Особые интегралы в аддитивных задачах варинговского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

>Г6 ОД ЗУ

у ^¿а МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

на правах рукописи УЖ 511.3

I

• ЗРЕЙН АБДУЛ-АЗИМ ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В АДДИТИВНЫХ ЗАДАЧАХ ВАРИНГОВСКОГО ТИПА .

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского Государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Г.К.Архипов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор K.M.Тимофеев

- кандидат физико-математически: наук, доцент С.В.Тыринз

Ведущая организация - .Математический институт им. В.А.Стеклова РАН

Заащта диссертации состоится ЯНВАРЕ 1994 р. в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета »Zu математике (д.053.05.05) при Московском государственном униБерси тете имени М.В.Ломоносова по адресу: II9899, Москва, Ленински горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория-1408.

С диссертацией мохно познакомиться в библиотеке механкко-мг тематического факультета МГУ.

Автореферат разослан ДЕКЛБРЯ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена нахождению точна?, значений показателя сходимости особого интеграла в проблеме Гильберта-Камке для нецелых степеней и в проблеме Хуа-Логена для среднего значения тригонометрического интеграла в случае обобщен-вогв многочлена, а такяе индивидуальным оценкам соответствующих тригонометрических интегралов. Актуальность теми.

Тригонометрические интегралы и теоремы об оценках их верхних граней встречаются в различных областях математики: в теории чисел (см.I1-14]), з теории вероятностей и математической стгтисткке (см. П5-173), в теории фуккчшй действительного переменного (см. (183).

Особые интегралы в аддитивных задачах теории чисел возникают как множитель 7 в асимптотической формуле типа

А{х) ~ а 7 ха при некотором а > О для количества одновременна представлений набора растущих натуральных чисел N,,...,11 слагаемыми, обладающими заранее установленными арифметическими свойствами, при этом х характеризует порядок возрастания предполагаемых чисел. Второй множитель о в этой асимптотической формуле равен сумме особого ряда рассматриваемой аддитивной проблемы.

Для того, чтобы эта формула действительно давала асимптотику интересующей нас величины, очевидно, необходимо отличие от нуля обеих величин о и 7. Заметим, что выполнение этого условия по существу эквивалентно разрешимости исходной задэчи соответственно. Бывают случаи, и к ним, в частности, относится проблема Гильберта-

ч

Камке для нецелых степеней, когда вопрос о р-адическсй разрешимости решается тривиально и о = 1, тогда кетривиальность асимптотики

определяется исключительно отличием от нуля величина 7. Поясним, что проблемой Гильберта-Камке с нецелой степенью называют задачу о

представлении набора растущих чисел ,... в виде:

п, +9 а, +9

К, = 3 + ... + 1хк' 1

2L+6 п+9

Нр = íx^ ] + ... + i

Здесь мы полагаем, что 0 ч 9 < 1, а к это число слагаемых, п,,...,пг - фиксированные натуральные числа, и

Я, S I « W. " '

В данных обозначениях особый интеграл 7 = 70 в проблеме Гильберта-Камке выражается в виде следующего несобственного интеграла:

■К» +00 1

Т0 - J —J (je je ' " г аа1...аар, (1)

-со -<о О

п.+9 IL+9

где í(x) = а,х +... toiyX^ (0<е<1). (2)

При изучении величины в первую очередь возникает вопрос абсолютной сходимости этого несобственного интеграла. При этом подынтегральное выражение представляет собой тригонометрический интеграл

г ¿

I = Ко,,...,^) = I е

о

от обобщенного многочлена Цх) указанного выше вида. Можно установить абсолютную сходимость интеграла 7 при достаточно большом значении к, опираясь на оценки интеграла I по параметру а = |а, | + ... + |аг| со степенным понижением. Здесь возникает задача о всей области значений степени осреднения к для модуля интеграла I, при которой имеет место абсолютная сходимость интеграла 70.

В случае проблемы Терри Еопрос о сходймости особого интеграла

1

2%Щх)

úx

7 = 71 известен как проблемз Хуз-Логена (смЛЗ-51,Н01). Эта проблема бнла решена в раОоте [93, где была полностью исследована область значений И, - при которой сходится особый интеграл в проблеме-Терри, к тем самым решен вбпрос о показателе его сходимости.

Для показателя сходимости к^ особого интеграла 70 в проблеме Гильберта-Камке верхняя оценка была подучена в работе 1143.

«окно рассмотреть также более общую задачу о нахождении показателя сходимости особого интеграла 70, если заменить Г(к) на функцию вида

с с

ГШ = о,х 1 + ... + о,,х г, где С > ... С1 > 0 -

«

произвольные действительные числа. Если тгкув функцию рассматривать как обобщение, обычного многочлена, то в гтом смысле гадачу нахождения показателя сходяиоси: соответствующего интеграла •>,. естественно назвать обобщенной проблемой Хуа-Логена о моменте тригонометрического интеграла.

Цель исследования. 1. Получить точное значаще показателя сходимости особого интеграла в проблеме Гильберта-Камке для нецелых степеней и в обобщенной проблеме Хуа-Логена.

2. Получить индивидуальные оценки для соответствующих тригонометрических интегралов.

Общая методика исследования. Используются методы оценок тригонометрических сумм и интегралов. Обобщение этйх методов опирается на изучение аналитических свойств обобщенных многочленов. Приложение. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для исследования обобщенных решений задачи Ксшш для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Избранные главы аналитической теории чисел" под руководством профес-

- б -

сора Г.И.Архипова и профессора Б.Н.Чубэрикова в МГУ и были представлены на международной конференции "Современные проблею теорш чисел" в г.Тула.

Публикация. По теме диссертации автором опубликованы две работы, их список приведен в конце автореферата.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, объем работы 74 машинописных страниц, список литература включает 27 наименований. "

Содержание диссертации. Первая глаза диссертации посвящена нахождению точного значения показателя сходимости особого интеграла в проблеме Ггльберта-Камке для нецелых степеней. Основным результатом этой главн являются следующее утверждение.

Теорема 1. Особый интеграл yQ, определенный формулами (1-2), является абсолютно сходящимся при k > Iîq и расходится абсолютно при к « Kq, где

kg = шах {хц+.-.+Пр+гв , г(г+1)/2 + 1). Следует отлетать, что здесь обнаруживается новый эффект, связанный с показателем сходимости особого интеграла проблемы Терри. Дело в том, что при граничных значениях параметра е, то есть при 8 = О и 9 = I нэв результат о значении kQ остается в силе и непрерывно переходят при этом е значение показателя сходимости k1 особого интеграла т1. Но известно, что формулы, задающие величину 1ц, в случаг ях полной и неполной систем диофантовых уравнений отличаются между собой на единицу. В то же время ваша формула для величины kQ выражает это свойство единообразно.

Зо второй главе найдено точное значение показателя сходимости в обобщенной проблеме Хуа-Яогенэ о моменте тригонометрического интеграла. Доказана следующая теорема.

Теорема 2. Рассмотрим интеграл у0 вида (1) для i(x) вида

f(x) = a,x 1 + ... + а^х г (г > 1, Сг > ... > С, > О - фиксированные действительные числа. Тогла интеграл т0 сходится абсолютно при k > kg и расходится абсолютно при к § kg, где

ICq = тах{1 + г(г+1 )/2 , С, + С2 + ... + С„К Третья глава диссертации посвящена оценке тригонометрического интеграла

1

г 2lii(x)

КГ) = е ах ■ (3)

о

для Г(х) вида

с. с

f(r) = a,x 1 + ....+ оус п (4)

1С > ... > С1 - данные действительные числа). Основным результатом этой главк является Теорема 3. Для данных Сд > ... > С, >0 существует такая константа С > 0, что для любой функций i(x) вида (4) выполнено следующее неравенство для интеграла (3):

|I(i)| « С А"1/т, где А = шах

а Т имеет Т = п + <С,-1> + <С2-С1-1> + ... т <С„-СП_.,-1>, где <а> означает <а> = иах(0,а) = (а + (а|)/2.

Константа С в теореме 3 может быть-эффективно указана в случае, когда С1,... ,СП офззувт арифметическую прогрессию. 3 глазе 3 до-ч- казано следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть С. = а + Ь(3-1> цри 3 = 1,...,п (а,Ь > 0).

V

Тогда интеграл (3) для Г(х) вида (4) можно оценить следующим образом:

|I(f)f $ 18 е (аЬп_1А)~1 где А = шах jet. j,

i

Т = z + <а-1> + (п-1) <b-1>.

- 8 -n

В частности, s случае Hz) = J (0 < 9 < 1 ) получаем улуч-

0=1

аенную по сравнения с IKÎ оценку: .. .-.;

|1(Г5| 18 е А"1/(п+6).

Применяя Teopajy 4, мы ?гхз:г доказываем следующую оценку.

Теорема 5. Для = а1х1+6 + ... + с^х"*6 40 «6^1) при

всех р ? 1 юзет место сценка 1 • с р siriiiz)

| х s te ^ 18 е А , где А = sas ja,i. '

J i о

Б заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Г.К.Архипову и профессору , З.Н.Чубарикову гъ многочисленные ценные советы и полезные обсуждения катеркалоз ргзгта.

Список пабот автора по. теме диссертации. «

1. Зрейн А. Об оценке показателя сходимости особого интеграла обобщенной проблемы Терри. Тез. международной конференции "Современные проблема теории чисел", г.Тула, сентябрь 1993, с.58.

2. Зрейн А. О показателе сходимости особого интеграла обобщенной проблемы Ггльбзрта-Каев. Сдана в печать в Вестник МГУ.

Литература.

и Виноградов И.М. Избранные труда. М., Изд-во АН СССР, 1952. Z. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чхсед. П., "Наука", 1971.

3. Hua'L.K. On Таггу'з problem. Quart.J.Math., 9 (1938), 315-320.

4. Hua L.K. On the number oí solutions oí Tarry's problem. Acta Scientla Sínica, t (1952), 1-70.

5. Хуа Ло-Кэн. О проблеме Терри. Тр. 3-го Всесовзн. матем. съезда, T.IV (1959), 140-143.

6. Архипов Г.И. О проблеме Гильберта - Камке. Изв. АН СССР, сер. мзтематика, 1984, т.48, & 1, с.3-52.

Т. Архипов Г.it., Кзрапуба A.A., Чубариков З.К.. Верхняя граница модуля кратной тригонометрической суммы. Тр. матзм. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР, т.143 (1977), 3-31.

8. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н.. Точная оценка числа решений одной системы диофантовых уравнений. Изв. АН СССР, сер. мзтем., т.42 (1978), 1187-1226.

9. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.К.. Тригонометрэте схие

интегралы. Изв. АН СССР, сер. матем., т.43, Jé 5, 1979.

10. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н.. Теория кратных тригонометрических суш. М., "Наука", 19S7.

11. Карацуба A.A. Основы аналитической теории•чисел. М., "Наука", 1983. *

12. Чубариков В.Н. Об оДйом кратном тригонометрическом интеграле. Докл. АН СССР - 1976, Т.227, Л 6, с. 1308-1310.

13. Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах. Матем. заметки, т.20, 1 (1976), 61-63.

14. Житков А.Н.. Оценки тригонометрических интегралов. Матем. за-

метки, T.40, Jt 3, 1966.

15. Сздаковз С.М. Некоторые неравенства душ характеристических-функций. Теория вероятн. и ее примен., т. 11 (1966), 500-506.

16. Юринский В.В. О применении леммы ван дер Корпута для оценки

характеристических функций некоторых сингулярных распределе-

«

■ ний. Теория вероятн. е ее примен.,т.16, Jè 2 (1971), 389-391. .17. Юринский В.Б. Оценки характеристических функций некоторых выроаденных многомерных распределений. Теория вероятн. и ее примен., Т.17, £ 1 (1372), 99-110. 18. Carleson Ь. und Stölln P. Oscillatory integrals and a multiplier problem Юг г disc. Studie Math., 44 (1972), 2ST-299.