части теорем выводятся и некоторые другие результаты. В целом все они показывают непременимость А-интеграла для изучения функций, сопряжённых к функциям, интегрируемым несобственным интегралом Лебега, а значит и для изучения функций, сопряжениях к ¡"д'угащиям, интегрируемым в смысле Данжуа-Перрона.

Отметим ещё, что так как по теореме 9 для гаункции из 38С 1

теоремы 42 Ж = 0, то теорема 42 является одно-

временно теоремой о противоречивости А-, и Т-Г-интегралов с несобственны:.! интегралом Лебега (а значит и с интегралом Данжуа-Перрона) на указанном (в теореме 42) классе функций. Ранее факт противоречивости этих интегралов устанавливался без каких-либо ограничений на функции.

В этой же части диссертации решается поставленный П.Л. Ульяновым-1-®'^ вопрос, можно ли в представлении сопряжённой (к суммируемой) функции заменить несобственный интеграл Лебега А-интегралом. Доказана следующая теорема.

Теорема 45. Существует <20Г-периодичнская суммируемая функция ^ такая^что для почти всех -га интеграл

18) Ульянов П.Л. Некоторые вопросы А-интегрирования.- Доклады АН СССР, 1955, 102, № 6, с.1077-1080.

19) Ульянов П.Л. А-интеграл и сопряжённые функции.- Уч. зап. Московск. ун-та, 1956, 181, № 8 (математика), с.139-157.

не существует.

Это даёт отрицательный ответ на вопрос П.Л.Ульянова. Следующая теорема показывает, когда возможно представление сопряжённой функции А-интегралом.

Теорема 48. Если 1р - такая неотрицательная функция на

[О, , что з?^(рС^) не Убывает на (0; и |"(р'(аз)г^;с<.оо

для некоторого Н>0, а йе/Г-периодическая функщт ^ принадлежит классу на [0)(З.Щ, то для почти всех гс 1 5Г

т

Как следствие этой теоремы получаем, что ^ представляется А-интегралом, если feQZ?, р>1, или если feSLCrC^Xj g>0. Первая часть следствия била раньше получена П.Л.Улья-новым18'19).

Дальше в части Ш диссертации рассматриваются гъ -мерные сопряжённые тригонометрические ряды и гъ-мерные сопряжённые функции.

Рядом, сопряжённым к гъ-мерному тригонометрическому ряду ..........

(где Л\={'(,2.)...,а}; В - произвольное подмножество М; ^ = _ »4 n Pv->Pn

-об, где 1 есть число р^, равных нулю; | |<y>gp гс -i

iteB Г1с *

( П Siibp^QC^ = 1 ), если 8 ( MNB) пусто) по переменным

^ic > Х1с называется ряд (51 . (¿с), который полу-

чается из ряда D если t£>spfc эь заменить на ЕС

(в том числе сорОк =4 на ШьОз^^-О), заменить

на -Сорр^зс^. (при ¿*1,...,пъ.

Функцией, сопряжённой к П -мерной ¿^периодической по

каждому аргументу функции по переменным

ЭЬ.. . • • • называется функция

■"-1 кг. 10 т.

-А аг. т^ ^

т- 1 с (* \ т,

У 'ГШ-м

" ^ ё/

(где и А^О при

Впервые сопряжённые функции многих переменных появились у Л.Чезари2^. Различные вопросы теории сопряжённых функций многих переменных и, в частности, их существование рассматривал К. Сокол-Соколовский^. Наиболее сильный результат о существовании сопряжённых функций многих переменных был получен А.Зигмундом22>: если (ж 3Вгг Э&Т), то к (эс)

существует почти всюду. В настоящее время кратные сопряжённые тригонометрические ряды и сопряжённые функции многих переменных, как часть теории кратных тригонометрических рядов, довольно интенсивно изучаются.

В части Ш рассматривается А-интегрируемость п,-мерных

20) Cesari L. Sulle eerie di Fourier dell funzioni lipshitzione di piu variabli.- Ann. di Scuola Horn. Superdi Pisa, 1938, 27, p.279-295.

21) Sokol-Sokolowslci K. On trigonometric series conjugate to Fourier series of tow variables.- Fund.Math., 1947, 34, p.166-182

22) Zygnund A. On the boundary values of functions several complex variables.- Fund. I.Iath. , 1949, 36, p.207-235.

сопряжённых функций. Получена следующая теорема.

Теорема 52. Если ^(^^¿^ть"1 ^((ДЗ&У1), а измеримые функции ^ (ж), ¡^ ^(¿е).....к (¿5) существенно огра-

ничены на [О,^/1, то " 4|<с _ ^ (ге)Ш(Й) А-интегрируема

на [о^дг)" и

При Iъ-1 эта теорема доказана П.Л.Ульяновым Отме-

тим ещё, что Л.'В.Жнжиашвили23^ построил пример функции двух переменных ^(а^зе^е. £Х. ^ 2. <2 при всех це ¡0,1)

такой, что ^ ^а) существует почти всюду и

при ^>аЬ0' С>0- В СЙЛУ последнего неравенства •^а/35-»,^) не интегрируема А-интегралом и значит условие приведённой теоремы

нельзя заменить, даже при предположении, что ^ к (а?) существует почти всюду, условием -р ЙЕтс ([С> <2 )а) при любом 2>0, П,>4,

Следующая теорема является следствием теоремы 52.

Теорема 53. Если -р(эе)е36п|ПЪ~12(СС,<2$Г)а), то ряд Фурье-А сопряжённой функции к^Щ Равен сопряжённому

раду.

Это гъ-мерное обобщение одной теоремы из упоминавшейся работы Е.Титчмарша5^.

23) Жижиашвили Л.В. Сопряжённые функции и тригонометрические ряды. Тбилиси: изд-во Тбилисского ун-та, 1969; с.129-131.

Далее в Ш части диссертации рассматривается В-интеграл. Доказывается существование неизмеримых В-интегрируемых функций. Так как всякая А-интегрируемая функция измерима, то тем самым доказано существование В-интегрируемых функций, не являющихся А-интегрируемыш, что даёт ответ на вопрос Ю.С.Оча-на2«.

В этой же части диссертации рассматриваются а-мерные обобщения В-интеграла, а также более слабый ^-интеграл. Для них доказываются теоремы, аналогичные приведённым выше теоремам 52 и 53 для А-интеграла, что обобщает на многие переменные одну теорему из ранее упоминавшейся работы А.Н.Колмогоро-ва4>.

ЗАКЛГОЕНИЕ

В диссертации исследован ряд свойств тригонометрических рядов Фурье-Данкуа и сопряжённых к ним. Решена задача обобщения теоремы Колмогорова-Титчмарша-Смирнова. Прояснены свойства и взаимоотношения ряда обобщённых интегралов. Даны ответы на отдельные вопросы теории граничных свойств аналитических функций.

Некоторые теоремы о свойствах функций ограниченной вариации перенесены на функции с ограниченной вариацией на множестве и функции обобщённой ограниченной вариации.

Получены многомерные аналоги ряда теорем о сопряжённых

24) Очан Ю.С. Обобщенный интеграл.- Матем. сборник, 1951, 28 (70), Я 2, с.293-336.

тригонометрических рядах.

Результаты диссертации указывают на целесообразность дальне]шл1х исследований в данном направлении теории функций.

ПУБЯИ1ЭДШ ПО ТЕЛЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лукашенко Т.П. Интегралы и п,-мерные сопряжённые функции.-Известия АН СССР. Сер. матем., 1974, 38, К 3, с.546-582.

2. Лукашенко Т.П. Интегрируемые по Боксу неизмеримые функции.-Матем. заметки, 1975, 17, № I, с.49-56.

3. Лукашенко Т.П. §)-3£-интегрируемые функции и сопряжённые к ним.- Известия АН СССР. Сер. матем., 1977, 41, № 3, с.663-702.

4. Лукашенко Т.П. Сопряжённые функции и узкий интеграл Данжуа.-Матем. сборник, 1977, 104(146), 14(9), с.89-139.

5. Лукашенко Т.П. Об интегралах сопряжённых функций.- Известия АН СССР. Сер. матем., 1979, 43, й 4, с.795-830.

6. Лукашенко Т.П. О мажорантах 3)-интегрируемых функций.- Матем. сборник, 1979, 110(152), № 3(11), с.440-453.

7. Лукашенко Т.П. Интегралы Данжуа и сопряжённые функции. -Современные проблемы теории функций. Материалы всесоюзной школы по теории функций (Баку, 21 мая - I июня 1977г.), Баку, издание Азербайда. гос. ун-та, 1980, с.163-166.

8. Лукашенко Т.П. Обобщение неравенств слабого типа.- Некоторые вопросы математики и механики. М., изд-во Моск. ун-та, 1981, с.36.

9. Лукашенко Т.П. О функциях с ограниченным изменением на множестве.- Математика. Тезисы докладов седьмой казахстанской

межвузовской научной конференции по математике и механике (15-18 сентября 1981г.), Караганда, Караганд. гос. ун-т, 1981, с.28-29.

10. Лукашенко Т.П. О функциях обобщённой ограниченной вариации и обобщённо абсолютно непрерывных функциях.- Доклады АН СССР, 1982, 263, № 3, с.537-540.

11. Лукашенко Т.П. О функциях обобщённой ограниченной вариации.-Известия АН СССР. Сер. мат ем., 1982, 46, )k 2, с.276-313.

12. Лукашенко Т.П. Об интеграле Перрона-Стилтьеса.- Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Матем., мех., 1982, № 3, с.38-47.

13. Лукашенко Т.П. О функциях ограниченной вариации на множестве,- Некоторые вопросы прикладной математики и программного обеспечения ЭВМ. Ш.: изд-во Моск. ун-та, 1982, с.34-35.

14. Лукапенко Т.П. О представлении сопряжённой функции А-инте-гралом.- Некоторые вопросы математики и механики. М.: изд-во Моск. ун-та, 1983, с.38-39.

15. Лукашенко Т.П. О свойствах функций с ограниченным изменением на множестве.- Международная конференция по теории приближения функций. СССР, Киев, 30 мая - 6 июня 1983г. Тезисы докладов, Киев; изд-во института матем. АН УССР, 1983, с.115.

16. Лукашенко Т.П. О свойствах функций ограниченной вариации на множестве.- Матем. сборник, 1983, 122(164), !£ I, с.41-63.

17. Лукашенко Т.П. О свойствах функций с ограниченным изменением на множестве.- Теория приближения функций. Труды международной конференции по теории приближения функций. 1983г. М.: Наука, 1987, с.267-269.

¿-15384 В печать 02.11.89 Изд.й 56п Формат 60x84/16 Уч. изд. л. 1,1 Печ. л. 1,75 Тирад 100 экз.