Исследования по проблеме Гильберта-Камке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА.

§ I. Определения и вспомогательные леммы •••

§ 2. Доказательство теорем

ГЛАВА П. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБОГО РЯДА. **

ГЛАВА Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА.

Настоящая диссертация посвящена определению истинного порядка числа слагаемых в проблеме Гильберта-Камке. Проблемой Гильбер-та-Камке называют направление в аддитивной теории чисел, включающее в себя круг задач, связанных с исследованием вопроса об одновременном представлении натуральных чисел суммами ограниченного числа натуральных слагаемых соответственно вида в У%,

ОС; ос , . . J X . Другими словами, изучается вопрос о разрешимости следующей системы диофантовых уравнений г i I> lit.

Проблема Гильберта-Камке является естественным обобщением проблемы Варинга, которая, как известно, состоит в изучении базисных свойств последовательности П -ых степеней натуральных чисел.

Первые исследования по проблеме Гильберта-Камке были выполнены в 1921 году Э.Камке в работе [ 8 ]. О постановке самой проблемы в данной работе на странице 88 сказано следующее:

HerrHilbert hat vor rund 10 Jahren in einem Seminar allge-mein die Frage nach der similtanen Zerf'dllung von Zahlen in Poten-zen ganzer Zahlen aufgeworfenj d.h. unter welchen mbglichst gerin-gen Einsohr'dnkungen fttr die zu zerfallenden Zahlen , gibt es zu einer gegekenen ganzen Zahl eine positive ganze Zahl von der Art, dajj fttr je n positive ganze Zahlen ^ >•»• , ^ » welo^e jenen Einsohr'ankungen unterliegen, die Gleiohungen

Sn £ r n ^ X. M l = x

X af=l Л W

У x%

N * 3C«i ж

I I > • - - sich. simul-tgn durch ganze Zahlen Xy ^OlSsen 1аавеп?" (перевод: "Господин Гильберт, примерно 10 летуна семинаре ставил общий вопрос об одновременном представлении чисел в виде степеней целых чисел; т.е. при каких по возможности наиболее слабых ограничениях на представляемые числа £у имеется для данного целого числа YL ^ И положительное целое число JV = Jf(n) такое, что для любых Я положительных целых чисел i± у . v., , которые удовлетворяют этим ограничениям, уравнения [(4) J одновременно разрешимы в целых числах?") «

Как видно из текста цитаты, с точностью до обозначений система [(4)] статьи ["8] совпадает с системой (!), рассмотренной нами выше (во избежании путаницы мы номера формул из цитируемых работ заключаем в квадратные скобки). Статья Э.Камке поступила в печать в середине 1620 года, и можно считать, что первая постановка "проблемы Гильберта-Камке" была дана Гильбертом в связи с его исследованиями по проблеме Варинга, приведшими в 1909 году к её решению см. [7] ).

Само название "Проблема Гильберта-Камке" было, по-видимому, предложено Ю.В.Линником (см. Г28], глава 2).

В цитированной выше постановке проблемы говорится о дополнительных условиях на параметры в системе f(4)] , что соответствует условиям на параметры J^ , . , TfK в системе (1).

Как следует из сказанного далее в статье Э.Камке, Д.Гильберт показал, что присутствие таких условий является необходимым, в отличие от проблемы Варинга, где никаких дополнительных условий не требуется. Одно из этих условий является следствием неравенств т < г) : справедливых в силу неотрицательности чисел , . Условие имеет вид (гп g yv) •

Второе условие, указанное Д.Гильбертом, таково;

Ki - (rruodp), (8) если только р -простое число и Ю. +• f>-i g /г • Оно справедливо в силу сравнения

Ху - ^у ( п^ир) , V = k.

Таким образом, для разрешимости системы (I) в натуральных числах СС^ t , . а необходимо выполнение условий двух типов: а) условий, характеризующих разрешимость системы (1) в вещественных числах, например, условий типа неравенств (2), связующих между собой порядки роста правых частей системы (1); б) условий, характеризующих арифметическую природу решений системы (I), их целочисленность, выраженных, например, в виде сравнений (3).

В дальнейшем условия разрешимости типа а) мы будем называть вещественными условиями, или условиями порядка, а условия разрешимости типа б) - арифметическими условиями.

Условия (2) и (S), указанные Д.Гильбертом, являются необходимыми, но заведомо не достаточными. Поэтому задача, поставленная Гильбертом, по существу определяла исследования в следующих взаимосвязанных между собой направлениях:

1) указать возможно более сильные необходимые условия разрешимости системы (I) типов а) и б);

2) найти достаточные условия разрешимости, возможно более близкие к необходимым условиям предыдущего пункта;

3) при выполнении достаточных условий пункта 2) доказать существование числа X - и такого, что при h система (1) имеет решение для достаточно больших значений параметров

4) указать возможно более точно наименьшее значение величины t (п),

В вышеупомянутой статье Э.Камке дал следующие достаточные условия разрешимости системы (2): а) арифметические условия - требуется, чтобы все числа Jfi} .•., ^Сг делились на некоторое - не указанное эффективно - число Д ; б) условия порядка - требуется, чтобы при некоторых числах

Ч > % > ® < ^ * ^ » существование которых для данных ft и h доказывалось, выполнялись неравенства ы К*< < ^ ^.

При указанных условиях Э.Камке доказал существование числа Этот результат в дальнейших исследованиях по проблеме Гильберта

-Камке по ряду причин рассматривался как предварительный. (см.[33 3 ). Причины эти следующие.

Во-первых, арифметические условия разрешимости, наличие которых требовал 3.Камке, являются очень жесткими и неестественными. Действительно, наборы чисел э л SfK и >-•> +1} очевидно, должны быть эквивалентны относительно арифметических условий, но условиям 8.Камке может удовлетворять только один из этих двух наборов. К тому же достаточные арифметические условия Э.Камке значительно отличаются от необходимых условий, указанных Д.Гильбертом.

Второй существенный недостаток результата Э.Камке состоял в том, что значение было найдено в неявной форме. Метод

Э.Камке являлся развитием метода Д.Гильберта решения проблемы Варинга и, как и последний, приводил в случав своей эффективиза-ции к очень и очень большим значениям величины .

Что же касается вопроса о вещественных условиях разрешимости системы (1), то здесь результат Э.Камке можно считать удовлетворительным, несмотря на то, что необходимые условия вещественной разрешимости и достаточные условия этого типа у Э.Камке не совпадали. Здесь необходимо сказать следующее. У 8.Камке объем области U)i точек (J*fx, •••, Л^), соответствующей достаточным условиям разрешимости, составлял конечную часть от объема области сОх , отвечающей необходимым условиям. Истинный же объем области и)^ , точек(J^ii W^j , для которых система (1) разрешима в вещественных положительных числах ЭГ^ (чю на самом деле является одновременно необходимым и достаточным условием вещественной разрешимости), постоянно растет с ростом величины - количества слагаемых в уравнениях системы (1).

Но поскольку проблема Гильберта-Камке состоит прежде всего в доказательстве ограниченности & , то область и)(&) точек э Jfyi) , отвечающая этому ^ , всегда будет составлять лишь конечную часть от объема области, отвечающей неограниченному числу слагаемых, то есть истинное соотношение объемов двух этих областей в принципе то же самое, что и у Э.Камке. Дальнейшие исследования по проблеме Гильберта-Камке мы будем рассматривать в сопоставлении с исследованиями по проблеме Варинга. В 1920 году Харди и Литлвуд, применив разработанный ими вместе с Рамануджаном круговой метод (см. [ 37] ) дали новое, гораздо более совершенное решение проблемы Варинга (см. [ 38] ). Основной результат, полученный в Гзв] , можно сформулировать так: при к * €( уь) и ^ (й-) диофантово уравнение проблемы Варинга сг* + . + сг£ - Jf W разрешимо в неотрицательных целых числах ^ • При ^ А (п) для количества 1(^1) решений уравнения (4) имеет место асимптотическая формула где oi и ув - некоторые зависящие от YI положительные величины. Величина & равна значению некоторого ряда, а величина jS - некоторого интеграла, называемыми обычно особым рядом и особым интегралом проблемы Варинга. Особыми называют подобные ряды и интегралы и в других аддитивных задачах.

В работе Г 38]Харди и Литлвуд доказали также, что величины и A (ft) удовлетворяют неравенствам:

С (а) « YtX^ и А(VI) « пХ"-.

Впоследствии в работе [39] они несколько улучшили этот результат.

В 1924-1928 годах И.М.Виноградов в работах fl],[*2] разработал метод конечных тригонометрических сумм. Этим методом он получил новое, существенно более простое доказательство результатов Харди и Литлвуда в проблеме Варинга. Затем, развивая и совершенствуя свой метод, дополнив его новыми, созданными им методами оценок тригонометрических сумм, И.М.Виноградов принципиально улучшил эти результаты. Его последние оценки сверху величин (г(п) и А{п) имеют вид стр.40)

А(п) < 5) (см.[я], стр.97).

Сила этих оценок становится ясной при сопоставлении их с очевидной оценкой снизу для величины :

G (W-) > п •

Метод И.М.Виноградова позволил получить новые существенные результаты в проблеме Гильберта-Камке и в других близких к ней задачах аддитивной теории чисел. В 1929 году в работе [3J И.М.Виноградов рассмотрел систему из двух диофантовых уравнений "варин-говскогои типа

5)

Он получил асимптотическую формулу для количества решений этой системы:

YL К

Здесь снова (Я^- значение особого ряда , а значение особого интеграла задачи. Из этой формулы следует разрешимость системы (5) при условии, что U± > О и > О . Неравенство доказал сам И. М.Виноградов в работе [ъ ] , а неравенство (Я±>0 - К.К.Марджанишвили в 1936 году в работе С 29J.

В следующем, 1937 году К.К.Марджанишвили рассмотрел уже полную систему из уравнений типа (5), то есть систему (1) проблемы Гильберта-Камке. В работе [do] для величины - количества решений системы (I) - методом И.М.Виноградова он получил асимптотическую формулу

JL П (п+1) о ~ бгК * (б) > справедливую при

4 Aju) . где АЛ) - некоторая явно указанная величина, S й|" - соответственно особый ряд и особый интеграл системы ("I). Кроме того, К.К.Марджанишвили в этой работе нашёл такую форму арифметических условий разрешимости, в которой они оказались одновременно необходимыми и достаточными. Вещественные условия в [ioj имели тот же вид, что и у Э.Камке в { 8 ] . При выполнении указанных условий разрешимости К.К.Марджанишвили доказал, что величины d и Y положительны, если vi ч. и

ТОЛЬКО была лолучена оценка х{то ^ YC X

Это был главный результат работы (до].

В ряде своих последующих работ К.К.Марджанишвили улучшал результаты статьи [ю ] и рассматривал задачи, близкие к проблеме Гильберта-Камке. В работе [зо] для величины А4(п)он получил

St? оценку Д (уь) « п П , вместо весьма грубой прежней k ^ Yi1 К ** . Тем самым для величины ч „ п -п.-а оценки этой величины, полученной в poj. В 1940 году К.К.Марджанишвили рассмотрел систему (l) в предположении, что неизвестные Xd> являются простыми числами (см. Г31]). Используя идеи метода И.М.Виноградова оценок тригонометрических сумм с простыми числами, он вывел асимптотическую формулу для количества решений при числе слагаемых k порядка Yt , исследовал особый ряд и особый интеграл задачи и доказал её разрешимость при числе слагаемых порядка У, , С >0 - некоторое число. Другими словами, для системы (1) с простыми значениями неизвестных se^., в работе [3lj были получены приблизительно такие же результаты, как и в проблеме Гильберта-Камке. Систему (-1) с простыми числами рассматривал Хуа-Логен в книге [34] . Он доказал асимптотическую формулу для числа решений, но его теоремы и леммы о положительности особого ряда и особого интеграла имели условный характер.

В 1947 году, используя новые оценки тригонометрических сумм, полученные'в [ 5] и [24], К.К.Марджанишвили доказал, что

А, « у^^я.

Аналогичный результат был получен Г.В.Емельяновым в работе [45J. Перечисленные выше результаты К.К.Марджанишвили в 1949 году вошли в его докторскую диссертацию [ 32] •

В 1953 году К.К.Марджанишвили в статье [и] рассматривал "выщербленную" систему диофантовых уравнений типа системы (1), отличающуюся от системы (I) тем, что некоторые уравнения в ней опущены. Для этой системы он по-новому сформулировал арифметические условия разрешимости - одновременно необходимые и достаточные, дал новую формулировку достаточных условий вещественной разрешимости и в предположении положительности особого ряда(при малых -k) доказал разрешимость системы (с оценкой количества решений)

- 12 при числе слагаемых & , удовлетворяющих неравенству » пт Ьп п } где Yfl - число уравнений в "выщербленной" системе. Помимо указанных нами работ различные аспекты проблемы Гильберта-Камке рассматривались в статьях К.К.Марджанишвили [ssj, Ю.В.Линника f2a], А.А.Карацубы [i9] . Весьма полный обзор выполненных до 1934 года работ по аддитивным задачам, близким к проблеме Гильберта-Камке, содержится в книге Хуа Логена Г2£](см. также [~I6j, [i7],U0j,["43j, Об] ). Сопоставление приведенных выше результатов по проблеме Варинга и проблеме Гильберта-Камке показывает, что асимптотическая формула в обеих задачах была получена при числе слагаемых одного порядка. Точнее, было доказано, что

А (я) «гс'й.п И At(n) .

В то же время в вопросе о разрешимости ситуация была совершенно иная. Длфбличины & (и) в проблеме Варинга мы имеем к < 6 (У) «п1+е, где &0 - сколь угодно мало и константа в « зависит от £ , а для в проблеме Гильберта-Камке имеем только п* с< г (У1) «г ( .

Вопрос об арифметических условиях разрешимости был решён окончательно, а об условиях порядка - имел удовлетворительное решение. Из асимптотической формулы (б) при достаточно больших следует существование решений системы (2), если только величины € и § положительны. Но при выполнении условий порядка и положительность jf" была установлена ещё в работе [ГХ]. Таким образом, задача определения истинного порядка величины была сведена к определению истинного порядка числа слагаемых 4 , при котором величина б положительна. Отметим кстати, что показатель абсолютной сходимости ряда был установлен Хуа Лагеном в работе [36] (он равен 0.5»г(ки+1)+ ), а показатель абсолютной сходимости особого интеграла (Г найден в работе А.А.Карацубы, В.Н.Еубарикова и автора [71 ] (он равен OSrt(n~+±)+ ± ), кроме того, имеет место равенство б где индекс в бесконечном произведении П пробегает все простые числа натурального ряда.

Многие учёные разделяли мнение о том, что в действительности величина *С()ь) имеет порядок YI . Исследование особых рядов проблемы Гильберта-Камке и близких к ней задач, выполненные в работах [19],[2б],[33], были направлены на то, чтобы в конечном счёте доказать неравенство б > О при числе слагаемых именно „Л+£ порядка К , и полученные там результаты подтверждали эту гипотезу. Так, А.А.Карацуба в работе [19J доказал, что при k > 3ЯпП, справедливо неравенство

П б > о . р>)г

Важность задачи нахождения истинного порядка величины г(п) неоднократно отмечал И.М.Виноградов. В разделе 16 своего доклада на Третьем Всесоюзном математическом съезде (см. [13] ) он говорил: "Наряду с проблемой Варинга важное значение имеет проблема исследования числа решений системы

I • • I i " > • • • . . при условии, что каждое . Яц, пробегает значения

В случае наличия некоторых такого рода неравенств4Аасимптотическая формула для числа представлений при помощи моего метода была выведена К.К.Марджанишвили и Хуа Ло-гэном для значения порядка и,1 ^г YI ( К, 4 ^гъуь хуа Ло-гэн). Из этой асимптотической формулы будет следовать и существование представлений, если показать, что сумма некоторого ряда стоящего множителем в главном числе, превосходит положительное постоянное число. Верхняя граница для наименьшего Ь с таким условием установлена (Марджанишвили), однако она ещё очень велика. Важной задачей является установление границы более низкого порядка, например^ границы ~ Ц лЛ QvlYI, ".

В двух последних изданиях своей монографии "Метод тригонометрических сумм в теории чисел" И.М.Виноградов снова писал об этой задаче (см.С б], стр. IS и [9] , стр. 12-13).

Задача определения истинного порядка величины , как уже было сказано, является главной целью исследований, составляющих содержание данной диссертации. В результате этих исследований установлено, что величина Ь(ь) удовлетворяет неравенствам j^-i ^ Ъ(и) ^ З^йЛ-и,.

Отсюда вытекает, что истинный порядок числа слагаемых в проблеме Гильберта-Камке равен Т где Т - А . Таким образом, гипотеза о том, что величина имеет порядок и5"*^ оказалась ошибочной.

Вместе с отысканием порядка величины *t-(n) в данной диссертации рассматриваются и другие аспекты проблемы Гильберта-Камке i) Т.е. выполнения условий порядка см. приведённые выше пункты 1)-4)). Прежде всего,' здесь формулированы вещественные условия разрешимости в такой форме, в которой они по существу являются одновременно необходимыми и достаточными', так как если эти условия не выполняются, то количество решений системы (I) ограничено некоторой величиной, зависящей от параметров И и В диссертации найдены новые, более удобные в использовании формы арифметических условий разрешимости, которые позволяют единообразно формулировать необходимые и достаточные арифметические условия для "выщербленных" систем, систем уравнений с целозначными многочленами произвольного вида и допускают аналогичные обобщения на случай многочленов от многих переменных. Доказана также асимптотическая формула для числа решений системы (I) с оценкой остаточного члена и попутно получено уточнение упрощенной формы теоремы И.М.Виноградова о среднем значении модуля тригонометрической суммы.

В диссертации получены в явном виде оценки значений особого ряда и особого интеграла. Отметим, что все абсолютные постоянные приведены нами в конкретном числовом виде, и это позволяет в принципе указать числовое значение Р основного параметра (при заданных значениях прочих параметров), начиная с которого система (1) будет заведомо иметь решение, если, конечно, выполнены условия разрешимости двух типов.

Обращаясь вновь к пунктам 1)-4) постановки проблемы Гильберта-Камке, можно сделать вывод, что полученный в диссертации результат во всех отношениях весьма близок к окончательному. Сравнение состояния исследований по проблеме Варинга и по проблеме Гильберта--Камке теперь показывает, что обе задачи находятся примерно в одина ковом положении. Более того, в проблеме Варинга неизвестен пока истинный порядок величины A(n.)t в то время как в проблеме Гиль-берта-Камке одновременно с истинным порядком величины ) установлен истинный порядок для числа слагаемых , при котором количество решений 17 системы (I) выражается нетривиальной асимптотической формулой.

Следует еще отметить такой факт. При выводе оценки снизу для величины 1(п) попутно было установлено, что система форм, стоящих в левых частях уравнения (I) может нетривиально представлять нуль в поле р -адических чисел при р = Л только в том случае, когда число неизвестных b удовлетворяет неравенству к * л*

Данный результат опровергает известную гипотезу о представлении нуля системой форм в поле ja -адических чисел. По этой гипотезе нетривиальная представимость нуля должна была иметь место для

I SL is if & всякого & , превосходящего величину 4 + $,+*- +УС ^ УС Эта гипотеза обобщала гипотезу Артина для одной формы. Гипотеза Артина была уже опровергнута в 1966 году в работах Тержаниана и Бровкина. Они доказали, что для нетривиальной представимости нуля любой формой необходимо выполнение неравенства; к -> с(£)13~£.

Используя новые соображения, А.А.Карацуба и автор в работах Гб2], [63],[64] получили и в этом вопросе принципиально более сильную оценку; *к константа в знаке » зависит от X .

В настоящей диссертации используется ряд общих методов аналитической теории чисел. Это - круговой метод в форме конечных тригонометрических сумм, метод И.М.Виноградова оценок тригонометрических сумм вместе с теоремой о среднем и р -адический метод. Используются также основные идеи работ К.К.Марджанишвили fioj, p[l],C82l i относящиеся к проблеме Гильберта-Камке.

Схема применения кругового метода (в форме тригонометрических сумм) в рассматриваемой задаче такова. Величина 7 = s NK) - количество решений системы (I) записывается в виде кратного интеграла от тригонометрической суммы по единичному П -мерному кубу СО . Затем по каждой переменной интегрирования выделяются "большие дуги", то есть "малые" окрестности рациональных чисел с "малыми" знаменателями. В результате этого в области со выделяется некоторая подобласть U)± . Хотя её объем очень мал в сравнении с объемом всей области интегрирования

U) (равный! единице), именно на содержится основная часть интеграла СО , дающая главнай член в асимптотической формуле. Данное свойство интеграла 3 отражает основную идею кругового метода. Здесь необходимо подчеркнуть, что ключевым моментом применения кругового метода является оценка остатка, то есть части интеграла отвечающей оставшейся области сО^ . Именно эта оценка обеспечивает эффективность всей схемы. Она выводится из теоремы И.М.Виноградова о среднем и его оценок тригонометрических сумм.

Главный член асимптотической формулы содержит, как уже было сказано, в качестве сомножителей особый ряд (э и особый интеграл Ц" , и для величины & имеет место равенство в - П «г •

Во второй главе диссертации доказано, что величины б! г удовлетворяют соотношениям sC7)

P 4 1 где W fp^ есть число решений системы сравнений, которая получается из системы уравнений (i) при замене знаков равенств на сравнения по модулю р . Из соотношения (7) можно получить такое следствие: при достаточно большом к условие б^ > О эквивалентно наличию решений системы (I) в целых р -адических числах, причем среди этих решений должны быть такие, которые содержат по меньшей мере п попарно различных чисел. Назовём такие решения регулярными. Очень близким по смыслу к этому условию является и установленное в третьей главе диссертации условие положительности величины ft" . Его можно сформулировать так: особый интеграл Jf положителен в том и только в том случав, когда система (1) имеет регулярное решение в вещественных неотрицательных числах Хр*., (при достаточно большом & ).

Таким образом, в результате применения кругового метода мы приходим к такому критерию: для достаточно большого величина О возрастает вместе с ростом основного параметра ^ в том и только в том случае, когда система Ш имеет регулярные решения во всех полях f> -адических чисел и неотрицательное регулярное решение в поле вещественных чисел. Регулярное решение можно определить ещё как решение, матрица Якоби которого имеет максимальный ранг. К подобному критерию приводит применение кругового метода и в других аддитивных задачах.

Сформулированный критерий мы далее будем называть критерием Харди-Литлвуда-Рамануджана (Х.-Л.-Р.) по имени создателей кругового метода. Заметим, что в теории представлений нуля квадратичными формами над полем рациональных чисел известен весьма похожий критерий, даваемый теоремой Минковского-Хассе (см. Г 44], стр.76): квадратичная форма представляет нуль в том и только в том случае, когда она имеет представление нуля в поле вещественных и во всех полях f> -адических чисел. Исторически круговой метод и критерий Минковского-Хассе были открыты приблизительно в одно и то же время так что оба критерия можно рассматривать как дополняющие друг друга.

Следует ещё отметить, что в последнее время Б.М.Бредихин, развивая идеи И.М.Виноградова (см. [4]}, К.ХоолИ (см. [41]) и Ю.В.Линника (см. [27] ), разработал новый метод получения асимптотических формул в аддитивных задачах теории чисел, который, по видимому, можно применить и системе уравнений (1) и доказать для неё критерий Х.-Л.-Р. без использования кругового метода (см. [42],[43] ).

Остановимся теперь на |э -адическом методе. Мы называем р --адическими методами методы аналитической теории чисел, связанные с использованием сравнений по степени простого числа р . Важную роль в аддитивной теории чисел сыграл разработанный Ю.В. Линником -адический метод доказательства теоремы И.М.Виноградова о среднем значении модуля тригонометрических сумм (см.[24], [25]). В 1962 году А.А.Карацуба в работе [14] разработал другой -адический метод, который позволил получить ещё одно f -ади-ческое доказательство этой теоремы (см. ). Методы Ю.В.Линника и А.А.Карацубы имели и общие черты, и существенные отличия. Изложение идейных основ этих методов дано в § 7 первой главы книги [58] .

В последующее время А.А.Карацуба совершенствовал свой метод м и вместе со своими учениками - участниками семинара по аналитической теории чисел в МГУ. Результаты, полученные в данной диссертации, по существу являются дальнейшим развитием Jo -адичес-кого метода А.А.Карацубы.

В настоящее время этот метод включает в себя несколько приёмов, тесно связанных между собой в идейном отношении, и потому при каждом применении метода используются сразу несколько приёмов к соображений в некоторой комбинации. Укажем далее основные приемы этого метода (см. работы [14] -[23||50]-173]).

1. Использование кругового метода в р -адической форме.

2. Построение р -адического аналога % - чисел И.М.Виноградова; реализация в р -адической форме "принципа вложения" Эйлера-Виноградова при оценке числа решений уравнений и сравнений "ва-ринговского" типа.

3. Понижение степени многочлена за счет "сдвига" аргумента (то есть разбиения значений аргумента на прогрессии) на число, кратное некоторой степени простого.

Рекуррентное сведение аддитивных задач на неполную систе

I л му вычетов по модулю р к сравнениям на полную систему вычетов и 1С задачам того же типа, но с меньшим значением главных и неглавных параметров; методы изучения возникающих систем сравнений.

5. Использование условий регулярности решений уравнений и сравнений в р -адической форме.

6. Применение переменных параметров в рекуррентном процессе пунктов 2 , 3, и методы оптимизации по этим параметрам.

7. Переход от "выщербленных" систем к полным за счет локального -адического изменения неизвестных.

8. Одновременное использование нескольких модулей.

9. Использование идеи сглаживания в jb -адической трактовке.

10. Переход в сравнениях от многочленов к показательным функциям и наоборот.

II. Методы оценок меры множества точек с малым значением функций через значения их параметров и обратных оценок этих параметров через меру в -адическом и вещественном вариантах; вещественная интерпретация приемов, изложенных в пунктах 2,3,4, 6,7.

Приведем теперь точную формулировку основных результатов диссертации. Перечень этих результатов включает в себя шестнадцать пунктов. При этом центральный результат о порядке числа слага емых в проблеме Гильберта-Камке сформулирован в последнем, шестна? цатом пункте и он является прямым следствием результатов пунктов 1,5,8,13, 14 и 15.

I. При ^(^LK + lkhK+V) , к * Р°'£ Для числа решений $ системы (!) при условии I < сР справедлива асимптотическая формула fl i + $ YL Р ~ 30 fi+^и.)

Здесь (5 - особый ряд, Ц1 - особый интеграл проблемы Гильберта--Камке. Показатель абсолютной сходимости ряда 6" равен 0;5 ±) , а интеграла jf ровен О. 5 d.) + ± .

2. Справедлива оценка: ^ ^ у1Ъ°К* В ^

3. Для среднего значения тригонометрической суммы Г.Бейля S(A), А * (о*!,., cLK) , при I ^ справедлива оценка (упрощённая форма теоремы

И.М.Виноградова о среднем):

1 i

0 0

4. Значение & особого ряда проблемы"Гильберта-Камке удовлетворяет соотношениям ; а) б = л»»- И i

0 IX > р Г г

Здесь величина WGU) определяется как число решений системы сравнений ( d -h wiw = ос/+ - + ^ (ynUd)j 5 = 1, ., П .

5. Для разрешимости системы сравненийшри достаточно больших VYL и fe, необходимо и достаточно выполнение условий К.К.Марджанишвили, выраженных в форме а) или б) ("арифметические условия разрешимости"): а) система линейных уравнений к %6 ^ К , п .

X-L разрешима в целых числах > б) при . числа М4 ,

М4

- 23 делятся нацело на tS / ; здесь числа определяются из соотношения t г=±

6. Условия а) или б) пункта 5 являются необходимыми условиями отличия от нуля значения величины 6" - особого ряда проблемы Гильберта-Камке. При выполнении этих условий и при к

Т - ^ («.«-Л1 , Зн^-Л) справедливо неравенство ь ^ К

7. Для разрешимости системы сравнений нг=4 необходимо выполнение, условия к ъ ^о где - наименьший неотрицательный вычет числа 4 по модулю S. причем а целые числа СЦ являются коэффициентами многочлена £(*), удов' летворяющего условию - (-4 Л

Hi t=£ зс

W A*)

8. Существуют наборы чисел , удовлетворяющие условию разрешимости пункта 5, для которых при ^ но в то же время для всех таких наборов при 'к ^ 'Т7 =

- min (к1 L> Зуь!*1-*-) имзем toь* <LK л б > К- >о.

9. В условии а) пункта 5 систему линейных уравнений можно заменить на совокупность взаимно независимых систем сравнений таким образом, что каждому простому числу , не превосходящему

Yt , будет отвечать своя система по модулю ^ . Разрешимость каждой такой системы влечет за собой выполнение неравенства

6J, >о.

10. Среди всех наборов ^к) классов вычетов по модулю в количестве А 3 А > 0 , удовлетворяющих условию разрешимости пункта 9, отвечающему простому числу существует не менее А (4- 2. d) таких наборов, для которых

6^0 при k <d ) но б^ > 0 при к > Т.

11. Для нетривиальной разрешимости системы уравнений

Ос* +,.+ = О , 4 в поле р -адических чисел при f-tL необходимо выполнение условия

12. Величина \ -значение особого интеграла проблемы Гильберта-Камке при k > 0.5 n(yi+±) +■ L равна к-к -мерному объёму области точек (°с± эс^) , удовлетворяющих системе уравнений вида причем О < < при Уп. = •••, к .

13. Характеристикой Д= А , некоторого решения системы уравнений пункта 12 мы называем величину, которая определяется так. Из А чисел oclt.t ос^ некоторым способом д£ выбираются какие-либо К чисел. Пусть это будут числа

Положим далее &0=О и = 1 . Тогда

Для справедливости неравенства jf" > О при 0,5"и.(и.+ 4) -f 1 необходимо и достаточно выполнение условия ("условия порядка"):

Т >0 ^ где X - максимальное значение характеристики Д (эсц—^эс^ на множестве решений системы уравнений пункта 12.

14. Величины ^ и Г удовлетворяют неравенствам ft4-411 r4'3^-^

15. Пусть . Тогда если особый ряд tf равен нулю, то система Ш не имеет решений; если особый интеграл у* равен нулю, то число решений ограниченно некоторой константой, зависящей от К и к.

16. Истинный порядок числа слагаемых 4 , при котором из необходимых условий разрешимости двух типов - арифметических условий пункта 5 и условий порядка пункта 13 следует разрешимость самой системы уравнений проблемы Гильберта-Камке, имеет вид точностью до СКОлЬ угодно малого £ в показателе) Другими словами, ^ / ) и.->«*=>

Изложенные выше результаты диссертации полностью опубликованы в работах автора [72],[73j . При доказательствах существенно используются также результаты работы автора [67] и совместных работ [68]-[7i], выполненных при его участии.

Остановимся кратко на содержании отдельных частей диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. В разделе "Введение" дается постановка задачи, т.е. проблемы Гильберта-Камке, излагается история вопроса, методы исследования и полученные в диссертации результаты.

1. Виноградов И.М. Sur ЦП thioreme general de Waring. -- Мат.сб., 1924, т.31, с. 490-507.

2. Виноградов И.М. 0 теореме Варинга. Изв. АН СССР. ОФМН, 1928, № 4, с. 393-400.

3. Виноградов И.М. Об одном классе совокупных диофантовых уравнений. Изв. АН СССР, ОФМН, 1929, № 4, с. 355-376.

4. Виноградов И.М. О некоторых новых проблемах теории чисел. Докл. АН СССР, 1934, т.2, Ш 6, с. 337-341.

5. Виноградов И.М. Улучшение оценок тригонометрических сумм. Изв. АН СССР, Сер. мат., 1942, т.6, № 1-2, с.33-40.

6. Виноградов И.М. Метод тригонометрических суш в теории чисел.М.; Наука, 1971.

7. Hilbert D. Beweis fllr die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen . duroh eine feste Anzahl. ft,-ter Potenzen. Math. Ann. 1909, B. 67, s. 281-300.

8. Kamke E. Verallgemeinerungen dea Waring. Hilbertschen Satzes.- Math. Ann., 1921, B. 83, s, 3-38.

9. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел.М.: Наука, 1980.

10. Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении чисел суммами полных первых, вторых, -с те пеней. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1937, т.1, с. 609-631.

11. Марджанишвили К.К. О некоторых нелинейных системах уравнений в целых числах. Матам.сб., 1953, т.33 (75), Ш 3, с.630-675.

12. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм.М.: Наука, 1976.

13. Виноградов И.М. Некоторые проблемы аналитической теории чисел.- Тр.третьего Всесоюзного матем.съезда. М., 1958, с.3-13.

14. Карацуба А.А. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа. Вестн. МГУ, сер. I, 1962, № I, с. 28-38.

15. Карацуба А.А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения. Изв. АН СССР. Сбр.матем., 1964, т.28, № I,с. 237-248.

16. Карацуба А.А. О системах сравнений. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1965, т. 29, К» 4, с. 935-944.

17. Карацуба А.А. Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1966, т. 30, Ш I, с.183-206.

18. Карацуба А.А. Среднее значение модуля тригонометрической суммы. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1973, т.36, № 6, с.1203-1227

19. Карацуба А.А. Об одной системе сравнений. Матем.заметки, 1978, т.19, № 3, с. 389-392.

20. Карацуба А.А.Системы сравнений и уравнения варинговского типа.- Докл. АН СССР, 1965, т.165, №> 2, с. 274-276.

21. Карацуба А.А. О тригонометрических суммах. Докл. АН СССР, 1969, т. 189, № I, с. 31-34.

22. Карацуба А.А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях. Докл. АН СССР, 1970, т.192, }{г 4, с. 724-727.

23. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

24. Линник Ю.В. Оценки сумм Вейля по методу И.М.Виноградова. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1942, 6(1), с.41-70.

25. Линник Ю.В. О суммах Вейля. Мат.сб., 1943, 12(54), № I, с. 28-39.

26. Линник Ю.В. Некоторые замечания об оценках тригонометрических сумм. Успехи матем.наук, 1959, 14, вып.З (87), с.153-160.

27. Линник Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. Л.: Изд. ЛГУ, 1961.

28. Гельфонд А.О., Линник Ю.В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. М.: Наука, 1962.

29. Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении двух чисел суммами т-ых и П-ых степеней. Докл. АН СССР, 1936, т. 2, 16, с. 257-258.

30. Марджанишвили К.К. Об одной системе диофантовых уравнений.- Докл. АН СССР, 1939, т.22, 112 II, с. 471-474.

31. Марджанишвили К.К. Об одной задаче аддитивной теории чисел.- Изв. АН СССР, Сер.мат., 1940, №. 4, с.193-214.

32. Марджанишвили К.К. Исследования по применению метода тригонометрических сумм к аддитивным задачам. Докторская диссертация.- М. 1949.

33. Марджанишвили К.К. Об одном особом ряде. Тр. МИАН, 1976, 142, с. I74-181.

34. Хуа Ло-ген Аддитивная теория простых чисел. Тр.МИАН, 1947, т.22.

35. Хуа Ло-ген Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964.

36. Hua Loo-lceng On the number of solutions of Tarry's problem.- Acta sci. Sinica, 1952, v. I, N I, p. 1-76.

37. Hardy, Ramanujan Asimptotic formulae in combinatory analisis.- Proc. London math. Sos.(2) П (-I9I8), 75-115.

38. Hardy G.H., Littlewood J.E. A new solution of Waring's problem.- GStt. Machr., 1920, Б. 33-54.

39. Hardy G.H., Littlewood J.E. The number Г(&) in Waring's problem. -Proc. London math. Sos.,28(1928),p.518-542.

40. Chen Jing Run On Professor Hua's estimale of exponential sum.- Soi. Sinioa, 1977,v.20, N 6, p. 7-I-I-7-19.

41. Hooley C. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge, 1976.

42. Бредихин Б.М. Метод сглаживания в нелинейных аддитивных задачах. Тр.МИАН, 1976, т.142, с.88-100.

43. Бредихин Б.М., Гришина Т.И. Элементарная оценка в проблеме Варинга. Матем.заметки, 1978, т.24, № I, с. 7-18.

44. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972.

45. Емельянов Г.В. Об одной системе диофантовых уравнений. Уч. записки ЛГУ, Серия матем.наук, 1950, 19, с.3-39.

46. Нечаев В.И. Проблема Варинга для многочленов. Тр.МИАН, 1951, т. 38, с. 190-243.

47. Стечкин С.Б. О средних значениях модуля тригонометрической суммы. Тр. МИАН, 1975, т.134, с.283-309.

48. Чубариков В.Н. Об асимптотических формулах для интеграла И.М.Виноградова и его обобщений. Тр. МИАН, X98I, т.157, с.214-231.

49. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.

50. Архипов Г.И. Кратные тригонометрические суммы. Докл. АН СССР, 1974, т.219, Ш 5, с.1036-1037.

51. Архипов Г.И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы. Матем.заметки, 1975, т.17, № I, с.143-153.

52. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах. Докл. АН СССР, 1975, т.222, № 5, с.1017-1019.

53. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы.- Изв. АН СССР, 1976, т.40, № I, с.209-220.

54. Архипов Г.И. Оценки двойных тригонометрических сумм Г.Вейля.- Тр. МИАН, 1976, 5». 142, с. 46-66.55*Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Верхняя граница модуля кратной тригонометрической суммы. Тр. МИАН, 1977, т. 143, с. 3-31.

55. Архипов Г.И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Точная оценка числа решений одной системы диофантовых уравнений. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, № 6, с. II87-I226.

56. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Распределение дробных долей многочленов от нескольких переменных. Матем.заметки, 1979, К» I, с. 3-14.

57. Архипов Г.И., Карацуба А.А.,Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы. Тр.МИАН, 1980, т.151, с.1-128.

58. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Об одной системе диофантовых уравнений. Докл. АН СССР, 1979, т. 252, № 2, с. 2-75-276.

59. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических сумм. Докл. АН СССР, 1980, т.252, Ш 6, с. 1289-1291.

60. Архипов Г.И., Карацуба А.А.,Чубариков В.Н., Кратные тригонометри ческие суммы и их приложения. Изв. АН СССР. Сер.матем.,1980, т.44, № 4, с.723-781.

61. Архипов Г.И., Карацуба А.А. О локальном представлении нуля формой. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1981, т.45, Ш 5, с.948-961.

62. Архипов Г.И., Карацуба А.А. О представлении нуля формой в поле -адических чисел. Докл. АН СССР. 1982, т.262, № I, с.П-13.

63. Архипов Г.И., Карацуба А.А. Об одной задаче теории сравнений. -- Успехи матем.наук, 1982, т.37, N2 5(227), с. I6I-I62.

64. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков в.Н. Новые равномерные оценки кратных тригонометрических сумм. Докл. АН СССР, 1983, т.272, N2 I, с. 11-12.

65. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Особые случаи теории кратных тригонометрических сумм. Изв. АН СССР, 1983,т.47, № 4, с. 707-784.

66. Архипов Г.И. О среднем значении сумм Вейля. Матем.заметки, 1978, т.23, № 6, с. 785-788.

67. Архипов Г.И., Карацуба а.а. Об интеграле И.М.Виноградова.- Докл.АН СССР, 1978, т. 239, № 4, с. 764-766.

68. Архипов Г.И., Карацуба А.А. Новая оценка интеграла И.М.Виноградова. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, т.42, № 4, с.751-762

69. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Показатель сходи-' мости особого интеграла проблемы Терри. Докл. АН СССР, 1979, т.248, N2 2, с. 268-272.

70. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Тригонометрические интегралы. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1979, т.43, № 5,с. 971-1003.

71. Архипов Г.И. О значении особого ряда в проблеме Гильберта-Камке- Докл. АН СССР. 1981, т.259, III 2, с. 265-267.

72. Архипов Г.И. О проблеме Гильберта-Камке. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1984, т.48, № I, с.3-52.